14第14章 动能定理

§14.1 ～14. 314.1 狭义相对论的两条基本原理为相对性原理；光速不变原理。

14.2 s ′系相对s 系以速率v=0.8c ( c 为真空中的光速）作匀速直线运动，在S 中观测一事件发生在m x s t 8103,1×==处，在s ′系中测得该事件的时空坐标分别为t =′x 1×108 m 。

分析：洛伦兹变换公式：)t x (x v −=′γ，)x ct (t 2v −=′γ其中γ=，v =β。

14.3 两个电子沿相反方向飞离一个放射性样品，每个电子相对于样品的速度大小为0.67c ， 则两个电子的相对速度大小为：【C 】（A ）0.67c （B ）1.34c （C ）0.92c （D ）c分析：设两电子分别为a 、b ，如图所示：令样品为相对静止参考系S ， 则电子a 相对于S 系的速度为v a = -0.67c （注意负号）。

令电子b 的参考系为动系S '（电子b 相对于参考系S '静止），则S '系相对于S 系的速度v =0.67c 。

求两个电子的相对速度即为求S '系中观察电子a 的速度v'a 的大小。

根据洛伦兹速度变换公式可以得到：a a a v cv v 21v v −−=′，代入已知量可求v'a ，取|v'a |得答案C 。

本题主要考察两个惯性系的选取，并注意速度的方向（正负）。

本题还可选择电子a 为相对静止参考系S ，令样品为动系S '（此时，电子b 相对于参考系S '的速度为v'b = 0.67c ）。

那么S '系相对于S 系的速度v =0.67c ，求两个电子的相对速度即为求S 系中观察电子b 的速度v b 的大小。

14.4 两个惯性系存在接近光速的相对运动，相对速率为u （其中u 为正值），根据狭义相对论，在相对运动方向上的坐标满足洛仑兹变换，下列不可能的是：【D 】（A ）221c u/)ut x (x −−=′； （B ）221cu/)ut x (x −+=′ （C ）221c u /)t u x (x −′+′=； （D ）ut x x +=′ 分析：既然坐标满足洛仑兹变换（接近光速的运动），则公式中必然含有2211cv −=γ，很明显答案A 、B 、C 均为洛仑兹坐标变换的公式，答案D 为伽利略变换的公式。

FT1＝
m2 g
2cos
,
FT1＝FT1
cos m1 m2 g m1l 2
质点的惯性力与动静法
例 题2
y 振动筛
y
平衡位置 O
y＝a sin t
求：颗粒脱离台面的 最小振动频率
质点的惯性力与动静法 例 题 2
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。
y
y
FI FN m
m1g (FT1 FT2 )cos 0
对于重锤 C
FT1＝FT3 ,
FT1＝
m2 g
2cos
,
FT1＝FT1
质点的惯性力与动静法 例 题 1
解：
Fx1 0 Fy1 0
FT1＝FT3 ,
m1l 2sin (FT1 FT2 )sin 0
m1g (FT1 FT2 )cos 0
Wsin
W g
l
2
W 4
sin
CR W1
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例 题5
半径为R、重量为W1的 大圆轮，由绳索牵引，在
O
重量为W2的重物A的作用 下，在水平地面上作纯滚
动，系统中的小圆轮重量
忽略不计。
A
求：大圆轮与地面之间
的滑动摩擦力
W2
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例 题5
CR
W1
F FN
FO
解：1、受力分析
y
考察整个系统，有4个未知
O
FO 约束力。
x
如果直接采用动静法，需
将系统拆开。因为系统为一
个自由度，所以考虑先应用
A
动能定理，求出加速度，再 对大圆轮应用动静法。

动能和动能定理
动能与质量和速度 的定量关系如何呢？
一架在水平跑道上的飞机在牵引力的作
用下（不记阻力），在起飞跑道上加速
运动，速度越来越大，问：
（1）从力与运动方面分析，哪些物理 量有变化？ （2）从功、能方面分析，什么力在做功，
什么能发生了变化？
水平面上一物体质量为m，在与运动 方向相同的恒力F作用下物体发生一段 位移L，速度由 1 增加到 2 (如图)，
有了动能的表达式后，前面我们推出的
W 1 2 mv
2 2

