人教版初中八年级数学上册专题角的相关计算和证明讲义及答案

11.2与三角形有关的角知识要点：1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180︒．（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．2.直角三角形的性质与判定（1）性质：直角三角形的两个锐角互余．在Rt ABC∠+∠=︒．A BC△中，90∠=︒，则90（2）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3.三角形的外角三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．4.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．一、单选题1．一个三角形三个内角的度数之比是2:3:4，这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】C【解析】设一份为k∘，则三个内角的度数分别为2k°，3k°，4k.根据三角形内角和定理可知2k°+3k°+4k°=180°，所以2k°=40°，3k°=60°，4k°=80°.即这个三角形是锐角三角形。

故选：C2．已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】依题意得∠A-∠B=∠C，即∠A=∠B+∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴三角形为直角三角形，故选C.3．已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为()A．100°B．120°C．140°D．160°【答案】B【解析】∵∠A=2(∠B+∠C),∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=2(180°-∠A)解得∠A=120°，故选B.4．下列条件：(1)∠A=25°，∠B=65°；(2)3∠A=2∠B=∠C；(3)∠A=5∠B；(4)2∠A=3∠B=4∠C中，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】（1）∵∠A=25°，∠B=65°，∴∠A+∠B=25°+65°=90°，又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，∴△ABC是直角三角形；（2）∵3∠A=2∠B=∠C，∴∠A=13∠C，∠B=12∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°∴13∠C+12∠C+∠C=116∠C=180°∴∠C≠90°∴△ABC不是直角三角形；（3）∵∠A=5∠B∴无法计算内角的度数，因此无法判定△ABC的形状；（4）∵2∠A=3∠B=4∠C，∴∠A=2∠C，∠B=43∠C，又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C+43∠C+∠C=133∠C=180°，∴∠C=54090 13≠︒∴△ABC不是直角三角形.故选A.5．已知三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,则这个三角形各内角的度数分别为()A．60°,90°,75°B．48°,72°,60°C．48°,32°,38°D．40°,50°,90°【答案】B【解析】设第一个内角的度数为x，∵三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,∴另一个内角的度数为32x,第三个内角为54x，∴x+32x+54x=180°，解得x=48°，∴三个内角分别为48°,72°,60°故选B.6．如图有四条互相不平行的直线l1、l2、l3、l4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论正确的是（）A．∠2=∠4+∠7B．∠3=∠1+∠7C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°【答案】B【解析】A、∵∠2=∠10+∠9，∠10=∠7，∠9≠∠4，∴∠2=∠4+∠7不成立，故本选项错误；B、∵∠3=∠8+∠10，∠8=∠1，∠10=∠7，∴∠3=∠1+∠7，故本选项正确；C、∠4=∠8+∠6，∠8=∠1，∴∠4=∠1+∠6，∴无法说明∠1+∠4+∠6=180°，故本选项错误；D、根据多边形的外角和定理，∠2+∠4+∠5=360°，∵l3、l4不平行，∴∠3≠∠4，∴∠2+∠3+∠5=360°不成立，故本选项错误．故选B．7．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝()A．80°B．70°C．60°D．90°【答案】A【解析】∵AB∥CD，∠1=45°，∴∠C=∠1=45°．∵∠2=35°，∴∠3=∠2+∠C=35°+45°=80°．故选A．8．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，则∠B的度数是()A．33°B．23°C．27°D．37°【答案】B【解析】如图，延长CD交AB于E，∵∠C=38°，∠A=37°，∴∠1=∠C+∠A=38°+37°=75°，∵∠BDC=98°，∴∠B=∠BDC-∠1=98°-75°=23°．故选：B．9．如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1＝70°，∠2＝30°，则∠3的度数为()A．30°B．40°C．45°D．50°【答案】B【解析】∵CE平分∠ACD，∴∠1=∠ECF，∵FG∥CE，∴∠F=∠ECF，∵∠FCD=∠3+∠BAC，∠BAC=∠2+∠F，∴∠FCD=∠3+∠2+∠F，∴∠1+∠ECF=∠3+∠2+∠F，∴∠2+∠3=∠1，又∵∠1=70°，∠2=30°，∴∠3=70°-30°=40°，故选B．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90︒，AD⊥BC于D，则图中互余的角有A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】∵∠BAC=90°∴∠B+∠C=90°①；∠BAD+∠CAD=90°②；又∵AD⊥BC，∴∠BDA=∠CDA=90°，∴∠B+∠BAD=90°③；∠C+∠CAD=90°④。

第7 讲全等三角形的综合、角平分线第一部分知识梳理知识点一：全等三角形的综合⑴ 平移全等型知识点二：角平分线的性质⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3．OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，知识点三：角平分线的作法角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D 两点；②分别以C、D 为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P 作射线OP，射线OP即为所求．第二部分考点精讲精练考点1、三角形全等综合1、全等三角形实际应用1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B 间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过 D 点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ ACB≌△ECD的理由是（）A. SASB. ASAC. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N 的距离，如果△PQO≌△ NMO，则只需测出其长度的线段是（B ）A．PO B．PQ C．MO D．MQ2）1）3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点 B 处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0 的方向打孔，结果钻头正好从点 B 处打出．这是什么道理？4、1805 年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O 处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0 处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B 的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图① ，先在平地取一个可直接到达A，B 的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B 的距离．乙：如图② ，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．丙：如图③ ，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠ BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B 的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有____ ；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．2、证两次全等相关问题1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED ∠, B= ∠E,AF ⊥ CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.3、如图， AB=AD ，BC=DE ，且 BA ⊥AC ，DA ⊥AE ，你能证明 AM=AN 吗？2、已知：如图， AB=CD ，BC=DA ，AE=CF ．求证： BF=DE ．EC⊥BF.2、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC 于F，若BD=AD，DE=DC。

前言：该专题突破讲义由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、知识点，精心编辑而成。

以高质量的专题突破讲义助力考生查漏补缺，在原有基础上更进一步。

（最新精品专题突破讲义）角的相关计算和证明（讲义）➢课前预习背默我们到目前学习过的定理：（1）平行线：判定：①_______________，两直线平行；②_______________，两直线平行；③_______________，两直线平行．性质：①两直线平行，_______________；②两直线平行，_______________；③两直线平行，_______________．（2）余角、补角、对顶角：同角（等角）的余角__________；同角（等角）的补角________；对顶角_ _______．（3）三角形：三角形的内角和等于_______；直角三角形两锐角________；三角形的外角等于______________________________．➢知识点睛在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________；由垂直想到__________________、____________________；由外角想到________________________________________．➢精讲精练1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则∠BCE =_________．FE D CBA 2. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，∠A =40°，DC 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，则∠EDC =_____．ED C B A G F EDC B A第2题图 第3题图3. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接D G ，AE ⊥DG 于点E ，CF ⊥DG 于点F ．若∠DAE =25°，则∠GCF =_________．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠FAG =45°，∠CAG =20°，则∠AEB =_______，∠ADC =________．GF E DC B A G F E DC A第4题图 第5题图。

第2讲多边形及其内角和知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习多边形及其内角和，首先要学会判断凸多边形和凹多边形，然后要学会计算多边形的内角和和外角和，能够处理多边形的一些基础题目。

知识梳理讲解用时：20分钟凸多边形、凹多边形1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2、凸多边形：如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个钝角。

3、凹多边形：如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是钝角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。

目前我们研究的都是凸多边形1、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

2、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

4、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

从同一个顶点引出对角线的条数：0 1 2 3 n-3 （n≥3）分割出三角形的个数：0 2 3 4 n-2 （n≥3）多边形内角和：180° 360° 540° 720° (n-2)·180°课堂精讲精练【例题1】设四边形内角和等于，五边形外角和等于，则与之间的关系是（ ） A.B.C.D.【答案】B【解析】四边形的内角和是360°，多边形的内角和也是360°.解：多边形边数为，则内角和为，四边形内角和，多边形外角和为， 五边形外角和， 因此． 故正确答案为：．讲解用时：2分钟解题思路：此题比较简单，熟记多边形的内角和和外角和公式做题即可. 教学建议：掌握多边形的内角和和外角和公式，灵活做题.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习1.1】下列图形中，多边形有（ ）总结：1、多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

第2讲与三角形有关的角三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°。

①如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，②过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.(3)理解与延伸：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°．(4)作用：求角度，尤其是三角形中的角度计算。

