角的相关计算和证明过程训练(综合)(一)(北师版)(含答案)

四年级上册数学一课一练角的度量（一）北师大版（）（含解析）一、单项选择题1.度量一个角，角的一条边对着量角器上内圈〝0〞的刻度，另一条边对着内圈刻度〝60〞，这个角是( )。

A. 60度B. 180度C. 20度2.一个5倍的缩小镜看一个15度的角，这个角是( )。

A. 15度B. 20度C. 75度3.度量一个角，角的一条边对着量角器上内圈〝180〞的刻度，另一条边对着内圈刻度〝60〞，这个角是( )。

A. 60度B. 120度C. 无法确定4.平角的两条边〔〕。

A. 在一条直线上B. 在两条直线上C. 无法确定5.用一副三角板可以画出的角是〔〕度。

A. 160B. 40C. 120二、判别题1角的两边越短，角的度数越小。

〔〕2.线段比射线短，射线比直线短。

〔〕3平角就是一条直线，周角就是一条射线。

〔〕4.时钟在9点整时，时针和分针成直角。

〔〕5.两个锐角的和一定比直角大。

〔〕三、填空题1.在一个直角三角形中，有两个相等的角，那么这两个角都是________度。

2.计量角的大小的单位是________。

3.用一副三角尺________度和________度的角可以拼成105度的角。

4.角的两边在同一条直线上，这样的角叫做________角，它有________度，它等于________个直角。

5. 1周角＝________平角＝________直角＝________个45°的角6.钟在5时的时分，它的时针和分针成________角。

7.从一点引出两条________所组成的图形叫做角，这个点叫做角的________。

这两条射线叫做角的________。

8.∠1与∠2的和是184°，∠2＝54°，那么∠1＝________度。

9.∠1+∠2+∠3＝180°，其中∠1＝52°，∠2＝46°，那么∠3＝________度。

10.∠1是∠2的3倍，∠1＝120°，∠2＝________度。

余角、补角、对顶角的相关计算（北师版）一、单选题(共12道，每道8分)1.下列语句正确的是( )A.若两个角是对顶角，则这两个角相等B.若两个角相等，则这两个角是对顶角C.若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等D.以上判断都不对答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：对顶角相等2.若∠α是它的余角的2倍，则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.120°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：余角3.已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为( )A.145°B.115°C.135°D.125°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角4.如图，∠COD为平角，AO⊥OE，∠DOE=∠AOC，则∠DOE的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角5.如图，∠AOB=15°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一直线上，则∠COD的度数为( )A.75°B.15°C.105°D.165°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角6.如图所示，∠AOC=∠BOD=90°，若∠AOB=150°，则∠OCD的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：余角7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列结论错误的是( )A.∠A=∠BCDB.∠A与∠ACD互余C.∠A与∠BCD互余D.∠B=∠ACD答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：同角或等角的余角相等8.如图，OC⊥AB，∠COD=45°，则图中互为补角的角共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角9.如图所示，∠AOC=90°，∠COB=α，OD平分∠AOB，则∠COD的度数为( )A. B.C.45°-αD.90°-α答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线定义10.若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ的关系是( )A.互余B.互补C.相等D.不确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：同角的余角相等11.若∠A与∠B互补，∠B与∠C互余，则∠A与∠C的关系是( )A.互余B.互补C.∠A-∠C=90°D.∠A-∠C=180°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角12.若∠α和∠β互余，则下列式子：①180°-∠β；②∠α+2∠β；③90°+∠α；④2∠α+∠β．其中能表示∠β补角的有( )A.①③B.①④C.①③④D.①②③④答案：C解题思路：（3）易错点：不能利用余角和补角的定义进行表达．试题难度：三颗星知识点：补角。

专题17 线段中点或角的计数问题一、线段中点问题1. 如图，点C为线段AB上一点，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若AC+BC=acm，其他条件不变，直接写出线段MN的长为．【答案】（1）7cm；（2）12a cm．【解析】【分析】（1）根据线段中点的性质（可得CM（CN的长（根据线段的和差（可得答案（（2）根据线段中点的性质（可得CM（CN的长（根据线段的和差（可得答案（【详解】（1（∵点M（N分别是AC（BC的中点（AC=8（CB=6（∴CM=12AC=12×8=4（CN=12BC=12×6=3（∴MN=CM+CN=4+3=7cm（（2（∵点M（N分别是AC（BC的中点（∴CM=12AC（CN=12BC（∴MN=CM+CN=1 2AC+12BC=12（AC+BC（=12AB=12a（cm（（故答案为12a cm（【点睛】本题考查了两点间的距离（连接两点间的线段的长度叫两点间的距离（2. 画线段MN=3㎝，在线段MN上取一点Q，使MQ=NQ，延长线段MN至点A，使AN=MN；延长线段NM至点B，使BN=3BM，根据所画图形计算：（1）线段BM的长度；（2）线段AN的长度；（3）试说明Q是哪些线段的中点？图中共有多少条线段？它们分别是？【答案】（1）1.5㎝；（2）1.5㎝；（3）由图可知，BM=MQ=NQ=NA所以Q既是线段MN的中点，也是线段AB的中点．图中共有10条线段，它们分别是：BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA.【解析】【分析】先根据题意画出几何图形（1）根据BN=3BM可得到MN=2BM，而MN=3cm，即可得到线段BM的长；（2）根据AN=12MN即可得到线段AN的长；（3）由（1）与（2）得到BM=MQ=NQ=NA，即QB=QA，QM=QN，则点Q是线段MN的中点，也是线段AB的中点；图形中共有BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA10条线段．【详解】如图所示：（1）（MN=3cm，BN=3BM，（BM=12MN=12×3=1.5（cm ）；（2）（MN=3cm，AN=12 MN（AN=1.5cm；（3）由图可知，BM=MQ=NQ=NA，（QB=QA，QM=QN，（点Q既是线段MN的中点，也是线段AB的中点；图中共有10条线段，它们分别是：BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA．【点睛】本题考查了两点间的距离、射线与线段的定义，解题的关键是熟记两点间的距离的定义：两点的连线段的长叫两点间的距离．二、线段分点问题3. 如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分，M是线段AD的中点，CD ＝6 cm，求线段MC的长．【答案】3cm【解析】【分析】设AB=2x，BC=4x，CD=3x，再根据CD=6cm求出x的值，故可得出线段AD的长度，再根据M是AD的中点可求出MD的长，由MC=MD-CD即可得出结论．【详解】解：∵B，C两点把线段AD分成2：4：3三部分，∴设AB=2x，BC=4x，CD=3x，∵CD=6cm，即3x=6cm，解得x=2cm，∴AD=2x+4x+3x=9x=9×2=18cm，∵M是AD的中点，∴MD=12AD=12×18=9cm，∴MC=MD-CD=9-6=3cm．【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此类问题时要注意各线段之间的和、差及倍数关系．4. A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/秒的速度同时向左运动．（1）几秒后，原点恰好在A，B两点正中间？（2）几秒后，恰好有OA：OB=1：2.【答案】（1）95（1.8）秒；（2）1或9秒.【解析】【分析】（1）根据原点恰好在两点正中间，分别表示出原点两旁的长度求出即可；（2）利用①B与A相遇前，②B与A相遇后分别表示出线段长度得出等式即可．【详解】（1）设运动时间为x秒，根据题意得出：x+3=12-4x，解得：x=1.8，答：1.8秒后，原点恰好在两点正中间；（2）设运动时间为x秒，分两种情况：①B与A相遇前：12-4x=2（x+3），解得：x=1，②B与A相遇后：4x-12=2（x+3），解得：x=9，答：1秒或9秒后，恰好有OA：OB=1：2．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论得出是解题关键．三、线段条数的计数问题5. 先阅读文字，再解答问题．如图，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，在一条直线上取三点可以得到3条线段，其中以A 1为端点的向右的线段有2条，以A 2为端点的向右的线段有1条，所以共有2＋1＝3(条)．(1)在一条直线上取四个点，以A 1为端点的向右的线段有______条，以A 2为端点的向右的线段有______条，以A 3为端点的向右的线段有______条，共有______＋______＋______＝______(条)．(2)在一条直线上取五个点，以A 1为端点的向右的线段有______条，以A 2为端点的向右的线段有________条，以A 3为端点的向右的线段有________条，以A 4为端点的向右的线段有______条，共有________＋________＋________＋________＝______(条)．(3)在一条直线上取n 个点(n≥2)，共有________条线段．(4)乘火车从A 站出发，沿途经过5个车站方可到达B 站，那么A ，B 两站之间最多有多少种不同的票价？需要安排多少种不同的车票？(只考虑硬座情况) 【答案】（1）3；2；1；3；2；1；6；（2）4；3；2；1；4；3；2；1；10；（3）(1)2n n -；（4）21种；42种 【解析】【分析】（1）分别找出以A 1，A 2，A 3为端点向右的线段数，再求和即可得到结论； （2）分别找出以A 1，A 2，A 3，A 4为端点向右的线段数，再求和即可得到结论； （3）由前面的规律可看出，当直线上有n 个点时，线段总数为(1)2n n -； （4）画出图形，结合图形，表示出线段的条数，就可以知道车票的种数，从而可得结论．【详解】解：(1)在一条直线上取四个点，如图以A 1为端点的向右的线段有12A A ，13A A ，41A A 共3条，以A 2为端点的向右的线段有23A A ，24A A 共2条，以A 3为端点的向右的线段有34A A ，1条，共有3＋2＋1＝6(条)．(2)在一条直线上取五个点，如图，以A 1为端点的向右的线段有12A A ，13A A ，41A A ，15A A 共4条，以A 2为端点的向右的线段有23A A ，24A A ，25A A 共3条，以A 3为端点的向右的线段有34A A ，35A A ，共2条，以A 4为端点的向右的线段有45A A ，1条，共有4＋3＋2＋1＝10(条)．(3)在一条直线上取n 个点(n≥2)，共有(1)2n n -条线段． (4)从A 站出发，沿途经过5个车站到达B 站，类似于一条直线上有7个点，如图，此时共有线段7(71)2⨯-＝21(条)，即A ，B 两站之间最多有21种不同的票价．因为来往两站的车票起点与终点不同，所以A ，B 两站之间需要安排21×2＝42(种)不同的车票．【点睛】此题主要考查学生数线段条数及规律型题的掌握情况，找到线段条数与直线上点的个数之间的联系，是解题的关键．四、平面内直线相交所得交点与平面的计数问题6. 为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图．列表如下：(1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成______部分，可写成和的形式为________．(2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分． (3)当直线条数为n 时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？ 【答案】(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5 (2)45；56；（3）(1)2n n -；n(n 1)12+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）两条直线只有一个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2， 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3， 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+4， 可得，n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n≥2）． 一条直线把平面分成2部分，两条直线把平面分成2+2=4部分，三条直线把平面分成2+2+3=7部分，四条直线把平面分成2+2+3+4=11部分，五条直线把平面分成2+2+3+4+5=16部分，即n 条直线把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=1+(+1)2n n 部分 （2）代入（1）中的规律可得结果； （3）由（1）可得结论．【详解】解：（1）两条直线只有一个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3=4(41)2⨯-=6， 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+45(51)=2⨯-=10，∴可得，n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n≥2）． 一条直线把平面分成2部分， 两条直线把平面分成2+2=4部分，三条直线把平面分成2+2+3=7部分， 四条直线把平面分成2+2+3+4=11部分， 五条直线把平面分成2+2+3+4+5=16部分，∴n 条直线把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=[1+(+1)2n n ]部分 （2）当n=10时，最多有10(101)=452⨯-个交点，把平面最多分成1+10(10+1)=562⨯部分． （3）当直线条数为n 时， 最多有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)2n n -个交点； 把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n ＝(1)12n n +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦部分． 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交有(1)2n n -个交点．本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识．五、关于角的个数的计数问题7. 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图，如果过角的顶点A ，(1)在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？ (2)在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？ (3)在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？ (4)在角的内部作n 条射线，那么图中一共有几个角？【答案】（1）3；（2）6；（3）10；（4）(1)(2)2n n ++【解析】【分析】（1）根据图形判断即可；（2）根据图形可判断出在（1）的基础上再增加一条射线，则增加3个角，进行计算即可；（3）根据图形判断在（2）的基础上再增加一条射线，则增加4个角，进行计算即可；（4）根据前面结论进行总结即可．【详解】解：（1）如题图①，已知∠BAC ，如果在其内部作一条射线，显然这条射线就会和∠BAC 的两条边都组成一个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角； （2）题图①中有1＋2＝3(个)角，如果再在题图①的角的内部增加一条射线，即为题图②，显然这条射线就会和图中的三条射线再组成三个角，则题图②中一共有1＋2＋3＝6(个)角；（3）如题图③，在角的内部作三条射线，即在题图②中再增加一条射线，同样这条射线就会和图中的四条射线再组成四个角，即题图③中一共有1＋2＋3＋4＝10(个)角；（4）由（1）、（2）、（3）可知：在角的内部作一条射线，一共有1＋2＝3(个)角， 在角的内部作两条射线，一共有1＋2＋3＝6(个)角， 在角的内部作三条射线，一共有1＋2＋3＋4＝10(个)角，所以如果在一个角的内部作n 条射线，则图中一共有1＋2＋3＋…＋n ＋(n ＋1)＝(1)(2)2n n ++ (个)角．【点睛】本题考查了角的计数，通过观察，正确归纳总结出规律是解题关键．。

