本期第14章勾股定理

勾股定理（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：a b ，c 222a b c +=，， .运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段【清单02】勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.【清单03】勾股定理逆定理 222a c b =-222b c a =-()222c a b ab =+-1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.【清单04】勾股数像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。

勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数【清单05】勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题【考点题型一】一直直角三角形的两边，求第三边长【典例1】已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．25【变式1-1】如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，则BC 的长为（ ）a b c ，，222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ¹+222a b c +<222a b c +>cA．6B C．24D．2【变式1-2】如图，一个零件的形状如图所示，已知∠CAB=∠CBD=90°，AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm，则CD长为（）cm．D．15A．5B．13C．1445【变式1-3】如图，∠C=∠ABD=90∘，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长等于．【考点题型二】等面积法斜边上的高【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=6，CB=8．(1)求AB的长；(2)求AB边上的高CD是多少？【变式2-1】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为（）A．52B．6C．132D．6013【变式2-2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AB=4，AC=2，则CD的长为．【变式2-3】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，则高CD=．【考点题型三】作无理数的线段【典例3】如图，在数轴上点A表示的数为a，则a的值为（）A B．―1C．―1+D．―1―【变式3-1】如图，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1,∠OBC=90°,DC长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（）A B+1C1D【变式3-2】如图，OC=2,BC=1，BC⊥OC于点C，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，若点A表示的数为x，则x的值为（）A B．C―2D．2―【变式3-3】如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A3B．3―C3D．3―【考点题型四】勾股定理的证明【典例4】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形．请根据信息解答下列问题：(1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积．方法1：______．方法2：______．(2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系．(3)如果大正方形的边长为10，且a+b=14，求小正方形的边长．【变式4-1】下面四幅图中，能证明勾股定理的有（）A．一幅B．两幅C．三幅D．四幅【变式4-2】勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连接BD ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 延长线于点F ，则DF =EC =b ―a∵S 四边形ADCB =S △ACD +S △ABC =12b 2+12ab 又∵S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =12c 2+12a (b ―a )∴∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b ―a )∴a 2+b 2=c 2请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB =90°，求证：a 2+b 2=c 2．【变式4-3】我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c 的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ）．(1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．方法1：S 阴影=______；方法2：S 阴影=______；根据以上信息，可以得到等式：______；(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若a=6，b=3，求阴影部分的面积．【考点题型五】直角三角形的判定【典例5】下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．8，12，13【变式5-1】以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A．4，8，7B．5，12，14C．2，2，4D．7，24，25【变式5-2】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A B．1,C．6,7,8D．2,3,4【变式5-3】下列几组数中，不能构成直角三角形的是（）A．9，12，15B．15，36，39C．10，24，26D．12，35，36【考点题型六】勾股定理的逆定理的运用【典例6】如图，一块四边形的空地，∠B=90°，AB的长为9m，BC的长为12m，CD的长为8m，AD的长为17m．为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植1m2草坪需要花费50元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？【变式6-1】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．【变式6-2】定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每一个顶点都在格点上，(1)求∠ABC的度数；(2)求格点四边形ABCD的面积．【变式6-3】如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠B=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，DA=24m，求这块草地的面积．【考点题型七】勾股数的应用【典例7】勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（ ）A ．13，14，512B ．1.5，2，2．5C ．5，15，20D ．9，40，41【变式7-1】下列各组数中，是勾股数的是( )A ．13，14，15B ．3，4，7C ．6，8，10D ．12【变式7-2】下列数组是勾股数的是（ ）A ．2，3，4B ．0.3，0.4，0.5C ．5，12，13D ．8，12，15【变式7-3】下列各组数中是勾股数的是（ ）A ．4，5， 6B ．1.5，2， 2.5C ．11，60， 61D ．12【考点题型八】构造直角三角形解决实际问题【典例8-1】如图，一架2.5m 长的梯子斜靠在墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7m ．(1)求OA 的长度．(2)如果梯子下滑0.4m ，则梯子滑出的距离是否等于0.4m ？请通过计算来说明理由．【典例8-2】小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度CE ，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离BD 为15m ；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线BC （假设BC 是直的线）的长为39m ；③小强牵线的手离地面的距离DE 为1.5m ．(1)求此时风筝的铅直高度CE．(2)若小强想使风筝沿CD方向下降16m（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？【典例8-3】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．(1)求∠ACB的度数；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【变式8-1】一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm，则这支铅笔的长度是（）cm．A．10B．15C．20D．25【变式8-2】如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB的长度是（）A．185cm B．195cm C．205cm D．215cm【变式8-3】如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞米．【变式8-4】如图，大风把一棵树刮断，量得AC=4m，BC=3m，则树刮断前的高度为m．【变式8-5】我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是尺【变式8-6】如图，开州大道上A，B两点相距14km，C，D为两商场，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA=8km，CB=6km．现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等，(1)求E站应建在离A点多少km处？(2)若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？【变式8-7】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)求BC；(2)海港C受台风影响吗？为什么？【典例9】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD 折叠，使点C落在边AB的C′点．(1)求DC′的长度；(2)求△ABD的面积．【变式9-1】如图，长方形ABCD中，AB=9，BC=6，将长方形折叠，使A点与BC的中点F重合，折痕为EH ，则线段BE 的长为（ ）A ．53B ．4C ．52D ．5【变式9-2】如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，则EC 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．3.5cmD ．5cm【变式9-3】如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处，若AB =3，AD =5，求EC 的长．【考点题型十】面展开图-最短路径问题【典例10-1】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 ．【典例10-2】如图，圆柱形杯子容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯子内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm．【变式10-1】临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC 的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（）A．20米B．25米C．30米D．15米【变式10-24cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A．9B．+6C．D．12【变式10-3】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9cm，BC=6cm，BF=5cm，点M在棱AB上，且AM=3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为cm．【变式10-4】如图，圆柱的底面周长是10cm，圆柱高为12cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为．【变式10-5】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是．【变式10-6】如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了m，却踩伤了花草．【变式10-7】如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是cm．。

