一次函数的数形结合思想

一次函数中的数形结合思想在众多的函数中，一次函数最为简单.它的性质和应用是初中数学的重要内容，也是中考的重点考查内容.形少数，难入微；数缺形，少直观.在一次函数中数形结合思想的应用广泛且灵活，下面试举几例希望能对同学们的学习有所帮助.一、面积型根据已知条件的特点，画出图形，利用图形的直观性求解问题.例1.求直线y=3x-2和直线y=2x+3与y轴所围成的图形的面积.【思路分析】画出两直线的图像，如图1，得到满足条件的△ABC，再根据图形的特点求其面积.所以交点C的坐标为（5，13）因为直线y=3x-2和直线y=2x+3分别与y轴交于点A（0，-2）和B（0，3），所以AB=︱3-（-2）︱=5.又CD=5,所以 .【评注】解题时，若借助数形结合思想，把问题直观化、形象化，则有利于问题的解决.例2.一条直线与y轴交点到原点的距离为4，且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线的解析式.【思路分析】欲求直线的解析式，只需两组对应值，由已知直线与y轴交点到原点的距离为4，可以确定一组对应值，另一组对应值则需利用三角形面积的计算方法求出直线与x轴交点的坐标而求得.【解】设解析式为y=kx+b（k≠0），直线交y轴于点A，交x轴于点B.因为直线与y轴交点到原点的距离为4，所以A（0，4）或(0,-4).由，可得OB=2.所以B(-2,0)或(2,0).由于未指定直线的位置，所以应考虑所有的情况，如图所示：当直线过A(0,4),B(-2,0)时，解析式为y=2x+4；当直线过A（0，4），B（2，0）时，解析式为y=-2x+4；当直线过A(0,-4),B(2,0)时，解析式为y=2x-4；当直线过A（0，-4），B（-2，0）时，解析式为y=-2x-4；综上所述，所求解析式为：y=2x+4或y=-2x+4或y=2x-4或y=-2x-4【评注】对距离有要求时，需画草图分析，可能出现的各种情况，考虑周全，防止漏解.二、不等式型例3.作函数y=x+3的图象，如图所示，回答下列问题：（1）x取何值时，x+3＞0；（2）x取何值时，x+3＜0；（3）x取何值时，x+3＞1；【思路分析】要回答上面的三个问题，我们可以从函数图象的定义上去理性的思考：x+3＞0，可以看作是一次函数y=x+3中y＞0，从图象上看，可以看作是纵坐标大于0的所有点的集合，即y=x+3的图象在x轴上方的部分.此时，要满足x+3＞0，必须满足x＞3.其他两个问题的研究方法相同.【解】观察图象知：直线y=x+3与x轴的交点坐标为（-3，0），可知x=-3时，y=0.（1）当x＞-3时，x+3＞0；（2）当x＜-3时，x+3＜0；（3）当x＞-2时，x+3＞1.【评注】利用函数图象解一元一次不等式的方法是：作出函数图象，寻求图象与x轴的交点，求得一元一次不等式的解集.这是利用函数图象解一元一次不等式的“三部曲”.例4.一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-4≤x≤-2相应函数值的范围是4≤y≤6求此函数的解析式.【思路分析】一次函数y=kx+b（k≠0，b为常数）的性质理解是一个难点，我们应该把图象和k值正负结合起来理解.由于一次函数的图象是直线，故当-4≤x≤-2时，图象是线段，由一次函数的增减性，函数的最值一定对应x的最值，即y的最大值6，一定对应x的最大值-2或最小值-4，这要视k的符号而定.【解】对k的值分两种情况进行讨论；（1）当k＞0时，则y的值随x的值的增大而增大.因此，一定是当x=﹣4时，y=4；当x=﹣2时，y=6故得：y=x+8（2）当k＜0时，y随x的增大而减少，一定是当x=﹣4时，y=6；x=﹣2时，y=4，于是得y=﹣x+2.综合上述两种情况，符合条件的解析式为：y=x+8或y﹣x+2【评注】这是一道分类讨论题，由k的符号充分利用了一次函数的性质，构题较妙.三．实际应用型我们在分析和解决实际问题时首先应根据题目给出的条件写出函数关系式，然后再根据题意解决具体问题.在一些实际问题中经常是已知自变量的值，求相应的函数值；或根据函数值，求出与之对应的自变量的值.例5 某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元.若一个月总通话时间为x分钟，甲、乙两种业务的费用分别为y1元和y2元.（1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中画出y1、y2的图像；（3）根据一个月的通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？【思路点拨】“选择”是现实生活中经常遇到的问题，选择经常与经济效益相联系，.借助一次函数的图像，运用图像使问题得以解决.（1）由题意很容易得出y1=0.3x+15（x≥0）；y2=0.6x（x≥0）；（2）y1、y2在同一坐标系中的图像如下图所示；（3）由图像可知：当一个月通话时间为50分钟时，两种业务的费用相同；当一个月通话时间少于50分钟时，乙种业务更优惠；当一个月通话时间多于50分钟时，甲种业务更优惠，【评注】：求实际应用型问题的函数关系式，一般要写出自变量的取值范围，这个范围要根据实际情况来考虑.。

