一次函数之数形结合(一次函数)

一次函数求k取值范围数形结合1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面进行描述：1.引入一次函数的概念：一次函数是数学中常见的基本函数之一，也被称为线性函数。

它的表达式通常形式为y = kx + b，其中k和b为常数。

2.介绍一次函数的性质：一次函数具有直线的特点，斜率k决定了其斜度和方向，而常数b则决定了直线与y轴的截距。

一次函数的图像呈现出直线的形态，具有平移、伸缩和翻转等特性。

3.说明数形结合的意义：数形结合是将数学与几何图形相结合的一种学习方法。

通过观察直线的图像与函数表达式之间的关系，我们可以更直观地理解和掌握一次函数的性质和规律。

4.阐述文章目的：本文旨在探讨一次函数的k取值范围，并结合数形结合的方法，通过观察图像来解决相关问题。

同时，我们将进一步探讨一次函数在实际生活中的应用，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。

通过以上内容的介绍，读者可以对本文的主题和目的有一个初步的了解。

接下来的文章将围绕一次函数的定义和性质以及数形结合的意义和应用展开，引领读者深入探究一次函数的k取值范围与数形结合之间的关系。

1.2文章结构文章结构部分主要介绍了本篇长文的整体架构和内容安排。

首先，我们将在引言部分概述本篇文章的主题和目的，然后详细介绍正文部分和结论部分的内容。

在正文部分，我们将首先定义和探讨一次函数的概念和性质，包括一次函数的定义、特点以及常见形式等。

通过对一次函数的基本性质和图像的分析，我们将深入理解一次函数的数学意义。

接下来，我们将探讨数形结合在数学中的意义和应用。

数形结合是一种综合运用数学和几何形象的方法，通过图形和图像的分析，我们可以更加直观地理解数学概念。

我们将通过实例介绍数形结合在解决数学问题中的重要性和实际应用，以便读者更好地理解该方法的优势和应用场景。

在结论部分，我们将介绍一次函数求解k取值范围的方法。

通过对一次函数图像的分析和对函数性质的研究，我们可以确定k的取值范围，使得函数满足特定条件。

“数形结合”理解一次函数作者：***来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第05期一次函数是刻画变量之间关系的数学模型.若要深刻理解一次函数，需要在一次函数的学习过程中巧用“数形结合”，以形助数、以数解形，增加思维的灵活性.一、“数形结合”理解k与b1.一次函数y=kx+b中的k与b此时，k.b共同确定了直线的位置.还可以发现，k，b可以确定两个关键点的坐标，即直线y=kx+b交y轴于点（0，b），交x轴于点（-b/k，0）.2.两个一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的“k”与“b”k，b共同确定直线的位置.对两条直线中k，b的数量关系分类讨论，可以得到直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2的位置关系.二、一次函数与方程、不等式的关系三、“数形结合”解决一次函数问题例1 （2019年·毕节）已知一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，则下列结论中正确的是（）.A.kb>0B.kb<0C.k+b>0D.k+b<0解析：一次函数y=kx+b的图象经过第一、三象限，k>0;又图象经过第四象限，b<0.故kb<0，选B.例2 （2019年·梧州）直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（）.A.y=3x+3B.y=3x-2C.y=3x+2D.y=3x-l解析：选D.例3 （2018年·遵义）如图1，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3>0的解集是（）.A.x>2B.x<2C.x≥2D.x≤2解析：直线y=kx+3与x轴的交点为（2，0）.kx+3>0，即y>0，对应的图象在x轴上方，不等式的解集为直线在x轴上方部分的横坐标.故不等式的解集为x<2，选B.例4 （2019年·黔西南）如图2所示，一次函数y=ax+b（a，b为常数，且a>0）的图象经过点A（4，1），则不等式a+b<1的解集为_____.解析：由函数y=ax+b的图象可知，直线经过点A（4，1），且自左向有，直线呈上升趋势，函数值y随x的增大而增大，故不等式ax+b<1的解集是x<4.例5 （2018年·甘肃）如图3，一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象交于点P（n，-4），则关于x的不等式组2x+m<-x-2，-x-2解析：由2x+m<-x-2，知直线y=x-2在直线y=2x+m上方的部分满足不等式，即两直线交点左侧部分的横坐标满足不等式.然后将P点坐标代入已知的一次函数y=-x-2中，求出P（2，-4）.观察图象可得不等式的解集为x<2.由不等式-x-2<0可知，直线y=-x-2在x轴下方的部分的横坐标满足不等式，即x>-2.∴不等式组2x+m<-x-2，-x-2<0，的解集是-2<-x-2<0x<2.练习1.（2019年·河池）函数y=x-2的图象不经过（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.把函数y=x的图象向上平移3个单位，下列各点中在平移后的直线上的是（）.A.（2，2）B.（2，3）C.（2，4）D.（2，5）3.已知将直线y=x-1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b 的说法中正确的是（）.A.经过第一、二、四象限B.与x轴交于点（1，0）C.与y轴交于点（0，1）D.y随x的增大而减小4.如果一次函数y=-2x+m的图象经过点P（-2，3），且与x轴和y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积是（）.A.1/2B.1/4C.4D.85.（2019年·遵义）如图4，直线l1：y=3/2x+6与直线l2：y=-5/2x-2交于点P（-2，3）.不等式3/2x+615/2-2的解集是（）.A.x>-2B.x≥-2C.x<-2D.x≤一2（答案在本期找）。

