矩阵理论资料期末考试试题整理版

西安邮电大学研究生课程考试试题（ — 学年第一学期）一、计算题1 设4维线性空间V 的两组基4321,,,:)(e e e e I 和)3,1,6,6(),1,2,3,5(),0,1,3,0(),1,1,1,2(:)(4321===-=∏ββββ求（1）由基)(I 到基)(∏的过渡矩阵C（2）元素),,,(4321x x x x =α在基)(∏下的坐标 （10分）2 已知3R 的线性变换),,0(),,(21321x x x x x T =，求2T 的值域与核的基与维数 （10分）3 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=01101i i i i A ，求 ∞∞A A A A A A F m m ,,,,,211 （12分）4 已知031042212A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的QR 分解．(12分)5 应用n Gerschgori 定理隔离⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011131110A 的特征值，并根据实矩阵特征值的性质改进所得出的结果． (12分)6 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211211111221A ，求+A （12分）二、证明题1 已知m •是n n C ⨯上的矩阵范数，S 是n 阶可逆矩阵，对于任意n n C A ⨯∈，规定mAS S A 1-=，证明•是n n C ⨯上的一种矩阵范数。

（12分）2 设BA,都是正定矩阵，证明AB的特征值都大于零．（12分）3设n mA H==．（8分）O⇔∈，证明OCA⨯AA西安邮电大学研究生课程考试试题标准答案及评分标准（ — 学年第一学期）一、计算题1（1）432144321332243211366,235,3,2e e e e e e e e e e e e e e +++=+++=+=+-+=ββββ（3分）于是由基)(I 到基)(∏的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502C （2分）（2） 元素),,,(4321x x x x =α在基)(I 下的坐标为 T x x x x y ),,,(4321= （2分） 元素),,,(4321x x x x =α在基)(∏下的坐标为 y P 1- （3分） 2解：由 ),0,0(),,0()),,((),,(1213213212x x x T x x x T T x x x T === （2分） 可得 {}R x x T R ∈=),0,0()(2 {}R x x x x T N ∈=32322,),,0()(（4分） 因此，1)(dim 2=T R , )(2T R 的一个基为 )1,0,0( （2分）2)(dim 2=T N ，)(2T N 的一个基为 )1,0,0(),0,1,0( （2分）3解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=212122223i i i i AA H)16)(1(2+--=-λλλλH AA E （4分）71=m A 3=∞m A 7=FA（4分）31=A 3=∞A 2232+=A (4分) 4解： 取 110,1c s == ， （2分）则 130********T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 132********T A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（3分）取 2243,55c s -==， （2分）则 231004305534055T ⎛⎫ ⎪⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2313212051002T T A R ⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭ （3分） 故13233404521243()005155002100T T A QR T T R -⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭（2分） 5 解： A 的3个盖尔圆为：2:1≤λG , 23:2≤-λG , 210:3≤-λG (3分)选取)25,1,1(diag D =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-102525523152101DAD B ， (2分) B 的3个盖尔圆为：57:1≤'λG , 573:2≤-'λG , 510:3≤-'λG (3分) 而1G ',2G ',3G '都是孤立盖尔圆，因此在盖尔圆1G ',2G '，3G 中各有A 的一个特征值(1分) 因为A 为实矩阵，若A 有复特征值则必共轭出现，因此A 的三个特征值都为实数，分别在区间：[]4.1,4.1-，[]4.4,6.1-，[]12,8 中各有A 的一个特征值 (3分)6解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==01101001121121FG A (6分)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==--+714417417714221)()(11HH H H F F F GG G A (6分)二、证明题1 证：（1）10mO S OS -== 当 A O ≠ 时，1S AS O -≠ 得10mA S AS-=> （3分）（2）11()m mkA S kA Sk S ASk A --=== （3分）（3）111()mmmA B S A B S S ASS BSA B ---+=+≤+=+ （3分）（4）11111()()()mmmmAB S AB SS AS S BS S AS S BSA B -----==≤= （3分）故A 是n n C ⨯上的矩阵范数2 证：A 是正定矩阵则存在酉矩阵U 使得),,,(21n H diag AU U λλλΛ=,0>i λ 即 H n U Udiag A ),,,(21λλλΛ=),,,(21n Udiag λλλΛ=),,,(21n diag λλλΛH U P P H =这里=P ),,,(21n diag λλλΛH U (3分) 同理，H n V Vdiag B ),,,(21μμμΛ==),,,(21n Vdiag μμμΛ),,,(21n diag μμμΛH V Q Q H =，这里=Q ),,,(21n diag μμμΛH V (3分) 因此Q PQ PQ Q Q PQ P AB H H H H H )()(1-==，表明AB 与)()(H H H PQ PQ 相似 (3分)而)()(H H H PQ PQ 为正定矩阵，故AB 的特征值都大于零 (3分) 3 证： :⇒ 显然 (2分):⇐设n m ij a A ⨯=)(，则m n ji H a A ⨯=)(，那么由O A A H =可得 (2分) 02212222121211=+++++++++mnm n n a a a a a a ΛΛΛΛ， (2分)因此0=ij a ,n j m i ΛΛ,2,1;,,2,1==，故O A = (2分)。