学生做题前请先回答以下问题问题1：看到平行想什么？问题2：看到垂直想什么？问题3：看到外角想什么？问题4：看到内角想什么？角的相关计算（一）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD平分∠BAC，则∠ADC的度数为( )A.80°B.107°C.73°D.100°答案：B解题思路：如图，结合已知条件，∠ADC可以看作△ACD的内角，也可以看作△ABD的一个外角，因此有两种思路．第一种思路：已知在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，根据三角形的内角和等于180°，得∠BAC=80°，由AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，得．所以，在△ACD中，根据三角形的内角和等于180°，得∠ADC=107°．第二种思路：已知在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，根据三角形的内角和等于180°，得∠BAC=80°，由AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，得．∠ADC是△ABD的一个外角，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠ADC=∠B+∠1=107°．故选B．试题难度：三颗星知识点：三角形的外角2.如图，直线BD∥EF，AE交BD于点C，若∠B=30°，∠A=75°，则∠E的度数为( )A.60°B.75°C.90°D.105°答案：D解题思路：如图，由BD∥EF，根据两直线平行，同位角相等，得∠E=∠ACD，这样就把求∠E转化为求∠ACD．而∠ACD可以看作△ABC的外角，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠B=105°．所以∠E=105°．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的外角3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC边上一点，BE交AD于点F．∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠BFD=60°，则∠BEC的度数为( )A.85°B.105°C.100°D.90°答案：D解题思路：如图，结合已知条件，∠BEC可以看作△BCE的内角，接下来的目标是求∠1和∠C．在△ABC中，由∠ABC=45°，∠BAC=75°，根据三角形的内角和等于180°，得∠C=60°；由AD⊥BC于点D，根据垂直的定义，得∠ADB=90°，再根据直角三角形两锐角互余，可得∠1=30°；所以，在△BCE中，根据三角形的内角和等于180°，得∠BEC=90°．故选D．试题难度：三颗星知识点：垂直的定义4.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠A=90°，剪去直角后，得到一个四边形GBCH，则∠1+∠2=( )A.270°B.240°C.180°D.90°答案：A解题思路：如图，∠1可以看作△AGH的一个外角，∠2也可以看作△AGH的一个外角，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠1=∠A+∠AHG，∠2=∠A+∠AGH．那么∠1+∠2=∠A+∠AHG+∠A+∠AGH=180°+∠AHG+∠AGH．在Rt△AGH中，根据直角三角形两锐角互余，得∠AHG+∠AGH=90°，所以∠1+∠2=180°+90°=270°．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形的外角5.如图，AB∥CD，AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，则∠E=( )A.60°B.75°C.90°D.105°答案：C解题思路：如图，∠E可以看作△ACE的内角，只需求出∠1+∠2的度数即可．由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，得∠CAB+∠ACD=180°；又AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，根据角平分线的定义，得∠1=∠ACD，∠2=∠CAB，所以∠1+∠2=(∠ACD+∠CAB)=90°．在△ACE中，根据三角形的内角和等于180°，得∠E=90°．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理6.如图，在△ABC中，∠B=∠C，DE⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为E，F，若∠ADE=158°，则∠FEC 的度数为( )A.22°B.32°C.44°D.58°答案：A解题思路：如图，从已知出发，由∠ADE=158°，得∠1=22°．由DE⊥BC，EF⊥AC，根据垂直的定义，∠DEB=∠EFC=90°，那么∠B+∠1=90°，∠C+∠FEC=90°，又因为∠B=∠C，根据等角的余角相等，得∠FEC=∠1=22°．故选A．试题难度：三颗星知识点：垂直的定义7.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．若∠A=70°，则∠D的度数为( )A.110°B.140°C.125°D.135°答案：C解题思路：如图，设∠DBC=α，∠DCB=β，因为BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，根据角平分线的定义，∠ABC=2∠DBC=2α，∠ACB=2∠DCB=2β．在△ABC中，根据三角形的内角和等于180°，得∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2α-2β，那么2α+2β=180°-∠A．在△DBC中，根据三角形的内角和等于180°，得∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-α-β，那么α+β=180°-∠D．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC的延长线于点M．若∠ACB=70°，∠B=40°，则∠M的度数为( )A.20°B.15°C.35°D.25°答案：B解题思路：如图，∠M可以放在直角三角形DPM中，利用直角三角形两锐角互余计算，那么需要求∠2的度数，而∠2又可以看作△ABD的一个外角，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠2=∠B+∠1，因此问题转化为求∠1的度数．在△ABC中，根据三角形的内角和等于180°，得∠BAC=180°-∠B-∠ACB=70°．又AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，得∠1=∠BAC=35°，从而可以求出∠2=75°，∠M=15°．故选B．试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余。