数形结合思想在“一次函数”解题中的应用摘要：在解题过程中，利用数形结合的思想解答数学问题，往往能够起到事半功倍的效果，在解答与“一次函数”相关的问题的时候，可以画一个直角坐标，先根据题目中给到的点标在直角坐标系中，这样就可以直观的把所有信息都体现在图上，使解题更加方便，不会漏掉重要信息，而且在解题后，还能根据直角坐标系进行验证，用数形结合的思想在“一次函数”解题中是非常实用的。

关键词：数形结合；一次函数；解题应用一次函数在初中数学中是比较基础的章节，这一章节也可说是小学数学与初中数学的过渡，同学们要逐渐适应这样的函数形式，通过数行结合的思想可以很好地解决一次函数相关的问题，数形结合法是解决数学问题的重要方法之一，体现了数量关系与空间形式是相互联系和转化的，将抽象的数式与具体的图形相结合与转化，把数量关系转化为图形或把图形问题转化为数量关系进行研究.在一定的条件下，将数与形进行巧妙转化，以形助数，以数解形，化难为易，有时会起到事半功倍的效果.（1）以形助数：仔细观察图形的形状、大小、位置关系，充分利用线段、面积与周长等数量关系将数转化为形来求解.例1：已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B(0，1），C(-1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。

（1）求∠OAB的度数及直线 AB的解析式：（2）若△OCD 与△BDE 的面积相等，求直线 CE 的解析式；若 y 轴上的一点P 满足∠APE=45°，请直接写出点P的坐标。

解题思路：（1）由A，B两点的坐标知，LAOB为等腰直角三角形，所以ZOAB=45°（2）△OCD与△BDE?的面积相等，等价于△ACE?与△AOB?面积相等，故可求E 点坐标，从而得到CE的解析式；因为E为AB中点，故P为（0.0）时，∠APE=45°在例1当中，运用的就是以形助数的解题方式，在这道题目当中，给出了在直角坐标系的电的位置和图形，从图形中，我们可以清晰地看到OA=OB=1，△AOB为等腰直角三角形，而等腰直角形的除直角以外的两个角的度数是45°，从坐标系中清晰可见，如果题目中没有给出直角坐标系，那么，只依靠想象和计算推演出△AOB为等腰直角三角形就比较困难了。

浅析一次函数中的数形结合发布时间：2022-02-20T09:36:29.173Z 来源：《基础教育参考》2022年2月作者：贾志忠[导读]贾志忠四川天府新区第三中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128 （2022）02-224-01 “数”与“形”是数学中两个最古老、最基本的研究对象，它们反映了事物的两个基本属性。

数从起源开始，就与形紧密地联系在了一起。

如结绳计数、符号计数等。

因此，数与形相伴而生，如影随形。

所谓的数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形之间的相互转换，来解决数学问题的一种思维方式，是一种重要的数学思想。

其本质是数与形的双向结合，既展现形的直观，又体现数的精准。

数形结合的应用分为两种基本类型：（1）借助于数的精确性来阐明形的某些属性（2）借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系。