数形结合思想在一次函数中的运用作者：张治国来源：《语数外学习·教学参考》2012年第11期函数是初中数学代数部分的重点，也是难点。

函数最本质的内容是性质和图象，核心思想是“数形结合”。

深刻理解和熟练运用数形结合思想是学好函数的关键。

著名数学家华罗庚先生曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，数形分离万事休”。

由此可见数形结合在数学学习中的重要性。

一次函数反映的是数量关系与变化规律，是最基本的函数，学好一次函数是学好函数的基础。

对于学生而言，一次函数学好了，真正做到数形结合，再学习后面的反比例函数和二次函数便会容易得多。

本文结合教学实践，对一次函数中“数形结合”的思想进行探讨，以指导学生更好地理解函数的精髓，掌握解题方法。

一、从数到形，以形助数例1一个沙漏中有100g沙子，沙子以每秒钟10g的速度漏出。

沙漏中余下的沙子y（单位g）与沙漏时间x（单位s）之间的函数图象是（）。

解析：y为余下的沙子，随着沙漏时间的增长，剩余的沙子y必然减少，因此，该函数一定是减函数，由此可以排除A和C选项。

沙子最多时候为20g，漏完之后为0g，因此y的区间一定是0～20，由此可以排除D选项，因此本题正确答案应为B。

二、从形到数，量化入微例2有一种玩具小汽车的车速可以在1分钟之内加速到10m/s，之后以每秒5米的速度提高车速，最高车速为每秒40m，达到40秒之后便保持40m/s的速度行驶。

假设时间为x（单位：s），车速为y（单位：m），则y与x的函数图象如下图所示。

（1）根据图象，写出当1≤x≤7时，y与x的函数关系式。

（2）计算车速要想达到35m/s时，需要多长时间。

（3）求出在多长时间之后，小汽车的速度就不再提高。

写出小汽车车速达到40m/s之后，y与x的函数关系式。

解析：（1）根据题意可知，此玩具汽车的速度分为三个部分，首先是第1秒内提高到10 m/s，之后以5m/s的速度提速，在提到40m/s的速度后便匀速行驶。

数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题进行图形化的表示和解释，从而提供直观的解决问题的思路和方法。

