最新初中数学角的相关计算和证明综合测试卷含答案

【例 1】（2019 春•来宾期末）O 为直线AB 上的一点，OC ⊥OD ，射线OE 平分∠AOD ．（1）如图①，判断∠COE 和∠BOD 之间的数量关系，并说明理由；（2）若将∠COD 绕点O 旋转至图②的位置，试问（1）中∠COE 和∠BOD 之间的数量关系是否发生变化？并说明理由；（3）若将∠COD 绕点O 旋转至图③的位置，探究∠COE 和∠BOD 之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1 ）由角平分线的性质可得∠AOE =1∠AOD ，由角的和差关系可得2∠BOD = 2∠COE ；（2）由角的和差关系可得∠BOD = 2∠COE ；（3）由角的和差关系可得∠BOD + 2∠COE = 360︒．【解答】解：（1）∠BOD=2∠COE，理由如下： OC ⊥OD∴∠COD = 90︒∴∠BOD = 90︒-∠AOC射线OE 平分∠AOD ．∴∠AOE =1∠AOD 2∠COE =∠AOE -∠AOC =90︒+∠AOC-∠AOC =90︒-∠AOC=∠BOD2 2 2∴∠BOD = 2∠COE ，（2）不发生变化，理由如下： OC ⊥OD∴∠COD = 90︒∴∠COE = 90︒-∠DOE ，且∠BOD =180︒-∠AOD 射线OE 平分∠AOD∴∠AOD = 2∠DOE∴∠BOD = 180︒- 2∠DOE = 2(90︒-∠DOE)∴∠BOD = 2∠COE（3）∠BOD + 2∠COE = 360︒理由如下： OC ⊥OD∴∠COD = 90︒∴∠DOE =∠COE - 90︒，且∠BOD = 90︒+∠BOC = 90︒+ 90︒-∠AOD射线OE 平分∠AOD∴∠AOD = 2∠DOE∴∠BOD =180︒- 2∠DOE∴∠BOD + 2∠COE = 360︒【点评】本题考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义，掌握角平分线的性质是本题的关键．1．（2018 秋•金牛区期末）如图，∠AOB=20︒，∠BOC=80︒，OE是∠AOC的角平分线，则∠COE 的度数为( )A．50︒B．40︒C．30︒D．20︒2．（2018 秋•北仑区期末）如图，OA方向是北偏西40︒方向，OB平分∠AOC，则∠B O C的度数为( )A．50︒B．55︒C．60︒D．65︒3．（2018 秋•闽侯县期末）如图，OA的方向是北偏东10︒，OB的方向是西北方向，若∠AOC =∠AOB ，则OC 的方向是( )A．北偏东65︒B．北偏东35︒C．北偏东55︒D．北偏东25︒（2019 春•广饶县期末）如图，∠AOB=90︒，∠AOC为∠AOB外的一个锐角，且∠AOC=4．40︒，射线OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，则∠MON 的度数为( )A．45︒B．65︒C．50︒D．25︒5．（2018 秋•龙华区校级期末）将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD 为折痕，若∠ABC = 35︒，则∠DBE 的度数为( )A．55︒B．50︒C．45︒D．60︒6．（2018 秋•洪ft区期末）如图，O为直线AB 上一点，∠DOC为直角，OE平分∠BOC，OF 平分∠A O D，OG 平分∠A O C，下列结论：①∠BOE 与∠DOF 互为余角；②2∠AOE -∠BOD = 90︒；③∠EOD 与∠COG 互为补角；④∠BOE -∠DOF = 45︒；其中正确的是( )A．①②③④ B．③④C．②③D．②③④7．（2018 秋•崆峒区期末）一个角的补角加上10︒后，等于这个角的余角的3 倍，则这个角是( )A．30︒B．35︒C．40︒D．45︒8．（2018 秋•闽侯县期末）如图，点A ，O，B 在一条直线上，∠AOC=120︒，OD是∠BOC 的平分线，则∠COD =．9．（2018 秋•宝安区期末）如图，已知∠AOB=130︒，以点O为顶点作直角∠COB，以点O为端点作一条射线OD ．通过折叠的方法，使OD 与OC 重合，点B 落在点B'处，OE 所在的直线为折痕，若∠COE = 15︒，则∠AOB'=度．10．（2018 秋•青ft区期末）已知∠AOB=60︒，∠BOC=30︒，OE平分∠AOC，则B O E= ．11．（2018 秋•广西期末）解答下列各题：（1）把一副三角尺(∆COD 和∆ABO) 在平整的桌面上叠放成如图所示的图形，已知OB 平分∠COD ，求∠AOC 的度数；（2）如图，点O 在直线AB 上，∠1 = 40︒，∠4 = 20︒，∠2 比∠3 大10︒，求∠BOD 的度数．12．（2018 秋•定襄县期末）已知∠AOB=108︒，∠BOC=22︒，射线OD、OE分别是∠AOB和∠BOC 的平分线，求∠DOE 的度数．13．（2018 秋•乌鲁木齐期末）如图所示，OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC．如果∠AOB = 88︒，∠BOC = 36︒，求∠DOE 的度数．14．（2018 秋•沙依巴克区期末）如图，O为直线AB 上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90︒．（1）若∠AOC = 50︒，求∠COE 和∠BOE 的度数；（2）猜想：OE 是否平分∠BOC ？请直接写出你猜想的结论．15．（2018 秋•龙泉驿区期末）如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分角∠BOC，OF 平分∠AOC ．（1）如图 1，若∠AOB = 120︒，∠AOC = 50︒，求∠EOF 的度数；（2）如图 2，若∠AOB =α，∠AOC =β，求∠EOF 的度数．16．（2018 秋•锦江区校级期末）如图①，已知线段CD在线段AB 上运动，线段AB=10cm，CD = 2cm ，点E 、F 分别是AC 、BD 的中点．（1）若AC = 3cm ，求EF 的长．（2）当线段CD在线段AB 上运动时，试判断EF 的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由；（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知∠COD 在∠AOB 内部转动，OE 、OF分别平分∠AOC 和∠BOD ，则∠EOF 、∠AOB 和∠COD 有何关系，请直接写出．17．（2018 秋•建邺区校级期末）如图，射线OC端点O在直线AB 上，∠AOC=∠DOC，OE平分∠DOB ．（1）当∠AOC = 110︒时，求∠BOE 的度数；（2）OC 与OE 有怎样的位置关系？为什么？18．（2018 秋•闽侯县期末）已知：∠AOB=140︒，OC，OM，ON是∠AOB内的射线．（1）如图 1 所示，若OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数：（2）如图 2 所示，OD 也是∠AOB 内的射线，∠COD = 15︒，ON 平分∠AOD ，OM 平分∠BOC ．当∠COD 绕点O 在∠AOB 内旋转时，∠MON 的位置也会变化但大小保持不变，请求出∠MON 的大小；（3）在（2）的条件下，以∠AOC = 20︒为起始位置（如图3) ，当∠COD 在∠AOB 内绕点O 以每秒3︒的速度逆时针旋转t 秒，若∠AON : ∠BOM =19 :12 ，求t 的值．19．（2018 秋•汉阳区期末）已知∠AOD=160︒，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图 1，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ．当OB 绕点O 在∠AOD 内旋转时，求∠MON 的大小；（2）如图 2，若∠BOC = 20︒，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ．当B O C绕点O 在∠AOD内旋转时，求∠MON 的大小；（3）在（2）的条件下，以∠AOB = 10︒为起始位置，当∠B O C的速度逆时针旋转t 秒时，∠AOM =2∠DON ．求t 的值．3在∠AOD 内绕着点O 以2︒ / 秒20．（2018 秋•双台子区期末）如图 1，点O为直线AB 上一点，过点O作射线OC，将一直角的直角顶点放在点O 处，即∠MON ，反向延长射线ON ，得到射线OD ．（1）当∠MON 的位置如图（1）所示时，使∠NOB = 20︒，若∠BOC = 120︒，求∠COD 的度数．（2）当∠M O N的位置如图（2）所示时，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC ，问：射线ON 的反向延长线OD 是否平分∠AOC ？请说明理由；注意：不能用问题（1）中的条件（3）当∠MON 的位置如图（3）所示时，射线ON 在∠AOC 的内部，若∠BOC = 120︒．试探究∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系，不需要证明，直接写出结论．1．【解答】解：∠AOB = 20︒ ， ∠BOC = 80︒ ，∴∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 100︒而OE 是∠AOC 的角平分线， ∴∠COE = 1 ∠AOC = 50︒ 2故选： A ．2．【解答】解： OA 方向是北偏西40︒ 方向，∴∠AOC = 40︒ + 90︒ = 130︒ ，OB 平分∠AOC ，∴∠BOC = 1 ∠AOC = 65︒ ，2故选： D ．3．【解答】解： ∠AOB = 45︒ +10︒ = 55︒ ，则∠AOC = ∠AOB = 55︒ ， OC 与正北方向的夹角是55 +10 =65︒ ． 则OC 在北偏东65︒ ．故选： A ．4．【解答】解：OM ON OE∠AOB = 90︒ ，且∠AOC = 40︒ ，∴∠COB = ∠AOB + ∠AOC = 90︒ + 40︒=130︒ ， 平分∠BOC ，∴∠BOM = 1 ∠BOC = 65︒ ，2∴∠AOM = ∠AOB - ∠BOM =25︒ ， 平分∠AOC ，∴∠AON = 1 ∠AOC = 20︒ ，2∴∠MON = ∠AOM + ∠AON = 45︒ ．∴∠MON 的度数是45︒ ． 故选： A ．5．【解答】解：一张长方形纸片沿 BC 、 BD 折叠，∴∠ABC = ∠A 'BC ， ∠EBD = ∠E 'BD ，而∠ABC + ∠A 'BC + ∠EBD + ∠E 'BD =180︒ ，∴∠A 'BC + ∠E 'BD = 180︒ ⨯ 1 = 90︒ ，2即∠ABC + ∠DBE = 90︒ ，∠ABC = 35︒ ，∴∠DBE =55︒ ． 故选：A ．6．【解答】解： 平分∠BOC ， OG 平分∠AOC ，∴∠BOE + ∠AOG = 90︒ ，∠AOG ≠ ∠DOF ，∴①错误；∠AOE =180︒ - ∠EOB ， ∠BOD = 360︒ - ∠DOC - ∠COBOE 平分∠BOC ， ∠DOC = 90︒ ，∴2∠AOE = 360︒ - 2∠EOB = 360︒ - ∠COB ， ∠BOD = 270︒ - ∠COB ∴2∠AOE - ∠BOD = 90︒ ，∴②正确；∠DOC = ∠EOG = 90︒ ，∴∠EOD =∠DOC + ∠EOC = 90︒ + ∠EOC ， ∠EOC + ∠COG = ∠EOG =90︒ ，OE ∴③正确；OG 平分∠AOC ， OF 平分∠AOD ， ∠DOC = 90︒ ， ∴∠DOF + ∠COG = 45︒ ，平分∠BOC ， OG 平分∠AOC ，∴∠BOE + ∠COG = 90︒ ，∴∠BOE - ∠DOF = 45︒ ；∴④正确．综上所述，正确的有②③④． 故选： D ．7．【解答】解：设这个角为∠α ，依题意，得180︒ - ∠α +10︒ = 3(90︒ - ∠α)解得∠α =40︒ ． 故选：C ．8．【解答】解：∠AOC 与∠BOC 是邻补角，∴∠AOC +∠BOC =180︒，∠AOC =120︒，∴∠BOC =180︒-120︒= 60︒，OD 平分∠BOC ，∴∠COD =1∠BOC =1⨯ 60︒= 30︒．2 2故答案为：30︒．9．【解答】解：OEOE 平分∠COD ， OE 平分∠BOB ' ，∴∠COD = 2∠COE = 30︒ ，∠COB = 90︒ ，∴∠COB ' = ∠DOB = 60︒ ，∠AOB = 130︒ ，∴∠COA = ∠AOB - ∠COB = 40︒ ，∴∠AOB ' = ∠COB ' - COA = 60︒ - 40︒ = 20︒ ，故答案为 20．10．【解答】解：如图：当∠BOC 在∠AOB 的外部时，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 60︒ + 30︒ = 90︒ ，OE 平分∠AOC ，∴∠AOE = 1 ∠AOC = 45︒ ，2∴∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 60︒ - 45=15︒ ； 当∠BOC 在∠AOB 的内部时，∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 60︒ - 30︒ = 30︒ ，OE 平分∠AOC ，∴∠AOE = 1 ∠AOC = 15︒ ，2∴∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 60︒ -15︒ =45︒ ． 故答案为15︒ 或 45︒ ．11．【解答】解：（1）由图得∠COD = 45︒ ， ∠AOB =90︒ ，因为OB 平分∠COD ，所以∠COB = 1 ∠COD =22.5︒ ， 2所以∠AOC = ∠AOB - ∠COB = 90︒ - 22.5︒ = 67.5︒ ；（2）由图得∠1+ ∠2 + ∠3 + ∠4=180︒ ， 即40︒ + (∠3 +10︒) + ∠3 +20︒ = 180︒ ， 解得∠3 = 55︒ ，所以∠BOD = ∠3 + ∠4 = 55︒ + 20︒ = 75︒ ．12．【解答】解：（1）当OC 在∠AOB 的内部时，如图 1 所示：是∠BOC 的平分线，1OE OE 2又∠BOC = 22︒，∴∠BOE =11︒，OD 是∠AOB 的平分线，∴∠AOD =∠BOD =1∠AOB ，2又∠AOB =108︒，∴∠BOD = 54︒，又∠DOE =∠BOD -∠BOE ，∴∠DOE = 54︒-11︒= 43︒；（2）当OC 在∠AOB 的外部时，如图 2 所示：是∠BOC 的平分线，∴∠BOE =∠COE =1∠BOC ，2又∠BOC = 22︒，∴∠BOE = 11︒，OD 是∠AOB 的平分线，∴∠AOD =∠BOD =1∠AOB ，2又∠AOB =108︒，∴∠BOD = 54︒，又∠DOE =∠BOD +∠BOE ，∴∠DOE = 54︒+11︒= 65︒；综合所述，∠DOE 的度数为43︒或65︒．13．【解答】解：如图所示：∠AOC =∠AOB +∠BOC ，∠AOB = 88︒，∠BOC = 36︒，∴∠AOC = 88︒+ 36︒= 124︒，又平分∠AOC ，∴∠COE =1∠AOC = 62︒，2又∠COE =∠BOE +∠BOC ，∴∠BOE = 62︒- 36︒= 26︒，又∴OD 平分∠BOC ，∴∠BOD =1∠BOC = 18︒，2又∠DOE =∠BOE +∠BOD ，∠DOE OFOF 14．【解答】解：（1） OD 平分∠AOC ， ∠AOC = 50︒ ，∴∠COD = ∠AOD = 1 ∠AOC = 1 ⨯ 50︒ = 25︒ ，2 2= 90︒ ．∴∠COE = ∠DOE - ∠COD = 90︒ - 25︒ = 65︒ ，∠BOE =180︒ - ∠AOD - ∠DOE =180︒ - 25︒ - 90︒ = 65︒ ；（2）结论： OE 平分∠BOC ． 理由：设∠AOC = 2α ，OD 平分∠AOC ， ∠AOC = 2α ，∴∠AOD = ∠COD = 1 ∠AOC = α ，2又 = 90︒∴∠COE = ∠DOE - ∠COD = 90︒ - α ．又 ∠BOE =180︒ - ∠DOE - ∠AOD =180︒ - 90︒ -α = 90︒ - α ， ∴∠COE = ∠BOE ，即OE 平分∠BOC ．15．【解答】解：（1） 平分∠AOC ，∴∠COF = 1 ∠AOC = 1 ⨯ 50︒ = 25︒ ，2 2∠BOC = ∠AOB - ∠AOC =120︒ - 50︒ = 70︒ ， OE 平分∠BOC ，∴∠EOC = 1 ∠BOC = 35︒ ，2∴∠EOF = ∠COF + ∠EOC = 60︒ ；（2） 平分∠AOC ，∴∠COF = 1 ∠AOC ，2同理， ∠EOC = 1 ∠BOC ，2∴∠EOF = ∠COF + ∠EOC= 1 ∠AOC + 1 ∠BOC2 2= 1 (∠AOC + ∠BOC ) 2= 1 ∠AOB2= 1 α ．2∠DOE∴DB = 5cm ，AB = 10cm ，CD = 2cm ，AC = 3cm ，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，∴CE =1AC = 1.5cm ，DF =1DB = 2.5cm ，2 2∴EF =EC +CD +DF =1.5 + 2 + 2.5 = 6cm ；（2）EF 的长度不变．E 、F 分别是AC 、BD 的中点∴EC =1AC ，DF ==1DB ，2 2∴EF =EC +CD +DF=1AC +CD +1DB 2 2=1( AC +DB) +CD 2=1( AB -CD) +CD 2=1( AB +CD) ，2AB = 10cm ，CD = 2cm ，∴EF = 6cm ；（3）∠EOF =1(∠AOB +∠COD) ．2理由：OE、OF 分别平分∠AOC 和∠BOD ，∴∠COE =1∠AOC ，∠DOF =1∠BOD ，2 2∴∠EOF =∠COE +∠COD +∠DOF=1∠AOC +∠COD +1∠BOD 2 2=1(∠AOC +∠BOD) +∠COD 2=1(∠AOB -∠COD) +∠COD 2= (∠AOB +∠COD) ．故答案∠EOF =1(∠AOB +∠COD) ．217．【解答】解：（1）OE ∠AOC + ∠BOC =180︒ ， ∠AOC = 110︒ ，∴∠BOC =180︒ - ∠AOC =180︒ -110︒ = 70︒ ，∠COD = ∠AOC =110︒ ，∴∠BOD = ∠COD - ∠BOC =110︒ - 70︒ = 40︒ ，平分∠BOD ，∴∠BOE = 1 ∠BOD = 1 ⨯ 40︒ = 20︒ ；2 2（2） OC 与OE 的位置关系是垂直．理由：OE ON ∠COD = ∠AOC ，设∠COD = ∠AOC =α ，∴∠COB =180︒ - ∠AOC =180︒ - α ， ∠DOB = ∠AOC + ∠DOC -180︒ = 2α -180︒ ， 平分∠DOB ，∴∠BOE = 1 ∠DOB = α - 90︒ ，2∴∠COE = ∠COB + ∠BOE= (180︒ - α ) + (α - 90︒)= 90︒ ，∴OC ⊥ OE ．18．【解答】解：（1）OM OM ON 22 平分∠AOC ， OM 平分∠BOC ，∴∠CON = 1 ∠AOC ， ∠COM = 1 ∠BOC2 2∠MON = ∠CON + ∠COM = 1 (∠AOC + ∠BOC ) 2= 1 ∠AOB2又 ∠AOB = 140︒∴∠MON = 70︒答： ∠MON 的度数为70︒ ．（2） 平分∠BOC ， ON 平分∠AOD ，∴∠COM = 1 ∠BOC ， ∠DON = 1 ∠AOD ，2 2即∠MON = ∠COM + ∠DON - ∠COD= 1 ∠BOC + 1 ∠AOD - ∠COD2 2= 1 (∠BOC + ∠AOD ) - ∠COD2= 1 (∠AOB + ∠COD ) - ∠COD2= 1 (∠AOB - ∠COD ) 2= 1 ⨯ (140︒ -15︒) 2= 62.5︒答： ∠MON 的度数为62.5︒ ．（3） 平分∠BOC ，∴∠AON = 1 ∠AOD2= 1 (∠AOC + ∠COD ) 2= 1 ⎡⎣(20︒ + 3︒t ) + 15︒⎤⎦ 平分∠AOD ，∴∠BOM = 1 ∠BOC2= 1 (∠AOB - ∠AOC ) 2= 1 ⎡⎣140︒ - (20︒ + 3︒t )⎤⎦ 又 ∠AON : ∠BOM =19 :12 ，2 2 OM ∴ 1 ⎡⎣(20︒ + 3︒t ) +15︒⎤⎦ : 1 ⎡⎣140︒ - (20︒ + 3︒t )⎤⎦ = 19 :12 即 12 ⨯ (3︒t + 45︒)=19 ⨯ (120︒-3︒t )得 t = 20答： t 的值为 20． 19．【解答】解：（1）如图 1∠AOD =160︒ ， OM 平分∠AOB ， ON 平分∠BOD ， ∴∠MOB = 1 ∠AOB ， ∠BON = 1 ∠BOD ，2 2∠MON = ∠MOB + ∠BON= 1 ∠AOB + 1 ∠BOD2 2= 1(∠AOB + ∠BOD )2 = 1 ∠AOD2= 80︒ ，答： ∠MON 的度数为80︒ ；（2） 平分∠AOC ， ON 平分∠BOD ，∴∠MOC = 1 ∠AOC ， ∠BON = 1 ∠BOD ，2 2①射线OC 在OB 左侧时，如图：∠MON = ∠MOC + ∠BON - ∠BOC= 1 ∠AOC + 1 ∠BOD - ∠BOC2 2= 1 (∠AOC + ∠BOD ) - ∠BOC2= 1 (∠AOD + ∠BOC ) - ∠BOC2= 1(∠AOD - ∠BOC )2= 1 ⨯ (160︒ - 20︒)2 = 70︒ ；②射线OC 在OB 右侧时，如图：∠MON = ∠MOC + ∠BON + ∠BOC= 1 ∠AOC + 1 ∠BOD + ∠BOC2 2= 1 (∠AOC + ∠BOD ) + ∠BOC2∠AOM = 1 (∠AOD - ∠BOC ) + ∠BOC2= 1(∠AOD + ∠BOC )2 = 1⨯ (160︒ + 20︒)2 = 90︒ ；答： ∠MON 的度数为70︒ 或90︒ ．（3）根据（2）中的第一种情况，得∠AOC = ∠AOB + ∠BOC =10︒ + 2︒t + 20︒ = 2︒t +30︒ ． 射线OM 平分∠AOC ，∴∠AOM = 1 ∠AOC = t ︒ + 15︒ ．2∠BOD = ∠AOD - ∠AOB ， ∠AOD = 160︒ ，∴∠BOD = 160︒ - (10︒ + 2︒t ) = 150︒ - 2︒t ．射线ON 平分∠BOD ，∴∠DON = 1 ∠BOD = 75︒ - t ︒ ．2又 : ∠DON = 2 : 3，∴(t ︒ +15︒) : (75︒ - t ︒) = 2 : 3 ，即 3⨯ (t ︒ +15︒)=2 ⨯ (75︒ - t ︒)解得t = 21．根据（2）中的第二种情况，观察图形可知：∠AOB = 10︒，∠BOC = 20︒时，OC 在∠AOD 外，这种情况不可能存在．答：t 的值为 21 秒．20．【解答】解：（1）∠AOB =180︒，∠NOB = 20︒，∠BOC = 120︒，∴∠COD =∠AOB -∠NOB -∠BOC=180︒- 20︒-120︒= 40︒，∴∠COD 为40︒；（2）OD 平分∠AOC ，理由如下：∠MONOM = 90︒ ，∴∠DOM =180︒ - ∠MON =180︒ - 90︒ = 90︒ ，∴∠DOC + ∠MOC = ∠MOB + ∠BON = 90︒ ，平分∠BOC ，∴∠MOC = ∠MOB ，∴∠DOC = ∠BON ，∠AOD = ∠BON ，∴∠DOC = ∠AOD ，∴OD 平分∠AOC ；（3） ∠AOM - ∠NOC = 30︒ ．原因：∠BOC =120︒ ，∴∠AOC =180︒ - ∠BOC = 60︒ ，= 90︒ ，∴∠MON - ∠AOC = 30︒ ，= ∠AOM +∠AON ，∠AOC = ∠NOC +∠AON ， ∴∠MON - ∠AOC = (∠AOM +∠AON ) - (∠NOC +∠AON ) = 30︒ ， 即∠AOM - ∠NOC = 30︒ ．∠MON ∠MON。

