高数重修班复习题(1)

⾼数重修试题⼀（1）设k j i b k j i a 42,253++=-+=，问λ和µ有什么的关系，能使得b aµλ+与z 轴垂直？（2）已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的⾯积。

（3）已知23,3,2,1,,3A a bB a b a b a b π=+=-===求,BA B prj A ?（4）设向经,522k j i M O ++=从点)1,2,1(P 出发，向M O 作垂线PQ ,求向量Q P和长度。

（5）分别画出223yx z +-=,2211y x z ---=⽅程所表⽰的曲⾯。

（6）求上半球2220yx a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a axy x 的公共部分在xoy 坐标⾯上的投影。

（7）求两平⾯012=+-+z y x 和012=-++-z y x ⾓平分⾯的⽅程。

42012=--+=--+z y x z y x 的直（8）求过点)1,2,1(-，并且平⾏直线线⽅程。

（9）求直线211232-+=-=+z y x 与平⾯08332=-++z y x 的交点和夹⾓。

（10）求点)0,2,1(-在平⾯012=+-+z y x 上的投影。

（11）求点)1,3,2(在直线322217+=+=+z y x 上的投影。

4201=-+-=+-+z y x z y x 的距离。

（12）求点)2,1,3(-P 到直线（13）求直线22x y z=??=?绕z 轴旋转⼀周的曲⾯⽅程并画出它的⼤致图形。

（14）求过直线026x y x y z +=??-+=?且切于球⾯2229x y z ++=的平⾯⽅程。

（15）设122112:,:112211x y z x y z L L -++-====--（1）判断12,L L 是否相交，若相交求出交点P 和相交平⾯π；（2）在平⾯π上求⼀过P 点直线L ，且L 与1L 和2L 的夹⾓相同。

⼆：（1）求1)sin(1lim)0,0(),(--→xy xy y x 。

高数（下）重修学习班课堂练习第八章 多元函数微分学及其应用№⒈1． 理解内点、外点、边界点、聚点的定义，理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2． 了解二元函数的极限与连续的概念及有界闭区域上连续的性质。

练习№⒈一、求下列函数的定义域，并判断它们是否为同一函数：=-- -+ ++-2z =221ln[(1)(1)]ln[(1)(1)]ln[(1)(1)]z x y x y x y二、求函数=z 三、设函数=(,)z f x y 的定义域为=≤≤-≤≤{(,)|01,11}D x y x y ，求函数2(sin ,cos )f x y 的定义域。

四、设+-=-22(,)f x y x y x y ，求=(,)?f x y 。

五、设+=-22(,)yf x y x y x，求=(,)?f x y 。

六、求下列极限：⑪→+=+2222(,)(0,0)1lim ()sin ?x y x y x y ⑫→→+=11lim(1)?xx y xy⑬→∞→∞+=+2244lim ?x y x y x y⑭→→=+24200lim ?x y x yx y⑮→→=2200lim?x y⑯→+∞→+∞=+222lim ()?x x y xy x y⑰2(,)limx y →七、讨论函数⎧≠⎪=⎨⎪=⎩1sin , 0(,) 0 , 0x y y f x y y ，在（1，0）和（0，0）点的连续性。

八、设=()yf x x >0，求=()?f x1． 理解多元函数偏导数的概念，会求偏导数；了解偏导数与连续的关系，P15的例子； 2． 会求二阶的偏导数及混合偏导数；3． 理解全增量、全微分的概念，会求全微分；了解微分存在的必要条件和充分条件； 4． 掌握多元复合函数偏导数的求法（3个定理），了解全微分（一阶）形式的不变性； 练习№⒉一、已知=++222z x xy y ，求∂∂==∂∂?,?z zx y 二、已知+=+2sin()x y z x xy e ，求∂∂∂===∂∂∂? , ? , (1,0)?z zzx yx三、设=r ∂∂∂++=∂∂∂y r r r xz r x y z 四、设=≠ (x>0,x 0)y z x ，求证∂∂+=∂∂1 2lnx x z zz y x y五、设⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩222222 , 0(,) 0 , 0xy x y x y f x y x y ，求偏导数 ==(0,0)? , (0,0)?x y f f六、设=--+32331z x y xy xy ，求∂∂∂∂∂=====∂∂∂∂∂∂∂22223223 , ,, , z z z z zx y x y y x x七、设⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩22222222() , 0 (,) 0 , 0xy x y x y x y f x y x y ，求偏导数 ==(0,0)? , (0,0)?xy yx f f八、已知-=(,)xy x z f e y ，f 是可微函数，求∂∂==∂∂?,?z z x y。

P94习题9-4一、求下列函数的一阶全倒数或一阶偏导数，其中f 有一阶连续的偏导数：（5）22(,)xy z f x y e =-，求z x ∂∂，z y∂∂ （7）(,)x yu f y z =，求u x ∂∂，u y ∂∂，u z∂∂三、引入新变量u ，v ，设u =，arctan y v x=，变换方程式()()0z z x y x y x y∂∂+--=∂∂. P100习题9-5二、设f 具有连续的二阶偏导数，求下列函数的高阶偏导数：（3）2(,)z yf x y x y =+，求2z x y ∂∂∂，22z y ∂∂ P109 习题9-6四、求解下列各题：（2）设sin 0xz y z -=,求22z y ∂∂，2z x y∂∂∂ 五、设(,)z z x y =由方程(,)0z z F x y y x++=确定，其中F 有一阶连续偏导数。