勾股定理的历史演变勾股定理是数学中的一个重要定理，被广泛应用于几何学、物理学和工程学中。

它是一个简单而又有趣的定理，其历史演变可以追溯到古代文明时期。

一、古代文明时期的起源勾股定理最早可以追溯到古代埃及和美索不达米亚文明时期。

在古埃及文明中，人们已经具备了一些几何知识，并且使用勾股定理进行建筑、土地测量和计算等实际应用。

二、古希腊的贡献在古希腊时期，数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）被认为是勾股定理的发现者。

毕达哥拉斯学派把勾股定理作为其学派的核心理论之一，并开始对勾股定理进行更深入的研究。

毕达哥拉斯学派认为，存在一个具有特殊性质的数，即勾股数，可以用于构造直角三角形。

这些三角形的边长与勾股数之间存在着简单而又美妙的关系。

三、古印度对勾股定理的贡献在古印度文明中，勾股定理也得到了广泛的应用和研究。

古印度数学家阿耶拔多（Baudhayana）在他的著作《贝德豪娜·苏特拉（Baudhayana Sulba Sutra）》中首次描述了勾股定理的应用。

他用勾股定理来解决土地测量和建筑设计中的问题。

四、中国古代数学对勾股定理的发展在中国古代，勾股定理被称为“勾股数学”。

早在公元前11世纪，中国古代数学家商高就已经发现了一些勾股数的性质。

中国古代数学家通过勾股定理解决了很多实际问题，如土地测量、建筑设计和天文测量等。

勾股定理在中国的发展推动了数学在中国古代的繁荣和发展。

五、欧洲的认知和应用在中世纪，勾股定理开始从古希腊传播到欧洲。

欧洲的数学家们对勾股定理进行了更加系统和深入的研究，如尼科拉·费尔马（Pierre de Fermat）和爱德华·威廉·斯泰诺斯（Edward William Steno）等人。

他们提出了更多的证明方法和相关定理，并使勾股定理在欧洲得到了更广泛的应用。

总结回顾：勾股定理的历史演变可以追溯到古代文明时期，经过了埃及、美索不达米亚、古希腊、古印度以及中国古代数学的贡献和发展。

利用与圆有关的几何知识证明勾股定理作者：侯美琦来源：《中学生数理化·学研版》2014年第05期摘要：勾股定理是世界上最伟大的定理之一，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，才使它反复被人论证，本文利用与圆有关的几何知识证明勾股定理。

关键词：勾股定理证明方法一、勾股定理概述《周髀算经》卷上之一记载：昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度。

夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。

故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。

既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。

两矩共长二十有五，是谓积矩。

故禹之所以治天下者，此数之所生也。

”意思是说，直角三角形的直角边为3和4时，斜边必为5. 书中还记载了陈子关于勾股定理的一般叙述：测日高，“若求邪至日，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”，这说明了这时中国已掌握了一般性的勾股定理。

古今中外，证明勾股定理的方法非常多，一位叫卢米斯（E.S.Loomis）的数学家搜集各种证明方法，于 1940 年出版《毕达哥拉斯命题》（The Pythagorean Proposition）一书，收集了367 种证法。

1978 年一位叫刘毓璋的先生在台湾出版名为《易经之数理思想》的著作，在第一章“商高定理”中给出他“搜集及自己创造发明”的证明方法 85 种。

我国古代陈子的解释给出了勾股定理的算法化证明，数学家赵爽第一个用代数方法，根据面积相等，通过计算证得定理；西方数学家以毕达哥拉斯、欧几里得为代表的一批数学家从公理本身出发，借助演绎推理创立了第一流的数学。

二、用与圆有关的几何知识证明定理方法一：利用切割线定理证明.分析：在RtΔABC中，以B为圆心， CB为半径作圆交AB于D，交BE的延长线于E，如图1。

由切割线定理，得方法二：利用三角形的外接圆证明.分析：圆中的托勒密定理是指圆内接四边形两条对角线的乘积等于对边乘积之和.如图2，连接易知四边形为矩形，由托勒密定理，得所以：方法三：利用三角形内切圆证明.分析：如图3，作设圆的半径为r，连接利用面积相等有，方法四：利用三角形的旁切圆证明.分析：以根据面积相等有，以上证明只是众多方法中的冰山一角，笔者会继续研习新的证明方法。

论勾股定理的教育功能重庆市巴南区教科所　邹仁福　重庆市教科院数学组　张晓斌如何以数学学科内容对学生进行素质教育，是摆在我们每一个数学教师面前的一项重大研究课题。

勾股定理是漫漫数学长河中一个非常重要的定理之一，我们在数学教学中通过对勾股定理的教育功能的探讨，以期落实素质教育的实施。

我们还认为，对一个定理以及教育因素的充分挖掘，可以起到以点带面的示范作用。

一、文化功能勾股定理是一条古老的数学定理。

不论什么国家、什么民族，只要是具有自发的（不是外来的）古老文化，他们都会说：我们首先认识的数学定理就是勾股定理。

据史书记载，大禹治水与勾股定理有关，禹在治水的实践中总结出了勾股术（即勾股的计算方法）用来确定两处水位的高低差。

可以说，禹是世界上有史记载的第一位与勾股定理有关的人。

另外，有名的赵州桥的大桥孔直径的计算以及现在还流行在民间木匠手中的角尺（用于确定直角的用具）都直接和勾股定理有关。

更有趣的是我国著名数学家华罗庚教授在《数学的用场和发展》一文中谈到了想象中的首次宇宙“语言”，就提出把“数形关系”（勾股定理）（见下图）带到其它星球，作为地球与其它星球上的“人”进行第一次“谈话”的语言。

可以说勾股定理是传承人类文明的使者，是人类智慧的结晶，是古代文化的精华。

二、德育功能1．由勾股定理的产生对学生进行爱国主义教育。

我国是最早了解勾股定理的国家之一。

早在4000多年以前，我国人民就应用了这条定理。

我国最早的一部数学及天文著作《周髀算经》记载了这个定理，该书称直立着的标竿为“股”，地面上的日影为“勾”，斜边为“弦”。

于是这个定理可记为：勾2＋股2＝弦2。

这就是勾股定理的来历。

《周髀算经》一开始就记载了公元前1100年西周时周公与商高的一段对话，商高说：“勾广三，股修四，径隅五。

”即是“勾三、股四、弦五”。

我国一直把它叫做商高定理或勾股弦定理，后来简称勾股定理。

据西方国家记载，古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前550年前首先证明了这个定理。

人教版八年级上册数学教学工作计划2024年一、指导思想以《初中数学新课程标准》为指导，____教育方针，开展新课程教学改革，对学生实施素质教育，切实激发学生学习数学的兴趣，掌握学习数学的方法和技巧，建立数学思维模式，培养学生探究思维的能力，提高学习数学、应用数学的能力。

