矩阵论试卷(2011A)

一、（8分）已知311121210A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求11,,,,,()m F m A A A A A A ρ∞∞。

解：1112,96,5m Fm A AA A A ∞∞===== （5分）因为 ()()221--=-λλλA I ，2,1321===λλλ , 故2m ax )(==i iA λρ. （3分）二、（15分）在4R 中有两组基，基(I)1234,,,αααα，基(II)1234,,,ββββ满足：1232341232342222ααβααβββαββα+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 求 （1）由基(I)到基(II)的过渡矩阵；（2）向量12342αββββ=-++在基1234,,,αααα之下的坐标； （3）判断是否存在非零元素4R α∈在两组基下有相同坐标。

解： （1）由已知关系式求得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+--=-++=3242134212432112242284ααβααβαααβααααβ于是，由基（I ）到基（II ）的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=0012200112480124C （5分）（2）α在基（II ）下的坐标为（2，-1，1，1）T ，再由坐标变换公式计算α在基（I ）下的坐标为C （2，-1，1，1）T=（11，23，4，-5）T. （5分）（3）由()()11221123412343344,,,,,,C ξξξξαααααββββξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知若存在非零元素4R α∈在两组基下有相同坐标则112213344C ξξξξξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而有()12340C E ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭不难计算得det （C-E ）=0，方程组有非零解，即存在非零α4R ∈，使得α在基（I ）和基（II ）下有相同的坐标. （5分）三、（10分）定义在由数域上次数不超过2的多项式构成的线性空间2[]K x ,对任意的[]2(),()f x g x K x ∈,定义()11(),()()()f x g x f x g x dx -=⎰.证明： (1)()(),()f x g x 构成(),()f x g x 的内积,从而2[]K x 对这个内积构成欧氏空间.（2）把基21,,x x 化为标准正交基。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010-2011学年第2学期 考试科目：线性代数 试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（B ）成立(A) AB = AC ，A ≠ 0，则B = C (B) AB = AC ，A 可逆，则B = C (C) A 可逆，则AB = BA (D) AB = 0，则有A = 0，或B = 02. 设A 为n (n ≥2)阶矩阵，且A 2= I ，其中I 为单位阵（下同），则必有（C ）(A) A 的行列式等于1 (B) A 的逆矩阵等于I (C) A 的秩等于n (D) A 的特征值均为13．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（A ）(A) 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 (B) 必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 (C) 必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 (D) 每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4．设n 元齐次线性方程组x 0A =的系数矩阵A 的秩为r ，则x 0A =有非零解的充分必要条件是（B ）5. 设A 为n 阶方阵，0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵。

则：*A 等于 (C )(A) n r =(B) n r <(C) n r >(D) n r ≥(A) A(B)A1 (C) 1-n A(D) nA二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6. 已知行列式011103212=-a ，则数a =3.7. 设向量组1(,1,1)T k α=,2(1,2,1)T α=-, 3(1,1,2)T α=-线性相关，则数k =2-. 8. 设(1,1,5,3)T α=--, (9,2,3,5)T β=---,则α与β的距离为9，内积为37. 9. 设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1, 2, …, n ，则使tI A -为正定矩阵的数t 取值范围是t n >．10. 设矩阵A 和B 相似，其中A = 20022311x -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B = 10002000y -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则x =0，y =2-.三、计算题11.(满分8分) 设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T .解答：C BA +T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210 T A 计算正确2分，T 4BA 正确分， C BA +T 2分12.（满分8分）计算行列式 D = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1 2 … n 1 x 2 … n 1 2 x … n … … … …1 2 3 … x 的值。

2011年《矩阵论》习题解答一、 掌握线性空间的定义及判断是否为线性空间。

二、 在4R 中有两组基，()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1αααα====()()()()12342,1,1,1,0,3,1,0,5,3,2,1,6,6,1,3ββββ=-=== 求 （1）由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵；（2）向量()1234,,,x ξξξξ=在基1234,,,ββββ之下的坐标； （3）在两组基下有相同坐标的非零向量。