一次函数的一般式是： ( 为常数， )有数的属性：其图象为直线，又有形的特征。

所以说，一次函数是数形结合的典型模型。

一次函数的图象就是由满足方程的数对确定的点组成的一条直线；直线上的每个点的坐标都满足解析式。

这就是一次函数中数与形的对应关系：坐标即点，点即坐标。

利用这种对应关系，我们来分析其中的数形如何结合。

（一）以数定形确定图象的增减性；，随的增大而增大；，随的增大而减小。

反之亦然。

（2）、确定图象的位置。

具体情况见下表：（二）以形化数（1）两直线位置关系与斜率的对应关系：①；②（2）两直线的交点由两函数解析式组成的方程组确定：以上一次函数的性质，是基本的数形对应关系，可以直接实现数形之间的直接转化。

我们称之为“源于教材”！是数形结合的第一层次。

但是，在一次函数综合题中，单纯的“以数定形”和“以形化数”，往往显得无能为力。

下面以天府新区2018期末考题（改编）为例来说明：如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点A顺时针旋转45°得到。

一次函数数形结合思想的应用看图找交点 1．如图，直线2y x =与y kx b =+相交于点()12P ，，则关于x 的方程2kx b x +=的解是（ ）2．如图，一次函数1y kx =-与3y x =-+的图像都经过点()2,1P ，则不等式13kx x -≥-+的解集为（ ）33A ．1x <-B ．12x -<<C ．1x <-或2x >D ．2x > 4．如图，已知直线1y x =-与24y nx n =+图象交点的横坐标是2-，则关于x 的不等式40nx n x +>->解集是（ ）A ．40x -<<B ．20x -<<C ． 0n x <<D ．4x n -<<5．如图，已知直线y ＝kx +b 与直线y ＝x ﹣1的交点的横坐标为2，根据图象有下列四个结论：①k ＞0；①b ＞0；①方程组100x y kx y b --=⎧⎨-+=⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩；①不等式kx +b ﹣1≥0的解集为x ≤2．其中，正确的结论有（ ）3A ．0x >B ．3x >-C ．6x >-D ．9x >- 7．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则()0kx b x a +-+>的解集是（ ）A ． 1x >-B ． 2x >C ． 1x <-D ． 2x < 8．一次函数y mx n =+与y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①0a >；①0n <；①方程0mx n +=的解是2x =-；①不等式3ax b +>的解集是3x >-；①不等式0<ax b mx n +≤+的解集是3<2x -≤-．其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．直线y kx b =+在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式1kx b +≤的解集是（ ）A ．0x ≤B ．0x ≥C ．2x ≤-D ．2x ≥- 10．如图，直线y=kx+b 交坐标轴于A （﹣2，0），B （0，3）两点，则不等式kx+b ＞0的解集是A ．x ＞3B ．﹣2＜x ＜3C ．x ＜﹣2D ．x ＞﹣2二、填空题11．如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点()30A -,和点()0,2B ，则关于x 的一元一次方程0kx b +=的解为x = ．12．如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()2,0，点()0,3，有下列结论：①图象经过点()13-，；①关于x 的方程 0kx b +=的解为2x =；①关于x 的方22⎩。

一次函数数形结合（人教版）一、单选题(共9道，每道11分)1.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为( )A.y=2B.y=3C.x=2D.x=3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围2.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x<1时，y的取值范围是( )A.-2<y<0B.-4<y<0C.y<-2D.y<-4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围3.已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A.当x＞0时，y＞-2B.当x<1时，y＞0C.当x<0时，-2<y<0D.当x≥1时，y≤0答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围4.如图，若直线与直线的交点坐标是（2，-1），则当时，x的取值范围是( )A.x≤-1B.x≤2C.x≥-1D.x≥2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围5.如图，一次函数y=ax+b的图象经过A，B两点，当直线y=ax+b在第四象限时，自变量x 的取值范围是( )A.0≤x≤2B.x＞2C.0<x<2D.-1<x<2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围6.如图，函数y=2x和y=ax+8的图象相交于点A（m，6），则不等式ax＞2x-8的解集为( )A.x<3B.x＞3C.x<6D.x＞6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围7.如图，直线y=kx+b经过A（3，1），B（-1，-3）两点，则不等式组的解集为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围8.已知，，若对任意一个x，n都取中的较小值，则n的最大值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围9.已知直线，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取，，中的最小值，则y的最大值为( )A.2B.C. D.3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围。