矩阵理论矩阵理论 2006-2007 学年第 一 学期末考试试题（A 卷）及答案一、 填空题（共20分，每空2分）1、 在欧氏空间4R 中，与三个向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---都正交的单位向量为：)3,1,0,4(261-±2、 已知122212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则12__________;__________;__________;F A A A A ∞====3、 已知三阶方阵A 的初等因子为()()21,1λλ--，则A 的约当标准形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100100014、 已知cos sin ()sin cos t t A x t t ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则1()______________;()______________;|()|______________;|()|______________.d dA t A t dt dtd dA t A t dt dt-====.1,0,s i n c o s c o s s i n ,s i n c o s c o s s i n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t t t t t 二、解答下列各题(（共48分，每小题8分）1. 用最小二乘法求解线性方程组121312312312021x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪+-=-⎩解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111101011A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1021,111021011111b A T，-------------（3’） 所以b A x x x Ax A TT =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=312311164144321-----------------------（7’）求得最小二乘解为.64,613,617321-=-==x x x -------------------------------------（8’） 2. 设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试计算43()322A A A A E φ=-++。

矩阵引论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素全部为0的矩阵称为：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 标量矩阵答案：A2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行（列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行数变为列数C. 矩阵的列数变为行数D. 矩阵的元素不变答案：A4. 两个矩阵相乘的结果称为：A. 矩阵的和B. 矩阵的差C. 矩阵的积D. 矩阵的逆答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果矩阵A的行列式为0，则称矩阵A为________。

答案：奇异矩阵2. 矩阵A的逆矩阵记作________。

答案：A^(-1)3. 矩阵A与矩阵B相乘，记作________。

答案：AB4. 对于任意矩阵A，矩阵A与单位矩阵相乘的结果仍然是________。

答案：A三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述矩阵的行列式是什么？答案：矩阵的行列式是一个标量值，它提供了关于矩阵的一些重要信息，如矩阵是否可逆（行列式非零则可逆）、线性方程组是否有解等。

2. 矩阵的逆矩阵有什么性质？答案：矩阵的逆矩阵具有以下性质：(A^(-1))^(-1) = A，(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)，以及单位矩阵I的逆矩阵仍然是I。

3. 矩阵的转置矩阵有什么特点？答案：矩阵的转置矩阵具有以下特点：(A^T)^T = A，(AB)^T =B^TA^T，以及矩阵A的转置矩阵的行列式等于矩阵A的行列式。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，计算A的行列式。

答案：\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 给定矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{bmatrix}\]，计算B的逆矩阵。

矩阵期末练习题及答案例1若A 是对称矩阵，则A T -A=______。

答案：0例2若矩阵A 可逆，则（A T ）-1=____.答案：（A -1）T例3设A ，B 均为方阵，若AB =I ，则A -1=_____,B -1=______.答案：B ，A例2 矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100020100，则A -1=（ ）。

