10.3.6 分式基本性质、分式的乘除

分式的基本性质思维导图分式是代数中一种带有变量的表达式，它由分子和分母组成。

分式的基本性质包括：1.分式的加减法：在加减分式时，必须先约分分式，然后对分子分别进行加减运算，分母不变。

2.分式的乘除法：在乘除分式时，可以先将分子和分母分别进行乘除运算，然后约分分式。

3.分式的约分：约分是指将分式化简为最简分式，这通常通过求最大公约数来实现。

4.分式的倒数：倒数是指将分子和分母互换位置，即分子变为分母，分母变为分子。

5.分式的含义：分式表示一个量与另一个量的比值，分子表示被除数，分母表示除数。

1.分式的加减法：在加减分式时，必须先约分分式，然后对分子分别进行加减运算，分母不变。

例如：(2/3) + (4/6) = (2/3) + (2/3) = (2+2)/3 = 4/3(x/2) - (2x/4) = (x/2) - (x/2) = 02.分式的乘除法：在乘除分式时，可以先将分子和分母分别进行乘除运算，然后约分分式。

例如：(2/3) * (4/5) = (24)/(35) = 8/15(x/2) / (2x/4) = (x/2) * (4/2x) = x/4x = 1/43.分式的约分：约分是指将分式化简为最简分式，这通常通过求最大公约数来实现。

例如：8/15 约分为8/15 = 8/5 * 3/3 = 8/5 * 1 = 8/54.分式的倒数：倒数是指将分子和分母互换位置，即分子变为分母，分母变为分子。

例如：1/x 的倒数为x/1 = x5.分式的含义：分式表示一个量与另一个量的比值，分子表示被除数，分母表示除数。

例如：2/3 表示2个物品与3个物品的比值，即2/3。

x/y 表示x个量与y个量的比值，即x/y6.分式的零值：分母不能为零，因为除数不能为零。

如果分母为零，则分式的值为无穷大或不存在。

7.分式的混合运算：分式的混合运算就是分式的加减乘除混合运算，例如：(2x + 3)/(4x - 5) + (6x - 7)/(8x + 9) = (2x + 3)(8x + 9) + (6x - 7)(4x - 5) / (4x - 5)(8x + 9)8.分式的次数: 分式中变量的次数称为分式的次数。

分式知识点六年级分式，是数学中重要的一个概念，也是六年级的知识点之一。

在学习分式的过程中，同学们需要掌握其定义、基本性质和简单的运算规则。

下面就让我们一起来了解一下六年级学生需要掌握的分式知识点。

1. 分式的定义分式是由分子和分母组成的数学表达式，通常写作a/b的形式，其中a为分子，b为非零分母。

分子表示被分割的份数，分母表示整体被分成的份数。

2. 分式的基本性质（1）分式的值大小可以用分子除以分母的结果来表示。

当分子大于分母时，分式的值大于1；当分子等于分母时，分式的值等于1；当分子小于分母时，分式的值小于1。

（2）分式的分子和分母可以同时乘以一个非零数，而不改变分式的值。

（3）分式的分子和分母可以约分，即同时除以它们的最大公约数，得到一个与原分式值相等、但分子和分母互质的新分式。

3. 分式的运算（1）分式的加减运算：当分母相等时，我们只需要对分子进行加减运算，并保持分母不变；当分母不等时，我们需要先通分，将分数转化为同分母的分数，然后进行相应的运算。

（2）分式的乘除运算：两个分式的乘积等于它们的分子相乘得到新分子，分母相乘得到新分母；两个分式的除法等于第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数得到新分子，分母乘以第一个分式的倒数得到新分母。