证明：z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂. P118 习题9-7四、求u x y z =++沿球面2221x y z ++=上的点0000(,,)M x y z 处外法线方向的方向倒数.五、求函数22223u x y z =++在点(1,1,1)M 处，沿曲线23,,x t y t z t ===在点1t =处的切线的指向参数t 增大的方向的方向倒数.P125 习题9-8八、证明：曲面3(0)xyz a a =>上任一点的切平面与三角坐标面所围成的四面体的体积为常数.P139 习题9-10B 类三、在第一卦限内作曲面2222221x y z a b c++=的切平面，使得切平面与三角坐标面围成的四面体的体积最小，求出切点的坐标.P155习题10-2二、交换下列二次积分的次序：（3）222614(,)x x dx f x y dy ---⎰⎰三、计算下列二重积分：（1）D ⎰⎰，D 为曲线22,y x x y ==所围成的区域P167 习题10-3一、化下列积分为极坐标系下的二次积分：（5）24020(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰二、利用极坐标计算下列各题：（2）22,{(,)|20,}D xydxdy D x y xy y y x =+-≤≤⎰⎰ 2P184 习题10-5一、选择适当的坐标系计算下列三重积分：（6）Ω，其中Ω为曲面22,z x y z =+= （9）Ω，其中Ω为曲面z =z =区域P188 总习题十四、计算下列各题：（1）2421222x x x dx dy dx dy y y ππ+⎰⎰P200 习题11-2二、计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()()L x y dx x y dy x y+--+⎰ ，其中L 为圆周222x y a +=（取逆时针方向） 三、计算下列线性积分：（2）||||L dx dy x y ++⎰ ，其中L 是以(2,0),(0,2),(2,0),(0,2)A B C D --为顶点的正方形闭路取逆时针方向P210 习题11-3一、利用格林公式计算下列曲线积分：（3）224L xdy ydx x y -+⎰ ，其中L 是以点（1,0）为圆心，R 为半径的圆周（R>1），取逆时针方向 （6）(sin )(cos )x x AB e y my dx e y m dy -+-⎰，其中m 为常数，AB 为由A(a,0)经过圆22x y ax +=上半部的路线到B(0,0)（其中a 为正数）P217 习题11-4四、计算下列曲面积分：（1）4(2)3S x y z dS ++⎰⎰，其中S 为平面1234x y z ++=在第一卦限的部分P228 习题11-5一、计算下列对坐标的曲面积分：（2）Szdxdy xdydz ydzdx ++⎰⎰，其中S 是柱面被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧P231例6.2 计算积分333SI x dydz y dzdx z dxdy =++⎰⎰，S为上半球面z =P233 习题11-6一、利用高斯公式计算曲面积分：（9）2S S为下半球面z =a 为大于零的常数P283 习题13-2一、用比较审敛法判别下列级数的收敛性：（7）22(0)1nn n a a a ∞=>+∑ 二、用比值审敛法或根植审敛法判别下列级数的收敛性：（1）123!n nn n ∞=+∑（3）21sin 2n n nπ∞=∑三、用适当的方法判别下列级数的收敛性：（2）1n ∞=P292 习题13-3一、判别下列级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛： （1）11n n +∞= （4）1(1)2n n n n ∞=-∑ 三、设级数11()nn n u u ∞-=-∑收敛，又1n n v ∞=∑是收敛的正项级数，证明：1n n n u v ∞=∑绝对收敛P313 习题13-5二、求下列幂级数的收敛域：（4）1(1)(1)ln nn n x n ∞=--∑（5）()11(2)12n n n n x ∞=⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦∑ （6）211!n n n n x n ∞-=∑ 四、求下列幂级数在各自收敛域上的和函数：（3）11(1)n n x n n +∞=+∑ （4）0(21)n n n x∞=+∑。

第八章 多元函数微分学1．函数)1arccos(arcsin2y yxu -+=的定义域为 。

2．设 x y x y x f 2sin ),(2+=，则=--+→xx f x f x )0,1()0,1(lim 0。

3．设22yx x z +=，则=dz 。

4．球面3222=++z y x 上点)1,1,1(处的切平面方程是 。

5．可微函数),(y x f z =在点),(y x 处取得极大值的必要条件是 。

6．函数),(y x f z =具有一阶偏导数，其沿着x 轴负方向的方向导数为： 。

7．可微函数),(y x f z =在),(y x 处取得极大值的必要条件是 。

8．设曲面224y x z --=上点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x 则点P 的坐标为 。

