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§2.9平面问题单元划分有限元法在平面问题进行分析时，才采用三角形单元和四边形单元、或者矩形单元，三角形单元的优点是简单且对结构的不规则边界逼近好，而矩形单元却更能反映实际弹性体内部的应力应变变化。
这两点我们会逐渐向大家说明。
所以一般说来，有限元分析，单元划分的密度和单元种类选取，对计算结果起重要作用。
一般单元划分越密集，结果越精确。
单元多也导致求解的线性方程组阶数增高，要求计算机的内存也更大，计算的时间也越长，分析的效率就越低。
解决这一矛盾的方法就是在应力集中区域单元划分密集一些，应力变化梯度小的位置，划稀疏些，这样就能兼顾精度与效率的关系。
一般的原则是：1）根据结构的受力和支承特点，按对称和反对称的性质，简化分析模型，以减少计算分析的规模。
2）合理布局单元的密集程度，以使计算结果精度高而计算量小。
3）在同一单元内，单元的特性数据和材质数据应保持一致。
4）集中载荷的作用点和载荷密度突变处应有节点。
5）在欲知道应力状态、内力情况和位移值的位置应有节点。
6）单元的选取欲分析的目标密切相关。
模型的单元划分好后，把所有的单元和节点按一定的规律和顺序进行编号，选择适当的坐标系（直角、柱面和球面），以方便确定各节点的坐标值。
§2.10 节点位移、节点力和节点载荷弹性体在承受外力作用后，其内力的传递实际是通过单元之间的边界来实现的。
但我们把结构离散化后，如果单元划分得足够小时，可以看成为其内力的传递通过单元与单元之间的节点进行传递。
对于平面问题而言，每个节点都有位移和力两个未知量，这两个量又都是x、y的函数，注意平面问题的节点是不能传递力矩的，为什么？一，节点位移对三节点三角形单元而言，因有三个节点，每个节点的位移都有x ，y 两个分量，所以一共有6个自由度。
单元节点位移向量可表示为：{}[]Tm m j j i ie v u v u v u =δ二，节点力所谓节点力，就是单元对节点或节点对单元作用的力，它是弹性体内部的作用力，也就是我们常说的内力。
第八章 平面问题的有限元分析及三角形单元的应用第一节 概述分析弹性力学平面问题时，最简单的单元式由三个结点组成的三角形单元。
当用以分析平面应力问题时，可将其视为三角板；当用以分析平面应变问题时，则可式为三棱柱。
各单元在结点处为铰结。
图8-1所示位移悬臂梁离散为三角形单元的组合体以矩阵形式列出弹性力学平面问题的基本量和基本方程。
谈形体所受体力分量可表示为[]Tyxy x p p p p p =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= (8-1)所受面力分量可表示为[]Tyxy x p p p p p =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= （8-2）体内任一点应力分量可表示为[]T xy y x τδδδ= （8-3）任一点的应变分量可表示为[]T xy y x γεεε= （8-4）任一点的位移分量可表示为[]Tv u =δ （8-5）弹性力学平面问题的几何方程的矩阵表达式为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x u y v y v x u xy y x εεεε （8-6） 平面应力问题的物理方程的矩阵表达式为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡xy y x xy y x E γεεμμμμτσσ2100010112 （8-7）或简写成为 εσD = （8-8）式中⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2100010112μμμμE D （8-9）称为弹性矩阵。
平面应变问题的物理方程也可写成式（8-8），但须将式（8-9）中的E 换成21μ-E，μ换成21μμ-，因此得出⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+-=)1(22100011011)21)(1()1(22μμμμμμμμμE D （8-10）平衡微分方程及边界条件也可以用矩阵表示，但弹性力学有限元位移法中，通常用虚功方程代替平衡微分方程和应力边界条件。
虚功方程的矩阵表达式为⎰⎰⎰⎰⎰***=+tdxdy tds p f ptdxdy f T T σε （8-11）式中：[]Tv u f***=，表示虚位移；[]Txyx x ****=γεεε，表示与虚位移相对应的虚应变。
第2章弹性力学平面问题有限单元法2.1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。
一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x、y两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为：相应结点力列阵为: (式2-1-1)二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。