4. 分式的应用（1）分式的应用在生活中非常广泛，例如在比例问题中常常会遇到，比如“A和B的比例为3:5，其中A的数量为4个，求B的数量”等等。

（2）分式还可以用来解决部分面积、体积和长度的问题，比如“已知一个木桶的直径为4米，高为6米，求木桶的表面积”等等。

总结：分式作为数学中的一个重要概念，在六年级的学习中起着至关重要的作用。

通过掌握分式的定义、基本性质和简单的运算规则，同学们可以更好地解决各种实际问题，并提高数学解题的能力。

希望同学们在学习分式的过程中能够加强练习，不断巩固和拓展相关知识，为接下来高年级的学习奠定坚实的基础。

约分、通分是学习分式运算的关键对一个初中学生来说，具备代数运算能力是一个非常重要的方面，而分式的运算既是一个重点又是难点．但从另一个角度看，如果找到了它的运算的特点规律，反而觉得容易有趣．我们认为熟练进行分式的约分通分就是掌握分式运算的一个好方法．下面谈谈自己的见解．分式的乘除，说到底就是先约分，约去所有分子分母中的公因式，然后再按整式的乘法把分子分母分别写出来．由此可见，在这里分式的约分是关键．分式的加减，首先是通分，化异分母为通分母．解决了此问题，分式的加减就变成了整式的加减，也就是合并同类项．因此，我们可以说，分式的通分是分式加减的关键． 那么，又怎样学好分式的约分通分呢?分式的约分主要是找到分子分母的公因式，约去公因式;而找公因式又可分为单项式和多项式两种情况．对于单项式来说，公因式可取分子分母系数的最大公约数、所有相同字母低次幂的积．对于多项式来说，先分解因式，然后类比单项式的方法找到公因式．分式的通分主要是找到最简公分母，而最简公分母一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母．解决了这个问题，就可化异分母为通分母而进行分式的通分了．在通分时，应注意:①若分母的系数不是整数时，应先利用分式的基本性质将其化整数，再求系数的最小公倍数②分母的系数若为负数时，应利用分式的符号法则把负号放到分式前面③分母是多项式时，先把分母按某一字母顺序排列，然后进行因式分解，再确定最简公分母．如计算：（1）cd b a c ab 4522223-÷;（2）通分：a 25-，3292b a ，32127c ba -． 分析：第（1）小题是分式的乘除运算，很显然需要约分，只要把除变为乘，约去公因式即可；第（2）小题需要通分，因为分母系数的最小公倍数是36，字母因式a 、b 的最高次幂分别是a 4、b 3，所以最简公分母是36a 4b 3． 解：（1）cdb ac ab 4522223-÷＝2223542b a cd c ab -⋅＝ac d 52b -， （2）∵最简公分母是36a 4b 3．，，，说明：对于第（1）小题，在约公因式时，数要找它们的最大公约数，所有相同字母要找其最低次幂的积；对于第（2）小题，求最简公分母可概括为以下几步：①取各分母系数的最小公倍数，②凡出现的字母(或含字母的式子)为底的因式都要取．③相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的．最后按上述条件将取出的因式写成积的形式．在找出最简公分母后，就要确定分子、分母所应乘以的因式，这个因式就是公分母除以原分母所得的商．。

关于初二数学下册必备知识点归纳初二数学下册必备知识点归纳第一章分式1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变。

2、分式的运算(1)分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的'积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

(2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;。

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

3、整数指数幂的加减乘除法。

4、分式方程及其解法。

第二章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质。

图像：双曲线。

表达式：y=k/x(k不为0)性质：两支的增减性相同;2、反比例函数在实际问题中的应用。

第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

第四章四边形1、平行四边形。

性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。

判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形;一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。

推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。

2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形(1)矩形性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等;矩形具有平行四边形的所有性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

(2)菱形性质：菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形。

(3)正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。

分式的乘除（基础）责编：杜少波【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.【要点梳理】【高清课堂402545 分式的乘除运算 知识要点】要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=，其中a b cd 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【典型例题】类型一、分式的乘法1、计算：(1)422449158a b x x a bg ；(2)222441214a a a a a a -+--+-g ． 【思路点拨】(1)中分子、分母都是单项式，直接用分式乘法法则计算，结果要通过约分化简；(2)中分子、分母都是多项式，要先把可分解因式的分子、分母分解因式，然后用乘法法则化简计算．【答案与解析】解：(1)422449158a b x x a b g 422449315810a b x b x a b x==g g ． (2)222441214a a a a a a -+--+-g 22(2)1(1)(2)(2)a a a a a --=-+-g 22(2)(1)(1)(2)(2)a a a a a --=-+-g g 222(1)(2)2a a a a a a --==-++-． 【总结升华】分式的乘法运算的实质就是运用分式的基本性质把分式约分化简的过程，熟练之后也可先约分后运用乘法法则计算．举一反三：【变式】计算．（1）26283m x x m g ；（2）22122x x x x+-+g 【答案】解：（1）原式22621283242m x mx x x m mx ===g g ； （2）原式22112(2)2x x x x x x+==-+-g ； 类型二、分式的除法【高清课堂402545 分式的乘除运算 例1（4）】2、 计算：(1)222324a b a b c cd-÷；(2)2222242222x y x y x xy y x xy -+÷+++． 【思路点拨】(1)先运用法则将分式的除法转化为乘法，然后约分化简；(2)先运用分式的除法法则将分式的除法转化为乘法，同时将分子、分母分解因式，然后约分化简．【答案与解析】解：(1)222324a b a b c cd -÷22222244236a b cd a b cd c a b c a b ==--g g 23d c=-．。