9．22)(y x z +=在点)2,1(处的全微分=dz 。

10．设空间三点)111(，，M ，)122(，，A ，)212(，，B ，则=∠AMB 。

11．2xy z =在点)111(，，处的切平面方程为 。

12．二元函数的偏导数连续是函数可微的 条件。

13．可微函数),(y x f z =在),(y x 处取得极值的必要条件是 。

14．函数xy y x z333-+=的驻点是 。

15．=++-→→)()cos(1lim 22220,0y x y x y x 。

16．曲面32=+-xy e z x在)0,2,1(处的切平面方程为 。

17．函数)ln(222z y x u++=在)1,2,1(-M 处的梯度=M u grad 。

18函数),(y x f z =在),(00y x 处有偏导数是它在该点存在全微分的（ ） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件19．偏导数),(00'y x f x ，),(00'y x f y 存在是函数在点),(00y x 处可微的（ ）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 既非充分也非必要条件20．极限=+-→→xyxy y x 42lim0,0A 41-B 41C 21 D2 21当动点),(y x 沿着任一直线趋向于)0,0(时，函数),(y x f 都以A 为极限，则极限),(lim 0,0y x f y x →→（）A A 等于B 不存在C 存在，但不一定等于A D 以上都不对．22．空间中的点)1,3,2(-M 关于原点对称的点是（ ）A )1,3,2(--B )1,3,2(---C )1,3,2(--D )1,3,2(- 23．平面0833=--y x 的位置是（ ）A 平行于Z 轴B 斜交于Z 轴C 垂直于Z 轴D 通过Z 轴 24．函数2222y x y x z-+=在点)1,1(处的全微分是（ ）A dy dx +B 0C dy dx 22+D dy dx 22-25．若0),(),(0000=∂∂=∂∂y x y x y fx f ，则函数),(y x f 在点),(00y x 处（ ） A 连续且可微 B 连续，但不一定可微 C 可微，但不一定连续 D 不一定可微也不一定连续 26．极限=++-→→22)()cos(1lim22220,0y x y x ey x y x ：（ ）：A -1B 1C 2D 0 27．函数),(y x f z=在),(y x 处的一阶偏导数连续是函数在该点可微的A 必要条件B 充分条件C 充分必要条D 既非充分也非必要条件 28．二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00'y x f x ，),(00'y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 处连续的：（ ）：A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 既非充分也非必要条件设zxy u )(=，求全微分)3,2,1(df 29．设)1,0(≠>=x x x z y，求y x z∂∂∂230．设),(xy y x f z +=，求yx z∂∂∂2，其中f 具有二阶连续偏导数。

《高等数学》上册重修补考试卷（2010.12）一、填空：(20%)1.设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(ln x f 的定义域为_________________。

2. n n n πsin lim ∞→=____________。

3. 已知)0(f '=1，)0(f =0，则xx f x )(lim 0→=________________。

4. 设函数⎩⎨⎧>+≤=,1,,1,)(2x b ax x x x f 在1=x 处连续且可导，则=a ________，=b ________。

5. 曲线xe y 2=在点（0,1）处的切线方程为_______________。

6. 设6)10()(+=x x f ，则)2(f '''=________。

7. x dt t x x ⎰→020cos lim =________。

8. 若21x是)(x f 的导数，则)(x f =_______________。

9. 曲线12++=x x y 在点（0,1）处的曲率为_______________。

二、计算下列各题：(48%) 1.)1(lim 2x x x x -++∞→ 2.x x x )arctan 2(lim π+∞→3. )1ln(2x x e e y ++=，求dy 。

4. 设⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 求dx dy ，22dx y d 。

5.dx xx x ⎰+4sin 1cos sin 6.dx x x ⎰ln ln 7.dx e x ⎰10 8.dx x ⎰-202sin 1π三、求函数3)1)(1()(+-=x x x f 的单调区间和极值。

(8%)四、证明：当1>x 时，ex e x >。

（8%）五、 求由曲线2x y =，2y x =所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积。

（8%）六、化工厂要造一个盛水300立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底材料的单位造价为四周材料的单位造价的两倍，问怎样设计蓄水池尺寸，才能使造价最低？（8%）。

密院系班级：_________ □印第2010-2011（2）学期试卷总分： 100 分答卷时间： 110 分钟试卷类型： A姓名：封_________ 学号：_________线一、选择（每小题2分，共10分）（答案写在答案页上）1．2)11(limxx xx-∞→-+=（）。

（A）1 （B）21e（C）0 （D）1-e2．函数2y=的导数是（）A16x B 5616x- C 45x- D 2323x-3．设函数)(xf具有连续的导数，则=+'⎰dxxfxf x)]()([（）（A）cxxf+)(；（B）cxf x+')(；（C）cxfx+'+)(；（D）cxfx++)(4．设)(xf在],[ba上连续，则在],[ba上至少有一点ξ，使得（）（A）0)(='ξf（B）abafbff--=')()()(ξ（C）0)(=ξf（D）abdxxfabf-=⎰)()(ξ5．设函数xxay3sin31sin+=在x=3π处取得极值，则=a（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3二、填空（每小题3分，共15分）（答案写在答案页上）1．设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么0'()f x = 。

2． xx e 1lim -→=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f sin 0xtdt ⎰，则)(x f '=5．1,0(),0x e x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩在x =0处可导，则=a三、计算题（共63分）（答案写在答案页上）1．(1)21sin tan limx x xx x ⋅-→（共6分，每小题3分）（答案写在答案页上）(2)21lim()xx x x→∞+2．设a y x =+，求隐函数)(x y y =的二阶导数22dxyd 。

（6分）（答案写在答案页上）3．1⎰（5分）（答案写在答案页上）共（4 ）页第（1 ）页未经教务处许可，不得复印试卷/ 渤海大学教务处教务科/密院系班级：_________ 姓名：封_________ 学号：_________线4．求曲线43341y x x=-+的拐点及凹凸区间。

