2010年1月真题-数学-题+答案

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A) 1. (B) e . (C) a be -. (D) b ae-.(2) 设函数(,)z z x y =，由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(3) 设,m n 是正整数，则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B)仅与n 的取值有关. (C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (4) ()()2211limn nn i j nn i nj→∞===++∑∑ ( )(A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (5) 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB E =，则 ( )(A) 秩()r A m =，秩()r B m =. (B) 秩()r A m =，秩()r B n =. (C) 秩()r A n =，秩()r B m =. (D) 秩()r A n =，秩()r B n =. (6) 设A 为4阶实对称矩阵，且2A A O +=，若A 的秩为3，则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩，则{}1P X == ( ) (A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --.(8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度，若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩，(0,0)a b >>为概率密度，则,a b 应满足 ( )(A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == .(10)2π=⎰.(11) 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-，起点是()1.0-，终点是()1,0，则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.(12) 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤，则Ω的形心的竖坐标z = .(13) 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==，若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2，则a = .(14) 设随机变量X 的概率分布为{}!CP X k k ==，0,1,2,k =，则()2E X=.三、解答题(15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． (16)(本题满分10分)求函数()()2221x t f x xt e dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n =的大小，说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =，求极限lim n n u →∞. (18)(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点，若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直，求点P 的轨迹C ，并计算曲面积分2x y zI ∑-=，其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.(20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，，已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.( I ) 求λ，a ；( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y+，且Q 的第三列为(22T. ( I ) 求矩阵A ；( II ) 证明A E +为正定矩阵，其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)x xy y f x y Ae -+-=，x -∞<<+∞，y -∞<<+∞，求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x ．设总体X其中参数()0,1θ∈未知，以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ，使31iii T a N ==∑为θ的无偏估计量，并求T 的方差.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C).【解析】本题属于未定式求极限，极限为1∞型，故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2ln lim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim ln x x x x a x b e →∞⋅-+=， 其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-，所以应该选择(C).(2)【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅， 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅， 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (3) 【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成=+⎰，用比较判别法的极限形式，对于，由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然，当1201n m<-<，则该反常积分收敛. 当120n m -≤，1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在，此时实际上不是反常积分，故收敛.故不论,m n是什么正整数，总收敛.对于，取01δ<<，不论,m n 是什么正整数，1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-， 所以收敛，故选(D).(4)【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnn n i j i j n n n i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n nj i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()nnn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (5)【答案】 (A).【解析】由于AB E =，故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤，故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==，故选A. (6)【答案】 (D).【解析】设λ为A 的特征值，由于2A A O +=，所以20λλ+=，即(1)0λλ+=，这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵，故A 可相似对角化，即AΛ，()()3r A r =Λ=，因此，1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭，即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数，连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式，得到随机变量X 既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量，所以求随机变量在一点处的概率，只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义，函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差，即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-，故本题选(C).(8)【答案】 (A).【解析】根据题意知，()221x f x e -=(x -∞<<+∞)，()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰，故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=，故本题应选(A).二、填空题 (9) 【答案】0.【解析】因为 ()()22ln 1ln 1ttt dy t e dx e-+==-+-， ()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦，所以2200t d y dx ==. (10)【答案】 4π-.x t =，2x t =，2dx tdt =，利用分部积分法， 原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰.(11) 【答案】0.【解析】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()01221011x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122x x dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(12) 【答案】23. 【解析】 ()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdz dxdydz d rdr dz d r rdrππππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r dr πθπ⎛⎫-⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰. (13)【答案】6a =.【解析】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2，所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换:123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.(14) 【答案】2.【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质，知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑，整理得到1C e -=，即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布，则()()1,1E X D X ==，根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦. 三、解答题(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=，解得特征根121,2λλ==，所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+，则()()*22x y axax bx b e '=+++，()()*2422x y axax bx a b e ''=++++，代入原方程，解得1,2a b =-=-，故特解为*(2)xy x x e =--． 故方程的通解为*212(2)x x x c y y y C e C e x x e =+=+-+． (16)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰，所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰，令()0f x '=，则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e--''=+⎰，则21(0)20t f e dt -''=<⎰，所以2211111(0)(0)(1)22tt f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>，所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时，()0f x '>；01x ≤<时，()0f x '<；10x -≤<时，()0f x '>；1x <-时，()0f x '<，所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-，()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞.(17)【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<，故[]ln(1)nnt t +<，所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<，则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =.(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+，故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰，根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+，所以lim 0n n u →∞=.(18)【解析】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++， 所以，当21x <，即11x -<<时，原级数绝对收敛.当21x >时，原级数发散，因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时，11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑，由莱布尼兹判别法知，此级数收敛，故原级数的收敛域为[]1,1-.(II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑，其中令 12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-，所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-，从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-， 故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰，()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的，所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅，[]1,1x ∈-.(19)【解析】 ( I )令()222,,1F x y z x y z yz =++--，故动点(),,P x y z 的切平面的法向量为()2,2,2x y z z y --，由切平面垂直xOy ，故所求曲线C 的方程为222120x y z yz z y ⎧++-=⎨-=⎩. ( II ) 由⎩⎨⎧=-=-++,02,1222y z yz z y x 消去z ，可得曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围成的xOy 上的区域223:{(,)|1}4D x y x y +≤，由()()x x yz z y x '='-++1222，由 dxdy zy yzz y dxdy y z x z dS 24412222--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=，故(2DDDx y zI x dxdy xdxdy ∑-==+=+⎰⎰⎰⎰12Dπ==⋅=. (20)【解析】因为方程组有两个不同的解，所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3，进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数，有以下两种方法.方法1:( I )已知Ax b =有2个不同的解，故()()3r A r A =<，对增广矩阵进行初等行变换，得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时，11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时，()()r A r A ≠，故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时，111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭，由于()()3r A r A =<，所以2a =-，故1λ=- ，2a =-. 方法2:已知Ax b =有2个不同的解，故()()3r A r A =<，因此0A =，即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=，知1λ=或-1.当1λ=时，()1()2r A r A =≠=，此时，Ax b =无解，因此1λ=-.由()()r A r A =，得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，写成向量的形式，即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，其中k 为任意常数.(21)【解析】 ( I )由于二次型在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +，所以A 的特征值为1231,0λλλ===.由于Q 的第3列为,0,22T ⎛ ⎝⎭，所以A 对应于30λ=的特征向量为22T⎛ ⎝⎭，记为3α. 由于A 是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于121λλ==的特征向量为()123,,Tx x x α=，则30T αα=130x =. 求得该方程组的基础解系为()()120,1,0,1,0,1TTαα==-，因此12,αα为属于特征值1λ=的两个线性无关的特征向量.由于12,αα是相互正交的，所以只需单位化:())1212120,1,0,1,0,1T Tααββαα====-. 取()12302,,10002Q ββα⎛⎪⎪==⎝⎭，则110T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，且1TQ Q -=， 故 1102201011022TA Q Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. ( II )A E +也是实对称矩阵，A 的特征值为1，1，0，所以A E +的特征值为2，2，1，由于A E +的特征值全大于零，故A E +是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后，要求条件概率密度|(|)Y X f y x ，可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数，A 要根据概率密度的性质求解，具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy +∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰，即1A π-=，故()2x X f x -=，x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时，有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---====-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】()()()22123~,1,~,,~,N B n N B n N B n θθθθ--()()()()31122331i i i E T E a N a E N a E N a E N =⎛⎫==++ ⎪⎝⎭∑()()221231a n a n a n θθθθ=-+-+()()212132na n a a n a a θθ=+-+-.因为T 是θ的无偏估计量，所以()E T θ=，即得()()12132010na n a a n a a =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，整理得到10a =，21,a n = 31a n=.所以统计量()()12323111110T N N N N N n N n n n n=⨯+⨯+⨯=⨯+=⨯-.注意到1(,1)N B n θ-，故()()()11211D T D n N D N n n⎡⎤=⨯-=⨯⎢⎥⎣⎦()11n θθ=-.。