分式的乘除运算讲解1.引言1.1 概述分式是数学中重要且常见的概念，在解决实际问题中具有广泛的应用。

分式的乘除运算是我们在求解分式相关问题时必须掌握和应用的基础运算。

分式的乘法运算是指将两个分式相乘，得到一个新的分式。

而分式的除法运算则是将一个分式除以另一个分式，同样得到一个新的分式。

在实际生活中，我们经常遇到需要对分式进行乘除运算的情况，比如在购物中打折优惠、计算比例和比率等等。

为了正确进行分式的乘除运算，我们需要先了解分式的定义与性质。

分式可以看作是分子和分母之间带有分数线的数学表达式。

在分式中，分子表示分数的分子部分，而分母表示分数的分母部分。

分式的分子和分母都可以是整数、变量、或两者的组合。

在乘法运算中，我们将两个分式相乘，只需将它们的分子相乘，分母相乘，得到的积即为乘法结果的分子与分母。

而在除法运算中，我们将一个分式除以另一个分式，需要将被除数的分子与除数的分母相乘，被除数的分母与除数的分子相乘，从而得到商的分子与分母。

通过了解分式乘除运算的步骤和性质，我们可以更加灵活地对分式进行运算，解决实际问题中的各种分式运算题目。

分式的乘除运算不仅是数学中重要的基础知识，也是我们日常生活中的实际运用。

掌握了分式的乘除运算，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高数学解题的能力和运算的准确性。

综上所述，本文将详细介绍分式的乘除运算的定义、性质以及运算步骤，并总结其应用与拓展。

通过学习与掌握分式的乘除运算，我们可以在数学解题中更加得心应手，为日常生活中的计算和问题解决提供帮助。

1.2 文章结构本文将按照以下结构进行分析和讲解分式的乘除运算。

2. 正文2.1 分式的乘法运算2.1.1 定义与性质2.1.2 乘法运算的步骤2.2 分式的除法运算2.2.1 定义与性质2.2.2 除法运算的步骤3. 结论3.1 总结分式的乘除运算在本章节中，我们通过详细解释分式的乘法与除法运算，掌握了其定义、性质以及实际操作步骤。

分式的基本性质优秀教案一、教学内容本节课我们将探讨《数学》教材第十五章第一节“分式的基本性质”。

具体内容包括分式的定义、分式的基本性质、分式的乘除法运算以及分式的约分。

二、教学目标1. 理解并掌握分式的定义及基本性质。

2. 学会分式的乘除法运算，并能熟练运用。

3. 能够对分式进行约分，并解释其约分原理。

三、教学难点与重点教学难点：分式的乘除法运算及约分。

教学重点：分式的定义、基本性质以及相关运算法则。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、草稿纸、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示实际生活中分式的应用，如分数蛋糕、速度等，引发学生对分式的兴趣。

2. 分式的定义及性质（10分钟）讲解分式的定义，并通过例题讲解分式的基本性质。

3. 分式的乘除法运算（15分钟）介绍分式的乘除法运算规则，并进行例题讲解。

接着，布置随堂练习，让学生独立完成。

4. 分式的约分（10分钟）讲解分式约分的原理及方法，并进行例题演示。

随后，让学生进行随堂练习。

5. 小结与巩固（5分钟）6. 互动环节（10分钟）学生提问，教师解答。

针对学生在学习过程中遇到的问题进行解答。

七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：（1）2（2）5/4（3）3/2八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，学生对分式的定义、基本性质及运算法则有了更深入的理解，但仍有个别学生在约分环节存在困难，需要在课后进行个别辅导。