高等数学(下)重修练习题1．设a 是从点A (2, 1, 2)到点B (1, 2, 1)的向量, 则与a 同方向的单位向量为a ︒=_______. 2．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a +b |=________. 3．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a -b |=________. 4．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则a ⨯b =________.5．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则与a 和b 都垂直的向量c =_______ 6．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则cos(a ,^ b )=________.7．设向量a ={2, 1, 2}, 则与a 的方向相同而模为2的向量b =________.8．1. 以向量a =(1, 1, 2)与b =(2, -1, 1)为邻边的平行四边形的面积为________.9．以曲线⎩⎨⎧==+x z zy x 222为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.10．2. 以曲线220x y zx y z ⎧+=⎨+-=⎩为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.11．2. 曲线⎩⎨⎧==-+00222y z z x 绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.12．2. 曲线2220y z z x ⎧+-=⎨=⎩绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.13．2. 旋转抛物面x 2+y 2=z 与平面x +z =1的交线在xoy 面上的投影方程为________. 14．2.锥面z =x =z 2的交线在xoy 面上的投影方程为_________.15．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是________.16．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线421131y x z +-+==-垂直的平面方程是________. 17．2. 过点M (1, 2, 1)且与平面2x +3y -z +2=0垂直的直线方程是_________. 18．2. 过点M (1, -1, 2)且与平面x -2y +1=0垂直的直线方程是________.19．函数f (x , y )在点P 0处的偏导数存在是函数f (x , y )在P 0处连续的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 20．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处的偏导数存在的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 21．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处可微分的( ).(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 22．若f (x , y )在点P 0的某个邻域内( ), 则f (x , y )在P 0处可微.(A)连续; (B)有界; (C)存在两个偏导数; (D)存在连续的一阶偏导数.23．3. 设z =f (x 2+y 2, x 2-y 2, 2xy ), 且f (u , v , w )可微分, 则xz∂∂=________.24．3. 设w =f (u , v ), u =xy , v =x 2+y 2, 且f (u , v )可微分, 则w x∂=∂________.25．3. 设z =ln(1+x 2+y 2), 则d z |(1, 1)= ________.26．设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 则梯度grad f (1, -1, 2)= ________. 27．设f (x , y , z )= x 3y 2z , 则梯度grad f (1, 1, 1)= ________.28．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处沿方向________的方向导数最大.29．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处沿方向_____{3,2,1}_______的方向导数最大. 30．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处方向导数的最大值为________. 31．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处方向导数的最大值为________. 32．交换二次积分的积分次序, 则100d (,)d yy f x y x ⎰⎰=________. 33．交换二次积分的积分次序, 则11d (,)d xx f x y y ⎰⎰=________.34．交换二次积分的积分次序,则10d (,)d y y x y x ⎰=________.35．交换二次积分的积分次序, 则210d (,)d xxx f x y y ⎰⎰=________.36．设D 为上半圆域x 2+y 2≤4(y ≥0), 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.37．设D 是由两个坐标轴与直线x +y =1所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=______.38．设D 是由直线x =1、y =x 及x 轴所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.39．设D 是由椭圆221916y x+=所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.40．设L为上半圆y则曲线积分Ls ⎰=________.41．设L 为圆x 2+y 2=1,则曲线积分Ls ⎰=________.42．设L为上半圆y 则曲线积分22ln(1)d Lx y s ++⎰=________. 43．设L 为圆x 2+y 2=1, 则曲线积分22ln(1)d Lx y s ++⎰=________.44．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则22d d Lxy x x y +⎰=________.45．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 (e cos )d e sin d x x Ly x x y y --⎰=________.46．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.47．设L是由上半圆y x 轴所围成的区域的正向边界, 则22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.48．若p 满足________,则级数n ∞=. 49．若p 满足________,则级数n ∞=收敛.50．若q 满足________, 则级数0()2n n q a ∞=∑收敛.51．若p 满足________, 则级数01()2n n n p ∞=+∑收敛. 52．若p 满足________, 则级数2011()pn n n ∞=+∑收敛. 53．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则lim 0n n u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关.54．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则级数1n n u ∞=∑收敛是级数1n n ku ∞=∑(k ≠0)收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关. 55．下列级数中收敛是( A ).(A)11(1)1nn n ∞=-+∑; (B)11n n ∞=∑; (C)111()2n n n ∞=+∑;(D)n ∞=.56．下列级数中绝对收敛的是( C ).(A)1(1)nn ∞=-∑; (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)2n n n ∞=-∑; (D)11(1)(1)n n n n ∞=-+∑.57．下列级数中绝对收敛的是( D ).(A)1(1)nn ∞=-∑; (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)(1)nn n n ∞=-+∑; (D)211(1)n n n ∞=-∑.58．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 59．