同时通过本期教学，完成八年级上册数学教学任务。

二、学情分析八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。

有少数同学基础特差，问题较严重。

要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生学习主体作用，注重方法，培养能力。

上学年学生期末考试的成绩平均分为____分，总体来看，成绩只能算一般。

在学生所学知识的掌握程度上，整个班级已经开始出现两极分化了，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。

在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力较差，为减轻学生的经济负担与课业负担，不提倡学生买教辅参考书，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养。

在以后的教学中，对有条件的孩子应鼓励他们买课外参考书，不一定是教辅参考书，有趣的课外数学读物更好，培养学生课外主动获取知识的能力。

学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质;在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，少数几个学生对数学处于一种放弃的心态，课堂作业，大部分学生能认真完成。

少数学生需要教师督促，这一少数学生也成为老师的重点牵挂对象，课堂家庭作业，学生完成的质量要打折扣;学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正（考试、作业后）错误的习惯，比较多的学生不具有，需要教师的督促才能做，陶行知说：教育就是培养习惯，这是本期教学中重点予以关注的。

初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析！_梯子_正方形_的底部题型一：利用勾股定理进行线段计算如果单独考查勾股定理，通常是给我们送分的，非常简单，我们只有熟记勾股定理的公式、常见的勾股数，以及常见的特殊rt△的三边比例，即可以轻松解出题目。

【例1】一驾2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远（其中梯子从ab位置滑到cd位置）？【分析】本题是常见的梯子滑动问题，是勾股定理结合实际问题产生的题型。

英对实际问题，我们需要实际问题抽象成简单的几何图形，再利用勾股定理解答。

题目要求梯子的底部滑出多远，就要求梯子原先顶部的高度ao，且三角形aob，三角形cod均为直角三角形．可以运用勾股定理求解．解：在直角三角形aob中，根据勾股定理ab 2=ao 2+ob 2，可以求得：oa= =2.4米，现梯子的顶部滑下0.4米，即oc=2.4-0.4=2米，且cd=ab=2.5米，所以在直角三角形cod中，即do= =1.5米，所以梯子的底部向外滑出的距离为1.5米-0.7米=0.8米．答：梯子的底部向外滑出的距离为0.8米．题型二：勾股定理的证明过程勾股定理的证明过程同样是勾股定理的一个常考点。

因此我们同样要熟知勾股定的常见证明过程。

这个需要同学们查看课本，回忆整个证明过程。

下面给出常见的考题类型。

【例2】《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图（1））．设每个直角三角形中较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c。

（1）利用图（1）面积的不同表示方法验证勾股定理．（2）实际上还有很多代数恒等式也可用这种方法说明其正确性．试写出图（2）所表示的代数恒等式：（）；（3）如果图（1）大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值．【分析】（1）如图（1），根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）5个矩形，长宽分别为x，y；两个边长分别为y的正方形和两个边长为x的正方形，可以看成一个长宽为x+2y，2x+y的矩形；（3）利用（1）的结论进行解答．解：（1）图（1）中的大正方形的面积可以表示为c 2，也可表示为（b-a）2+4× ab∴（b-a）2+4× ab=c 2化简得b 2-2ab+b 2+2ab=c 2∴当∠c=90°时，a 2+b 2=c 2；（2）（x+y）（x+2y）=x 2+3xy+2y 2（3）依题意得 a2+ b2＝ c2＝13 ( b− a) 2＝1 则2ab=12∴（a+b） 2=a 2+b 2+2ab=13+12=25，即（a+b） 2=25．中考数学答题要点归纳，考前看这一篇就够了！中考数学复习9种题型答题模板+易错题练习，含答案！初中数学7-9年级，21个逢考必出的知识点，初中三年都适用！初中数学7-9年级，必考应用题分类+数量关系大全！初中数学复习，整式运算的几何背景与应用，常考题型解析！。

关于教学计划初中数学8篇教学质量是学校的生命线，是立校之本，它关系到千家万户，是家长和社会普遍关注的问题，教学质量的好坏，直接关系到我校的办学效益。

教研组工作开展的如何，将直接影响本组全体教师的思想、业务素质和本学科的教学质量。

为把本教研组建设成一支强有力的队伍，根据学校的有关规定，并结合本组的实际，特制定本学期的教研组工作计划。

1、各备课组由备课组长负责继续实行集体备课制，切实做好备课过程中的各环节：即说课，编写教案；议课，精改教案；温课，优化教学；省课，反思教学。

充分发挥教研组、备课组的集体智慧，同时注重发挥每位教师各自的教学特色和风格，备课组长要把好本组的教学质量关，每位教师都要明确树立集体质量意识。

继续落实青年教师“新能挂钩”、“以能带新”的结对子制度。

2、加强教研组的管理，狠抓组风建设，教研组长经常深入备课组，了解、检查本组的教学工作情况，每月对各教师的备课、听课情况检查一次，以便及时发现问题、解决问题。

3、充分利用每周四的开放日，发动教师积极参加听课活动，集思广益，对校级开设的公开课、示范课等要求无课的教师一律参加。

争取各备课组开设两堂组内公开课，向学校推出一堂校级公开课，由项富菊老师执教。

4、初一、初二年级要抓好基础教学，要面向全体，抓两头带中间，特别要重视做好后进生的补差工作；初三年级面临着升学考试，备课组教师要齐心协力，认真做好复习工作，其他教师也要关注毕业班级的教学，献技献策，争取在中考中取得优异成绩。

同时初三年级要切实做好4月7日全国数学竞赛的辅导工作，力争在竞赛中取得可喜成绩。

5、每周二认真组织教师理论学习，提高本组教师的理论素养，召开两次中考研究会，研究中考试题的特征，预测出题方向。

鼓励教师积极参加现代化教学培训，提高现代化教学工具的使用能力，争取在各类课件比赛中有部分教师获奖。

6、要求各教师根据自身专长，加强学习，努力实践，善于总结，积极参与科研，提高科研能力。

7、各备课组搞好自编资料的积累和整理，做到分工协作，共同收益，逐步完善本组的教学资料库。

北师大版《数学》（八年级上册期中）知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理（1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a=+（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足222cb a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。