2. 拓展延伸：鼓励学生探索分式在其他数学领域的应用，如函数、不等式等，提高学生的综合运用能力。

重点和难点解析：1. 分式的定义及性质2. 分式的乘除法运算3. 分式的约分4. 互动环节5. 作业设计一、分式的定义及性质分式的定义：分式是由两个整式相除得到的表达式，其中被除数称为分子，除数称为分母。

分式的基本性质包括：1. 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个非零整式，分式的值不变。

初中数学《分式的基本性质》精品教案一、教学内容本节课选自人教版初中数学教材八年级上册第十四章《分式》，详细内容包括：分式的定义、分式的基本性质、分式的约分与通分、分式的乘除法及分式的乘方。

二、教学目标1. 理解并掌握分式的基本性质，能够运用基本性质对分式进行简化。

2. 能够运用约分与通分的方法对分式进行运算。

3. 学会分式的乘除法及乘方运算，并能够灵活运用解决实际问题。

三、教学难点与重点重点：分式的基本性质、约分与通分、分式的乘除法及乘方运算。

难点：分式的简化，尤其是含有绝对值的分式简化；分式的乘除法及乘方运算在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：教材、练习本、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个关于速度、时间和路程的实际问题，让学生列出分式表达式，引导学生思考如何简化分式。

2. 知识讲解：（1）回顾分式的定义，引导学生掌握分式的结构。

（2）讲解分式的基本性质，如分子分母同乘（除）一个非零常数，分式的值不变。

（3）通过例题讲解，演示如何运用基本性质简化分式。

3. 随堂练习：设计一些关于分式简化、约分与通分的练习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。

4. 例题讲解：（1）分式的乘除法运算。

（2）分式的乘方运算。

（3）含有绝对值的分式简化。

5. 课堂小结：六、板书设计1. 分式的定义与结构。

2. 分式的基本性质。

3. 分式的约分与通分。

4. 分式的乘除法及乘方运算。

5. 例题及解题步骤。

七、作业设计1. 作业题目：（1）简化分式：2/(4x8)。

（2）计算分式的乘除：3x/(x+2) ÷ 2x/(x2)。

（3）计算分式的乘方：(x^24)/(x+2)^2。

2. 答案：（1）1/(2x4)。

（2）3x(x2)/(2(x+2)(x2))。

（3）(x2)^2/(x+2)^2。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对分式的基本性质、约分与通分掌握较好，但在解决实际问题中运用分式的乘除法及乘方运算时，部分学生还存在困难，需要在今后的教学中加强练习。

八年级数学上册分式知识点八年级数学上册分式知识点在我们的学习时代，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。

哪些才是我们真正需要的知识点呢？下面是店铺帮大家整理的八年级数学上册分式知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。

八年级数学上册分式知识点1分式知识点1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0;分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3.分式值为零的条件：分式AB=0的条件是A=0，且B≠0.(首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。

)4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为(其中A、B、C是整式)，5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。

几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。

求最简公分母时应注意以下几点：(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。

6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;(2)找公因式的方法：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

分式方程知识点归纳总结1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。

1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。

2) 分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。

3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ）注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。

（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。

（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。

2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。

4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。

4. 分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。

用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。

5. 条件分式求值1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。

C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=411=+b a bb a b ab a 7223-++-例：已知 ，则求2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。

分式基本性质与分式的运算教学目标1. 了解分式定义，掌握分式基本性质；2. 掌握分式约分；3. 会进行简单的分式的乘除运算；4. 会找几个异分母分式的最简公分母；5. 会用分式的基本性质将异分母分式进行通分；会进行简单的分式的加减运算。

教学重难点掌握分式基本性质；分子与分母为多项式的分式的乘除运算； 找异分母分式的最简公分母、分式的通分； 异分母的加减运算。

透析定义：1. 对于分式的概念，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商式，分数线起除号和括号的作用。