1 2
mv 1
2
就可以写成 W E K 2 E K 1
这个式子表明什么问题呢?请你用文字叙述一 下。
表明：力（合外力）在一个过程中对物体所做的功， 等于物体在这个过程中动能的变化。 这个结
论就叫做动能定理。
二、动能定理
内容：力（合力）)在一个过程中对物体做的功，等于 物体在这个过程中动能的变化。
2
- 0 2 a L 由牛顿第二定律有：
2 2

F 牵 F阻 ma
合力F为牵引力F牵与F阻之差：
F F 牵 - F阻
根据题意中已知条件：
F阻 0 . 02 mg 1000 N
把已知条件代入上面的式子得：
F 牵 1 . 8 10
4
把已知代入上面的式子解得：
F 牵 1 . 8 10
4
N
N
小 结
应用动能定理解题一般步骤（尤其是变力功、曲线运动）：
1.明确对象和过程：（通常是单个物体）
2.作二分析：
⑴受力分析，确定各力做功及其正负
⑵确定初、末速度,明确初末状态的动能
3.由动能定理列方程：

第14 章动能定理第14 章动能定理能量既可以在不同物体或系统间传递，也可以以不同的形式相互转化。

在涉及工程技术的每门学科或领域中，几乎都要使用能量的方法，因此，本章介绍的概念和方法具有重要的理论和实际意义。

在动力学的三个普遍定理中，动能定理的方法较前者有本质的差别，更有其独到之处。

§14-1 功和功率一、变力在曲线路程中的功常力在直线路程上作功：sF W •=s——力作用点的位移dt d v F r F •=•=W δ元功kj i r k j i F z y x F F F z y x d d d d ++=++=zF y F x F W z y x d d d ++=δ元功的解析表达式：∫∫→→++=•=BA z y x z F y F x F W )d d d (d )(BA r F F 力F 在曲线上由在曲线上由A A 到B 所做的功所做的功：：则)()()(1O M FF W W W ni Ri+=∑=1.1.重力的功重力的功2.2.弹性力的功弹性力的功3。

力偶的功等效力系之功定理二、几种常见力的功},{},,,{21O M F F F F R n =⋯若ymghz z mg W 21=−=)(重力的功取决与始末质点的高度差，与路径无关。

质点系重力的功：g z m g z m z z g m W i i i i i i i )()()(2121∑∑∑−=−=即：Cmgh z z mg W =−=)(21C C 式中为质点系的质量；是重心高度差。

m 21C C z z h C −=2.2.弹性力的功弹性力的功M x)(k W 22212δδ−=变形减小变形减小，，功为正功为正，，反之为负之为负。

2M 弹性力的功取决于弹簧始于弹簧始、、末的变形量变形量，，与弹簧两端的运动轨迹无关无关。

ττϕd d r s =s F W d d δτ=•=r F ϕτd r F =θτcos F F =ϕδd z MW =ϕϕϕd 2112∫=z M W )(12ϕϕ−12ϕ同向为正反向为负3.3.力偶的功力偶的功三、摩擦力的功2.2.动滑动摩擦力的功动滑动摩擦力的功动滑动摩擦力的功（（动滑动摩擦因数为f d ）1.1.静滑动摩擦力的功静滑动摩擦力的功静滑动摩擦力的功（（静滑动摩擦因数为fs ）sF W A A =sF W B B −=0=+=B A W W W )(s s F W A ∆+−=A sF W B B =sF W W W B A ∆⋅−=+=AFAsA四、质点系内力的功2211d d r F r F •+•=W δ)d(d d 2112111r r F r F r F −•=•−•=lF d d 1121−=•−=r F2A 3.滚动摩擦力的功∫→•=BA v F F t W A d )(?)(=F W F比较刚性杆不可伸长的绳索d =l 0F 0F ≠==≠,0d ,0d l l 刚体、、、、不可伸长绳索内力的元功之和为零。