《角》典型例题例1 指出下面角的表示方法是否正确，错误的改正过来。

（1）如图①中的角可以表示为ABC∠；（2）如图②中的BAC∠可以表示为A∠。

例2 如图，用量角器度量三角形的三个角，并指出哪个角是钝角。

例3 计算：（1）0.12°＝（）′ （2）24′36″＝（）°例4如图，在海岸上有A、B两个观测站，B观测站与A观测站的距离是2.5km，某天，A观测站观测到有一条船在南偏东50°方向，在同一时刻，B观测站观测到该船在南偏东74°方向．（1）请根据以上情况画出船的位置．（2）计算船到B观测站的距离（画图时用1cm表示1km）例5 如图：（1）以B为顶点的角有几个：把它们表示出来；（2）指出以射线BA为边的角；（3）以D为顶点，DC为一边的角有几个？分别表示出来。

例6 填空题（1）;______638128︒='''︒（2）=''0451 '''︒；（3）＝︒26.78 '''︒；（4）︒120=________平角=_______周角。

例7 求时钟表面3点25分时，时针与分针所夹角的度数.参考答案例1 分析 （1）中角顶点的字母没有写在中间，（2）中用A ∠表示，就很难分清是表示三个角中的哪个角。

解 （1）错，应表示为BAC ∠；（2）错，它能用BAC ∠或α∠表示。

说明：（1）表示角时顶点字母必须写在中间；（2）用顶点一个字母去表示角时，必须分清楚表示的是哪个角。

例 2 分析 度量时应注意把量角器中角的顶点和所要度量的角的顶点重合，把量角器的“0”点落在被量角的一边上，使被量角的另一边和量角器都在被量角这一边的同侧，这时被量角的另一边所对的刻度就是这个角的度数。

解 经度量︒=∠140A 是钝角；︒=∠︒=∠15,25C B 。

说明：学生所用的一般量角器只精确到度，有时要根据观察来确定角的近似值。

第一章三角形的证明综合测试卷一、选择题。

01如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35º，则∠C的度数为 ( )A．35º B．45º C．55º D．60º02若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为( )A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm03如图，在△ABC中，∠ACB=90º，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30º，AE=6 cm，那么CE等于 ( )A ．3 cmB ．2 cm C．3 cm D．4 cm04如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠A=50º，则∠ACB的度数为 ( )A．90º B．95º C 100º D．105º05如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=4，AC=6，则△ACD 的面积为 ( )A．8 B 10 C．12 D．2406如图，∠A=50º，P是等腰△ABC内一点，且∠PBC=∠PCA，则∠BPC为 ( )A．100º B．140º C．130º D．115º07如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60º，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB，AC 于D，E两点，若BD=2，则AC的长是 ( )A．4 B．43 C．8 D．8308 将一个有45º角的直角三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30º角，如图，则三角尺的最长边的长为 ( )A．6 cm B．2 cm C．2 cm D．209如图，∠ACB=90º，AC=BC，AE⊥CE，垂足为点E，BD⊥CE，交CE的延长线于点D，AE=5 cm，BD=2 cm，则DE的长是( )A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm10如图，AD⊥BC于D，且DB=DC，有下列结论：①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C；③AD 是∠BAC的平分线；④△ABC为等边三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11如图，∠A=15º，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于( )A．90º B．75º C．70º D．60º12如图，在△ABC中，BC=10，DH，EF分别为AB、AC的垂直平分线，则△ADE的周长是 ( )A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题。

学生做题前请先回答以下问题问题1：什么叫做辅助线？辅助线通常画成什么线？问题2：辅助线的原则是什么？问题3：辅助线的作用是什么？问题4：添加辅助线的注意事项是什么？问题5：《与角有关的辅助线》一讲，讲了添加辅助线，把复杂的图形转化为基本图形，主要转化为了哪些基本图形？问题6：已知：如图，在四边形ABDC中．求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C．请添加不同的辅助线，多种方法证明（至少三种）．与角有关的计算与证明（辅助线）（北师版）一、单选题(共9道，每道11分)1.如图1，已知AB∥CD，CD⊥CE，∠FAB=45°，求∠ACE的度数．图2在图1的基础上添加了辅助线用来求∠ACE的度数，则下列选项中辅助线描述正确的是( )A.作射线CGB.作辅助线CG使得∠ECG=90°，并且D，C，G在一条直线上C.延长DC到点GD.作直线DG⊥CE答案：C解题思路：从已知出发，由AB∥CD，要找同位角、内错角和同旁内角，因此要找截线，若把AC当作截线，证明同位角∠FAB=∠ACG，可以延长DC到点G，利用平行线的性质计算．故选C．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线2.如图1，AB∥CD，∠E=∠F，求证：∠B=∠FCD．图2在图1的基础上添加了辅助线用来证明结论，则下列选项中辅助线描述正确的是( )A.延长BE交CD于点GB.过点E作EG∥CFC.连接EGD.作直线BG答案：A解题思路：从已知出发，由AB∥CD，要找同位角、内错角和同旁内角，因此要找截线，若把BE当作截线，可以延长延长BE交CD于点G．故选A．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线3.如图1，已知AB∥CD，求证:∠B+∠D+∠E=360°．图2在图1的基础上添加了辅助线用来证明结论，则下列选项中辅助线描述正确的是( )A.作辅助线EFB.作射线EFC.过点E作EF∥AB∥CDD.过点E作EF∥AB答案：D解题思路：从已知出发，由AB∥CD，要证∠B+∠D+∠E=360°，可以通过搭桥的方法过点E作EF∥AB．故选D．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线4.如图，已知AB∥CD，∠B=70°，∠E=30°，则∠ECD的度数为( )A.160°B.140°C.110°D.100°答案：B解题思路：从已知出发，由AB∥CD，要找同位角、内错角和同旁内角，因此要找截线，若把BE当作截线（也可以把EC当截线），如图，延长DC交BE于点F补全图形．由AB∥CD，且∠B=70°，利用平行线的性质，可得∠BFC=70°，再由平角的定义，得∠EFC=110°；∠ECD是△EFC的一个外角，结合∠E=30°，利用外角定理，得∠ECD=∠E+∠EFC=140°．故选B．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线5.已知：如图，AB∥CD，∠B=45°，∠BEF=90°，则∠EFD的度数为( )A.45°B.120°C.135°D.155°答案：C解题思路：从已知出发，由AB∥CD，要找同位角、内错角和同旁内角，因此要找截线，若把BE当作截线（也可以把EF当截线），如图，延长BE交CD于点G补全图形．由AB∥CD，且∠B=45°，利用平行线的性质，可得∠1=∠B=45°；又∠BEF=90°，根据平角的定义，得∠GEF=90°，∠EFD是△EGF的一个外角，利用外角定理，得∠EFD=∠1+∠GEF=135°．本题也可以通过过点E作AB的平行线进行计算．故选C．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线6.已知：如图，∠BAC+∠C=180°，点E是CD上一点，且∠1=32°，∠AFE=110°，则∠FED的度数为( )A.78°B.64°C.55°D.60°答案：A解题思路：从已知出发，由∠BAC+∠C=180°，得AB∥CD，由平行线要找同位角、内错角和同旁内角，因此要找截线，若把AF当作截线（也可以把EF当截线），如图，延长AF交CD 于点G补全图形．由∠BAC+∠C=180°，得AB∥CD，结合且∠1=32°，得∠2=∠1=32°；∠AFE是△FEG的一个外角，利用外角定理，得∠FED=∠AFE-∠2=78°．故选A．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线7.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=20°，∠B=40°，∠C=30°．求∠ADC的度数．以上空缺处所填正确的是( )A.B.C.D.答案：D解题思路：第一步：读题标注；第二步：走通思路；要找到∠ADC与∠A，∠B，∠C之间的关系，结合图形考虑构造辅助线，把四边形转化为解基本图形——三角形，从而利用三角形内角和定理或三角形外角定理证明．因此延长AD交BC于点E．∠1是△ABE的一个外角，利用外角定理，得∠1=∠A+∠B；∠ADC又是△CDE的一个外角，利用外角定理，得∠ADC=∠1+∠C=∠A+∠B+∠C，结合∠A，∠B，∠C的度数，代入可得∠ADC=90°．第三步：规划过程；首先叙述辅助线，然后先证∠1=∠A+∠B，再证∠ADC=∠A+∠B+∠C，最后代入计算．第四步：书写过程（见题目）．故选D．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线8.已知：如图，AB∥CD，AE∥DF，∠A=50°，∠C=25°，求∠F的度数．以上空缺处所填正确的是( ) A.B.C.D.答案：C解题思路：第一步：读题标注；第二步：走通思路；从已知出发，由平行要找同位角、内错角和同旁内角，发现AB∥CD缺少截线，若把AE当截线，则需延长AE交CD于点G．由AB∥CD，且∠A=50°，得∠1=50°；又∠C=25°，在△ECG中利用三角形内角和定理，得∠2=180°-∠1-∠C=105°；再结合AE∥DF，得∠F=∠2=105°．第三步：规划过程；首先叙述辅助线，然后计算∠1=50°，然后再计算∠2=105°，最后利用平行得∠F=105°．第四步：书写过程（见题目）．故选C．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线9.已知：如图，CE平分∠ACD，点G是AB上一点，GF∥CE．若∠1=60°，∠2=20°，求∠BAC的度数．横线处应填写的过程最恰当的是( ) A.B.C.D.答案：D解题思路：第一步：读题标注；第二步：走通思路；从已知出发，由GF∥CE，要找同位角、内错角和同旁内角，既可以考虑补全，也可以考虑搭桥．这里我们考虑搭桥，过点A作AH∥GF．由GF∥CE，利用平行于同一条直线的两直线互相平行，可得CE∥AH∥GF，利用平行线的性质，得∠2=∠3，∠4=∠5，又因∠2=20°，所以得∠3=20°；又CE平分∠ACD，利用角平分线的定义，可得∠1=∠5，等量代换∠1=∠4，结合∠1=60°，得∠4=60°；最后利用等式性质，得∠BAC=∠3+∠4=80°．第三步：规划过程；首先叙述辅助线，证明CE∥AH∥GF，然后根据平行得∠2=∠3，∠4=∠5，从而∠3=20°，根据角平分线的定义和等量代换求出∠4=60°，再根据等式性质求出∠BAC=80°.第四步：书写过程（见题目）.故选D.试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线第11页共11页。