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =-R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 60．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =2处收敛, 则收敛半径为R 满足( ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.61．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =-2处收敛, 则收敛半径为R 满足( C ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.62．将函数21()1f x x =+展开为x 的幂级数, 则f (x )=_______.63．将函数21()1f x x =-展开为x 的幂级数, 则f (x )=________.64．将函数1()4f x x =-在区间________可展开为x 的幂级数.65．将函数1()12f x x=+在区间________可展开为x 的幂级数.66．求通过直线113y x z==和点(2, -1, 1)的平面方程.67．求过三点A (1, 0, -1)、B (0, -2, 2)及C (1, -1, 0)的平面的方程.68．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩垂直的平面方程.69．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩平行的直线方程.70．求通过点(1, 2, -1)且与平面2x -3y +z -5=0和3x +y -2z -4=0都平行的直线方程.71．设z =x sin(x +y )+e xy, 求z y ∂∂, 2z ∂, 2z y x∂∂∂.72．设z =ln(1+xy )+e 2x +y, 求z x ∂∂, 22z x ∂∂, 2z x y ∂∂∂.73．设z =(2x +3y )2+x y, 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.74．设z =x y, 求z x ∂∂, 2z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.75．设z =x y, 求z ∂, 2z ∂, 2z ∂.76．设z =x sin(2x +3y ), 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.77．设z =f (x , y )由方程x e x -y e y =z e z 确定的函数, 求z x ∂∂,z y ∂∂.78．设z =f (x , y )由方程x +y -z =x e x -y -z 确定的函数, 求z x∂∂, zy ∂∂.79．已知z =u 2ln v , 而x u y =, v =3x -2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.80．设z =u ⋅sin v , 而u =e x +y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy ∂∂.81．设z =e u sin v , 而u =x -y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.82．求曲面z =ln(1+x +y )上点(1, 0, ln2)处的切平面方程. 83．求曲面z =1+2x 2+y 2上点(1, 1, 4)处的切平面方程. 84．求曲面e z -z +xy =3上点(2, 1, 0)处的切平面方程.85．求空间曲线2231y x z x =⎧⎨=+⎩在点M 0(0, 0, 1)处的切线方程.86．求空间曲线x =a cos t , y =a sin t , z =bt 在对应于t =0处的切线方程.87．计算二重积分22()d Dx y x σ+-⎰⎰, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.88．计算二重积分2d Dxy σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =1所围成的区域.89．计算二重积分sin d Dx y σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =π所围成的区域.90．计算二重积分(e )d y Dxy σ+⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =1, x =-1所围成的区域.91．计算二重积分3(Dx σ+⎰⎰, 其中D 是由曲线y =x 2, 直线y =1, x =0所围成的区域.92．计算二重积分22e d xy Dσ+⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.93．计算二重积分1d 1Dx yσ++⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.94．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z z =0所围成的闭区域.95．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z =1-x 2-y 2及平面z =0所围成的闭区域.96．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由柱面x 2+y 2=1及平面z =0, z =1所围成的闭区域.97．计算曲线积分2(1)d lx s +⎰, 其中l 为圆周x 2+y 2=1.98．计算曲线积分s ⎰，其中l 为抛物线y =x 2(-1≤x ≤1).99．计算曲线积分22()d (2)d CI x y x x y =+++⎰, 其中C 是以O (0, 0), A (1, 0), B (0, 1)为顶点的三角形的正向边界.100．计算曲线积分222()d ()d LI x y x x y y =+++⎰, 其中L 是从O (0, 0)到A (1, 1)的抛物线y =x 2,及从A (1, 1)到O (0, 0)的直线.101．计算曲线积分43224(4)d (65)d LI x xy x x y y y =++-⎰, 其中L 是从(-2, 0)到(2, 0)的半圆x 2+y 2=4(y ≥0).102．计算曲线积分22d d LI xy x x y y =+⎰, 其中L 是曲线y =ln x 上从A (1, 0)到B (e , 1)的一段.∑104．计算曲面积分22()d x y S ∑+⎰⎰, 其中∑为平面x +y +z =1含于柱面x 2+y 2=1内的部分.105．计算曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为上半球面z x 2+y 2=1内的部分的上侧.106．计算曲面积分22d d d d d d y z x y x y z x y z x ∑++⎰⎰, 其中∑是由圆柱面x 2+y 2=R 2和平面x =0,y =0, z =0及z =h (h >0)所围的在第一卦限中的一块立体的表面外侧.107．计算曲面积分22(2)d d d d d d x z y x x y z x xz x y ∑-+-⎰⎰，其中∑是正方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a ,0≤z ≤a 的表面的外侧.108．判别级数021!n n n ∞=+∑的敛散性. 109．判别级数213n n n ∞=∑的敛散性.110．判别级数1e()n n π∞=∑的敛散性.111．判别级数∑∞=1!100n nn 的敛散性112．判别级数111(1)2n n n n ∞--=-∑是否收敛？若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛？113．求幂级数1(1)nn n ∞-=-∑的收敛半径和收敛区间. 114．求幂级数234 234x x x x -+-+⋅⋅⋅的收敛半径和收敛区间. 115．求幂级数1nn n x n∞=∑的收敛半径和收敛区间.116．将1()2f x x =+展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.117．将f (x )=x 3e -x 展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.118．将1()2f x x=+展开为(x -1)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.119．将1()4f x x=-展开为(x -2)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.120．求函数f (x , y )=2x +2y -x 2-y 2的极值. 121．求函数f (x , y )=3x +2y -x 3-y 2的极值.122．求函数f (x , y )=x 2+5y 2-6x +10y +6的极值. 123．求函数f (x , y )=y 3-x 2+6x -12y +5的极值。

