第7章 目标规划 筹学与最优化方法-课件

（2）、绝对约束和目标约束
我们把所有等式、不等式约束分为两部分：绝 对约束和目标约束。
7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等 式约束；如在线性规划问题中考虑的约束条 件，不能满足这些约束条件的解称为非可行
解，所以它们是硬约束。设例7.1.1 中生产A，
x1 + d1- -d1+ = 9 x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 12x1+18x2 + d4- -d4+ =252
(7.1.1) (7.1.2)
(7.1.3) (7.1.4)
7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
(3)、优先因子与权系数． 对于多目标问题，设有L个目标函数f1,f2,,fL,
决策者在要求达到这些目标时，一般有主次
之分。为此，我们引入优先因子Pi ，i =
1,2,,L.无妨设预期的目标函数优先顺序为 f1,f2,,fL,我们把要求第一位达到的目标赋于 优先因子P1，次位的目标赋于优先因子
P2、…，并规定 Pi >> Pi+1，i = 1,2,,L-1.
7.1 目标规划模型
集合。
最后，考虑第四优先级要求 min（d1- + 2d2- ) ， 即要在黑色粗线段中找出最优解。由于d1- 的 权因子小于d2- ，因此在这里可以考虑取d2- =0。 于是解得d1-=5，最优解为A点x = 3，y = 8。
§7.2目标规划的几何意义及图解法
x
G-1
20
-+
15 + -
10 A(3,8)
（LGP）中的第二行是K个目标约束，第三行是 m个绝对约束，ckj 和gk 是目标参数。
§7.2 目标规划的几何意义及图解法 对只具有两个决策变量的目标规划的数学 模型，我们可以用图解法来分析求解．通过图 解示例，可以看到目标规划中优先因子，正、 负偏差变量及权系数等的几何意义。
§7.2目标规划的几何意义及图解法
B产品所需原材料数量有限制，并且无法从其 它渠道予以补充，则构成绝对约束。
目标约束是目标规划特有的，我们可以把约束 右端项看作要努力追求的目标值，但允许发 生正式负偏差，用在约束中加入正、负偏差 变量来表示，于是称它们是软约束。
7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
对于例7.1.1, 我们有如下目标约束
§7.2 目标规划的几何意义及图解法 （续） 下面用图解法来求解例7.1.1
我们先在平面直角坐标系的第一象限内， 作出与各约束条件对应的直线，然后在
这些直线旁分别标上 G-i ，i = 1，2，3， 4。图中x，y分别表示问题（7.1.5）的x1
和x2；各直线移动使之函数值变大、变 小的方向用 +、- 表示 di+ ,di- （如图7.1.1 所示）．
其基本形式有三种：
① 要求恰好达到目标值，即使相应 目标约束的正、负偏差变量都要尽可能 地小。这时取 min （d + + d - )；
② 要求不超过目标值，即使相应目 标约束的正偏差变量要尽可能地小。这 时取 min （d + )；
§7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
向 量量 消把 成0各即级可目得标到行初中始对单应纯d形i- （表i=。1,置2,…k ＝,K1）；的
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
(2)检查当前第k行中是否存在大于0，且对应 的前k-1行的同列检验数为零的检验数。若有取 其中最大者对应的变量为换入变量，转(3)。若 无这样的检验数，则转(5)；
(1) 因为目标规划问题的目标函数都是求 最小化，所以检验数的最优准则与线性规划是 相同的；
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
(2) 因为非基变量的检验数中含有不同等级的
优 检先 验因 数子的，整体Pi来>>看P：i+1，Pi+i1=（1i,2=,1,2,L,-1,.L于-1是）从优每先个
K
min
Pl [
(lkdk
d lk k
)]
n
l1 k1
(LGP)s.t.
