数学知识点【精英数学大视野】八年级数学竞赛辅导 第二讲 乘法公式(pdf)【含解析】

八年级上册数学乘法公式一、乘法公式的基本内容。

（一）平方差公式。

1. 公式内容。

- (a + b)(a - b)=a^2-b^2。

2. 公式的几何解释（以人教版教材为例）- 我们可以通过一个边长为a的大正方形，在其中一角去掉一个边长为b的小正方形来理解。

- 大正方形的面积是a^2，小正方形的面积是b^2。

- 剩下的图形可以看作是一个长为(a + b)，宽为(a - b)的长方形，其面积为(a +b)(a - b)，所以(a + b)(a - b)=a^2-b^2。

3. 公式的应用示例。

- 例1：计算(3x+2y)(3x - 2y)。

- 解：这里a = 3x，b=2y，根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，可得(3x+2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2=9x^2-4y^2。

- 例2：计算( - 5m+4n)( - 5m - 4n)。

- 解：a=-5m，b = 4n，则( - 5m+4n)( - 5m - 4n)=(-5m)^2-(4n)^2=25m^2-16n^2。

（二）完全平方公式。

1. 公式内容。

- (a + b)^2=a^2+2ab + b^2；(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。

2. 公式的几何解释（人教版）- 对于(a + b)^2，可以看作边长为(a + b)的正方形的面积。

- 这个正方形的面积可以分成四部分：边长为a的正方形面积a^2，两个长为a宽为b的长方形面积2ab，边长为b的正方形面积b^2，所以(a + b)^2=a^2+2ab +b^2。

- 对于(a - b)^2，可以看作边长为a的正方形去掉两个长为a宽为b的长方形（这两个长方形有一个边长为b的公共部分）后再加上边长为b的正方形的面积，即(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。

3. 公式的应用示例。

- 例1：计算(2x+3y)^2。

- 解：这里a = 2x，b = 3y，根据(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，可得(2x+3y)^2=(2x)^2+2×(2x)×(3y)+(3y)^2=4x^2+12xy + 9y^2。

初中数学乘法公式初中数学里的乘法公式，那可是相当重要和有趣的家伙！就像我们生活中的万能钥匙，能帮我们轻松打开好多数学难题的大门。

先来说说完全平方公式吧，（a+b）² = a² + 2ab + b²，（a - b）² = a²- 2ab + b²。

这两个公式看起来有点复杂，但其实理解起来并不难。

记得有一次，我在课堂上讲这个知识点，有个同学就一脸懵地看着我，好像在说：“老师，这都是啥呀？”我就笑着跟他说：“来，咱们想象一下，你有一块正方形的土地，边长是 a 米，现在你要在它相邻的两条边上分别增加 b 米，那新的土地面积不就是（a+b）²嘛。

