中考一次函数与不等式数形结合专题讲义(附答案)

人教版初二下册数学第19章《一次函数》讲义第21讲一次函数与方程不等式的应用直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。

求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，失掉方程b 0kx +=，解方程得x b k=-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

解一元一次方程0ax b +=⇐⇒事先0y =，求一次函数y ax b =+的x 值 〔数的角度〕0ax b +=⇐⇒一次函数y ax b =+图象与x 轴的交点坐标 〔形的角度〕任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的方式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大〔小〕于0时，求自变量相应的取值范围。

解一元一次不等式0kx b +>⇐⇒即一次函数y kx b =+在x 轴上方的局部图象所对应的x 值解一元一次不等式0kx b +<⇐⇒即一次函数y kx b =+在x 轴下方的局部图象所对应的x 值〔1〕、以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bc x b a +-的图象相反。

〔2〕、二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b c x b a +-和y=2222b c x b a +-的图象交点。

〔3〕、一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）自身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有有数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有有数个。

第二局部 考点精讲精练考点1、一元一次方程与一次函数的关系例1、假定方程x-3=0的解也是直线y=〔4k+1〕x －15与x 轴的交点的横坐标，那么k 的值为〔 〕A 、－1B 、0C 、1D 、±1例2、方程kx+b=0的解是x=3，那么函数y=kx+b 的图象能够是〔 〕A 、B 、C 、D 、例3、一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，那么a b +=______． 例4、画出函数y=2x+1的图象，应用图象求：〔1〕方程2x+1=0的根；〔2〕不等式2x+1≥0的解；〔3〕求图象与坐标轴的两个交点之间的距离。

第3章 一次函数与一次不等式【知识衔接】————初中知识回顾————1、形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。

（1）它的图象是一条斜率为k ，过点（0，b ）的直线。

（2）k>0⇔是增函数；k<0⇔是减函数。

2、不等式ax>b 的解的情况：（1）当a>0时，ab x >； （2）当a<0时，a b x <； （3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。

类似地，请同学们自行分析不等式ax <b 的解的情况。

————高中知识链接————一次函数y =kx +b （k ≠0，b ≠0）的图象所经过的象限有四种情况：①当k >0，b >0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限；②当k >0，b <0，函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限；③当k <0，b >0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限；④当k <0，b <0，函数y =kx +b 的图象经过第二、三、四象限．一次函数y =kx +b (k ≠0)中，|k |越大，直线y =kx +b 越靠近y 轴，即直线与x 轴正半轴的夹角越大；|k |越小，直线y =kx +b 越靠近x 轴，即直线与x 轴的夹角越小．学#科网【经典题型】初中经典题型1．一次函数y ＝(m －2)x ＋3的图象如图所示，则m 的取值范围是（ ）A．m＜2 B．0＜m＜2 C．m＜0 D．m＞2【答案】A【解析】如图所示，一次函数y=（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，∴m﹣2＜0，解得m＜2，故选A．2．如图，把Rt∆ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将∆ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．82【答案】C3．已知点A是直线y=x+1上一点，其横坐标为﹣，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为_____．【答案】(,)【解析】分析：利用待定系数法求出点A坐标，再利用轴对称的性质求出点B坐标即可；详解：由题意A（-，），∵A、B关于y轴对称，∴B（，），故答案为（，）．4．星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是__千米．【答案】1．5．【解析】分析：首先设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b，然后再把（40，2）（60，0）代入可得关于k、b的方程组，解出k、b的值，进而可得函数解析式，再把t=45代入即可．点睛：本题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解析式．5．一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出不等式组的解集，再在数轴上表示. 详解：解不等式组得－3＜x ≤2，在数轴上表示为：故选D .点睛：解一元一次不等式组，通常采用“分开解，集中定”的方法，即单独的解每一个不等式，而后集中找它们的解的“公共部分”．在找“公共部分”的过程中，可借助数轴或口诀两种方法确定不等式组的解集．其中确定不等组解集的方法为：“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小是无解”．在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等号取实心点，不含等号取空心圆圈.6．若实数3是不等式2x –a –2<0的一个解，则a 可取的最小正整数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】解：根据题意，x =3是不等式的一个解，∴将x =3代入不等式，得：6﹣a ﹣2＜0，解得：a ＞4，则a 可取的最小正整数为5，故选D ．学-科网点睛：本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握不等式解得定义及解不等式的能力是解题的关键．高中经典题型1．若函数1y ax =+在[]1,2上的最大值与最小值之差为2，则实数a =（ ）A ． 2B ． 2-C ． 2或2-D ． 0【答案】C【解析】1y ax =+，若0a =，则y 的最大与最小之差为0（舍），若0a >，则()()max 221f x f a ==+，()()min 11f x f a ==+，则()2112a a a +-+==（符合），若0a <，则()()max 11f x f a ==+， ()()min 221f x f a ==+，则()1212a a a +-+=-=，则2a =-（符合），故选C ． 2．若()()0f x ax b a =+>,且()()41ff x x =+，则()3f =__________． 【答案】193【解析】由()()()241f f x af x b a x ab b x =+=++=+， ()24,10a ab b a ∴=+=>，解得()112,,233a b f x x ==∴=+，于是()1933f =，故答案为193． 3．如图，已知函数f(x)的图象是两条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式f(x)－f(－x)>－1的解集是______________．【答案】 (－1，－ 12)∪[0,1)4．已知函数()()()110f x ax x a a =+->，且()f x 在[]0,1上的最小值为()g a ，求()g a 的最大值． 【答案】1【解析】试题分析：（1）由题意知()11f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，分三种情况讨论，即可求解函数的最小值，得出()g a 的表达式，即可求解()g a 的最大值． 试题解析：由题意知()11f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（1）当a 1>时， 1a 0a ->，此时()f x 在[]0,1上为增函数，∴()()1g a f 0a ==；（2）当0a 1<<时， 1a 0a-<，此时()f x 在[]0,1上为减函数，∴()()g a f 1a == ；（3）当a 1=时， ()f x 1=，此时()g a 1=，∴(),01,g a { 1,1,aa a a <<=≥其在()0,1上为增函数，在[)1,∞上是减函数，又当a 1=时，有1a 1a==，∴当a 1=时， ()g a 取得最大值1． 点睛:本题考查了函数最值问题及其应用，其中解答中涉及到一次函数的单调性的应用，以及分段函数的性质，同时考查了分类讨论的思想方法，本题的解答中注意1a =的情况，容易导致错解，试题有一定的基础性，属于基础题．5．(1)求函数y ＝ax ＋1(a≠0)在[0，2]上的最值．(2)若函数y ＝ax ＋1在[0，2]上的最大值与最小值之差为2．求a 的值．【答案】(1)详见解析;(2) a ＝±1．6．某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．学-科网（1)求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍。

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】一次函数与一元一次不等式（基础）责编：杜少波【学习目标】1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．【要点梳理】【：393614 一次函数与一元一次不等式，知识要点】要点一、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点二、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.要点三、如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．【典型例题】类型一、一次函数与一元一次不等式1、如图，直线y kx b =+交坐标轴于A （－3，0）、B （0，5）两点，则不等式kx b--＜0的解集为（ ）A ．x ＞－3B ．x ＜－3C ．x ＞3D ．x ＜3【思路点拨】kx b --＜0即kx b +＞0，图象在x 轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式kx b +＞0的解集.【答案】A ；【解析】观察图象可知，当x ＞－3时，直线y kx b =+落在x 轴的上方，即不等式kx b +＞0的解集为x ＞－3，∵kx b --＜0∴kx b +＞0，∴kx b --＜0解集为x ＞－3．【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．举一反三：【：393614 一次函数与一元一次不等式，例2】【变式】如图，直线y kx b =+与坐标轴的两个交点分别为A （2，0）和B （0，－3），则不等式kx b +＋3≥0的解集是（ ）A ．x ≥0B ．x ≤0C ．x ≥2D ．x ≤2【答案】A ；提示：从图象上知，直线y kx b =+的函数值y 随x 的增大而增大，与y 轴的交点为B （0，－3），即当x ＝0时，y ＝－3，所以当x ≥0时，函数值kx b +≥－3．2、直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为（ ）．A ．1->xB ．1-<xC ．2-<xD ．无法确定y=k 2-1-2y x y=k 1x+bO【答案】B ；【解析】从图象上看x k b x k 21>+的解，就是找到1l 在2l 的上方的部分图象，看这部分图象自变量的取值范围.当1-<x 时，x k b x k 21>+，故选B.【总结升华】本题考察了用数形结合的方法求解不等式的大小关系，解题的关键是找出表示两条直线的交点的横坐标，再根据在上方的图象表示的函数值大，下方的图象表示的函数值小来解题.举一反三：【变式】直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式1k x b +＜2k x c +的解集为（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞－2D ．x ＜－2【答案】B ；提示：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的交点是（1，－2），根据图象得到x ＜1时不等式1k x b +＜2k x c +成立．3、（2016春•瑞昌市期中）如图，根据图中信息解答下列问题：（1）关于x 的不等式ax +b ＞0的解集是 ．（2）关于x 的不等式mx +n ＜1的解集是 ．（3）当x 为何值时，y 1≤y 2？（4）当x 为何值时，0＜y 2＜y 1？【思路点拨】紧密结合图象，根据直线与坐标轴的交点来确定不等式的解集，从而判断函数值的大小关系.【答案与解析】解：（1）∵直线y 2=ax +b 与x 轴的交点是（4，0），∴当x ＜4时，y 2＞0，即不等式ax +b ＞0的解集是x ＜4；故答案是：x＜4；（2）∵直线y1=mx+n与y轴的交点是（0，1），∴当x＜0时，y1＜1，即不等式mx+n＜1的解集是x＜0；．故答案是：x＜0；（3）由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是（2，18），当函数y1的图象在y2的下面时，有x≤2，所以当x≤2时，y1≤y2；（4）如图所示，当2＜x＜4时，0＜y2＜y1．【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．举一反三：【变式】（2015春•东城区期末）已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．【答案】解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5；（2）∵若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，∴．解得，∴点C（3，2）；（3）根据图象可得x＞3．类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题4、（2015•新疆）某超市预购进A、B两种品牌的T恤共200件，已知两种T恤的进价如表所示，设购进A种T恤x件，且所购进的两种T恤全部卖出，获得的总利润为W元．品牌进价/（元/件）售价/（元/件）A 50 80B 40 65（1）求W关于x的函数关系式；（2）如果购进两种T恤的总费用不超过9500元，那么超市如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．（提示：利润=售价﹣进价）【思路点拨】（1）由总利润=A品牌T恤的利润+B品牌T恤的利润就可以求出w关于x的函数关系式；（2）根据“两种T恤的总费用不超过9500元”建立不等式求出x的取值范围，由一次函数性质就可以求出结论．【答案与解析】解：（1）设购进A种T恤x件，则购进B种T恤（200﹣x）件，由题意得：w=（80﹣50）x+（65﹣40）（200﹣x），w=30x+5000﹣25x，w=5x+5000．答：w关于x的函数关系式为w=5x+5000；（2）∵购进两种T恤的总费用不超过9500元，∴50x+40（200﹣x）≤9500，∴x≤150．∵w=5x+5000．∴k=5＞0∴w随x的增大而增大，∴x=150时，w的最大值为5750．∴购进A种T恤150件．∴购进A种T恤150件，购进B种T恤50件可获得最大利润，最大利润为5750元．【总结升华】本题考查了由销售问题的数量关系求函数的解析式的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

中考一次函数与不等式数形结合专题讲义（附答案）中考一次函数与不等式数形结合专题一次函数与正比列函数的的概念：1. 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．2. 如果y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），那么y叫做x的一次函数。