常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。

即当a 为奇数且a＜b 时，如果b+c=a 2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……（2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n 2-1,n 2+1如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……（3）判定三角形形状： a 2 +b 2＞c 2锐角~，a 2 +b 2=c 2直角~，a 2 +b 2＜c 2钝角~判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状（4）构建直角三角形解题例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。

求直角三角形的两直角边。

解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知：()()34100916100251004222222x x x x x x +=+===，，，∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。

八年级数学下期教学方案〔精选10篇〕八年级数学下期教学方案〔精选10篇〕八年级数学下期教学方案篇1一、学情分析八年级是初中学习过程中的关键时期，起着承上启下的作用。

下学期尤为重要，学生根底的好坏，直接影响到将来是否能升学。

学生通过上学期的学习，算才能、阅读理解才能、理论探究才能得到了开展与培养，对图形及图形间数量关系有初步的认识，逻辑思维与逻辑推理才能得到了开展与培养，通过教育教学培养，绝大局部学生可以认真对待每次作业并及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致志的进展学习与考虑，学生的学习兴趣得到了激发和进一步的开展，课堂整体表现较为活泼。

本学期将继续促进学生自主学习，让学生亲身参与活动，进展探究与发现，以自身的体验获取知识与技能；努力实现根底性与现代性的统一，进步学生的创新精神和理论才能；进一步激发学生的数学兴趣和爱好，通过各种教学手段帮助学生理解概念，操作运算，扩展思路。

要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学的主体，老师是教的主体作用，注重方法，培养才能。

关注学困生和女生。

二、教材分析本学期教学内容共计五章，知识的前后联络，教材的教学目的，重、难点分析如下：第十六章二次根式本章主要内容是二次根式的概念、性质、化简和有关的计算。

本章重点是理解二次根式的性质，及二次根式的化简和计算。

本章的难点是正确理解二次根式的性质和运算法那么。

第十七章勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30度角所对的直角边等于斜边的一半，本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质，本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理。

第十八章平行四边形四边形是人们日常生活中应用较广泛的一种图形，尤其是平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的用途更多。

因此，四边形既是几何中的根本图形，也是“空间与图形”领域研究的主要对象之一。

2024年八年级上期数学教学计划一、制定计划的目的为使学生学好代数、几何的基础知识，具备当代社会中每一位公民适应日常生活、参加社会生产和进一步学习所必需的基本技能，进一步培养学生运算能力、发展思维能力和空间观念，使学生能够运用所学知识解决实际问题，逐步形成数学创新意识，特制定本学科教学计划。

二、教材内容分析本学期数学教材内容包括：第一章《生活中的轴对称》、第二章《勾股定理》、第三章《实数》，第四章《概率的初步认识》，第五章《平面直角坐标系》，第六章《一次函数》,第七章《二元一次方程组》。

第一章《生活中的轴对称》的主要内容是研究轴对称图形的性质及其应用。

其重点是轴对称图形的性质。

第二章《勾股定理》的主要内容是：勾股定理的探索和应用。

其中勾股定理的应用是本章教学的重点。

第三章《实数》主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的概念和运算。

本章的内容虽然不多，但在初中数学中占有十分重要的地位。

本章的教学重点是平方根和算术平方根的概念和求法，教学难点是算术平方根和实数两个概念的理解。

第四章《概率的初步认识》主要内容是通过可能性的大小认识概率，并进行简单的概率计算。

概率计算是本章教学的重点。

第五章《平面直角坐标系》主要讲述平面直角坐标系中点的确定，会找出一些点的坐标。

第六章《一次函数》的主要内容是介绍函数的概念，以及一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。

其中一次函数的图像的表达式是本章的重点和难点。

第七章《二元一次方程组》要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程组来解一些实际的问题。

三.学生情况分析：初二（3）班共有学生____人，从上学期期未统计成绩分析，及格人数为人，优秀人数为人，这个班的学生中成绩特别差的比较多，成绩提高的难度较大。

从上学期期末统测成绩来看，成绩是分，差的分，这些同学在同一个班里，好的同学要求老师讲得精深一点，差的要求讲浅显一点，一个班没有相对较集中的分数段，从几分到多分每个分数段的人数都差不多，这就给教学带来不利因素。

八年级数学第一章勾股定理知识点1.勾股定理：a2+b2=c2(a、b、c分别表示直角三角形的两直角边和斜边)2.勾股定理的证明(把课本给出的证明理解，并灵活运用)3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，这个三角形一定是直角三角形。

（延伸：如果a2+b2<c2，是钝角三角形； a2+b2>c2，是锐角三角形。

其中c为最长边）4.勾股数：常用的：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25；8、15、17。

5.实际应用（解决两点、航海、折叠、梯子、侧面展开等问题）例题1.（折叠问题）如图、折叠长方形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，这痕为AE，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC长是多少？（解析：找出折叠的相同等量，然后利用勾股定理求出相关量）解：由题意知点D、F关于直线AE对称，则AF=AD=10cm，EF=DE=DC-EC=8-EC, 设EC的长为x cm,EF的长为(8-x)cm，在Rt△ABF中，BF2=AF2-AB2=36,故BF=6, 则CF=4，在Rt△CEF中,EF2=CF2+CE2,即x2+42=(8-x)2得x=3，即EC长为3cm。

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是 36/5 。

（解析：考查勾股定理及等量代换）解：A B2=AC2+BC2,得AB=15，根据面积相等有0.5AC·BC=0.5AB·CD, 有9×12=15·CD，得CD= 36/5。

3.已知 a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系(c2-a2-b2)+|a-b|=0, 则△ABC的形状为等腰直角三角形。

分析：由(c2-a2-b2)+|a-b|=0可得c2-a2-b2=0且a-b=0，所以得到c2=a2+b2且a=b, 因此该三角形是等腰直角三角形。

4.节日庆典需要彩灯装饰人民广场内的圆柱形建筑物，已知它的高为5 m，地面周长为2 m，从底部用彩灯环绕6周正好到达建筑物的顶端，则彩灯的长度至少是多少米？解：由题意知AB为所求，已知AC=5 m，BC= 2×6 m，则A B2=AC2+BC2，得AB=13 m,故至少为13 m。

