初三数学专题复习数形结合思想 一次函数与二次函数的图像与性质

初三二次函数的图像与性质二次函数是初中数学中的一个重要概念。

在数学学习的过程中，我们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。

本文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。

一、二次函数的定义及一般式二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。

它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。

当$a>0$时，抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。

二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。

其中，$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，$c$影响抛物线和$y$轴的交点。

【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图像和性质。

解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，$c=1$。

由于$a>0$，所以抛物线开口向上。

考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。

首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。

代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。

因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。

接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。

顶点坐标可以通过将对称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。

将$x=\frac{3}{4}$代入$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。

因此，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。

不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二次函数的图像。

它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。

一次函数与二次函数的性质及其像一次函数和二次函数在数学中扮演着重要的角色。

本文将探讨一次函数和二次函数的性质以及它们的像。

我们将首先介绍一次函数，然后转向二次函数，并详细讨论两者的相似之处和不同之处。

一、一次函数（线性函数）一次函数是指具有以下形式的函数：f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不等于零。

一次函数的图像是一条直线，直线的斜率为a，截距为b。

斜率表示了直线的倾斜程度，截距则表示了直线与y轴的交点。

一次函数的性质：1. 直线的斜率决定了函数的增减性。

当斜率大于零时，函数单调递增；当斜率小于零时，函数单调递减。

2. 零点是一次函数的特殊点，即f(x) = 0的解。

零点表示函数与x轴的交点，也就是函数的根。

3. 一次函数的图像是一条直线，因此没有曲线部分。

4. 一次函数的像是一条直线。

二、二次函数（抛物线函数）二次函数是指具有以下形式的函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b 和c为常数，且a不等于零。

二次函数的图像是一条抛物线，抛物线可能开口向上（a>0）或向下（a<0），具体取决于二次函数的开口方向。

二次函数的性质：1. 抛物线的顶点是二次函数的特殊点，即顶点的横坐标为 -b/2a。

顶点表示抛物线的最高或最低点。

2. 当二次函数的a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 抛物线的轴对称线是与抛物线关于该线对称的直线，其方程为x = -b/2a。

4. 二次函数的像是一条抛物线。

一次函数与二次函数的相似之处：1. 一次函数和二次函数都是多项式函数的特殊形式。

2. 一次函数和二次函数都是连续函数，其图像没有间断。

3. 一次函数和二次函数的像都可以用解析式表示。

一次函数与二次函数的不同之处：1. 一次函数是一条直线，而二次函数是一条抛物线。

2. 一次函数的最高次幂是1，而二次函数的最高次幂是2。

3. 一次函数的图像没有曲线部分，而二次函数的图像有曲线部分。

一次函数与二次函数一次函数和二次函数是初等数学中最基本的函数类型，它们在现实生活中有着广泛的应用。

本文将对一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及应用进行详细的介绍。

一、一次函数1. 定义：一次函数是指形如y = ax + b（a≠0）的函数，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。

一次函数又称为线性函数。

2. 性质：（1）一次函数的图像是一条直线，且斜率为a，截距为b。

（2）当a>0时，一次函数的图像从左到右呈上升趋势；当a<0时，一次函数的图像从左到右呈下降趋势。

（3）当a>0且b>0时，一次函数的图像在第一象限；当a>0且b<0时，一次函数的图像在第四象限；当a<0且b>0时，一次函数的图像在第二象限；当a<0且b<0时，一次函数的图像在第三象限。

3. 图像：一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距可以通过公式y = ax + b计算得出。

4. 应用：一次函数在实际生活中有很多应用，例如速度与时间的关系、距离与时间的关系、价格与数量的关系等。

二、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax² + bx + c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。

二次函数又称为抛物线函数。

2. 性质：（1）二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），对称轴为x = -b/2a。

（2）当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

（3）当Δ= b² - 4ac > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ= b² - 4ac = 0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ= b² - 4ac < 0时，二次函数没有实根。

3. 图像：二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标、对称轴和判别式可以通过公式y = ax² + bx + c计算得出。