【例1－1】填空：(1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝________°，∠C＝_________°.【例1－2】如图，在△ABC中，∠CAB=∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线，求∠ADC 的度数.【例1－3】如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东15°方向,C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数。

【例1－4】若等腰三角形的一内角为40°，则顶角为（ ）A. 40°B. 100°C. 70°或40°D.40°或100°直角三角形的性质与判定(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．如图所示，在Rt △ABC 中，如果∠C ＝90°，那么∠A ＋∠B ＝90°.【例2－1】 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是 ( )． A ．43° B ．47° C ．30° D ．60°【例2－2】 如图所示，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，求证：△EPF 是直角三角形．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。

人教版八年级数学11.2复习及习题11.2教案备课人：备课日期：年月日四、习题指导复习巩固1.求下列图形中x的值：【解析】利用三角形的内角和定理列出方程求解。

2.（1）一个三角形最多有几个直角，为什么？（2）一个三角形最多有几个钝角，为什么？（3）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？【解析】一个三角形只能有一个直角或一个钝角，因为有两个直角或钝角时，三个内角的和就超过了180°。

因为三角形的一个顶点处的外角和相邻的内角互为补角，而直角三角形的内角是一个直角和两个锐角，所以它的外角就只能是直角或钝角，不可以是锐角。

3.△ABC中，∠B=∠A+ 10°，∠C=∠B+10°。

求△ABC各角的度数。

【解析】可设∠A为x°，根据内角和定理列方程解答。

4.如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°。

求∠BAC的度数。

【解析】根据锐角三角形两个内角互余，分别求出∠1和∠DAC，求其和即得∠BAC的度数。

综合运用5.如图，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°.求∠1和∠2的度数.【解析】根据平行线的性质得∠2=∠A=40°。

根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠1=∠D+∠2=85°.【答案】∠2=40°，∠1=85°.6.如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=∠E，求∠C的度数.【解析】记AE与CD的交点为F。

∵AB∥CD，∴∠DFE=∠A=45°.F∵∠DFE是△CEF的外角，∠C=∠E，∴ 2∠C=∠DFE=45°.∴∠C==22.5°.7.如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数.【解析】根据方位角和平行线的性质,得∠ABC=80°-45°=35°,∠BAC=45°+15°=60°。

三角形的内角和定理人教八上初中数学试卷金戈铁骑整理制作11-4一、学习目标理解“三角形的内角和等于180°”及证明过程；证明“三角形内角和定理”，体会证明中辅助线的作用，尝试用多种方法证明三角形内角和定理；运用三角形内角和定理解决问题．二、知识回顾拼拼看，将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角？三、新知讲解1．三角形内角和定理定理三角形三个内角的和等于180°符号语言在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°图示2．三角形内角和定理的证明已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．〖方法1〗证明：过A点作DE∥BC，∵DE∥BC，（已作）∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，（两直线平行，内错角相等）∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，(平角=180°)∴∠BAC+∠B+∠C=180°，(等量代换)〖方法2〗证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．∵CE∥BA，∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等），∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等），∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，(平角=180°)∴∠A+∠B+∠ACB=180°．(等量代换)3．三角形内角和定理的应用（1）已知三角形的两个内角，利用三角形内角和定理可求第三个角；（2）已知各角之间的关系，利用三角形内角和定理可求各角．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．三角形的内角和定理【例1】（2014春•靖江市校级月考）若一个三角形的三个内角之比为3：4：5，则它的最大内角的度数是（）A．80°B．75°C．90°D．108°总结：给出三角形三个内角的比求内角度数时，通常要设未知数，通过列方程求解．【例2】（2014•重庆校级模拟）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=45°，则∠A的度数为（）A．65°B．75°C．85°D．95°总结：关于三角形与平行线结合的问题，求解时，先从平行线的性质入手，把有关角转化到三角形中，再利用三角形的内角和定理求解．【例3】（2014秋•太和县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP 平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A．100°B．110°C．115°D．120°总结：三角形中两内角平分线相交组成的角等于90°与第三个内角一半的和.练1．（2015•重庆模拟）在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，则∠C的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．30°练2．（2014秋•安庆期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形练3．（2014春•通川区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．2．三角形内角和定理的实际应用【例4】如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，若轮船行驶到C处时测得∠BAC=55°，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？总结：1．“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少.2．在有关方位角的计算中，常常构造三角形，在三角形中计算角的度数.练4．（2010•石家庄二模）如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1=38°，∠2=23°，则桥面断裂处夹角∠BCD为________度．一、选择题1．（2014•江北区模拟）在△ABC中，已知∠A=3∠C=54°，则∠B的度数是（）A．90°B．94°C．98°D．108°2．（2014春•合川区校级期中）已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形3．（2014春•江阴市校级期中）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）A．50°B．40°C．70°D．35°4．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角∠C 的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°二、填空题5．（2014秋•宁津县校级月考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A=，∠C=．6．（2014•徐州二模）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=35°，∠AOB=75°，则∠C=．7．（2013春•苏州期末）如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=30°，∠B=60°，则∠DCE=．三、解答题8．（2014春•庐江县期末）如图，已知∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∠1=35°，求∠D的度数．9．（2012春•中山区期中）已知，如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数．10．（2011春•宣威市校级月考）如图所示，已知图①五角星ABCDE，将图①中的A点向下移动得到图②，将图①中的C点向上移动得图③，对于五角星及五角星的变形图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的和为多少度？并选择一图加以说明．典例探究答案：【例1】（2014春•靖江市校级月考）若一个三角形的三个内角之比为3：4：5，则它的最大内角的度数是（）A．80°B．75°C．90°D．108°分析：设三角形的三个内角的度数分别为3x、4x、5x，根据三角形内角和定理得到3x+4x+5x=180°，然后解方程求出x后计算5x即可．解答：解：设三角形的三个内角的度数分别为3x、4x、5x，所以3x+4x+5x=180°，解得x=15°，所以5x=75°．故选B．点评：本题考查了三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．【例2】（2014•重庆校级模拟）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=45°，则∠A的度数为（）A．65°B．75°C．85°D．95°分析：根据平行线的性质可得∠C=∠AED=45°，再利用三角形内角和为180°可以计算出∠A的度数．解答：解：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=45°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，故选：B．点评：此题主要考查了三角形内角和定理，即三角形内角和为180°．【例3】（2014秋•太和县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A．100°B．110°C．115°D．120°分析：根据三角形内角和定理计算．解答：解：∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=25°，∠PCB=40°，∴∠BPC=115°．故选C．点评：此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．练1．（2015•重庆模拟）在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，则∠C的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．30°分析：根据已知条件求出∠B的度数，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．解答：解：∵4∠B=104°，∴∠B=26°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣104°﹣26°=50°．故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出∠B的度数，然后列出∠C的表达式是解题的关键．练2．（2014秋•安庆期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形分析：已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．解答：解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为3k°，4k°，5k°．则3k°+4k°+5k°=180°，解得k°=15°，∴5k°=75°，3k°=45°，4k°=60°，所以这个三角形是锐角三角形，故选A．点评：此题主要考查三角形的按边分类，直接根据三角形三个内角的度数比来判断是解题的关键．练3．（2014春•通川区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．分析：由三角形的内角和定理，可求∠BAC=70°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=35°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=25°，所以∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°．解答：解：在△ABC中，∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=35°．又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°﹣∠B=25°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°．点评：本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理，一定要熟稔于心．【例4】如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，若轮船行驶到C处时测得∠BAC=55°，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？分析：根据方位角就可求得BA与正北方向的夹角，即可得到∠ABC，在△ABC中，根据三角形内角和定理即可求得∠ACB的度数．解答：解：∵∠BAE=30°，∴∠ABD=30°，∴∠ABC=∠DBC-∠ABD=75°-30°=45°．在△ABC中，根据三角形内角和定理得到：∠ACB=180°-45°-55°=80°，即从C处看A，B两处的视角∠ACB是80°．点评：本题主要考查了方位角的定义，以及三角形的内角和定理．练4．（2010•石家庄二模）如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1=38°，∠2=23°，则桥面断裂处夹角∠BCD为_____度．分析：连接BD，根据对顶角相等得到∠1=∠4=38°，∠2=∠3=23°，然后根据三角形内角和定理进行计算即可．解答：解：连接BD，如图，∵∠1=∠4=38°，∠2=∠3=23°，∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-23°-38°=119°．故答案为：119．点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了对顶角相等．课后小测答案：一、选择题1．（2014•江北区模拟）在△ABC中，已知∠A=3∠C=54°，则∠B的度数是（）A．90°B．94°C．98°D．108°解：如图所示：∵∠A=3∠C=54°，∴∠C=18°，∴∠B的度数是：180°﹣∠A﹣∠C=108°．故选：D．2．（2014春•合川区校级期中）已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形解：∵∠A=20°，∴∠B=∠C=（180°﹣20°）=80°，∴三角形△ABC是锐角三角形．故选A．3．（2014春•江阴市校级期中）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）A．50°B．40°C．70°D．35°解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣2（∠DBC+∠BCD）∵∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠BCD），∴∠A=180°﹣2（180°﹣∠BDC）∴∠BDC=90°+∠A，∴∠A=2（110°﹣90°）=40°．故选B．4．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°解：∵△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°．故选B．二、填空题5．（2014秋•宁津县校级月考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A=，∠C=．解：设∠A=2x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，∵∠A+∠B+∠C=180°，即：2x°+3x°+4x°=180°，解得：x=20∴∠A=40°，则∠B=60°，∠C=80°，故答案为：40°、80°6．（2014•徐州二模）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=35°，∠AOB=75°，则∠C=．解：∵∠A=35°，∠AOB=75°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°﹣35°﹣75°=70°．又∵AB∥CD，∴∠C=∠B=70°．7．（2013春•苏州期末）如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=30°，∠B=60°，则∠DCE=．解：∵∠A=30°，∠B=60°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=90°，∵CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∴∠BCE=∠ACB=45°，∠BDC=90°，∴∠BCD=90°﹣∠B=30°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=45°﹣30°=15°．故答案为：15°．三、解答题8．（2014春•庐江县期末）如图，已知∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∠1=35°，求∠D的度数．解：∵∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=35°，又∵∠1=35°，∴∠D=180°﹣（∠1+∠DAC）=180°﹣（35°+35°）=110°．9．（2012春•中山区期中）已知，如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数．解：∵AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，又∠BAC+∠DCA=180°⇒∠CAE+∠ACE=（∠BAC+∠DCA）=90°，∠E=180°﹣（∠CAE+∠ACE）=90°，∴∠E=90°．10．（2011春•宣威市校级月考）如图所示，已知图①五角星ABCDE，将图①中的A点向下移动得到图②，将图①中的C点向上移动得图③，对于五角星及五角星的变形图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和为多少度？并选择一图加以说明．解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，图①：∵∠A+∠D=∠BNM，∠E+∠C=∠BMN，（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），又∵∠B+∠BNM+∠BMN=180∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．图②：延长AD交BE于点F，再根据三角形外角的性质解答；③同①，∵∠A+∠C=∠1，∠B+∠E=∠2，∠1+∠2+∠D=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．。