”这么一说，他好像有点开窍了。

咱们再看平方差公式，a² - b² = (a + b)(a - b) 。

这个公式在解题的时候可好用啦。

比如说，计算 101×99，我们就可以把它变成 (100 +1)×(100 - 1) ，然后套用平方差公式，一下子就能得出答案 9999。

在实际生活中，乘法公式也有大用处呢。

有一次我去买布料，店家说每米布料的价格是根据面积计算的。

一块长方形布料，长是 (x + 3) 米，宽是 (x - 3) 米，单价是每平方米 y 元。

那这块布料的总价不就是 y × [(x + 3)(x - 3)] 嘛，这不就是平方差公式的应用嘛。

乘法公式还经常和其他的数学知识结合在一起，给我们出难题。

但只要我们掌握了它们的本质，就不怕这些小怪兽。

比如说在代数方程里，有时候需要通过乘法公式来变形、化简，找到方程的解。

而且啊，乘法公式也是数学思维训练的好帮手。

通过对这些公式的推导和应用，能锻炼我们的逻辑思维和空间想象能力。

就像搭积木一样，一块一块地搭建起我们的数学大厦。

总之，初中数学的乘法公式虽然只是数学海洋里的一小部分，但它们的作用可不容小觑。

只要我们认真学习，多多练习，就能让它们成为我们解题的得力工具，在数学的世界里畅游无阻！。

初二年级数学公式知识点归纳初二数学公式一定要在理解的基础上记忆，才能记得又快牢。

那么初二年级数学公式知识点有哪些?一起来看看，以下是店铺分享给大家的初二年级数学公式知识点，希望可以帮到你!初二年级数学公式知识点(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(五)分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m+ n)=(m +n)??(a +b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(六)提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.(七)分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3.5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.(八)分数的加减法1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.4.通分的依据：分式的基本性质.5.通分的关键：确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