二次函数与一次函数的像与性质在数学中，函数是描述不同元素间关系的一种工具。

二次函数和一次函数是两种常见的函数类型，它们在图像形状、性质和应用方面存在着一些明显的差异。

本文将探讨二次函数和一次函数的像与性质，并简要介绍它们在实际生活中的应用。

一、二次函数的像与性质二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。

二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向取决于a的正负。

以下是对二次函数的一些重要性质的介绍：1. 零点：二次函数的零点是函数与x轴相交的点，即令y=0时对应的x值。

根据二次函数的定义，可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c =0来确定零点的值。

2. 顶点：二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

顶点坐标可以通过急升或求导的方法来找到。

当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。

3. 对称轴：二次函数的对称轴是过顶点的垂直线，其方程为x = -b/2a。

对称轴将抛物线分为两个对称的部分。

左侧部分的y值与右侧部分的y值相等，即满足函数关系。

4. 开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

5. 函数值范围：根据二次函数的开口方向，可以确定函数的最小值或最大值。

当a>0时，函数的最小值为顶点的y值；当a<0时，函数的最大值为顶点的y值。

二、一次函数的像与性质一次函数的一般形式为y = mx + b，其中m、b是常数。

一次函数的图像通常是一条直线，其斜率m决定了直线的斜率和方向。

以下是对一次函数的一些重要性质的介绍：1. 斜率：一次函数的斜率表示直线的倾斜程度，可以通过两点间的坐标差值来计算。

如果两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么斜率m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

二次函数和一次函数的概念和性质二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型。

它们在数学领域具有重要的概念和性质。

本文将介绍二次函数和一次函数的定义、图像特征、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、二次函数的概念和性质二次函数是指函数的公式中含有二次方项的函数形式。

一般来说，二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是常数，且a不等于0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。

当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。

二次函数的图像特征还包括顶点坐标和轴对称性。

对于标准形式的二次函数f(x)，顶点的x坐标为 -b/2a，y坐标为 f(-b/2a)。

此外，二次函数具有轴对称性，即以顶点为对称轴。

二、一次函数的概念和性质一次函数是指函数的公式中只含有一次方项的函数形式。

一般来说，一次函数的标准形式为：f(x) = mx + b其中，m和b是常数，且m不等于0。

一次函数的图像通常是一条直线，具有斜率和截距。

一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，斜率越大，函数图像的倾斜程度越大；斜率为正表示函数上升，斜率为负表示函数下降。

一次函数的截距表示函数图像与y轴的交点坐标。

三、二次函数和一次函数的比较1. 图像特征：二次函数的图像为抛物线，具有开口方向、顶点和轴对称性；一次函数的图像为直线，具有斜率和截距。

2. 变化趋势：二次函数的变化趋势在抛物线上是非线性的，根据a的正负值可以分为开口向上或开口向下的情况；一次函数的变化趋势线性，变化速率恒定。

3. 特殊性质：二次函数的顶点坐标可以通过公式 -b/2a 计算得出，具有对称性；一次函数没有特殊的对称性质。

四、二次函数和一次函数的应用1. 二次函数的应用：二次函数在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。

例如，自由落体运动的物体高度和时间的关系、抛物线轨迹的碰撞问题等都可以使用二次函数进行建模和解决。

2. 一次函数的应用：一次函数在线性方程组、经济学和工程学中也有重要的应用。

一次函数与二次函数的基本性质总结一次函数与二次函数在数学中是非常重要的函数类型，它们在各个领域的应用非常广泛。

以下是一次函数和二次函数的基本性质总结。

一、一次函数的基本性质1. 定义：一次函数又称为线性函数，其表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。

2. 斜率：一次函数的斜率表示了函数图像的倾斜程度，斜率为正表示函数上升，斜率为负表示函数下降，斜率为零表示函数水平。

3. 截距：一次函数的截距表示了函数图像与y轴的交点位置，当x 为0时，函数的值为截距b。

4. 图像：一次函数的图像为一条直线，且直线方向与斜率相关。

5. 平行和垂直：一次函数的图像平行于x轴时，斜率为0；平行于y轴时，没有斜率；斜率相等的一次函数平行。

二、二次函数的基本性质1. 定义：二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c 为常数，其中a≠0。

