2014年【优质数学竞赛集】七年级数学竞赛讲座：讲巧算有理数(含答案详解)

第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________这个公式叫___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例3 计算 3001×2999的值．练习1 计算 103×97的值． 练习2 计算：练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．练习4 计算： )1011()311)(211(222-⋯⋯--3．观察算式找规律例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分． 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．例7 计算：201020091321211⨯+⋯⋯+⨯+⨯第一讲有理数的巧算答案例1 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．例3 计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S 各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1． ②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解 设S=1+5+52+…+599+5100， ①所以5S=5+52+53+…+5100+5101． ②②—①得4S=5101-1，例7 计算：201020091321211⨯+⋯⋯+⨯+⨯分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解 由于所以原式=)2010120091()3121()211(-+⋯⋯+-+-=20102009 说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．。

七年级数学竞赛题：有理数的计算在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算， 当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的 计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算 每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理 数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地 算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵 活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法 有：1．利用运算律； 2．以符代数； 3．裂项相消 4．分解相约； 5．巧用公式等．例题与求解例1 已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3， 则x 3一(1+m+n+ab)x 2+(m+n)x 2001+(一ab)2002的值等于_________． (2002年湖北省黄冈市竞赛题)解题思路利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算． 例2把足够大的一张厚度为0．1mm 的纸连续对折，要使对折后 的整叠纸总厚度超过12mm ，至少要对折( )． (A)6次 (B)7次 (C)8次 (D)9次 (2002年江苏省竞赛题)解题思路探索对折的规律，运用估算求解．例3计算： (1) ;100......3211......32112111+++++++++++(“祖冲之杯”邀请赛试题)(2);7 (77771998)432+++++(江苏省泰州市奥校竞赛题)(3).199919981997 (19521951195019492)222222+-++-+- (北京市竞赛题)解题思路对于(1)，若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不 妨先从考察一般情形入手；对于(2)，由于相邻的后一项与前一项的比 都是7，考虑用字母表示和式；(3)式使人联想到平方差公式．例4设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b ，a 的形式， 又可表示为0、ab 、b 的形式，求20001999b a +的值． (“希望杯”邀请赛试题)解题思路由于三个互不相等的有理数有两种表示形式，因此，应 考虑对应分情况讨论．例5有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法(第一 次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次运算结果加2或加 3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：30108413223−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+(1)证明：可以得到22；(2)证明：可以得到22297100-+．’ (全国初中数学竞赛题)解题思路要证明可以得到相应的数，只要依据程序编出相应的 程序即可．1．初一“数学晚会”上，有十个同学藏在10张盾牌后面，男同学的 盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10 张盾牌如下所示：则盾牌后面的同学中，有女同学_____人，男同学______人．2．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1 至13之间的自然数，将这四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除 四则运算，例如对1，2，3，4，可作运算：(1+2+3)×4=24(注意上述运 算与4×(1+2+3)应视作相同方法的运算)．现有四个有理数3，4， -6，10运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24， 运算式如下：(2000年杭州市重点中学加试试题)3．计算：(1) ________;199919971 (9)71751531=⨯++⨯+⨯+⨯(2)([]._________)31()6()2(2)8()25.02434=-÷-÷-+--⨯- 4．将1997减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，再减去余下的51，…，依此类推，直主最后减去余下的19971，最后的答数是_________．(“祖冲之杯”邀请赛试题)B 级4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度，因此，基础教育的任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人会学习”．已知2000年底，人类知识总量为以a．假如从2000年底到2009年底是每3年翻一番；从2009年底到2019年底是每1年翻一番；2020 年是每73天翻一番．则：(1)2009年底人类知识总量是——；(2)2019年底人类知识总量是——；(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是——．(2002年北京市顺义区中考题)小关系是——；(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大(2002年福建省龙岩市中考题)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 8．三进位制数201可用十进位制数表示为；二进位制数1011可用十进位制法表示为．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数a=221，二进位制数b=10111，则a 与b 的 大小关系为( )．(D)不能判定(2001年重庆市竞赛题)9．如果有理数a ．b 、c 、d 满足a+b>c+d ，则( )．(第十一届“希望杯”邀请赛试题)lO ．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为 3998的既约真分数，则这1998个有理数的和为( )．(《学习报》公开赛试题)11．设n 为自然数，n n ns 223222132++++=比较n s 与2的大小. 12．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的 三数之和(1)大于9 (2)大于10? 若能，请在 图中标出来；若不能，请说明理由． (第十五届江苏省竞赛题)。