角的计算和证明（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠ABC=60°，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD，BE相交于点H，则∠AHB的度数是( )A.100°B.110°C.120°D.130°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理2.已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C=35°，∠DEF=15°，则∠B的度数为( )A.60°B.65°C.75°D.85°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理3.如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，则∠CDF的度数为( )A.60°B.65°C.75°D.85°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余4.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=62°，∠B=38°，∠BCD=140°，则∠D的度数为( )A.40°B.24°C.50°D.45°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理5.已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，F是AB边上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．若∠A=65°，∠EGH=155°，∠CEG=40°，则∠ADE的度数( )A.45°B.50°C.52°D.60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理6.如图，AB∥CD，∠1=135°，∠3=75°，则∠2=( )A.25°B.30°C.35°D.45°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线7.如图所示，AB∥CD，BO与DO相交于点O，从图1中可以得出，∠BOD=∠ABO+∠CDO，那么图2和图3针对三个角关系的结论正确的是( )A.∠BOD=∠ABO+∠CDO；∠BOD=∠ABO+∠CDOB.∠BOD=∠ABO+∠CDO；∠CDO=∠BOD+∠ABOC.∠BOD+∠ABO+∠CDO=360°；∠BOD=∠ABO+∠CDOD.∠BOD+∠ABO+∠CDO=360°；∠CDO=∠BOD+∠ABO答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行线的性质8.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD，垂足为E．若∠BDC=50°，求∠BAC 的度数．解：如图，________________________∵AC⊥BD（已知）∴∠AEB=90°（垂直的定义）∴∠1 =90°-∠2=90°-50°=40°（直角三角形两锐角互余）即∠BAC=40°横线处应填写的过程，顺序正确的是( )①∵∠BDC=50°（已知）②∵AB∥DC（已知）③∴∠BDC=∠2（两直线平行，内错角相等）④∴∠2=50°（等量代换）⑤∴∠1=∠ACD（两直线平行，内错角相等）A.②③①④B.②④C.②③④D.②⑤①④答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理9.已知：如图，AB∥EF，AB∥CD．∠F=130°，∠C=65°，求∠CBF的度数．解：如图，∵AB∥CD（已知）∴∠ABC=∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠C=65°（已知）∴∠ABC=65°（等量代换）________________________________∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=65°-50°=15°（等式的性质）横线处应填写的过程，顺序正确的是( )①∵AB∥EF（已知）②∵∠F=130°（已知）③∴∠ABF+∠F=180°（两直线平行，同旁内角互补）④∴∠ABF=180°-∠F=50°（等式的性质）⑤∴∠B+∠F=180°（两直线平行，同旁内角互补）A.①⑤②④B.①④C.①③②④D.①③④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行线的性质10.已知：如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，求∠3的度数．解：如图，∵DF∥EG（已知）∴∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）∵∠2=50°（已知）∴∠4 =50°（等量代换）____________________________横线处应填写的过程最恰当的是( ) A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理。

三角形的证明综合测试（北师版）一、单选题(共7道，每道10分)1.在三角形内部，到三角形各边距离相等的点是这个三角形( )A.各内角平分线的交点B.各边上高线的交点C.各边垂直平分线的交点D.各边上中线的交点答案：A解题思路：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.故选A.试题难度：三颗星知识点：角平分线的判定定理2.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则AC与DC的关系是( )A.AC=2DCB.AC=3DCC. D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形3.判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若a>1，b>1，则a+b>2；③线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；④直角三角形两锐角互余.其中逆命题正确的有( )A.③④B.①③④C.②③④D.①②③④答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：逆命题4.用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设( )A.一个三角形中至少有两个钝角B.一个三角形中至多有一个钝角C.一个三角形中至少有一个钝角D.一个三角形中没有钝角答案：A解题思路：由反证法的定义知，反证法就是从结论的反面出发进行假设，∴证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设一个三角形中至少有两个钝角．故选A．试题难度：三颗星知识点：反证法5.如图，将正方形对折后展开（图4是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，则下图中阴影直角三角形满足一条直角边等于斜边的一半的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：30°角所对的直角边等于斜边的一半6.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD的长( )A. B.5C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线性质定理7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②∠DFB=∠EFC；③△ADE 的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的是( )A.①②③B.①②③④C.①③D.①答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线加平行会出现等腰三角形二、填空题(共3道，每道10分)8.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为____.答案：14解题思路：试题难度：知识点：等腰三角形三线合一9.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=____度.答案：45解题思路：试题难度：知识点：垂直平分线性质定理10.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则∠FAG等于____度．答案：30解题思路：试题难度：知识点：全等三角形的判定定理。