（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母一定含有字母。

（3）分母不为零是分式概念的组成部分，不论是分数还分式，分母为零都没有意义。

例题：判断下列各式，哪些是整式，哪些是分式？x 1 3ay x x - a ab 22-+x x π1+x ()y x -41， 0， 12-a整式有： 分式有：① 【注意】：判断一个代数式是否是分式，关键是 。

② 一些特殊的符号，如π，不能看做字母，π2c不是分式．2. 理解下面题目的意义 （1）当x 为何值时，分式322-+x x 有意义？ 【分母不等于0】（2）当x 为何值时，分式32-+x x 无意义？ 【分母等于0】（3）当x 为何值时，分式22-+x x 的值为零？ 【分子等于0且分母不等于0】例题：若分式11--x x 的值为零,则x =________.若分式()()23312+---m m m m 的值为零,则m=________.分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式值不变。

即注意 ： 如果分式的分子、分母是多项式，必须先使用括号，把分子、分母括起来，再乘以（或除以）某一个整式．1. 下列等式从左到右变形错误的是（ ）A. x y x y --=B.2xxyx y = C.x a y a x y 22= D.()()x a y a x y 1122++=2. 把分式yx x+中的x,y 都扩大3倍,则分式的值（ ） A.不变 B.扩大为原来的3倍 C.扩大为原来的6倍 D.扩大为原来的9倍3. 不改变分式23.015.0+-x x 的值,把分子、分母中的各项系数都化为整数,则所得的结果是（ ）A. 3315+-x xB.203105+-x xC.2312+-x xD.2032+-x x4. 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母中都不含“-”号（1）=-y x 23 ； （2） =--xyz3 ； 5. 填空（1）()z xy xy 21= ； （2）()2332x x y = ； （3）()m n mn =32369；（4）()aa ca +=+21 ； （5）()22y x y x m -=-； （6）()()1=-y x x x。

分式的概念和性质分式是初中数学的重点之一，它的概念和性质在数学学习中都非常重要。

在学习分式前，我们需要先了解一下什么是分数。

分数是用以表示整体中一部分的数，通常用两个数之间的横线表示。

其中，分数的上面的数叫做分子，下面的数叫做分母。

分数的基本性质是不变性，即分数的分子和分母乘或除以一个数，得到的新分数仍与原来的分数相等。

分数中分数线上下有约定，使分数具有良好的可读性和利于计算。

分式是一种特殊的分数，其中分数线上下分别由两个代数式代替。

其中，分式的分子和分母都可以是整式、分式和带有根式的式子。

分式的性质如下：1.分式的基本性质：两分式整理后可以加减乘除，其中，加减分式的条件是分式的分母相同，乘除分式则相对灵活。

2.分式的转化：①分式的拆分：可以通过因式分解，把分式化为几个分式的和差形式，然后再进行化简。

②通分：通分是把不同分式的分母化为相同的分母，再进行分式的加减运算。

3.分式的简化：①约分：约分是将分式的分子和分母都除以它们的公因数，使分子和分母的最大公约数为1。

②化简：化简是将分式中的分子和分母都除以一个代数式，使它们互质或分子和分母的最大公约数为1。

4.分式的值域：值域是指对于一个分式来说，分母不能为0，分子也不能使式子无解。

因此，我们需要注意分式的值域问题，在分式的运算时，要避免出现分母为0、分式无解等情况。

5.分式的定义域：定义域是指分式中所有的实数值，使得分式的值存在，也就是说，它不存在0为分母的情况。

定义域可以通过化简分式、判断根式、不等式等方法进行确定。

以上就是关于分式的概念和性质的详细解释。

在数学学习中，分式是一个重要的知识点，它不仅广泛应用于代数、数学中，也是日常生活中普遍使用的数学概念之一。

在学习分式时，我们需要搞清楚分式的概念和性质，掌握它们的相关计算方法，这样才能够在数学学习中做好分式的运算和推导。

2023-11-04CATALOGUE目录•分式的定义与概念•分式的基本性质•分式的运算•分式方程•分式的简化与化简•分式在实际生活中的应用01分式的定义与概念分式的定义分子在分式$\frac{A}{B}$中，A叫做分式的分子。

