【精英数学大视野】八年级数学竞赛辅导 第三讲 因式分解(pdf)

人教版八年级数学比赛专题复习因式分解的常用方法（无答案）因式分解的常用方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这类变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结以下：一、提公因式法.如多项式am bm cm m(a b c),此中m叫做这个多项式各项的公因式，m既能够是一个单项式，也能够是一个多项式．32【例1】分解因式x 2x x二、运用公式法.运用公式法，即用a2b2(ab)(ab),写出结果．a22ab b2(a2,b)a3b3(ab)(a2ab b2)【例2】分解因式a24ab4b22解：原式a2b三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式【例3】分解因式：aman bmbn剖析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不可以运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，所以能够考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，而后再考虑两组之间的联系。

解：原式=(am an)(bm bn)=a(m n)b(m n)每组之间还有公因式！=(m n)(a b)1/14思虑：本题还能够如何分组？此种类分组的重点：分组后，每组内能够提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式能够提。

【例4】分解因式：2ax10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式=(2ax 10ay)(5bybx)原式=(2axbx)(10ay5by)=2a(x5y)b(x5y)=x(2a b)5y(2a b)=(x 5y)(2a b)=(2ab)(x5y)练习1：分解因式m25n mn5m解：原式m25mmn5n mm5 nm5mn m5（二）分组后能直接运用公式【例5】分解因式：x2y2ax ay剖析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，固然能够提公因式，但提完后就能持续分解，所以只好此外分组。