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合训练（附答案）1．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A．1B．2C．5D．无法确定2．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC ＝3，则OF长度是（）A．3B．4C．5D．63．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC 的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm4．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AC边上，点E在CB的延长线上，DE与AB相交于点F，若∠C＝50°，∠E＝25°，则∠BFD的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．150°5．已知在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（4，3）点B在x轴或y轴上移动，若O、A、B三点可构成等腰三角形，则符合条件的B点有（）A．9个B．8个C．7个D．6个6．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．47．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，则CF的最小值为（）A．6B．8C．9D．108．如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是（）A．12B．13C．15D．179．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a10．一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC＝4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF：②四边形CMFN有可能为正方形；③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变；⑤△CMN面积的最大值为2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．511．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AE⊥BC于点E，AB的垂直平分线交BC 于点D，交AB于点F，若BD＝6，则CE的长为（）A．2B．2C．3D．312．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝，△ABC与△APQ全等．13．如图，BE和CE分别为△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线，BE⊥AC于点H，CF平分∠ACB交BE于点F，连接AE，则下列结论：①∠ECF＝90°；②AE＝CE；③∠BFC＝90°+∠BAC；④∠BAC＝2∠BEC；⑤∠AEH＝∠BCF，正确的为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D 和E，那么∠DBC＝度．15．已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，则这个等腰三角形的周长为．16．在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为时，△ABC是等腰三角形．17．如图，已知P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，则∠BAC ＝．18．如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠1的度数为．19．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为．20．如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝3cm，DE＝2cm，则这个六边形的周长等于cm．21．∠α＝24°24'＝°，若∠α是一个直角三角形的其中一个锐角，则另一个锐角是°．22．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．23．如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：（1）证明：ED＝FD；（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；（3）求EF的长．24．如图△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．（1）若BC＝10，求△ADE的周长．（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．25．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数．26．如图，已知在△ABC中，AC＝BC＝AD，∠CDE＝∠B，求证：△CDE是等腰三角形．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．28．如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．29．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M、N在边OB上．（1）若∠PNO＝60°，证明△PON是等边三角形；（2）若PM＝PN，OP＝12，MN＝2，求OM的长度．30．如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE＝BD．说明：△ADE是等边三角形．31．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC BO（填“＞”“＝”“＜”）；（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO ＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．参考答案1．解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，∵∠EDF+∠FDC＝90°，∠GDC+∠FDC＝90°，∴∠EDF＝∠GDC，于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，，∴△DEF≌△DCG，∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．故选：A．2．解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，∴CE＝EG＝3，∵EF∥OB，∴∠COE＝∠OEF＝15°∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．故选：D．3．解：∵DG是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，∵△AGC的周长为31cm，∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，故选：C．4．解：∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，∴∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠ABC是△BEF的外角，∴∠BFE＝∠ABC﹣∠E＝65°﹣25°＝40°，∴∠BFD＝180°﹣40°＝140°，故选：C．5．解：分三种情况说明：①以点O为圆心，OA长为半径画圆，与x轴、y轴有4个交点，这4个交点分别与点O、A构成4个等腰三角形；②以点A为圆心，OA长为半径交x轴和y轴的正半轴有2个点，这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；③作OA的垂直平分线交x轴和y轴的正半轴有2个点，这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；综上所述：符合条件的B点有：4+2+2＝8（个）．故选：B．6．解：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∵∠AED＝∠MEF，∴∠DAE＝∠F；故①正确；②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC＝，∠DAE＝90°﹣∠AED，＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），＝90°﹣（∠ACE+），＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），＝（∠ABD﹣∠ACE），故②正确；③∵AE平分∠BAC交BC于E，∴点E到AB和AC的距离相等，∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，∴∠AGH＝∠MEF，∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；故选：D．7．解：如图所示，连接BF，∵等边△BDE中，F是DE的中点，∴BF⊥DE，BF平分∠DBE，∴∠DBF＝30°，即点F在∠DBE的角平分线上运动，∴当点D在CF上时，∠CFB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CF最短，又∵∠ABC＝30°，∴∠CBF＝60°，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，∴BC＝AC＝6，∴Rt△BCF中，CF＝BC×sin∠CBF＝×＝9，故选：C．8．解：如图所示，边长为1的正三角形共有1+3+5＝9个，边长为2的正三角形共有3个，边长为3的正三角形共有1个，边长为的正三角形有2个，红颜色和蓝颜色的两个三角形，综上可知：共有9+3+1+2＝15个，故选：C．9．解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．10．解：①连接CF，∵F为AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AF＝BF＝CF，CF⊥AB，∴∠AFM+∠CFM＝90°．∵∠DFE＝90°，∠CFM+∠CFN＝90°，∴∠AFM＝∠CFN．同理，∵∠A+∠MCF＝90°，∠MCF+∠FCN＝90°，∴∠A＝∠FCN，在△AMF与△CNF中，∵，∴△AMF≌△CNF（ASA），∴MF＝NF．故①正确；②当MF⊥AC时，四边形MFNC是矩形，此时MA＝MF＝MC，根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确；③连接MN，当M为AC的中点时，CM＝CN，根据边长为4知CM＝CN＝2，此时MN最小，最小值为2，故③错误；④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF＝S△AMF∴S四边形CDFE＝S△AFC．故④正确；⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当DM最小时，DN也最小；即当DF⊥AC时，DM最小，此时DN＝BC＝2．∴DN＝DN＝2 ；当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．此时S△CMN＝S四边形CFMN﹣S△FMN＝S△AFC﹣S△DEF＝4﹣2＝2，故⑤正确．故选：C．11．解：连接AD，如图：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD＝6，∵在△ABC中，∠B＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝60°．∵AE⊥BC于点E，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝30°，∴DE＝AD＝3，∴AE＝＝3，∵∠C＝45°，∴△AEC为等腰直角三角形，∴EC＝AE＝3，故选：D．12．解：∵AX⊥AC，∴∠P AQ＝90°，∴∠C＝∠P AQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝5时，在Rt△ABC和Rt△QP A中，，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当AP＝CA＝10时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10．13．解：∵CF平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACF＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，∴∠ECF＝∠ACF+∠ACE＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，故①正确；∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BHA＝∠BHC＝90°，∴∠BAH+∠ABE＝90°，∠ACB+∠EBC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∵BE⊥AC，∴AH＝CH，∴EA＝EC，故②正确；∵∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，故③正确；设∠ACE＝∠ECD＝x，∠ABE＝∠EBC＝y，则有，可得∠BAC＝2∠BEC，故④正确，∵EA＝EC，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC，∵∠FCH+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BEC＝90°，∴∠FCH＝∠BEC＝∠AEB，∵∠ACF＝∠BCF，∴∠AEH＝∠BCF，故⑤正确．故答案为：①②③④⑤．14．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°．故答案为：15．15．解：∵|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，∴x＝3，y＝1．当腰长为3时，三边长为3、3、1，周长＝3+3+1＝7；当腰长为1时，三边长为3、1、1，1+1＜3，不能组成三角形．故答案为：7．16．解：①∠B是顶角，∠A＝（180°﹣∠B）÷2＝65°；②∠B是底角，∠B＝∠A＝50°．③∠A是顶角，∠B＝∠C＝50°，则∠A＝180°﹣50°×2＝80°，∴当∠A的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．17．解：∵BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，∴△APQ为等边三角形，△ABP为等腰三角形，△AQC为等腰三角形，∴∠P AQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，在△ABP和△CAQ中，∴△ABP≌△ACQ，∴∠QAC＝∠B＝∠APQ＝30°，同理：∠BAP＝30°，∠BAC＝∠BAP+∠P AQ+∠QAC＝30°+60°+30°＝120°．故答案为：120°18．解：如图所示，过点C作直线n∥m，在直线m上取一点D，∵直线l∥m，∴l∥m∥n，∴∠1＝∠2，∠3＝∠CBD＝20°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠2+∠3＝60°，∴∠2＝60°﹣∠3＝60°﹣20°＝40°，∴∠1＝40°．故答案为：40°．19．解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0∴a﹣b＝0，b﹣c＝0即a＝b，b＝c∴a＝b＝c故答案为等边三角形．20．解：分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P，如图所示：∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形，∴GC＝BC＝3cm，DH＝DE＝EH＝2cm，∴GH＝3+3+2＝8（cm），F A＝P A＝PG﹣AB﹣BG＝8﹣3﹣3＝2（cm），EF＝PH﹣PF﹣EH＝8﹣2﹣2＝4（cm）．∴六边形的周长为2+3+3+3+2+4＝17（cm）；故答案为：17．21．解：∠α＝24°24'＝24.4°，90°﹣24.4°＝65.6°，故答案为24.4°，65.6°．22．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°AC＝BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形∵Rt△ABC≌Rt△DCB∴∠ACB＝∠DCB∴OB＝OC∴△OBC是等腰三角形23．（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，∴∠EKD＝∠FHD＝90°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴DK＝DG＝DH，在△EKD和△FHD中，，∵AE＝AF∴∠AEF＝∠AFE，∴△EKD≌△FHD（AAS），∴ED＝FD；（2）解：∠BDC＝90°+∠A．理由如下：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，∴∠BDC+（∠ABC+∠ACB）＝180°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BDC+（180°﹣∠A）＝180°，∴∠BDC＝90°+∠A；（3）解：如图，∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠1+∠5＝∠3+∠6，∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，∴△BED∽△CED，∴ED：CF＝BE：DF，∵DE＝DF，则ED2＝CF⋅BE＝2×4＝8，则ED＝，∴EF＝2ED＝．24．解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，∴AD＝BD，AE＝CE，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10．（2）∵∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，∵AD＝BD，AE＝CE，∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，∴∠BAD+∠CAE＝80°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝100°﹣80°＝20°．25．解：∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝30°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝150°÷2＝75°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝75°﹣30°＝45°．∴∠BCD的度数为45°．26．证明：∵∠ADE+∠CDE+∠BDC＝180°，∠BCD+∠B+∠BDC＝180°，∠CDE＝∠B，∴∠ADE＝∠BCD，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，在△ADE和△BCD中，，∴△ADE≌△BCD（ASA），∴DE＝CD，∴△CDE是等腰三角形．27．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，∴FE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠F AD＝∠FBD＝36°，又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．28．证明：∵BM＝CN，BC＝AC，∴CM＝AN，又∵AB＝AC，∠BAN＝∠ACM，∴△AMC≌△BNA，则∠BNA＝∠AMC，∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180°∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°，∴∠AQN＝∠ACB，∵∠BQM＝∠AQN，∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°．29．解：（1）∵∠AOB＝60°，∠PNO＝60°，∴∠OPN＝60°，∴∠PON＝∠PNO＝∠OPN，∴△PON是等边三角形；（2）作PH⊥MN于H，如图，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝×12＝6，∴OM＝OH﹣MH＝6﹣1＝5．30．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，即∠ACD＝120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，又∵∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE为等边三角形．31．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠A＝∠AOC＝30°，∴∠B＝∠BOC＝60°∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO故答案为：＝；（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，∴∠DOE＝90°﹣α，∵∠DOB＝∠BOE，∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，∵OF平分∠AOM，∴∠FOM＝∠RON＝，∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，∵CR平分∠BCO，∴∠OCR＝＝63°﹣，∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，∴∠R的度数不变，∠R＝27°。