解：(1)因为 ()()()12341234123420561336,,,,,,,,,11211013C ββββαααααααα⎛⎫ ⎪⎪== ⎪- ⎪⎝⎭所以由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵2056133611211013C ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭(2) ()()()112211234123412343344,,,,,,,,,x C ξξξξξξξξααααββββξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以向量()1,0,1,0在基1234,,,ββββ之下的坐标为12134C ξξξξ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 或解 非齐次线性方程组的解 11223344k k C k k ξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由 （2）式有112213344C ξξξξξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()12340C E ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，该方程组的通解为()1,1,1,1T k -,对两个基有相同坐标的非零向量为()1234k x x x x ++-，k 非零常数。

二、已知线性空间V 是矩阵空间22R ⨯, (1) 证明：123410010000,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦是V 的一组基；(2) 求向量1223A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在基1234,,,E E E E 下的坐标。

参考答案一（20分） V 表示实数域上次数不超过2的多项式构成的线性空间。

对2()f x ax bx c V ∀=++∈，在V 上定义变换：2[()]3(223)(4)T f x ax a b c x a b c =++++++（1）验证T 是V 上的线性变换；（2）求V 的基2,,1x x 到基2(1),1,1x x --的过渡矩阵P ； （3）求T 在基2,,1x x 下的表示矩阵A ； （4）在V 中定义内积1(,)()()f g f t g t dt =⎰，求基2,,1x x 的度量矩阵G 。

解：（1）设22111222(),()f x a x b x c g x a x b x c =++=++2121212()()()f g a a x b b x c c +=+++++[]212121212()3()2()2()3()T f g a a x a a b b c c x +=+++++++[]121212()()4()a a b b c c ++++++()()2111111132234a x a b c x a b c =++++++()()2222222232234a x a b c x a b c +++++++()()T f T g =+类似可验证: ()()T kf kT f =或把T 写成：2300[()][,,1]223114a T f x x x b c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1）再来验证就更方便了。

（2）由22100(1),1,1,,1210111x x x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤--=-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦得基2,,1x x 到基2(1),1,1x x --的过渡矩阵为100210111P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（3） 由22()321T x x x =++,()21T x x =+,(1)34T x =+得T 在基1,,2x x 下的表示矩阵为：300223114A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（4） 11431112210011,54g x dx g g x dx =====⎰⎰ 11221331220011,33g x dx g g x dx =====⎰⎰11233233001,12g g xdx g dx =====⎰⎰ 故度量矩阵11154311143211132G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二（20分） 设311121210A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（1）求A 的行列式因子、不变因子、初等因子； （2）求A 的Jordan 标准形J ； （3）求可逆矩阵P 使1P AP J -=；（4）计算Ate 并求解微分方程组。

2011年《矩阵论》习题解答 一、 掌握线性空间的定义及判断是否为线性空间。

二、 在4R 中有两组基，()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1αααα====()()()()12342,1,1,1,0,3,1,0,5,3,2,1,6,6,1,3ββββ=-===求 （1）由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵；（2）向量()1234,,,x ξξξξ=在基1234,,,ββββ之下的坐标；（3）在两组基下有相同坐标的非零向量。

解：(1)因为()()()12341234123420561336,,,,,,,,,1121113C ββββαααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ 所以由基123,,,αααα到基123,,,ββββ的过渡矩阵20561********13C ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭(2) ()()()112211234123412343344,,,,,,,,,x C ξξξξξξξξααααββββξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以向量()1,0,1,0在基1234,,,ββββ之下的坐标为12134C ξξξξ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或解 非齐次线性方程组的解11223344k k C k k ξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由 （2）式有112213344C ξξξξξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()12340C E ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，该方程组的通解为()1,1,1,1Tk -,对两个基有相同坐标的非零向量为()1234k x xx x ++-，k 非零常数。

二、已知线性空间V 是矩阵空间22R ⨯,(1)证明：123410010000,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦是V 的一组基；(2) 求向量1223A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在基1234,,,E E E E 下的坐标。