13.1.2 线段的垂直平分线的性质(第2课时)

第十三章轴对称第2课时13.1.2线段的垂直平分线的性质一、课前小测——简约的导入1. 下列图形中一定是轴对称图形的是（）.A. 梯形B. 直角三角形C. 角D. 平行四边形2.以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（）.二、典例探究——核心的知识例1 已知图中的图形都是轴对称图形，请你画出它们的对称轴．例2 如图1△ABC和△A´B´C´关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点;（2）连接A,A´，直线m与线段AA´有什么关系？（3）延长线段AC与A´C´,它们的交点与直线m 有怎样的关系？其它对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律,请叙述出来与同伴交流．例3 如图2，在△ABC中，AB＝AC＝16cm，AB 的垂直平分线DE交AC于D，BC＝10cm，求△BCD 的周长. 三、平行练习——三基的巩固3. 画出下面各轴对称图形所有的对称轴．4.如图3，△ABC与△ADE关于直线MN对称,BC 与DE的交点F在直线MN上．（1）指出两个三角形中的对称点；（2）指出图中相等的线段和角；（3）图中还有对称的三角形吗？5.如图4，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm ，△ABD 的周长为13cm ，求△ABC 的周长．四、变式练习——拓展的思维例4 如图5，点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA,OB 的对称点P 1,P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为.变式1 如图6，已知P 点是∠AOB 平分线上一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足为C,D. （1）求证：∠PCD=∠PDC; （2）你认为OP 与CD 有什么关系？证明你的结论.POCBA图6变式2 如图7，△ABC 中∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E.求证：直线AD 是CE 的垂直平分线．五、课时作业——必要的再现6. 下列说法错误的是（ ）.A ．D,E 是线段AB 的垂直平分线上的两点，则AD=BD ，AE=BEB ．若AD=BD,AE=BE,则直线DE 是线段AB 的垂直平分线C ．若PA=PB,则点P 在线段AB 的垂直平分线上D ．若PA=PB ，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线7. 画出下列图形的所有对称轴.8. 如图8,在△ABC 中,∠C =90°,DE 垂直平分斜边AB,分别交AB,BC 于点D,E.且CAB =B+30°,求∠AEB 的度数.9. 如图9，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，BC=6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F. 求证：BM=MN=NC.答案1. C.2. B.例1 略.例2 (1)与A′,B与B′,C与C′;(2)m⊥AA′；(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．例3 ∵DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD.又∵AC=16,∴BD+DC=16,即BC=10.∴△BDC的周长为BC+BD+CD=16+10=26cm.答：△BCD的周长26cm.3.画图略.4. (1)A与A，B与D，C与E是对称点；(2)AB=AD,AC=AE,BC=DE,BF=DF,EF=CF；(3)△AEF与△ACF.5. ∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD，AC=2AE=6cm.又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm,∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm.例415.变式1 (1)∵P点是∠AOB平分线上一点,PC⊥OA，PD⊥OB,∴PC=PD,∴∠PCD=∠PDC.(2) ∵PC⊥OA，PD⊥OB且∠PCD=∠PDC,∴∠CPO=∠DPO,∴OC=OD.∵PC=PD,∴点P,O在CD垂直平分线上,∴OP⊥CD.变式2 ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC.∵∠ACB=90°，DE⊥AB,∴DE=DC且∠EDA=∠CDA,∴AE=AC，∴直线AD是CE的垂直平分线．6. D.7. 略.8．∵DE垂直平分斜边AB,∴AE=BE,∴∠EAB=∠EBA.∵∠CAB=∠B+30°,CAB=∠CAE+∠EAB, ∴∠CAE=30°.∵∠C= 90°,∴∠AEC=60°,∴∠AEB=12°.9. 连结AM,AN.如下图所示:∵AB=AC ,∠A=120°∴∠B=∠C=30°.∵ME垂直平分AB，NF垂直平分AC，∴AM=BM,AN=CN,∠BAM=∠B=30°,∠NAC= ∠NCA=30°,∴∠MAN=60°.易证△ABM与△CAN全等，即AM=BM=AN=NC, 易证△MAN为等边三角形，即AM=AN=MN,∴BM=MN=NC.。