北师大版下册第一章《三角形的证明》之直角三角形综合练（一）1．如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC 的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE ∥DF．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，垂足D，延长CE 与外角∠ABG的平分线交于点F．（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；（2）若∠A＝n°（0＜n＜90）直接写出用含n的代数式表示∠DCE和∠F．（3）在图中画△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数，请直接写出∠CQH的度数．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠DEC＝25°，求∠B的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．5．我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个定理的逆命题也是真命题．（1）请你写出这个定理的逆命题是；（2）下面我们来证明这个逆命题：已知：如图，CD是△ABC的中线，CD＝AB．求证：△ABC为直角三角形．请你写出证明过程：6．如图在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，AB，CD上的点，连接EF，GH．①若EF⊥GH，则必有EF＝GH．②若EF＝GH，则必有EF⊥GH．判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．7．在△AOB中，∠AOB＝90°，点C为直线AO上的一个动点（与点O，A不重合），分别作∠OBC和∠ACB的角平分线，两角平分线所在直线交于点E．（1）若点C在线段AO上，如图1．①依题意补全图1；②求∠BEC的度数；（2）当点C在直线AO上运动时，∠BEC的度数是否变化？若不变，请说明理由；若变化，画出相应的图形，并直接写出∠BEC的度数．8．已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若FE∥AD，求证：∠DFE＝∠ABC+∠G．9．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC BO（填“＞”“＝”“＜”）；（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．10．锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，点E在边AB上．①如果DE∥BC，那么DE＝BC②如果DE＝BC，那么DE∥BC．判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．11．如图，在△ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，在AB上取点F，过A作AB的垂线，使得AD＝BF，连接BD，CD、CF，CE是∠ACB的角平分线，交BD于点M，交AB于点E．（1）若AC＝6，AF＝4．求BD的长：（2）求证：2CM＝AF12．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，∠ABC＝60°，∠ECD＝15°．（1）直接写出∠ADB的度数是；（2）求证：BD＝AB；（3）若AB＝2，求BC的长．13．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P 运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？参考答案1．证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，∴∠CEF＝CFE．2．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，∴∠CBD＝126°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝63°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．又∵∠F＝27°，∴∠F＝∠CEB＝27°，∴DF∥BE3．解：（1）∵CD⊥AB，∠A＝60°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝150°，∵BF平分∠ABG，∴∠FBG＝∠ABG＝75°，∵∠FBG＝∠F+∠FCB，∴∠F＝75°﹣45°＝30°．（2）∵CD⊥AB，∠A＝n°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝90°﹣n°，∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣90°+n°＝n°﹣45°，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝90°+n°，∵BF平分∠ABG，∴∠FBG＝∠ABG＝45°+n°∵∠FBG＝∠F+∠FCB，∴∠F＝n°．（3）如图，∵FH⊥CG，∴∠FHC＝90°，∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°∴∠A＝∠DCB＝n°，∵CQ平分∠DCB，∴∠QCH＝n°，∴∠CQH＝90°﹣n°．4．解：（1）∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝25°，∴∠BDE＝50°，又∵DE⊥AB，∴Rt△BDE中，∠B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣50°＝40°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵DE＝DC，AD＝AD，∴△AED≌△ACD（HL），∴AE＝AC，∴点D在CE的垂直平分线上，点A在CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线．5．解：（1）∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，∴它逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（2）∵CD是△ABC的中线∴AD＝BD＝AB，∵CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB＝180°∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴△ABC为直角三角形．6．解：①成立，②不成立；理由如下：①作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图1所示：则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，∴∠OGQ+∠OQG＝90°，∵EF⊥GH，∴∠PFQ+∠PQF＝90°，∵∠OQG＝∠PQF，∴∠OGQ＝∠PFQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，在△EFN和△HGM中，，∴△EFN≌△HGM（ASA），∴EF＝GH；②作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图2所示：则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，在Rt△EFN和Rt△HGM中，，∴Rt△EFN≌Rt△HGM（HL），∴∠OGQ＝∠PFQ，∵∠OGQ+∠OQG＝90°，∠OQG＝∠PQF，∴∠PQF+∠PFQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴EF⊥GH；作GH关于GM的对称线段GH'，则GH'＝GH＝EF，显然EF与GH'不垂直；综上所述，若EF＝GH，则必有EF⊥GH．不成立．7．解：（1）①图形如图所示．②设∠EBO＝∠EBC＝x，∠OCE＝∠ECK＝y．则有：，可得∠E＝×90°＝45°．（2）如图，当点C在OA的延长线上时，结论∠BEC＝135°．理由：∵∠AOB＝90°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∵∠EBC＝∠OBC，∠ECB＝∠OCB，∴∠EBC+∠ECB＝×90°＝45°，∴∠BEC＝180°﹣45°＝135°．如图当点C在AO的延长线上时，同法可证：∠BEC＝135°．8．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝40°，∵BG平分∠ABC，∴∠CBG＝20°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝90°，∵DG平分∠ADE，∴∠CDF＝45°，∴∠CFD＝45°，∴∠BFD＝180°﹣45°＝135°，∴∠G＝180°﹣20°﹣135°＝25°；（2）如图2，∠A＝2∠G，理由是：由（1）知：∠ABC＝2∠FBG，∠CDF＝∠CFD，设∠ABG＝x，∠CDF＝y，∵∠ACB＝∠DCF，∴∠A+∠ABC＝∠CDF+∠CFD，即∠A+2x＝2y，∴y＝，同理得∠A+∠ABG＝∠G+∠CDF，∴∠A+x＝∠G+y，即∠A+x＝∠G++x，∴∠A＝2∠G；（3）如图3，∵EF∥AD，∴∠DFE＝∠CDF，由（2）得：∠CFD＝∠CDF，△FBG中，∠G+∠FBG+∠BFG＝180°，∠BFG+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠G+∠FBG，∴∠DFE＝∠CFD＝∠FBG+∠G＝+∠G．9．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠A＝∠AOC＝30°，∴∠B＝∠BOC＝60°∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO故答案为：＝；（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，∴∠DOE＝90°﹣α，∵∠DOB＝∠BOE，∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，∵OF平分∠AOM，∴∠FOM＝∠RON＝，∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，∵CR平分∠BCO，∴∠OCR＝＝63°﹣，∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，∴∠R的度数不变，∠R＝27°．10．解：①∵锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，DE∥BC，∴AE＝EB，即DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC故①正确；②令E为AB中点，可以在AB上取到一点F，使DF＝DE，但DF与BC不平行．故②错误．11．解：（1）∵AC＝CB＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝12∵AF＝4，∴BF＝AB﹣AF＝12﹣4＝8，∴AD＝BF＝8，在Rt△ADB中，BD＝＝4；（2）∵AC＝CB，∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，∴AE＝BE＝CE＝AB，CE⊥AB，∵∠DAB＝∠MEB＝90°，∠DBA＝∠MBE，∴△MBE∽△DBA，∴＝＝，∴ME＝AD，∴ME＝BF，∵CE＝AB，∴CM+ME＝（BF+AF），∴CM+BF＝BF+AF，∴CM＝AF，即AF＝2CM．12．解：（1）∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠ECD＝15°，∴∠ADB＝∠CDE＝90°﹣15°＝75°故答案为75°．（2）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵∠ADB＝75°，∴∠A＝75°，∴∠A＝∠ADB，∴AB＝DB．（3）过点D作DF⊥BC，交BC于F点．∵DF⊥BC，∴∠DFB＝∠DFC＝90°，∵∠DBF＝30°，∴DF＝BD，∵BD＝AB＝2，∴DF＝1，∴FB＝，∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠DBC＝30°，∴∠ECB＝60°，∵∠ECD＝15°，∴∠DCB＝45°，∴∠DCF＝∠FDC＝45°，∴FD＝FC＝1，∴BC＝．13．解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝10；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．。