《高等数学》补考复习资料（一） (120分钟)姓名________学号____ _ 班级 专业_____ 成绩___ _一．填空题 （共30分） 1．比较大小：dx x ⎰103⎰1xdx 。

2. 比较大小：dx x ⎰-4031π0。

3．由定积分几何意义 有=-⎰-dx x a aa22。

4．⎰-=212sin xtdt dxd 。

5.=+⎰-dx xx x ππ21sin cos 。

6. 设 ()⎩⎨⎧=12x x f x x 11<≥ 则()=⎰dxx f 2。

7. 设 xx sin 是 ()x f 的一个原函数， 则()='⎰dxx f x 。

8. 若⎰=+12)2(dx c x ，则 c= 。

9. 若()24xdt t f x=⎰，则()=⎰dx x fx41 。

10.若310=⎰∞-dx e kx，则=k 。

二．解答题 （共56分） 11．求极限 ()32211lim xdtttxx ⎰--+→。

12．设 ⎰=02sin xtdt y 求 ()1y '。

13. {}dx x x ⎰23,max 。

14．dx ex ⎰--01。

15.dx x⎰27131。

16.dx xx ⎰++311。

17．⎰3ln 0dx xe x。

18．设 ()()dt t t x F x⎰-=02，求()x F 在 []3,1- 上的最大值与最小值。

三．应用题 （8分）19．求由曲线 xe y =，xe y -=及 e y = 所围成图形的面积。

四．证明题 （6分） 20．试证：()()dx x x a dx x a xnmanam⎰⎰-=-00。

《高等数学》补考复习资料（二） (120分钟)姓名________学号____ _ 班级 专业_____ 成绩___ _一．单项选择题 （共30分） 1.已知⎰+22)1(xt dt ， 则=')1(y （ ） A.21 B. 1 C.2 D.42.下列等式正确的是 （ ） A.()()⎰=bax f dx x f dx d B.()()c x f dxx f dxd +=⎰C.()()x f dx x f dxd xa=⎰D.()()x f dx x f ='⎰3.设函数 ⎰-=xdt t y 0)1(则y 有 （ ） A.极小值21 B. 极小值21-C.极大值21 D. 极大值21-4.='⎰dx xx x)sin (2π（ ）A. xx sin B.c xx +si n C. π2sin -xx D. 2sin π-xx5. 下列积分值为负数的是 （ ） A.⎰20si n πxdx B.⎰-02cos πxdx C. ⎰--233dx x D.dx x ⎰--2326. 下列积分值为0的是 （ ） A.⎰-+11cos 1xxdx B.⎰-22sin ππxdx x C.dx xx⎰--112321 D.⎰--ππdx x )1(37. 若()x f 的一个原函数是 x ln ，则()='⎰dx x f （ ） A. c x +ln B. c x+1 C. c x x x +-ln D. x1-8. 下列广义积分收敛的是（ ） A.⎰+∞1sin xdx B.⎰∞+1xdx C.dx e x⎰∞-0D.dx xx⎰∞++03219．计算dx x x⎰-224时为使被积函数有理化，可设x= ( ) A. 2tant B. t sin 2 C. 2sect D.t10. =-⎰-→3)1(lim2xdtextx ( ) A. 0 B.31 C. 3 D. 31-二．解答题 （共56分） 11．dx x ⎰-50312. ⎰axdx xe213.⎰+11xedx14. 设 ⎰=kxdx 11ln ，求k 值。

高数重积分复习题一、选择题1. 对于二重积分 \(\iint_D f(x, y) \,dx\,dy\)，下列说法正确的是：A. 积分区域 D 必须为矩形B. 积分区域 D 可以是任意形状C. 函数 f(x, y) 必须连续D. 积分结果与积分顺序无关2. 在计算二重积分时，若积分区域 D 为圆形，通常采用的坐标变换是：A. 极坐标变换B. 直角坐标变换C. 球坐标变换D. 柱坐标变换3. 对于三重积分 \(\iiint_V f(x, y, z) \,dx\,dy\,dz\)，下列说法不正确的是：A. 积分区域 V 可以是任意形状B. 积分区域 V 必须为立体图形C. 函数 f(x, y, z) 可以是任意函数D. 积分结果与积分顺序有关二、填空题4. 假设函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)，计算区域为单位圆 \( D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1\} \)，则 \(\iint_D f(x, y)\,dx\,dy = \) ________。

5. 若 \(\iint_D xy \,dx\,dy\) 为 \( D = \{(x, y) | 0 \leq x\leq 1, 0 \leq y \leq x\} \) 上的二重积分，则积分结果为________。

三、计算题6. 计算下列二重积分：\[\iint_D (3x^2 - 2y^3) \,dx\,dy\]其中 \( D = \{(x, y) | 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x\} \)。

7. 计算下列三重积分：\[\iiint_V (x + y + z) \,dx\,dy\,dz\]其中 \( V = \{(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq x + y\} \)。

四、证明题8. 证明：对于任意的连续函数 \( f(x, y) \)，若 \(\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = 0\) 对于所有简单连通区域 \( D \) 成立，则\( f(x, y) \equiv 0 \)。