角的相关计算和证明（讲义）课前预习背默我们到目前学习过的定理： （1）平行线： 判定：①_______________，两直线平行； ②_______________，两直线平行； ③_______________，两直线平行． 性质：①两直线平行，_______________； ②两直线平行，_______________； ③两直线平行，_______________． （2）余角、补角、对顶角：同角（等角）的余角__________；同角（等角）的补角________；对顶角________． （3）三角形：三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________；三角形的外角等于______________________________．知识点睛在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、____________________； 由外角想到________________________________________．精讲精练1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则∠BCE =_________．F ED CBA2. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，∠A =40°，DC 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D作DE ∥BC 交AC 于点E ，则∠EDC =_____．EDBAG FEDCBA第2题图第3题图3. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，AE ⊥DG 于点E ，CF ⊥DG 于点F ．若 ∠DAE =25°，则∠GCF =_________．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠FAG =45°，∠CAG =20°，则∠AEB =_______，∠ADC =________．GFE DCBAG FEDCA第4题图第5题图5. 如图，ED ⊥AB 于点D ，EF ∥AC ，∠A =35°，则∠DEF =______．6. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________．21PDCBA7. 如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为点O ，∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求证：AB ∥CD ．21O E BA8. 如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数．9. 如图，直线AD 分别与直线BF ，EG 相交于点C ，D ．若∠D=∠A+∠B ，∠BFE =75°，∠G =35°，求∠EFG 的度数．FEDCBAE DCA10.如图，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE．求证：∠A=2∠P．证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC （_____________________）∴∠ABC=2∠PBC=2α（_____________________）∵CP平分∠ACE （_____________________）∴∠ACE=______=_______ （_____________________）∵∠ACE是△ABC的一个外角（_____________________）∴∠ACE =∠ABC+∠A （_____________________）∴_____=_____+∠A （_____________________）∵∠PCE是△BCP的一个外角（_____________________）∴___________________（_____________________）∴β=______+_______（_____________________）∴2β=2α+2∠P（_____________________）∴∠A=2∠P （_____________________）11.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．求证：1902D A∠=︒+∠．AB CDCBA【参考答案】课前预习（1）同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．（2）相等；相等；相等．（3）180°；互余；与它不相邻的两个内角的和．知识点睛同位角、内错角、同旁内角；直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 精讲精练 1. 20° 2. 40° 3.25°4. 65°，70°5. 125°6. 60°7. 证明：如图，21O E FD CBA∵EC ⊥AF （已知）∴∠COF =90°（垂直的定义）∴∠C +∠2=90°（直角三角形两锐角互余） ∵∠1+∠C =90°（已知） ∴∠1=∠2（同角的余角相等） ∵∠2=∠D （已知） ∴∠1=∠D （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） 8. 解：如图，E D C A在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°（已知）∴∠BAC =180°-∠B -∠C=180°-35°-75°=70°（三角形的内角和等于180°）∵AE 平分∠BAC （已知）∴∠BAE =12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵∠AED是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠B+∠BAE=35°+35°=70°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵AD⊥BC（已知）∴∠ADE=90°（垂直的定义）∴∠AED+∠EAD=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠EAD=90°-∠AED=90°-70°=20°（等式的性质）9.解：如图，∵∠ACF是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACF=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠A+∠B（已知）∴∠ACF=∠D（等量代换）∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）∴∠BFE=∠FEG（两直线平行，内错角相等）∵∠BFE=75°（已知）∴∠FEG=75°（等量代换）在△FEG中，∠FEG=75°，∠G=35°（已知）∴∠EFG=180°-∠FEG-∠G=180°-75°-35°=70°（三角形的内角和等于180°）10.证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC （已知）∴∠ABC=2∠PBC=2α（角平分线的定义）∵CP平分∠ACE （已知）∴∠ACE=2∠PCE=2β（角平分线的定义）∵∠ACE是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACE=∠ABC+∠A （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴2β=2α+∠A （等量代换）∵∠PCE是△BCP的一个外角（外角的定义）∴∠PCE=∠PBC+∠P（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴β=α+∠P（等量代换）∴2β=2α+2∠P（等式的性质）∴∠A=2∠P （等式的性质）11.证明：如图，设∠DBC=α，∠DCB=β∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠DBC=2α（角平分线的定义）∵CD平分∠ACB（已知）∴∠ACB=2∠DCB=2β（角平分线的定义）∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（三角形的内角和等于180°）∴2α+2β+∠A=180° （等量代换）∴1902∠Aαβ++=︒（等式的性质）∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°（三角形的内角和等于180°）∴α+β+∠D=180°（等量代换）∴1902D A∠=︒+∠（等式的性质）。

第十一章《三角形》与三角形有关的角证明题及解答题训练1.已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数．2.已知，如图△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，求∠BOC的度数．3.已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线．求∠DAE的度数．4.已知：AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，且AD∥BC．求证：∠B＝∠C．5.已知，如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC内任一射线，交CE于E．求证：∠EBC＜∠ACE．6.已知：如图P是△ABC内任一点，(1)求证：AB＋AC＞BP＋PC．(2)求证：∠BPC＞∠A．7.如图，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线，求∠DAE的度数．8.如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F.（1）填空：∠AFC=______度；（2）求∠EDF的度数.9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC.若∠ABC＝64°，∠AEB＝70°，求∠CAD的度数．10.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.（此题为求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数）(1)若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数；(2)若∠C－∠B＝30°，求∠DAE的度数；(3)若∠C－∠B＝α(∠C＞∠B)，求∠DAE的度数(用含α的代数式表示)．11-1.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，求∠A。