当b=0而k≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b≠0时，它不是一次函数．一次函数的图像与性质：1.一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常取图像与坐标轴的两个交点（0，b），（－bk，0）就行了．2.一次函数y=kx+b沿着y轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m（m>0）?个单位得到一次函数y=kx+b±m；一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“＋”）、?右（“－”）平移n（n>0）个单位得到一次函数y=k（x±n）+b；一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b与x 轴交点为（－bk，0），与y轴交点为（0，b），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S△=12·│－bk│·│b│．例1 一次函数y=kx+3?的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值为________．答案：k=±?例2.已知直线L1经过点A（－1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）．（1）求直线L1的解析式；（2）若△APB的面积为3，求m的值．答案：（1）y=x+1；（2）m=1或m=﹣3例3.如图，直线y=kx+b经过A(-3,0)和B（2，m式组2x+m-4﹤kx+b≤0的解集为__________答案：-3≤x ＜2例4.点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是________，直线y=2x+1向下平移2个单位后的解析式是________；直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式是________；答案：（0，-1）；y=2x-1；y=2x-3 例5.在平面直角坐标系中，直线y kx =向右平移2个单位后，刚好经过点(0,4)，则不等式24x kx >+的解集为 . 答案：x ＞1 例6.知反比例函数ｙ＝k x 的图像经过点（４，12），若一次函数ｙ＝ｘ＋１的图像平移后经过该反比例函数图像上的点Ｂ（２，ｍ），求平移后的一次函数图像与ｘ轴的交点坐标．答案：（1，0）例7．如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为．答案：-1＜x ＜2例8. 如图，直线y 1=kx +b 过点A (0，2)，且与直线y2=mx 交于点P (1，m )，则不等式组mx >kx +b >mx -2的解集是。

第十二讲 一次函数【基础知识回顾】一、 一次函数的定义:一般的:如果y= （ ）,那么y 叫ｘ的一次函数特别的:当ｂ= 时，一次函数就变为y=ｋx （k≠０)，这时y 叫x 的【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立,是有当ｂ=0时,它才是正比例函数】二、一次函数的同象及性质：1、一次函数y=k ｘ+b 的同象是经过点（0，ｂ）(-b k ，0）的一条 ,正比例函数y= ｋx 的同象是经过点 和 的一条直线。

【名师提醒：因为一次函数的同象是一条直线,所以画一次函数的图象只需选取 个特殊的点,过这两个点画一条直线即可】2、正比例函数y= k ｘ(k≠0)，当k >0时,其同象过 、 象限，此时时y 随x 的增大而 ;当ｋ<0时,其同象过 、 象限，时y 随x 的增大而 。

3、 一次函数y= kx+b ，图象及函数性质①、k ＞0 b >0过 象限 ②、k ＞0 b<0过 象限③、k<０ b >0过 象限 ④、k<0 b ＞０过 象限４、若直线ｌ1:y= k1x+ ｂ１与l1:ｙ= k2x+ b ２平行,则k1 k2，若k1≠k ２，则ｌ1与l2【名师提醒：y 随x 的变化情况，只取决于 的符号与 无关，而直线的平移,只改变 的值 的值不变】三、用待定系数法求一次函数解析式:关键：确定一次函数y ＝ k ｘ＋ b 中的字母 与 的值步骤:1、设一次函数表达式2、将x,ｙ的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组1、一次函数与一元一次方程：一般地将x= 或ｙ 代入y= ｋx+ b 中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。

2、一次函数与一元一次不等式:kx+ b>０或kx+ ｂ<0即一次函数图象位于x 轴上方或下方时相应的x 的取值范围,反之也成立３、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解,反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标【名师提醒:1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的y 随x 的增大而 y 随x 的增大而问题】五、一次函数的应用一般步骤:1、设定问题中的变量２、建立一次函数关系式3、确定自变量的取值范围4、利用函数性质解决问题5、作答【名师提醒:一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式(组)相联系,经常涉及交点问题，方案设计问题等】【重点考点例析】考点一：一次函数的图象和性质例１(2０14。

小专题(八) 一次函数与方程、不等式的综合应用1．(2017·绍兴)某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方米以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y (元)是用水量x (立方米)的函数，其图象如图所示．(1)若每月用水量为18立方米，则应交水费多少元？ (2)求当x >18时，y 关于x 的函数解析式．若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？解：(1)45元．(2)当x ＞18时，设直线函数解析式为y ＝kx ＋b ，将(18，45)，(28，75)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧18k ＋b ＝45，28k ＋b ＝75， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－9. ∴y ＝3x －9.当y ＝81时，3x －9＝81，解得x ＝30. 答：这个月的用水量为30立方米．2．(2017·陕西)在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的3个温室大棚进行整修改造，1个大棚种植香瓜，2个大棚种植甜瓜．今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”．最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包5个大棚，以后就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜．他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下：项目 品种 产量 (斤/每棚) 销售价 (元/每斤) 成本 (元/每棚) 香瓜2 000128 000甜瓜 4 500 3 5 000现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为x 个，明年上半年8个大棚中所产的瓜全售完后，获得的利润为y 元．根据以上提供的信息，请你解答下列问题：(1)求出y 与x 之间的函数关系式；(2)求出李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于10万元． 解：(1) y ＝(2 000×12－8 000)x ＋(4 500×3－5 000)(8－x )＝7 500x ＋68 000. (2)由题意，得7 500x ＋68 000≥100 000. ∴x ≥4415∵x 为整数，∴x 最小为5.∴李师傅种植的8个大棚中至少有5个大棚种植香瓜．3．现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．(1)设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a 箱、b 箱，求a ，b 的值；(2)若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x 箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y (元)与x (箱)之间的函数关系式； ②当x 的值至少为多少时，商店才不会亏本．(注：按整箱出售，利润＝销售总收入－进货总成本)解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝40，40b －50a ＝700，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝30.(2)①y ＝60x ＋35(40－x )－(10×50＋30×40)＝25x －300.②由题意，得25x －300≥0.解得x ≥12.答：当x 的值至少为12时，商店才不会亏本．4．A 城有肥料300吨，B 城有肥料200吨，现要把这些肥料全部运往C ，D 两乡，从A 城往C ，D 两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B 城往C ，D 两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现C 乡需要肥料240吨，D 乡需要肥料260吨，怎样调运总费用最少？解：设总运费为y 元，A 城运往C 乡的肥料量为x 吨，则运往D 乡的肥料量为(300—x )吨；B 城运往C，D 两乡的肥料量分别为(240—x )吨与(x －40)吨．由题意，得y ＝20x ＋25(300－x )＋15(240－x )＋24(x －40) ＝4x ＋10 140(40≤x ≤240)．∵k ＝4＞0，∴当x 取最小值40时，y 有最小值10 300. ∴300－x ＝260，240－x ＝200，x －40＝0.答：从A 城运往C 乡40吨，运往D 乡260吨；从B 城运往C 乡200吨，运往D 乡0吨，此时总费用最少，总运费最少为10 300元．5．(2017·连云港)某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤(不计损耗)．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤，设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓．(1)若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式；(2)试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．解：(1)根据题意得：y＝70x×40＋(20－x)×35×130＝－1 750x＋91 000.(2)∵70x≥35(20－x)，∴x≥20 3.又∵x为正整数，且x≤20，∴7≤x≤20，且x为正整数．∵－1 750＜0，∴y的值随着x的值增大而减小，∴当x＝7时，y取最大值，最大值为－1 750×7＋91 000＝78 750.答：安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入最大，最大收入为78 750元．6．(2016·天津)公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆，已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台，租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台，租车费用为280元．(1)设租用甲种货车x辆(x为非负整数)，试填写表格：表一租用甲种货车的数量/辆 3 7 x租用的甲种货车最多运送机器的数量/台135 315 45x 租用的乙种货车最多运送机器的数量/台150 30 －30x＋240表二租用甲种货车的数量/辆3 7 x租用甲种货1 2002 800 400x车的费用/元租用乙种货1 400 280 －280x＋2 240车的费用/元(2)若租用甲种货车x辆时，设两种货车的总费用为y元，试确定能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案．解：y＝400x＋(－280x＋2 240)＝120x＋2 240.又∵45x＋(－30x＋240)≥330，解得x≥6.∵120＞0，∴在函数y＝120x＋2 240中，y随x的增大而增大，∴当x＝6时，y取得最小值，y最小＝2 960.∴完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是租用甲种货车6辆，乙种货车2辆．7．小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．(1)若购进这100件服装的费用不得超过7 500元，则甲种服装最多购进多少件？(2)在(1)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(0＜a＜20)元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？解：(1)设购进甲种服装x件，由题意，得80x＋60(100－x)≤7 500，解得x≤75.答：甲种服装最多购进75件．(2)设总利润为W元，∵甲种服装不少于65件，∴65≤x≤75.W＝(120－80－a)x＋(90－60)(100－x)＝(10－a)x＋3 000.方案1：当0＜a＜10时，10－a＞0，W随x的增大而增大，∴当x＝75时，W有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；方案2：当a＝10时，所有方案获利相同，∴按哪种方案进货都可以；方案3：当10＜a＜20时，10－a＜0，W随x的增大而减小，∴当x＝65时，W有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．。