13．1.2 线段的垂直平分线2学习目标：1、进一步理解线段垂直平分线的性质，并能灵活运用。

2、理解并掌握线段垂直平分线的判定3、运用线段垂直平分线的判定解决问题重点：探索并理解线段垂直平分线的判定难点：运用线段垂直平分线的判定解决问题一、自主学习;、预习新知P611、用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的弓，箭通过木棒中央的孔射出去。

（1）（2）1)如图（1）要使CO垂直于AB，需要添加什么条件？为什么？那么点C在_____________上。

2）如图（2），拉动C，到达D的位置，若AD=DB，那么点D在__________上。

3）由1），2），你得到什么猜想？4）用学过的知识证明你的猜想。

二、导学交流：知识点一理解并掌握线段垂直平分线的判定小帅同学为验证逆命题已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：已知：_______=_______求证：_____在AB的______________线上P证明：A B 判定定理：几何语言：∵∴总结：与一条线段两个端点距离________的点，在这条线段的______________上三、随堂练习;知识点三3、运用线段垂直平分线的性质、判定解决问题1.点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有（）A．PB=PC B. PA=PCC. PA=PBD. 点P到∠ABC的两边距离相等2．下列说法错误的是（）A. D.E是线段AB的垂直平分线上的两点，则 AD=BD，AE=BEB．若AD=BD，AE=BE，则线段DE是线段AB的垂直平分线BBC ． 若PA=PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上D. 若PA=PB,则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线1、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A.在AC 、BC 两边高线的交点处B.在AC 、BC 两边中线的交点处C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D.在A 、B 两内角平分线的交点处3：如图，AD ⊥BC ，BD =DC ，点C 在AE 的垂直平分线上，AB ，AC ，CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE 有什么关系？四、小结：本节课学习你有什么收获？什么疑惑？五、课后作业1. △ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，垂足为E,交AB 于点D ， AE=5cm ，△CBD 的周长为24cm ，求△ABC 的周长。

人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册13.1.2《线段的垂直平分线的性质（2）》教学设计一、教材分析1、地位作用：本节教学内容是在学生了解线段的垂直平分线的性质和掌握了过直线外一点作已知直线的垂线后的一节课，主要是使学生掌握用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线。

同时还要求学生会根据一个平面图形的特点找出它的对称轴，为找线段的中点和正确判断一个平面图形是否是轴对称图形打下坚实的基础。

通过这节的学习还能使学生在处理到两地距离相等或寻找最短距离等问题寻到最优化的方法。

同时这节课对于培养学生的数学审美能力和动手能力，拓展学生的空间想象力也有十分重要的意义。

2、教学目标：①理解理解并且会运用垂直平分线的两个性质；②掌握画一条线段的垂直平分线和判断一图形是否是轴对称图形的方法；③经历操作、观察、分析，探究思考作图和找对称轴方法；④应用垂直平分线的性质和轴对称的性质解决简单的问题。

目标分析：由于学生对过直线外一点作已知直线的垂线有了一定得了解，对用尺规作图的方法有一定基础，因此学习本课时一般能达到水到渠成的效果。

但由于缺乏空间概念，学生在学习这部分内容时可能会遇到这样或那样的困难，尤其是一些学困生对基本作图的方法和找图形的对称轴图形会感到吃力。

因此，在教学过程中力求体现以下几方面的理念：为学生创设探究学习的情境；联系生活实际，让学生体会数学与生活的密切联系；改变学生的学习方式，运用合作学习，培养学生协作能力；运用电化教学手段增加教学的新颖性，引导学生以各种感官参与学习的全过程。

3、教学重、难点教学重点：画一条线段的垂直平分线教学难点：判断一图形是否是轴对称图形突破难点的方法：让学生在“观察----比较一操作一概括一检验一应用”的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的有关内容。

二、教学准备：多媒体课件、圆规、三角板、导学案等三、教学过程轴对称的性质是什么？如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对称轴？五角星的对称轴有什么特点？三、拓展运用2如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？练习3如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？A BC D2题图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向。

第十三章轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第2课时一、教学目标【知识与技能】能够作出轴对称图形以及轴对称的对称轴,明确对称轴是直线.【过程与方法】1.经历探索、猜测、动手操作的过程,进一步发展学生的动手操作能力;2.体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神.【情感、态度与价值观】通过积极参与数学学习活动,在数学活动中获得成功的体验,建立学习的自信心.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。