第一讲 有理数（1）一、知识提要1、 整数和分数统称为有理数。

2、 有理数还可以这样定义： 形如mp （其中m 、p 均为整数，且m ≠0）的数是有理数。

这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数。

3、 有理数的数系表：正整数 正整数 整数 零 正有理数负整数 正分数 有理数 正有限小数 或 有理数 零正分数 负整数 正无限循环小数 负有理数分数 负分数负有限小数负分数负无限循环小数4、 有理数可以用数轴上的点表示。

5、 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数。

6、 如果两个数的和为0，则称这两个数互为相反数。

如果两个数的积为1，则称这两个数互为倒数。

7、 有理数的运算法则：（1）、加法：两数相加，同号的取原来的符号，并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，绝对值相等时，和为0；一个数与0相加，仍得这个数。

（2）、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）、乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与0相乘， 积为0. 乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方，记为na 。

（4）、除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

8、有理数的运算律：加法交换律：a b b a +=+；加法结合律：)()(c b a c b a ++=++；乘法交换律：c b b a ⨯=⨯；乘法结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯；乘法分配律：c b c a c b a ⨯+⨯=⨯+)(；9、有理数具有以下性质①对于任意两个有理数a , b ,在a < b , a = b ,a > b 三种关系中，有且只有一种成立。

②如果a < b , 那么b > a 。

③如果a < b , b < c , 那么 a < c④如果a = b , b = c , 那么 a = c⑤如果a = b , 那么 b = a⑥任意一对有理数，对应的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数。

初一数学培优讲义 第3讲 有理数运算有理数及其计算是整个代数学的基础。

有理数的计算不同于算术数的计算——因为有了负数的参与，每一步都需要确定符号。

很多有理数的运算需要借助于运算律，以及一些运算公式。

常用的方法有：提取公因数、裂项相消、错位相减，利用公式，等等。

随着学习的深入，我们在后面将有更多的技巧，比如说因式分解。

例1、计算：2005×20042004+2006×20072007-2004×20052005-2007×20062006例2、(1)1121231259()()...(...)233444606060++++++++++(2)1111...12123123 (100)+++++++++++(3) 10248...2++++例3、将2006减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，…,以此类推,直到最后减去余下的12006，最后的得数是多少？例4*、将2，4，8，16，32，64，128，256，512这9个数填写在右边的九宫格中，使得每行、每列、2 条对角线上的数字之积都相等。

练习： 1、计算：(1) 2000×20022002-2002×20001999（2）37.9×0.0038+1.21×0.379+6.21×0.159(3)101111 (242)++++ （4）1111 (24466820042006)++++⨯⨯⨯⨯2、若200420032002,,200320022001a b c =-=-=-，则,,a b c 的大小关系是___________.3、已知数轴上的3点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 满足a<b<c ，abc<0和a+b+c=0，则线段AB 与BC 的大小关系是( )A.AB>BCB.AB=BCC.AB<BCD.不确定。

有理数及其运算技巧经验谈：有理数运算是中学数学中全部运算的基础，正确的理解有理数有关的看法，以及它的运算法例、公式，并且擅长依据所给题目要求，将推理与计算相联合，灵巧奇妙的选择简捷的算法，能够很好的提升思想的矫捷性。

将现实中的问题与学习中的知知趣联合，并合理的解决它，你会发现数学的好多乐趣。

内容综述：当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的看法。

整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都能够表示为一个既约分数。

并且，有理数能够比较大小，有理数的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，随意两个有理数之间都有无量个有理数，有理数运算是中学数学中全部运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关看法、法例的基础上，能依据法例，公式等正确、快速地进行运算，同时还要擅长依据题目条件，将推理与计算相联合，灵巧奇妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提升运算能力，发展思想的矫捷性与灵巧性。

重点解说：§1、数轴与大小：两个有理数的大小由它们在数轴上对应点的地点关系来确立：对应点在右侧的数总比对应点在左侧的数大。

★★例 1 察看图 1 中的数轴用字母a,b,c挨次表示点A， B， C 对应的数，试确立这三个数的大小关系。

思路：由 B 点在 A 点右侧，知b-a>0 ，而 A， B 都在原点左侧，故ab>0 ，又 c>0 ，这说明要比较的大小，只要比较分母ab,b-a,c的大小。

解：因为 C 点在 1 的右侧，所以c>1 ，因为 A 点在 -1 与之间，B点在与0之间，所以AB 的距离大于而小于1，即由相同的原因有，。

所以又 ab>0, 故从而有0<ab<b-a<c。

所以★★例 2：设证明 1：a,b∵是两个有理数，且a<b,∴ b>a,∴ba<b, 求证：-a>0..而∴∴证明2∵∴即∴又∴即故说明：由本例可知，随意两个不相等的有理数a,b之间存在一个有理数，由此可推知，随意两个有理数之间存在无穷多个有理数。