2. 平移和翻折：二次函数可以通过平移和翻折来改变其图像的位置和形状。

平移可以由a、b和c的值来控制；翻折可以通过改变a的正负来实现。

3. 顶点坐标：二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

4. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点和x轴垂直的线，其方程为x = -b/2a。

5. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

6. 最值：二次函数的最值即抛物线的最高点或最低点，当a>0时存在最小值，当a<0时存在最大值。

综上所述，一次函数和二次函数有着不同的性质和表现形式。

一次函数是一条直线，其关键在于斜率和截距的确定；二次函数是一个抛物线，其关键在于顶点、对称轴、开口方向和最值的确定。

这些性质和特点是我们研究和应用一次函数和二次函数的基础，对于理解和解决具体问题非常有帮助。

在实际应用中，我们可以利用这些性质来分析和解决与一次函数和二次函数相关的问题，如物理运动、经济模型等等。

一次函数与二次函数的性质比较一次函数和二次函数是数学中常见的两种函数形式，它们在图像形状、特征以及应用领域上有着显著的不同。

本文将就一次函数和二次函数的性质方面进行比较，并通过实例来说明它们在实际问题中的应用。

一、图像形状比较一次函数的图像是一条直线，它的数学表达式为y = ax + b，其中a和b为常数，a表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。