在初中数学中，数形结合思想的应用主要包括以下几个方面。

一、图形与几何问题的解决数形结合思想在解决几何问题时起到了至关重要的作用。

通过将几何问题转化为图形问题，可以直观地理解问题的本质，并通过观察和推理得到解决问题的方法。

当求解一个三角形的面积时，可以通过将三角形划分成若干个简单的图形，计算它们的面积然后相加来得到整个三角形的面积。

这种数形结合思想的应用，帮助学生理解并解决了许多几何问题。

二、函数与图像的分析在初中数学中，我们接触到的函数种类较为简单，但是通过对函数图像的观察，可以对函数进行初步的分析和判断。

通过观察一元一次函数（y = kx + b）的图像，可以看出当 k>0 时函数是递增的，而当 k<0 时函数是递减的。

通过对图像的观察和比较，可以得到一些函数的性质和规律。

图形化的表示和解释使得函数的学习更加直观和有趣。

三、统计与数据分析数形结合思想在统计和数据分析中也有重要的应用。

在分析一个统计数据时，可以通过绘制柱状图、折线图等图形来直观地展示和比较数据的特征。

通过观察图形，我们可以得出一些有关数据的结论和推断。

图形化的表达也使得数据的理解和分析更加简单和直观。

四、证明与推理在初中数学中，我们也经常需要进行一些证明和推理的工作。

数形结合思想通过图形的表示和解释，可以帮助学生更好地理解和掌握证明和推理的方法。

在证明两个三角形全等时，可以通过绘制它们的图形表示，并观察图形的对应部分是否相等来进行验证。

这种数形结合的思考方式，帮助学生更好地理解和运用证明和推理的方法。

数形结合思想在初中数学中的应用十分广泛。

通过将抽象的概念和问题进行图形化的表示和解释，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力和思维方式。

数形结合思想在初中数学的教学中起到了重要的作用，同时也培养了学生的创造力和想象力，使学习数学变得更加有趣和实用。

一次函数的解题技巧
1、待定系数法：用于确定一次函数的解析式，是方程思想的具体应用；
2、由函数解析式画其图像的一般步骤：列表、描点、连线；
3、一次函数解题常用公式：
求函数图像的k值：（y1-y2）/（x1-x2）
求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2等等。

扩展资料
求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
求任意线段的长：√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2
一次函数的解题方法
在解决一次函数相关问题过程中，会运用到许多重要的数学思想方法：
1、数形结合思想：根据数和形之间的对应关系，将数字和图形结合起来以解决数学问题，兼备了直观性和严密性的特征。

2、方程思想：方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据已知条件或所给数量关系列出方程或方程组，通过解方程或对方程进行研究，从而解决问题。

3、转化和化归的.思想：转化和化归的核心是把没做过的题转化为经典的题型，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，从而使问题顺利得解。

4、分类讨论思想：当面临的数学问题不能统一地进行解决时，可分情况来讨论，最后再组合到一起。

专题48 中考数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。

实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。

（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。

利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。

（3）在函数中的应用。

借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。

（4）在几何中的应用。

对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。

3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【答案】B【分析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，根据tan22.5°=ACCD 计算即可．【解析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，∴tan22.5°=AC CD =11+√2=√2−1 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B．C．D．【答案】C【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2【例题2】（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【答案】4【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】见解析。

新课改背景下初中数学教学中数形结合思想的应用随着新课改的实施，初中数学教学中数形结合思想的应用越来越得到重视。

数形结合是指通过图形、图像等形式，将数学知识和现实生活相结合，提高学生的数学学习兴趣和能力。

下面我们来探讨一下在初中数学教学中数形结合思想的应用。

数形结合思想是一种将数学与实际相结合的方法，可以提高学生的数学学习兴趣和能力，培养他们的创新思维和动手能力。

具体表现在以下几个方面：1. 能够激发学生的学习兴趣和动手创新能力。

数学知识往往比较抽象，如果只是简单地通过书本来学习，一些学生可能会觉得枯燥乏味。

而通过数形结合的方式，将数学知识与现实生活相结合，学生就会更加感兴趣，从而更加专注于学习。

2. 能够提高学生的数学思维和实践能力。

数形结合不仅可以让学生知道各种数学知识的实际应用，而且可以让学生在实际应用中加强数学思维习惯，比如通过画图解决问题，培养学生的逻辑思维能力。

3. 能够促进学生整体思维的发展。

数形结合思想不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，还能够建立学生的数学思维模式，让学生在学习数学的同时，培养应用数学知识的能力。