角的相关计算和证明（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ．若∠ADE =80°，∠EAC =20°，则 ∠B =_______．思路分析 ①读题标注：②梳理思路：从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠DAE =10°，∠C =70°； 由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°；把∠B 看作△ABC 的一个内角，则∠B =180°-60°-70°=50°．（思路不唯一，也可将∠B 看作△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解．）➢ 巩固练习1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 上一点．若AC⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______．ABC DE21C B A第1题图 第2题图2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2=____________．3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（ ）80°20°ACE D B D E CAA ．120°B ．115°C ．110°D ．105°D AEF EFA第3题图 第4题图4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，且∠FCD =60°，则∠D =（ ） A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°5. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足为D ．求证：∠A =2∠BCD ．D BA证明：如图， 设∠BCD =α∵CD ⊥AB （已知）∴∠BDC =90° （垂直的定义）∴∠BCD +_____=90° （_________________________） ∴2α+2∠B=180° （等量代换）∵_____________________（_________________________） ∵∠B =∠ACB （已知） ∴∠A+2∠B =180° （等量代换） ∴∠A=2α （同角的补角相等） 即∠A =2∠BCD6. 已知：如图，AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ．求证：AD ∥BC ．A D7.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于F．若∠B=30°，∠C=70°，求∠DEF的度数．8.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC延长线于点M．已知∠ACB=70°，∠B=40°，求∠M的度数．FED CBA➢思考小结1.我们在做几何证明题的时候，可以从已知出发，看条件如何用，比如看到平行线，考虑___________________________，看到垂直考虑______________________，__________________________；也可以从目标出发，根据目标倒推，比如把角看作什么角，看作三角形的一个内角考虑__________________，看作外角考虑_______________________________________．2.阅读材料我们是怎么做几何题的？例1：已知：如图，DE∥BC，EF∥AB，∠DEF=50°，∠C=70°，求∠A的度数．A第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上；（请把条件标注图上）第二步：走通思路，要求∠A的度数，怎么想？要求∠A，可以把∠A看作△ABC的一个内角，∠C度数已知，只需求出∠B 的度数即可；结合题中的条件，由DE∥BC，∠DEF=50°得∠EFC=∠DEF=50°，再由EF∥AB得∠B=∠EFC=50°；最后，利用三角形的内角和等于180°，得∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°．第三步：规划过程过程分成三块：①由DE∥BC，∠DEF=50°得∠EFC=∠DEF=50°；②由EF∥AB得∠B=∠EFC=50°；③利用三角形内角和定理求∠A．第四步：书写过程【参考答案】➢巩固练习1.60°2.270°3. B4. A5.证明：如图，设∠BCD =α∵CD ⊥AB （已知）∴∠BDC =90° （垂直的定义）∴∠BCD+∠B=90° （直角三角形两锐角互余） ∴2α+2∠B=180° （等量代换）∵∠A+∠B+∠ACB =180° （三角形的内角和等于180°） ∵∠B =∠ACB （已知） ∴∠A+2∠B =180° （等量代换） ∴∠A=2α （同角的补角相等） 即∠A =2∠BCD 6. 证明：如图，A B CDE F1∵AB ∥DE （已知）∴∠1=∠BAC （两直线平行，同位角相等） ∵AC 平分∠BAD （已知）∴∠DAC =∠BAC （角平分线的定义） ∴∠1=∠DAC （等量代换） ∵∠1=∠ACB （已知） ∴∠DAC =∠ACB （等量代换）∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行） 7. 解：如图，在△ABC 中，∠B =30°，∠C =70°（已知）∴∠BAC=180°-∠B -∠C =180°-30°-70°=80°（三角形的内角和等于180°）∴∠EDF =∠B+∠BAD （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠B=30°（已知）∴∠EDF=30°+40°=70°（等量代换）∵EF⊥BC（已知）∴∠EFD=90°（垂直的定义）∴∠EDF+∠DEF=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠DEF=90°-∠EDF=90°-70°=20°（等式的性质）8.解：如图，在△ABC中，∠ACB=70°，∠B=40°（已知）∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B=180°-70°-40°=70°（三角形的内角和等于180°）∵AD平分∠BAC（已知）∴∠DAC=12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵EF⊥AD（已知）∴∠APF=90°（垂直的定义）∴∠AFP+∠DAC =90°（直角三角形两锐角互余）∴∠AFP=90°-∠DAC=90°-35°=55°（等式的性质）∵∠CFM=∠AFP（对顶角相等）∴∠CFM=55°（等量代换）∵∠ACB是△CFM的一个外角（外角的定义）∴∠ACB=∠M +∠CFM（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠M=∠ACB-∠CFM=70°-55°=15°（等式的性质）➢思考小结同位角、内错角、同旁内角，直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等；三角形的内角和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。

人教版七年级上册数学期末复习：角的计算综合练习题汇编1．如图所示，∠AOB是平角，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．（1）当∠BOC＝140°时，求∠AOM的度数；（2）当∠AOC＝30°，∠BOD＝60°时，求∠MON的度数；（3）当∠COD＝x度时，则∠MON＝度．（请直接写出答案）2．如图所示，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠EOC＝65°，∠DOC＝25°，求∠AOB的度数．3．如图，已知射线OC在∠AOB内，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC．（1）若∠AOC＝50°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数．（2）探究∠MON与∠AOB的数量关系．4．如图，已知A、O、B三点在一条直线上，OC平分∠AOD，∠AOC+∠EOB＝90°．（1）求∠COE的度数；（2）判断∠DOE和∠EOB之间有怎样的关系，并说明理由．5．填空，完成下列说理过程．如图，点A、O、B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数．解：（1）如图，因为OD是∠AOC的平分线，所以∠COD＝∠AOC因为OE是∠BOC的平分线，所以∠COE＝所以∠DOE＝∠COD+ ＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝°（2）由（1）可知∠DOE＝90°因为∠COD＝65°所以＝∠COD＝65°则：∠AOE＝∠AOD+ ＝°6．如图，O为直线AB上一点，∠BOE＝80°，直线CD经过点O．。