11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15° B．20° C．25° D．30°2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20° C．25° D．30°5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案:1．C 解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC ，∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC ，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°. （法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°，因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=12∠ABC，∠PAC=12∠BAC ，所以∠DBC＋∠PAD=45°. 所以∠APB=∠PDA＋∠PAD =∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B 解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即∠P=50°－12（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=1∠ACB=34°．2∵CE是AB边上的高，∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°．∴∠DCE=34°－18°=16°．（∠B－∠A）．（2）∠DCE=126．（1）证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．证明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）=180°+180°=360°．别浪费一分一秒——如何利用零散时间学人们常说,时间是公平的,每个人的一天只有24个小时,所以应该珍惜时间去充实自己。

专题三角平分线的性质与判定一、单选题1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=15，且BD:CD=3:2，则点D到AB的距离为（）2345．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，AB+BC+CA=18，过O作OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是．6．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE7得8910．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N 两点，AB=6，ΔAMN的周长是15．则AC的长为．三、解答题11．如图1，△ABC的两条外角平分线AO，BO相交于点O，∠ACB=50°．(1)直接写出∠AOB的大小；(2)如图2，连接OC交AB于K．①求∠BCK的大小；②如图3，作AF⊥OC于F，若∠BAC=105°，求证：AB=2CF．12．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，若∠ABC=60°，FD=10，求DC的长．13．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M是BC边上的一点，且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,求证：(1)BM=MC；(2)AM⊥MD．14．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．(1)如图1，△ABC中，AB=AC,∠A=36°，求证：△ABC是倍角三角形；(2)如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．15．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，设∠ABC=α．(1)α=50°时，求∠DFC的度数；(2)证明：BE∥DF．16．在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．(1)如图1，若∠C=32°，则∠AOB=________；(2)如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB；(3)如图3，若∠ABC=2∠ACB，AB=4，AC=7，求OB的长．17．如图，在△ABC中，D在BC边的延长线上，∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，已知∠B=30°，∠E=40°，求证：AE=CE．18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，点E为BC的中点，DE平分∠CDA.(1)求证：AD=AB+CD；(2)若S△CDE=3，S△ABE=4，则四边形ABCD的面积为______.（直接写出结果）19．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O与AB，AC分别相交于点M，N，且MN∥BC．(2)已知AB=7，AC=6，求△AMN的周长．参考答案题号12答案B B1．B【分析】本题考查的是角平分线的性质，作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD=DE，根据题意求出CD的长即可．∵∴∵∴2∴3【详解】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论：如图1所示：根据∠B=40°，∠C=70°可得：∠BAC=70°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=35°，则∠DAE=35°-20°=15°；如图2所示：根据∠B=40°，∠ACD=70°可得：∠BAC=30°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=15°，则∠DAE=15°+20°=35°.点睛：对于这种在三角形中求角度问题的时候，如果题目中没有给出图形，我们首先一定要根据题意画出图形，然后根据图形求出角的度数.特别要注意分类讨论的思想，在画图时一定要注意锐角三角形和钝角三角形两种情况.在画垂线的时候要注意高线在三角形内部和三角形外部两种情况.4．3：2【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到DE=CD，再根据三角形面积公式解答即可．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是Rt△ABC的角平分线，CD⊥AC,DE⊥AB∴DE=CDS△ABD S△ACD =12AB⋅DE12AC⋅CD=ABAC=128=32故答案为：3：2．【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．5．27【分析】作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE=OD=3和OF=OD=3，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB，∴OE=OD=3，同理OF=OD=3，∵AB+BC+CA=18．∴△ABC的面积=12×AB×3+12×AC×3+12×BC×3=27．故答案为：27．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．4【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM =PE =2，PE =PN =2，即可得出答案．【详解】解：过点P 作MN ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ，∴AP ⊥BP ，PN ⊥BC ，∴PM =PE =2，PE =PN =2，∴MN =2+2=4．故答案为：4．7．2【分析】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，由题意得，PE=PD=PF ， S △APC +S △APB +S △BPC =S △ACB ，∴12AC·PE+12AB·PD+12BC·PF=12AC·BC ，即12×12·PD+12×13•PD+12×5•PD=12×5×12，解得，PD=2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．8．60【分析】根据五边形的内角和求出∠BCD和∠CDE的和，再根据角平分线及三角形内角和求出∠CPD．【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，（∠BCD+∠CDE）＝120°，∴∠PDC+∠PCD＝12∴∠CPD＝180°﹣120°＝60°．故答案是：60．【点睛】本题解题的关键是知道多边形内角和定理以及角平分线的性质．9．5【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，利用角平分线的性质可得PF=PG=PE，然后根据三角形的面积求出PF=PE=PG=2，再利用△OMP的面积+△ONP的面积−△PMN的面积=4，进行计算即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，∴PF=PG=PE，∵MN=1，△PMN的面积是1，∴ 12MN ⋅PF =1，∴PF =2，∴PG =PE =2，∵△OMN 的面积是4，∴△OMP 的面积+△ONP 的面积−△PMN 的面积=4，∴ 12OM ⋅PG +12ON ⋅PE−1=4，∴OM +ON =5．故答案为：5．10．9【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MOB 和△NOC 是等腰三角形，从而可得MO =MB ，NO =NC ，然后利用等量代换可得ΔAMN 的周长=AB +AC ，从而进行计算即可解答．【详解】解：∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC ，∠ACO =∠OCB ，∵MN ∥BC ，∴∠MON =∠OBC ，∠NOC =∠OCB ，∴∠ABO =∠MON ，∠ACO =∠NOC ，∴MO =MB ，NO =NC ，∵△AMN 的周长是15，∴AM +MN +AN =15，∴AM +MO +ON +AN =15∴AM +MB +NC +AN =15，∴AB +AC =15，∵AB =6，∴AC =15−6=9，故答案为：9．11．(1)65°；(2)①25°；②证明见解析．【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠CBA +∠CAB =130°，则∠EBA +∠BAD =230°，再由角平分线的定义求出∠OBA +∠OAB =115°，根据四边形内角和求出∠AOB 即可；（2）①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，根据角平分线的性质求解即可；②先求出KB=KC，过点A作AH∥BC交CO于点H，再求出KA=KH，则AB=CH，分别求出AH=AC，HF=CF，即可得出结论．【详解】（1）解：∵AO平分∠BAD，∴∠DAO=∠OAB，∵BO平分∠EOA，∴∠EBO=∠OBA，∵∠ACB=50°，∴∠CBA+∠CAB=130°，∴∠EBA+∠BAD=360°−130°=230°，∴∠OBA+∠OAB=115°，∴∠AOB=360°−50°−115°−130°=65°；（2）解：如图2，①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，∵AO、BO分别平分∠DAB、∠EBA，∴OM=OP，OP=ON，∴OM=ON，∴CO平分∠ACB，∵∠ACB=50°，∴∠BCK=∠ACK=25°；②证明：∵∠BAC=105°，∠ACB=50°，∴∠ABC=25°，∵∠KCB=25°，∴∠KBC=∠KCE，∴KB=KC，如图3，过点A作AH∥BC交CO于点H，∴∠AHK=∠KCB，∠HAK=∠KBC，∴∠AHK=∠HAK，∴KA=KH，∴AB=CH，∵∠AHK=∠ACH，∴AH=AC，∵AF⊥CO，∴HF=CF，∴CH=2CF，∴AB=CH=2CF．12∴∵∴∴∵∴∴故DC=5．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，四边形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握各性质与定理．13．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM，等量代换得到答案．（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；【详解】（1）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14．(1)见解析(2)△ADC和△ABC是倍角三角形，见解析【分析】（1）利用等边对等角及三角形的内角和求出∠B=∠C=72°，得到2∠A=∠C即可；（2）根据SAS证明△ABD≌△AED，得到∠ADE=∠ADB，BD=DE，证明CE=DE，得出∠C=∠BDE=2∠ADC，可得出∠ABC=2∠C．则结论得证．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°，∴2∠A=∠C，即△ABC是倍角三角形；（2）解：△ADC和△ABC是倍角三角形，证明如下：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠EAD，∵AB=AE，AD=AD，∴∴又∴∴∴∴∵15(2)∠EBC=∠DFC即可得出结论．【详解】（1）解：在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=α，α=50°，∴∠ADC=360°−∠A−∠C−∠ABC=130°，∵DF平分∠CDA，∠ADC=65°，∴∠FDC=12∴∠DFC =90°−65°=25°；（2）证明：在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠ABC =α，∴∠ADC =360°−∠A−∠C−∠ABC =180°−α，∵DF 平分∠CDA ，∴∠FDC =12∠ADC =12(180°−α)，∴∠DFC =90°−12(180°−α)=12α，∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC =12α，∴∠EBC =∠DFC ，∴BE ∥DF ．16．(1)106°；(2)见解析；(3)3；【分析】（1）本题考查与角平分线有关的三角形内角和关系，根据∠C =32°得到∠CAB +∠CBA ，再结合角平分线求出∠CAO +∠CBO ，即可得到答案；（2）本题考查角平分线判定与性质，过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，根据角平分线性质得到OD =OF =OE ，结合角平分线的判定即可证明；（3）本题主要考查三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据截长补短作出辅助线，在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，证明△ABO≌△ADO ，即可得到答案；【详解】（1）解：∵∠C =32°，∴∠CAB +∠CBA =180°−32°=148°，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠CAO +∠CBO =148°2=74°，∴∠AOB =180°−74°=106°；（2）证明：过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴OD =OF ，OD =OE ，∴OC 平分∠ACB ；（3）解：在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，设∠ACO =∠BCO =α，∵∠ABC =2∠ACB ，∴∠ABC =4α，∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO =∠CBO =2α，∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAO =∠DAO ，在△ABO 与△ADO 中，AO =AO ∠BAO =∠DAO AB =AD，∴△ABO≌△ADO(SAS)，∴∠ABO =∠ADO =2α，OB =OD,AB =AD =4，又∵∠ACO =α，∴∠ACO =∠DCO =α，∴OD =OC =AC−AD =7−4=3，∴OB =3．17．证明见解析【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质以及等腰三角形的判定和三角形内角和定理的应用，根据外角的性质求出∠ECD=702，由角平分线的定义得∠ACE=∠ECD=70°，根据三角形内角和定理求出∠CAE=70°，可得∠ACE=∠CAE，从而可得结论．【详解】证明：∠B=30°，∠E=40°，∴∠ECD=∠B+∠E=70°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=70°，在△ABE中，∠ACE+∠E+∠CAE=180°，∴∠CAE=180°−∠ACE−∠E=180°−70°−40°=70°，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE．18．(1)见解析(2)14【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．（1）过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线的性质得出CE=EF，再证明△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，根据全等三角形的性质得出AB=AF，DC=DF，进而得出结论；（2）由△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，推出S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，据此求解即可．【详解】（1）证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠C=90°，AB∥CD，∴∠B=90°，∵DE平分∠CDA，∴CE=EF，∴Rt△CED≌Rt△FED(HL)，∴DC=DF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AFE(HL)，∴AD=AF+FD=AB+CD；（2）解：∵△CED≌△FED，△ABE≌△AFE，∴S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，∵S∴19(2)（（∴∴∴（∴∵∴∴∠BOM=∠ABO，∴BM=OM，同理可得：CN=ON，∴MN=OM+ON=BM+CN，∵AB=7，AC=6，∴△AMN的周长是AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=13．。