一、选择题（每小题3分，共15分）： 1、sin limx x xx→∞+=（ ）.（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）∞.2、设函数()113, 0(), 0x x x f x x k x ⎧⎪->=⎨+≤⎪⎩ 在点0x =处连续，则k =（ ）.（A ）1e -； （B ）e ； （C ）3e -； （D ）3e .3、设2xy e -=，则dy =（ ）.（A ）2xe dx -； （B ）2x e dx --； （C ）22x e dx -； （D ）22x e dx --.4、设()()f x dx F x C =+⎰，则(12)f x dx -=⎰（ ）.（A ）1(12)2F x C --+； （B ）1(12)2F x C -+； （C ）2(12)F x C --+； （D ）2(12)F x C -+. 5、211dx x+∞=⎰（ ）. （A ）0； （B ）1； （C ）1-； （D ）+∞.1、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,,3sin 1)(x a x x x x f ，要使)(x f 在(,)-∞+∞处连续，则()a =.A ：0；B ： 1；C ：13； D ：3. 2、()2sin df x dx等于().A ：()22sin sin f x x ' ； B ：()2sin sin 2f x x ； C ：()2sin f x '； D ：()2sin sin 2f x x '. 3、12)1(-=-f 是函数26323-+-=x x x y 在区间[]11,-的()A ：最小值；B ： 极小值；C ： 最大值；D ：极大值 . 4、设)(x f 的一个原函数是2x e -，则()()f x =.A ：x e 2- ；B ：22x e --；C ：24x e --；D ： 24x e - . 5、设函数 ()⎰-=xat d t x G 2，则 ()().x G ='A ： 2x ；B ：2x -；C ： x 2；D ： x 2-. 1、下列各式中，()的极限为1.A ：sin limx x x →∞； B ：1lim sin x x x →∞； C ：2sin lim x xx π→； D ：01lim sin x x x →.2、设()ln sin 0,1xx y a e a a a ⎛⎫=+->≠⎪⎝⎭，则()='y .A ：cos x a a e x +-； B ： 1ln cos x a a e x +-； C ：1ln x a a x +； D ： 1ln x a a ax+.3、在区间[]11,-上满足罗尔定理条件的函数是().A ：sin x y x=； B ：()21+=x y ； C ：32x y =； D ：12+=x y .4、设()F x 是()f x 的一个原函数，C 为常数，则()也是()f x 的一个原函数。

重庆大学高等数学Ⅱ-1（重修）课程试卷2009 ~2010 学年 第一 学期开课学院： 数理学院 课程号： 考试日期2009年12月考试方式：考试时间：120 分一、 填空题（3分/每小题，共15分）⒈1lim(1)x x x →+ e 。

2．设(0)0(1)8f f ='=，则 1()(1)lim1x f f x x →-=- 8 。

3 当a = 1 时，()00xf x e x a x x ⎧⎨⎩=<+≥在点0x =处连续。

41011211dx x x -=+⎰ 0 。

5． arc n ta y x =的单调增加区间是 R 。

二、 计算题（7分/每小题，共14分）⒈求极限3tan lim x x x x →- 解：30tan lim x x x x →-=222200sec 1tan 1limlim 333x x x x x x →→-== 2．求极限 23l n (1)li m xx td tx→+⎰解：运用罗比塔法则：23ln(1)lim xx t dtx →+⎰220ln(1)1lim 33x x x →+==三、计算题（7分/每小题，共28分）1．．已知()f x=ln(x ⎡⎤⎣⎦'，求积分()xf x dx '⎰解：因为()ln(f x dx x =+⎰C +所以 ()f x == 则积分()xf x dx '⎰[()]()()xd f x xf x f x dx ==-⎰⎰ln(x C =-+命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封密2．由方程 10x y e xy ++-= 确定了隐函数 ()y y x =， 求(0)y ''以方程两边对x 求导得：()0x y x y x yx ye x e y y y e y x e ++++'+++=--'=+当0x =时，(0)0y =，所以 (0)1y '=- 再将以上方程对x 求导有：(1)(1(1))()0x y x y x y e y y e y x e y y +++''''''+++++++=整理得：22(1)x y x yy e y y x e ++''++''=+所以 (0)2y ''=-3．设{2ln(1)arctan x t y t t=+=- 求dy dx22222111122211t t t y dy t t t t t dx x t t -'++===='++ 4求.22cos2cos sin xdx x x⎰222222cos sin 11()cos sin sin cos (cot tan )x x dx x x x x x x C-==-=-++⎰⎰解:原式四、计算题（7分/每小题，共14分）1．计算定积分2π-⎰2-⎰43xdx ==⎰2．求函数 11x y e-=的间断点，并判断其类型。

练 习 题 11. 01sin(2)lim 1____________.x y xy x →→⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦ 【答案】应填30011sin(2)sin(2)lim 1lim 212132x x y y xy xy y x xy →→→→⎡⎤+=⋅+=+=⎢⎥⎣⎦ 2.函数2xy z x y e =+的全微分__________.dz = 【答案】应填2(2)()xy xy xy ye dx x xe dy +++ 因为22,xy xy z zxy ye x xe x y∂∂=+=+∂∂，所以 2(2)()xy xy dz xy ye dx x xe dy =+++.3. 函数(,)a r c t a n (z f xy x y ==在点(1,1)A 处沿着4πα=的方向导数为_________________.【答案】应填22因为22,1()1()z y z x x xy y xy ∂∂==∂+∂+，于是在点(1,1)A 处的偏导数为 (1,1)(1,1)11,22z z x y ∂∂==∂∂， 函数(,)arctan()z f x y xy ==在点(1,1)A 处沿着4πα=的方向导数为(1,1)(1,1)2cos sin .2z z z n x yαα∂∂∂=⋅+⋅=∂∂∂4. 交换二次积分的积分次序0211d (,)d yy f x y x --⎰⎰＝ .【答案】应填211d (,)d xx f x y y -⎰⎰5. 设Ω由2221,3x z z y x -==+所围成，则(,,)d f x y z v Ω=⎰⎰⎰ .（A ）2222114120034d d (,,)d x x x y x y f x y z z --+⎰⎰⎰（B ）222221141201432d d (,,)d x x x x y x y f x y z z ----+⎰⎰⎰（C ）222221141211432d d (,,)d x x x x y x y f x y z z ----+-⎰⎰⎰（D ）222221143211412d d (,,)d x x y x x x y f x y z z -+----⎰⎰⎰【答案】应选（C ）因为被积函数为抽象函数(,,)f x y z ，函数是否具有奇偶性无法得知，所以选项（A ）（B ）错误，选项（D ）中变量z 的上下限错误。