分母在分式$\frac{A}{B}$中，B叫做分式的分母。

定义如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。

分式值为0的条件当分母为0，而分子不为0时，分式的值无意义。

分式通分将异分母的分式化为同分母的分式的过程。

分式约分将分子和分母同时除以它们的公因式，将分式化简。

分式的基本概念分式的重要性分式是数学中一个重要的概念，是连接整式与分数的桥梁。

分式的运算是数学中的基本运算之一，掌握好分式的性质和运算法则是学习数学的基础。

02分式的基本性质03约分后结果约分后的结果是分子、分母没有公因式的分式或整式。

分式的约分01约分定义约分是分式的一种恒等变形，其目的是将一个分式化简成最简分式或整式。

02约分步骤首先将分子、分母的公因式提取出来，然后约去分子、分母的公因式。

分式的通分通分定义通分是将几个异分母的分式化为同分母的分式的一种恒等变形。

通分步骤首先确定每个分式的最简公分母，然后将每个分式的分子、分母同时乘以同一个不等于零的整式，化为同分母的分式。

通分后结果通分后的结果是同分母的分式。

分式的相等与不相等分式相等如果两个分式的值相等，那么这两个分式是相等的。

分式不相等如果两个分式的值不相等，那么这两个分式是不相等的。

03分式的运算1分式的加减法23将异分母分式转化为同分母分式，然后进行加减运算。

异分母分式相加减通过通分，将异分母分式转化为同分母分式。

通分分母不变，分子相加减得到结果。

分母不变，分子相加减将分子和分母进行因式分解，找到公因式并约分。

约分将分子和分母同时乘以一个不为零的数或式子，使得分母相同。

通分按照分数的乘除法规则进行计算。

分式的乘除法分式的乘除法按照运算顺序进行先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

年级初二学科数学内容标题分式的基本性质、乘除及乘方运算编稿老师何莹娟一、学习目标：1.了解分式的定义，并能正确地判断一个代数式是否是分式.2.掌握分式的基本性质，掌握分式约分的方法，熟练进行约分、通分并了解最简分式的意义.3.进一步理解分式的基本性质以及分式的变号法则.4.熟练地进行分式乘除法和乘方的混合运算.二、重点、难点：1.探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件.2.分式约分、通分的方法.3.分式的乘除法、乘方运算.4.分式的乘除法、及乘方的混合运算，分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定.三、考点分析：分式作为初中数学的重点内容之一，也是每年中考的热门考点，考查题型多种多样，分值一般在6－9分.知识点一：分式的概念分式的定义： 形如BA的式子，当A 、B 都是整式，且B （除式不能为零）中含有字母时，这样的式子叫做分式.其中A 叫分式的分子，B 叫分式的分母.例题讲解例1：当x 为何值时，下列分式有意义.（1）2-x x ； （2）141+-x x .思路分析：题意分析：本题考查分式的定义.解题思路：若要使分式有意义，只需分式的分母不为零，可据此进一步解出字母x 的取值范围.解答过程：（1）2≠x （2）41-≠x 解题后的思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎样解题吗？这样可以使一题二用，也可以全面地感受到分式及有关概念.例2：当m 为何值时，分式的值为0？（1）1-m m ；（2）32+-m m ；（3）112+-m m .思路分析：题意分析：本题考查分式值为0的问题.解题思路： 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：①分母不能为零；②分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. 解答过程：（1）m=0 （2）m=2 （3）m=1解题后的思考：我们从实例中发现了分式和整式的不同之处：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母，且除式不能为零，即分母不能为零，明白了分式中的字母是有条件约束的，分式中的字母的取值必须保证分母不为零. 小结：1. 掌握理解分式的概念.2. 分式的概念和分式有意义的条件.应用分式有意义的条件——分母不为零，解出字母的值.还可以利用不改变分式，只把题目改成“分式无意义”，使学生比较全面地理解分式及有关的概念，也为今后求函数的自变量的取值范围，打下良好的基础.3. “在什么条件下，分式的值为0？”，分式的值为0时，必须同时满足两个条件：①分母不能为零；②分子为零.由这两个条件得到的解集的公共部分才是这一类题目的解.知识点二：分式的基本性质分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是：MB MA B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=, （其中M 是不等于零的整式）. 与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分. 1、分式的变号法则例3：不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： （1）21x x -； （2）322+--x x. 思路分析：题意分析：本题考查分式的基本性质的知识.解题思路：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用.（2）当括号前添“+”号时，括号内各项的符号不变；当括号前添“－”号时，括号内各项都变号. 解答过程：（1）1122--=-x x x x ； （2）323222--=+--x x x x . 解题后的思考：不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含“－”号.它是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘－’号”是分式的基本性质的应用之一. 2、分式的约分例4：约分（1）4322016xy y x -； （2）44422+--x x x . 思路分析：题意分析：本题考查利用分式的基本性质进行约分.解题思路：约分时要找准分子和分母的公因式，最后的结果必须是最简分式. 解答过程：（1）;542016432y xxyy x -=- （2）44422+--x x x ＝2)2()2)(2(--+x x x ＝22-+x x .解题后的思考：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后再进行约分.