角的相关计算和证明（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ．若∠ADE =80°，∠EAC =20°，则 ∠B =_______．思路分析 ①读题标注：②梳理思路：从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠DAE =10°，∠C =70°； 由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°；把∠B 看作△ABC 的一个内角，则∠B =180°-60°-70°=50°．（思路不唯一，也可将∠B 看作△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解．）➢ 巩固练习1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 上一点．若AC⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______．AB C DE21C B A第1题图第2题图2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2=____________．3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（）80°20°ACE D B D E CAA．120°B．115°C．110°D．105°DAFEB C FDA第3题图第4题图4.已知：如图，在△ABC中，∠A:∠B=1:2，DE⊥AB于E，且∠FCD=60°，则∠D=（）A．50°B．60°C．70°D．80°5.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠A=2∠BCD．DBA证明：如图，设∠BCD=α∵CD⊥AB（已知）∴∠BDC=90°（垂直的定义）∴∠BCD+_____=90°（_________________________）∴2α+2∠B=180°（等量代换）∵_____________________（_________________________）∵∠B=∠ACB（已知）∴∠A+2∠B=180°（等量代换）∴∠A=2α（同角的补角相等）即∠A=2∠BCD6.已知：如图，AB∥DE，∠1=∠ACB，AC平分∠BAD．求证：AD∥BC．A D7.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于F．若∠B=30°，∠C=70°，求∠DEF的度数．8.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC延长线于点M．已知∠ACB=70°，∠B=40°，求∠M的度数．FED CBA➢思考小结1.我们在做几何证明题的时候，可以从已知出发，看条件如何用，比如看到平行线，考虑___________________________，看到垂直考虑______________________，__________________________；也可以从目标出发，根据目标倒推，比如把角看作什么角，看作三角形的一个内角考虑__________________，看作外角考虑_______________________________________．2.阅读材料我们是怎么做几何题的？例1：已知：如图，DE∥BC，EF∥AB，∠DEF=50°，∠C=70°，求∠A的度数．A第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上；（请把条件标注图上）第二步：走通思路，要求∠A的度数，怎么想？要求∠A，可以把∠A看作△ABC的一个内角，∠C度数已知，只需求出∠B 的度数即可；结合题中的条件，由DE∥BC，∠DEF=50°得∠EFC=∠DEF=50°，再由EF∥AB得∠B=∠EFC=50°；最后，利用三角形的内角和等于180°，得∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°．第三步：规划过程过程分成三块：①由DE∥BC，∠DEF=50°得∠EFC=∠DEF=50°；②由EF∥AB得∠B=∠EFC=50°；③利用三角形内角和定理求∠A．第四步：书写过程【参考答案】➢巩固练习1.60°2.270°3. B4. A5.证明：如图，设∠BCD =α∵CD ⊥AB （已知）∴∠BDC =90° （垂直的定义） ∴∠BCD+∠B=90°（直角三角形两锐角互余） ∴2α+2∠B=180°（等量代换）∵∠A+∠B+∠ACB =180°（三角形的内角和等于180°） ∵∠B =∠ACB （已知）∴∠A+2∠B =180°（等量代换） ∴∠A=2α（同角的补角相等） 即∠A =2∠BCD 6. 证明：如图，A B CDE F1∵AB ∥DE （已知）∴∠1=∠BAC （两直线平行，同位角相等） ∵AC 平分∠BAD （已知）∴∠DAC =∠BAC （角平分线的定义） ∴∠1=∠DAC （等量代换） ∵∠1=∠ACB （已知） ∴∠DAC =∠ACB （等量代换）∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行） 7. 解：如图，在△ABC 中，∠B =30°，∠C =70°（已知）∴∠BAC=180°-∠B -∠C =180°-30°-70°=80°（三角形的内角和等于180°）∴∠EDF =∠B+∠BAD （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠B=30°（已知）∴∠EDF=30°+40°=70°（等量代换）∵EF⊥BC（已知）∴∠EFD=90°（垂直的定义）∴∠EDF+∠DEF=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠DEF=90°-∠EDF=90°-70°=20°（等式的性质）8.解：如图，在△ABC中，∠ACB=70°，∠B=40°（已知）∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B=180°-70°-40°=70°（三角形的内角和等于180°）∵AD平分∠BAC（已知）∴∠DAC=12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵EF⊥AD（已知）∴∠APF=90°（垂直的定义）∴∠AFP+∠DAC =90°（直角三角形两锐角互余）∴∠AFP=90°-∠DAC=90°-35°=55°（等式的性质）∵∠CFM=∠AFP（对顶角相等）∴∠CFM=55°（等量代换）∵∠ACB是△CFM的一个外角（外角的定义）∴∠ACB=∠M +∠CFM（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠M=∠ACB-∠CFM=70°-55°=15°（等式的性质）➢思考小结同位角、内错角、同旁内角，直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等；三角形的内角和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。