乘法公式一、知二推二知二推二是完全平方公式的经典应用，其中蕴含了方程的思想．①()()()()a b a b a b a b ab a b ab 222222++-+==+-2=-+22②()()()()()a b a b ab a b ab a b a b 2222222-=+-2=+-4=2+-+ ③()()()()()()a b a b a b a b a b a b ab 22222222+-++--+--===224 ④()()()()()a b a b ab a b ab a b a b 2222222+=++2=-+4=2+-- 二、高次型的知二推二①222222442222222222()+()()2()22a b a b a b a b a b a b a b +-+==+-=-+②222442224422222222()()(()()()224）a b a b a b a b a b a b a b +-+--++--===- ③2244222222244222()()2()42()()a b a b a b a b a b a b a b +=++=-+=+--④2244222222244222()()2()42()()a b a b a b a b a b a b a b -=+-=+-=+-+ 三、倒数型的知二推二（知一推二） ①②③【注】关于1a a +的变形中有一个隐含条件11a a ⋅=，因此已知221a a +、1a a+和1a a -中的任意一个，就可以得出其他两个，故也称之为“知一推二”．222211142a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211122a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211142a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭模块一知二推二例题1aba b a b22a b11aa1aa221a a22a b 22a b 22a b 44a b笔记区填空：（1）()a b a b222+=+-________；（2）()a b a b222+=-+________；（3）[]______________a b221+=+2；（4）()()_______a b a b22-=+-；（5）_________________________ab===．【解析】（1）2ab；（2）2ab；（3）[()()]a b a b a b22221+=++-2；（4）4ab；（5）[()]a b a b2221+--2，[()]a b a b2221+--2，[()()]a b a b221+--4．【提示】回归完全平方公式，从中总结出的以下四个量：a b+、a b-、a b22+、ab．（1）已知x y22+=25，x y+=7，且x y>，则x y-=____________．（2）已知a b-=3，ab=-1，则a b22+=_______．【解析】（1）1；（2）7．（1）已知x y xy22++=19，x y+=5，求x y-．（2）已知()x y2+=17，()x y2-=3，求y xx y+．【解析】（1）x y xy22++=19，()x y xy2∴+-=19x y+=5，xy∴=6()()x y x y xy22∴-=+-4=1，x y∴-=±1；（2）()x y2+=17，()x y2-=3()()x y x yxy22+--7∴==42()x y x y xy222+=+-2=10y x y xx y xy22+20∴+==7【提示】知二推二的基本应用，结合公式求解．例题2例题3（1）已知x y 44+=17，x y 22+=5，则x y 22-=____________．（2）已知a b 22-=3，ab =-2，则a b 44+=_______，a b 22+=______．【解析】（1）±3；（2）17，5．【提示】注意和基本的知二推二的区别在于正负的取值．（1）已知：x y -=5，xy =3，求：①()()x y -3+3；②x y 22+；③x y 44+．（2）已知x y +=4，xy =2，求x y 44+．【解析】（1）①()()()x y xy x y -3+3=+3--9=9；②()x y x y xy 222+=-+2=31； ③()x y x y x y 4422222+=+-2=943． （2）x y +=4，()x y x y xy 222∴+=+-2=12， xy =2，()x y x y x y 4422222∴+=+-2=136．【提示】从一次到二次再到高次．（1）已知24x y +=，1xy =，求338x y +的值．（2）已知10x y +=，33100x y +=，求22x y +的值．（3）已知1x y -=，332x y -=，求44x y +和55x y -的值．（4）已知1x y +=，222x y +=，求66x y +的值．【解析】（1）()()x y x y x y x y 3333+8=+2-3⋅2+2=4-6⨯1⨯4=40．（2）由()()x y x y xy x y xy 333+=+=3+=1000-30=100，解得xy =30，()x y x y xy 222∴+=+-2=100-2⨯30=40．模块二 高次型的知二推二例题4例题5例题6笔记区（3）由()()x y x y xy x y xy333-=-+3-=1+3=2，解得xy1=3，()[()]()x y x y x y x y xy xy442222222223∴+=+-2=-+2-2=9，()()()x y x y x y x y xy55443323129-=+-+-=⨯1+2⨯=939．（4）由题意知，[()()]xy x y x y22211=+-+=-22，()()x y x y x y x y662232222113∴+=+-3+=8-3⨯⨯2=42．【提示】公式：1122()()()n n n n n nx y x y x y x y xy-----=+-+-．（1）已知aa221+=7，则aa1+=________．（2）已知aa1+=2，则______aa221+=，aa1-=_________．【解析】（1）∵aa221+=7，∴aa221++2=9，即aa21⎛⎫+=9⎪⎝⎭，aa1+=±3；（2）2，0．【提示】常考的基本题型．已知：x x2-7+1=0，求：（1）xx1+；（2）xx221+；（3）xx x242++1；（4）xx441+的值．【解析】（1）∵x x2-7+1=0，∴x≠0，∴x xx2-7+1=0，即xx1+=7；（2）∵xx1+=7，∴xx221++2=49，∴xx221+=47；（3）xx x xx2422211==1++148+1+；（4）∵xx221+=47，∴xx441++2=2209，∴xx441+=2207．【提示】倒数型的知二推二变形：由低次到高次的推导．模块三倒数型的知二推二例题7例题8（1）已知=3||x x 1+，则x x x 242=++1________．（2）已知||a a 1+-5=，则a a a 242=2+3+2________．【解析】（1）由题意得，x ≠0．①当x >0，则由题意，x x 1+=3，x x 221++2=9， ∴x x221+=7．∴x x x x x 2422211==1++18+1+．②当x <0时，则由题意，x x 1-=3，x x221+-2=9，∴x x 221+=11．∴x x x x x2422211==1++112+1+．∴原式1=8或112． （2）由题意得，||=a a 1+-5，∴a <0．原式1=57． 【提示】注意挖掘隐含条件，分类讨论思想．例题9笔记区（1）已知x y22+=13，x y+=5，则x y-=____________．（2）已知x y+=5，x y-=1，则xy=__________．【解析】（1）±1；（2）6．已知实数a、b满足()a b2+=1，()a b2-=25，求a b ab22++的值．【解析】()()a b a ba b2222++-+==132，()()a b a bab22+--==-64，a b ab22++=7．（1）已知x y44+=25，x y22+=7，则x y22-=____________．（2）已知x y+=5，xy=4，求x y44+．【解析】（1）±1；（2）x y+=5，()x y x y xy222∴+=+-2=17，xy=4，()x y x y x y4422222∴+=+-2=257．（1）已知：aa1+=3，则aa221+=________．（2）已知aa221+=3，则aa1-的值为________．【解析】（1）7；（2）±1．复习巩固演练1演练2演练3演练4已知x x 2+3+1=0，求值：（1）x x 2-2+；（2）x x x 242++1．【解析】（1）x x 2+3+1=0，∴x ≠0，∴x x x 2+3+1=0，即x x1+=-3，x x x x 22-21⎛⎫∴+=+-2=7 ⎪⎝⎭；（2）x x x x x 2422211==1++18+1+．已知||=x x 1+-5，则x x x 242=++1________．【解析】由题意得，||=x x 1+-5，∴x <0，原式1=28． 演练5演练6。