第19讲 一次函数与方程、不等式一、一次函数与一元一次方程的关系一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.二、一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点： 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.三、方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．四、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，y kx b =+k b y 0kx b +=x kx b +y kx b =+k b x 24y x =-+31322y x =-2431322y x y x =-+ìïí=-ïî35y x =-31y x =+ax b +ax b +ax b +ax b +a b a y ax b =+x ax b +a x函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.五、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.六、如何确定两个不等式的大小关系（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．A ．13x y =ìí=îB 2．如图，直线153l x y -=：A ．12x y =ìí=îB ．3．直线2y ax =+与直线A ．3a =y axb =+y ax b =+x y ax b cx d +>+ac 0ac ¹Ûy ax b =+y cxd =+x Ûy ax b =+y cx d =+A ．12x =题型2：一次函数与一元一次方程6．若关于x 的方程2x A ．()1,0-． ．． ．．已知方程0ax b +=的解为，则一次函数y ax b =+的图象与A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =10．如图，直线5y x =+和直线y ax b =+相交于点(2025)P ，，则方程5x ax b +=+的解是（ ）A ．25x =B ．20x =C ．15x =D ．5x =题型3：一次函数与一元一次不等式(组)11．如图，直线()0y ax b a =+¹过点()0,3A ，()4,0B ，则不等式0ax b +>的解集是（ ）A ．4x >B ．4x <C ．3x >D ．3x <12．如图，已知一次函数y kx b =+的图像经过点()2,1，则不等式10kx b +->的解集为（ ）A ．2x <B ．2x >C ．1x >D ．1x <13．直线y kx b =+经过点()1,2--A 和点()2,0B -，则不等式20x kx b <+<的解集为（ ）A ．<2x -B ．2<<1x --C ．20x -<<D ．10x -<<14．如图，已知直线1y x m =+与21y kx =-相交于点()1,1P -，关于x 的不等式1x m kx +>-的解集是（）A ．1x >-B ．1x ³-C ．1x £-D ．1x <-15．如图，在平面直角坐标系中，若直线1y x a =-+与直线24y bx =-相交于点P ，则下列结论错误的是（ ）A ．方程4x a bx -+=-的解是1x =B ．不等式3x a -+<-和不等式43bx ->-的解集相同C ．不等式组40bx x a -<-+<的解集是2<<1x -D ．方程组4y x a y bx +=ìí-=î，的解是13x y =ìí=-î16．一次函数1y ax b =+与2y cx d =+的图象如图所示，下列说法：①对于函数1y ax b =+来说，y 随x 的增大而减小；②函数y ax d =+的图象不经过第一象限；③不等式ax b cx d +>+的解集是3x >；④()23a b a c -=-．其中正确的有（ ）A ．①②B ．②③④C ．①②④D ．②③一、单选题1．如图，若一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1A -，()1,1B ，则不等式1kx b +>的解集为（ ）A ．1x >B ．1x <C ．0x >D ．0x <【答案】A【分析】利用图象得出答案即可．【解析】解：如图：不等式1kx b +>的解集为：1x >．故选：A ．【点睛】此题主要考查用函数的观点看方程（组）或不等式，利用数形结合思想解题是关键．2．如图，一次函数y mx n =+和y kx =的图象交于点P ，则关于x ，y 的方程组0y mx ny kx =+ìí-=î的解是（ ）A ．23x y =ìí=îB ．23x y =-ìí=-îC ．32x y =-ìí=-îD ．32x y =-ìí=î【答案】C【分析】根据两图象的交点坐标满足方程组，方程组的解就是交点坐标进行求解即可．【解析】解：由函数图象可知，一次函数y mx n =+和y kx =的图象交于点()32P --，，∴关于x ，y 的方程组0y mx n y kx =+ìí-=î的解是32x y =-ìí=-î．故选C ．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．3．如图，一次函数()0y kx b k =+¹的图像经过点()1,2--A 和点()2,0B -，一次函数2y x =的图像过点A ，则不等式2x kx b £+的解集为（ ）A ．1x £-B ．2x £-C ．1x ³D ．21x -£<-【答案】A【分析】根据图像知正比例函数2y x =和一次函数()0y kx b k =+¹的图像的交点，即可得出不等式2x kx b £+的解集．【解析】解：∵由图像可知：正比例函数2y x =和一次函数()0y kx b k =+¹的图像的交点是()1,2--A ，∴不等式2x kx b £+的解集是1x £-，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图像的关系是解答此题的关键．4．已知方程组1122y k x b y k x b =+ìí=+î的解为35x y =ìí=-î，则直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的交点坐标为（ ）A ．(3,5)B ．(3,5)-C ．(3,-5)-D ．(3,5)-【答案】D【分析】由二元一次方程组的解对应两个方程所表示的一次函数的交点坐标，从而可得答案．【解析】解：Q 方程组1122y k x b y k x b =+ìí=+î的解为35x y =ìí=-î，\直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的交点坐标为(3,5)-，故选：D ．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解与两个一次函数的交点坐标之间的联系，掌握“二元一次方程组的解是这两个方程对应的一次函数的交点坐标”是解题的关键．5．在直角坐标平面内，一次函数y ax b =+的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A ．当0x <时，20y -<<B ．方程 0ax b +=的解是2x =-C ．当2y >-时，0x >D ．不等式 0ax b +<的解集是0x <【答案】C【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．【解析】解：由函数y ax b =+的图象可知，当0x <时，2y <-，A 选项错误，不符合题意；方程 0ax b +=的解是1x =，B 选项错误，不符合题意；当2y >-时，0x >，故C 正确，符合题意；不等式 0ax b +<的解集是1x <，故D 错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．6．如图所示，已知一次函数y 1=kx +b 的图象经过A （1，2）、B （-1，0）两点，y 2=mx +n 的图象经过A 、C （3，0）两点，则不等式组0＜kx +b ＜mx +n 的解集是（ ）A ．01x <<B ．13x -<<C ．11x -<<D ．13x <<【答案】C【分析】由函数图象可知，当-1＜x ＜1时一次函数y 1=kx +b 的图象在x 轴的上方且在一次函数y 2=mx +n 的图象的下方，故可得出结论．【解析】解：∵当-1＜x ＜1时一次函数y 1=kx +b 的图象在x 轴的上方且在一次函数y 2=mx +n 的图象的下方，∴不等式组0＜kx +b ＜mx +n 的解集是-1＜x ＜1．故选：C ．【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式组，能利用数形结合求出不等式组的取值范围是解答此A ．关于x 的方程mx kx b =+的解是1x =B ．关于x 的不等式mx kx b ³+的解集是1x >C ．当0x <时，函数y kx b =+的值比函数y mx =的值大D ．关于,x y 的方程组 0y mx y kx b-=ìí-=î的解是 12x y =ìí=î【答案】B 【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．【解析】解：Q 一次函数,y kx b k b =+（是常数，0k ¹）与正比例函数y mx m =（是常数，0m ¹）的图象相交于点()1,2M ，\关于x 的方程mx kx b =+的解是1x =，选项A 判断正确，不符合题意；关于x 的不等式mx kx b ³+的解集是1x ³，选项B 判断错误，符合题意；当0x <时，函数y kx b =+的值比函数y mx =的值大，选项C 判断正确，不符合题意；关于,x y 的方程组0y mx y kx b-=ìí-=î的解是12x y =ìí=î，选项D 判断正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．9．一次函数y mx n =+与y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图像如图所示．根据图像有下列五个结论：①0a >；②0n <；③方程0mx n +=的解是1x =；④不等式3ax b +>的解集是0x >；⑤不等式mx n ax b +£+的解集是2x £-．其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据一次函数图像所经过的象限、一次函数图像与y 轴交点的位置以及函数与一元一次不等式的关系进行一一判断即可．二、填空题x>【答案】1【分析】观察图象，根据两函数图象的交点即可得出结论．=【解析】解：Q直线1y kx<\当1x>时，不等式y y∴当12y y >时，求x 的取值范围为x ＜-2或x ＞1，故答案为：x ＜-2或x ＞1．【点睛】本题考查了一次函数的图像，一次函数与不等式，解题的关键是画出图像，利用数形结合的方法解决问题．16．已知一次函数124y kx k =+-的图象不过第二象限．（1）k 的取值范围为 ．（2）对于一次函数()10y ax a a =-+¹，若对任意实数x【答案】84m --≤≤【分析】解方程组求出交点C 的坐标，过点C 时，分别求出m 的值即可得到答案．【解析】解：∵直线24y x =-+与直线三、解答题19．如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()1,3A -和点()2,3B -．(1)求出这个一次函数的解析式；(2)直接写出不等式0kx b +³的解集．【答案】(1)一次函数的解析式为：y =(2)12x £【分析】（1）根据直线y kx b =+的图象经过点解出k ，b ，即可；（2）由（1）得，函数的解析式：y =-(1)求直线AB 的表达式；(2)求点C 的坐标．【答案】(1)5y x =-+(2)()3,2C 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）解两个函数解析式组成方程组即可求解．【解析】（1）解：Q 直线y kx b =+经过点(5,0)(1,4)，，A B 得504k b k b +=ìí+=î，解得：15k b =-ìí=î，直线AB 的表达式为5y x =-+；（2）解：联立245y x y x =-ìí=-+î，解得：32x y =ìí=î，故点C 的坐标为()3,2C ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，及求两条直线的交点问题，本题的关键是求两条直线的交点，转化为解两个函数解析式组成方程组．21．如图，根据图中信息解答下列问题：(1)求关于x 的不等式1mx n +<的解集；(2)当12y y £时，求x 的取值范围；(3)当210y y <<时，求x 的取值范围．【答案】(1)0x <(2)当12y y £时， 2x £(3)当210y y <<时， 24x <<【分析】（1）利用直线y mx n =+与x 轴的交点为()0,1，然后利用函数图象可得到不等式1mx n +<的解集．（2）结合两条直线的交点坐标为()2,1.8来求得12y y £解集．（3）结合函数图象直接写出答案．【解析】（1）解：∵直线1y mx n =+与y 轴的交点是()01，，∴当0x <时，11y <，即不等式1mx n +<的解集是0x <；（2）解：由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是()2,1.8，当函数1y 的图象在2y 的下面时，有2x £．∴当12y y £时， 2x £；（3）解：由图可知，两条直线的交点坐标是()2,1.8，当函数1y 的图象在2y 的上面时21y y <，则2x >，又20y =Q 时，4x =，(1)直按写出关于x 的不等式组1122k x b k x b +>ìí+>î(2)若点C 坐标为()2,3，①关于x 的不等式1122k x b k x b +>+的解集是②求ABC V 的面积为______．【答案】(1)23x -<<(1)求一次函数表达式；(2)求D 点的坐标；(3)求COP V 的面积；(4)不解关于x y 、的方程组y y kx =-ìí=î(1)求点B的坐标及b的值；V的面积；(2)求AOB∴2AD =，3OB =，∴11233S AD OB =·=´´=∵3AOB S =△，1131S S ==´=(2)以自变量x 的值为横坐标，相应的函数值线；(3)根据表格及函数图象，探究函数性质：①该函数的最小值为__________；②当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而③若关于x 的方程11x b +=-有两个不同的解，则【答案】(1)1k =，6m =（3）根据图象可得，①该函数的最小值为1；②当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；③∵关于x 的方程11x b +=-有两个不同的解，∴由图象可得，b 的取值范围为1b >．故答案为：1；增大；1b >．【点睛】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量，画一次函数图象，一次函数的性质等等，熟知一(1)求点A的坐标；V(2)若点C在第二象限，ACD①求点C的坐标；x+>②直接写出不等式组4V沿x轴平移，点③将CAD把0x =代入4y x =+得：y ∴点B 的坐标为()0,4，设直线BD 的解析式为y k =4b ¢=ìí，(1)求直线AB 的表达式；(2)由图象直接写出关于x 的不等式102x kx b <<+的解集；(3)如图②所示，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt V 90BPM Ð=°，直线MA 交y 轴于点Q ．当点P 在x 轴上运动时，线段求出线段OQ 的长度；若变化，求线段OQ 的取值范围．【答案】(1)直线AB 的表达式为6y x =-+(2)04x <<∵90BPM Ð=°，∴90BPO MPN ÐÐ+=°．∵90BPO PBO ÐÐ+=°，∴MPN PBO ÐÐ=．∵90BOP PNM ÐÐ==°，PB =∴6OQ OA ==．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一元一次不等式与一次函数的关系，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．。