八年级数学工作计划一、指导思想坚持教育科学的发展观，积极____执行教育局和学校提出的具体目标和要求,全面____教育方针，以学生为本，以学生的终身发展为目标，全面深入____和落实素质教育，构建高效课堂。

配合学校达成“安全校园”和“家长满意学校”的办学愿望。

积极深入探索“分组合作”学习方式，关爱学生，平等对待学生，放眼于学生终身能力培养，把学生培养成适应未来社会发展的有用的栋梁之材。

通过数学课的教学，使学生学习现代科技所必需的数学基本知识和基本技能;努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，合作探究能力，以及分析问题和解决问题的能力。

二、教材分析本学期的教学内容共计五章：第十二章数的开方由平方根和立方根开始，进而学习实数的相关知识。

第十三章整式的整除主要介绍了幂运算、整式的乘法和除法、乘法公式、因式分解几个基本的运算，主要培养和提高学生的运算能力。

第十四章勾股定理主要探索勾股定理及其应用，以培养学生的形象思维、模型的建立为主。

第十五章平移与旋转主要介绍了图形的基本变换，让学生在实际操作中探索总结规律。

第十六章平行四边形的认识介绍了平行四边形的性质特征以及几类特殊的平行四边形，使学生对几何学有了初步的认识。

三、教学目标落实通过三维目标（知识与技能目标、过程与方法（数学思考与解决问题）目标、情感与态度目标）的落实最终实现能力的培养。

钻研教材，突破重点、难点，抓住关键，深入了解学生，激发学生积极性，因人而宜，制定课堂上有效的辅导、教学方案，使课堂教学更生动有趣，使学生参与到数学活动中来。

四、教学常规落实严格遵守学校的各项规章制度，不迟到早退，积极参加各项活动及学习，团结协作。

精心备课，备教材备学生，密切生活实际和学生实际，整合教学资源，运用好多媒体教学，利用一切可以利用的有利因素，为教学服务。

上好每一节课，根据学生实际合理利用教学资源，上好每一节课。

布置作业做到有的放矢，有针对性，有层次性。

认真批改作业。

一、内容和内容解析1.内容勾股定理的探究、证明及简单应用.2.内容解析本节课的内容是人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册（以下统称“教材”）第十七章“勾股定理”的第1课时.勾股定理是在学习了三角形和等腰三角形的性质后，进行的对直角三角形三边之间数量关系的研究.勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.勾股定理是中学数学中重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征（三角形中有一个角是直角）转化成数量关系：三边之间满足等式a 2+b 2=c 2.它搭建了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理体现了数形结合的思想方法，具有科学创新的重大意义.勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了三角学、解析几何学、微积分学的建立，使数学中的几何学和代数学两大门类结合起来，拓宽了数学进一步发展的道路.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.因此，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，而且被认为是数学中最重要的定理之一.勾股定理为后续三角函数的学习及一些图形中的计算打下了必要的基础.勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，由具体的关系归纳出抽象的猜想，学生亲手实践赵爽的面积证法，证明猜想、发现定理，并以此引导学生探索、发现、证明定理的思路.通过对勾股定理的发现和探究，培养了学生学习数学的热情和自信心.我国对勾股定理的研究与其他国家相比是比较早的，这一点在国际上得到了肯定.通过对勾股定理历史和我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养了学生的民族自豪感，使其品味了数学文化.学生欣赏勾股树的神奇，感受数学美，激发了学生的学习兴趣和热情.在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长.勾股定理常用来求解线段长度或距离问题，这是勾股定理最基本的应用.基于以上分析，确定本节课的教学重点为探索并证明勾股定理.二、目标和目标解析1.目标（1）经历勾股定理的探究、证明过程.了解关于摘要：通过层层递进的问题，学生以小组合作的形式进行探究，经历“观察思考，探究定理—动手实践，证明定理—初步应用，解决问题”的过程.学生在独立思考、自主探究和合作交流中，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想方法，增强了数学学习的自信心.通过欣赏勾股树，了解勾股定理的发展史，学生感受到数学文化和数学美，体会到中国古人的聪明才智.关键词：勾股定理；直角三角形；数形结合收稿日期：2017—12—21作者简介：白丽娜（1981—），女，中学一级教师，主要从事数学教育研究.中国数学教育2018年第5期（总第185期）№5，2018General ，№185ZHONGGUO SHUXUE JIAOYU“勾股定理”教学设计白丽娜本文配套课堂实录及课件微信扫码观看··26勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养学生的民族自豪感.（2）能用勾股定理解决一些简单问题.2.目标解析目标1：要求学生通过观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论.理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过面积不变的关系和对图形面积的不同算法证明勾股定理.了解与勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就.目标2：学生能运用勾股定理进行简单的计算，关键是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度.三、教学问题诊断分析勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论.在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系.但是要从等腰直角三角形过渡到网格中的直角三角形，提出合理的猜想，对学生来说困难较大.因此，在教学中先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考正方形的面积和直角三角形边长的关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，归纳出结论.学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，小组合作在此发挥了很大的优势，学生之间的互助、交流，有利于学生自然、合理地发现和证明勾股定理.由此确定本节课的教学难点是勾股定理的探究和证明.四、教学支持条件分析借助几何画板软件，动态地演示从网格中的等腰直角三角形，到网格中直角三角形的变化过程，启发学生用割补法求正方形的面积.在学生拼图后，再现赵爽弦图的剪拼过程，形象、直观.利用软件的迭代功能，制作出漂亮的勾股树，带领学生品味数学之美.五、教学过程设计1.温故导入，提出问题我们已经学习过了三角形的相关知识，从角的关系看，三角形的内角和为180°；从边的关系看，三角形的两边之和大于第三边.若三角形中两边相等，就得到了等腰三角形.等腰三角形有两底角相等和“三线合一”的性质.若三角形中有一个直角，也就是一边垂直于另一边，那么就得到了直角三角形.直角三角形中有两个锐角和为90°的数量关系，三条边之间是否也存在特殊的等量关系呢？【设计意图】将本节课研究的直角三角形置于三角形的背景中.等腰三角形是三角形边的大小关系特殊化，直角三角形是三角形边的位置关系特殊化.梳理三角形和等腰三角形、直角三角形之间的关系，明确共性和特殊性，提出直角三角形的边是要研究的对象.教材的知识结构是“三角形—等腰三角形—直角三角形”，体现了从整体到局部，从一般到特殊，从课程的整体结构上、知识的内在逻辑上提出问题，引导学生面对一个几何对象，从构成的主要元素和相关元素进行探索，体验研究几何图形的基本思路.2.观察思考，探究定理看似平淡无奇的现象却隐含着深刻的数学道理.相传2500多年前，毕达哥拉斯（如图1）有一次在朋友家做客，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边间的某种数量关系（如图2、图3）.