在直角坐标系中，一次函数的图像呈现为一条直线，斜率决定了直线的倾斜方向和陡峭程度，截距决定了直线与y轴的交点。

一次函数的图像特点是直线，不会有凹凸或者拐点。

二次函数的图像是一个抛物线，它的数学表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不为零。

在直角坐标系中，二次函数的图像呈现为一个开口朝上或者朝下的抛物线，a决定了抛物线的开口方向和开口的大小，b表示抛物线的平移，c表示抛物线与y轴的交点。

二次函数的图像特点是曲线，有一个最高点或者最低点，称为顶点，也可能与x轴交于两点。

二、特征比较一次函数和二次函数在一些特征上也有着明显的差异。

1. 斜率与曲率：一次函数的斜率是恒定的，而二次函数的斜率是变化的。

一次函数的斜率代表了函数图像的倾斜程度，也表示了函数在x轴方向上的单位变化量。

二次函数的斜率则反映了抛物线的斜率变化率，即曲线在不同点的陡峭程度。

2. 零点与顶点：一次函数的零点是表示函数与x轴的交点，即函数值为0的点。

一次函数只有一个零点，除非函数是常数函数。

二次函数的零点可能有两个，一个抛物线与x轴的交点称为根，二次函数的根可以是实数根或者复数根。

二次函数的顶点是抛物线的最高点或者最低点，是函数的最值点。

3. 面积与符号：一次函数的面积是一个个矩形，由于直线与x轴的交点与x坐标轴构成矩形的底边，而直线值的高度为常数，所以矩形的面积是利用长乘以宽来计算的。

二次函数的面积则是一个个梯形的面积，梯形的面积计算公式为：(上底 + 下底) ×高 ÷ 2。

人教版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣32．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+13．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x24．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝时,y ＝（m 2﹣1）是二次函数．7．（仙游县期中）若y ＝（m +1）x 2+mx ﹣1是关于x 的二次函数,则m 满足 ． 8．如果函数y ＝（m +1）x+2是二次函数,那么m ＝ ．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a 1 a 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．10．用“描点法”画二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象时,列出了如下表格：x … 1 2 3 4 … y ＝ax 2+bx +c…﹣13…那么该二次函数在x ＝0时,y ＝ ．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？参考答案一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣3【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义,可得答案．【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数,故A错误；B、y＝3x2﹣1是二次函数,故B正确；C、y＝（x+1）2﹣x2不含二次项,故C错误；D、y＝x3+2x﹣3是三次函数,故D错误；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义,形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数,要先化简再判断．2．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+1【考点】二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】整理成一般形式,根据二次函数定义即可解答．【解答】解：A、该函数中自变量x的次数是1,属于一次函数,故本选项错误；B、该函数是反比例函数,故本选项错误；C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x+1,属于一次函数,故本选项错误；D、该函数符合二次函数定义,故本选项正确．故选：D．【点评】考查了二次函数的定义：一般地,形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数,叫做二次函数．其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）也叫做二次函数的一般形式．3．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x2【考点】二次函数的定义．【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可．【解答】解：A、y＝1﹣x2是二次函数；B、y＝2（x﹣1）2+4＝2x2﹣4x+6,是二次函数；C、y＝（x﹣1）（x+4）＝x2+x﹣2,是二次函数；D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4,是一次函数；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的定义,掌握二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．4．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】正比例函数的图象；二次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向,与y轴的交点；一次函数经过的象限,与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0,c）,∴两个函数图象交于y轴上的同一点,排除B、C；当a＞0时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,排除D；当a＜0时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,A正确；故选：A．【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0,图象经过一、三象限；小于0,经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0,图象开口向上；二次项系数小于0,图象开口向下．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】一次函数的图象；二次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】由y＝ax2+bx+c的图象判断出a＜0,b＜0,于是得到一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限,即可得到结论．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下,∴a＜0,∵对称轴在y轴的左侧,∴b＜0,∴一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限．【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象,解题的关键是明确二次函数的性质,由函数图象可以判断a、b的取值范围．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝2时,y＝（m2﹣1）是二次函数．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,再解出m的值即可．【解答】解：由题意得：m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,解得：m＝2,故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是注意二次函数的二次项系数不为零．7．（仙游县期中）若y＝（m+1）x2+mx﹣1是关于x的二次函数,则m满足m≠﹣1．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m+1≠0,再解不等式即可．【解答】解：由题意得：m+1≠0,解得：m≠﹣1,故答案为：m≠﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．8．如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数,那么m＝2．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数,∴m2﹣m＝2,（m﹣2）（m+1）＝0,解得：m1＝2,m2＝﹣1,∴m≠﹣1,故m＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义,正确得出m的方程是解题关键．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a1＞a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【考点】二次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【解答】解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口,开口向下,则a2＜a1＜0,故答案为：＞．【点评】此题主要考查了二次函数的图象,正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．10．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时,列出了如下表格：x…12 3 4…y＝…0﹣1 0 3 …ax2+bx+c那么该二次函数在x＝0时,y＝3．【考点】二次函数的图象．【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值,确定二次函数的对称轴,利用抛物线的对称性找到当x＝0时,y的值即可．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1,0）和点（3,0）,∴对称轴为x＝2,∴当x＝4时的函数值等于当x＝0时的函数值,∵当x＝4时,y＝3,∴当x＝0时,y＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质,利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？【考点】一次函数的定义；二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】（1）根据二次项的系数等于零,一次项的系数不等于零,可得方程和不等式,根据解方程和不等式,可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零,可得不等式,根据不等式,可得答案．【解答】解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0,∴m≠0且m≠1．【点评】本题考查了二次函数的定义,二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．【考点】二次函数的定义．【专题】常规题型．【分析】根据二次函数定义可得m2+2m﹣1＝2且m﹣1≠0,再解即可．【解答】解：∵y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,∴m2+2m﹣1＝2,解得m＝1或﹣3,∵m﹣1≠0,∴m≠1,∴m＝﹣3．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时,x的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4,∴对称轴是过点（2,4）且平行于y轴的直线x＝2；（2）列表得：x…﹣1012345…y…﹣503430﹣5…描点,连线．（3）由图象可知,当y＜0时,x的取值范围是x＜0或x＞4．【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质,要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用二次函数的图象,从而求出y＜0时,x的取值．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7．【考点】一次函数的图象；一次函数与一元一次不等式；二次函数的图象．【专题】一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质．【分析】（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；（2）①根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集．【解答】解：（1）②由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1,故答案为：x＞3或x＜1；③图象如右图所示,当﹣1＜x＜1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,当x＜﹣1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＜0,由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1,故答案为：+,﹣,x＞3或﹣1＜x＜1；（2）①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2,故答案为：x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2；②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7,故答案为：x＞9或x＜8且x≠7【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意,写出相应的不等式的解集．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？【考点】二次函数的图象．【专题】常规题型．【分析】（1）先利用描点、连线的方法画出图形；（2）找出函数图象位于x轴上方时,自变量x的范围即可．【解答】解：（1）描点、连线得：（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时,y＞0．【点评】本题主要考查的是二次函数的图形,数形结合是解题的关键．。

【本讲主要内容】一次函数和二次函数的性质与图象【知识掌握】 【知识点精析】1. 一次函数定义：形如)0(≠+=a b ax y 的函数叫一次函数。

一次函数图象：斜率为a ，在y 轴上截距为b 的直线。

一次函数性质：在（－∞，+∞）上是单调函数，a>0增函数，a<0减函数。

2. 二次函数（1）定义：形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数。

（2）图象：抛物线，对称轴：abx 2-=，顶点)442(2a b ac a b --，，开口方向a>0向上；a<0向下。

（3）二次函数的基本性质 <1>二次函数的三种表示法：n x x a y x x x x a y c bx ax y +-=--=++=20212)();)((;<2>当a>0，f(x)在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令)(210q p x +=若p ab<-2，则M q f m p f ==)()(， 若02x a b p <-≤，则M q f m a bf ==-)()2(，若q a b x <-≤20，则m a bf M p f =-=)2()(，；若q ab ≥-2，则m q f M p f ==)()(，特别提醒：（1）学习“二次”函数时，要注意所给出函数解析式是不是“二次”的，即2x 项的系数是否为零，必要时加以讨论。