第19课一次函数本节内容考纲要求考查一次函数图象、性质及应用，体会一次函数与方程（组）、不等式之间的联系，一次函数的实际应用。

广东省近5年试题规律：主要考查一次函数的表达式、图象及性质，有时以选择、填空题出现，但多以一次函数的应用、一次函数与反比例函数的综合题出现，可作压轴题。

知识清单知识点一一次函数与正比例函数的概念课前小测1．（正比例函数的性质）关于正比例函数y=﹣3x，下列结论正确的是（）A．图象不经过原点B．y随x的增大而增大时，y=1C．图象经过第二、四象限D．当x=132．（一次函数的性质）一次函数y=﹣2x﹣1的图象不经过下列各象限中的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（一次函数的性质）若正比例函数y=3x的图象经过A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）两点，则y1与y2的大小关系为（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y24．（一次函数与方程的关系）若直线y=kx+b的图象经过点（1，3），则方程kx+b=3的解是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（求一次函数解析式）已知一次函数y=﹣x+b的图象过点（8，2），那么此一次函数的解析式为．经典回顾考点一一次函数图象与性质【例1】函数y＝x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【点拔】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数y＝kx+b，k＞0，函数经过第一、三象限，k＜0，函数经过第二、四象限．考点二一次函数与方程、不等式【例2】（2019•黔东南州）如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为．【点拔】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．考点三一次函数的解析式【例3】（2019•广东模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A、B两点，与x 轴交于点C．（1）写出点A、B、C的坐标；（2）求此一次函数的解析式；（3）求△AOC的面积．【点拔】考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的关系式、以及将点的坐标转化为三角形的底和高，进而求三角形的面积．考点四一次函数的应用【例4】（2019•新疆）某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完．销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图，请根据图象提供的信息完成下列问题：（1）降价前苹果的销售单价是元/千克；（2）求降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？【点拔】本题考查一次函数的应用，解答本题明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．对应训练1．（2018•常德）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0 2．（2019•鞍山）如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B 两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）A．x＞B．x＜C．x＞3 D．x＜3 3．（2018•邵阳）如图所示，一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b＝0的解是．4．（2016•宜昌）如图，直线y＝3x+3与两坐标轴分别交于A、B两点．（1）求∠ABO的度数；（2）过A的直线l交x轴正半轴于C，AB＝AC，求直线l的函数解析式．5．（2019•深圳）有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电．（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少度？（2）A、B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值．中考冲刺夯实基础1．（2019•广安）一次函数y＝2x﹣3的图象经过的象限是（）A．一、二、三B．二、三、四C．一、三、四D．一、二、四2．（2019•梧州）直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（）A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣1 3．（2019•大庆）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（）A．B．C．D．4．（2019•铁岭）在平面直角坐标系中，函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A．k＞0 B．b＜0 C．k•b＞0 D．k•b＜0 5．（2019•锦州）如图，一次函数y＝2x+1的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．2 D．4 6．（2019•本溪）函数y＝5x的图象经过的象限是．7．（2019•成都）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是．8．（2019•杭州）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式．能力提升9．（2019•辽阳）若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．10．（2019•枣庄）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（）A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8 11．（2019•鄂尔多斯）如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1（4，4），A2（8，0）组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线y＝kx+2与此折线有2n（n≥1且为整数）个交点，则k的值为．12．（2019•本溪）如图，点B1在直线l：y＝12x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为（结果用含正整数n的代数式表示）13．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为．14．（2019•天门）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．（1）求y关于x的函数解析式；（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？第19课 一次函数课前小测1．C ． 2．A ． 3．A ． 4．A ． 5．y =﹣x +10．经典回顾考点一 一次函数图象与性质 【例1】B ．考点二 一次函数与方程、不等式 【例2】x ＜4． 考点三 一次函数的解析式【例3】解：（1）A （2，4）、B （0，2）、C （﹣2，0）； （2）将B （0，2）、C （﹣2，0）代入y ＝kx +b 得：202k b b -+=⎧⎨=⎩解得：k ＝1，b ＝2，∴一次函数的解析式为：y ＝x +2；（3）S △AOC ＝12×2×4＝4，答：△AOC 的面积为4． 考点四 一次函数的应用 【例4】解：（1）16；（2）（760﹣640）÷（16﹣4）＝10，设降价后y （元）与x （千克）之间的函数解析式是y ＝kx +b ，得：4064050760k b k b +=⎧⎨+=⎩，得12160k b =⎧⎨=⎩， ∴y ＝12x +160（40＜x ≤50）； （3）760﹣8×50＝360（元）答：该水果店这次销售苹果盈利了360元． 对应训练 1．B ． 2．B ． 3．x ＝2．4．解：（1）对于直线y令x ＝0，则y 令y ＝0，则x ＝﹣1，故点A 的坐标为（0，点B 的坐标为（﹣1，0），则AO BO ＝1， 在Rt △ABO 中， ∵tan ∠ABO ＝AOBO∴∠ABO ＝60°； （2）在△ABC 中， ∵AB ＝AC ，AO ⊥BC ， ∴AO 为BC 的中垂线， 即BO ＝CO ，则C 点的坐标为（1，0），设直线l 的解析式为：y ＝kx +b ，则0b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即函数解析式为：y5．解：（1）设焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电a 度，B 发电厂发电b 度，得：4030201800a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得300260a b =⎧⎨=⎩， 答：焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度；（2）设A 发电厂焚烧x 吨垃圾，则B 发电厂焚烧（90﹣x ）吨垃圾，总发电量为y 度，则y ＝300x +260（90﹣x ）＝40x +23400，∵x ≤2（90﹣x ），∴x ≤60，∵y 随x 的增大而增大，∴当x ＝60时，y 有最大值为：40×60+23400＝25800（元）．答：A 厂和B 厂总发电量的最大是25800度．中考冲刺夯实基础1．C ．2．D ．3．A ．4．D ．5．A ．6．一、三7．k ＜3；8．y ＝﹣x +1．能力提升9．A．10．A．11．﹣14n．12．1 732nn-⨯．13．y＝﹣2x+8．14．解：（1）根据题意，得①当0≤x≤5时，y＝20x；②当x＞5，y＝20×0.8（x﹣5）+20×5＝16x+20；（2）把x＝30代入y＝16x+20，∴y＝16×30+20＝500；∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元；。

11.3.1 —11.3.2 一次函数与一元一次方程和不等式重点知识讲解1．一元一次方程ax+b=0（a≠0）与一次函数y=ax+b（a≠0）的关系（1）一元一次方程ax+b=0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）的函数值为0时的特殊情形．(2)直线y=ax+b与x轴交点的横坐标就是一元一次方程ax+b=0的解x=—ba。

2．一元一次不等式与一次函数的关系(1）一元一次不等式ax+b〉0或ax+b〈0（a≠0)是一次函数y=ax+b（a≠0）•的函数值不等于0的情形．（2)直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图像）的x的取值范围是ax+b〉0的解集；使函数值y<0(x轴下方的图像）的x的取值范围是ax+b〈0的解集．经验与方法技巧1．利用一次函数求一元一次方程的解题步骤（1）将一元一次方程化成ax+b=0的形式．（2）画出y=ax+b的图像，确定其与x轴交点的横坐标．2．利用一次函数求一元一次不等式的解集的技巧根据不等式的特点，灵活采用求解方法：（1）利用一个一次函数；（2）•利用两个一次函数．典型例题例1画出y=—3x+5的图象,利用图像求方程-3x+5=0的解．解析取点(0，5）,(53，0），图像如图所示．∵直线y=-3x+5与x轴交点的横坐标为53，∴方程-3x+5=0的解为x=53。

评注画函数图像时要准确，求出直线y=-3x+5与x•轴交点的横坐标即为方程的解．例2画出函数y=—3x+12的图像,利用图像求：（1）不等式-3x+12〉0的解集．(2)不等式-3x+12≤0的解集．(3)如果y的值在—6≤y≤6的范围内，那么相应的x的值在什么范围内？解析取点(0，12），(4，0)，作出函数图像，如图所示,由图像可以看出:（1)当y〉0时，x的取值范围为x〈4，∴不等式—3x+12>0的解集为x<4．（2)当y≤0时，x的取值范围为x≥4．∴不等式—3x+12≤0的解集为x≥4．（3）当—6≤y≤6时,x的取值范围为2≤x≤6．评注借助图像求不等式的解集，关键是要清楚以下几点：①y〉0时，x•的取值范围就是x轴上方的图像所对应的x的取值范围．②y〈0时,x的取值范围就是x•轴下方的图像所对应的x的取值范围．③y=0时，x的值就是图像与x轴交点的横坐标．④当y>a或y<a(a≠0)时，应先确定当y=a时对应的x值，然后再进一步确定x的取值范围．例3若y1=-x+3,y2=3x—4，当x取何值时，y1<y2？解析∵y1<y2，∴-x+3〈3x—4,解得x〉74，∴当x>74时,y1〈y2．评注此题是两个一次函数之间的关系，可以直接借助一元一次不等式求出x的取值范围．教材例题习题的变形题例（P41例2）用画图像的方法解下列各题：（1）解不等式：5x+4〉2x+10．(2）解方程:5x+4=2x+10．解析（1）如图，原不等式可化为3x—6〉0，画出直线y=3x—6，由图像可以看出，当x>2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=3x-6〉0，所以不等式的解集为x〉2．（2）原方程可化为3x-6=0．由图像可以看出，y=3x-6与x轴交点的横坐标为2，所以原方程的解为x=2．评注①从函数的角度看问题,能发现一次函数与一元一次不等式、•一元一次方程之间的联系,体现了数形结合的思想．②本题求不等式的解集时，还可将不等式的两边分别看作两个一次函数，画出两条直线，比较直线上点的位置的高度，也可求得不等式的解集．学科内综合题例1甲、乙两辆摩托车分别从相距20km的A,B两地出发，相向而行，图中的L1，L2分别表示甲、乙两辆摩托车离开A地的距离s（km)与行驶时间t（h）•之间的函数关系．（1)哪辆摩托车的速度较快?（2）经过多长时间，甲摩托车行驶到A，B两地的中点？解析（1）由图像可以看出，甲摩托用了0．6h行驶了20km，而乙摩托车用了0．•5h 行驶了20km，所以乙摩托车的速度较快．（2）设L1的关系式为y=kx，把x=0．6，y=20代入，得20=0．6k，解得k=1003,∴y=1003x。

专题10 一次函数的核心知识点精讲1、理解函数的意义，通过认识自变量与因变量之间的因果关系培养函数思想；2、掌握一次函数的定义，会用待定系数法求解析式，理解其图像的性质；3、理解一次函数与方程及不等式的关系，学会利用图像解决相关问题。