——一次函数中的数学思想数学思想方法是数学中的精髓，是联系数学中各类知识的纽带，是数学知识的重要组成部分．一次函数中包含着丰富的数学思想方法，如数形结合思想、转化思想、分类讨论思想等．现例析如下，供同学们参考．一、数形结合思想直角坐标系的建立实现了数与形紧密结合，使抽象的数形象化、直观化．化数为形，以形思数，是解决数学问题的关键．数形结合思想不仅为分析问题、解决问题提供了有利条件，而且是培养创新意识、开发智力的重要途径．例1（2006年•陕西省）例甲、乙两车从A 地出发，沿同一条高速公路行驶至距A 地400千米的B 地，21l l 、分别表示甲、乙两车行驶路程y （千米）与时间x （时）之间的关系（如图所示）．根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求2l 的函数表达式（不要求写出x 的取值范围）（2）甲、乙两车哪一辆先到达B 地？该车比另一辆车早多长时间到达B 地？析解：（1）设2l 的函数表达式是b x k y +=2，由图像知2l 经过两点（43，0）、（434，400），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b k b k 22419400430解之得75,1002-==b k ．∴2l 的函数表达式是75100-=x y ；（2）乙车先到达B 地；∵75100300-=x ，∴415=x ．设1l 的函数表达式是x k y 1=，∵图像过点（415，300），∴801=k ，即x y 80=．当400=y 时，x 80400=，∴5=x ．∴414195=-（小时）∴乙车比甲车早41小时到达B ． 二、转化思想利用直角坐标系，可以把数量问题转化为图形问题解决；或把求点的坐标转化为求线段的长；求两个函数图象的交点转化为解方程组等问题．例2（2006年•邵阳市）百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，邵阳市在资江河隆重举行了“海洋明珠杯”龙舟赛．如图是甲、乙两支龙舟队在比赛时的路程s （米）与时间t （分钟）之间的函数关系图象，请你根据图象回答下列问题：（1）1.8分钟时，哪支龙舟队处于领先地位；（2）在这次龙舟比赛中，哪支龙舟队先到达终点；（3）比赛开始多少时间后，先到达终点的龙舟队就开始领先．析解：（1）1.8分钟时，甲龙舟队处于领先地位．（2）乙龙舟队先到达终点． （3）设甲龙舟队的解析式为y ＝kx ，则141000k =，2501=k ．∴甲龙舟队的解析式为y ＝250x ．设乙龙舟队 2.2分钟后的解析式b x k y +=2，则⎩⎨⎧+=+=b k b k 228.310002.2400，解得3752=k ，425-=b ， ∴乙龙舟队 2.2分钟后的解析式425375-=x y ．依题意有⎩⎨⎧-==425375250x y x y ，∴⎩⎨⎧==8504.3y x ．∴比赛开始3.4分钟后，乙龙舟队开始领先． 评注：数学中的符号语言、图形语言之间能互相转化．此题体现了从形到数，考查了识图、读图能力，从图象得到更多的与实际相联系的信息内容．三、分类讨论思想分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，不重复、不遗漏是分类的基本原则．例3（2006年•绍兴市）某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图． 请结合图象，回答下列问题：(1)根据图中信息，请你写出一个结论；(2)问前15位同学接水结束共需要几分钟(3)小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗?请说明理由．析解：（1）具有开放性，答案不唯一．锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟后，锅炉内的余水量为72升，2分钟前水流量为每分钟8升等．（2）当0≤x ≤2时，设函数解析式为y=k 1x+b 1, 把x=0,y=96和x=2,y=80代入得，⎩⎨⎧=+=.802,96111b k b 解得⎩⎨⎧=-=.96,811b k ∴y=-8x+96(0≤x ≤2)； 当x>2时，设函数解析式为y=k 2x+b 2, 把x=2,y=80和x=4,y=72代入得，⎩⎨⎧=+=+.724,8022222b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.88,422b k ∴y=-4x+88(x>2)． 因为前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66（升），所以66=-4x+88, 解得x=5.5． 答：前15位同学接完水需要5.5分钟.(3)①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷2=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符．②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t 分钟开始接水． 当0<t ≤2时，则8（2-t ）+4[3-(2-t)]=8×2, 16-8t+4+4t=16, ∴t=1(分) ∴（2-t ）+[3-(2-t)]=3(分),符合．当t>2时，则8×2÷4=4(分)，即8位同学接完水，需4分钟，与与接水时间恰好3分钟不符．所以小敏说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟．。