三角形证明题练习1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A．13 B．10 C．12 D．52．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个3．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S△ABD：S△ACD=（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：164．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70°B．80°C．40°D．30°5．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°6．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A．145°B．110°C．70°D．35°7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A．2B．3C．4D．58．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A．2B．3C．6D．不能确定9．在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）10．△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（ ）11．如图，已知点P 在∠AOB 的平分线OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，若PE=6，则PF 的长为（ ）12．如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，交BC 于点D ，交AB 于点E ，已知AE=1cm ，△ACD 的周长为12cm ，则△ABC 的周长是（ ）13．如图，∠BAC=130°，若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ 等于（ ）14．如图，要用“HL ”判定Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′全等的条件是（ ）15．如图，MN 是线段AB 的垂直平分线，C 在MN 外，且与A 点在MN 的同一侧，BC 交MN 于P 点，则（ ）16．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上一点，BF=CD ，CE=BD ，那么∠EDF 等于（ ）17．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论不一定成立的是（ ）A ． 110°B ． 120°C ． 130°D ． 140° A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8A ． 13cmB ． 14cmC ． 15cmD ． 16cmA ． 50°B ． 75°C ． 80°D ． 105°A ． AC=A ′C ′，BC=B ′C ′ B ． ∠A=∠A ′，AB=A ′B ′ C ． AC=A ′C ′，AB=A ′B ′D ． ∠B=∠B ′，BC=B ′C ′ A ． B C ＞PC+AP B ． B C ＜PC+AP C ． B C=PC+AP D ． B C ≥PC+APA ． 90°﹣∠AB ．90°﹣∠AC ． 180°﹣∠AD ．45°﹣∠AA ． △ABD ≌△ACDB ． AD 是△ABC 的高线 C ． AD 是△ABC 的角平分线 D ． △ABC 是等边三角形三角形证明中经典题21.如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．2.如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．4如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．5.如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．6.阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC 中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．7.如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．2015年05月03日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015•涉县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A ．13 B．10 C．12 D．5考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据勾股定理求出AE=13，再由DE是线段AB的垂直平分线，得出BE=AE=13．解答：解：∵∠C=90°，∴AE=，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴BE=AE=13；故选：A．点评：本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出AE是解题的关键．2．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A ．5个B．4个C．3个D．2个考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理．专题：证明题．分根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．解答：解：共有5个．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．点评：此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．3．（2014秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S△ABD：S△ACD=（）A ．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16考点：角平分线的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：首先过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由AD是它的角平分线，根据角平分线的性质，即可求得DE=DF，由△ABD的面积为12，可求得DE与DF的长，又由AC=6，则可求得△ACD的面积．解答：解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F…（1分）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，…（3分）∴S△ABD=•DE•AB=12，∴DE=DF=3…（5分）∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…（6分）故选A．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（2014•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A ．70°B．80°C．40°D．30°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014•南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A ．30°B．36°C．40°D．45°考点：等腰三角形的性质．分析：求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．6．（2014•山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A ．145°B．110°C．70°D．35°考点：角平分线的定义．分析：首先根据角平分线定义可得∠AOD=2∠AOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠BOD 的度数．解答：解：∵射线OC平分∠DOA．∴∠AOD=2∠AOC，∵∠COA=35°，∴∠DOA=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故选：B．点评：此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．7．（2014•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）．．．．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据已知条件易得∠B=30°，∠BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答：解：∵∠ACB=90°，AB=10，AC=5，∴∠B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60°∵DE垂直平分BC，∴∠BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90°﹣30°=60°．∴∠BDE对顶角=60°，∴图中等于60°的角的个数是4．故选C．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A ．2 B．3 C．6 D．不能确定考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A ．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm考点：角平分线的性质．分析：由∠C=90°，∠CAB=60°，可得∠B的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC=DE=3.8，∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．故选C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长，是解题的关键．10．（2014秋•博野县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A ．110°B．120°C．130°D．140°考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．解答：解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180﹣40=140∠OBC+∠OCB=70∠BOC=180﹣70=110°故选A．点评：此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2013秋•潮阳区期末）如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（）A ．2 B．4 C．6 D．8考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：利用角平分线性质得出∠POF=∠POE，然后利用AAS定理求证△POE≌△POF，即可求出PF的长．解答：解：∵OC平分∠AOB，∴∠POF=∠POE，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO，PO为公共边，∴△POE≌△POF，∴PF=PE=6．故选C．点评：此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△POE≌△POF．12．（2013秋•马尾区校级期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）A ．13cm B．14cm C．15cm D．16cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：要求△ABC的周长，先有AE可求出AB，只要求出AC+BC即可，根据线段垂直平分线的性质可知，AD=BD，于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周长，答案可得．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，AB=2AE=2又∵△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ABC的周长是12+2=14cm．故选B点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键．13．（2013秋•西城区期末）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A ．50°B．75°C．80°D．105°考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=∠BAP，∠C=∠QAC，求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案．解答：解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°，故选：C．点评：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（2014秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A ．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C ．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′考点：直角三角形全等的判定．分析：根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．解答：解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．15．（2014秋•淄川区校级期中）如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN 于P点，则（）A ．BC＞PC+AP B．BC＜PC+AP C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP考点：线段垂直平分线的性质．分析：从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，结合图形知BC=PB+PC，通过等量代换得到答案．解答：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB．∵BC=PC+BP，∴BC=PC+AP．故选C．点评：本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（2014秋•万州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）A ．90°﹣∠A B．90°﹣∠AC．180°﹣∠A D．45°﹣∠A考点：等腰三角形的性质．分析：由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由BF=CD，BD=CE，利用SAS得到三角形FBD与三角形DEC全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出∠EDF．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C°，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90°+∠A，则∠EDF=180°﹣（∠FDB+∠EDC）=90°﹣∠A．故选B．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．17．（2014秋•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A ．△ABD≌△ACDB．AD是△ABC的高线C ．AD是△ABC的角平分线D．△ABC是等边三角形考点：等腰三角形的性质．分析：利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答：解：A、在△ABD和△ACD 中，，所以△ABD≌△ACD，所以A正确；B、因为AB=AC，AD平分∠BAC，所以AD是BC边上的高，所以B正确；C、由条件可知AD为△ABC的角平分线；D、由条件无法得出AB=AC=BC，所以△ABC不一定是等边三角形，所以D不正确；故选D．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（2014秋•晋江市校级月考）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）A ．点P在∠ABC的平分线上B．点P在∠ACB的平分线上C ．点P在边AB的垂直平分线上D．点P在边BC的垂直平分线上考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上．解答：解：∵PB=PC，∴P在线段BC的垂直平分线上，故选D．点评：本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（2013•河西区二模）如图，在∠ECF的两边上有点B，A，D，BC=BD=DA，且∠ADF=75°，则∠ECF的度数为（）A ．15°B．20°C．25°D．30°考等腰三角形的性质．点：分析：根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ECF的度数．解答：解：∵BC=BD=DA，∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD，∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°．故选：C．点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．20．（2013秋•盱眙县校级期中）如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND．其中正确的有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个考点：角平分线的性质．分析：由已知很易得到△OPM≌△OPN，从而得角相等，边相等，进而得△OMP≌△ONP，△PMD≌△PND，可得MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，答案可得．解答：解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N 连接MN交OP于点D，∴∠MOP=∠NOP，∠OMP=∠ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=NP，OM=ON，又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，∴OP⊥MN∴①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND都正确．故选D．点评：本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并利用△OMD≌△OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10小题）21．（2014秋•黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠AOC=α，∠BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠NOC．（2）如果∠BOC=90°，OM平分∠AOC，那么∠MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．分析：（1）先求出∠AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠AON，即可得出∠NOC；（2）先利用角平分线求出∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，即可得出∠MON=∠BOC．解答：解：（1）∵∠AOC=α，∠BOC=β，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠AOB的平分线，∴∠AON=（α﹣β），∠NOC=α﹣（α﹣β）=（α+β）；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，∴∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=（∠AOC﹣∠AOB）=∠BOC=×90°=45°．点评：本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2014秋•阿坝州期末）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（2014秋•花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△DFC的周长．考点：角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD，即可求得∠CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=CD，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（2014秋•大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数，从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵AD=BD∴设∠BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠DBA=36°∴∠BAC=3∠DBA=108°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（2014秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；（2）以点B为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠BDE的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣×30°=75°，由题意得：BC=BD=BE，由BC=BD得∠BDC=∠C=75°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°，由BD=BE得．故∠BDE的度数是 67.5°．点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（2014秋•静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定．分析：由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．解答：证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C；（2）由（1）可得∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．点评：本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键．27．（2012秋•天津期末）如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ABD，即可求出答案．解答：解：∵AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=67°﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ABC和∠ABD的度数，题目比较好．28．（2013秋•高坪区校级期中）如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据AB=AD=AE，DE=EC，得到∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，根据∠DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，求得∠C即可．解答：解：∵AB=AD=AE，DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，∴∠C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2012春•扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．等腰三角形的性质．考点：专证明题．题：由DE∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB可知，DB=DF，CE=EF．便可得出结论．分析：解答：证明：∵BF平分∠ABC（已知），CF平分∠ACB（已知），∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠FCB；又∵DE平行BC（已知）∴∠DFB=∠FBC（两直线平行，内错角相等），∠EFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等），∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF（等量代换）∴DF=DB，EF=EC（等角对等边）∴DE=BD+CE．点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．30．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据角平分线的性质知∠BAD=∠CAD；然后根据已知条件“DE，DF分别垂直AB、AC于E、F”得到∠DEA=∠DFA=90°；再加上公共边AD=AD，从而证明，△ADE≌△ADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等，所以△AEF是等腰三角形．解答：证明：∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，（3分）又∵DE，DF分别垂直AB、AC于E，F∴∠DEA=∠DFA=90°（6分）又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF．（8分）∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形（10分）点评：本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根据全等三角形的判定定理ASA判定△ADE≌△ADF．。

角度的计算（专题）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，∠AOC=∠BOD=90°，若∠AOB=150°，则∠DOC的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：A解题思路：∵∠AOB=150°，∠AOC=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC＝150°-90°=60°．∵∠BOD=90°，∴∠DOC=∠BOD-∠BOC=90°-60°=30°．故选A．试题难度：三颗星知识点：余角2.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC=110°，则∠AOC的度数为( )A.25°B.35°C.45°D.55°答案：D解题思路：．故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线3.如图，已知∠COD为平角，OA⊥OE，且，则∠DOE的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：∵∠COD为平角∴∠COD=180°，即∠AOC+∠AOE+∠DOE=180°．∵OA⊥OE∴∠AOE=90°．∴∠AOC+∠DOE=180°-∠AOE=180°-90°=90°．∴∠AOC=2∠DOE，∴2∠DOE+∠DOE=3∠DOE=90°，∴∠DOE=30°．故选A．试题难度：三颗星知识点：平角的定义4.如图，直线AB与EO相交于点O，∠EOB=90°，∠FOD=90°，如果∠AOD=140°，那么∠EOF 的度数为( )A.60°B.50°C.40°D.30°答案：C解题思路：∵∠AOD=140°∴∠BOD=40°∵∠EOB=90°∴∠EOD+∠BOD=90°∵∠FOD=90°∴∠FOE+∠EOD=90°∴∠FOE=∠BOD=40°故选C．试题难度：三颗星知识点：平角5.已知∠AOB=70°，以O端点作射线OC，使∠AOC=28°，则∠BOC的度数为( )A.42°B.98°C.42或98°D.82°答案：C解题思路：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-28°=42°当点C与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+28°=98°故选C．试题难度：三颗星知识点：角度的计算6.已知从点O出发的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB=50°，∠AOC=30°，则∠BOC的度数为( )A.80°或20°B.40°或10°C.40°或20°D.80°或10°答案：A解题思路：分析：根据题意，先作∠AOB，因为射线OC的位置不确定，且∠AOC∠AOB，故需分以下两种情况：①射线OC在射线OA的右边，如图1，求∠BOC，设计方案：∠BOC=∠AOB+∠AOC=50°+30°=80°②射线OC在射线OA的左边，如图2，求∠BOC的度数，设计方案：∠BOC=∠AOB-∠AOC=50°-30°=20°综上，∠BOC的度数为80°或20°．故选A．试题难度：三颗星知识点：角度的计算7.已知∠AOB为直角，∠AOC=40°，若OM平分∠AOB，则∠MOC的度数为( )A.65°或25°B.65°或85°C.5°或65°D.5°或85°答案：D解题思路：分析：根据题意，先作∠AOB，因为射线OC的位置不确定，且∠AOB∠AOC，故需分以下两种情况：①射线OC在射线OA的左边，如图1，求∠MOC的度数，设计方案：②射线OC在射线OA的右边，如图2，求∠MOC的度数，设计方案：综上，∠MOC的度数为5°或85°．故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线8.已知∠AOB=60°，∠AOC=4∠BOC，则∠AOC的度数为( )A.12°或20°B.12°或48°C.48°或80°D.20°或80°答案：C解题思路：由题意，射线OC的位置不确定，需要分类讨论．因为∠AOC=4∠BOC，所以∠AOC∠BOC，则射线OC只能在射线OA的右边，分以下两种情况．①当射线OC在∠AOB的内部时，如图1所示，求∠AOC的度数，设计方案：设∠BOC=x，则∠AOC=4x，依题意得x+4x=60°，解得x=12°，所以∠AOC=4×12°=48°．①当射线OC在∠AOB的外部时，如图2所示，求∠AOC的度数，设计方案：设∠BOC=x，则∠AOC=4x，依题意得4x-x=60°，解得x=20°，所以∠AOC=4×20°=80°．综上所述，∠AOC的度数为48°或80°．故选C．试题难度：三颗星知识点：角度的计算9.已知∠AOB=54°，∠AOC=2∠BOC，OM平分∠AOB，则∠MOC的度数为( )A.9°或81°B.72°或54°C.9°或18°D.81°或18°答案：A解题思路：由题意，射线OC的位置不确定，因此需要分类讨论．①当射线OC在∠AOB的内部时，如图1所示，由∠AOB=54°，∠AOC=2∠BOC，得∠BOC=18°，所以．②当射线OC在∠AOB的外部时，如图2所示，求∠MOC的度数，设计方案：由∠AOB=54°，∠AOC=2∠BOC，得∠BOC=54°，所以．综上所述，∠MOC的度数为9°或81°．故选A．试题难度：三颗星知识点：角度的计算10.已知∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，且∠BOC∠AOC，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数为( )A.30°或50°B.20°或60°C.30°D.50°答案：C解题思路：分析知射线OC的位置不确定，需要分类讨论，又因为∠BOC∠AOC，所以符合题意的只有一种情况．如下图所示，由∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，得∠AOC=80°，所以．综上所述，∠MOD的度数为30°．故选C．试题难度：三颗星知识点：角度的计算。

⼈教版初中数学八年级上册第⼗⼀单元《三⾓形》综合测试卷（解析版）⼀⼆三四总分⼀、选择题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）（2023八上·双鸭⼭期中）下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的⾼的是（ ）A．B．C．D．2．（3分）（2023七上·沭阳⽉考）⼀块矩形草坪的⻓比宽多10米，它的周⻓是132米，求宽x所列的⽅程是（ ）A．x+10=132B．2x+10=132C．22x+10=132D．2x−10=132 3．（3分）（2020七上·庆云⽉考）代数式|x−2|+3的最⼩值是（ ）A．0B．2C．3D．54．（3分）（2020八上·余⼲⽉考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC为（ ）A．等腰三⾓形B．锐⾓三⾓形C．直⾓三⾓形D．钝⾓三⾓形5．（3分）（2023七下·承德期末）下列四个选项中，∠1与∠2互为邻补⾓的是（ ）A．B．C．D．6．（3分）（2024八上·合江期末）根据图中的数据，可得∠B的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°7．（3分）（2022七上·晋州期中）已知射线OC 在∠AOB 的内部，下列4个表述中：①∠AOC =12∠AOB ；②∠AOC =∠BOC ；③∠AOB =2∠BOC ；④∠AOC +∠BOC =∠AOB ，能表⽰射线OC 是∠AOB 的⾓平分线的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（3分）（2022八上·港南期中）下列图形具有稳定性的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（3分）（2021九下·曹县期中）如图，在平⾯直⾓坐标系中，点 A 1 ， A 2 ， A 3 ，…， A n 在 x 轴上，点 B 1 ， B 2 ，…， B n 在直线 y 上，若点 A 1 的坐标为 (1，0) ，且 △A 1B 1A 2 ， △A 2B 2A 3 ，…， △A n B n A n +1 都是等边三⾓形，从左到右的⼩三⾓形（阴影部分）的⾯积分别记为 S 1 ， S 2 ，．．， S n ，则 S n 可表⽰为（ ）A ．22B ．22n −C ．22n −D ．22n −10．（3分）（2021八上·诸暨⽉考）如图，BF 是∠ABD 的平分线，CE 是∠ACD 的平分线，BF 与CE 交于G ，若∠BDC ＝130°，∠BGC ＝100°，则∠A 的度数为（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°⼆、填空题（每题3分，共15分）(共5题；共15分)11．（3分）过⼗边形的⼀个顶点可作对⾓线的条数为m，则m的值为 ．12．（3分）（2024七下·⽞武期中）如图1，点D在△ABC边BC上，我们知道若BDCD=ab，则S△ABDS△ACD=ab；反之亦然．如图2，BE是△ABC的中线，点F在边AB上，BE、CF相交于点O，若AFBF =m，则OEOB=　　．13．（3分）（2024七下·⻄安期中）已知三⾓形两边的⻓分别为1cm，5cm，第三边⻓为整数，则第三边的⻓为 .14．（3分）（2024七下·淮阴期中）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是AC边上⼀点，AD和BE交于点O，CE=14AC，△ABC的⾯积是2024，若把△ABO的⾯积记为S1，把四边形CDOE的⾯积记为S 2，则S1−S2的值为 ．15．（3分）（2018八上·武汉⽉考）图中x的值为 .三、解答题（共7题，共65分）(共7题；共65分)16．（10分）（2018八上·潘集期中）某零件如图所⽰，按规定∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，当检验员量得∠BDC＝146°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？17．（5分）（2023八上·鹿寨期中）已知⼀个多边形中，每个内⾓都相等，并且每个外⾓等于与它相，求这个多边形的边数及内⾓和．邻的内⾓的1818．（5分）（2023八上·城厢开学考）已知：△ABC中，图①中∠B、∠C的平分线相交于M，图②中∠B、∠C的外⾓平分线相交于N，（1）（1分）若∠A＝80°，∠BMC＝ °，∠BNC＝ ° ．（2）（1分）若∠A＝β，试⽤β表⽰∠BMC和∠BNC19．（11分）（2016八上·肇庆期末）⼀个零件的形状如图所⽰，按规定∠A=90º，∠C=25º，∠B=25º，检验员已量得∠BDC=150º，请问：这个零件合格吗？说明理由。

新人教版七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)专题训练角的计算类型1 利用角度的和、差关系要求求解的角与已知角之间有和、差关系，可以利用角度和、差来计算。

1.如图，已知 $\angle AOC=\angle BOD=75°$，$\angle BOC=30°$，求 $\angle AOD$ 的度数。

解：因为 $\angle AOC=75°$，$\angle BOC=30°$，所以$\angle AOB=\angle AOC-\angle BOC=75°-30°=45°$。

又因为$\angle BOD=75°$，所以 $\angle AOD=\angle AOB+\angle BOD=45°+75°=120°$。

2.将一副三角板的两个顶点重叠放在一起（两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°）。

1) 如图1所示，在此种情形下，当 $\angle DAC=4\angle BAD$ 时，求 $\angle CAE$ 的度数。

2) 如图2所示，在此种情形下，当 $\angle ACE=3\angle BCD$ 时，求 $\angle ACD$ 的度数。

解：(1) 因为 $\angle BAD+\angle DAC=90°$，$\angle DAC=4\angle BAD$，所以 $5\angle BAD=90°$，即 $\angle BAD=18°$。

所以 $\angle DAC=4\times18°=72°$。

因为 $\angle DAE=90°$，所以 $\angle CAE=\angle DAE-\angle DAC=18°$。

2) 因为 $\angle BCE=\angle DCE-\angle BCD=60°-\angle BCD$，$\angle ACE=3\angle BCD$，所以 $\angle ACB=\angle ACE+\angle BCE=3\angle BCD+60°-\angle BCD=90°$。