（2）一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式常常联系起来考查，要理清它们之间的联系，解题时要做到适时转换。

（3）图象要记熟，它是我们记忆的关键。

【解题方法指导】例1. （1）设x 、y 是关于m 的方程0622=++-a am m 的两个实根，则22)1()1(-+-y x 的最小值是（ ）A. 4112- B. 18C. 8D.43 剖析：由0)6(4)2(2≥+--=∆a a ，得2-≤a 或3≥a 。

二次函数与一次函数二次函数和一次函数是高中数学中的常见函数类型。

本文将从图像、性质和应用三个方面介绍二次函数和一次函数。

一、图像1. 二次函数的图像二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线，可以分为三种情况：情况一：a > 0时，抛物线开口朝上。

此时抛物线的顶点是最小值点。

情况二：a < 0时，抛物线开口朝下。

此时抛物线的顶点是最大值点。

情况三：a = 0时，二次函数退化为一次函数。

2. 一次函数的图像一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为实数且k ≠ 0。

一次函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。

二、性质1. 二次函数的性质（1）顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

其中f(x)为二次函数。

（2）对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。

（3）开口方向：二次函数开口方向由系数a的正负决定。

（4）最值：当抛物线开口朝上时，最小值点为顶点；当抛物线开口朝下时，最大值点为顶点。

2. 一次函数的性质（1）斜率：斜率k表示直线的倾斜程度。

当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，直线平行于x 轴。

（2）截距：截距b表示直线与y轴的交点，当x=0时，函数值为b。

三、应用1. 二次函数的应用（1）物体抛体运动：考虑到重力的作用，物体在抛体运动中的轨迹可以由二次函数的图像表示。

（2）开口朝上的喷水池：喷水池的喷水高度可以用二次函数来描述，根据喷水池的造型可以确定二次函数的系数。

2. 一次函数的应用（1）成本与效益分析：通常情况下，成本与效益之间呈线性关系，可以用一次函数进行建模与分析。

（2）人口增长预测：根据过去的人口数据可以用一次函数对未来的人口增长进行预测。

综上所述，二次函数和一次函数在数学中具有重要地位。

一、基础知识复习：（一）一次函数：1、函数叫做一次函数（也叫线性函数），k叫做，b叫做2、一次函数的图像和性质（二）二次函数：1、函数叫做二次函数，定义域为2、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：（2）顶点式：（3）两根式：3、研究二次函数的基本方法——配方法、数形结合（图像）4、二次函数的图像和性质（三）函数零点：1、零点：如果函数()y f x=在实数α处的值，即，则叫做这个函数的零点2、函数的零点就是函数图像，也就是方程()0f x=的，求函数()f x的零点即求3、根的存在性定理：函数()y f x=在一个区间[a,b]上的图像连续不断，若()()0f a f b<，则在区间[a,b]上，存在一点，使说明：①该定理只能判断变号零点的存在，不能确定零点的个数，也无法判断不变号零点的情况②若函数()f x在区间[a,b]内单调，且()()0f a f b<，则函数在[a,b]内4、二分法求函数的零点（变号零点）：二分法的基本步骤：第一步：确定定义域的一个子区间[,]a b,验证: ，给定精确度第二步：取区间(,)a b的中点x0= ，计算判断：（1）如果，则x0就是函数的零点，计算终止；（2）如果，令b=，则零点位于区间中，（3）如果，令a=，则零点位于区间中，第三步：判断是否达到精确度，即区间端点的近似值按照给定精确度相同时，得到近似零点，计算终止，否则重复第二步。

（四）指数运算1、根式的性质：___(1,)n n N+=>∈且⎧=⎨⎩____,当n为奇数时____,当n为偶数时2、0a= （）na-= （）mna= = (0,,,ma m n Nn+>∈且为既约分数）（分数指数幂与根式互化）3、有理指数幂的运算性质：设0,0,,a bαβ>>为有理数⑴a aαβ= ⑵()aαβ= ⑶()abα=注意：指数运算最重要的是“同底运算”（五）指数函数1、定义：一般地，形如的函数叫做指数函数。