数学因式分解是将一个数或多项式分解成乘积的过程。

这种技能在代数和数学中很重要，因为它可以简化复杂的表达式，使它们更容易处理和理解。

以下是一些常见的因式分解方法：
整数因式分解：将一个整数分解成它的质因数乘积的形式。

例如，72可以分解为2^3 \times 3^2。

多项式因式分解：将一个多项式分解成它的不可约因子的乘积。

例如，x^2 - 4可以分解为(x-2)(x+2)。

完全平方数差分公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

完全立方数差分公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。

公因式分解：找到多项式中的公共因子并将其提取。

例如，2x^3+4x^2可以分解为2x^2(x+2)。

分组分解：将多项式拆分为两个部分，并在每个部分中寻找公共因子，然后将这些因子提取出来。

例如，2x^3+3x^2+4x+6可以分解为(2x^3+3x^2)+(4x+6)=x^2(2x+3)+2(2x+3)=(x^2+2)(2x+3)。

以上是一些常见的因式分解方法，但还有许多其他技巧和公式可用于因式分解。

一. 教学内容：因式分解二. 教学重点：掌握常见的几种因式分解的方法：提公因式法，公式法，分组分解法三. 教学难点：十字相乘法因式分解【典型例题】[例1] 用适当的方法将下列多项式因式分解（1）2()3()()()m a x m a x y a m -+--+- （2）229(2)16()a b a b ---（3）322322()()a a b b a b -+- （4）222(2)2(2)1x x x x -+-+ 答案：（1）()(4)m a m a x y --++（2）)2)(107(b a b a +--（3）222()()()a b a b a ab b +--+ （4）4(1)x -解析：（1）用提公因式法，所以原式=()(3)()(4)m a m a x x y m a m a x y --+++=--++；（2）用平方差公式，所以原式22[3(2)][4()][3(2)4()]a b a b a b a b =---=-+-[3(2)4()]a b a b ⋅--- )4463)(4463(b a b a b a b a +---+-= )2)(107(b a b a ---= )2)(107(b a b a +--=（3）先用提公因式，再用平方差和立方和公式，所以原式2233()()a b a b =-+ 22()()()()a b a b a b a ab b =+-+-+222()()()a b a b a ab b =+--+；（4）用完全平方公式，所以原式224(21)(1)x x x =-+=-[例2] 用分组分解法将下列多项式分解因式（1）3223x x y xy y +--（2）3322222x y x xy y +-+-（3）322344x x y xy x y y +--+-（4）2222a b c bc a b c --+++-答案：（1）2()()x y x y +-（2）22()(2)x xy y x y -++-（3）()(2)(2)x y x y x y -+++-（4）()(1)a b c a b c +--++解析：（1）题分组的方法较多，可以选3种不同的分组方法，方法一：原式3223()()x x y xy y =+-+ 2222()()()()x x y y x y x y x y =+-+=+-2()()x y x y =+-方法二：原式32232222()()()()x xy x y y x x y y x y =-+-=-+- 22()()x y x y =-+2()()x y x y =+-方法三：原式3322()()x y x y xy =-+- 22()()()x y x xy y xy x y =-+++-=222()(2)()()x y x xy y x y x y -++=-+（2）原式3322()2()x y x xy y =+--+ 2222()()2()x y x xy y x xy y =+-+--+22()(2)x xy y x y =-++-（3）原式3223()()(44)x xy x y y x y =-+--- 222222()()4()()(4)x x y y x y x y x y x xy xy y =-+---=-+++- 222()(24)()[()4]x y x xy y x y x y =-++-=-+-()(2)(2)x y x y x y =-+++-；（4）原式22222(2)()()()a b bc c a b c a b c a b c =--+++-=--++- ()()()()(1)a b c a b c a b c a b c a b c =+--+++-=+--++[例3] 用十字相乘法将下列多项式分解因式（1）276x x -+（2）22235x xy y --（3）251015x x --答案：（1）(1)(6)x x --（2）()(25)x y x y +-（3）5(1)(3)x x +-解析：（1）是二次项系数为1的二次三项式，所以可以把二次项拆成11⨯，把常数项6拆成16⨯，于是可以写成1116--，交叉相乘就得到一次项系数7-，所以原式(1)(6)x x =--；（2）的系数可以拆成1215-，交叉相乘就得到一次项系数3-，所以原式()(25)x y x y =+-；（3）要先提公因式5，再十字相乘，所以原式25(23)x x =--5(1)(3)x x =+- [例4] 分解下列多项式（1）222(310)15506x x x x -+-+（2）22(2)(22)1x x x x --++（3）(21)(23)(2)63x x x x +---答案：（1）)13)(3)(2103(2--+-x x x x（2）4(1)x -（3）2(237)(3)(23)x x x x -+-+ 解析：（1）要先分组因式分解，再用十字相乘法，所以原式222(310)5(310)6x x x x =-+-+)3103)(2103(6)103(5)103(22222+-+-=+-+-=x x x x x x x x)13)(3)(2103(2--+-=x x x x（2）要先乘，再用十字相乘法，所以原式22222(2)2(2)1(21)x x x x x x =-+-+=-+=4(1)x -（3）要用适当的方法相乘，再用十字相乘，所以原式22(23)(232)63x x x x =---- 22222(23)2(23)63(237)(239)x x x x x x x x =----=-+--=2(237)(3)(23)x x x x -+-+[例5] 已知6,2x y xy -==，求：（1）22x y +；（2）3344x y -答案：（1）40 （2）1008解析：（1）利用完全平方公式，所以原式=2222()262240x y x y xy +=-+=+⨯=（2）利用提公因式和立方差公式，所以原式33224()4()()x y x y x xy y =-=-++，再把已知和第一问的结论代入46(402)1008=⨯⨯+=46(402)1008=⨯⨯+=[例6] 已知2144y ky ++是完全平方式，求k 的值 答案：2±解析：因为2144y ky ++是完全平方式，所以可以写成2211(2)2()22y k y +⋅⋅+，所以k 的值可以为2±[例7] 已知42434x x x +++有一个因式21x ax ++，求a 的值及另一个因式 答案：1a =；24x x -+解析：设42434x x x +++22422(1)(4)(5)34x ax x ax x a x ax =++-+=+-++，所以25433a a ⎧-=⎨=⎩，所以1a =，所以另一个因式为24x x -+[例8] 因式分解2262562320x x xy y y +--+-答案：(234)(325)x y x y -++-解析：此题需要用双十字相乘，所以适当分组，原式 22(656)(223)20x xy y x y =--++- (23)(32)(223)20x y x y x y =-+++-(234)(325)x y x y =-++-【模拟试题】一. 选择题：1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A. 21234a b a ab =⋅ B . 2(2)(2)4x x x +-=- C. 24814(2)1x x x x --=-- D . 111()222ax ay a x y -=-2. 多项式2n n a a -提取公因式后，另一个因式是（） A. 1n a - B. n a C. 211n a-- D. 21a - 3. 若32212x x x k +-+有一个因式为21x +，则k 的值应当是（）A. 0B. 1-C. 6D. 6-4. 在多项式2222x xy y z +-+、2221x y x --+、224441x y x -++、 2221x xy y -++-中，能用分组分解法分解因式的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5. 如果多项式216x kx ++能分解成两个系数的整数的一次因式的积，那么整数k 可取的值有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个二. 填空题：1. 若2212x y x y ++=+，则x =，y =2.2232453(3)()x xy y x y x my x y n +++++=++++，则m =，n = 3. 把22axy ax y axz --+提公因式ax -后，另一个因式是4. 已知12x x +=，求331x x += 5. 若x y a -=，求22221(26)x y ax ay xy a a +-+--=三. 解答题：1. 分解因式222()()()ab a b a b a ac a b --+---2. 2211n n n n a x abx acx adx ++-+--（n ＞1）3. 已知10,24x y xy +==，求2255x y +的值试题答案一.1. D2. A3. D4. B5. C二. 1. 11;22 2. 2；1 3.2y xy z +- 4. 2 5. 6-三.1. 2()(1)a a b b c ---+2.132()n ax ax bx cx d -+-- 3. 260。