专题13 角综合运算（专题测试）满分：100分时间：90分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1．（2022春•周村区期末）若∠A＝53°17'，则∠A的余角的度数为（ ）A．36°43'B．46°43'C．36°17'D．46°17'【答案】A【解答】解：∵∠A＝53°17′，∴∠A的余角＝90°﹣53°17′＝89°60′﹣53°17′＝36°43′．故选：A．2.（2022春•文登区校级期中）∠O，∠AOB，∠1表示同一角是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；C、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；D、图中的∠1不能用∠O表示，故本选项错误；故选：C3．（2022春•乳山市期末）已知∠α＝35°，则∠α的补角度数是（ ）A．145°B．95°C．65°D．55°【答案】A【解答】解：∵∠α＝35°，∴∠α的补角度数是180°﹣α＝180°﹣35°＝145°．故选：A．4．（2021秋•肥东县期末）互为补角的两个角的比是3：2，则较小角的余角等于（ ）A．18°B．54°C．108°D．144°【解答】解：∵互为补角的两个角的比是3：2，∴较大的角＝180°×＝108°，较小的角＝180°×＝72°，∴较小角的余角＝90°﹣72°＝18°，故选：A．5．（2021秋•威县期末）如图，∠AOB＝20°，∠BOC＝80°，OE是∠AOC的角平分线，则∠COE的度数为（ ）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】A【解答】解：∵∠AOB＝20°，∠BOC＝80°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝100°而OE是∠AOC的角平分线，∴∠COE＝∠AOC＝50°故选：A．6．下列判断中，正确的是（ ）①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．A．①②B．①③C．①④D．②③【答案】B【解答】解：①锐角的补角一定是钝角，说法正确；②一个角的补角一定大于这个角，说法错误例如90°角的补角；③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，说法正确；④锐角和钝角互补，说法错误，例如60°角和100°角，正确的说法有2个，是①③，7．（2022春•东营期末）如图，OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，下列各式正确的是（ ）A．B．C．∠BOC＝∠AOD D．【答案】C【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，∴∠COD＝∠AOB，故A选项不符合题意；∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3∠BOD，∴∠BOD＝∠AOD，故B选项不符合题意；∴∠BOC＝∠AOD，故C选项符合题意；∵∠AOB＝4∠BOD，∠AOD＝3∠BOD，∴∠AOD＝∠AOB，故D选项不符合题意；故选：C8．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（ ）A．图①B．图②C．图③D．图④【答案】A【解答】解：图①，∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余；图②，根据同角的余角相等，∠α＝∠β；图③，根据等角的补角相等∠α＝∠β；图④，∠α+∠β＝180°，互补．故选：A．9.（2021秋•双牌县期末）若∠A＝32°18′，∠B＝32°15′30″，∠C＝32.25°，则（ ）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B 【答案】A【解答】解：∵1°＝60′；∴0.25°＝60′×0.25＝15′；∴∠C＝32°15′；∴32°18′＞32°15′30″＞32°15′；∴∠A＞∠B＞∠C．故选：A．10．（2022春•泰安期末）如图所示，∠AOB是平角，OC是射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，若∠COE＝28°，则∠AOD的度数为（ ）A．56°B．62°C．72°D．124°【答案】B【解答】解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE＝56°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝124°．∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC＝62°．故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了　度．【答案】９０【解答】解：如图，15分钟分针转过了3个大格，每个大格30°，共转了30°×3＝90°．12．（2022春•锦江区校级期中）如图，∠COD＝28°，若∠AOB与∠COD互余，则∠AOB ＝ .若B、O、C在同一条直线上，则∠BOD＝ ．【答案】62°，152°【解答】解：∵∠AOB与∠COD互余，∴∠AOB+∠COD＝90°，∵∠COD＝28°，∴∠AOB＝90°﹣∠COD＝90°﹣28°＝62°；∵B、O、C在同一条直线上，∴∠BOD+∠COD＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠COD＝180°﹣28°＝152°．故答案为：62°，152°13.（2021秋•重庆期末）如图，点A在点O的北偏东30°方向，点B在点O的东南方向，则∠AOB的度数为 °．【答案】105．【解答】解：∵点B在点O的东南方向，∴点B在点O的南偏东45°方向，∴∠AOB＝180°﹣30°﹣45°＝105°．故答案为：105．14．（2022春•房山区期末）如图，将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，若∠1＝42°，则∠2＝ °，依据是 ．【答案】42，同角或等角的余角相等．【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2＝42°．依据是同角或等角的余角相等．故答案为：42，同角或等角的余角相等．15．如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，那么图中共有 个角；如果引出5条射线，有 个角；如果引出n条射线，有 个角．【答案】１０，２１，（n+1）（n+2）【解答】解：引出3条射线，那么图中共有10个角；如果引出5条射线，有21个角；如果引出n条射线，有（n+1）（n+2）个角．三．解答题（共55分）16．（8分）如图，OE为∠AOD的角平分线，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：（1）∠EOC的大小；（2）∠AOD的大小．【解答】解：（1）∵∠COD＝∠EOC＝15°，∴∠EOC＝60°；（2）∵∠DOE＝∠EOC＝45°，∴∠AOD＝2∠DOE＝90°．故答案为：60°，90°．17．（8分）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．【解答】解：设这个角是x，则（180°﹣x）﹣3（90°﹣x）＝10°，解得x＝50°．故答案为50°．18．（8分）如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．【解答】解：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，∴∠BOE＝∠AOB＝×90°＝45°，∠COF＝∠BOF＝∠BOC，∵∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝60°﹣45°＝15°，∴∠BOC＝2∠BOF＝30°；∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝30°+90°＝120°．19．(10分）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；（2）试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．【解答】解：（1）与∠AOD互补的角∠BOD、∠COD；与∠BOE互补的角∠AOE、∠COE．（2）∠COD+∠COE＝∠AOB＝90度．（提示：因为OD平分∠BOC，所以∠COD＝∠BOC）．又OE平分∠AOC，所以∠COE＝∠AOC，所以∠COD+∠COE＝∠BOC+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC），所以∠COD+∠COE＝∠AOB＝90°．20．（10分）把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．（1）如图（1），当OB平分∠COD时，则∠AOD与∠BOC的和是多少度？（2）如图（2），当OB不平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？（3）当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD，则∠BOC多少度？【解答】解：（1）当OB平分∠COD时，有∠BOC＝∠BOD＝45°，于是∠AOC＝90°﹣45°＝45°，所以∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝45°+90°+45°＝180°；（2）当OB不平分∠COD时，有∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，∠COD＝∠BOD+∠BOC＝90°，于是∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC，所以∠AOD+∠BOC＝90°+90°＝180°．（3）由上得∠AOD+∠BOC＝180°，有∠AOD＝180°﹣∠BOC，180°﹣∠BOC＝4（90°﹣∠BOC），所以∠BOC＝60°．21．（11分）以直线AB上点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处．（1）如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE＝　30°　；（2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC，说明OD 所在射线是∠BOC的平分线；（3）如图3，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD＝∠AOE．求∠BOD的度数．【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，又∵∠COB＝60°，∴∠COE＝30°，故答案为：30°；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOE＝COA，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝5x°，∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，∴6x＝30或5x+90﹣x＝120∴x＝5或7.5，即∠COD＝5°或7.5°∴∠BOD＝65°或52.5°．。

角的计算专项练习60题(有答案)ok角的计算练习60题（附参考答案）1．如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数．2．已知∠1=35°，∠2= _________ ．3．计算出下列各角的度数．4．算一算，下面是一个直角三角形．∠1= _________∠2= _________∠3= _________ ．9．求下面各个三角形中∠A的度数10．如图中，已知∠1=43°，∠2= _________ ，∠3= _________ ．11．计算三角形中角的度数．∠1= _________ ，∠2= _________ ，∠3=_________ ．12．算一算：∠1= _________ ；∠2= _________ ；∠3=_________ ．13．算一算，这些角各是多少度．已知∠2=40°求得：∠1= _________ °，∠3= _________ °，∠4= _________ °．14．求出如图所示各角的度数．15．如图，已知∠l=20°，∠2=46°，求∠3的度数．16．如图所示，∠BOC=110°，∠AOB=∠DOC，∠AOB是几度？17．如图：∠1=48°；∠2= _________ ．18．算一算．已知∠1=65°，求出：∠2、∠3、∠4的度数．19．求下面各角的度数．图1，∠1= _________ ∠2= _________图2，∠1= _________ ．20．求下面各角的度数．已知∠1=30°，∠2=90°．∠3= _________ ；∠4= _________ ；∠5= _________ ．21．∠1=32゜，∠2=36゜，∠3= _________ ．22．如图已知∠1=35°，∠2= _________ ，∠3=_________ ，∠4= _________ ．23．如图所示，已知∠1=30°．求：∠2、∠3和∠4的度数．24．已知∠1=25°，∠2= _________ °，∠3= _________ °，∠4= _________ °．25．算一算：∠1= _________ ；∠2= _________ ；∠3=_________ ．26．角的计算（1）如图1所示，已知：∠1=72°，∠2=45°，求：∠AOB= _________ ？（2）如图2所示，已知：∠1=35°，求∠2= _________ ？27．用量角器量出图中∠2的度数，再求∠1、∠3和∠4的度数．28．如图，已知∠1=130°，求∠2、∠3的度数．29．如图中，∠AOB=14°，∠COB=∠COD，求∠COD．30．在直角∠AOB内有射线OC、OD．∠AOC=∠BOD=60°，求∠COD的大小．31．求下面各角的度数．∠A= _________ ∠B= _________ ∠B=∠C=_________ ∠C= _________ ．32．（1）如图1，已知：∠1=45°，求：∠2（2）如图2，已知：∠1=90°，∠2=30°求：∠3等于多少度？（3）如图3，已知：∠1=135°求：∠2、∠3、∠4各等于多少度？33．如图，已知∠1=70°，∠2=25°，∠3=50°，求∠5=？34．如图是一张长方形纸折起来以后的图形，已知么∠2是65°，∠1是多少度？35．已知∠1=28°求∠2、∠3、∠4和∠5各是多少度？36．算一算∠1=65°∠2= _________ ∠3= _________ ∠4=_________ ∠1+∠2+∠3+∠4= _________ ．37．求角的度数．（1）AB=AC（如图1）∠1= _________∠2= _________（2）三角形ABC是等腰三角形（如图2）∠1= _________∠2= _________ ．38．如图中∠1=30°，∠2= _________ ，∠3=_________ ，∠4= _________ ，∠5= _________ ．39．如图所示，∠1=55．，请分别求出∠2、∠3、∠4的度数．40．图中，已知∠1=37°∠2= _________ ；∠3= _________ ；∠4=_________ ．41．如图，已知∠1=40°，∠2= _________ ，∠3=_________ ，∠4= _________ ，∠3+∠4= _________42．图中∠1= _________ ，∠2= _________ ，∠3= _________ ，∠1+∠2= _________ ．43．已知∠1=50°，求∠2=？∠3=？44．算一算．已知∠1=36°；∠2= _________ ；∠3= _________ ；∠4= _________ ；∠5= _________ ．45．图中，∠1=55°，∠2是直角，你能求∠3、∠4、∠5各是多少度吗？46．先量一量，再填空．①∠1= _________ ，是_________ 角；∠2=_________ ，是_________ 角；∠3= _________ ，是_________ 角．②画出∠1，使∠1=75°．47．算一算如图：已知∠1=35°∠3= _________ ∠4= _________∠2= _________ ∠1+∠2+∠3= _________ ．48．如图1，已知∠1=40°，∠2= _________ ，∠3= _________ ，∠4= _________ ．如图2，已知∠1=30°，∠2= _________ ，∠3=_________ ，∠4= _________ ，∠5=_________ ．49．求各个角的度数．（1）图1中：已知∠1=60°∠2= _________∠3= _________∠4= _________∠5= _________（2）图2中：已知∠1=75°∠2= _________∠3= _________∠4= _________ ．50．分别量出图中4个角的度数，再求出这4个角的和．∠1= _________ ；∠2= _________ ；∠3=_________ ；∠4= _________ ；∠1+∠2+∠3+∠4= _________ ．51．∠1= _________ ；∠2= _________ ；∠3=_________ ．52．∠1= _________ ；∠2= _________ ；∠3=_________ ．53．已知∠1=90°，∠2=50°，求∠3、∠4和∠5的度数．54．如图，求∠1和∠2的度数．55．已知：∠1=∠3，∠2=40°求：∠ADE=？56．在下面三角形中，∠1=38°，∠2+∠3=90°，求∠3和∠4各是多少度？57．在三角形ABC中，∠l=60°，∠3=50°，求∠2、∠4的度数．58．如图，已知：∠2=30°，∠3是直角，则∠2+∠3=_________ ，∠1+∠2+∠4= _________ ，∠1+∠2+∠3+∠4= _________ ．59．求图中各角的度数．图1：∠2= _________ ∠3= _________ 图2：∠1= _________ ∠2= _________ ∠3= _________ ．60．看图填数．①如图一，已知∠1=75°，那么∠2= _________ ∠3= _________ ∠4= _________ ．②如图二，∠1= _________ ∠2= _________ ∠3= _________ ．角的计算参考答案：1．设∠AOB=x，∠BOC=2x．则∠AOC=3x．又OD平分∠AOC，因为∠AOD=x．所以∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=x ﹣x=14°因为x=28°即∠AOB=28°．答：∠AOB的度数是28°2．∠2=180°﹣∠1，∠2=180°﹣35°，∠2=145°．故答案为：145°．3．（1）（180°﹣50°）÷2，=130°÷2，=65°．答：角的度数是65°．（2）180°﹣40°=140°．答：角的度数是140°4．∠2=90°﹣60°=30°；∠3=180°﹣50°=130°；∠1=180°﹣∠2﹣∠3=180°﹣30°﹣130°=20°．故答案为：20°；30°；130°5．在直角三角形ABD中，因为∠ADB=90°，所以∠2=180°﹣90°﹣42°，∠2=48°；在直角三角形ADC中，∠ADC=90°，所以∠3=180°﹣90°﹣36°，∠3=54°答：∠2和∠3分别是48°和54°．6．（1）∠1=180°﹣90°﹣25°=65°；（2）180°﹣25°﹣20°=135°；∠2=135°﹣90°=45°；（3）∠3=180°﹣∠1=180°﹣65°=115°．故答案为：65°，45°，115°7．∠1与∠2组成了一个平角，所以∠2=180°﹣30°=150°；∠1与∠3组成一个直角，所以∠3=90°﹣30°=60°；故答案为：150°；60°8．根据题干分析可得：∠1=180﹣90﹣45=45（度），∠3=180﹣45=135（度），∠2=180﹣135=45（度），故答案为：45°，45°，135°9．∠ABC=90°，∠ACB=60°．所以，∠BAC=90°﹣∠BAC=90°﹣60°=30°；∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣135°﹣20°=25°10．（1）∠2=90°﹣∠1=90°﹣43°=47°；（2）∠3=180°﹣∠2=180°﹣47°=133°．故答案为：47°，133°11．（1）根据题干分析可得：∠2=65°；则∠1=180°﹣65°﹣65°=50°；（2）∠3=90°﹣41°=49°；故答案为：50°；65°；49°12．∠1=180°﹣45°﹣90°=45°；∠2=180°﹣45°=135°；∠3=180°﹣135°=45°．故答案为：45°；135°；45°．13．根据题干分析可得：∠1=90°﹣40°=50°；∠3=180°﹣40°=140°；∠4=180°﹣140°=40°；故答案为：50；140；40．14．∠A=180°﹣40°﹣85°=55°；∠B=180°﹣90°﹣35°=55°；∠C=180°﹣20°﹣47°=113°．如图所示：故答案为：55°、55°、113°15．∠4=180°﹣∠1﹣∠2，=180°﹣20°﹣46°，=114°，∠3=180°﹣∠4，=180°﹣114°，=66°．答：∠3是66°16．根据题干分析可得：（180﹣110）÷2，=70÷2，=35（度），答：∠AOB的度数是35度．17．∠2=90°﹣48°=42°，故答案为：42°18．∠1与∠3是对顶角，所以∠3也是65°；因为∠1与∠2组成了一个平角，∠2与∠4又是对顶角，所以∠2=∠4=180°﹣65°=115°，答：∠2=115°，∠3=65°，∠4=115°．19．（1）∠1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°；（2）90°﹣40°=50°；所以∠1=50°；故答案为：30°；30°；50°20．∠1和∠5组成了一个直角，所以∠5=90﹣30=60（度），∠5与∠4组成了一个平角，所以∠4=180﹣60=120（度）；因为∠5与∠3是一组对顶角，所以∠3=∠5=60（度），故答案为：60°；120°；60°21．180°﹣32°﹣36°=112°；故答案为：112°22．∠2=90°﹣∠1=90°﹣35°=55°，∠3=180°﹣∠2=180°﹣55°=125°，∠4=180°﹣∠3=180°﹣125°=55°，故答案为：55°，125°，55°．23．∠2=90°﹣30°=60°，∠3=180°﹣60°=120°，∠4=180°﹣120°=60°．答：∠2的度数是60°，∠3的度数是120°，∠4的度数是60°24．∠2=180°﹣∠1=155°，∠3=180°﹣∠2=25°，∠4=180°﹣∠1=155°．故答案为：155，25，155．25．∠1=180°﹣35°=145°；∠2=180°﹣90°=90°；∠3=180°﹣125°=55°．故答案为：145°；90°；55°26．（1）∠AOB=∠1+∠2=72°+45°=117°；（2）∠2=180°﹣90°﹣∠1=55°．故答案为：117°；55°．27．经测量可得∠2=35°，则∠1=90°﹣35°=55°，∠3=180°﹣35°=145°，∠4=180°﹣145°=35°．答：∠1的度数是55°，∠3的度数是145°，∠4的度数是35°28．∠2=180°﹣∠1=180°﹣130°=50°；∠3=90°﹣∠2=90°﹣50°=40°；答：∠2是50度，∠3是40度．29.（90°﹣14°）÷2，=76°÷2，=38°；答：∠COD=38°30．∠COD=∠AOC+∠BOD﹣∠AOB，=60°+60°﹣90°，=30°．答：∠COD的大小是30°．31．（1）∠A=90°﹣34°=56°；（2）∠C=180°﹣90°﹣18°=72°，∠B=180°﹣60°﹣72°=48°；（3）∠B=∠C=（180°﹣48°）÷2=66°；（4）∠A=180°﹣119°=61°，∠C=90°﹣61°=29°．故答案为：56°；48°；66°；29°32．（1）∠2=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°．（2）∠3=180°﹣∠1﹣∠2=180﹣90°﹣30°=60°．（3）∠3=180°﹣∠1=180°﹣135°=45°，∠4=180°﹣∠1=180°﹣135°=45°，∠2=180°﹣∠3=180°﹣45°=135°33．在小三角形里最大的角=180°﹣∠2﹣∠3=105°，∠4=180°﹣105°=75°，∠5=180°﹣∠1﹣∠4，=180°﹣70°﹣75°，=35°．答：∠5是35°34．180°﹣65°×2=180°﹣130°=50°．答：∠1是50度．35．∠4=90°，∠5=90°﹣∠1=90°﹣28°=62°，∠2=180°﹣∠1=180°﹣28°=152°，∠3=180°﹣∠2=180°﹣152°=28°；答：∠2=152°，∠3=28°，∠4=90°，∠5=62°．36．（1））∠2=90°﹣∠1，=90°﹣65°，=25°；（2））∠3=180°﹣∠2，=180°﹣25°，=155°；（3））∠4=180°﹣∠3，=180°﹣155°，=25°；（4））∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣90°，=270°．或∠1+∠2+∠3+∠4=65°+25°+155°+25°=270°．故答案为：25°；155°；25°；270°37．（1）∠C=180°﹣120°=60°，∠1=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°；∠2=180°﹣60°×2=60°；（2）∠1=90°﹣60°=30°；∠2=180°﹣∠1×2﹣90°，=180°﹣30°×2﹣90°，=30°．故答案为：（1）30°，60°；（2）30°，30°38．根据题干分析可得：∠3=90°；∠2=90°﹣30°=60°；∠4=∠1=30°；∠5=180°﹣30°=150°；故答案为：60°；90°；30°；15039．如图：∠4=90°﹣∠1，=90°﹣55°，=35°，∠3=180°﹣∠4﹣∠5，=180°﹣35°﹣90°，=55°，∠2=180°﹣∠3，=180°﹣55°，=125°，答：∠2是125°、∠3是55°、∠4是35°40．∠2=90°﹣∠1=90°﹣37°=53°，∠3=180°﹣∠2=180°﹣53°=127°，∠4=180°﹣∠3=180°﹣127°=53°故答案为：53°，127°，53°41．∠2=∠4=180°﹣40°=140°，∠3=180°﹣∠2=40°，∠3+∠4=180°．故答案为：140°，40°，140°，180°42．∠1=90﹣50=40（度）；∠2=90﹣40=50（度）；∠3=180﹣50=130（度）；∠1+∠2=90（度）；故答案为：40°；50°；130°；90°43．∠2=180°﹣50°=130°，∠3=180°﹣90°=90°．答：∠2=130°，∠3=90°．44．根据题干分析可得：∠3是直角，是90°；∠2=90°﹣36°=54°；∠4=90°﹣54°=36°；∠5=180°﹣36°=144°，故答案为：54°；90°；36°；144°45．∠3=90°﹣55°=35°，∠5=180°﹣55°=125°，∠4=180°﹣125°=55°．答：∠3=35°、∠4=55°、∠5=125°46．（1）经过测量可知∠1=50°，是锐角，∠2=40°，是锐角，∠3=120°，是钝角；（2）根据分析画图如下：故答案为：50°；锐；4°；锐；120°；钝47．∠2=180°﹣∠1=180°﹣35°=145°，∠3=180°﹣∠2=180°﹣145°=35°，∠4=90°，∠1+∠2+∠3=35°+145°+35°=215°．故答案为：35°，90°，145°，215°48．图一：因为，∠1=40°．所以，∠2=180°﹣40°=140°；∠3=180°﹣140°=40°；∠4=180°﹣40°=140°；图二：因为，∠1=30°．所以，∠2=90°﹣30°=60°；∠3=90°；∠4=180°﹣60°﹣90°=30°；∠5=180°﹣30°=150°；故答案为：140°，40°，140°，60°，90°，30°，150°49．（1）因为∠2=90°，平角=180°，所以，∠3=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣90°﹣60°=30°；∠5=180°﹣∠1=180°﹣60°=120°；∠4=180°﹣∠5=180°﹣120°=60°；（2）因为∠1=75°，平角=180°，所以，∠2=180°﹣∠1=180°﹣75°=105°；∠4=180°﹣∠1=180°﹣75°=105°；∠3=180°﹣∠4=180°﹣105°=75°；故答案为：90°，30°，60°，120°，105°，75°，105°50．测量可得图中∠1=90°，∠2=45°，∠3=90°，∠4=135°．∠1+∠2+∠3+∠4=90°+45°+90°+135°=360°．故答案为：90°，45°，90°，135°．360°51．观察图形可知：∠3=90°；∠1=180﹣35=145（度）；∠2=90﹣30=60（度）；故答案为：145°；60°；90°52．因为∠1是等腰直角三角形底角，所以∠1=90°÷2=45°；因为正方形的两条对角线互相垂直，所以∠2=∠3=90°．故答案为：45°；90°；90°53．（1）∠3=180°﹣∠2=180°﹣50°=130°；（2）∠4=180°﹣∠3=180°﹣130°=50°；（3）∠5=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣90°﹣50°=40°．故答案为：∠3=130°，∠4=50°，∠5=40°54．∠1=180°﹣90°﹣65°=25°；∠2=180°﹣120°=60°．答：∠1的度数是25°；∠2的度数是60°．55．∠ADE=（180°﹣40°）÷2+40°，=140°÷2+40°，=70°+40°，=110°．答：∠ADE是110°．56．∠4=180°﹣∠1﹣（∠2+∠3），∠4=180°﹣38°﹣90°，∠4=52°；∠3=180°﹣90°﹣∠4，∠3=180°﹣90°﹣52°，∠3=38°．答：∠3是38°，∠4是52°57．因为∠1+∠3+∠4=180°，∠l=60°，∠3=50°，所以∠4=180°﹣60°﹣50°=70°；因为∠6=90°，所以∠2=90°﹣∠3，=90°﹣50°，=40°58．∠2+∠3=30°+90°=120°；∠1+∠2+∠3+∠4=360°；∠1+∠2+∠4=360°﹣90°=270°．故答案为：120°，270°，360°．59.（1）∠2=90°=50°=40°；∠3=180°﹣（40°+30°）=110°；（2）∠1=180°﹣120°=60°；∠2=180°﹣（60°+45°），=180°﹣105°，=75°；∠3=180°﹣75°=105°．故答案为：40°、110°；60°、75°、60．因为∠1+∠2=180°，∠1=75°，所以75°+∠2=180°，75°﹣75°+∠2=180°﹣75°，∠2=105°；因为∠1与∠3，∠2与∠4，分别是对顶角，所以∠1=∠3=75°，∠2=∠4=105°；（2）因为∠1+35°=180°，∠1+35°﹣35°=180°﹣35°，∠1=145°；因为∠2+30°=90°，∠2+30°﹣30°=90°﹣30°，∠2=60°；因为∠3是一个直角，所以∠3=90°；故答案为：（1）105°，75°，105°．（2）145°，60°，90°．。