七年级数学竞赛讲座(四)有理数的有关知识一、一、知识要点1、绝对值x 的绝对值x 的意义如下：x =⎩⎨⎧<-≥00x x x x ，如果，如果x是一个非负数，当且仅当x=0时，x=0绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：ba -表示数轴上a 点到b 点的距离。

2、倒数1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。

如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。

3、相反数绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。

两个互为相反数的数的和等于0。

二、二、例题精讲例1 化简6312-+--+x x x分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。

解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6当21-<x 时，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+2当321<≤-x 时，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4 当63<≤x 时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10 当x ≥6时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2∴原式=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-+-<+-时当，时当，时当，时当，6x 2-2x 63 103 42 222121x x x x x评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。

例2 已知312351312+----≥--x x xx x ，求的最大值和最小值。

(第六届迎春杯决赛试题)分析：先解不等式，求出x 的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。

解：解不等式2351312x x x --≥--得： 117≤x11731+--x x 的几何意义是x 到1的距离与x 到-3的距离的差，从上图中可以看出：当x ≤-3时这差取得最大值4，因117≤x ，则当117=x 时这差取得最小值1133-.评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。

七年级数学竞赛讲义附练习及答案（12套）初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n 与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x ＜y 与x ≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0；2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。

《有理数》竞赛训练1 比较大小比较有理数大小的方法如下:①一般地:正数大于0，0大于负数，正数大于负数;②两个正数，绝对值大的大;③两个负数，绝对值大的反而小.经典例题(1) 比较大小：133，398，7817(2) 比较大小：23，58-，1523-，1017-，1219 解题策略(1) 因为131367833618⨯==⨯ 393927888216⨯==⨯ 因为787878181716<< 所以1378393178<< (2) 把5个数的分子化为相同，可得这5个数为6090，6096-，6092-，60102-， 6095而60609095>，6060601029692<< 所以，这5个数的大小依次为1551012223817193-<-<-<< 画龙点睛比较分数的大小，一般来说是先通分，再比较分子的大小.但是，有的时候，分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小，这时我们可以换一个角度思考，把这些分数的分子化为相同的数，再比较分母的大小，此外，还可采用分子分母交叉相乘或全转化为小数讲行比较.举一反三1. 比较大小：1519-和1115-2. 比较21201720164a =-+和2212017201620172016b =-⨯+的大小3. 有8个数，其中的6个数是:59，0.51，2447，1325，0.51，23如果从小到大排列，第4个数是0.51，那么从大到小排列，第4个数是多少?融会贯通4. 1111120212229++++…的整数部分是多少?2. 有理数巧算一：凑整法在平时的计算中，我们经常会遇到数字比较复杂的计算题，如果“硬算”的话，费时又容易出错.这时就需要用一些巧算的方法，把按常规计算起来比较复杂的运算变得简单、快捷.“凑整法”就是一种非常有效的简便算法.