期末练习一、填空题1、函数22()log (4)f x x =-的定义域为 [][]2112，，-- （用区间表示）{{2211040122＜＜或＞＝＞x x x x --≤≥-≥-2、已知36lim 12xx a e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则a = 44a 232321lim 6232====⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ℵ→b a e ea x a a a x x3、若22lim32x x x kx →-+=-，则k = -2 2²-2+k=04、已知函数在点()1,3处的导数值为2，则该函数对应曲线在该点处的切线方程为y = 2x+1（1，3） f(1)=2y-3=2（x-1） y=2x=15、已知sin xy ex -=，则dy =dxe s x dy e x x x e x e y x x x x -----=-=+⋅-=')sin (cos )sin (cos cos sin6、函数21x y x =+在1[,1]2-的最小值为1200)1(2)1()1(2y 2222-='-===++=+-+='x y x x y x x x x x x x 无定义21)1(212141)21(0)0(0)(100)(021===-=↑<'≤≤↓<'≤≤-f f f x f x x f x 当7、已知曲线上任意点切线的斜率为x sin ，且曲线过点()1 ，π，则该曲线方程为y = -cosx⎰+-==c x xdx y cos sin xccos y 0c c cos cos 1-==+-+=ππ8、421x dx x=+⎰ cx c a x c x c a dx xdx xx x dx xx x ++-=++-=+++-+=+⎰⎰⎰tan tan 111111414322223γγ二、计算题 9、求函数y =dxxa x x a x xa x x a )()2(12y 222222222222121---=-⋅-⋅+-=' 10、设()y f x =是由方程22ye x y =确定的函数，求dydx2222)2(22xyy y x e y y x xy y e yx y ='-'⋅⋅+='⋅yx e xy y 2222y -='11、求02lim sin x x x e e xx x -→--- 12、lim (arctan )2x x x π→+∞-21lim 2lim 2)2(lim 2cos 200200lim=+=-=-+=--+=-→-→-→-→x x x xx x x x x xxx e e xe e x e e x x xe e 11lim lim arctan lim221111222=+=--=-=∞→++∞→+∞→x x xx x x x xx π13、求21x xe dx e +⎰ 14、求 ce c a c u c a du ue u e d e dx e e dx e e x xxx xx x x +=+=+==+='+=+=⎰⎰⎰⎰tan tan 11)()(11)()(11112222λγ）（c t dx ct t dt t dtt t dt t tdt dx t t x x t +--=-++-=+-=+-+=+==+=+=-=⎰⎰⎰⎰1ln t 111ln 1111111t2321233222原式令15、求2sin x xdx ⎰[][]cx x x x x xdxx x x x x xd x x dx x x x x xdx x x x x xd x x x d x dx x x dx x x +++-=-⋅+-=+-='+-=⋅+-=-=-='-='-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰cos 2sin 2cos sin sin 2cos )(sin 2cos )(sin 2cos cos 2cos )(cos )(cos )(cos )(cos )cos (222222222216、判定函数sin 0()00sin 0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩在0x =处的连续性、可导性。

总复习1本高等数学1讲的内容基本可以归结为：一个思想：极限的思想；两个体现：微分与积分。

一．基本概念及其计算1.求极限；2.求导数与微分；3.求极值、最值；4.求不定积分；5.求定积分；6.求面积、体积与弧长；7.求平面与直线的方程。

二．应用（重点是几何应用）： 1.利用导数求切线；2.利用定积分的元素法求面积体积与弧长；3.最值问题。

综合练习(精选) 一． 计算 1. 计算下列极限说明：在习题课上已经总结了许多求极限的方法。

但最开始应该想到的还是罗比达法则以及两个重要极限。

*（1）222n n 2n n 1lim()n 1+→∞-+ 答案：4e - *（2）x 011lim()sin x x→- 提示：通分后用罗比达。

答案：0 *（3） x 0ln(1x)x lim 1cos x→+--（04-05） 提示：罗比达结合重要极限。

答案：-1 **（4）()x x 1x 1ln x limx e e→---（08-09） 答案：0 **（5）x 1ln(1+a 提示：等价无穷小替换。

答案：1 **（6）1xx x 0lim(ex)→+（07-08） 提示：重要极限结合罗比达。

答案：2e*（7）x 0x lim→提示：分母有理化 答案：2*（8）x lim x(arctan x)2→+∞π- （07-08） 答案：1 （9）x2x 0e cosx 1x lim x →-- 答案：0 **（10）xsinxx 030(tant sint)dt limt dt→-⎰⎰提示：注意变上限积分求导。

答案：1/22．计算下列导数 *（1） 2sin (3x 1)y e-=，求y ' 答案：2sin (3x 1)y'3sin(6x 2)e-=-**（2）cosxy x(sinx)=，求y '答案：cosxcosx y'(sin x)x(sin x)[sin xlnsin x cot xcos x]=+-+*（3）221x f(x)arcsin 1x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，求f '(x)。