这有助于学生在日后的学习中更好地理解和应用数学知识。

1. 在几何教学中的应用在几何教学中，通过数形结合可以使学生更好地理解和掌握几何知识，如角、线段、面积等概念。

例如，在学习平行四边形时，可以通过画图的方式更加生动形象地展示其性质和特点；在学习勾股定理时，可以用三角形的图形来展示勾股定理的表达方式，从而使学生更加深刻地理解勾股定理。

在代数教学中，通过数形结合可以使学生更好地理解代数知识的概念和性质，以及其在实际生活中的应用。

例如，在学习平均数时，可以通过画图的方式来展示平均数的含义和计算方法；在学习一次函数时，可以通过折线图或函数图像的方式来展示函数的性质和变化规律。

总之，数形结合思想是一种非常有用的教学方法，可以使学生更好地理解和掌握数学知识，提高学生的数学学习兴趣和能力。

一次函数中的数学思想方法一、待定系数法先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫待定系数法。

其中的未知系数叫待定系数。

待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1）写出函数解析式的一般形式（2）把已知条件代入解析式中，得到关于待定系数的方程（组）（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而求出函数解析式1.（1）若点A（-1，1）在函数y=kx的图象上则k= .（2）在一次函数y=kx-3中，当x=3时y=6则k= .（3）一次函数y=3x-b过A（-2，1）则b= ,。

2.（1）已知一次函数的图象经过点（1，-1）和点（-1，2）。

求这个函数的解析式。

3.（2）已知一次函数y=kx+b中，当x=1时，y=3，当x=-1时，y=7。

求这个函数的解析式。

且求当x=3时,y的值。

4.1)一次函数的图象经过点(2,1)和(1,5)，则这个一次函数( )A.y=4x+9B. y=4x-9C. y=-4x+9D. y=-4x-9(2)已知点P的横坐标与纵坐标之和为1，且这点在直线y=x+3上，则该点是( )A.(-7,8)B. (-5,6)C. (-4,5)D. (-1,2)3)若点A(-4,0)、B(0,5)、C(m,-5)在同一条直线上，则m的值是( )A.8B.4C.-6D.-8二、函数模型思想2.某报刊销售亭从报社订购晚报的价格是0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸可以以每份0.2元的价格退回报社，若每月按30天计算，有20天每天可卖出100份报纸，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，报亭每天从报社订购多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？3、声音在空气中传播速度y（m/s）（简称音速）是气温x（0C）的一次函数，下表列出一组（2）当气温x=22（0C）时，某人看到烟花燃放5s后才听到声响，那么此人与燃花所在地相距多远？一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（）（二）由形到数某厂今年前五个月生产某种产品的总产量Q （件）与时间t （月）的函数图象如图1所示，则对这种产品来说，下列说法正确的是（ ）A ．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少B ．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3月持平C ．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月停止生产0D ．1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产（三）数形结合1、在同一坐标系中画出一次函数y 1＝－4x ＋8,y 2＝－2x ＋6的图像，并根据图像回答下列问题：（1）直线y 1＝－4x ＋8,y 2＝－2x ＋6与 y 轴分别交于点A 、B ，请写出A 、B 两点的坐标。

例析数形结合思想在一次函数中的应用例析数形结合思想在一次函数中的应用宁波市曙光中学陈怡颖数与形,是两个最古老,最基本的研究对象,数是形的抽象概括,形是数的直观表现。

在数学中我们把数与形结合起来研究数学问题的方法叫做数形结合。

数形结合,就是把问题的数量关系转化为图形的性质,把图形性质转化为数量关系,从而使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化。

它主要有两个方面:以“数”解“形”,以“形”助“数”。

一次函数是初中数学的一个重点,数形结合思想在一次函数中的应用也是中考命题的一个热点。

本文结合教学实践,谈谈数形结合思想在一次函数解题中的几个应用。

以“数”解“形”??把复杂的过程简单化函数图象形象地展示了函数的性质,为我们研究数量关系提供了“形”的基础,因此在这类一次函数的问题中,我们应抓住特殊的点,及其所表示的实际意义,从而把复杂的过程简单化,把几何的问题代数化。