图2图1问题1：图3中正方形A，B，C的面积有什么关系？师生活动：学生独立观察图形，分析、思考其中隐含的规律.通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A，B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得出结论：小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积，每个正方形的面积都是中间围成的直角三角形一边的平方.··27教师将地砖图案顺时针旋转，隐去倾斜线段，可发现这个图案就存在于正方形网格中（如图4），正方形A，B的面积都是1，正方形C的面积是2.图4追问1：如图5，如果正方形A，B的边长变为2，三个正方形A，B，C的面积是否也有类似的关系？师生活动：学生对网格中的图形进行观察、分析、思考，得到正方形A，B的面积都是4，正方形C的面积是8，正方形A，B的面积之和等于正方形C的面积.追问2：由正方形A，B，C的边构成的等腰直角三角形的三条边长之间有怎样的特殊关系？师生活动：教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.这是从图形面积的关系得到等腰直角三角形三边的数量关系，让学生体会从形到数的过程.【设计意图】从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，并进行初步的一般化（等腰三角形边长的一般化）.问题2：如图6，以网格中直角三角形的三边为边长的三个正方形AB，C师生活动：分别求出正方形AB，C的面积，并寻求它们之间的关系.追问1：正方形A，B，C所围成的直角三角形的三条边之间有怎样的关系？师生活动：学生独立思考后小组讨论，投影学生的求解过程，由学生讲解.难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积.教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.【设计意图】网格中的直角三角形也是直角三角形的一种特殊情况，为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体会面积割补法.追问2：结合前面探究活动所得的结果，猜一猜，直角三角形三边之间应该存在什么关系？师生活动：教师引导学生提出猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.【设计意图】在网格背景下通过观察和分析，得出直角三角形的三边关系，为形成猜想提供了典型特例，通过归纳，猜想变得水到渠成.3.动手实践，证明定理问题3：以上直角三角形的边长都是具体的数值，一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，刚刚提出的猜想仍然成立吗？追问1：如图7、图8，赵爽曾用拼图的方式证明了勾股定理，把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+b2；经过裁剪，拼成了一个以c为边长的正方形.因此，a2+b2=c2.你能实现这个剪拼过程吗？b aabb ac图7图8师生活动：学生观察、小组合作、商讨剪拼方法，教师引导学生理解由于图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形各部分的面积之和不变，因此可用切割剪拼的方式来验证勾股定理.这个图案是三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.赵爽利用弦图证明的思路是：如图9（1），把边长图5丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁图6··28为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+b2，把这个图形切割成四个全等的直角三角形和一个正方形后，把左右两个三角形移到如图9（2）所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（如图9（3））.因为这两个图形都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等.因此，a222（1）丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁（2）（3）图9教师板书勾股定理内容.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则a2+b2=c2.在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.早在公元前1100年，《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话，证明当时的人们就已经知道了“勾三、股四、弦五”的关系，这个定理又叫商高定理.追问2：赵爽弦图是用四个全等的直角三角形拼出一个大正方形，各小组能否再用四个全等的直角三角形拼出一个外轮廓为正方形的图案？这个图案能否证明勾股定理？证明：如图10，因为S大正方形=()a+b2，S大正方形=4×12ab+c2，所以()a+b2=4×12ab+c2.所以a2+b2=c2.师生活动：小组合作探究，拼出如图10所示的图形，教师引导学生利用面积推导勾股定理.这是弦图的另一种证法——面积恒等法.追问3：利用手中的若干图形，能否再拼出等大的正方形？结合图11，能证明勾股定理吗？师生活动：小组合作拼图研究，证明勾股定理.这就是传说中毕达哥拉斯的证法.【设计意图】通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合的思想.课上学生亲手实践的三种证法都是面积证法.依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法得到等量关系.通过对赵爽弦图的介绍，使学生了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献，增强民族自豪感.4.初步应用，解决问题练习1：在Rt△ABC中，∠C=90°.①已知a=1，b=2，求c；②已知b=2，c=4，求a.练习2：在Rt△ABC中，∠B=90°，已知a=2，b=5，求c.练习3：在Rt△ABC中，两条边的长度分别是3和4，求另一边.需要注意的是，练习3的解有两种情况，若两条直角边的长度分别是3和4，则斜边为32+42=5；若斜边是4，一条直角边是3，则另一条直角边为42-32=7.【设计意图】学生应该掌握在直角三角形中，已知任意两边长，求出第三边长的方法.要注意确定所求线段是直角三角形中的直角边还是斜边，如果没有明确，要进行分类讨论.练习4：如图12，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的面积分别是3，4，1，3，求最大正方形E的面积.最大正方形的面积等于四个小正方形A，B，C，D的面积之和，这个图案如果继续下去会有怎样神奇的变化呢？学生观察如图13、图14所示的勾股树运动变化的过程，感受数学美.由于排列方式不同形成了两种形状的勾股树，课后每个学习小组可试着去做一棵.丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁图11图10丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁EABCD图12··29图13图14【设计意图】此题让学生进一步体会以直角三角形三边为边长的正方形的面积关系.通过几何画板软件演示多层分层结构，体验形状虽变但面积不变，感受数学美.为学生设计了观赏勾股树，让学生在数学的美妙与神奇中充分享受，进一步激发了学生的学习兴趣和热情.5.感受文化，归纳小结回顾过去，远在公元前约3000年，古巴比伦人就知道并开始应用勾股数组，如3，4，5.公元前约2500年，古埃及人在建筑金字塔和测量土地时，也应用过勾股定理.公元前约2000年，大禹在治水的实践中总结出了勾股数，用来确定水位差.他是世界上有史料记载的第一位与勾股定理有关的人.公元前约1100年，周朝数学家商高提出了“勾三、股四、弦五”，记载在《周髀算经》中.公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯公开发表了这一规律的证明.公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中给出了一个勾股定理的证明.公元前约250年，赵爽对《周髀算经》内的勾股定理做出了详细的注释和证明.