【题型1：一次函数的图像和性质】【典例1】（2023•益阳）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（ ）A．图象经过第一、三、四象限B．图象与y轴交于点（0，1）C．函数值y随自变量x的增大而减小D．当x＞﹣1时，y＜0【答案】B【解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＞0，b＞0，∴图象经过第一、二、三象限，故A不正确；当x＝0时，y＝1，∴图象与y轴交于点（0，1），故B正确；∵一次函数y＝x+1中，k＞0，∴函数值y随自变量x的增大而增大，故C不正确；∵当x＝﹣1时，y＝0，函数值y随自变量x的增大而增大，∴当x＞﹣1时，y＞0，故D不正确；故选：B．1．（2023•长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）A．y＝2x+1B．y＝x﹣4C．y＝2x D．y＝﹣x+1【答案】D【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，∵2＞0，∴y随着x增大而增大，故A不符合题意；在一次函数y＝x﹣4中，∵1＞0，故B不符合题意；在一次函数y＝2x中，∵2＞0，∴y随着x增大而增大，故C不符合题意；在一次函数y＝﹣x+1中，∵﹣1＜0，∴y随着x增大而减小，故D符合题意，故选：D．2．（2023•临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ）A．k＞0B．kb＜0C．k+b＞0D．k＝﹣b【答案】C【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，∴b≤0，又∵函数图象经过点（2，0），∴图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，k＝﹣b，∴kb＜0，∴k+b＝b＜0，∴错误的是k+b＞0．故选：C．3．（2022•兰州）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【答案】A【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，∵点（﹣3，y1）和（4，y2）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，﹣3＜4，∴y1＜y2．故选：A．【题型2：确定一次函数的解析式】【典例2】（2022•陕西）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．（1）求AB所在直线的函数表达式；（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力；当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力．）【答案】（1）F拉力＝﹣x+；（2）当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为N．【解答】解：（1）设AB所在直线的函数表达式为F拉力＝kx+b，将（6，4），（10，2.5）代入得：，解得，∴AB所在直线的函数表达式为F拉力＝﹣x+；（2）在F拉力＝﹣x+中，令x＝8得F拉力＝﹣×8+＝，∵4﹣＝（N），∴当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为N．1．（2023•鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）A．y＝x+1B．y＝x﹣1C．y＝2x+1D．y＝2x﹣1【答案】A【解答】解：∵“帅”位于点（﹣2，﹣1）可得出“马”（1，2），设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+1，故选：A．2．（2021•乐山）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB 的面积平分的直线l2的解析式为（ ）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝2x【答案】D【解答】解：如图，当y＝0，﹣2x+4＝0，解得x＝2，则A（2，0）；当x＝0，y＝4，则B（0，4），∴AB的中点坐标为（1，2），∵直线l2把△AOB面积平分∴直线l2过AB的中点，设直线l2的解析式为y＝kx，把（1，2）代入得2＝k，解得k＝2，∴l2的解析式为y＝2x，故选：D．3．（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（ ）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝4【答案】A【解答】解：过D点作DH⊥x轴于H，如图，∵点A（3，0），B（0，4）．∴OA＝3，OB＝4，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OAB+∠DAH＝90°，∴∠ABO＝∠DAH，在△ABO和△DAH中，，∴△ABO≌△DAH（AAS），∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，∴D（7，3），设直线BD的解析式为y＝kx+b，把D（7，3），B（0，4）代入得，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4．故选：A．【题型3：一次函数与方程不等式的关系】【典例3】（2023•丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（ ）A．x＞4B．x＜4C．x＞3D．x＜3【答案】B【解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，∴不等式ax+b＞0的解集为x＜4．故选：B．【典例4】（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（ ）【答案】A【解答】解：由图象可得，当x＞3时，直线y＝x在一次函数y＝kx+b的上方，∴当kx+b＜x时，x的取值范围是x＞3，故选：A．【典例5】（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由图象可得直线的交点坐标是（1，3），∴方程组的解为．故选：B．1．（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（ ）【答案】D【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，故选：D．2．（2021•贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（ ）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3【答案】C【解答】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y＝ax+b过B（2，0），∴方程ax+b＝0的解是x＝2，故选：C．3．（2022•扬州）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1　．【答案】x＜﹣1．【解答】解：由图象可得，当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1．4．（2022•西宁）如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1＜y2时，x的取值范围是x ＜1　．【答案】x＜1．【解答】解：∵直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2），∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜1，故答案为：x＜1．【题型4：应用一次函数解决最有方案问题】【典例6】（2023•成都）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A，B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【答案】（1）A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；（2）A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．【解答】（1）设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克，由题意得：，解得：，∴A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；（2）设A种食材购买m千克，B种食材购买（36﹣m）千克，总费用为w元，由题意得：w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，∵m≥2（36﹣m），∴24≤m＜36，∵k＝8＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝24时，w有最小值为：8×24+1080＝1272（元），∴A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．1．（2023•呼和浩特）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量/（人/辆）4530租金/（元/辆）400280（1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？（2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车6辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？【答案】（1）老师有6名，学生有234名；（2）6；（3）学校共有两套租车方案，最少费用为2160元．【解答】解：（1）设老师有x名，学生有y名，根据题意，列方程组为：，解得，答：老师有6名，学生有234名．（2）∵每辆车上至少有1名老师，∴汽车总数不能大于6辆，∵要保证240名师生有车坐，汽车总数不能少于（取整数6）辆，综合可知汽车总数为6辆．故答案为：6．（3）设租用甲客车x辆，则租车费用y（元）是x的函数，即：y＝400x+280（6﹣x），整理得：y＝120x+1680，∵学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，∴120x+1680≤2300，∴x≤，即x≤5．要保证240人有车坐，x不能小于4，所以有两种租车方案：方案一：租4辆甲种客车，2辆乙种客车；方案二：租5辆甲种客车，1辆乙种客车；∵y随x的增大而增大，∴当x＝4时，y最小，y＝120×4+1680＝2160．答：学校共有两套租车方案，最少费用为2160元，2．（2023•湘西州）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A 种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元．销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B 种品牌小电器获利4元．（1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？（2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．（3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元；（2）30≤a≤50；（3）A型30台，B型120台，最大利润是570元．【解答】解：（1）设A、B型品牌小电器每台的进价分别为x元、y元，根据题意得：，解得：，答：A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．（2）设购进A型品牌小电器a台，由题意得：，解得30≤a≤50，答：购进A种品牌小电器数量的取值范围30≤a≤50．（3）设获利为w元，由题意得：w＝3a+4（150﹣a）＝﹣a+600，∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，∴﹣a+600≥565，解得：a≤35，∴30≤a≤35，∵w随a的增大而减小，∴当a＝30台时获利最大，w最大＝﹣30+600＝570元，答：A型30台，B型120台，最大利润是570元．3.（2023•遂宁）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】（1）每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；（2）①W与m的函数关系式为W＝﹣m+600；≤m＜200（m为正整数）；②购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．【解答】解：（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，根据题意得：＝，解得x＝10，经检验，x＝10是原方程的根，此时x+2＝12，答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，根据题意得：W＝（12﹣10）m+（15﹣12）（200﹣m）＝2m+600﹣3m＝﹣m+600，∴W与m的函数关系式为W＝﹣m+600；甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，∴m≥2（200﹣m），解得m≥，∴≤m＜200（m为正整数）；②由①知，W＝﹣m+600，﹣1＜0，m为正整数，∴当m＝134时，W有最大值，最大值为466，此时200﹣134＝66，∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．4．（2023•达州）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？【答案】（1）每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元；（2）该特产店有三种进货方案：购进豆笋120件，购进豆干80件；购进豆笋121件，购进豆干79件；购进豆笋122件，购进豆干78件；（3）购进豆笋122件，购进豆干78件可使该特产店获得利润最大，最大利润为3610元．【解答】解：（1）设每件豆笋的进价为x元，每件豆干的进价为y元，由题意得：，解得：，∴每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元；（2）设购进豆笋a件，则购进豆干（200﹣a）件，由题意可得：，解得：120≤a≤122，且a为整数，∴该特产店有以下三种进货方案：当a＝120时，200﹣a＝80，即购进豆笋120件，购进豆干80件，当a＝121时，200﹣a＝79，即购进豆笋121件，购进豆干79件，当a＝122时，200﹣a＝78，即购进豆笋122件，购进豆干78件，（3）设总利润为w元，则w＝（80﹣60）•a+（55﹣40）•（200﹣a）＝5a+3000，∵5＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝122时，w取得最大值，最大值为5×122+3000＝3610，∴购进豆笋122件，购进豆干78件可使该特产店获得利润最大，最大利润为3610元．1．（2023•吴兴区一模）一次函数y＝2x+1的图象不经过（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，b＝1＞0，∴一次函数y＝2x+1的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选：D．2．（2023•东莞市校级一模）已知点（﹣1，y1），（3，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定【答案】A【解答】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，又∵点（﹣1，y1），（3，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，且﹣1＜3，∴y1＜y2．故选：A．3．（2023•皇姑区三模）一次函数y＝﹣x+4的图象经过（ ）A．第一二三象限B．第二三象限C．第一二四象限D．第二三四象限【答案】C【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+4，k＝﹣1＜0，b＝4＞0，∴该函数图象经过第一、二、四象限，故选：C．4．（2023•花溪区模拟）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k、b的取值范围是（ ）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0【答案】B【解答】解：观察图象可得，一次函数y＝kx+b的图象过一、三、四象限；故k＞0，b＜0；故选：B．5．（2023•东莞市校级二模）已知点（﹣3，2）在一次函数y＝kx﹣4的图象上，则k等于（ ）A．2B．3C．﹣2D．﹣3【答案】C【解答】解：∵点（﹣3，2）在一次函数y＝kx﹣4的图象上，∴2＝﹣3k﹣4，解得：k＝﹣2．故选：C．6．（2023•蕉城区校级二模）直线y＝nx+2n的图象如图所示，则关于x的不等式nx+2n＞0的解集为（ ）A．x＞﹣1B．x＞﹣2C．x＜﹣2D．x＜﹣1【答案】B【解答】解：当y＝0时，x＝﹣2．∴函数图象与x轴交于点（﹣2，0），一次函数y＝nx+2n，当y＞0时，图象在x轴上方，∴不等式nx+2n＞0的解集为x＞﹣2，故选：B．7．（2023•宝鸡一模）如果直线y＝3x+6与y＝2x﹣4交点坐标为（a，b），则解为的方程组是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵直线y＝3x+6与y＝2x﹣4交点坐标为（a，b），∴解为的方程组是，即，8．（2023•贵阳模拟）已知函数y＝（2m﹣1）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ ）A．m＞B．m＜C．m＞0D．m＜0【答案】A【解答】解：根据正比例函数图象的性质，知：当y随自变量x的增大而增大，即2m﹣1＞0，m＞．故选：A．9．（2023•黔东南州二模）在同一平面直角坐标系中，直线y＝x+1与y＝﹣x+m相交于点P（1，n），则关于x的方程组的解为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵直线y＝x+1与直线y＝﹣x+m交于点P（1，n），∴n＝1+1＝2，∴P（1，2），∴关于x，y的方程组的解；故选：B．10．（2023•霍林郭勒市校级三模）已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）A．y＝﹣x﹣2B．y＝﹣x﹣6C．y＝﹣x+10D．y＝﹣x﹣1【答案】C【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b．由题意可得出方程组，解得：，那么此一次函数的解析式为：y＝﹣x+10．故选：C．11．（2023•晋州市模拟）一次函数y＝﹣2x+4的图象与y轴交点的坐标是（ ）A．（2，0）B．（0，4）C．（4，0）D．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2×0+4＝4，∴一次函数y＝﹣2x+4的图象与y轴交点的坐标是（0，4）．故选：B．12．（2023•沈河区校级模拟）对于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）A．y值随x值的增大而增大B．它的图象与x轴交点坐标为（0，1）C．它的图象必经过点（﹣1，3）D．它的图象经过第一、二、三象限【答案】C【解答】解：A、∵k＝﹣2＜0，∴y值随x值的增大而减小，结论A不符合题意；B、当y＝0时，﹣2x+1＝0，解得：x＝，∴函数y＝﹣2x+1的图象与x轴交点坐标为（，0），结论B不符合题意；C、当x＝﹣1时，y＝﹣2x+1＝3，∴函数y＝﹣2x+1的图象必经过点（﹣1，3），结论C符合题意；D、∵k＝﹣2＜0，b＝1＞0，∴函数y＝﹣2x+1的图象经过第一、二、四象限，结论D不符合题意．故选：C．13．（2023•武侯区校级三模）A（﹣1，y1），B（3，y2）是直线y＝﹣2x+b上的两点，则y1　＞　y2（填＞或＜）【答案】见试题解答内容【解答】解：在一次函数y＝﹣2x+b中，∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，∵﹣1＜3，∴y1＞y2，故答案为：＞．14．（2023•柳州三模）若一次函数y＝x+b的图象过点A（1，﹣1），则b＝　﹣2　．【答案】见试题解答内容【解答】解：把点A（1，﹣1）代入一次函数y＝x+b得：1+b＝﹣1，解得b＝﹣2．15．（2023•播州区三模）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝3x﹣5与y2＝2x﹣4．（1）求这两个函数图象的交点坐标；（2）求一次函数y2＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积．【答案】（1）（1，﹣2），（2）4．【解答】解：（1）由题意可得：一次函数y1＝3x﹣5与一次函数y2＝2x﹣4相交于一点，∴3x﹣5＝2x﹣4，解得：x＝1，当x＝1时，y1＝y2＝﹣2，∴一次函数y1＝3x﹣5与一次函数y2＝2x﹣4的交点坐标为：（1，﹣2）．（2）当x＝0时，一次函数y2＝2x﹣4与y轴有交点，∴y＝﹣4，∴A（0，﹣4），当y＝0时，一次函数y2＝2x﹣4与x轴有交点，∴0＝2x﹣4，解得：x＝2，∴B（2，0），∴如图可知S＝，△AOB∴一次函数y2＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积为4．16．（2022•岷县模拟）一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，6），B（﹣3，﹣2）两点．（1）此一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把A（1，6），B（﹣3，﹣2）代入y＝kx+b得到，解得，所以直线AB的解析式为y＝2x+4；（2）直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），所以△AOB的面积＝×4×3+×4×1＝8．17．（2023•长沙县二模）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．【答案】（1）买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；（2）w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元．【解答】解：（1）设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元，则根据题意得：，解得：，答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；（2）根据题意得：w＝4x+5（11﹣x）＝﹣x+55，∵百合不少于2支，∴11﹣x≥2，解得：x≤9，∵﹣1＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x＝9时，w最小，即买9支康乃馨，买11﹣9＝2支百合费用最少，w min＝﹣9+55＝46（元），答：w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元．18．（2021•普陀区模拟）某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下列问题：出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式；若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．【答案】出租车的起步价是8元；y与x的函数关系式为：y＝2x+2；这位乘客乘车的里程是11km．【解答】解：由图象得：出租车的起步价是8元；设当x＞3时，y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由函数图象，得，解得：，故y与x的函数关系式为：y＝2x+2；∵32元＞8元，∴当y＝32时，32＝2x+2，解得x＝15，答：这位乘客乘车的里程是15km．1．（2023•丹阳市二模）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，b＞0，∴该函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．2．（2023•河北模拟）已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x﹣5上，则y1，y2的值的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定【答案】B【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝﹣1×（﹣2）﹣5＝﹣3，当x＝3时，y2＝﹣1×3﹣5＝﹣8．∵﹣3＞﹣8，∴y1＞y2．故选：B．3．（2023•榆阳区一模）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一次函数y＝2x+1关于y轴对称，则一次函数y＝kx+b的表达式为（ ）A．B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣1D．【答案】B【解答】解：一次函数y＝2x+1，则与该一次函数的图象关于y轴对称的一次函数的表达式为：y＝2（﹣x）+1，即y＝﹣2x+1．故选：B．4．（2023•龙岩模拟）若k＜2，则函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵k＜2，∴k﹣2＜0，2﹣k＞0，∴一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象经过第一、二、四象限，故选：D．5．（2023•沭阳县模拟）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）A．乙比甲提前出发1hB．甲行驶的速度为40km/hC．3h时，甲、乙两人相距80kmD．0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km【答案】C【解答】解：由图象可得，乙车比甲车早出发1小时，故A正确；甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），故B正确；乙的速度是＝km/h，3h甲车行走的路程为40×（3﹣1）＝80（km），3h乙车行走的路程为×3＝40（km），∴3h后甲、乙相距80﹣40＝40（km），故C错误；0.75h乙车走了0.75×＝10（km），甲车还在A地没出发，此时乙比甲多行驶10km，1.125h乙走了1.125×＝15km，此时甲行走的路程为（1.125﹣1）×40＝5（km），乙车比甲车多走了15﹣5＝10（km），故D正确．故选：C．6．（2023•秦都区二模）一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5），若自变量x的取值范围是﹣2≤x≤5，则y的最小值是（ ）A．﹣10B．﹣7C．7D．11【答案】B【解答】解：一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5），∴5＝﹣k+3，解得：k＝﹣2，∴y＝﹣2x+3，∵k＝﹣2，∴y随x的增大而减小，∵﹣2≤x≤5，∴当x＝5时，y的最小值为﹣2×5+3＝﹣7．故选：B．7．（2023•绍兴模拟）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，则售完这100件商品可盈利（ ）元．A．200B．250C．400D．500【答案】B【解答】解：当x≥40时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），代入点（40，800）和点（80，1300），得，解得，∴y＝x+300（x≥40），当x＝100时，y＝＝1550，1550﹣13×100＝250（元），∴售完这100件商品可盈利250元，故选：B．8．（2023•合肥三模）直线l1：y＝kx+b和l2：y＝bx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵直线l 1：经过第一、三象限，∴k ＞0，∴﹣k ＜0．又∵该直线与y 轴交于正半轴，∴b ＞0．∴直线l 2经过第一、三、四象限．故选：A ．二．解答题（共5小题）9．（2023•新县校级三模）“五一”劳动节到了，为在学生中弘扬劳动精神，让学生在做中学、学中做、家校合力共推劳动教育．五一假期老师布置了与父母互换身份，做一天父母的工作，体会劳动并感受父母的艰辛，理解、感恩父母，小李和妈妈互换身份，帮妈妈卖干果，他上午卖出4kg 甲种类和3kg 乙种类干果获得利润为85元，下午卖出7kg 甲种类和5kg 乙种类干果获得利润为145元．（1）求每千克甲种类干果和乙种类干果的销售利润各是多少；（2）小李的妈妈想一次购进两种干果共100kg 用于销售，其中乙种类干果的进货量不超过甲种类干果的进货量的，请你帮小李妈妈设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．【答案】（1）每千克甲种类干果的销售利润为10元，每千克乙种类干果的销售利润为15元；（2）购进甲种类干果60kg ，乙种类干果40kg 时，销售总利润最大，总利润的最大值为1200元．【解答】解：（1）设每千克甲种类干果的销售利润为x 元，每千克乙种类干果的销售利润为y 元，根据题意得：解得答：每千克甲种类干果的销售利润为10元，每千克乙种类干果的销售利润为15元．（2）设购进甲种类干果akg，则购进乙种类干果（100﹣a）kg，获得总利润为w元，w＝10a+15（100﹣a）＝﹣5a+1500，∵﹣5＜0，∴w的值随着a值的增大而减小，∵，∴a≥60，∴a＝60时，w＝﹣5×60+1500＝1200，100﹣a＝100﹣60＝40．答：购进甲种类干果60kg，乙种类干果40kg时，销售总利润最大，总利润的最大值为1200元．10．（2023•阿瓦提县模拟）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．（1）第26天的日销售量是　320　件，日销售利润是　640　元．（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）日销售利润不低于600元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？【答案】（1）320；640；（2）y＝；（3）日销售利润不低于600元的天数共有16天，日销售最大利润是720元．【解答】解：（1）340﹣（26﹣22）×5＝320（件），320×（8﹣6）＝640（元）．故答案为：320；640；（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx，将（17，340）代入y＝kx中，340＝17k，解得：k＝20，∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x．根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340﹣5（x﹣22）＝﹣5x+450．联立两线段所表示的函数关系式成方程组，得，解得：，∴交点D的坐标为（18，360），∴y与x之间的函数关系式为y＝；（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（8﹣6）×20x≥600，解得：x≥15；当18＜x≤30时，根据题意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥600，解得：x≤30．∴15≤x≤30．30﹣15+1＝16（天），∴日销售利润不低于600元的天数共有16天．∵点D的坐标为（18，360），∴日最大销售量为360件，360×2＝720（元），∴试销售期间，日销售最大利润是720元．11．（2023•沭阳县模拟）如图，直线AB：y＝x+与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D．（1）求点A和点B的坐标；（2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为腰的等腰三角形的点Q的坐标．【答案】（1）点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，）；（2）点P的坐标为（2，﹣）；（3）点Q的坐标为：（2，）或（2，）或（2，）．【解答】解：（1）对于y＝x+，令x＝0，则y＝，令y＝0，解得x＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，）；（2）设直线AP交y轴于点H，设直线AP的表达式为：y＝k（x+2），当x＝0时，y＝2k，当x＝2时，y＝4k，即点H、P的坐标分别为（0，2k），（2，4k），+S△HBA＝×AC×BH＝×（﹣2k）＝，则△ABP的面积＝S△HBP解得：k＝﹣，∴点P的坐标为（2，﹣）；（3）由（2）知，点P的坐标为（2，﹣），点A（﹣2，0），设点Q（2，t），由勾股定理得：AP2＝（2+2）2+（）2＝16+，同理可得：PQ2＝（t+）2，AQ2＝16+t2，当AP＝PQ时，即16+＝（t+）2，解得t＝或，故点Q的坐标为（2，）或（2，）；当AP＝AQ时，即16+＝16+t2，解得t＝（负值已舍去），故点Q的坐标为（2，）；综上，点Q 的坐标为：（2，）或（2，）或（2，）．12．（2023•乾安县一模）杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．称重时，秤钩所挂物重为x （斤）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y （厘米）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且y 是x 的一次函数．x （斤）0.751.001.502.253.25y （厘米）﹣2124711注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y （厘米）为正，在右侧时为负．（1）根据题意，完成上表；（2）请求出y 与x 的关系式；（3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由表格中的数据可得，每增加1厘米，重物增加0.25斤，故当y ＝4时，x ＝1.00+（4﹣2）×0.25＝1.50，当x ＝3.25时，y ＝7+（3.25﹣2.25）÷0.25＝11，故答案为：1.50，11；（2）设y 与x 的关系式为y ＝kx +b ，∵点（0，﹣2），（0.75，1）在该函数图象上，∴，解得，即y 与x 的关系式为y ＝4x ﹣2；（3）当y ＝15时，15＝4x ﹣2，解得x ＝4.25，即当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是4.25斤．13．（2023•甘南县一模）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA 表示货车离甲地的距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关。