11.2 与三角形有关的角知识要点：1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180︒．（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．2.直角三角形的性质与判定（1）性质：直角三角形的两个锐角互余．在Rt ABC∠=︒，则90∠+∠=︒．A B△中，90C（2）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3.三角形的外角三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．4.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．一、单选题1．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°【答案】D【解析】解：∵AB∵CD，∵∵A＝∵FDE＝45°，又∵∵C＝30°．∵∵1＝∵FDE﹣∵C＝45°﹣30°＝15°，故选：D．2．如图，直线a∠b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B解：由三角形的外角性质可得，∵3＝∵1+∵B＝65°，∵a∵b，∵DCB＝90°，∵∵2＝180°﹣∵3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．故选：B．3．已知∠ABC中，∠A＝30°，则下列结论正确的是（）A．0°＜∠B＜60°B．90°＜∠B＜150C．0°＜∠B＜60°或90°＜∠B＜150°D．以上都不对【答案】D解：∵∵A+∵B+∵C＝180°，∵A＝30°，∵∵B+∵C＝150°，∵0°＜∵B＜150°，故选：D．4．若一个三角形三个内角度数的比为1:3:4,则这个三角形是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】A设三个内角度数分别为：x、3x、4x由三角形内角和定理得,x+3x+4x=180°解得, x=22.5°则3x=67.5°、4x=90°∵这个三角形是直角三角形故选：A5．在ABC △中，如果1126A B C ∠=∠=∠，则这个三角形一定是（ ）． A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 【答案】D∵在∵ABC 中，∵A ＝12∵B ＝16∵C ，∵A+∵B+∵C=180°， ∵16∵C+13∵C+∵C=180°， ∵∵C=120°，∵∵A=20°，∵B=40°，所以此三角形是钝角三角形．故选：D ．6．如图，在∠ABC 中，∠BAC=56°，∠ABC=74°，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，则∠BPC=（ ）A ．102°B ．112°C ．115°D ．118°【答案】D 解：∵在∵ABC 中，∵BAC=56°，∵ABC=74°，∵∵ACB=180°-∵BAC -∵ABC=50°，∵BP、CP分别平分∵ABC和∵ACB，∵∵PBC=37°，∵PCB=25°，∵∵BCP中，∵P=180°-∵PBC-∵PCB=118°，故选：D.7．如图，小丽画了一个三角形，不小心被墨水污染了，只剩下一个角（锐角）. 小丽画的三角形可能是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【答案】D∵此三角形只知道一个角为锐角，其它角可能有钝角或直角也可能是都是锐角，∵三角形可能为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有可能．故选：D．8．如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（）A．105°B．120°C．110°D．115°【答案】D由三角形的外角的性质可知：∵ADB=∵B+∵C=45°+38°=83°，∵DFE=∵ADB+∵A=83°+32°=115°，故选D．9．如图，把∠ABC纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3∠A=2∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B解：∵把∵ABC纸片沿着DE折叠，点A落在四边形BCED内部，∵∵1＋∵2＝180°−∵ADA′＋180°−∵AEA′＝180°−2∵ADE＋180°−2∵AED＝360°−2（∵ADE＋∵AED）＝360°−2（180°−∵A）＝2∵A．故选：B．10．∠ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝（）A．50°B．60°C．70°D．90°【答案】C解：∵C＝180°-50°-60°=70°，故选：C.11．如图，已知AB∠DE，∠ABC=75°，∠CDE=155°，则∠BCD的值为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】A解：延长ED交BC于F，如图所示：∵AB∵DE，∵ABC=75°，∵∵MFC=∵B=75°，∵∵CDE=155°，∵∵FDC=180°-155°=25°，∵∵C=∵MFC-∵MDC=75°-25°=50°，故选：A．12．已知直线l1∠l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝22°，则∠2等于()A．30°B．38°C．28°D．48°【答案】B解：∵∵3是∵ADG 的外角，∵∵3=∵A+∵1=30°+22°=52°，∵l 1∵l 2，∵∵3=∵4=52°，∵∵4+∵EFC=90°，∵∵EFC=90°-52°=38°，∵∵2=38°．故选：B ．二、填空题13．如图所示，请将12A ∠∠∠、、用“＞”排列__________________.【答案】21A ∠∠∠＞＞解：根据三角形的外角的性质得，∵2＞∵1，∵1＞∵A∵∵2＞∵1＞∵A ，故答案为：∵2＞∵1＞∵A ．14．在∠ABC 中，∠B ＝40°，过点A 的直线将这个三角形分成两个等腰三角形，则∠C 的度数为______________．【答案】20°或50°或80°解：应分四种情况进行讨论：当AD＝AC，AD＝BD时，如图∵所示，∵BAD＝∵B＝40°，∵C＝∵ADC.∵∵BAD＋∵B＋∵ADB＝180°，∵∵ADB＝180°－2×40°＝100°，∵∵ADC＝180°－∵ADB＝80°，∵∵C＝80°；当AC＝DC，BD＝AD时，如图∵所示，∵DAC＝∵ADC＝180°－∵ADB＝∵B＋∵BAD＝80°，∵∵C＝180°－∵ADC－∵DAC＝20°；当AD＝DC，AB＝AD时，如图∵所示，∵C＝∵DAC，∵ADB＝∵B＝40°.∵∵ADC＝180°－∵ADB＝140°，∵∵C＝12(180°－∵ADC)＝20°；当AD＝BD，AD＝CD时，如图∵所示，∵BAD＝∵B＝40°，∵ADC＝180°－∵ADB＝∵B＋∵BAD＝80°，∵C＝∵DAC＝12(180°－∵ADC)＝12×(180°－80°)＝50°.综上所述，∵C的度数为80°或20°或50°.15．如图,在∠ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A= 050，则∠BPC=_______.【答案】130°∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∵∵BDC=∵AEB=90°，∵∵ABE=90°-50°=40°，∵∵BPC=∵ABE+∵BDP=40°+90°=130°．故答案为：130°．16．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1=_____°.【答案】165°如图，根据题意知∵2=45°，∵3=60°，∵∵4=360°-90°-∵2-∵3=165°，∵∵1=∵4=165°17．如图所示,∠1=50°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为________【答案】260°.解：如图，∵D+∵F=∵2，∵A+∵E=∵3，∵∵A+∵D+∵E+∵F=∵2+∵3，∵∵1=50°，∵∵2+∵3=180°-50°=130°，∵4=50°，∵∵B+∵C=180°-50°=130°，∵∵A+∵B+∵C+∵D+∵E+∵F=260°.故答案为260°.18．已知∠A与∠B的两边一边平行，另一边垂直，∠A=x°，那么∠B等于_____．【答案】（90－x）°或（90+x）°．如图，∵DF∵AM，∵∵BDC=∵A=x．∵BC∵AN，∵∵BCA=90°，∵∵EBF=∵DBC=90°－∵BDC=90°－x°，∵FBC=90°+∵BDC=90°+x°．故答案为：（90－x）°或（90+x）°．19．一个正三角形和一副三角板（分别含30°和45°）摆放成如图所示的位置，且AB∠CD．则∠1＋∠2＝__________．【答案】75°解：连接AC，∵AB∵CD，∵∵BAC+∵ACD=180°，∵∵BAG=30°，∵ECD=60°，∵∵EAC+∵ACE=180°-30°-60°=90°，∵∵CED=60°，∵∵GEF=180°-90°-60°=30°，同理∵EGF=180°-∵1-90°=90°-∵1，∵GFE=180°-45°-∵2=135°-∵2，∵∵GEF+∵EGF+∵GFE=180°，即30°+90°-∵1+135°-∵2=180°，解得∵1+∵2=75°．故答案为：75°．三、解答题20．如图，在∠ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=60°，求∠DAC的度数.【答案】20°解：设∵1=∵2=x，则∵3=∵4=2x因为∵BAC=60°所以∵2 +∵4=120°即x+2x=120°所以x=40°所以∵3=∵4=80°，∵DAC=180°-∵3-∵4=20°21．如图，在∠ABC中，AD∠BC于点D，BE是∠ABC的平分线，已知∠ABC=040，求∠AOB 的度数。