北师大版七年级数学上册角的有关计算专题训练题及答案专题训练(六) 角的有关计算类型1直接计算角的度数1．如图，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠3的度数．2．如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求∠COB的度数．教育精品3．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE，试求∠COE的度数．类型2 运用方程思想求角的度数4．如图，已知∠AOE 是平角，∠DOE ＝20°，OB 平分∠AOC ，且∠COD ∶∠BOC ＝2∶3，求∠B OC 的度数．教育精品5．如图，已知∠1＝12∠BOC ，∠2＝∠AOD ＝3∠1，求∠1和∠2的度数．类型3 运用分类讨论思想求角的度数6．下面是小明做的一道题目以及他的解题过程：题目：在同一平面上，若∠BOA ＝75°，∠BOC ＝22°，求∠AOC 的度数． 解：根据题意可画图，如图所示，AOC ＝∠BOA －∠BOC ＝75°－22°＝53°.如果你是老师，能判小明满分吗？若能，请说明理由，若不能，请将错误指出来，并给出你认为正确的解法．7．已知OC平分∠AOB，OD是∠BOC内的一条三等分线，试问∠AOB是∠COD的几倍？类型4运用整体思想求角的度数8．如图所示，∠AOB＝90°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，求∠MON的大小．参考答案1．因为∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，所以∠1＋∠2＝65°15′＋78°30′＝143°45′.所以∠3＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－143°45′＝36°15′.2.因为∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′.因为∠AOB＝40°，所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′.3.因为∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，所以∠BOC＝1 2∠AOB＝45°.因为∠BOD＝∠COD－∠BOC＝90°－45°＝45°，∠BOD＝3∠DOE，所以∠DOE＝15°.所以∠COE＝∠COD－∠DOE＝90°－15°＝75°.4.设∠COD＝2x°，则∠BOC＝3x°.因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝3x°.所以2x＋3x＋3x＋20＝180.解得x＝20.所以∠BOC＝3×20°＝60°.5.设∠1＝x°，则∠2＝∠AOD ＝3∠1＝3x°.因为∠1＝12∠BOC，所以∠BOC ＝2x°.因为∠BOC ＋∠2＋∠AOD ＋∠1＝360°，所以2x ＋3x ＋3x ＋x ＝360.解得x ＝40.所以∠1＝40°，∠2＝120°. 6.小明不会得满分，他忽略了一种情况，正确解法：①如图1，∠AOC ＝∠BOA －∠BOC ＝75°－22°＝53°；②如图2，∠AOC ＝∠BOA ＋∠BOC ＝75°＋22°＝97°.综上所述：∠AOC 的度数为53°或97°.教育精品 7.如图1，∠COD ＝13∠BOC ，设∠COD ＝x ，则∠BOC ＝3x.因为OC 平分∠AOB ，所以∠AOB ＝2∠BOC ＝6x.即∠AOB ＝6∠COD ；如图2，∠BOD ＝13∠BOC ，则∠COD ＝23∠BOC ，设∠COD ＝2x ，则∠BOC ＝3x.同样∠AOB ＝6x，即∠AOB ＝3·2x ＝3∠COD.故∠AOB 是∠COD 的6倍或3倍．教育精品8.因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC.所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC)＝12∠AOB ＝12×90°＝45°.。

专题7.6 角度计算的综合大题专项训练（30道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了角度计算问题的所有类型！一．解答题（共30小题）1．（2022•金水区校级期末）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．请写出∠ECB和∠ACB的数量关系，并说明理由．2．（2022春•渠县期末）∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝°；（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．①若∠BAO＝60°，则∠D＝°；②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．3．（2022•永春县期末）在直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，将三角板的顶点A放置在直线DE上．（1）如图，在AB边上任取一点P（不同于点A，B），过点P作直线l∥DE，当∠1＝8∠2时，求∠2的度数；（2）将三角板绕顶点A转动，并保持点B在直线DE的上方．过点B作FH∥DE（F在H的左侧），求∠DAC与∠FBC之间的数量关系．4．（2022春•亭湖区校级期中）平移是一种常见的图形变换，如图1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，连接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，则称这样的平移为“平分平移”．（1）如图1，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，请问AC和A1C1有怎样的位置关系：．（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度数．（4）如图4，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC ＝α，则∠BDC1＝．（用含α的式子表示）5．（2022春•如皋市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交△ABC的边AC于点D，E 为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G．（1）如图1，∠ABC＝40°，点E与点A重合，求∠G的度数；（2）若∠ABC＝α，①如图2，点E在DC的延长线上，求∠G的度数（用含有α的式子表示）；②点E在直线AC上滑动，当存在∠G时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含α的式子表示∠G的度数．6．（2022春•信阳期末）已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A＝∠DCB．（1）试说明∠ACB＝90°；（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．7．（2022春•鼓楼区期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC ＝°；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；【延伸推广】（3）如图④，直线AC、BD交于点O，∠ADB的三分线所在的直线与∠ACB的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，直接写出∠DPC的度数．8．（2022•涡阳县期末）如图（a）所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE＝25°，则∠ACB＝°；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝°．（2）如图（b）所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点A叠放在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．（3）如图（c）所示，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，则∠AOD与∠BOC有何数量关系，直接写出结论．9．（2022春•丰泽区期末）已知在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，CD平分∠ACB，在直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°．如图1，△DEF的边DF在直线AB上，将△DEF绕点D逆时针方向旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°），完成下列问题．（1）在△ABC中，∠ACB＝°，∠BDC＝°；（2）在旋转过程中，如图2，当α＝°时，DE∥AC；当α＝°时，DE⊥AC；（3）如图3，当点C在△DEF内部时，边DE，DF分别交BC，AC的延长线于N，M两点．①此时，α的取值范围是；②∠CMD与∠CND之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出该数量关系，并说明理由．10．（2022春•大丰区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝度；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为．11．（2022春•丰泽区期末）如图，清晨小明沿着一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．（1）小明每从一条街道转下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出；（2）他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？（3）你是怎么得到的？（4）如果广场是六边形、八边形的形状，那么还有类似的结论吗？12．（2022春•井研县期末）已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝（用含x、y的代数式表示）；（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由．（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，①当x＜y时，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，试求x、y．②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．13．（2022春•长春期末）如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．【片断一】（1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值．如果你是小孙，得到的正确答案应是：∠OBC+∠ODC＝°．【片断二】（2）小悟说：连结BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你说明当BD平分∠OBC时，BD也平分∠ODC的理由．【片断三】（3）小空说：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断DE与BF有怎样的位置关系并说明理由．14．（2022春•无锡期中）阅读并解决下列问题：（1）如图①，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，则∠BDC＝．（2）如图②，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝72°，求∠EFC的度数．15．（2022春•冠县期末）某同学在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．（1）若∠A＝40°，请直接写出∠BOC＝；【变式思考】（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）已知：如图2，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O，OD⊥OB，交边BC于点D，点E在CB的延长线上，作∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠F＝β，猜想∠BAC与β的关系，并说明理由．16．（2022春•淅川县期末）[规律探索]探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律：在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律．规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半；规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．[问题呈现]如图①，点P 是△ABC 的内角平分线BP 与CP 的交点，点M 是△ABC 的外角平分线BM 与CM 的交点，则∠P ＝90°+12∠A ，∠M ＝90°−12∠A ．说明∠P ＝90°+12∠A 如下： ∵BP 、CP 是△ABC 的角平分线，∴∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ABC ． ∴∠A +2（∠1+∠2）＝180°．…………①∴∠1+∠2＝90°−12∠A ．∴∠P ＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+12∠A ．请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题：（1）上述说理过程中步骤①的依据是 ．（2）结合图①，写出说明∠M ＝90°−12∠A 的说理过程．[拓展延伸]如图②，点Q 是△ABC 的内角平分线BQ 与△ABC 的外角（∠ACD ）平分线CQ 的交点．若∠A ＝50°，则∠Q 的大小为 度．17．（2022•驿城区校级期末）在图1中，已知△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝70°，∠C ＝40°，求∠DAE 的度数．（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D”，试用x、y表示∠DFE＝；（3）在图3中，当点F是AE延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示∠P＝．18．（2022春•镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．【理解】（1）若△ABC为开心三角形，∠A＝144°，则这个三角形中最小的内角为°；（2）若△ABC为开心三角形，∠A＝70°，则这个三角形中最小的内角为°；（3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；【应用】如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE＝∠α，求∠α的度数．19．（2022春•兴化市期中）如图，∠AOB＝n°，C、D两点分别是边OA、OB上的定点，∠ACE=1∠ACD，3∠FDO=1∠CDO，射线CE的反向延长线与射线DF相交于点F．3（1）若n＝60，∠CDO＝75°，求∠F的度数；（2）若n＝75，则∠F＝．（3）随着n的变化，∠AOB与∠F数量关系会发生变化吗？如不变，请求出∠AOB与∠F的数量关系，并说明理由．20．（2022•内江期末）已知，如图1，直线AB∥CD，E、F分别交AB、CD于E、F两点，∠AEF，∠CFE 的平分线相交于点M．（1）求∠M的度数；（2）如图2，∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，请写出∠M1与∠M之间的等量关系，并说明理由；（3）在图2中作∠AEM1，∠CFM1的平分线相交于点M2，作∠AEM2，∠CFM2的平分线交于点M3，作∠AEM2020，∠CFM2020的平分线交于点M2021，请直接写出∠M2021的度数．21．（2022春•青龙县期末）已知：△ABC中，图①中∠B、C的平分线相交于M，图②中∠B、∠C的外角平分线相交于N．（1）若∠A＝80°，∠BMC＝°，∠BNC＝°．（2）若∠A＝β，试用β表示∠BMC和∠BNC．22．（2022春•承德县期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当△PMN所放位置如图①所示时，直接写出∠PFD与∠AEM的数量关系；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，猜想∠PFD与∠AEM的数量关系并证明；（3）如图②，在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，直接写出∠N的度数．23．（2022春•农安县期末）探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠B＝30°，则∠ACD的度数是．拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在人MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E．若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数．应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE．若∠MCN＝∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝．24．（2022春•平潭县期末）已知直线a∥b，直角三角形ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB＝90°．（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，如果∠AOG＝56°，则∠CEF＝；（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，请用平行的相关知识，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．25．（2022春•盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．【问题情境】（1）如图1，若∠A＝30°，则∠C的度数为．（2）如图2，点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，DH平分∠FDC，交FC于点H，若∠A＝50°，∠HDC＝45°，求∠DFC的度数．【操作思考】（3）如图3，若点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，分别作∠FDC、∠ABC的角平分线，两条角平分线所在的直线交于点G，直线GB交CD于点M．试猜想∠DFC与∠DGB的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（4）如图4，若点E是AB延长线上的一点，（3）中的其余条件不变，请直接写出∠DFC与∠DGB之间的等量关系式：．26．（2022春•兴宁区校级期末）小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；【变式思考】在△ABC中，若点D在AB上移动到图2位置，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE 交CD于点F．则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．27．（2022春•邗江区校级期中）已知：直线AB∥CD，三角板EFH中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝3∠1，则∠1的度数＝；（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF．①探求：∠HFT与∠AFE的数量关系，并说明理由；②求证：PQ∥FH．28．（2022春•阜宁县校级月考）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD ．∠BCD ，若∠ABC ＝36°，∠ADC ＝16°，求∠P 的度数；解：∵AP 、CP 分别平分∠BAD ．∠BCD∴∠1＝∠2，∠3＝∠4由（1）的结论得：{∠P +∠3=∠1+∠B①∠P +∠2=∠4+∠D②①+②，得2∠P +∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B +∠D∴∠P =12（∠B +∠D ）＝26°． 【问题探究】如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠F AD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，若∠ABC ＝36°，∠ADC ＝16°，请猜想∠P 的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图4中，若设∠C ＝α，∠B ＝β，∠CAP =13∠CAB ，∠CDP =13∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间的数量关系为： （用α、β表示∠P ），并说明理由．29．（2022春•东台市期中）（1）数学课上老师提出如下问题：如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．①填空：∠OBC+∠ODC＝；②若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM（如图1），试说明DE⊥BF．请你完成上述问题．（2）课后小佳和小芳对问题进行了进一步研究，若把DE平分∠ODC改为DG分别平分∠ODC的外角，其他条件不变（如图2），小佳和小芳发现BF与DG的位置关系发生了变化，请你判断BF与DG的位置关系，并说明理由．30．（2022春•万州区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．。