四、教学重难点【教学重点】线段的垂直平分线的作法.【教学难点】探索轴对称图形对称轴的作法.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。

学生：三角尺、直尺、圆规。

六、教学过程（一）导入新课如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？（出示课件2）（二）探索新知1.师生互动，探究作线段的垂直平分线教师问1：什么是线段的垂直平分线？学生回答：经过线段的中点并且垂直于线段的直线是这条线段的垂直平分线.教师问2：线段的垂直平分线有哪些性质？学生回答：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.教师问3：轴对称图形的性质是什么？学生回答：对应点的连线被对称轴垂直平分.教师问4：两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什么方法画出它的对称轴？学生讨论后回答：作出对应点连线的垂直平分线教师问5：如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 师生共同分析得到：（出示课件5）我们只要连接点A 和点B ，作出线段AB 的垂直平分线，就可得到点A 和点B 的对称轴.为此作出到点A ，B 的距离相等的两点，即线段AB 的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB 的垂直平分线.师生共同解答如下：已知：线段AB(如图1).求作：线段AB 的垂直平分线.作法：(1)如图2，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 和D 两点；图1 图2(2)作直线CD. 直线CD 就是线段AB 的垂直平分线.（出示课件6）教师问6：在上述作法中，为什么要以“大于12AB 的长”为半径作弧？ 学生以小于或等于12AB 的长”为半径作弧，然后回答：如果以小于或等于12AB 的长”为半径作弧，小于12AB 的长”为半径作弧没有交点，等于12AB 的长”为半径作弧只有一个交点，这样无法作出唯一的直线.教师问7：根据上面作法中的步骤，请你说明CD 为什么是AB 的垂直平分线，并与同伴进行交流.学生讨论并回答：构造三角形，证明三角形全等，从而得出线段相等.老师进行小结:.连接AC、BC、AD、BD，证明：△AOC≌△BOC, △AOD≌△BOD，由此得到AC=BC，AD=BD.所以得到：CD是AB的垂直平分线.例1：如图，已知点A、点B以及直线l. （出示课件8）(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.师生共同解答如下：（出示课件9）解：(1)如图所示：(2)在△AMP和△BNP中，∵AM=PN，AP＝PB，PM＝BN，∴△AMP≌△PNB(SSS)，∴∠MAP＝∠NPB.例2：如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)（出示课件11）师生共同解答如下：（出示课件12）解：如图所示：总结点拨：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.两线的交点即为所求.2.作轴对称图形的对称轴教师问8：同学们不要忘了，我们作线段的垂直平分线是为了什么？学生回答：是为了作出轴对称图形的对称轴.教师问9：那怎样作出一个轴对称图形的对称轴呢？学生回答：我们只要找到任意一对对应点，作出这对对应点连线的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴.教师问10：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？师生共同解答如下：（出示课件14）作法：（1）找出五角星的一对对称点A和B，连接AB．（2）作出线段AB的垂直平分线l．则l就是这个五角星的一条对称轴．用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．总结点拨：（出示课件15）对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.教师问11：刚才我们学习了作线段的垂直平分线，那么如何过已知点作一条直线的垂线呢？点和直线有几种位置关系？学生回答：2种.一种是点在直线上，一种是点在直线外.老师出示问题让学生自行解决.（作为课下作业）例3：如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.（出示课件16）师生共同解答如下：解：延长BC、B'C'交于点P，延长AC，A'C'交于点Q，连接PQ，则直线PQ 即为所要求作的直线l.总结点拨：①过成轴对称图形的两组对应点的连线（或延长线）交点的直线是这个轴对称图形的对称轴.②如果成轴对称的两个图形对称点连线（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上.（三）课堂练习（出示课件20-25）1.尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E 即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．下列说法正确的是（）A．甲、乙都正确B．甲、乙都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出对称轴．4.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？5. 如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.6. 如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．参考答案：1.D2.D3.解答如图所示：4.解：如下图所示：角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴.5.解：如下图所示：6. 解：如下图所示：（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:线段的垂直平分线的性质(2)1.线段垂直平分线的作图2.过一点作已知直线的垂线（五）课前预习预习下节课（13.2）的相关内容。