经典例题计算：(1) 2014 2.5+20150.52016 1.25⨯÷-⨯(2)808 6.254047.5⨯-⨯解题策略(1) 注意到2.5410⨯=，0.521⨯=，1.25810⨯=，所以对原式中的2.5、0.5、1.25分别乘以再除以4、2、8，从而简化计算.原式2014(2.54)4+20152(0.52)2016(1.258)8=⨯⨯÷⨯÷⨯-⨯⨯÷2014104+2015212016108=⨯÷⨯÷-⨯÷503540302520=+-6545=(2) 808可以表示为(800+ 8 )，404可以表示为(400 + 4)，它们分别含有因数8和4，可以与1. 25和2. 5进行凑整，使计算简便.原式808 1.255404 2.53=⨯⨯-⨯⨯(8008) 1.255(4004) 2.53=+⨯⨯-+⨯⨯(1001)8 1.255(1001)4 2.53=+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯101105101103=⨯⨯-⨯⨯101102=⨯⨯2020=画龙点睛“凑整法”是最常见的一种运算技巧，通过乘以再除以一个较小的正整数，利用乘法结合律，将乘数凑成整十、整百、整千……的数，使复杂的计算变得简便.有些题目很难看出凑整的可能，所以，需要我们细心观察，牢记254100⨯=，12581000⨯=等计算结果，而且要对25 、125的倍数非常熟悉.举一反三1. 计算：4.40.5 6.60.258.8 1.25⨯+÷+⨯2. 计算：13(3.87538.750.090.3875)(10.813.7530.13752)58⨯+⨯-÷⨯+⨯+⨯3. 计算：41841290.7562575÷+÷+⨯融会贯通4. 计算：375132404⨯⨯3有理数巧算二：裂项法裂项法，就是将每一项拆成两项的差，然后相加，将大多数项互相抵消，这是求多个数的和的常用技巧.例如:111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111(1)()()()()223344556=-+-+-+-+- 15166=-= 这是因为1212111121212122-==-=-⨯⨯⨯⨯ 13232112323232323-==-=-⨯⨯⨯⨯ 经典例题 计算：11111335579799++++⨯⨯⨯⨯… 解题策略 因为1111()(2)22k K k K =-++，1,,3,5,,97k =…，所以 11111335579799++++⨯⨯⨯⨯… 11111111111(1)()()()2323525729799=-+-+-++-… 11(1)299=- 4499= 画龙点睛 再探索一般规律:求两个分数1n 、1n a+的差11()a n n a n n a -=++ 在应用时常反过来，11()a n n a n n a =-++，或1111()()n n a a n n a=-++ 举一反三1. 计算：111113296192320480++++2. 计算：111113355720152017++++⨯⨯⨯⨯…3. 计算：111112123123412100+++++++++++++……融会贯通4. 计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯…4有理数巧算三：规律性问题在进行有理数的运算时，我们往往会遇到具有一定规律性的问题，在解决此类题目时，要先找出题目中数字变化的规律，然后得到问题的解.经典例题 计算：11111248161024+++++… 解题策略观察算式中的每一个数发现，每个数的分母都是前一个数的分母乘以2，因此，只需要将最后一项再加上它本身，就可以得到前一项的值. 解：原式1111111=24816102410241024++++++-…1111111=248165125121024++++++-…=…111=221024+- 1=11024-1023=1024本题还可采用“错项法”计算.设原式为S ，两边同乘以2，可得:111112=24816512S =+++++… 而11111248161024S =+++++… 将两式相减，可得:110231=10241024S =- 画龙点睛解决每项依照某一规律变化的题目时，可先观察每次的变化规律，找出共同特点，再将其化简、抵消，从而得到问题的解.举一反三1. 计算：21001111333++++…2. 计算：12233499100⨯+⨯+⨯++⨯…3. 计算：111111112483162124248496+++++++融会贯通 4. 计算：22222222213141991213141991++++++++----…5 有理数巧算四：幂的巧算幂的运算有以下法则:(1) m n m n a a a +=，m n m n a a a -÷=(2) ()m n m n a a = (3)()n n n ab a b = (4)1n na a -= 在计算时，常利用幂的运算法则使计算过程简化.经典例题 计算：374841(0.625)()8(1)54-⨯⨯⨯-解题策略首先观察式子中是否有可以进行化简的部分，如0.6250.1255=⨯，而0.12581⨯=.若幂的指数不相同时，可先将其拆成两部分，分别进行化简.