一次函数与二次函数的基本性质一次函数和二次函数是数学中常见的两类函数。

它们在数学建模、物理学、经济学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍一次函数和二次函数的基本性质，并比较它们之间的异同点。

一、一次函数的基本性质1. 定义：一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a 和b为常数，且a≠0。

一次函数的图像是一条直线。

2. 斜率：一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，计算方法为斜率k = Δy / Δx = (f(x₂)-f(x₁)) / (x₂-x₁)。

斜率为正时，函数图像向上倾斜，斜率为负时，函数图像向下倾斜，斜率为0时，函数图像水平。

3. 截距：一次函数的截距是函数图像与坐标轴的交点。

当x=0时，函数图像与y轴的交点为y-intercept，即为函数的纵截距。

当y=0时，函数图像与x轴的交点为x-intercept，即为函数的横截距。

4. 性质：一次函数图像是一条直线，其特点是斜率恒定。

另外，一次函数的定义域和值域都是实数集。

二、二次函数的基本性质1. 定义：二次函数又称为抛物线，其定义为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，且a≠0。

二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线。

2. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，也就是使得f(x) = 0的x值。

零点可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来得到。

3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，其横坐标x = -b / 2a 可以通过公式来计算得到。

4. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的对称线，过顶点且垂直于x轴。

对称轴的方程为x = -b / 2a。

5. 性质：二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线。

当a>0时，图像开口向上，函数有最小值；当a<0时，图像开口向下，函数有最大值。

二次函数的定义域是实数集，而值域则依赖于a的正负情况。

一次函数与二次函数的特性总结一次函数和二次函数是数学中常见的两种函数类型。

它们在代数学和几何学中都有重要的应用。

本文将总结一次函数和二次函数的特性，包括函数图像、方程特征以及解析性质等方面。

一、一次函数的特性：一次函数的一般形式为：y = kx + b，其中k和b为常数。

一次函数的特性如下：1. 函数图像：一次函数的图像为一条直线。

当k>0时，直线的斜率为正，表明函数呈递增趋势；当k<0时，直线的斜率为负，表明函数呈递减趋势。

b表示直线在y轴上的截距，它决定了直线与y轴的交点。

2. 方程特征：一次函数的方程可以通过截距和斜率来确定。

例如，当k=2，b=3时，函数方程为y = 2x + 3。

这个函数的斜率为2，截距为3。

3. 解析性质：一次函数的解析性质非常简单。

因为一次函数的图像是一条直线，所以它只有一个根（零点）。

通过解一次方程可以求得该根。

二、二次函数的特性：二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。

二次函数的特性如下：1. 函数图像：二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线的开口方向由a的符号决定。

2. 方程特征：二次函数的方程可以通过顶点坐标、开口方向和轴对称性来确定。

顶点的横坐标为：x = -b / (2a)，纵坐标为：y = 二次函数在顶点处的函数值。

开口方向由二次系数a的正负号决定。

二次函数关于顶点所在直线对称。

3. 解析性质：二次函数的解析性质较复杂。

可以使用配方法、求完全平方和、关于顶点的平移等方法求解二次方程。

三、一次函数与二次函数的对比：1. 图像形状区别：一次函数的图像是一条直线，而二次函数的图像是一条抛物线。

2. 变化趋势区别：一次函数的斜率决定了直线的变化趋势，而二次函数的二次系数a 决定了抛物线的开口方向。

3. 解析性质区别：一次函数的解析性质较简单，可以通过解一次方程求解。

一次函数和二次函数的性质与图象Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】【本讲主要内容】一次函数和二次函数的性质与图象【知识掌握】 【知识点精析】1. 一次函数定义：形如)0(≠+=a b ax y 的函数叫一次函数。

一次函数图象：斜率为a ，在y 轴上截距为b 的直线。

一次函数性质：在（－∞，+∞）上是单调函数，a>0增函数，a<0减函数。

2. 二次函数（1）定义：形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数。

（2）图象：抛物线，对称轴：abx 2-=，顶点)442(2a b ac a b --，，开口方向a>0向上；a<0向下。

（3）二次函数的基本性质 <1>二次函数的三种表示法：n x x a y x x x x a y c bx ax y +-=--=++=20212)();)((;<2>当a>0，f(x)在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令)(210q p x +=若p ab<-2，则M q f m p f ==)()(， 若02x a b p <-≤，则M q f m a bf ==-)()2(，若q a b x <-≤20，则m a bf M p f =-=)2()(，；若q ab ≥-2，则m q f M p f ==)()(，特别提醒：（1）学习“二次”函数时，要注意所给出函数解析式是不是“二次”的，即2x 项的系数是否为零，必要时加以讨论。