2010考研数学（一）真题及参考答案一、选择题（1）、极限2lim ()()x x x x a x b ®¥æö=ç÷-+èø（ C ） A 、1 B 、e C 、a be - D 、b ae-【详解】【详解】()()2222ln 1()()()()()()()()lim lim lim ()()lim lim xx x x x x a x b x a x b x x x a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x a bx e e x a x b ee eæöæö-ç÷ç÷ç÷ç÷-+-+èøèø®¥®¥®¥-+æö-+ç÷ç÷-+-+èø®¥®¥-æö==ç÷-+èø===（2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x =确定，其中F 为可微函数，且20F ¢¹，则z zx y u y¶¶+=¶¶（ B ）A 、xB 、zC 、x -D z -【详解】【详解】 等式两边求全微分得：121212()()()0x x y y z z Fu F v dx Fu F v dy Fu F v dz ¢¢¢¢¢¢+++++=， 所以有，1212x x z z F u F v z x F u F v ¢¢+¶=-¢¢¶+，1212yy z z Fu F v z y Fu F v ¢¢+¶=-¢¢¶+， 其中，2x y u x =-，1y u x =，0z u =，2x z v x =-，0yv =，1z v x=，代入即可。

2010考研数学（一）真题及参考答案一、选择题 （1）、极限2lim ()()xx xx a x b →∞⎛⎫=⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、a be - D 、b ae-【详解】()()2222ln 1()()()()()()()()lim lim lim ()()lim lim xx x xx x a x b x a x b x x x a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x a bxe ex a x b ee e ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞-+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞-⎛⎫== ⎪-+⎝⎭===（2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x =确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z z xy u y∂∂+=∂∂（ B ）A 、xB 、zC 、x -D z -【详解】 等式两边求全微分得：121212()()()0x x y y z z Fu F v dx Fu F v dy Fu F v dz ''''''+++++=，所以有，1212xx z z Fu F v z x Fu F v ''+∂=-''∂+，1212y yz zFu F v z y Fu F v ''+∂=-''∂+， 其中，2x y u x =-，1y u x =，0z u =，2x z v x =-，0yv =，1z v x =，代入即可。

（3）、设,m n 是正整数，则反常积分210ln (1)mnx dx x-⎰的收敛性( D )(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 有关(C)与,m n 都有关 (D)都无关 【详解】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有222111212ln (1)ln (1)ln (1)mmmnnnx x x dx dx dx xxx---=+⎰⎰⎰对于2120ln (1)m nx dx x-⎰的瑕点0x =，当0x +→时212ln (1)ln (1)mmn nx x x x--=-等价于221(1)m m nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故2120ln (1)mn x dx x -⎰收敛；对于2112ln (1)m n x dx x -⎰的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2ln (1)2(1)m n m n m n x x x x -<-<-，而2112(1)m x d x -⎰显然收敛，故2112ln (1)mnx dx x-⎰收敛。