公元2世纪的东汉时期，我国古代数学家刘徽利用出入相补的方法验证了勾股定理.之后丰富的证法组合成勾股定理的历史长河. 2002年在北京召开的国际数学家大会，就以赵爽弦图作为大会会徽的图案.【设计意图】在探索和证明勾股定理后，教师展开勾股定理的历史画卷，让学生了解人类对勾股定理认识和发展的历史，使学生在体会数学发现与再创造的乐趣的同时，感受数学文化，体现了数学文化的育人价值.着眼现在，教师和学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并让学生回答：在探索勾股定理的过程中，你有什么感悟和收获.师生活动：学生谈感悟和收获，教师总结：勾股定理体现了我国古人的聪明才智，勾股定理中蕴涵着数形结合思想，勾股定理中有丰富的数学美.【设计意图】让学生从自己的体会、感悟、收获等不同的角度谈本节课学习的主要内容，在学习的过程中感受到中国数学文化和数学美，感悟到数形结合思想，引发学生更深层次的思考，促进学生数学思维品质的提高.放眼未来，华罗庚曾设想向太空发射一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果外星人是“文明人”，也必定认识这种图形.将图15中的正方形换成以直角三角形各边为直径的半圆（如图16），则半圆A，B，C的面积关系为.ABCbc a图15ABCbc a图16根据勾股定理a2+b2=c2，圆的面积公式S=πR2，得到半圆A，B，C的面积关系为S A+S B=S C.进而，从直角三角形的各边向外作正方形能否推广到从各边向外作等边三角形、正五边形、正六边形等正n边形（如图17、图18、图19）？课后大家可以继续探索.ABCbc a图17ABCbc a图18ABCbca图19【设计意图】由勾股定理a2+b2=c2的式子结构，联想到正方形面积的几何图形，将正方形换为圆形、半圆形、等腰直角三角形，以及等边三角形，其面积的关系仍成立.学生经历数和形的互换，感受勾股定理的价值.6.布置作业（1）整理课堂上所提到的勾股定理的证明方法.··30（2）教材第28页第1，2，3题.（3）通过上网等方式查找勾股定理的有关史料、趣事及其他证明方法.六、目标检测设计1.求出图20、图21中两个直角三角形未知边的长度.410A BCx图21x ABC37图20【设计意图】在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想.2.如图22，在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，若AB =15，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为多少？【设计意图】考查勾股定理的面积表达和数形结合思想.3.若一个直角三角形的三边长为6，8，x ，则x 的值为.【设计意图】考查学生运用勾股定理的能力，以及分类讨论思想.4.如图23、图24，学校被三条路围成一个三角形，实际测量出三边分别为AB =320m ，AC =340m ，BC =440m ，能否计算学校的占地面积？图23图24【设计意图】考查学生利用勾股定理和方程思想解决实际问题的能力.七、教学反思本节课是在学习了三角形和等腰三角形的性质后，对直角三角形三边之间数量关系的研究.因此，笔者采用温故导入的方式，将本节课研究的直角三角形置于三角形的背景中.等腰三角形是三角形边的大小关系的特殊化，直角三角形是三角形边的位置关系特殊化.梳理三角形和等腰三角形、直角三角形之间的关系，明确共性和特殊性，提出直角三角形的边是要研究的对象.体现了从整体到局部，从一般到特殊，从课程的整体结构上、知识的内在逻辑上提出问题，引导学生面对一个几何对象，从构成的主要元素和相关元素进行探索，体验研究几何图形的基本思路.这节课的重点和难点都是勾股定理的探究和证明.问题引导下的主动探究、合作交流在此发挥了很大的优势，学生之间的互助、交流有利于学生自然、合理地发现和证明勾股定理.首先学生独立观察地砖图案，分析并思考其中隐含的规律.通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A ，B 中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得出结论：小正方形A ，B 的面积之和等于大正方形C 的面积，每个正方形的面积都是中间围成的直角三角形一边的平方.教学中巧妙的将地砖图案旋转，建立地砖图案与正方形网格之间的联系，再次发现如果正方形A ，B 的边长变为2，三个正方形A ，B ，C 之间也有类似的面积关系.进而追问：由这三个正方形A ，B ，C 的边长构成的等腰直角三角形的三条边长之间有怎样的特殊关系？而后探究在网格中以直角三角形的三边为边长的三个正方形A ，B ，C 之间是否也有类似的面积关系.学生独立思考后小组讨论，由学生讲解割、补两种求面积的方法.在网格背景下通过观察和分析，得出了直角三角形的三边关系，为形成猜想提供了典型特例，通过归纳，猜想变得水到渠成.在得到猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方之后，提出问题：一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，刚刚提出的猜想仍然成立吗？笔者给出赵爽拼图的前后图案，鼓励学生小组合作实现剪拼过程，充分发挥学生的主动性和积极性，发展了学生的形象思维，使学生获得了成功的体验.ABC ED FG图22··31学生自己动手验证了猜想，得到了定理，增强了数学学习的自信心.而后学生继续小组合作，通过拼图再次证明定理.学生全情投入，积极拼图，很好地突破了难点，并且对定理的理解更加深刻，体会了数形结合的思想.课堂中安排了4道练习题，以了解并检验学生对勾股定理的应用情况.学生独立作答后口述解题过程，既锻炼了思维，又锻炼了数学表达能力.笔者结合练习题第4题设计了勾股树，让学生感受形状虽变但面积不变，充分享受数学的美妙与神奇，更进一步激发了学生的学习兴趣和热情.在探索和证明勾股定理后，师生共同品味勾股定理的发展史，体会数学文化的育人价值.笔者在小结过程中让学生从自己的体会、感悟、收获等不同的角度谈本节课学习的主要内容，在学习的过程中感受到中国数学文化和数学美，感悟到数形结合的数学思想，引发了学生更深层次的思考，促进了学生数学思维品质的提高.在下一课时的教学设计中，还可以利用几何画板软件增加对一般直角三角形三边关系的研究，并让学生交流与勾股定理有关的史料、趣事及其他证明方法.参考文献：［1］李文林.数学史概论［M］.北京：高等教育出版社，2011.［2］章建跃.理解数学内容本质提升思维教学水平［J］.中学数学教学参考（中旬），2015（6）：45-48.［3］吴增生.勾股定理教学实验研究［J］.数学教育学报，2017（1）：50-54.［4］李爽，王光明.认知负荷理论视角下的勾股定理教学课件设计［J］.数学通报，2017（1）：9-13.［5］李渺，钟志华.利用现代信息技术实现数学教学的3个转化：以“勾股定理”课为例［J］.数学通报，2016（2）：57-60.（3）观察并探索其性质，得到两类性质，其一是所有等腰三角形都具有的性质；其二是又有了两条新性质——直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.动作2：概括引申（提出问题）.针对任意的直角三角形，这两条新的性质还成立吗？从上述教学环节的设计和教学实施的情况来看，合理遵循了方法论的基本原则，引导了学生学会思维、学会数学探究、学会数学学习.实现了从一般到特殊，再由特殊到一般的思维凝练过程.三、尊重学习主体，让学生在学习中提升数学素养在本节课的教学过程中，执教教师表现出了很好的教学专业素养，其教态传神而又专业，营造了师生之间探究数学、思考问题、寻求思维脉络的数学思考氛围.从学习线索的引领角度看，执教教师通过合理的数学问题线索和数学思维线索，充分关注了学生认知的最近发展区，教学活动的展开环环相扣，教学节奏适切学生心理，给予了学生自主思维、创造性思维较大的空间，学生在对关键问题的思考过程中有足够的自主参与度，有利于学生在做中思考、在做中反思、在做中进化素养.四、教学改进建议虽然本节课的教学已经很完善，但是尚有可以更加完美的提升空间.其一是在本课核心内容从一般到特殊，从特殊到一般的探究过程中；其二是在分割与拼合环节.教师可以将教学节奏进一步放缓，留给学生更加宽裕的自主思考的时间和空间，在关键问题环节提供给学生自主探究以及合作学习的机会，以使得学生发现问题和提出问题的能力能够得到进一步提升.参考文献：［1］缴志清.初中数学教学关键问题指导［M］.北京：高等教育出版社，2016.［2］缴志清，刘璐.关注核心素养把握核心内容优化教学策略［J］.基础教育课程，2016（7）：44-49.（上接第25页）··32。