2023-2024学年四年级数学上册典型例题系列期末典例专练04：角度计算问题“综合版”一、填空题。

1．已知∠1＋∠2＝180°，如果∠1＝80°，那么∠2＝( )。

2．55°的角是( )角，55°的2倍的角是( )角，180°的一半的角是( )角。

3．小星画了一个65度的锐角，如果要把它改成一个平角要增加( )度，如果要改成一个钝角至少要增加( )度。

（结果取整数）4．钟面上2时整时，时针和分针所夹的最小角是( )°；9时，时针和分针所夹的角是一个( )角。

5．( )时整时，时针和分针成平角；( )时整时，时针和分针成直角，9点半时，分针和时针成( )角。

6．从“3”走到“9”，分针旋转了( )°，形成的角是( )角。

从“6”走了一圈又回到“6”，分针旋转了( )°形成的角是( )角。

7．已知∠1＋∠2＝140°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )。

8．计算下面图形中角的度数。

（已知∠2＝25°）那么∠1＝( )，∠3＝( )，∠4＝( )。

9．图中，已知∠1＝75°，∠2＝( )，∠3＝( )。

10．如图是一正方形纸折起来以后的图形，∠2＝( )°。

二、解答题。

11．两个正方形相交如图，已知∠1＝32°，求∠2、∠3各是多少度。

12．如图，已知∠1＝35°，那么∠2、∠3和∠5各是多少度？13．测量下面各角的度数，你发现了什么？∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )，∠4＝( )。

14．测量下面各角的度数，你发现了什么？∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )。

发现：15．已知∠2＝60°，请求出∠3、∠4的度数。

16．如下图所示，将一张正方形纸沿AB折叠，如果∠2＝40°，那么∠1是多少度？17．如图是把一张长方形纸折起来以后形成的图形，∠1＝35°，求∠2的度数。

三角形中的角度计算模块一平行线中的角度计算题型一平行线的性质与判定综合【例1】如图，直线a∥b，∠1=120°，∠2=40°，∠3等于___________．【例2】如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点'C，∠=___________．∠CEF70°，则GFDC'交AF于点G，若='D处，E【例3】如图，已知︒MAE，︒=∠15FEG，EG平分=∠45=2，︒∠601，︒∠60=∠，=∠NCE75°．AEC求证：①AB∥EF；②AB∥ND．【练习1】如下图，在ABCDBC，则C A E∠∠20∆中，∠C=90°，若BD∥AE，︒==_____．【练习2】如上图将等宽的直条型纸片按图中方式折叠，若︒=∠501，则=∠2______.【练习3】如图，已知AB ∥CD ，︒=∠65B ，BCE CM ∠平分，︒=∠90MCN ，则=∠DCN ________.【练习4】如图，CD ⊥AB 于D ，点F 是BC 上任意一点，FE ⊥AB 于E ，且=∠12∠,︒=∠803．（1）试证明：ADG B ∠=∠； （2）求∠BCA 的度数．【练习5】已知，如图，EF ⊥AC 于F ，DB ⊥AC 于M ，C ∠=∠∠=∠321，，求证：AB ∥MN ．模块二三角形中的角度计算题型二一副直角板【例4】将一副三角板按如图放置，则下列结论①32，∠30==∠，②如果︒1∠则有AC∥DE；③如果︒∠30∠=∠4，2，必有C=∠30=2，则有BC∥AD；④如果︒其中正确的有_______________.【例5】将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．①判断图中的FC和AB有怎样的位置关系？并说明理由；②计算图中∠DFC的度数．【练习6】如图是一副分别含有30°角和45°角的两个直角三角板拼成的图形，其中∠C=90 ，∠B=45°，∠E=30°，AB，DE交于点F，则∠BFD的度数是_______________.【练习7】如图，将一幅角板的直角顶点叠放在一起．⑴猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；⑵求∠AOD+∠BOC的度数；⑶若∠BOD：∠AOD=2 ：11，求∠BOC的度数．题型三折叠问题【例6】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是A．∠A=∠1+∠2 B．∠A=∠2－∠1C．2∠A=∠1+∠2 D．3∠A=2(∠1+∠2)【练习8】如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平A与'A 重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=_____________.题型四三角形中的导角【例7】如图，是三个等边三角形随意摆放的图形，则=21__________.∠3∠∠++【例8】如图，在△ABC的角平分线CD，BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且EG⊥CG于G，下列说法：①∠CEG=2∠DCB；② CA平分∠BCG；③∠ACG=∠ABC ；④∠DFB=21∠CGE，其中正确结论是（填序号）______________________.【练习9】一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=__________.【练习10】如图所示∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADE=∠EDF，∠CED=∠FEG．则∠F=_____.【例9】解答下列问题（1）如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，D为边BC上一点（D与B、C不重合）连接AD，∠ADB的平分线所在直线分别交直线AB、AC于点E、F．求证：2∠AED－∠CAD=170°；（2）若∠ABC=∠ACB=n°，且D为射线CB上一点，（1）中其他条件不变，请直接写出∠AED 与∠CAD的数量关系．（用含n的代数式表示）【练习11】已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：∠CEF=∠CFE．【练习12】已知：如图，△ABC中，∠BAD=∠EBC，AD交BE于F．（1）试说明：∠ABC=∠BFD；（2）若∠ABC=35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度数．【练习13】已知，如图，在△ABC中，∠A=∠ABC ，直线EF分别交△ABC 的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．（1）求证：∠F+∠FEC=2∠A；（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．【课后作业】1.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1=∠2 ；②∠3=∠4；③∠2+∠4=90°；④∠4+∠5=180°，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42.将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为（）A．45 B．50 C．60 D．753.如下（左）图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC 与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）A．19.2°B．8°C．6°D．3°4.如上（右）图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=______________度.5.如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC.（1）图1中作∠BAC的角平分线AD分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD=∠ADC；（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？。