2023年中考数学复习----《一次函数之与方程、与不等式》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 一次函数与一元一次方程：①若一次函数()0≠+=k b kx y 的图像经过点()n m ，，则一元一次方程n b kx =+的解为m x =。

②若一次函数()0111≠+=k b x k y 的图像与一次函数()0222≠+=k b x k y 的图像的交点坐标为()n m ，，则一元一次方程2211b x k b x k +=+的解为m x =。

2. 一次函数与二元一次方程组：若一次函数()0111≠+=k b x k y 的图像与一次函数()0222≠+=k b x k y 的图像的交点坐标为()n m ，，则二元一次方程组⎩⎨⎧=−+=−+002211y b x k y b x k 的解为⎩⎨⎧==n y m x 。

3. 一次函数与不等式：①若一次函数()0≠+=k b kx y 的图像经过点()n m ，，则不等式n b kx ＞+的解集取点()n m ，上方所在图像所对应的自变量范围；不等式n b kx ＜+的解集取点()n m ，下方所在图像所对应的自变量范围。

②若一次函数()0111≠+=k b x k y 的图像与一次函数()0222≠+=k b x k y 的图像的交点坐标为()n m ，，则不等式2211b x k b x k ++＞的解集取函数()0111≠+=k b x k y 的图像在()0222≠+=k b x k y 图像上方的部分所对应的自变量的范围；不等式2211b x k b x k ++＜的解集取函数()0111≠+=k b x k y 的图像在()0222≠+=k b x k y 图像下方的部分所对应的自变量的范围。

这两部分都是以两个函数的交点为分界点存在。

专项练习题26．（2022•贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax +b 与y ＝m x +n （a ＜m ＜0）的图像如图所示．小星根据图像得到如下结论：①在一次函数y ＝mx +n 的图像中，y 的值随着x 值的增大而增大；②方程组⎩⎨⎧=−=−n mx y b ax y 的解为⎩⎨⎧=−=23y x ； ③方程mx +n ＝0的解为x ＝2；④当x ＝0时，ax +b ＝﹣1．其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】①根据一次函数的函数的增减进行判断便可；②根据一次函数与二元一次方程组的关系判断便可；③根据一次函数图像与x 的交点坐标进行判断便可；④根据一次函数图像与y 轴交点坐标进行判断便可．【解答】解：①由函数图像可知，直线y ＝mx +n 从左至右呈下降趋势，所以y 的值随着x 值的增大而减小，故①错误；②由函数图像可知，一次函数y ＝ax +b 与y ＝mx +n （a ＜m ＜0）的图像交点坐标为（﹣3，2），所以方程组的解为，故②正确；③由函数图像可知，直线y ＝mx +n 与x 轴的交点坐标为（2，0），所以方程mx +n ＝0的解为x ＝2，故③正确；④由函数图像可知，直线y ＝ax +b 过点（0，﹣2），所以当x ＝0时，ax +b ＝﹣2，故④错误；故选：B ．27．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝2x +b 与直线y ＝﹣3x +6相交于点A ，则关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧+−=+=632x y b x y 的解是（ ）A ．⎩⎨⎧==02y xB ．⎩⎨⎧==31y xC ．⎩⎨⎧=−=91y xD ．⎩⎨⎧==13y x 【分析】由图像交点坐标可得方程组的解．【解答】解：由图像可得直线的交点坐标是（1，3），∴方程组的解为．故选：B ．28．（2022•杭州）已知一次函数y ＝3x ﹣1与y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的图像的交点坐标是（1，2），则方程组⎩⎨⎧=−=−013y kx y x 的解是 ． 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【解答】解：∵一次函数y ＝3x ﹣1与y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的图像的交点坐标是（1，2），∴联立y ＝3x ﹣1与y ＝kx 的方程组的解为：，故答案为：．29．（2022•陕西）在同一平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x +4与y ＝2x +m 相交于点P （3，n ），则关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+−=−+0204m y x y x 的解为（ ） A ．⎩⎨⎧=−=51y x B ．⎩⎨⎧==13y x C ．⎩⎨⎧==31y x D ．⎩⎨⎧−==59y x 【分析】先将点P （3，n ）代入y ＝﹣x +4，求出n ，即可确定方程组的解．【解答】解：将点P （3，n ）代入y ＝﹣x +4，得n ＝﹣3+4＝1，∴P （3，1），∴原方程组的解为，故选：B ．30．（2022•南通）根据图像，可得关于x 的不等式kx ＞﹣x +3的解集是（ ）A ．x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜1D ．x ＞1【分析】先根据函数图像得出交点坐标，根据交点的坐标和图像得出即可．【解答】解：根据图像可知：两函数图像的交点为（1，2），所以关于x 的一元一次不等式kx ＞﹣x +3的解集为x ＞1，故选：D ．31．（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y ＝kx +b （k 、b 为常数，且k ＜0）的图像与直线y ＝31x 都经过点A （3，1），当k x +b ＜31x 时，根据图像可知，x 的取值范围是（ ）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＜1D ．x ＞1【分析】根据题意和函数图像，可以写出当kx +b ＜x 时，x 的取值范围．【解答】解：由图像可得，当x ＞3时，直线y ＝x 在一次函数y ＝kx +b 的上方，∴当kx +b ＜x 时，x 的取值范围是x ＞3，故选：A ．32．（2022•徐州）若一次函数y ＝k x +b 的图像如图所示，则关于k x +23b ＞0的不等式的解集为 ．【分析】利用待定系数法求得b ＝﹣2k ，再利用一元一次不等式解法得出答案．【解答】解：∵一次函数y ＝kx +b 的图像过点（2，0），∴2k +b ＝0，∴b ＝﹣2k ，∴关于kx+b＞0∴kx＞﹣×（﹣2k）＝3k，∵k＞0，∴x＞3．故答案为：x＞3．33．（2022•西宁）如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1＜y2时，x的取值范围是．【分析】根据两函数的交点坐标和函数的图像得出x的范围即可．【解答】解：∵直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2），∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜1，故答案为：x＜1．34．（2022•扬州）如图，函数y＝k x+b（k＜0）的图像经过点P，则关于x的不等式k x+b ＞3的解集为．【分析】根据函数图像中的数据和一次函数的性质，可以写出等式kx+b＞3的解集．【解答】解：由图像可得，当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1．。