最新初中数学命题与证明的经典测试题含答案解析(3)一、选择题1．下列命题为真命题的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角B．两直线被第三条直线所截，同位角相等C．垂直于同一直线的两直线互相垂直D．三角形的外角和为180o【答案】A【解析】【分析】根据三角形的外角性质、平行线的性质、平行公理的推论、三角形外角和定理判断即可．【详解】三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，A是真命题；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，B是假命题；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，C是假命题；三角形的外角和为360°，D是假命题；故选A．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．下列命题中真命题是（）A2一定成立B．位似图形不可能全等C．正多边形都是轴对称图形D．圆锥的主视图一定是等边三角形【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得．【详解】A）2，当a＜0时不成立，假命题；B、位似图形在位似比为1时全等，假命题；C、正多边形都是轴对称图形，真命题；D、圆锥的主视图不一定是等边三角形，假命题，故选C．【点睛】本题考查了真命题与假命题，涉及到二次根式的性质、位似图形、正多边形、视图等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.3．下列命题中，是假命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．同角的余角相等D．全等三角形的面积相等【答案】B【解析】【分析】根据对顶角得性质、平行线得性质、余角得等于及全等三角形得性质逐一判断即可得答案．【详解】A.对顶角相等是真命题，故该选项不合题意，B.两直线平行，同位角相等，故该选项是假命题，符合题意，C.同角的余角相等是真命题，故该选项不合题意，D.全等三角形的面积相等是真命题，故该选项不合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4．下列各命题的逆命题是真命题的是A．对顶角相等B．全等三角形的对应角相等C．相等的角是同位角D．等边三角形的三个内角都相等【答案】D【解析】【分析】分别写出四个命题的逆命题：相等的角为对顶角；对应角相等的两三角形全等；同位角相等；三个角都相等的三角形为等边三角形；然后再分别根据对顶角的定义对第一个进行判断；根据三角形全等的判定方法对第二个进行判断；根据同位角的性质对第三个进行判断；根据等边三角形的判定方法对第四个进行判断．【详解】A、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以A选项错误；B、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以B选项错误；C、“相等的角是同位角”的逆命题为“同位角相等”，此逆命题为假命题，所以C选项错误；D、“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题为“三个角都相等的三角形为等边三角形”，此逆命题为真命题，所以D选项正确．故选D.【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理．5．下列命题中是假命题的是（ ）．A ．同旁内角互补，两直线平行B ．直线a b ⊥r r，则a 与b 相交所成的角为直角C ．如果两个角互补，那么这两个角是一个锐角，一个钝角D ．若a b ∥，a c ⊥，那么b c ⊥【答案】C【解析】根据平行线的判定，可知“同旁内角互补，两直线平行”，是真命题；根据垂直的定义，可知“直线a b ⊥，则a 与b 相交所成的角为直角”，是真命题； 根据互补的性质，可知“两个角互补，这两个角可以是两个直角”，是假命题；根据垂直的性质和平行线的性质，可知“若a b P ，a c ⊥，那么b c ⊥”，是真命题． 故选C.6．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．若a>b ，则-a<-bB ．若a>b ，则a+3>b+3C ．若a>b ，则44a b > D ．若a>b ，则a 2>b 2【答案】D【解析】【分析】 利用不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、若a ＞b ，则-a ＜-b ，正确，是真命题；B 、若a ＞b ，则a+3＞b+3，正确，是真命题；C 、若a ＞b ，则44a b >，正确，是真命题； D 、若a ＞b ，则a 2＞b 2，错误，是假命题； 故选：D ．【点睛】此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．7．下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④直角三角形的两个锐角互余；⑤同角或等角的补角相等．其中真命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：命题①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误，为假命题；命题②两点之间，线段最短，正确，为真命题；命题③相等的角是对顶角，错误，为假命题；命题④直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；命题⑤同角或等角的补角相等，正确，为真命题，故答案选B．考点：命题与定理．8．下列命题中，是真命题的是（）A．将函数y＝12x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y＝12xB．若一个数的平方根等于其本身，则这个数是0和1C．对函数y＝2x，其函数值y随自变量x的增大而增大D．直线y＝3x+1与直线y＝﹣3x+2一定互相平行【答案】A【解析】【分析】利用一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、将函数y＝12x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y＝12x，正确，符合题意；B、若一个数的平方根等于其本身，则这个数是0，故错误，是假命题，不符合题意；C、对函数y＝2x，其函数值在每个象限内y随自变量x的增大而增大，故错误，是假命题，不符合题意；D、直线y＝3x+1与直线y＝﹣3x+2因比例系数不相等，故一定不互相平行，故错误，是假命题，故选：A．【点睛】本题考查了判断命题真假的问题，掌握一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识是解题的关键．9．下列命题中①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等②如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形④等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形⑤一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形正确命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质、轴对称图形的定义、全等三角形的判定逐个判断即可．【详解】根据等腰三角形的三线合一可知，底边中点在顶角角平分线上，再根据角平分线的性质可知，其到两腰的距离相等，则命题①正确全等的三角形不一定是成轴对称，则命题②错误成轴对称的两个三角形一定全等，则命题③正确等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形，则命题④错误成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形，则命题⑤错误综上，正确命题的个数是2个故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称图形的定义、全等三角形的判定等知识点，掌握理解各定义与性质是解题关键．10．下列命题中：①；②在同一平面内，若a⊥b，a⊥c，则b∥c；③若ab＝0，则P(a，b)表示原点；9．是真命题的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】A【解析】【分析】根据立方根、平行线的判定和算术平方根判断即可．【详解】解：①≥0≤0不一定成立，错误； ②在同一平面内，若a b ⊥r r ，a c ⊥，则//b c ，正确；③若0ab =，则(,)P a b 表示原点或坐标轴，错误；3，错误；故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．11．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是（ ）A ．两直线平行，内错角相等;B ．相等的角是对顶角;C ．所有的直角都是相等的；D ．若a =b ,则a －1=b －1.【答案】C【解析】【分析】【详解】分析：写出原命题的逆命题，根据相关的性质、定义判断即可．详解：交换命题A 的题设和结论，得到的新命题是内错角相等，两直线平行，是真命题； 交换命题B 的题设和结论，得到的新命题是对顶角相等，是真命题；交换命题C 的题设和结论，得到的新命题是所有的相等的角都是直角，是假命题； 交换命题D 的题设和结论，得到的新命题是若a ﹣1=b ﹣1，则a =b ，是真命题． 故选C ．点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．下列命题中正确的有（ ）个①平分弦的直径垂直于弦；②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线；③在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半；④平面内三点确定一个圆；⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理的推论对①进行判断；根据切线的判定定理对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据确定圆的条件对④进行判断；根据三角形外心的性质对⑤进行判断．【详解】①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，错误；②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线，正确；③在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，错误；④平面内不共线的三点确定一个圆，错误；⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，正确；故正确的命题有2个故答案为：B．【点睛】本题考查了判断命题真假的问题，掌握垂径定理的推论、切线的判定定理、圆周角定理、确定圆的条件、三角形外心的性质是解题的关键．13．下列命题正确的是（）A．矩形对角线互相垂直x=B．方程214x x=的解为14C．六边形内角和为540°D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【答案】D【解析】【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；由方程x2=14x的解为x=14或x=0得出选项B不正确；由六边形内角和为（6-2）×180°=720°得出选项C不正确；由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．【详解】A．矩形对角线互相垂直，不正确；B．方程x2=14x的解为x=14，不正确；C．六边形内角和为540°，不正确；D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；故选D.【点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．14．下列命题属于真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行B．相等的角是对顶角C．平行于同一条直线的两条直线平行D．同位角相等【答案】C【解析】【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．A 、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；B 、相等的角不一定是对顶角，是假命题；C 、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；D 、两直线平行，同位角相等，是假命题；故选C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．15．下列四个命题中：①在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交②有且只有一条直线垂直于已知直线③两条直线被第三条直线所截，同位角相等④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2 个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】分析：利用平行公理及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义分别分析求出即可．详解：①在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，正确；②在同一个平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线，此选项错误；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，错误；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，错误； 真命题有1个.故选A.点睛：本题考查了命题与定理.其中真命题是由题设得出结论，如果不能由题设得出结论则称为假命题.题干中②、③、④，均不能由题设得出结论故不为真命题.16．下列命题中，假命题是( )A ．同旁内角互补，两直线平行B ．如果a b =，则22a b =C ．对应角相等的两个三角形全等D ．两边及夹角对应相等的两个三角形全等【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定、等式的性质、三角形的全等的判定判断即可．A 、同旁内角互补，两直线平行，是真命题；B 、如果a b =，则22a b =，是真命题；C 、对应角相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；D 、两边及夹角对应相等的两个三角形全等，是真命题；故选：C ．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果⋯那么⋯”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．17．下列正确说法的个数是（ ）①同位角相等；②等角的补角相等；③两直线平行，同旁内角相等；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质以及等角或同角的补角相等的知识，即可求得答案．【详解】解：∵两直线平行，同位角相等，故①错误；∵等角的补角相等，故②正确；∵两直线平行，同旁内角互补，故③错误；∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④正确．∴正确说法的有②④．故选B ．【点睛】此题考查了平行线的性质与对顶角的性质，以及等角或同角的补角相等的知识．解题的关键是注意需熟记定理．18．下列四个命题中，其正确命题的个数是（ ）①若ac ＞bc ，则a ＞b ；②平分弦的直径垂直于弦；③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边形；④反比例函数y ＝k x ．当k ＜0时，y 随x 的增大而增大 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据不等式性质、垂径定理、平行四边形的判定、反比例函数的性质，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：①若ac＞bc，如果c＞0，则a＞b，故原题说法错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原题说法错误；③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边，故原题说法正确；④反比例函数y＝kx．当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大，故原题说法错误；正确命题有1个，故选：A．【点睛】本题考查了判断命题的真假，解题的关键是掌握不等式性质、垂径定理、平行四边形的判定、反比例函数的性质进行判断.19．下列命题是假命题的是（）A．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等B．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16C．将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限D．若关于x的一元一次不等式组213x mx-≤⎧⎨+>⎩无解，则m的取值范围是1m£【答案】B【解析】【分析】利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；C. 将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题；D. 若关于x的一元一次不等式组213x mx-≤⎧⎨+>⎩无解，则m的取值范围是1m£，正确，是真命题；故答案为：B【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．20．下列选项中，可以用来说明命题“若22a b ＞，则a b ＞”是假命题的反例是（ ） A ．2,a =b=-1B ．2,1a b =-=C ．3,a =b=-2D ．2,0a b ==【答案】B【解析】分析：根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 详解：∵当a =﹣2，b =1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，∴a =﹣2，b =1是假命题的反例． 故选B ．点睛：本题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可．这是数学中常用的一种方法．。