例1,如图所示,在x轴上有五个点,它们的横坐标依次为1,2,3,4,5.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线yax,y(a+1)x,y(a+2)x相交,其中a>0.则图中阴影部分的面积是()A.12.5B.25C.12.5aD.25a分析:此题初看比较复杂,从几何的角度解题,首先想到的是平移,但图中阴影部分的梯形和空白部分的梯形是不全等的,无法通过平移转移到同一个三角形中;如果把图中8条直线15个交点坐标都求出来,计算量太大,不可行。

但仔细分析可以发现,这些梯形的顶点都在一次函数图象上,因此它们满足函数解析式,而这三个一次函数解析式又是有联系的,以最右边的阴影部分梯形为例,虽然它与下面的空白部分梯形并不全等,但它们的上底都是4,下底都是5,可由当自变量分别为4和5所对应的函数值确定,梯形的高为1,因此它们的面积是相等的。

其余阴影部分的面积亦同理可得。

因此这里阴影部分的面积就是,直线yax,y(a+1)x,x5所围成的三角形面积。

,故选A。

解此题的关键在于,把不规则的图形转化为规则的图形,光从“形”的角度无法从平移实现,那么就要借助“数”,通过一次函数图象上的点满足解析式,以及点的横纵坐标所表示的实际意义解出梯形的底和高。

数形结合思想在初中函数教学中的应用——以人教版数学八年级下册“一次函数”教学为例覃仕山（南宁市五一路学校）摘要：运用数形结合思想实施初中数学教学，有利于培养学生的直观想象、数学建模和数学抽象能力。

以“一次函数”教学为例，探讨数形结合思想在教学中的应用路径如下：借助数形结合，分析数量关系；感知坐标模型，实现以数定形；分析模型信息，实现以形探数等。

构建初中函数教学中数与形之间的转化思维，有效提升学生数学实际问题的解决能力。

关键词：初中数学；函数教学；一次函数；数形结合；以数定形；以形探数中图分类号：G63文献标识码：A文章编号：0450-9889（2024）01-0058-04数与形可直观反映同一问题的两方面属性。

“数”指的是运用代数的知识解决问题，“形”指的是利用图形的性质研究数量关系，数形结合则是指利用数与形之间的联动、转化快速解决问题的一种思想。

图形与数字之间存在着紧密的对应关系，以形助数可帮助学生深刻理解抽象的公式概念，以数解形则可促进学生对实际问题的有效解决。

数形结合思想构建起数学逻辑与外部世界的联系桥梁，使其呈现出可视化的应用状态，容易为学生理解与接受。

数学教学中数与形的紧密结合和灵活运用，能够充分培养学生的直观想象、数学建模和数学抽象能力，发展学生的数学核心素养。

下面，笔者以人教版数学八年级下册第十九章“一次函数”教学为例，从教学实际出发，通过分析数量关系、建立坐标模型及借助函数图像解决实际问题三个教学步骤，阐释数形结合思想在初中函数教学中的应用。

一、借助数形结合，分析数量关系函数中数与形的转化，本质上源于数值的规律性变化。

一次函数作为发生在集合之间的一种严格的对应关系，呈现出独有的变化规律。

用直观的图形帮助学生理解抽象的集合关系与变化规律是一种较好的学习方式［1］。

一次函数中数形结合的初步应用，则落实在一次函数的函数与自变量之间，即通过函数模型的构建，进行两个变量间的数量关系分析，以此探寻函数的基本性质。

试谈“一次函数”中的数学思想辽宁省朝阳市喀左县平房子中学常文阁数学思想是数学知识的精髓，它在学习和运用数学知识的过程中，起指导作用。

基本知识点是数学课上首先要掌握的，但更重要的是解决问题的思路和方法，思路和方法的获取要靠自己一步一步地去体验和理解，更重要的是解决问题的过程，在过程中探索、获取思路和方法。