2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼专题02 三角形内角外角问题一、选择题1. （2023湖北宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a ，b ，c ．如果170=°∠，则2Ð的度数为（ ）A. 110°B. 70°C. 40°D. 30°【答案】C 【解析】可求34570Ð=Ð+Ð=°，由25Ð=Ð，即可求解．如图，由题意得：430Ð=°，a b ∥，3170\Ð=Ð=°，34570Ð=Ð+Ð=°Q ，540\Ð=°，2540\Ð=Ð=°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理，掌握平行线的性质是解题的关键．2. （2023大连）如图，直线,45,20AB CD ABE D Ð=Ð=°°∥，则E Ð的度数为（ ）A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°【答案】B 【解析】先根据平行线的性质可得45ABE BCD ÐÐ==°，再根据三角形的外角性质即可得．,45AB CD ABE Ð=°Q ∥，45ABE BCD \=Ð=а，20D Ð=°Q ，25BCD D E Ð-Ð==\а，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．3. （2023内蒙古包头）如图，直线a b P ，直线l 与直线,a b 分别相交于点,A B ，点C 在直线b 上，且CA CB =．若132Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A. 32°B. 58°C. 74°D. 75°【答案】C 【解析】由CA CB =，132Ð=°，可得1801742CBA CAB °-ÐÐ=Ð==°，由a b P ，可得2CBA Ð=Ð，进而可得2Ð的度数．∵CA CB =，132Ð=°，∴1801742CBA CAB °-ÐÐ=Ð==°，∵a b P ，∴274CBA Ð=Ð=°，故选：C ．【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．4. （2023山东东营）如图，AB CD ∥，点E 在线段BC 上（不与点B ，C 重合），连接DE ，若40D Ð=°，60BED Ð=°，则B Ð=（ ）A. 10°B. 20°C. 40°D. 60°【答案】B 【解析】根据三角形的外角的性质求得20C Ð=°，根据平行线的性质即可求解．∵40D Ð=°，60BED Ð=°，∴20C BED D Ð=Ð-Ð=°，∵AB CD ∥，∴B Ð=20C Ð=°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．5. （2023山东聊城）如图，分别过ABC V 的顶点A ，B 作AD BE P ．若25CAD Ð=°，80EBC Ð=°，则ACB Ð的度数为（ ）A. 65°B. 75°C. 85°D. 95°【答案】B 【解析】根据两直线平行，同位角相等，得到80E ADC BC =°Ð=Ð，利用三角形内角和定理计算即可．∵AD BE P ，80EBC Ð=°，∴80E ADC BC =°Ð=Ð，∵25CAD Ð=°，∴71805ACB ADC CAD =°Ð=°-Ð-Ð，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键．6. （2023深圳）如图为商场某品牌椅子侧面图，120DEF Ð=°，DE 与地面平行，50ABD Ð=°，则ACB =∠（ ）A. 70°B. 65°C. 60°D. 50°【答案】A 【解析】根据平行得到50ABD EDC Ð=Ð=°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．由题意，得：DE AB ∥，∴50ABD EDC Ð=Ð=°，∵120DEF EDC DCE Ð=Ð+Ð=°，∴70DCE Ð=°，∴70ACB DCE Ðа==；故选A ．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．7. （2023湖北荆州）如图所示的“箭头”图形中，AB CD ∥，80B D Ð=Ð=o ，47E F Ð=Ð=o ，则图中G Ð的度数是（ ）的A. 80oB. 76oC. 66oD. 56o【答案】C 【解析】延长AB 交EG 于点M ，延长CD 交GF 于点N ，过点G 作AB 的平行线GH ，根据平行线的性质即可解答．如图，延长AB 交EG 于点M ，延长CD 交GF 于点N ，过点G 作AB 的平行线GH ，4780,E F EBA FDC Ð=Ð=Ð=Ð=o o Q ，33EMA EBA E \Ð=Ð-Ð=°，33FNC FDC F Ð=Ð-Ð=°，,AB CD AB HG ∥∥Q ，HG CD \∥，33MGH EMA \Ð=Ð=°，33NGH FND Ð=Ð=°，333366EGF \Ð=°+°=°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，三角形外角的定义和性质，作出正确的辅助线是解题的关键．8. 如图，已知AB CD ∥，点E 在线段AD 上（不与点A ，点D 重合），连接CE ．若∠C ＝20°，∠AEC ＝50°，则∠A ＝（ ）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°【答案】C 【解析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；∵∠C +∠D ＝∠AEC ，∴∠D =∠AEC -∠C ＝50°-20°=30°，∥，∵AB CD∴∠A＝∠D=30°，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．9．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）A．70°B．75°C．80°D．85°【答案】B【解析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．如图，∵∠2＝90°﹣30°＝60°，∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝75°．10.如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）A.15°B.25°C.30°D.10°【答案】A．【解析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键。

角的相关计算和证明（讲义）课前预习背默我们到目前学习过的定理： （1）平行线： 判定：①_______________，两直线平行； ②_______________，两直线平行； ③_______________，两直线平行． 性质：①两直线平行，_______________； ②两直线平行，_______________； ③两直线平行，_______________． （2）余角、补角、对顶角：同角（等角）的余角__________；同角（等角）的补角________；对顶角________． （3）三角形：三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________；三角形的外角等于______________________________．知识点睛在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、____________________； 由外角想到________________________________________．精讲精练1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则∠BCE =_________．F ED CBA2. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，∠A =40°，DC 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D作DE ∥BC 交AC 于点E ，则∠EDC =_____．EDBAG FEDCBA第2题图 第3题图3. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，AE ⊥DG 于点E ，CF ⊥DG 于点F ．若 ∠DAE =25°，则∠GCF =_________．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠FAG =45°，∠CAG =20°，则∠AEB =_______，∠ADC =________．GF E DCBAG FEDCBA第4题图 第5题图5. 如图，ED ⊥AB 于点D ，EF ∥AC ，∠A =35°，则∠DEF =______．6. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________．21PDCBA7. 如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为点O ，∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求证：AB ∥CD ．21O E BA8. 如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数．9. 如图，直线AD 分别与直线BF ，EG 相交于点C ，D ．若∠D=∠A+∠B ，∠BFE =75°，∠G =35°，求∠EFG 的度数．FEDCBAE DCA10.如图，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE．求证：∠A=2∠P．证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC （_____________________）∴∠ABC=2∠PBC=2α（_____________________）∵CP平分∠ACE （_____________________）∴∠ACE=______=_______ （_____________________）∵∠ACE是△ABC的一个外角（_____________________）∴∠ACE =∠ABC+∠A （_____________________）∴_____=_____+∠A （_____________________）∵∠PCE是△BCP的一个外角（_____________________）∴___________________（_____________________）∴β=______+_______（_____________________）∴2β=2α+2∠P（_____________________）∴∠A=2∠P （_____________________）11.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．求证：1902D A∠=︒+∠．AB CDCBA【参考答案】课前预习（1）同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．（2）相等；相等；相等．（3）180°；互余；与它不相邻的两个内角的和．知识点睛同位角、内错角、同旁内角；直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 精讲精练 1. 20° 2. 40° 3.25°4. 65°，70°5. 125°6. 60°7. 证明：如图，21O E FD CBA∵EC ⊥AF （已知）∴∠COF =90°（垂直的定义）∴∠C +∠2=90°（直角三角形两锐角互余） ∵∠1+∠C =90°（已知） ∴∠1=∠2（同角的余角相等） ∵∠2=∠D （已知） ∴∠1=∠D （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） 8. 解：如图，E D C BA在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°（已知）∴∠BAC =180°-∠B -∠C=180°-35°-75°=70°（三角形的内角和等于180°）∵AE 平分∠BAC （已知） ∴∠BAE =12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵∠AED是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠B+∠BAE=35°+35°=70°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵AD⊥BC（已知）∴∠ADE=90°（垂直的定义）∴∠AED+∠EAD=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠EAD=90°-∠AED=90°-70°=20°（等式的性质）9.解：如图，∵∠ACF是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACF=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠A+∠B （已知）∴∠ACF=∠D（等量代换）∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）∴∠BFE=∠FEG（两直线平行，内错角相等）∵∠BFE=75°（已知）∴∠FEG=75°（等量代换）在△FEG中，∠FEG=75°，∠G=35°（已知）∴∠EFG =180°-∠FEG-∠G=180°-75°-35°=70°（三角形的内角和等于180°）10.证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC （已知）∴∠ABC=2∠PBC=2α（角平分线的定义）∵CP平分∠ACE （已知）∴∠ACE=2∠PCE=2β（角平分线的定义）∵∠ACE是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACE=∠ABC+∠A （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴2β=2α+∠A （等量代换）∵∠PCE是△BCP的一个外角（外角的定义）∴∠PCE=∠PBC+∠P （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴β=α+∠P （等量代换）∴2β=2α+2∠P（等式的性质）∴∠A=2∠P （等式的性质）11.证明：如图，设∠DBC=α，∠DCB=β∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠DBC=2α（角平分线的定义）∵CD平分∠ACB（已知）∴∠ACB=2∠DCB=2β（角平分线的定义）∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（三角形的内角和等于180°）∴2α+2β+∠A=180° （等量代换）∴1902∠Aαβ++=︒（等式的性质）∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°（三角形的内角和等于180°）∴α+β+∠D=180°（等量代换）∴1902D A∠=︒+∠（等式的性质）。