如：43888=，87555()()444= 原式374845(0.1255)()8()54=-⨯⨯⨯⨯3377455(0.1255)8()()8544=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯3374555(0.1258)()8544=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯1251110=-⨯⨯⨯1250=-画龙点睛 在进行幂的运算时，可利用()n n n a b ab =进行化简，如：5555112()(2)1122=⨯==，因此，有运算时要留意乘积是1、10、100的数，若幂指数不一样时，可采用m n m n aa a +=进行变形，如56551112()2()222= 举一反三1. 计算：542182(2)()()4327---⨯⨯2. 将22323323[()]2a b c x y----化为含有正整数指数幂的式子.3. 化简再求值2221122211()()()x xy y x y x y x y x y ---++÷+⨯+-，其中1x =，2y =融会贯通4. 已知12x x+=，求20172017201720172x x x x --+++的值6 求绝对值的值绝对值是初中代数中一个非常重要的基本概念，在求绝对值的值时，要利用绝对值的定义来解决问题:一般地，一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即:,00,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当时当时当时经典例题 已知1x ≤，1y ≤，求125y y x ++--的最小值解题策略本题可先利用条件1x ≤，1y ≤得到x 、y 的取值范围为11x -≤≤，11y -≤≤，再利用x 与y 的取值范围判断代数式1y +与25y x --的正负情况，从而去掉绝对值符号并进行化简.解:因为1x ≤，1y ≤，可得:11x -≤≤，11y -≤≤则012y ≤+≤，222y -≤≤，11x -≤-≤可得23y x -≤则252y x --≤-125125y y x y y x ++--=+-++61164x y =-+≥--+=当1,1x y =-=时，1254y y x ++--= 所以，125y y x ++--的最小值为4画龙点睛在求绝对值的值时，首先要利用已知条件判断绝对值符号里代数式的正负，再利用绝对值的定义去掉绝对值符号.若无法判断绝对值符号中代数式的正负时，要进行分类讨论. 举一反三1. 若3x =，2y =，且x y y x -=-，求x y +的值2. 若有理数a 、b 、c 、d 满足1abcd abcd =-，求a b d c a b c d+++的最大值3. 已知1x ≤，1y ≤，求124x y y y x ++++--的最大值和最小值融会贯通4. 已知215x x y ++=，3x y y +-=，求x 、y 的值7 借助数轴解绝对值问题由绝对值的定义可知，任何实数的绝对值都是非负的.从几何上来看，若实数a 在数轴上对应的点为A ，O 为原点，则a 就是线段AO 的长;a b -就是线段AB 的长(b 对应于点B ).对表达式x a -，当x a =时，可得0x a -=1，因此x a =为x a -的零点. 经典例题 若不等式13x x a ++-≤有解，求a 的取值范围.解题策略根据绝对值的几何意义，因为1x +、3x -分别表示数轴上点x 到点1-和3的距离，所以13x x ++-表示数轴上某点到A : 1-和B : 3的距离和.从图中可见，不论x 在A 点左边或者B 点右边时，x 到A 、B 点距离和都大于4.当x 在A 、B 两点之间时，x 到A 、B 点距离和为4.所以4a ≥.所以，a 的取值范围是4a ≥.画龙点睛解绝对值不等式常用分类讨论方法.当1x ≤时，原不等式化为224a x ≥-≥;当13x -<<时，原不等式化为4a ≥;当3x ≥时，原不等式化为224a x ≥-≥.综上所述，4a ≥.由于题中两个绝对值符号中未知数的系数相同，所以我们利用了绝对值的几何意义. 举一反三1. 解不等式143x x +--<2. a 取何值时，不等式532x x a ++-≤无实数解?3. 解不等式444x x +-->融会贯通4. 设0a b c <<<，求y a x b x c x =-+-+-的最小值.8 含有字母的绝对值的化简在初中代数的学习过程中，经常会遇到含有字母的绝对值化简问题.我们知道，当0a ≥时，a a =;当0a ≤时，a a =-，那么在不清楚绝对值符号中代数式的正负情况时，需要进行分类讨论.经典例题 化简：3121x x ++-解题策略本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事.例如，化简31x +，只要考虑31x +的正负，即可去掉绝对值符号.这里我们是分13x ≥-和13x <-两种情况加以讨论的，此时13x =-是一个分界点.类似地，对于21x -而言，12x =是一个分界点.