解析式及与不等式中考要求例题精讲平移规律：一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则模块一 一次函数图象的几何变换【例1】 将直线2y x =向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为（ ）A ．21y x =-B ．22y x =-C ．21y x =+D ．22y x =+【解答】直线2y x =向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为()21y x =-，即22y x =-．故选B ．【巩固】直线2(2)y x =-可以由直线2y x =向 平移 个单位得到的． 【答案】下，4【巩固】一次函数23y x =-的图象可以看成由正比例函数2y x =的图象向 （填“上”和“下”）平移 个单位得到的．【答案】下，3【巩固】把函数2y x =的图像向右平行移动3个单位，求：（1）平移后得到的直线解析式；（2）平移后的直线到两坐标轴距离相等的点的坐标．【解析】（1）因为直线2y x =向右平移3个单位，所以2k =，且平移后经过点()30，．设所求解析式为2y x b =+，将()30，代入，得6b =-．所以所求直线解析式为26y x =-． （2）因为到两坐标轴距离相等的点在直线y x =或y x =-上，所以解方程组 26y x y x =-⎧⎨=⎩和26y x y x =-⎧⎨=-⎩,得66x y =⎧⎨=⎩和22x y =⎧⎨=-⎩ 【答案】（1）26y x =-；（2）()6,6或()2,2-模块二 用待定系数法求一次函数解析式先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．☞待定系数法【例2】 如果(0)y kx k =≠的自变量增加4，函数值相应地减少16，则k 的值为（ ）A.4B.4-C.14D.14-【解析】由题意得：16(4)y k x -=+，将y kx =带入等式，即16(4)kx k x -=+，所以解出4x =- 【答案】B【例3】 已知y n +与x m +成正比例，其中m 、n 是常数，当1x =时，1y =-，当1x =-时，7y =-.求y与x 的函数关系．【答案】根据题意，设()y n k x m +=+(0k =/),即()y kx km n =+-由题意，得17k km n k km n +-=-⎧⎨-+-=-⎩①②，解得3k =，4km n -=-.所求函数关系式为34y x =-.【巩固】已知y 与1x -成正比例，且当3x =时5y =.求y 与x 之间的函数关系式． 【答案】y 与1x -成正比例，设(1)y k x =-(0k =/)当3x =时，5y =，求得52k =，y 与x 之间的函数关系式为5522y x =-【巩固】已知y 与1x -成正比例，且当3x =时5y =.求y 与x 之间的函数关系式． 【解析】y 与1x -成正比例，设(1)y k x =- (0k =/)当3x =时，5y =，求得52k =，y 与x 之间的函数关系式为5522y x =-【答案】5522y x =- 【例4】 已知一次函数的图象经过(32)，和(12)-，两点．求这个一次函数的解析式． 【答案】24y x =-【例5】 已知一次函数y kx b =+中自变量x 的取值范围为26x -<<，相应的函数值的范围是119y -<<，求此函数的解析式。