勾股定理期末复习讲义提要：本节内容的重点是勾股定理及其应用．勾股定理是解几何中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大，它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用．本节内容的难点是勾股定理的证明．勾股定理的证明方法有多种，课本是通过构造图形，利用面积相等来证明的这里还涉及到了解决几何问题的方法之一：面积法。

割补（……陌生的名词么，但是我们用过）的思想也要值得我们去注意．【知识结构】1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．3．勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．你记得几组勾股数？显然，若(a，b，c)为一组基本勾股数，则(ka，kb，kc)也为勾股数，其中k为正整数．4.利用尺规画出长度是无理数的线段.了，知道画吧5.勾股定理及其逆定理的应用.蚂蚁怎样走最近【注意】1.勾股定理的证明，是利用图形的割补变化，通过有关面积的数量关系进行证明的方法．2．在应用勾股定理时，要注意在直角三角形的前提条件，分清直角三角形的直角边和斜边.3. 在应用勾股定理逆定理时，先要确定最长边，再计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，最后确定三角形是不是直角三角形.4. 本章关联的知识点：实数的运算，三角形，四边形，图形变换，解方程等【基础训练A】1.三角形三边之比分别为①1：2：3，②3：4：5；③1.5：2：2.5，④4：5：6，其中可以构成直角三角形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13 D．4：6：73．下面四组数中是勾股数的有（）（1）1.5，2.5，2 （2，2（3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3A．1组B．2组C．3组D．4组4. △ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=______，b=_______．5. 在△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=6，则另一边BC=________，面积为______，• AB边上的高为________；6.如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．B C A D B C A D7. 如图，已知CD=3m ，AD=4m ， ∠ADC=90°， AB=13m ，BC=12m ，（1）求AC 边的长。

勾股定理作者：邵红能来源：《科学24小时》2014年第06期>>美国第20届总统伽菲尔德公式：[a2+b2=c2]（其中a，b分别为直角三角形的两直角边长，c为斜边长）。

内容：勾股定理，是指平面上的直角三角形的两条直角边的长度（又称勾长、股长）的平方和等于斜边长（又称弦长）的平方。

勾股定理是一个基本的几何定理，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，是余弦定理的一个特例，被称为“几何学的基石”。

勾股定理是人们认识宇宙中形的规律的自然起点，有着十分悠久的历史。

关于对勾股定理的证明，世界上约有400多种方法，是数学定理中证明方法最多的。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。

据记载，公元前1000多年，商高就曾答周公：“勾广三，股修四，经隅五。

”公元前7至6世纪，中国学者陈子曾经指出任意直角三角形的三边关系，即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日”。

在陈子后的100～200年时间，希腊的毕达哥拉斯也发现了这个定理。

为了庆祝，毕达哥拉斯学派的人杀了100头牛酬谢、供奉神灵，因此这个定理又叫做“百牛定理”（毕达哥拉斯定理）。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。

此外，美国第20届总统伽菲尔德也证明过勾股定理。

1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏着黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。

走着走着，他突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

受到好奇心的驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去。

走近后发现，其中一个小男孩正俯身用树枝在地上画一个直角三角形。

于是伽菲尔德便询问他们在干什么。

那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长的平方又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。

“勾股定理”教学设计
尹佩芬
【期刊名称】《中国数学教育:初中版》
【年(卷),期】2022()7
【摘要】勾股定理是初中数学学习内容中的重要定理之一.本节课基于理解数学的理念,将教材中关于赵爽拼接、构造弦图的文字证明问题化、数学化,通过层层递进的课堂活动、环环相扣的问题串引领学生深层次探究和证明勾股定理.
【总页数】6页(P42-47)
【作者】尹佩芬
【作者单位】广东省东莞外国语学校
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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