每年的中考数学题都着重考查了同学们对数学思想方法的理解和掌握。

因此，同学们在数学学习中，对重要的数学思想方法的学习要加强，而不是消弱。

下面谈一谈“一次函数”中的数学思想。

一、函数的思想：就是根据题中条件学会用函数方法解决实际问题。

“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映客观世界的动态，它们的相互制约性，函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型。

经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想和一次函数在我们现实生活的广泛应用，培养同学们“数学化”的能力。

二、方程思想：就是从分析问题的数量关系入手，适当设出未知数，通过等量关系列出方程或方程组来解决问题的一种数学思想方法。

主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。

函数思想与方程思想的联系十分密切。

如解方程就是求函数y=f(x)当函数值为零时自变量x的值；用函数图象的“交轨”方法，可以求出或讨论方程f(x)=g(x)的根或“函数组”化的方程组，等等。

这种联系提供了解决问题过程中转化的依据。

三、转化思想：就是根据知识间的内在联系，把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，恰当地把题目中的某些关系从一种形式转化为另一种形式，问题就能比较顺利地得到解决，这就是转化思想。

领悟了转化思想，能够帮助同学们打开思路，把一个较复杂或陌生的问题转化成较简单或熟悉的问题。

例如，一次函数的图、表、式三种表示方法之间的相互转化，通过方程与函数的联系解决问题，求两条直线交点的问题转化为解二元一次方程组的解。

使学生学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般问题的方法，培养学生把文字语言转化为数学符号的能力。

数形结合百般好，隔列分家万事休“数形结合百般好，隔列分家万事休”这是我国著名数学家华罗庚曾经说过的一句话，我们在学习一次函数时结合数形结合思想能够使问题简单化，达到事半功倍.一、一次函数与一元一次方程例1如图1所示是一次函数y=kx+3的图像，则一元一次方程kx+3=0的解为 .分析：一次函数y=kx+3与x轴相交时函数值y为0，从图像观察函数值y为0时自变量x=2，此时x的值是一元一次方程kx+3=0的解。

解：一元一次方程kx+3=0的解x=2。

例2 如果一元一次方程2x-6=0的解为x=3，则一次函数y=2x-6与x轴的交点坐标是。

分析：一次函数y=2x-6与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程2x-6=0的x的值.解：一次函数y=2x-6与x轴的交点坐标是（3，0）。

评注：一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）中，函数的值y等于0时自变量x的值就是一元一次方程kx+•b=0（k≠0）的解；反过来直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标就是函数的值y等于0时自变量x的值。

二、一次函数与一元一次不等式例3 一次函数y=kx+b （k,b 是常数，k≠0 ）的图象如图2所示，则不等式kx+b>0 的解集是（）（A）x>-2 ．（B）x>0 ．（C）x<-2 ．（D）x<0 ．分析：如果把点（-2，0），（0，2）代入y=kx+b 中求出k和b的值，然后再求不等式kx+b>0 的解集这样也可以得到答案，但是过程太复杂。

如果把解不等式kx+b>0 看作一次函数的函数值大于0时，求自变量相应的取值范围，问题就简单化了.解：结合图形我们可以看出一次函数的函数值大于0时，x＞-2.故选A。

评注:函数的图像在x轴上方的点所对应的在变量x的值，即为不等式kx+b＞0的解集，函数的图像在x轴上方的点所对应的在变量x的值，即为不等式kx+b＜0的解集.三、一次函数与二元一次方程（组）例4如图3所示的是函数y=kx+b 与y=mx+n 的图象，求方程组的解关于原点对称的点的坐标是分析：二元一次方程组的解可以看成函数y=kx+b 与y=mx+n 的图象的交点坐标.解：观察函数的图像可以得到两函数的交点坐标为（3，4），所以方程组的解为则它关于原点对称点的坐标为（-3，-4）。