2021年中考数学分类专题提分训练：一次函数与不等式综合（一）1．如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为．2．如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为．3．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为．4．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c 的解为．5．如图，直线y ＝kx +b （k ＜0）经过点A （3，1），当kx +b ＜x 时，x 的取值范围为 ．6．如图，直线y ＝kx +b 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，则不等式x （kx +b ）＜0的解集为 ．7．如图，直线y 1＝﹣x +a 与y 2＝bx ﹣4相交于点P ，已知点P 的坐标为（1，﹣3），则关于x 的不等式﹣x +a ＜bx ﹣4的解集是 ．8．如图，一次函数y ＝﹣x ﹣2与y ＝2x +m 的图象相交于点P （n ，﹣4），则关于x 的不等式组的解集为 ．9．如图，直线y ＝kx 和y ＝ax +4交于A （1，k ），则不等式kx ﹣6＜ax +4＜kx 的解集为 ．10．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集为．11．如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是．12．函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集为．13．如图是一次函数的y＝kx+b图象，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为．14．如图，直线y＝kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为．15．如图，已知函数y ＝2x +b 与函数y ＝kx ﹣3的图象交于点P ，则不等式kx ﹣3＞2x +b 的解集是 ．16．一次函数y 1＝kx +b 与y 2＝x +a 的图象如图，则kx +b ＞x +a 的解集是 ．17．如图，经过点B （﹣2，0）的直线y ＝kx +b 与直线y ＝4x +2相交于点A （﹣1，﹣2），则不等式4x +2＜kx +b ＜0的解集为 ．18．如图，函数y ＝ax ﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax ﹣1＞2的解集是 ．19．如图，直线y＝kx+b经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜x的解集为．20．如图，直线y＝kx+b（k＞0）与x轴的交点为（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集是．参考答案1．解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），∴x＜4时，y＜2，∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为x＜4．故答案为x＜4．2．解：函数y＝ax+b的图象如图所示，图象经过点A（4，1），且函数值y随x的增大而增大，故不等式ax+b＜1的解集是x＜4．故答案为：x＜4．3．解：∵图象过（﹣6，0），则0＝﹣6k+b，则b＝6k，故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0，∵k＜0，∴x﹣2＜0，解得：x＜2．故答案为：x＜2．4．解：点P（m，3）代入y＝x+2，∴m＝1，∴P（1，3），结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1；故答案为x≤1；5．解：∵正比例函数y＝x也经过点A，∴kx+b＜x的解集为x＞3，故答案为：x＞3．6．解：不等式x（kx+b）＜0化为或，利用函数图象得为无解，的解集为﹣3＜x＜0，所以不等式x（kx+b）＜0的解集为﹣3＜x＜0．故答案为﹣3＜x＜0．7．解：当x＞1时，函数y＝﹣x+a的图象都在y＝bx﹣4的图象下方，所以不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集为x＞1；故答案为x＞1．8．解：∵一次函数y＝﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），∴﹣4＝﹣n﹣2，解得n＝2，∴P（2，﹣4），又∵y＝﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），∴关于x的不等式2x+m＜﹣x﹣2＜0的解集为﹣2＜x＜2．故答案为﹣2＜x＜2．9．解：如图，由y＝kx﹣6与y＝ax+4得OB＝4，OC＝6，∵直线y＝kx平行于直线y＝kx﹣6，∴＝＝＝，分别过A，D作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，则AM∥DN∥y轴，∴＝＝，∵A（1，k），∴OM＝1，∴MN＝，∴ON＝，∴D点的横坐标是，∴1＜x＜时，kx﹣6＜ax+4＜kx，解法二：将A（1，k）代入y＝ax+4，得到a+4＝k，∴a＝k﹣4，∴y＝（k﹣4）x+4，将y＝kx向下平移6个单位得到y＝kx﹣6，∴x＝，过程图象可知，满足条件的x的值为1＜x＜．故答案为：1＜x＜．10．解：∵y＝kx+b，kx+b＜0∴y＜0，由图象可知：x＜1故答案为：x＜111．解：当x＞3时，x+b＞kx+6，即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．故答案为：x＞3．12．解：根据图示知：一次函数y＝kx+b的图象x轴、y轴交于点（1，0），（0，﹣2）；即当x＜1时，函数值y的范围是y＜0；因而当不等式kx+b＜0时，x的取值范围是x＜1．故答案为：x＜113．解：由图可知：当x＞﹣2时，y＞0，即kx+b＞0；因此kx+b＞0的解集为：x＞﹣2．14．解：直线OA的解析式为y＝﹣2x，当﹣2≤x≤﹣1时，0≤kx+b≤﹣2x．故答案为：﹣2≤x≤﹣1．15．解：把P（4，﹣6）代入y＝2x+b得，﹣6＝2×4+b解得，b＝﹣14把P（4，﹣6）代入y＝kx﹣3解得，k＝﹣把b＝﹣14，k＝﹣代入kx﹣3＞2x+b得，﹣x﹣3＞2x﹣14解得，x＜4．故答案为：x＜4．16．解：由图象得：不等式组kx+b＞x+a的解集是x＜﹣2．故答案为：x＜﹣2．17．解：∵经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），∴直线y＝kx+b与直线y＝4x+2的交点A的坐标为（﹣1，﹣2），直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为B（﹣2，0），又∵当x＜﹣1时，4x+2＜kx+b，当x＞﹣2时，kx+b＜0，∴不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为﹣2＜x＜﹣1．故答案为：﹣2＜x＜﹣1．18．解：方法一∵把（1，2）代入y＝ax﹣1得：2＝a﹣1，解得：a＝3，∴y＝3x﹣1＞2，解得：x＞1，方法二：根据图象可知：y＝ax﹣1＞2的x的范围是x＞1，即不等式ax﹣1＞2的解集是x＞1，故答案为：x＞1．19．解：将A（3，1）和B（6，0）分别代入y＝kx+b得，，解得，则函数解析式为y＝﹣x+2．可得不等式组，解得3＜x＜6．故答案为3＜x＜6．20．解：∵直线y＝kx+b（k＞0）与x轴的交点为（﹣2，0），∴y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y＜0，即kx+b＜0．故答案为：x＜﹣2．2021年中考数学分类专题提分训练：一次函数与不等式综合（二）1．已知直线y＝kx+b（k≠0）与x轴和y轴的交点分别是（1，0）和（0，﹣2），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是．2．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx+n的图象与y＝kx+b的图象交于点P（﹣1，2），则不等式mx﹣b≥kx﹣n的解集为．3．若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解是．4．如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则的解集为．5．同一直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b与正比例函数y＝k2x的图象如图所示，则满足k1x+b＞k2x的x取值范围是．6．如图．函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为．7．当a取时，一次函数y＝3x+a+6与y轴的交点在x轴下方．（在横线上填上一个你认为恰当的数即可）8．如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P（1，﹣3），则关于x的不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集是．9．若直线y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+b过A（0，﹣3），B（5，2），直线l：y＝k2x+2．当x≥4时，不等式k1x+b＞k2x+2恒成立，写出一个满足题意的k2的2值为．11．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是．12．一次函数y1＝ax+3与y2＝kx﹣1的图象如图所示，则不等式kx﹣ax＜4的解集是．13．如图两条相交直线y1与y2的图象如图所示，当x时，y1＜y2．14．如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣c的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣c的解集是．15．一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如图所示，则0＜mx+n＜﹣x+a的解集为．16．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为．17．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为．18．如图是两个一次函数y1＝mx+n和y2＝kx+b在同一平面直角坐标系中的图象，则关于x的不等式kx+b＞mx+n的解集是．19．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为．20．若函数y＝ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集为．参考答案1．解：把（1，0）和（0，﹣2）代入y＝kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y＝2x﹣2，解不等式2x﹣2＜0得x＜1．故答案为x＜1．2．解：∵函数y＝mx+n的图象与y＝kx+b的图象交于点P（﹣1，2），∴当x≥﹣1时，mx+n≥kx+b，∴不等式mx﹣b≥kx﹣n的解集为x≥﹣1．故答案为x≥﹣1．3．解：方法1、∵一次函数y＝kx﹣b经过点（2，0），∴2k﹣b＝0，b＝2k．函数值y随x的增大而减小，则k＜0；解关于k（x﹣3）﹣b＞0，移项得：kx＞3k+b，即kx＞5k；两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜5．故答案为：x＜5方法2、解：将直线y＝kx﹣b向右平移3个单位长度即可得到直线y＝k（x﹣3）﹣b，如图所示．观察图形可知：当x＜5时，直线y＝k（x﹣3）﹣b在x轴上方．故答案为：x＜5．4．解：∵当x＞﹣2时，y＝x+b＞0，当x＜3时，y＝kx+2＞0，∴的解集为﹣2＜x＜3．故答案为﹣2＜x＜3．5．解：当x≤﹣3时，直线l1：y1＝k1x+b都在直线l2：y2＝k2x的上方，即k1x+b＞k2x．∴满足k1x+b＞k2x的x取值范围是x＜﹣3，故答案为：x＜﹣3．6．解：函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，所以当x＜2时，函数值小于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．故答案为：x＜2．7．解：一次函数y＝3x+a+6中令x＝0，解得y＝a+6，由于交点在x轴下方，得到a+6＜0，解得a＜﹣6，因而横线上填上一个小于﹣6的数就可以．故本题答案为：﹣7．8．解：当x＞1时，函数y＝﹣x+a的图象都在y＝bx﹣4的图象下方，所以不等式﹣x+a ＜bx﹣4的解集为x＞1；故答案为x＞1．9．解：直线y＝kx+b的图象经过点（1，0），且函数值y随x的增大而减小，∴不等式kx+b＞0的解集是x＜1．故本题答案为：x＜1．10．解：∵直线l1：y＝k1x+b过A（0，﹣3），B（5，2），∴，解得∴直线l1的表达式为y＝x﹣3，∵当x≥4时，不等式x﹣3＞k2x+2恒成立，∴4﹣3＞4k2+2，∴k2＜﹣，∴取k2＝﹣1满足题意，故答案为﹣1．11．解：联立两函数解析式成方程组，得：，解得：．∴当x＜﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．∴函数y＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．故答案为：2．12．解：∵一次函数y1＝ax+3与y2＝kx﹣1的图象的交点坐标为（1，2），∴当x＜1时，y1＞y2，∴不等式kx﹣1＜ax+3（kx﹣ax＜4）的解集为x＜1．故答案为x＜1．13．解：观察图象得：当x＞a时，y1＜y2；故答案为＞a．14．解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣c的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等3x+b＞ax﹣c的解集是x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．15．解：由图可得，当0＜mx+n时，x＞2；当mx+n＜﹣x+a时，x＜3；∴不等式组0＜mx+n＜﹣x+a的解集为2＜x＜3，故答案为：2＜x＜3．16．解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象与y轴交于点A（0，3），∴b＝3，∴一次函数解析式为y＝﹣2x+3，解不等式﹣2x+3＞0得x＜．故答案为x＜．17．解：∵一次函数y＝kx+b的图象过（﹣6，0），∴0＝﹣6k+b，∴b＝6k，∴3kx﹣b＝3kx﹣3k＞0，∵函数图象经过第二、三、四象限，∴k＜0，∴x﹣1＜0，解得：x＜1．故答案为：x＜1．18．解：如图所示：不等式kx+b＞mx+n的解集为：x＜1．故答案为：x＜1．19．解：∵一次函数y＝﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），∴﹣4＝﹣n﹣2，解得n＝2，∴P（2，﹣4），又∵y＝﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），∴关于x的不等式组的解集为：﹣2＜x＜2．故答案为：﹣2＜x＜2．20．解：函数y＝ax+b的图象经过点（2，0），函数值y随x的增大而减小，∴不等式ax+b≥0的解集为x≤2．故本题答案为：x≤2．2021年中考数学分类专题提分训练：一次函数与不等式综合（三）1．如图，已知函数y1＝kx﹣1和y2＝x﹣b的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式kx﹣1＞x﹣b的解集是．2．如图，函数y1＝﹣2x和y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是3．如图，一次函数y＝﹣x+3与一次函数y＝2x+m图象交于点A（﹣2，n），则关于x的不等式组，的解集为．4．如图，直线y＝ax+1与y＝﹣x+4交于点E，点A，B，C，D分别是两条直线与坐标轴的交点．则结论：①a＞0；②点B的坐标是（0，1）；③S△BDE＝3；④当x＞2时，ax+1＜﹣x+4中，正确的有．（只填序号）5．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象如图所示，则关于x 的一元一次不等式kx＜﹣x+3的解集是．6．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx﹣1的图象相交于点P，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为．7．若直线y1＝ax+2（a＞0）与直线y2＝kx（k＞0）的交点坐标为（1，k），则不等式kx﹣3＜ax+2＜kx的解集是．8．如图，函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集为．9．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+5的图象的交点坐标为（2，3），则关于x的不等式﹣x+5＞kx+b的解集为．10．函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式y1＞y2的解集为．11．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列四个结论中正确的是（填写序号）．①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；②k+b＞0；③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x≤2．12．如图，直线y＝kx+b（k＜0，k，b为常数）经过点A（3，1），则不等式kx+b＜1的解为．13．如图，y＝kx+b（k≠0）的图象，则kx+b＞0的解集为．14．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论，其中正确的有．（只填写序号）①a＞0②k＜0，且y的值随着x值的增大而减小．③关于x的方程kx+b＝x+a的解是x＝3④当x＞3时，y1＜y2，15．如图，直线y＝kx﹣b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＜kx﹣b的解集为．16．如图，一次函数y＝﹣x+1与y＝2x+m的图象相交于点P（n，2），则关于x的不等式﹣x+1≥2x+m的解集为．17．如图，一次函数y＝﹣x﹣6与y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象相交于点A（m，﹣2），则m＝，关于x的不等式组的解是．18．如图，函数y1＝﹣2x和y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，m），则关于x的不等式﹣2x≥ax+3的解集是．19．如图，直线y＝kx+b（k＞0）交x轴于点A（﹣3，0），交直线y＝x于点B，则根据图象可知，不等式x（kx+b）＜0的解集为．20．已知函数y1＝k1x+b1与函数y2＝k2x+b2的图象如图所示，则不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集是．参考答案1．解：∵函数y1＝kx﹣1和y2＝x﹣b的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式kx﹣1＞x﹣b的解集是x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．2．解：∵函数y1＝﹣2x和y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，2），∴不等式﹣2x＞ax+3的解集为x＜﹣1．故答案为x＜﹣1．3．解：当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则一次函数y＝﹣x+3与x轴的交点坐标为（3，0），∵一次图数y＝﹣x+3与一次函数y＝2x+m图象交于点A（﹣2，n），∴关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜3．故答案为﹣2＜x＜3．4．解：由函数y＝ax+1的图象可知，y随x的增大而增大，∴a＞0，故①正确；在直线y＝ax+1中，令x＝0，则y＝1，∴直线y＝ax+1与y轴的交点B为（0，1），故②正确；由函数y＝﹣x+4可知，D的坐标为（0，4），∴BD＝3，∵E的横坐标为2，∴S△BDE＝＝3，故③正确；由图象可知，当x＞2时，函数y＝ax+1在函数y＝﹣x+4的上方，∴ax+1＞﹣x+4，故④错误，故答案为①②③．5．解：根据图象可知：两函数的交点为（1，2），所以关于x的一元一次不等式kx＜﹣x+3的解集为x＜1，故答案为：x＜1．6．解：当x＞﹣1，函数y＝x+b的图象在函数y＝kx﹣1图象的上方，所以关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．7．解：把（1，k）代入y1＝ax+2，可得k＝a+2，解得a＝k﹣2，∴y1＝（k﹣2）x+2，令y3＝kx﹣3，则当y3＜y1时，kx﹣3＜（k﹣2）x+2，解得x＜1；当ax+2＜kx时，（k﹣2）x+2＜kx，解得x＞，∴不等式组kx﹣3＜ax+2＜kx的解集为1＜x＜，故答案为：1＜x＜．8．解：函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，所以当x＞2时，函数值小于0，即关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＞2．故答案为：x＞2．9．解：当x＜2时，直线y＝﹣x+5在直线y＝kx+b的上方，所以不等式﹣x+5＞kx+b的解集为x＜2．故答案为：x＜2．10．解：由图可得，当x＞2时，k1x+b1＞k2x+b2，所以不等式y1＞y2的解集为x＞2．故答案为：x＞2．11．解：由y2＝x+m知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°，故①的结论正确；由图知：当x＝1时，函数y1图象对应的点在x轴的上方，因此k+b＞0故②的结论不正确；由图知：当x＞2时，函数y1图象对应的点都在y2的图象下方，因此关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＞2，故③的结论不正确；故答案为①②．12．解：∵y＝kx+b经过A（3，1），不等式kx+b＜1的解集为x＞3，故答案为：x＞3．13．解：由图可知：当x＜3时，y＞0，即kx+b＞0；因此kx+b＞0的解集为：x＜3．故答案为：x＜3．14．解：y2＝x+a的图象与y轴交与负半轴，则a＜0，故①错误；直线y1＝kx+b从左往右呈下降趋势，则k＜0，且y的值随着x值的增大而减小，故②正确；一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象交点横坐标为3，则关于x的方程kx+b＝x+a的解是x＝3，故③正确；一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象交点横坐标为3，当x＞3时，y1＜y2，故④正确；故正确的有②③④，故答案为：②③④．15．解：不等式4x+2＜kx﹣b表示的是直线y＝4x+2的图象位于直线y＝kx﹣b的图象的下方，则由点A（﹣1，﹣2）的坐标得：x＜﹣1．故答案为：x＜﹣1．16．解：∵一次函数y＝﹣x+1与y＝2x+m的图象相交于点P（n，2），∴﹣n+1＝2，解得：n＝﹣1，观察图象知：关于x的不等式﹣x+1≥2x+m的解集为x≤﹣1，故答案为x≤﹣1．17．解：把A（m，﹣2）代入y＝﹣x﹣6得﹣m﹣6＝﹣2，解得m＝﹣3，当y＝0时，﹣x﹣6＝0，解得x＝﹣，即直线y＝﹣x﹣6与x轴的交点坐标为（﹣，0），当x＞﹣时，y＝﹣x﹣6＜0，而当x＜﹣3时，kx+b＜﹣x﹣6，所以关于x的不等式组的解集为﹣＜x＜﹣3．故答案为﹣3，﹣＜x＜﹣3．18．解：∵函数y1＝﹣2x和y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，m），∴不等式﹣2x≥ax+3的解集为x≤﹣1，故答案为：x≤﹣1．19．解：由不等式x（kx+b）＜0化简为或，由图象可知无解，的解集为﹣3＜x＜0，∴不等式x（kx+b）＜0的解集为﹣3＜x＜0，故答案为﹣3＜x＜0．20．解：根据图象得，当x＜1时，y1＜y2．故答案为：x＜1。