欧拉简介.ppt

欧拉方程
1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先 提出这个方程。 在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的 震动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程： （ax^2D^2+bxD+c）y=f(x), 其中a、b、c是常数，这是一个二 阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二 阶导数D^2y的系数是二次函数ax^2，一阶导数Dy的系数 是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方 程 返回
莱昂哈德·欧拉
简 介
小组成员：
欢迎进入
伟大的数学家 ——欧拉
生平介绍 主要贡献 纪念照片
以欧拉之名 评价
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783年 9月18日）是瑞士数学家和物理学家。他被数学史学者称为历 史上最伟大的两位数学家之一
@ 欧拉1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国
凸多面体
立方体
图形
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6 7 5 4 6
8 10 5 4 6
12 15 8 6 10
五棱柱
方锥
三棱锥
五棱锥
•欧拉函数 欧拉函数，在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数 中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称 为Euler's ient function、φ函数、欧拉商数等。 例如 φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方 面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。
欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直 线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂 心到重心距离的一半。 莱昂哈德· 欧拉于1765年在他的著作 《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上， 即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以 上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离 相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
的彼得堡去逝。
@欧拉出生於牧师家庭，自幼受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大
学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。
@1727年欧拉到俄国的彼得堡科学院从事
研究工作，并在1731年接替丹尼尔第一伯努 利，成为物理学教授。
@在俄国的14年中，他努力不懈地投入研
究工作，在分析学、数论及力学方面均有 出色的表现。此外，欧拉还应俄国政府的 要求，解决了不少如地图学、造船业等的 实际问题。
证明
设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理， A*B和C可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本 定理便知， 若 n= ∏p^(α（下标p）) p|n 则φ(n)=∏(p-1)p^(α（下标p）-1)=n∏(1-1/p) p|n p|n 例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24 与欧拉定理、费马小定理的关系 对任何两个互质的正整 数a, m, m>=2有 a^φ(m)≡1(mod m) 即欧拉定理 返回
如右图，欧拉线（图 中的红线）是指过三 角形的垂心（蓝）、 外心（绿）、重心 （黄）和欧拉圆圆心 （红点）的一条直线。
返回
思考：你会怎样评价欧拉呢？
一也是 是 历世 史纪 上最 最优 伟秀 大的 的数 数学 学家 家， 之 • 18 • 学十 家八 世 纪 独 一 无 二 的 杰 出 科 • • 数 学 和 科 学 成 果 丰 富 • 为 科 学 现 身 的 精 神 • 富 有 科 学 思 想 • 杰 出 的 才 能 • 丰 富 的 头 脑 • 著 述 浩 瀚
*1735年，他因工作过度以致右眼失明。
*1741年，他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理
数学所所长一职，长达25年。 *他在柏林期间的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热 力学、弹道学、人口学等等，这些工作与他的数学研究互相推动着。 与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创 性的发现
四、在数论方面。
•欧拉首先发现二次互反律，欧拉还引入了以他名字命名的数论中 的欧拉函数
五、在几何方面
•欧拉引入了曲线的参数表示
六、在变分学方面
•研究出欧拉方程。1756年他把这个命名新学科为变分学。
返回 返回
返回
欧拉公式 欧拉函数 欧拉定理 欧拉方程 欧拉角 欧拉线
•欧拉公式
欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复 变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起 来； 拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等。例如：
•先后发表了《无穷小分析引论》（1748）、《微分学》 （1755）、《积分学》（1768）等著作。 •给出了函数的新定义，定义了多元函数概念，引入了超越函数概 念 •给出了用累次积分计算这种积分的程序 •研究了数列｛（1+1/n）n｝极限的存在性，建立了自然对数 •把实函数的许多结果形式地推广到复数域，推动了复变函数理论 的发展。
*1766年，他应俄国沙皇喀德林二世的礼聘重回彼得堡 *1771年，一场重病使他的左眼亦完全
失明，但他以其惊人的记忆力和心 算技巧继续从事科学创作。他通 过与助手们的讨论以及直接口授 等方式完成了大量的科学着作， 直至生命的最后一刻。
*1783年9月18日逝世于俄国的彼
得堡
返回
欧拉的主要贡献
一、在微积分方面
二、在初等数学方面
•欧拉抛弃了陈旧的概念，采用新的思想方法去叙述、处理问题建 立了新的初等数学体系。
欧拉的主要贡献
三、在微分方程方面
•欧拉将一类二阶方程通过变量替换化为一阶方程给出了用累次积分 计算这种积分的程序 •研究了谐振子方程、谐振子的强迫振动方程，并得到了解答 •指出弦的运动是周期性的，还用三角级数表出了解。
欧拉角

用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动 角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出 而得名。
返回
欧拉定理
在数论中，欧拉定理是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞 士数学家莱昂哈德· 欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定 理之一。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一 凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又 称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模 收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。
返回
THAT’S ALL THANK YOU!!
分式里的欧拉公 式 a^r/(a-b)(ac)+b^r/(b-c)(ba)+c^r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的 值为0 当r=2时值 为1 当r=3时 值为a+b+c 初等数论里的欧拉公式 欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正 整数里，和n互素的整数的个数。n是一 个正整数。欧拉公式 欧拉证明了下面这个式子： 如果n的标准素因子分解式是 p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众 pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不 等。则有 φ(n)=n(1-1/p1)(11/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可 以证明它。 返回