为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点13-和12标在数轴上，把数轴分为三个部分(如图所示)，即 13x <-，1132x -≤<，12x ≥(1) 当13x <-时，原式(31)(21)5x x x =-+--=- (2) 当1132x -≤<时，原式(31)(21)2x x x =+--=+ (3) 当12x ≥时，原式(31)(21)5x x x =++-=所以3121x x ++-=15,3112,3215,2x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩当时当时当时 画龙点睛解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值，即题中每个绝对值的“零点”，然后在数轴上标出这些“零点”，这样就将数轴分成几个部分，根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”举一反三1. 若0x <，化简23x x x x ---2. 已知28242y x x x =++--+，求y 的最大值3. 已知015p <≤，求1530x p x x p -+-++-在15p x ≤≤时的最小值融会贯通4. 设n 个有理数1x ，2x ，…，n x ，满足1i x <(1,2,,)i n =…，且12n x x x +++… 1219n x x x =++++…，求n 的最小值9 利用绝对值的非负性解题对于任何一个实数来说，它的绝对值都是非负数，即0a ≥(a 为任意实数)在解题时，我们可以利用绝对值的非负性，求出题中所给未知数的大小.经典例题 若1x +与2y -互为相反数，求11(2)(3)(1)x y x y +++++… 1(2017)(2015)x y +++的值解题策略 因为1x +与2y -互为相反数，所以120x y ++-= 而10x +≥，20y -≥ 所以10x +=，20y -=即1x =-，2y =111(2)(3)(1)(2017)(2015)x y x y x y ++++++++ (111122320162017)=+++⨯⨯⨯… 11111(1)()()22320162017=-+-++-… 112017=-20162017= 画龙点睛利用绝对值的非负性可以帮助我们解决许多问题.常常用到如下两个性质:(1)有限个非负数的和仍为非负数，即若1a ，2a ，…，n a 为非负数，则120n a a a +++≥….(2)有限个非负数的和为零，那么每一个加数必为零，即若1a ，2a ，…，n a 为非负数，且12 0n a a a +++=…，则必有12 0n a a a ==+=…举一反三1. 若231x y ++与2x y +互为相反数，求2017()x y +的值2. x 、y 是有理数，求2834123x x y -+--+的最小值.3. 若a b a b +=-，求a 、b 应满足的关系. 融会贯通4. 实数a 、b 、c 满足不等式a b c ≥+，b c a ≥+，c a b ≥+，求证:0a b c ++=10 赋值法解题所谓“赋值法”解题，就是对原本与数量无关的问题巧妙地赋予某些特殊的数值(如1±、0等)，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号或奇偶性等性质的讨论，使问题得以解决.先看下面这个问题.经典例题有11枚硬币，正面朝上放在桌子上.现在规定每次翻动其中4枚，问能否经过有限次翻动，使所有的硬币都正面朝下?解题策略本题是一个操作性的开放性问题，如何将这个操作过程量化表示呢?这里我们提供两种解决方案:解法一：通过对整数正负号的讨论解决问题.对正面朝上或朝下的硬币“赋值”:记正面朝上为“1+”，正面朝下为“1-”，开始时，由于11枚硬币均为正面朝上，所以这11枚硬币的值的乘积为“1+”.一枚硬币每翻动一次，它的值就乘以“1-”.那么，每一次翻动4枚硬币，这四枚硬币的值都分别乘以“1-”，而其他硬币的值不变，所以这11枚硬币的值的积是不变的.所以无论翻转多少次，这些硬币的值的乘积都为“1+”.而题目要求经过翻转后，所有的硬币都正面朝下，即11枚硬币的值都是“1-”，此时，这些硬币的乘积为“1-”.所以，不论经过多少次翻转，都无法将所有硬币正面朝下. 解法二：通过对整数奇偶性的讨论解决问题.同样，我们对正面朝上或朝下的硬币“赋值”:记正面朝上为“1+”，正面朝下为“1-”开始时，由于11枚硬币均为正面朝上，所以这11枚硬币的值的和为“11”，是奇数.一枚硬币每翻动一次，它的值的奇偶性就会改变.那么，每一次翻动4枚硬币，这11枚硬币的值的和的奇偶性都改变了四次，与原奇偶性相同.所以无论翻转多少次，这些硬币的值的和都为奇数.而当所有的硬币都正面朝下时，这些硬币的值的和为“0”，是偶数.所以，不论经过多少次翻转，都无法将所有硬币正面朝下，画龙点睛用赋值法解决此类问题时，只能用于否定的情况.关键是要找到在操作过程中某一个(或几个)不变的量(如正负性、奇偶性等)，通过赋值，使操作前的量与题目最终要求的量不等，推出矛盾，进而得到否定的结论.注意，如果结论是肯定的，则需要给出具体的操作过程. 举一反三1. 有一只渡船往返于一条小河的左右两岸之间.若最初渡船是在左岸，它过河2017次之后，是停在左岸还是右岸呢?2. 桌上放五个杯子，杯口朝上的有2个，朝下的有3个，每次翻动4个杯子.问能否翻动若干次后，将杯口全部朝上?3. 教室里有5排椅子，每排5张，每张椅子上坐一个学生.如果一周后，每个学生都必须和他相邻(前、后、左、右)的某一同学交换座位.问可以完成座位调换吗?融会贯通4. 在例题中，如果改为12枚硬币，结论是怎样的呢?如果改为每次翻动3枚，结论又是怎样的呢?你能发现什么规律吗?11探索数的规律在数学学习中，我们经常需要对一些图形或数列进行观察。