ckjxj dk dk gk ,
j1
k 1,2,, K
Байду номын сангаас
n
aijxj (,)bi , i 1,2,,m
j1
xj ,dk,dk 0, j 1,2,,n,k 1,2,, K
§7.1 目标规划模型
7.1.3 目标规划模型的一般形式 (续)
我们在第一级目标的最优解集合中找满足 第二优先级要求min（d3+ )的最优解.取d3+= 0 , 可得到图 7 – 3 中阴影部分即是满足第一、第 二优先级要求的最优解集合。
§7.2目标规划的几何意义及图解法
x
G-1
20
-+
15 + -
10 A(3,8)
5
+
G-3
G-4
-
0
5
10 15
20
图7 - 2
§7.2目标规划的几何意义及图解法
x 20
+ 15
10
5
0
5
G-1 -+
+ G-2
+ - G-3
G-4
10 15 20
y
图7 - 1
§7.2目标规划的几何意义及图解法
下面我们根据目标函数的优先因子来分析 求解．首先考虑第一级具有P1优先因子的目 标的实现，在目标函数中要求实现min（d1++ d2+ ),取d1+=d2+ =0.图 7 – 2 中阴影部分即表示 出该最优解集合的所有点。
那
第一个目标为: x1 9 ，x2 8 ； 第二个目标为: 4x1 + 6x2 60 ；
第三个目标为: 希望总利润最大，要表示成
不等式需要找到一个目标上界，这里可以估 计为252（=129 + 188），于是有
12x1 + 18x2 252； 第四个目标为: x1 9，x2 8；
7.1 目标规划模型
§7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
综合上述分析，我们可得到下列目标规划模型
Min f = P1（d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4（d1- + 2d2- )
s.t. x1
+ d1- -d1+ = 9
x2 + d2- -d2+ = 8
级第k个检验数的正、负首先决定于 P1 ，
P2 ，… ，Pi 优先级第k个检验数的正、负。若P1
级第k个检验数为0，则此检验数的正、负取决于 P2级第k个检验数；若P2 级第k个检验数仍为0， 则此检验数的正、负取决于P3级第k个检验数， 依次类推。换一句话说，当某Pi 级第k个检验数
为负数时，计算中不必再考察Pj（ j > I ）级第k
+ G-2
-
y
§7.2目标规划的几何意义及图解法
x
G-1
20
-+
15 + -
10 A(3,8)
5
+
G-3
G-4
-
0
5
10 15
20
图7 – 3
+ G-2
-
y
§7.2目标规划的几何意义及图解法
第三优先级要求 min（d4- )，根据图示可知， d4- 不可能取0值，我们取使d4- 最小的值72得到 图7–4 中两阴影部分的交线(黑色粗线)，其表 示满足第一、第二及第三优先级要求的最优解
（4）、目标规划的目标函效．
目标规划的目标函数是通过各目标约 束的正、负偏差变量和赋于相应的优先等 级来构造的．
§7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
决策者的要求是尽可能从某个方向缩小偏 离目标的数值。于是，目标规划的目标函数 应该是求极小：min f ＝ f （d +，d -)．
个检验数的正、负情况；
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
（3）根据（LGP）模型特征，当不含绝对约束
时 在，寻d找i- 单（纯i=形1,2法,…初始,K可）构行成点了时一，组这基个本特可点行是解很。
有用的。
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤
(1)建立初始单纯形表．在表中将检验数行按 优先因子个数分别列成K行。初始的检验数需 根据初始可行解计算出来，方法同基本单纯形 法 成。 了当 一不组含基绝本对可约 行束 解时 ，， 这d时i- 只（需i=1利,2用,…相,K应）单构位
满意解。否则置k = k+1，返回（2）。
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
例7.3.1 试用单纯形法来求解例7.1.1的目标规划 模型(7.1.5)
(3)按单纯形法中的最小比值规则确定换出变 量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时， 选取具有较高优先级别的变量为换出变量，转 （4）；
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
(4)按单纯形法进行基变换运算，建立新的 单纯形表，（注意：要对所有的行进行转轴 运算）返回(2)；
(5)当k ＝ K 时，计算结束。表中的解即为
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
这 P即1级时在目可计标不算的考过基虑程础次中上级, 首考目先虑标保的；证，而P以P12级此级目类目标推标的。是实当在现实需，现要 区别具有相同优先因子的若干个目标的差别时， 可 权分 系别 数赋的于值它，们均不 由同 决的 策权 者系 按数 具w体j 情。况优来先确因定子．及