一次函数学科素养·思想方法一、数形结合思想【思想解读】化数为形,以形思数,是解决数学问题的关键.数形结合思想不仅为分析问题、解决问题提供了有利条件，而且是培养创新意识、开发智力的重要途径。

【应用链接】直角坐标系的建立实现了数与形紧密结合,使抽象的数形象化、直观化。

在一次函数中体现尤为明显．【典例1】（2０１7·宝丰一模）某单位举行“健康人生”徒步走活动，某人从起点体育村沿建设路到市生态园，再沿原路返回,设此人离开起点的路程s（千米)与走步时间t(小时）之间的函数关系如图所示,其中从起点到市生态园的平均速度是4千米/小时，用2小时，根据图象提供的信息,解答下列问题.(1)求图中的a值.（2)若在距离起点5千米处有一个地点Ｃ,此人从第一次经过点C到第二次经过点C，所用时间为1。

7５小时.①求AB所在直线的函数解析式;②请你直接回答，此人走完全程所用的时间。

【思路点拨】（1)根据路程=速度×时间即可求出a值．(２)①根据速度=路程÷时间求出此人返回时的速度,再根据路程＝8－返回时的速度×时间即可得出ＡB所在直线的函数解析式；②令①中的函数解析式中s=0,求出t值即可.【自主解答】(１)a=4×2=8。

（2)①此人返回的速度为（８—５)÷=3（千米/小时）,AＢ所在直线的函数解析式为ｓ=8—3（t—2)=—3t+14。

②当s=-3ｔ+14=０时,t=。

答：此人走完全程所用的时间为小时.【变式训练】甲、乙两车从A地出发,沿同一条高速公路行驶至距Ａ地400千米的B地，l1， l２分别表示甲、乙两车行驶路程y(千米)与时间x(小时)之间的关系(如图所示).根据图象提供的信息,解答下列问题:（１）求ｌ2的函数解析式（不要求写出x的取值范围)。

（2)甲、乙两车哪一辆先到达Ｂ地?该车比另一辆车早多长时间到达Ｂ地?【解析】（1)设ｌ2的函数解析式是ｙ=k2x+b,由图象知l2经过两点，,则解之得ｋ２=10０,ｂ＝-７５。

浅析一次函数中的数形结合发布时间：2022-02-20T09:36:29.173Z 来源：《基础教育参考》2022年2月作者：贾志忠[导读]贾志忠四川天府新区第三中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128 （2022）02-224-01 “数”与“形”是数学中两个最古老、最基本的研究对象，它们反映了事物的两个基本属性。

数从起源开始，就与形紧密地联系在了一起。

如结绳计数、符号计数等。

因此，数与形相伴而生，如影随形。

所谓的数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形之间的相互转换，来解决数学问题的一种思维方式，是一种重要的数学思想。

其本质是数与形的双向结合，既展现形的直观，又体现数的精准。

数形结合的应用分为两种基本类型：（1）借助于数的精确性来阐明形的某些属性（2）借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系。

一次函数的一般式是： ( 为常数， )有数的属性：其图象为直线，又有形的特征。

所以说，一次函数是数形结合的典型模型。

一次函数的图象就是由满足方程的数对确定的点组成的一条直线；直线上的每个点的坐标都满足解析式。

这就是一次函数中数与形的对应关系：坐标即点，点即坐标。

利用这种对应关系，我们来分析其中的数形如何结合。

（一）以数定形确定图象的增减性；，随的增大而增大；，随的增大而减小。

反之亦然。

（2）、确定图象的位置。

具体情况见下表：（二）以形化数（1）两直线位置关系与斜率的对应关系：①；②（2）两直线的交点由两函数解析式组成的方程组确定：以上一次函数的性质，是基本的数形对应关系，可以直接实现数形之间的直接转化。

我们称之为“源于教材”！是数形结合的第一层次。

但是，在一次函数综合题中，单纯的“以数定形”和“以形化数”，往往显得无能为力。

下面以天府新区2018期末考题（改编）为例来说明：如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点A顺时针旋转45°得到。