即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。
构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。
以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。
在平面应力问题中，有u,v两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)123u u x y x yααα==++546(,)v v x y x yααα==++(2-1-2)a式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标) {}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=mjimeddddmjjivuvuvui{}iijjmXYX(2-1-1)YXYiejmmFF FF⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭确定。
将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程:123i i i u x y ααα=++ 123j j j u x y ααα=++ (a)123m m m u x y ααα=++和546i i i v x y ααα=++ 546j j j v x y ααα=++ (b)546m m m v x y ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :11A Aα=22A Aα=33A Aα=式中行列式:1i i i j j j m m m u x y A u x y u x y =2111i i j j m mu y A u y u y =3111i i j j m m x u A x u x u = 2111i i j j m mAx y A x y x y ==A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出:11()2m m i ij j a u a u a u A α=++ 21()2m m i ij j bu b u b u A α=++ （C ）31()2m mi i j j c u c u c u A α=++式中:m m i j j a x y x y =- m m j i i a x y x y =- m i j j i a x y x y =-m i j b y y =- m j i b y y =- m i j b y y =- （d ）m i j c x x =- m j i c x x =- m j i c x x =-为了书写方便，可将上式记为: m m i j ia x y x y =-m ij by y =- (,,)i j m u u u u ruu u u r m i jc x x =-(,,)i j m u u u u ru u u u r表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。
.. . .. . .P9 m 9 m一、题目如图1所示，一个厚度均匀的三角形薄板，在顶点作用沿板厚方向均匀分布的竖向载荷。
已知：P=150N/m，E=200GPa，=0.25，t=0.1m，忽略自重。
试计算薄板的位移及应力分布。
要求：1.编写有限元计算机程序，计算节点位移及单元应力。
（划分三角形单元，单元数不得少于30个）；2.采用有限元软件分析该问题（有限元软件网格与程序设计网格必须一致），详细给出有限元软件每一步的操作过程，并将结果与程序计算结果进行对比（任选取三个点，对比位移值）；3.提交程序编写过程的详细报告及计算机程序；4.所有同学参加答辩，并演示有限元计算程序。
有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如下：1）整理原始数据，如材料性质、荷载条件、约束条件等，离散结构并进行单元编码、结点编码、结点位移编码、选取坐标系。
2）单元分析，建立单元刚度矩阵。
3）整体分析，建立总刚矩阵。
4）建立整体结构的等效节点荷载和总荷载矩阵5）边界条件处理。
6）解方程，求出节点位移。
7）求出各单元的单元应力。
8）计算结果整理。
一、程序设计网格划分如图，将薄板如图划分为6行，并建立坐标系，则X Y P X YP刚度矩阵的集成建立与总刚度矩阵等维数的空矩阵，已变单元刚度矩阵的集成。
由单元分析已知节点、单元的排布规律，继而通过循环计算求得每个单元对应的节点序号。
通过循环逐个计算：（1）每个单元对应2种单元刚度矩阵中的哪一种；（2）该单元对应总刚度矩阵的那几行哪几列（3）将该单元的单元刚度矩阵加入总刚度矩阵的对应行列循环又分为3层循环：（1）最外层：逐行计算（2）中间层：该行逐个计算（3）最里层：区分为第 奇/偶 数个计算单元刚度的集成：[][][][][][]''''''215656665656266256561661eZeeeZeZeeeekkkKkkkkkk+⋯++=⇓=⇒==⇒==⇒=⨯⨯⨯⨯⨯⨯边界约束的处理：划0置1法适用：这种方法适用于边界节点位移分量为已知(含为0)的各种约束。