答案：⎢⎢⎢⎣⎡001 0210 ⎥⎥⎥⎦⎤-100 例3、 设A 、B 均为方阵，则下列结论正确的是（ ）。

A ．（AB ）T =A T B TB ．AA T =A T AC ．若A T =A ，则（A 2）T =A 2D ．若A T =A ，B T =B ，则（AB ）T =AB 。

答案：（C ）。

例4、 设A 是三角形矩阵，若主对角线上元素（ ），则A 可逆。

A ．全部为0B ．可以有零元素C ．不全为0D ．全不为0答案：（D ）例5、设A=⎢⎢⎢⎣⎡-342 ⎥⎥⎥⎦⎤-101，B=⎢⎣⎡-87 ⎥⎦⎤-109，求A.B 。

解：A.B=⎢⎢⎢⎣⎡-342 ⎥⎥⎥⎦⎤-101⎢⎣⎡-87 ⎥⎦⎤-109=⎢⎢⎢⎣⎡-132822 ⎥⎥⎥⎦⎤--173628例6、设A=⎢⎢⎢⎣⎡321 422 ⎥⎥⎥⎦⎤313，求A -1。

解：（AE ）=⎢⎢⎢⎣⎡321 422 313 001 010 ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 222-- 653-- 321-- 010 ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022- 153-- 121-- 110- ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022 153 121 110-⎥⎥⎥⎦⎤-100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022 100 132-- 163-- ⎥⎥⎥⎦⎤-153→⎢⎢⎢⎣⎡001 020 100 131- 163- ⎥⎥⎥⎦⎤--152→⎢⎢⎢⎣⎡001 010 100 1231- 133- ⎥⎥⎥⎥⎦⎤--1252 ∴A -1=⎢⎢⎢⎣⎡1231- 133- ⎥⎥⎥⎥⎦⎤--1252例7．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA -T . 解 C BA -T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210例8．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321221211A ，求1-A ． ．解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110011010001211100321010221001211)(I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→110100011010001211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→110100*********011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→110100*********001 所以，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1100112121A ． 例9．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=143102010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I ，求1)(-+A I ． 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+243112011A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-103210012110001011100243010112001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→115100012110001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→115100127010001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→115100127010126001所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-115127126)(1A I 例10、解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X . 解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10430132⎥⎦⎤⎢⎣⎡→10431111 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23101111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23103401 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---233443321 所以，X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--212334=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12例8、证明：若A 2=I ，且AA T =I ，则A 为对称矩阵。

1、非齐次微分方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=T x t F AX dt dx1,0)0(的解：其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3553A ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0t e t F2、设nn CA ⨯∈，则对任何矩阵范数∙，都有A A ≤)(ρ。

3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100012A ，求Ate 。

4、设nn CA ⨯∈，且1)(<A ρ，求级数∑∞=0m mA的和。

5、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=502613803A 的约当标准形。

6、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=031251233A 的最小多项式)(λm 。

7、讨论kk kk⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∞=128160的敛散性。

8、线性变换的秩与零度的定义，秩与零度之间的关系 9、已知m nm R b R A ∈∈⨯,，对于矛盾线性方程组b Ax =，使得22)(b Ax x f -=为最小的向量)0(x 称为最小二乘解，试导出最小二乘解所满足的方程组。

1.设实数域上的多项式空间3[]P t 中的多项式230123()f t a a t a t a t =+++在线性变换T 下的像为2301122330()()()()()Tf t a a a a t a a t a a t =-+-+-+-，求线性变换T 的值域和核空间的基与维数。

2.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=032100010A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2010A ，求A e 。

3.求矩阵1141⎛⎫= ⎪⎝⎭A 的谱分解。

4.求微分方程组112212313214221tdx x x dt dx x x dt dx x x e dt ⎧=-++⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++-⎪⎩和1132123313383625dx x x dt dxx x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=--⎪⎩满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===-的解。

5.证明矩阵nn CA ⨯∈的幂序列}{)(m A 收敛于0的充分必要条件是()1A ρ<。