（2）一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式常常联系起来考查，要理清它们之间的联系，解题时要做到适时转换。

（3）图象要记熟，它是我们记忆的关键。

【解题方法指导】例1. （1）设x 、y 是关于m 的方程0622=++-a am m 的两个实根，则22)1()1(-+-y x 的最小值是（ ）A. 4112-B. 18C. 8D. 43剖析：由0)6(4)2(2≥+--=∆a a ，得2-≤a 或3≥a 。

一次函数与二次函数的图像与性质一次函数和二次函数是数学中常见的函数类型。

它们在图像和性质上有着明显的区别。

本文将分别对一次函数和二次函数的图像及性质进行介绍。

一、一次函数的图像与性质一次函数又称为线性函数，它的表达式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。

一次函数的图像是一条直线，具有以下性质：1. 斜率：一次函数的斜率代表了直线的倾斜程度。

斜率为正值时，直线向右上方倾斜；斜率为负值时，直线向右下方倾斜；斜率为零时，直线为水平线。

2. 截距：一次函数的截距代表了直线与y轴的交点。

当x=0时，直线与y轴的交点为截距b。

3. 线性关系：一次函数的图像是一条直线，表示了两个变量之间的线性关系。

直线方程中的斜率a表示了自变量x单位增加时因变量y的增加量。

二、二次函数的图像与性质二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像是一条抛物线，具有以下性质：1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是函数的根。

零点也是方程y=0的解。

3. 极值点：二次函数的极值点是指函数图像的最高点或最低点。

当抛物线开口向上时，极值点是最低点；开口向下时，极值点是最高点。

4. 对称轴：二次函数的对称轴是指抛物线的中心线，对称轴的方程为x=-b/(2a)。

对称轴把抛物线分为两个对称的部分。

5. 最值：二次函数的最值是指函数图像的最低点或最高点的纵坐标值。

总结：一次函数和二次函数在图像与性质上具有明显的区别。

一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距，表示了线性关系。

而二次函数的图像是一条抛物线，具有开口方向、零点、极值点、对称轴和最值等性质。

了解和掌握一次函数和二次函数的图像与性质，对于数学问题的解决和实际应用具有重要意义。

探索初中数学复习中的二次函数与一次函数数学是一门重要而又广泛应用的学科。

在初中数学学习中，二次函数和一次函数是常见的内容之一。

本文将探索初中数学复习中的二次函数与一次函数的概念、性质以及它们在实际生活中的应用。

一、二次函数的定义与性质1. 二次函数的定义二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

其中，a 决定了二次函数的开口方向和形状。

2. 二次函数的图像特点当 a > 0 时，二次函数的图像开口朝上；当 a < 0 时，二次函数的图像开口朝下。

二次函数的顶点坐标为 (h, k)，其中 h = -b/2a，k = f(h)。

3. 二次函数的性质①抛物线的对称轴方程为 x = -b/2a，对称轴通过抛物线的顶点。

②抛物线与 x 轴的交点称为零点，可用求根公式或配方法求得。

③二次函数的最值点为顶点，最大值或最小值取决于a 的正负性。

二、一次函数的定义与性质1. 一次函数的定义一次函数是指形如 g(x) = kx + d 的函数，其中 k、d 是实数且k ≠ 0。

一次函数的图像是一条直线。

2. 一次函数的图像特点一次函数的图像是一条直线，斜率 k 决定了直线的倾斜程度，截距 d 决定了直线与 y 轴的交点。

3. 一次函数的性质①直线的斜率k = Δy/Δx，表示 y 的增量与 x 的增量之比。

②直线的 x 轴截距为 (0, d)，y 轴截距为 (d, 0)。

③两直线的交点为两个方程组的解，可用消元法或代入法求得。

三、二次函数与一次函数的关系1. 二次函数的导函数与一次函数的关系二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的导函数为 f'(x) = 2ax + b。

当a ≠ 0 时，导函数为一次函数。

2. 二次函数与一次函数的图像特点对比二次函数的图像是一条抛物线，而一次函数的图像是一条直线。

二次函数的图像可以打开朝上或朝下，而一次函数的图像始终是一条斜直线。