第二课时——与三角形有关的角知识点一：三角形的内角和定理：1.三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于。

2.三角形内角和的证明：证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。

如图：过点A作PQ平行于BC。

∵PQ∥BC∴∠B＝；∠C＝。

∵∠PAB＋∠QAC＋∠BAC＝。

∴∠BAC＋∠B＋∠C＝。

【类型一：利用内角和计算判断三角形形状】1．在△ABC中，∠A＝85°，∠B比∠A小20°，则△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法判断2．若一个三角形的三个内角的度数的比为3：5：4，那么这个三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形3．满足条件2∠A＝2∠B＝∠C的△ABC是（）A．锐角三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．不确定【类型一：求图形角度】4．如图△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B'处，若∠ADB′＝30°，则∠A＝°．5．如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果∠A＝54°，那么∠BOC的度数是（）A．97°B．117°C．63°D．153°知识点二：直角三角形的性质与判定：Rt△表示直角三角形ABC。

直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形。

用ABC1.性质：直角三角形的两个锐角。

数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90°∴∠A＋∠B＝。

2.判定：有两个角的三角形是直角三角形。

数学语言：∵∠A＋∠B＝90°∴△ABC是三角形。

【类型一：角度计算】6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，则∠B＝（）第6题第7题A．45°B．55°C．65°D．145°7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（）A．∠A与∠1互余B．∠B与∠2互余C．∠A＝∠2D．∠1＝∠28．若直角三角形的两锐角之差为34°，则较大一个锐角的度数是度．9．直角三角形中，两个锐角度数之比为1：5，则较小的锐角度数为．10．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，∠BAD＝40°，∠BEC＝80°，则∠DAC的大小是（）第10题第11题第12题第13题A．30°B．25°C．20°D．15°11．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B＝48°，∠C＝68°，则∠DAE的度数是（）A．10°B．12°C．14°D．16°12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠C＝46°，∠DAE＝10°，∠B的度数为（）A．66°B．68°C．50°D．60°13．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝．【类型一：直角三角形的判定】14．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C15．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个知识点三：三角形的外角及其性质：1.外角的定义：如图，三角形的一条边与另一条边的构成的夹角叫做三角形的外角。

人教版八年级数学上册第11章三角形的三线及面积（讲义）➢ 课前预习1. 三角形有关的性质和定理：定义：由___________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形，三角形可以用符号“_______”表示． 性质：边：三角形两边之和______第三边，两边之差______第三边； 角：三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________；三角形的一个外角等于______________________________． 2. 如图，在△ABC 中，（1）若点D 是BC 的中点，则S △ABD :S △ACD =__________； （2）若BD :CD =2:1，则S △ABD :S △ACD =__________； （3）若BD :CD =a :b ，则S △ABD :S △ACD =__________．DCBA➢ 知识点睛1. 三角形的三线：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．如图，在△ABC中，作出AC边上的高线．CA________即为所求．2.面积问题：（1）处理面积问题的思路①_____________________________；②_____________________________；③_____________________________．（2）处理面积问题方法举例①利用平行转移面积21如图，满足S△ABP =S△ABC的点P都在直线l1，l2上．②利用等分点转移面积两个三角形底相等时，面积比等于_____之比；高相等时，面积比等于_____之比．➢精讲精练1.如图，△ABC的角平分线AD、中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABC的中线．其中（）A．①②都正确B．①②都不正确C ．①正确，②不正确D ．①不正确，②正确AC DE OE DAF第1题图第2题图2. 如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高是_______，AB 边上的高是_______；在△BCE 中，BE 边上的高是________，EC 边上的高是_________；在△ACD 中，AC 边上的高是________，CD 边上的高是________．3. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点H ，交AB 于点F ．下列说法：①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的中线；③CH 为△ACD 边AD 上的高；④AH 是△ACH 边CH 上的高；⑤AH 是△ACF 的角平分线．其中正确的说法有_______（填序号）．ABCDEF G H第3题图第4题图4. 如图，在正方形ABCD 中，BC =2，∠DCE 是正方形ABCD 的外角，P 是∠DCE 的平分线CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于_________．5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，延长DC 到E ，使CE =AB ，连接BD ，BE ．若梯形ABCD 的面积为25cm 2，则△BDE 的面积为__________．EDC BA第5题图第6题图6. 正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为____________． 7. 在如图所示4×4的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个．第7题图第8题图8. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2，则满足条件的格点C 的个数是_______个． 9. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD，CE 的中点，且S △ABC =16，则S △DEF =_____________．10. 如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF -S △BEF =（） A ．1B ．2C ．3D．4F ED CA第10题图第11题图11. 如图所示，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =______．12. 如图，设E ，F 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，线段BE ，CF 交于点D ．若△BDF ，△BCD ，△CDE 的面积分别是3，7，7，则△EDF 的面积是_______，△AEF 的面积是______．EFDCBAC 1B 1A 1CBA第12题图第13题图13. 如图，对面积为1的△ABC 进行以下操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，则△A 1B 1C 1的面积为______．14. 如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，已知△AOB 和△BOC 的面积分别为25cm 2和35cm 2，那么梯形的面积是_____________．15. 如图，在长方形ABCD 中，△ABP 的面积为20cm 2，△CDQ 的面积为35cm 2，则阴影四边形EPFQ 的面积是_________．16. 如图，若梯形ABCD 面积为6，E ，F 为AB 的三等分点，M ，N 为DC 的三等分点，则四边形EFNM 的面积是_________．E F DCBA MNO C D BA 2535【参考答案】➢课前预习1.不在同一条直线上，首尾顺次相接，△大于，小于180°互余和它不相邻的两个内角的和2.（1）1:1（2）2:1（3）a:b➢知识点睛1.（1）线段，在三角形内部，重心．（2）线段，在三角形内部，内心．（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部．作图略2.（1）①公式法；②割补法；③转化法．（2）②对应高，对应底．➢精讲精练1. C2.AF，CE；CE，BE；DC，AC．3. ③④⑤4. 25. 25 cm 26. 167. 68. 59. 2 10. B 11. 112. 3，15 13. 1914. 144 cm 2 15. 55 cm 2 16. 2三角形的三线及面积（随堂测试）1. 下列四个图形中，线段BD 是△ABC 的高的是（）A ．B ．C ．D ．2. 如图，正方形ABCD 和正方形BEFG 的位置如图所示，点E 在线段AB 上，已知正方形ABCD 的面积为50cm 2，则△AFC 的面积是___________．3. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个（在图中标出点C 的位置）．DCBA C DA BA BD C DC AAB EFG CD4. 如图，在△ABC 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，连接EF ，若△ABC的面积是8cm 2，则△BEF 的面积是______．【参考答案】1. D2. 25cm²3. 64. 2 cm²三角形的三线及面积（习题）➢ 例题示范例1：已知在4×4的正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数为__________个．【思路分析】连接AB ，则AB 作为△ABC 的底，要使△ABC 的面积为1，利用同底等高，即平行转移面积即可．具体操作：①先在AB 的一侧找一个点C ，使△ABC 的面积为1，过点C 作AB 的平行线； ②再在AB 的另一侧找一个点C ，使△ABC 的面积为1，过点C 作AB 的平行线． 如图所示：F E CBA共6个．➢巩固练习正确的是（）A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高3.在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形中，有两条高在三角形外部的是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能4.如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正确的有______________（填序号）．第4题图第5题图5. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2，则满足条件的格点C 的个数是_______个．6. 如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE =4，BD =8，△ABD 的面积为16，则△ACE 的面积为___________．7. 如图，在△ABC 中，已知点D ，E，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =4cm 2，那么阴影部分的面积是_________．8. 已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，BD =2CD ，AD ，BE ，CF 交于一点G ，S △BGD =8，S △AGE =3，那么△ABC 的面积是____________．F E DC BAA DEF G9. 如图，将△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别延长至D ，E ，F ，且使BD =AB ，CE =2BC ，AF =3AC ．若S △ABC =1，则S △DEF =____．10. 如图，两条对角线把梯形分割成四个三角形，若S △EDC =6，S △BEC =18，则△AEB的面积是____________，△AED 的面积是___________．11. 如图所示，在△ABC 中，点D是AB 的中点，点E 在边BC 上，CE =2BE ，12. 部分的面积是______________．【参考答案】1. D2. C3. B4.①②③5. 56.87. 1 cm²8.309.1810.6 211.112.6 cm²。