七年级数学角练习题及答案一、选择题1．A.15°B.20°C.85°D.105°答案：A 北A?4题图东西?B 南题图题图6、×=×=11°31′26″×3=33°93′78″=34°34′18″15．AOD25. 如图14，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．若∠DOB与∠DOA的比是2∶11，求∠BOC的度数．若叠合所成的∠BOC=n°，则∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是多少？26.如图，一个机器人从点O出发，每前进2米就向左转体45°.假设机器人从O点出发时，身体朝向正北方向，试用1厘米代表1米，在图中画出机器人走过6米路程后所处的位置，并指明点A在点O的什么方向上？机器人从出发到首次回到O点，共走过了多远的路程？数学七年级上第4章直线与角检测题一、选择题1.如图，，若∠1=40°，则∠2的度数是AO第1题图A.20°B.40°C.50°D.60°.如图,一个几何体上半部为正四棱锥,下半部为立方体,且有一个面涂有颜色,下列图形中,是该几何体的表面展开图的是1B第2题图 A BCD3.两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，?,那么六条直线最多有A.21个交点B.18个交点C.15个交点D.10个交点.已知＝65°，则的补角等于A.125°B.105°C.115°D.95°.下列说法正确的个数是①教科书是长方形；②教科书是长方体，也是棱柱；③教科书的表面是长方形. A．①②B．①③ C．②③ D．①②③6. 如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是 A.∠2=∠B.C.D.以上都不对7. 在直线l上顺次取A、B、C三点，使得AB=5㎝，BC=3㎝，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是A．2㎝ B．0.5㎝ C．1.5㎝ D．1㎝8. 下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程.其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④9. 如图，下列关系式中与图不符合的式子是 A．C． B．D．第9题图10. 下列叙述正确的是A．180°的角是补角 B．110°和90°的角互为补角 1C．10°、20°、60°的角互为余角D．120°和60°的角互为补角二、填空题 11.已知＝67°，则的余角等于度.12. 如图，∠AOC=∠BOD=78°，∠BOC=35°，则∠AOD=. 13.有下列语句：①在所有连接两点的线中，直线最短；②线段③取直线是点与点的距离；的中点；，得到射线，其中正确的是 .第12题图④反向延长线段14. 要在墙上钉一根木条，至少要用两个钉子，这是因为：. 15. 一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数是 . 16. 已知直线上有A,B,C三点,其中AB=cm,BC=cm,则AC=_______. 17. 计算:180°2313′6″__________. 18.若线段MN=_______.，C是线段AB上的任意一点，M、N分别是AC和CB的中点，则三、解答题19. 将下列几何体与它的名称连接起来.圆锥三棱锥圆柱正方体球长方体20.如图所示，线段AD=cm，线段AC=BD=cm ，E、F分别是线段AB、CD的中点，求EF.第20题图21.如图，已知画直线画射线三点．；；2找出线段画出的中点，连结的平分线与；相交于，与相交于点．第21题图第22题图22. 如图，的度数．23. 火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点，不同的车站往返需要不同的车票．共有多少种不同的车票？如果共有≥3）个站点，则需要多少种不同的车票？°，°，求、24. 如图，数一数以O为顶点且小于180°的角一共有多少个？你能得到解这类问题的一般方法吗？第24题图3第4章直线与角检测题参考答案1.C 解析:∵，∴ ∠∠1∠290°，∴ ∠2=90°∠1=90°40°50°.2.B 解析:选项A和C能折成原几何体的形式，但涂颜色的面是底面与原几何体的涂颜色面的位置不一致；选项B能折叠成原几何体的形式，且涂颜色的面的位置与原几何体一致；选项D不能折叠成原几何体的形式.3.C 解析:由题意，得条直线之间交点的个数最多为，故6条直线最多有=15交点.4.C 解析：∠的补角为180°∠＝115°，故选C.5.C 解析：教科书是立体图形，所以①不对，②③都是正确的，故选C.6. C 解析：因为∠1与∠2互补，所以∠1+∠2=180°.又因为∠2与∠3互余，所以∠2+∠3=90°，所以∠1+=180°，所以∠1=90°+∠3.7.D 解析：因为是顺次取的，所以AC=cm，因为O是线段AC的中点，所以OA=OC= cm.OB=AB-OA=5-4=1. 故选D.8.D 解析：①②是两点确定一条直线的体现，③④可以用“两点之间，线段最短”来解释.故选D.9.C 解析：根据线段之间的和差关系依次进行判断即可得出正确答案．正确；，故本选项错误；，正确；，正确．故选C．，而10.D 解析：180°的角是平角，所以A不正确；110°+90°180°，所以B不正确；互为余角是指两个角，所以C不正确；120°+60°=180°，所以D正确. 11.2312. 121° 解析：根据∠AOC=∠BOD=78°，∠BOC=35°，∴∠AOB=∠AOC?∠BOC=78°?35°?43°，故∠AOD=∠AOB+∠BOD=43°+78°=121°．13.④ 解析：∵ 在所有连接两点的线中，线段最短，∴ ①错误；∵ 线段点的距离，∴ ②错误；∵ 直线没有长度，∴ 说取直线向延长线段，得到射线的长是点与的中点错误，∴ ③错误；∵ 反正确，∴ ④正确.故答案为④．14.两点确定一条直线15.45° 解析：设这个角为，所以，根据题意可，所以416.cm或cm 解析：当三点按的顺序排列时，；当三点，按的顺序排列时，.17.156°46′54″ 解析：原式=179°59′60″-23°13′6″156°46′54″.18. 解析：.19.分析：正确区分各个几何体的特征. 解：圆锥三棱锥圆柱正方体球长方体20.解：如题图，∵ 线段AD=cm，线段AC=BD=cm，∴ BC?AC?BD?AD?4?4?6?2. ∴ AB?CD?AD?BC?6?2?4. 又∵ E、F分别是线段AB、CD的中点, ∴ EB?112AB,CF?2CD ,∴ EB?CF?1122CD?12?2.∴ EF?EB?BC?CF?2?2?4. 答：线段EF的长为cm.21.分析：根据直线是向两方无限延长的画出直线即可；根据射线是向一方无限延长的画出射线即可；找出的中点，画出线段即可；画出∠的平分线即可．解：如图所示.5。

七年级数学下册《角》单元测试卷（带答案解析）1．用一副三角板不能画出的角是（）A．75°B．105°C．110°D．135°2．若∠α与∠β互补（∠α＜∠β），则∠α与（∠β﹣∠α）的关系是（）A．互补B．互余C．和为45°D．和为22.5°3．如图，两块三角板的直角顶点O重合在一起，∠BOD＝35°，则∠AOC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°4．如图，∠AOD＝120°，OC平分∠AOD，OB平分∠AOC．下列结论：①∠AOC＝∠COD；②∠COD＝2∠BOC；③∠AOB与∠COD互余；④∠AOC与∠AOD互补．其中，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，直线AB与直线CD交于点O．OE、OC分别是∠AOC与∠BOE的角平分线，则∠AOD为（）A．45°B．50°C．55°D．60°6．如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，若PA＝4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（）A．3 B．4 C．5 D．77．如图，∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°，互补的角有（）A．5对B．6对C．7对D．8对8．计算：1800′＝（）A．10°B．18°C．20°D．30°9．在同一平面上，若∠BOA＝60°，∠BOC＝20°，则∠AOC的度数是（）A．80°B．40°C．20°或 40°D．80°或 40°10．一个角的余角比这个角的一半大15°，则这个角的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．35°11．计算：90°﹣44°14′15″＝．12．已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，若∠1＝33°27'，则∠3＝．13．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOD，若∠BOE＝42°，则∠AOF的度数是．14．计算：48°47'+53°35'＝．15．钟表上的时间是8：30时，时针与分针的夹角为度．16．若∠α的余角比它的补角的一半还少10°，那么∠α＝°．17．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，这时有∠BOC＝2∠BOE ＝2 ，∠COD＝∠AOD＝，∠DOE＝°．18．如图，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°．则∠MON的度数为．19．（1）如图1，∠AOC：∠COD：∠BOD＝4：2：1，若∠AOB＝140°，求∠BOC的度数；（2）如图2，∠AOC：∠COD：∠BOD＝4：2：1，OP平分∠AOB，若∠AOB＝β，求∠COP的度数（用含β的的代数式表示）；（3）如图3，∠AOC＝80°，∠BOD＝20°，OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，求∠EOF的度数．20．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．（1）若∠AOB＝42°，∠DOE＝36°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE＝30°，求∠AOC的度数．21．如图，已知△ACD和△BCE是两个直角三角形，∠ACD＝90°，∠BCE＝90°．∠ACB＝150°，求∠DCE 的度数．22．如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝50°，∠EOD＝28°42'，OD平分∠COE．（1）∠AOB的余角是多少度？（2）求∠COB的度数．23．如图，已知∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝18°，求∠AOC的度数．24．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝2∠BOD，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）求∠DOE的度数；（2）求∠AOF的度数．参考答案与解析1．解：75°可以用三角板的30°和45°画出，105°可以用三角板的45°和60°画出，110°用一副三角板不能画出，135°可以用三角板的45°和90°画出．故选：C．2．解：因为∠α与∠β互补（∠α＜∠β），所以∠α+∠β＝180°，所以∠α+（∠β﹣∠α）＝，所以∠α与（∠β﹣∠α）的关系是互余．故选：B．3．解：∵两块三角板的直角顶点O重合在一起，∴∠BOD和∠AOC是同角的余角，∵∠BOD＝35°，∴∠AOC＝35°．故选：A．4．解：①∵OC平分∠AOD，∴∠AOC＝∠COD＝∠AOD＝60°，故①正确．②∵OB平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠BOC，∴∠COD＝2∠BOC，故②正确；③∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝30°，∴∠AOB+∠COD＝90°，∴∠AOB与∠COD互余，故③正确．④∵∠AOC+∠AOD＝60°+120°＝180°，∴∠AOC与∠AOD互补，故④正确．故选：D．5．解：∵OE、OC分别是∠AOC与∠BOE的角平分线，∴∠AOE＝∠EOC，∠EOC＝∠BOC，∴∠AOE＝∠EOC＝∠BOC，∵∠AOE+∠EOC+∠BOC＝180°，∴∠AOE＝∠EOC＝∠BOC＝60°，∴∠AOD＝60°．故选：D．6．解：因为垂线段最短，∴点P到直线l的距离小于4，故选：A．7．解：互补的角有：∠AOD与∠BOD，∠AOD与∠COE，∠COE与∠BOD，∠AOC与∠BOC，∠AOE与∠BOE共5对，故选：A．8．解：1800′＝（1800÷60）°＝30°，故选：D．9．解：（1）如图所示：当OC边在∠BOA的外部时，∠AOC＝∠BOA+∠BOC＝60°+20°＝80°；（2）如图所示：当OC边在∠BOA的内部时，∠AOC＝∠BOA﹣∠BOC＝60°﹣20°＝40°．故选：D．10．解：设这个角为x°，则这个角的余角为（90°﹣x°），根据题意，得90﹣x＝x+15，解得：x＝50．所以这个角的度数为50°，故选：C．11．解：90°﹣44°14′15″＝89°59′60″﹣44°14′15″＝45°45′45″．故答案是：45°45′45″．12．解：∵∠1与∠2互余，∴∠2＝90°﹣∠1，∵∠2与∠3互补，∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣（90°﹣∠1）＝90°+∠1，∵∠1＝33°27'，∴∠3＝123°27'，故答案为：123°27'．13．解：∵∠COE是直角，∴∠COE＝90°，∴∠DOE＝180°﹣90°＝90°，∵∠BOE＝42°，∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝90°﹣42°＝48°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣48°＝132°，∵OF平分∠AOD，∠AOF＝∠AOD＝×132°＝66°．故答案为：66°．14．解：48°47'+53°35'＝101°82′＝102°22′，故答案为：102°22′．15．解：8：30时，钟表的时针与分针相距2.5份，8：30时，钟表的时针与分针所夹小于平角的角为30°×2.5＝75°．故答案为：75．16．解：由题意得，90°﹣∠α＝（180°﹣∠α）﹣10°，解得：∠α＝20°，故答案为：20°．17．解：∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠BOC＝2∠BOE＝2∠COE，∠COD＝∠AOD＝∠AOC，∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝（∠BOC+∠COA）＝180°＝90°．故答案为：∠COE，∠AOC，90°．18．解：∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°．∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°．故答案为：45°．19．解：（1）由∠AOC：∠COD：∠BOD＝4：2：1，设∠BOD＝x°，则∠AOC＝4x°，∠COD＝2x°，∵∠AOB＝140°，∴x+2x+4x＝140，解得：x＝20，∴∠BOD＝20°，∠COD＝40°，∠AOC＝80°，∴∠BOC＝20°+40°＝60°；（2）设∠BOD＝x°，则∠AOC＝4x°，∠COD＝2x°，∴x+2x+4x＝β，∴x＝β，∴∠AOC＝β；∵OP平分∠AOB，∴∠AOP＝，∴∠COP＝β﹣＝β；（3）∵OF平分∠BOC，∠BOD＝20°，∴∠COF＝（∠BOD+∠COD）＝10°+COD，∵OE平分∠AOD，∠AOC＝80°，∴∠AOE＝（∠AOC+∠COD）＝40°+COD，∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝80°﹣（40°+COD）＝40°﹣COD，∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝40°﹣COD+10°+COD＝50°．20．解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOB＝42°，∠DOE＝36°，∴∠AOB＝∠BOC＝＝42°，∠COD＝∠DOE＝36°，∴∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝42°+36°＝78°；（2）∵∠AOD与∠BOD互补，∠BOC＝，∴∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠COD+∠AOC+∠COD＝180°，∵∠DOE＝30°，∴∠COD＝30°，∴，∴＝180°，∴∠AOC＝80°．21．解：∵∠ACD＝90°，∠ACB＝150°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝150°﹣90°＝60°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣60°＝30°．∴∠DCE的度数为30°．22．解：（1）∵∠AOB＝50°，∴∠AOB的余角为：90°﹣50°＝40°；（2）∵OD平分∠COE，∴∠EOC＝2∠EOD＝2×28°42'＝57°24'，又∵∠AOE＝∠AOB+∠COB+∠EOC，而且点A、O、E在同一直线上，∴∠AOE＝180°，∴∠COB＝∠AOE﹣∠AOB﹣∠EOC＝180°﹣57°24'＝72°36'．23．解：因为OE为∠BOD的平分线，所以∠BOD＝2∠BOE，因为∠BOE＝18°，所以∠BOD＝36°，又因为∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，所以∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣∠BOD（4分）＝360°﹣90°﹣90°﹣36°＝144°．24．解：（1）∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠AOD＝2∠BOD，∴∠AOD＝180°×＝120°，∠BOD＝180°×＝60°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝∠BOD＝30°，（2）∵∠COE+∠DOE＝180°，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝190°﹣30°＝150°，∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠EOF＝∠COE＝×150°＝75°，又∵∠AOC＝∠BOD＝60°，∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°。