专题04 和差化积-------因式分解的方法(2)例1. A 提示 将原式重新整理成关于x 的二次三项式例2. (1) (23)()a b c a b c ++++ 提示 原式222(34)(352)a b c a c bc b =+++++(2) 2()(2)x y x z -- 提示 原式2232(2)(24)(2)x z y xz x y x x z =-+-+-例3. 原式223222(1)(22)(1)(1)(2(1)(1)(1)x a x x a x x x x a x x a x x =+++++--=+++++-22(1)(21)(1)(1)(1)x a ax x x x a x a =+++-=++++-例4. 12k = 提示 222(2)()x xy y x y x y +-=+- ∴可设原式(22)()x y x y n =++-+展开比较对应项系数得28,2210,2,n n k n +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得＝12．例5 原式＝()2221x x -+． 例6 设2－（a ＋5）＋5a －1＝（＋b ）（＋c ）＝2＋（b ＋c ）＋bc ．∴()5,5 1.b c a bc a +=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩①② ①×5＋2得bc ＋5（b ＋c ）＝－26，bc ＋5（b ＋c ）＋25＝－1，（b ＋5）（c ＋5）＝－1．∴51,51b c +=⎧⎨+=-⎩或51,5 1.b c +=-⎧⎨+=⎩ ∴4,6b c =-⎧⎨=-⎩或6,4.b c =-⎧⎨=-⎩故a ＝5． A 级1．（3a ＋2b －c ）（3a －2b ＋c ）2．（＋3y ）（＋2y ＋1）3．（＋y ＋1）（－y ＋3）4．－185．C6．D7．D8．D9．（1）（2a ＋b ）（a －b ＋c ）；（2）（a ＋c －2b ）2；（3）（－2）（2－＋a ）；（4）（－2y ＋3）（2－3y －4）；（5）（＋1）（y ＋1）（－1）（y －1）．10．提示：由题意得4,4 1.b c abc a+=--⎧⎨=-⎩①②①×4＋②，得（b＋4）（c＋4）＝－1，推得3,5bc=-⎧⎨=-⎩或5,3,bc=-⎧⎨=-⎩故a＝4．11．∵2－3y－4y＝（＋y）（－4y），∴可设原式＝（＋y＋m）（－4y＋n），展开比较对应项系数得b＝－6或9．B级1．＝－52．－2 提示：原式＝（2＋3－）－2y（＋2），令＝－2．3．5提示：令原式＝（－y＋4）·A，取一组，y的值代入上式．4．－35．C 提示：＝－1，＝－2是方程3＋a2＋b＋8＝0的解．6．C 提示：原式＝（－2y）2＋（2＋3）2＋167．A 提示：原式＝2（－2y）2＋（－2）2＋（y＋3）2≥0，且这三个数不能同时为零，M＞0．8．C9．＝－3 提示：因2＋3＋2＝（＋1）（＋2），故可令原式＝（＋my＋1）·（十ny＋2），展开比较对应项系数求出．10．提示：左边＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2＋2ab）2＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2）2＋4ab（a2＋b2）＋4a2b2＝2（a2＋b2）＋4ab（a2＋b2）＋2a2b2＝2（a2＋b2＋ab）2＝右边．11．将原等式展开2＋（a＋b＋c）＋ab－l0c＝2－10－11．∴10,1011.a b cab c++=-⎧⎨-=-⎩①②①×10＋②得ab＋10a＋10b＝－111．∴（a＋10）（b＋10）＝－11．∴101,1011.ab+=⎧⎨+=-⎩或101,1011.ab+=-⎧⎨+=-⎩或1011,10 1.ab+=⎧⎨+=-⎩或1011,10 1.ab+=-⎧⎨+=⎩∴9,21ab=-⎧⎨=-⎩或11,1ab=-⎧⎨=⎩或1,11ab=⎧⎨=-⎩或21,9.ab=-⎧⎨=-⎩代入①得c＝0或20．12．原式＝（5＋34y）－（53y＋152y3）＋（4y4＋12y5）＝4（＋3y）－52y2（＋3y）＋4y4（＋3y）＝（＋3y）（4－52y2＋4y2）＝（＋3y）（2－4y2）＝（＋3y）（＋y）（－y）（＋2y）（－2y）．当y＝0时，原式＝5≠33;当y≠0时，＋3y，－y，－2y，＋2y，＋y互不相同，而33不可能分解为4个以上不同因数的积，所以，当取任意整数，y取不为0的任意整数，原式≠33．。

因式分解的常用方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．【例1】分解因式322x x x -- 解：原式()221x x x =--二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=- 写出结果．【例2】分解因式2244a ab b ++ 解：原式()22a b =+三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 【例3】分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

【例4】分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习1：分解因式255m n mn m +--解：原式()()()()255555m m mn n m m n m m n m =--+=---=--（二）分组后能直接运用公式 【例5】分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。