七年级上册数学角试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，这个公共端点称为角的（）。

A. 顶点B. 边C. 射线D. 直线2. 下列哪种角是锐角？A. 30°B. 90°C. 120°D. 180°3. 两条直线相交，如果形成的两个相邻角相等，那么这两个角是（）。

A. 钝角B. 锐角C. 直角D. 对顶角4. 一个角的补角比这个角的余角大（）。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 如果一个角的度数是另一个角的2倍，那么这两个角的关系是（）。

A. 补角B. 余角C. 对顶角D. 无法确定二、判断题（每题1分，共5分）1. 所有的角都可以分为锐角、直角和钝角。

（）2. 如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角。

（）3. 任何角都有对应的余角和补角。

（）4. 一个角的补角和余角的和为90°。

（）5. 对顶角相等。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 一个角的补角比这个角的余角大______。

2. 如果两个角的和为______，那么这两个角互为补角。

3. 任何角都有对应的余角和补角，余角和补角的和为______。

4. 对顶角是指两个角的顶点相同，且两个角的边分别是另两个角的______。

5. 一个角的度数是另一个角的2倍，那么这两个角的关系是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述角的概念。

2. 什么是补角？什么是余角？它们之间的关系是什么？3. 如何判断两个角是对顶角？4. 什么是锐角？什么是钝角？什么是直角？5. 如何计算一个角的补角和余角？五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个角的度数是60°，求它的补角和余角。

2. 如果两个角的和为120°，求这两个角的补角。

3. 画出两个对顶角，并标出它们的度数。

七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)类型1利用角度的和、差关系找出待求的角与已知角的和、差关系，根据角度和、差来计算．1．如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．解：因为∠AOC＝75°，∠BOC＝30°，所以∠AO B＝∠AOC－∠BOC＝75°－30°＝45°.又因为∠BOD＝75°，所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝45°＋75°＝120°.2．将一副三角板的两个顶点重叠放在一起．(两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°)(1)如图1所示，在此种情形下，当∠DAC＝4∠BAD时，求∠CAE的度数；(2)如图2所示，在此种情形下，当∠ACE＝3∠BCD时，求∠ACD的度数．解：(1)因为∠BAD＋∠DA C＝90°，∠DAC＝4∠B AD，所以5∠BAD＝90°，即∠BAD＝18°.所以∠DAC＝4×18°＝72°.因为∠DAE＝90°，所以∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝18°.(2)因为∠BCE＝∠DCE－∠BCD＝60°－∠BCD，∠ACE＝3∠BCD，所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝3∠BCD＋60°－∠BCD＝90°.解得∠BCD＝15°.所以∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋15°＝105°.类型2利用角平分线的性质角的平分线将角分成两个相等的角，利用角平分线的这个性质，再结合角的和、差关系进行计算．3．如图所示，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求∠COB 的度数．解：因为∠EOD＝28°46′，OD 平分∠COE，所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′. 又因为∠AOB＝40°，所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′.4．已知∠AOB＝40°，OD 是∠BOC 的平分线．(1)如图1所示，当∠AOB 与∠BOC 互补时，求∠COD 的度数；(2)如图2所示，当∠AOB 与∠BOC 互余时，求∠COD 的度数．解：(1)因为∠AOB 与∠BOC 互补，所以∠AOB＋∠BOC ＝180°.又因为∠AOB＝40°，所以∠BOC＝180°－40°＝140°.因为OD 是∠BOC 的平分线，所以∠COD＝12∠BOC＝70°. (2)因为∠AOB 与∠BOC 互余，所以∠AOB＋∠BOC＝90°.又因为∠AOB＝40°，所以∠BOC＝90°－40°＝50°.因为OD 是∠BOC 的平分线，所以∠COD＝12∠BOC＝25°.类型3 利用方程思想求解在解决有关余角、补角，角的比例关系或倍分关系问题时，常利用方程思想来求解，即通过设未知数，建立方程，通过解方程使问题得以解决．5．一个角的余角比它的补角的23还少40°，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x °，根据题意，得90－x ＝23(180－x)－40. 解得x ＝30.所以这个角的度数是30°.6．如图所示，已知∠AOE 是平角，∠DOE ＝20°，OB 平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC 的度数．解：设∠COD＝2x °，则∠BOC＝3x °.因为OB 平分∠AOC，所以∠AOB＝3x °.所以2x ＋3x ＋3x ＋20＝180.解得x ＝20.所以∠BOC＝3×20°＝60°.7．如图所示，已知∠AOB＝12∠BOC，∠COD ＝∠AOD＝3∠AOB ，求∠AOB 和∠COD 的度数．解：设∠AOB＝x °，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x °.因为∠AOB＝12∠BOC， 所以∠BOC＝2x °.所以3x ＋3x ＋2x ＋x ＝360.解得x ＝40.所以∠AOB＝40°，∠COD ＝120°.类型4 利用分类讨论思想求解在角度计算中，如题目中无图，或补全图形时，常需分类讨论，确保答案的完整性．8．已知∠AOB＝75°，∠AOC ＝23∠AOB，OD 平分∠AOC，求∠BOD 的大小． 解：因为∠AOB＝75°，∠AOC ＝23∠AOB， 所以∠AOC＝23×75°＝50°.因为O D 平分∠AOC，所以∠AOD＝∠COD＝25°.如图1，∠BOD ＝75°＋25°＝100°；如图2，∠BOD ＝75°－25°＝50°.9．已知：如图所示，OC 是∠AOB 的平分线．(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC 的度数；(2)在(1)的条件下，∠EOC ＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE 的度数；(3)当∠AOB＝α时，∠EOC ＝90°，直接写出∠AOE 的度数．(用含α的代数式表示)解：(1)因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC＝12∠AOB. 因为∠AOB＝60°，所以∠AOC＝30°.(2)如图1，∠AOE ＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°；如图2，∠AOE ＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.(3)90°＋α2 或90°－α2.专题训练 整式的加减运算计算：(1)(钦南期末)a 2b ＋3ab 2－a 2b ；解：原式＝3ab 2.(2)2(a －1)－(2a －3)＋3；解：原式＝4.(3)2(2a 2＋9b)＋3(－5a 2－4b)；解：原式＝－11a 2＋6b.(4)3(x 3＋2x 2－1)－(3x 3＋4x 2－2)；解：原式＝2x 2－1.(5)(钦南期末)(2x 2－12＋3x)－4(x －x 2＋12)； 解：原式＝2x 2－12＋3x －4x ＋4x 2－2 ＝6x 2－x －52.(6)3(x2－x2y－2x2y2)－2(－x2＋2x2y－3)；解：原式＝3x2－3x2y－6x2y2＋2x2－4x2y＋6＝5x2－7x2y－6x2y2＋6.(7)－(2x2＋3xy－1)＋(3x2－3xy＋x－3)；解：原式＝－2x2－3xy＋1＋3x2－3xy＋x－3＝x2－6xy＋x－2.(8)(4ab－b2)－2(a2＋2ab－b2)；解：原式＝4ab－b2－2a2－4ab＋2b2＝－2a2＋b2.(9)－3(2x2－xy)＋4(x2＋xy－6)；解：原式＝－6x2＋3xy＋4x2＋4xy－24＝－2x2＋7xy－24.(10)(钦州期中)2a2－[－5ab＋(ab－a2)]－2ab. 解：原式＝2a2＋5ab－ab＋a2－2ab＝3a2＋2ab.。

角的相关计算和证明（导学案）知识过关背默我们到目前学习过的定理： （1）平行线： 判定：①_______________，两直线平行； ②_______________，两直线平行； ③_______________，两直线平行． 性质：①两直线平行，_______________； ②两直线平行，_______________； ③两直线平行，_______________． （2）余角、补角、对顶角：同角（或等角）的余角__________；同角（或等角）的补角________；对顶角________． （3）三角形：三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________；三角形的一个外角等于______________________________． 在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、____________________； 由外角想到________________________________________．精讲精练1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则∠BCE =_________．2. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，AE ⊥DG 于点E ，CF ⊥DG 于点F ．若∠DAE =25°，则∠GCF =_________．F ED CBA3. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠F AG =45°，∠CAG =20°，则∠AEB =_______，∠ADC =________．4. 如图，点F 是△ABC 边BC 延长线上一点，EF ∥AC ，过点E 作ED ⊥AB 于点D ，交AC 于点G ．若∠A =35°，则 ∠DEF =______．5. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________．6. 已知：如图，直线BD 交CF 于点D ，交AE 于点B ，连接AD ，BC ，∠1+∠2=180°，∠A =∠C ．求证：DA ∥CB ． 证明：如图，∵∠1+∠2=180° （__________________________） ∠2+∠CDB =180° （__________________________） ∴_______=_______ （__________________________） ∴______∥________ （__________________________） ∴∠A +∠CDA =180°（__________________________）∵∠A =∠C （__________________________） ∴______+______=180° （__________________________） ∴DA ∥CB （__________________________）G FE DC BA 第6题图21F EDCBA21PD B AGFE DCBAG FE D C B A7. 已知：如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为点O ，∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求证：AB ∥CD ．8. 如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数．9. 已知：如图，点E 是△ABC 边BC 延长线上一点，BP 平分∠ABC ，CP 平分△ABC 的外角∠ACE ．求证：∠A =2∠P ．证明：如图，设∠PBC =α，∠PCE =β ∵BP 平分∠ABC （_____________________） ∴∠ABC =2∠PBC =2α （_____________________） ∵CP 平分∠ACE（_____________________）∴∠ACE =______=_______ （_____________________） ∵∠ACE 是△ABC 的一个外角（_____________________） ∴∠ACE =∠ABC +∠A （_____________________） ∴2β=2α+∠A（_____________________）∴∠A =2(β α) （_____________________） ∵∠PCE 是△BCP 的一个外角（_____________________） ∴∠PCE =∠PBC +∠P（_____________________）∴β=______+_______ （_____________________）21O E FDCBAE DAPEC B A∴∠P =β α （_____________________） ∴∠A =2∠P （_____________________） 10. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足D ．求证：∠A =2∠BCD ．【参考答案】知识过关（1）同位角相等；内错角相等；同旁内角互补． 同位角相等；内错角相等；同旁内角互补； （2）相等；相等；相等（3）180°；互余；和它不相邻的两个内角的和 同位角、内错角、同旁内角直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和➢ 精讲精练1. 20°2. 25°3. 65°，70°4. 125°5. 60°6.已知 平角的定义∠1，∠CDB ；同角的补角相等 AB ，CD ；同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 已知∠C ，∠CDA ；等量代换 同旁内角互补，两直线平行 7. 证明：如图，D CBA21O E FD CBA∵EC ⊥AF （已知）∴∠COF =90° （垂直的定义）∴∠C +∠2=90° （直角三角形两锐角互余） ∵∠1+∠C =90 （已知） ∴∠1=∠2 （同角的余角相等） ∵∠2=∠D （已知） ∴∠1=∠D （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）8. 解：如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75° （已知）∴∠BAC =180°-∠B -∠C=180°-35°-75° =70°（三角形的内角和等于180°） ∵AE 平分∠BAC（已知）∴∠BAE =12∠BAC =12×70° =35°（角平分线的定义）∵∠AED 是△ABE 的一个外角（外角的定义）∴∠AED =∠B +∠BAE =35°+35° =70° （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵AD ⊥BC（已知） ∴∠ADE =90°（垂直的定义）∴∠EAD =90°-∠AED=90°-70° =20°（直角三角形两锐角互余）9. 已知角平分线的定义 已知2∠PCE ，2β；角平分线的定义 外角的定义三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 等量代换 等式性质 外角的定义三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 α，∠P ；等量代换 等式性质 等量代换EDCADCB A10. 证明：如图，设∠B =∠ACB =α，在△ABC 中，∠B =∠ACB =α（已知） ∴∠A =180°-∠B -∠ACB=180°-2α（三角形的内角和等于180°）∵CD ⊥AB （已知）∴∠BDC =90°（垂直的定义）∴∠B +∠BCD =90°（直角三角形两锐角互余） ∴∠BCD =90°-∠B=90°-α（等式的性质）∴∠A =2∠BCD （等量代换）角的相关计算和证明（当堂过关）1. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =70°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE 于F ，则∠FDE 的度数是_______．2. 已知：如图，CD ∥AB ，∠DCB =70°，∠CBF =20°，∠F =130°．求证：EF ∥AB ． 证明：如图，EF D CBFEDC BA【参考答案】1. 20°2. 证明：如图，角的相关计算和证明（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ．若∠ADE =80°，∠EAC =20°，则 ∠B =_______．FEDC BA ACE D B思路分析 ①读题标注：②梳理思路： 从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠DAE =10°，∠C =70°；由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°；把∠B 当作△ABC 的一个内角，则∠B =180°-60°-70°=50°．（思路不唯一，也可将∠B 作为△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解．）➢ 巩固练习1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 上一点．若AC ⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______．第1题图 第2题图2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2=____________．3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（ ）A ．120°B ．115°C ．110°D ．105°第3题图 第4题图4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，且∠FCD =60°，则∠D =（ ） A ．50° B ．60° C ．70°D ．80°5. 已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．求证：．ABC DE21CB AD CBAEF EBC FD A1902D A ∠=︒+∠ABCDB D E CA20°80°证明：如图，设∠DBC =α，∠DCB =β ∵BD 平分∠ABC（__________________________） ∴∠ABC =2∠DBC =2α （__________________________） ∵CD 平分∠ACB（__________________________）∴∠ACB =______=_____ （__________________________） ∵∠ABC +∠ACB +∠A =180°（________________________） ∴2α+2β+∠A =180°（ 等量代换 ）∴α+β=_______________ （ 等式性质 ） ∵∠DBC +∠DCB +∠D =180° （_______________________） ∴____________________（__________________________） ∴α+β=______________ （__________________________）∴ （ 等量代换 ）∴ （ 等式性质 ）6. 已知：如图，AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ．求证：AD ∥BC ．7. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 于点P ，交BC 的延长线于点M ．已知∠ACB =70°，∠B =40°，求∠M 的度数．➢ 思考小结1. 我们在做几何证明题的时候，可以从已知出发，看条件如何用，比如看到平行线，考虑___________________________，看到垂直考虑______________________，_________________ _________；也可以从目标出发，根据目标倒推，比如把角看作什么角，看作三角形的一个内角190=1802A D ︒-︒-∠∠1902D A ∠=︒+∠A B CDE F1B C D M PF AE考虑__________________，看作外角考虑_______________________________________． 2. 阅读材料我们是怎么做几何题的？例1：已知：如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，∠DEF =50°，∠C =70°，求∠A 的度数．第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上；（请把条件标注图上） 第二步：走通思路，要求∠A 的度数，怎么想？要求∠A ，可以把∠A 看作△ABC 的一个内角，∠C 度数已知，只需求出∠B 的度数即可；结合题中的条件，由DE ∥BC ，∠DEF =50°得∠EFC =∠DEF =50°，再由EF ∥AB 得∠B =∠EFC =50°； 最后，利用三角形的内角和等于180°， 得∠A =180°-∠B -∠C =180°-50°-70°=60°． 第三步：规划过程 过程分成三块：①由DE ∥BC ，∠DEF =50°得∠EFC =∠DEF =50°； ②由EF ∥AB 得∠B =∠EFC =50°； ③利用三角形内角和定理求∠A ． 第四步：书写过程【参考答案】 ➢ 巩固练习1. 60°2. 270°3. B4. A5.已知A B C D E F角平分线的定义已知2∠DCB，2β；角平分线的定义三角形的内角和等于180°1 902A︒-∠三角形的内角和等于180°α+β+∠D=180°，等量代换180°-∠D，等式性质6.证明：如图，∵AB∥DE（已知）∴∠1=∠BAC（两直线平行，同位角相等）∵AC平分∠BAD（已知）∴∠DAC=∠BAC（角平分线的定义）∴∠1=∠DAC（等量代换）∵∠1=∠ACB （已知）∴∠DAC=∠ACB（等量代换）∴AD∥BC （内错角相等，两直线平行）7.解：如图，在△ABC中，∠ACB=70°，∠B=40°（已知）∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B=180°-70°-40°=70°（三角形的内角和等于180°）∵AD平分∠BAC（已知）∴∠DAC=12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵EF⊥AD（已知）∴∠APF=90°（垂直的定义）∴∠AFP+∠DAC=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠AFP=90°-∠DAC=90°-35°=55°（等式性质）∵∠CFM=∠AFP（对顶角相等）∴∠CFM=55°（等量代换）∵∠ACB是△CFM的一个外角（外角的定义）∴∠ACB=∠CFM+∠M（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠M=∠ACB-∠CFM=70°-55°=15°（等式性质）。

学生做题前请先回答以下问题问题1：看到平行想什么？问题2：看到垂直想什么？问题3：看到三角形的外角想什么？问题4：看到三角形的内角想什么？角的相关计算和证明（人教版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD平分∠BAC，则∠ADC的度数为( )A.80°B.107°C.73°D.100°答案：B解题思路：如图，结合已知条件，∠ADC可以看作△ACD的内角，也可以看作△ABD的一个外角，因此有两种思路．第一种思路：将∠ADC看作△ACD的内角：在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，根据三角形的内角和等于180°，得∠BAC=80°；由AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，得．在△ACD中，∠2=40°，∠C=33°，根据三角形的内角和等于180°，得∠ADC=107°．第二种思路：将∠ADC看作△ABD的一个外角：已知在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，根据三角形的内角和等于180°，得∠BAC=80°；由AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，得．∠ADC是△ABD的一个外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ADC=∠B+∠1=67°+40°=107°．故选B．试题难度：三颗星知识点：三角形的外角2.如图，直线BD∥EF，AE交BD于点C，若∠B=30°，∠A=75°，则∠E的度数为( )A.60°B.75°C.90°D.105°答案：D解题思路：如图，由BD∥EF，根据两直线平行，同位角相等，得∠E=∠ACD，这样就把∠E转化为∠ACD．而∠ACD可以看作△ABC的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠B=105°．所以∠E=105°．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的外角3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC边上一点，BE交AD于点F．∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠BFD=60°，则∠BEC的度数为( )A.85°B.105°C.100°D.90°答案：D解题思路：如图，结合已知条件，∠BEC可以看作△BCE的内角，接下来的目标是求∠1和∠C．在△ABC中，由∠ABC=45°，∠BAC=75°，根据三角形的内角和等于180°，得∠C=60°；因为AD⊥BC，根据垂直的定义，得∠ADB=90°；在Rt△BDF中，根据直角三角形两锐角互余，可得∠1=90°-∠BFD=90°-60°=30°；在△BCE中，∠C=60°，∠1=30°，根据三角形的内角和等于180°，得∠BEC=90°．故选D．试题难度：三颗星知识点：垂直的定义4.如图，AB∥CD，AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，则∠E=( )A.60°B.75°C.90°D.105°答案：C解题思路：如图，在△ACE中，要求∠E的度数，根据三角形的内角和等于180°，只需求出∠1+∠2的度数即可．由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，得∠CAB+∠ACD=180°；又因为AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，根据角平分线的定义，得∠1=∠ACD，∠2=∠CAB，所以∠1+∠2=(∠ACD+∠CAB)=90°．在△ACE中，根据三角形的内角和等于180°，得∠E=180°-(∠1+∠2)=180°-90°=90°．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理5.如图，在△ABC中，∠B=∠C，DE⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为E，F，若∠ADE=158°，则∠FEC的度数为( )A.22°B.32°C.44°D.58°答案：A解题思路：如图，从已知出发，因为∠ADE=158°，由平角的定义得∠1=180°-∠ADE=22°．由DE⊥BC，EF⊥AC，根据垂直的定义，∠DEB=∠EFC=90°，所以∠B+∠1=90°，∠C+∠FEC=90°，又因为∠B=∠C，根据等角的余角相等，得∠FEC=∠1，所以∠FEC=∠1=22°．故选A．试题难度：三颗星知识点：垂直的定义6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．若∠A=70°，则∠D的度数为( )A.110°B.140°C.125°D.135°答案：C解题思路：如图，设∠DBC=α，∠DCB=β，因为BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，根据角平分线的定义，∠ABC=2∠DBC=2α，∠ACB=2∠DCB=2β．在△ABC中，∠A=70°，根据三角形的内角和等于180°，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，即2α+2β=110°，则α+β=55°．在△DBC中，α+β=55°，根据三角形的内角和等于180°，得∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-α-β=180°-55°=125°．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC的延长线于点M．若∠ACB=70°，∠B=40°，则∠M的度数为( )A.20°B.15°C.35°D.25°答案：B解题思路：如图，∠M可以放在Rt△DPM中，利用直角三角形两锐角互余计算，那么需要求∠2的度数；∠2可以看作△ABD的一个外角，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠2=∠B+∠1，因此问题转化为求∠1的度数．在△ABC中，∠ACB=70°，∠B=40°，根据三角形的内角和等于180°，得∠BAC=180°-∠B-∠ACB=70°；又因为AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，得∠1=∠BAC=35°，从而可以求出∠2=75°，所以∠M=90°-∠2=15°．故选B．试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余。

人教版七年级数学上册期末求角的度数及证明专题练习-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，⊥EOC＝35°．求⊥BOD的度数．2．如图，⊥AOC=30°，⊥BOC=80°，OC平分⊥AOD．求⊥BOD的度数．3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分⊥BOC，OF⊥OE，且⊥AOD=66°．求⊥BOF的度数．4．如图，已知OB，OC，OD是⊥AOE内的三条射线，OB平分⊥AOE，OD平分⊥COE．（1）若⊥AOB=70°，⊥DOE=20°，求⊥BOC的度数．（2）若⊥AOE=136°，AO⊥CO，求⊥BOD的度数．（3）若⊥DOE=20°，⊥AOE+⊥BOD=220°，求⊥BOD的度数．5．如图，直线AB，CD和EF相交于点O．（1）写出⊥AOC，⊥BOF的对顶角．（2）如果⊥AOC=70°，⊥BOF=20，求⊥BOC和⊥DOE的度数．6．如图，OD是⊥BOC的平分线，OE是⊥AOC的平分线，⊥AOB︰⊥BOC=3︰2，若⊥BOE=13°，求⊥DOE的度数.7．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE为直角，OF平分∠AOE，∠COF=28°.求∠BOE的度数.8．如图，点O在直线AB上，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=30°，求∠EOB的大小．9．如图所示，已知⊥AOB＝90°，⊥BOC＝30°，OM平分⊥AOC，ON平分⊥BOC，求⊥MON的度数？10．如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．11．如图∠AOB=∠COD=90°，∠DOA=150°，OM是∠AOC的平分线．求∠BOC和∠AOM 的度数．12．如图，OB是⊥AOC的角平分线，OD是⊥COE的角平分线，如果⊥AOB＝40°，⊥COE＝60°则⊥BOD的度数为多少度？13．如图，已知⊥AOC=90°，⊥BOD=90°，⊥BOC=38°19′，求⊥AOD的度数．14．如图，直线AB、CD相交于点O，⊥EOC＝90°，OF是⊥AOE的角平分线，⊥COF＝34°，求⊥BOD的度数．15．如图，O为直线AB上的一点，且⊥COD为直角，OE平分⊥BOD，OF平分⊥AOE，若⊥BOC＝54°，求⊥COE和⊥DOF的度数.16．已知：如图，点O在直线AC上，OD平分⊥AOB，∠BOE=12∠EOC，∠DOE=70∘求：⊥EOC的度数．17．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．（1）若⊥BOC=2⊥AOC，求⊥BOD的度数．（2）若⊥1=⊥2，则ON与CD垂直吗？如果垂直，请说明理由．18．如图，OE为⊥AOD的平分线，⊥COD＝13，⊥COD＝20°求：①⊥EOC的大小②⊥AOC的大小19．如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF是两条射线，⊥BOE=50°，OD平分⊥AOE．（1）求⊥AOD的度数．（2）若⊥BOF与⊥BOE互余，求⊥COF的度数．20．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE平分⊥BOF．（1）⊥AOD的对顶角是，⊥BOC的邻补角是（2）若⊥AOD=20°，⊥DOF ：⊥FOB=1：7，求⊥EOC的度数．答案解析部分1．【答案】解：∵EO⊥AB∴⊥AOE=90° ∵⊥EOC=35°∴⊥AOC=⊥AOE-⊥EOC=55° ∴⊥BOD=⊥AOC=55°2．【答案】解：∵⊥AOC=30°，OC 平分⊥AOD∴⊥COD=⊥AOC=30° ∵⊥BOC=80°∴⊥BOD=⊥BOC-⊥COD=50°.3．【答案】解：∵⊥AOD=66°∴⊥BOC=⊥AOD=66° ∵OE 平分⊥BOC ∴⊥BOE=12⊥BOC=33°∵OF⊥OE ∴⊥EOF=90° ∴⊥BOF=90°-33°=57°.4．【答案】（1）解：∵OB 平分⊥AOE ，OD 平分⊥COE∴⊥BOE=⊥AOB=70°，⊥COE=2⊥DOE=40° ∴⊥BOC=⊥BOE-⊥COE=70°-40°= 30°． （2）解：∵OB 平分⊥AOE ，OD 平分⊥COE∴∠BOE =12∠AOE ，∠DOE =12∠COE ．∵⊥BOD=⊥BOE-⊥DOE∴∠BOD =∠BOE −∠DOE =12(∠AOE −∠COE )=12∠AOC∵AO⊥CO ∴⊥AOC=90° ∴⊥BOD=45°．（3）解：∵OB 平分⊥AOE ∴⊥AOE=2⊥BOE ．∵⊥AOE+⊥BOD=220° ∴2⊥BOE+⊥BOD=220°． ∵⊥BOE-⊥BOD=⊥DOE=20° ∴2⊥BOE-2⊥BOD=40° 即2⊥BOE=40°+2⊥BOD∴2⊥BOE+⊥BOD=40°+3⊥BOD=220° ∴3⊥BOD=180° ∴⊥BOD=60°．5．【答案】（1）⊥ AOC 的对顶角为⊥BOD ，⊥BOF 的对顶角为⊥AOE ．（2）∵⊥AOC=70°，⊥AOC+⊥BOC= 180° ∴⊥BOC= 110°． ∵⊥BOF= 20°∴⊥COF=⊥BOC-⊥BOF= 90° ∴⊥DOE=⊥COF= 90°．6．【答案】解：设⊥AOB=3x ，⊥BOC=2x.则⊥AOC=⊥AOB+⊥BOC=5x. ∵OE 是⊥AOC 的平分线 ∴⊥AOE═12⊥AOC ＝52x∴⊥BOE=⊥AOB-⊥AOE=3x−52x ＝12x∵⊥BOE=13° ∴12x ＝13°解得：x=26°∵OD 是⊥BOC 的平分线∴⊥BOD ＝12⊥BOC ＝x ＝26°∴⊥DOE=⊥DOB+⊥BOE=26°+13°=39°.7．【答案】解：∵∠COE 为直角∠COF =28°∴∠EOF =90°−28°=62° ∵OF 平分∠AOE ∴∠AOF =∠EOF =62°∴∠EOB =180°−62°−62°=56°.8．【答案】解：∵∠COE 是直角∴∠COE =90°∵ ∠COE =∠COF +∠FOE∴∠FOE =∠COE −∠COF =90°−30°=60°∵OF 平分∠AOE∴∠FOE =∠AOF =12∠AOE ∴∠AOE =2∠FOE =120° ∵∠AOE +∠BOE =180° ∴∠BOE =180°−120°=60°9．【答案】解：∵⊥AOB ＝90°，⊥BOC ＝30°∴⊥AOC ＝90°+30°＝120° ∵OM 平分⊥AOC∴⊥AOM ＝12⊥AOC ＝12（⊥AOB+⊥BOC ）＝12×120°＝60°∵ON 平分⊥BOC∴⊥CON ＝12⊥BOC ＝12×30°＝15°∴⊥MON ＝⊥AOC ﹣⊥AOM ﹣⊥CON ＝120°﹣60°﹣15°＝45°．10．【答案】解：∵∠FOC =90°∴∠1+∠3=90° ∴∠3=90°−40°=50°∠AOD =180°−∠BOD =180°−∠3=180°−50°=130°∴∠2=∠AOD ÷2=130°÷2=65° 故⊥2=65°，⊥3=50°．11．【答案】解：因为 ∠DOC =∠AOB =90°，∠AOC =150°所以 ∠BOC =360°−∠DOC −∠AOB −∠AOD =30° 所以 ∠AOC =∠AOB +∠BOC =120° 因为OM 平分 ∠AOC所以 ∠AOM =12∠AOC =60° ．12．【答案】解：∵OB 是⊥AOC 的角平分线，OD 是⊥COE 的角平分线，⊥AOB=40°，⊥COE=60°∴⊥BOC=⊥AOB=40°，⊥COD=12⊥COE=12×60°=30°∴⊥BOD=⊥BOC+⊥COD=40°+30°=70°．13．【答案】解：∵⊥BOD=90°，⊥BOC=38°19′∴⊥COD=⊥BOD-⊥BOC=51°41′∵⊥AOC=90°∴⊥AOD=⊥AOC+⊥COD=141°41′答：⊥AOD的度数为141°41′．14．【答案】解：∵∠EOC=90°∠COF=34°∴∠EOF=56°∵OF是⊥AOE的角平分线∴∠AOF=∠EOF=56°∴∠AOC=∠AOF−∠COF=22°∴∠BOD=∠AOC=22°15．【答案】解：∵⊥COD=90° ⊥BOC=54°∴⊥BOD=90°-54°=36°∵OE平分⊥BOD∴⊥DOE=⊥BOE=18°∴⊥COE=⊥BOC+⊥BOE=54°+18°=72°，⊥AOE=180°-⊥BOE=180°-18°=162°.∵OF平分⊥AOE∴∠EOF=12∠AOE=81°∴⊥DOF=⊥EOF-⊥DOE=81°-18°=63°16．【答案】解：设∠EOC=α∵∠BOE=12∠EOC∴∠BOE=1 2α∵∠DOE=70∘∴∠BOD=∠DOE−∠BOE=70∘−1 2α∵OD平分∠AOB∴∠AOD=∠BOD=70∘−1 2α因为点O 在直线AC 上 所以 ∠AOC =180∘∴∠EOC +∠DOE +∠AOD =180∘ ∴α+70°+70°−12α=180° ∴α=80∘ ∴∠EOC =80∘17．【答案】（1）解：∵⊥BOC=2⊥AOC ，⊥BOC+⊥AOC=180°∴2⊥AOC+⊥AOC=180° ∴3⊥AOC=180° ∴⊥AOC=60°∴⊥BOD=⊥AOC=60°． （2）解：垂直．理由如下： ∵OM⊥AB ∴⊥AOC+⊥1=90°． ∵⊥1=⊥2 ∴⊥AOC+⊥2=90° ∴ON⊥CD ．18．【答案】解：①∵∠COD =13∠EOC ∠COD =20° ∴∠EOC =3∠COD =60°②∵∠EOC =60° ∠COD =20°∴∠DOE =40°∵OE 平分∠AOD∴∠AOD =2∠DOE =80°19．【答案】（1）解：∵⊥BOE=50°∴⊥AOE=180°-⊥BOE=130° ∵OD 平分⊥AOE ∴⊥AOD=12⊥AOE=65°；（2）解：∵ ⊥BOF 与⊥BOE 互余 ∴⊥BOF+⊥BOE=90°∵⊥BOE=50°∴⊥BOF=40°∵⊥BOC=⊥AOD=65°∴⊥COF=⊥BOC-⊥BOF=25°.20．【答案】（1）⊥ BOC；⊥ AOC，⊥BOD（2）解：∵⊥DOF ：⊥FOB=1 ：7 ⊥AOD= 20°∴⊥DOF= 18⊥BOD=18×(180°- 20°)= 20°．∴⊥BOF=140°∵OE平分⊥BOF∴⊥BOE= 12⊥BOF=12×140°=70°∴⊥EOC=⊥BOE+⊥BOC=70°+20°=90°．11/ 11。

七年级角的证明练习题一、填空题1. 若∠A + ∠B = 180°，则∠A和∠B是______角。

2. 在三角形ABC中，若∠A = 90°，则BC是三角形ABC的______。

3. 若∠α = 30°，则它的补角是______°。

4. 在等腰三角形ABC中，若AB = AC，则∠B = ∠C = ______°。

5. 若∠P和∠Q互为余角，且∠P = 55°，则∠Q = ______°。

二、选择题1. 下列哪个角是周角？A. 90°B. 180°C. 360°D. 720°2. 在等边三角形ABC中，下列哪个角不正确？A. ∠A = 60°B. ∠B = 60°C. ∠C = 90°D. ∠A = ∠B =∠C3. 若∠α = 45°，则下列哪个角与∠α互为补角？A. 135°B. 45°C. 90°D. 180°4. 在直角三角形ABC中，若∠A = 90°，下列哪个角是锐角？A. ∠BB. ∠CC. ∠AD. 无法确定5. 若∠P和∠Q互为余角，且∠P > ∠Q，则∠P可能是多少度？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°三、判断题1. 若∠A + ∠B = 90°，则∠A和∠B互为补角。

（）2. 在等腰三角形ABC中，若AB = AC，则∠A = ∠B = ∠C。

（）3. 若∠α = 120°，则它的补角是60°。

（）4. 直角三角形的两个锐角互为余角。

（）5. 任意两个等角都是补角。

（）四、作图题1. 请画出一个等腰三角形，并标出底角和顶角。

2. 请画出一个直角三角形，并标出直角、锐角和钝角。

3. 请画出一个周角，并标出它所包含的四个直角。