约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式. 3、分式的通分思考：如何把分数65,43,21通分. 解：126261621=⨯⨯=，129433343=⨯⨯=，1210625265=⨯⨯= 思考：什么叫分数的通分？答：把几个异分母的分数化成与原来的分数相等的同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分.和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分.通分的关键是确定几个分式的公分母.例5：通分 （1）4322361,41,21xy y x z y x ；（2）2241xx -与412-x . 思路分析：题意分析：本题考查有关实数的知识.解题思路：（1）对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，以字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3，以字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4，再取字母z .所以三个分式的最小公分母为12x 3y 4z .（2）先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即4x －2x 2=－2x （x －2），x 2－4=（x+2）（x －2），把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即()()222-+x x x 就是这两个分式的最简公分母.解答过程：（1）;1262143223zy x y z y x = ;123414332z y x xyzy x = ;122614324zy x zx xy = （2）()();22222412-++-=-x x x x x x)2)(2(22412-+=-x x x xx . 解题后的思考：通分是要正确地确定各个分母的最简公分母1. 取各分式的分母中系数的最小公倍数；2. 各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3. 相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4. 所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母.5. 分式是多项式时，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定最简公分母. 小结：知识点三：分式的运算 1、分式的乘除例6：计算：（1）x b ay by x a 2222⋅ ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷a bc ac b 2110352 ；（3）493222--⋅+-x x x x ； （4）)3(2962y y y y -÷++-；（5）)4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅；（6）x x x x xx x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(44622. 思路分析：题意分析：本题考查分式的乘除运算解题思路：①本题是几个分式在进行什么运算？②每个分式的分子和分母都是什么代数式？③在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解因式？ ④怎样应用分式乘法法则得到积的分式？解答过程：（1）3323232222ba xyb xy a x b ay by x a ==⋅；（2）222222730105102135211035cb abc ab bc a ac b a bc ac b -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷； （3）原式＝)2)(2()3)(3(32-+-+⋅+-x x x x x x ＝23+-x x ； （4）31)3(196)3(96222-=⋅-=⋅+-=-÷+-y y y y y y y ； （5）)4(3)98(23232b xb a xy y x ab -÷-⋅=()x b ba xy y x ab 34)98(23232-⋅-⋅=xb b a xy y x ab 349823232⋅⋅ =32916ax b ； （6）x x x x xx x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(44622x x x x x x x --+++--3)2)(3(3144622=x x x x x x --+⋅+⋅--3)2)(3(31)2()3(22 =)3()2)(3(31)2()3(22---+⋅+⋅--x x x x x x =22--x . 解题后的思考：（1）根据分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果.（2）分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果中如果分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘时不必把它们展开. 2、分式的乘方讲解分式乘方的运算法则之前，根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算2)(b a =⋅b a b a =b b a a ⋅⋅=22b a ，3)(b a =⋅b a ⋅b a b a =b b b a a a ⋅⋅⋅⋅=33ba ，……顺其自然地推导可得：归纳出分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.例7：计算：（1）332)23(c b a -； （2）32223)2()3(xay xy a -÷； （3）)()()(422xy xy y x -÷-⋅-. 思路分析：题意分析：本题考查分式的乘除及乘方运算.解题思路：（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）、（3）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应注意运算顺序：先做乘方，再做乘除. 解答过程：（1）936332827)23(cb ac b a -=-； （2）43663239889)2()3(y x a y a x y x a x ay xy a -=⋅-=-÷； （3）4422242211)()()(yxy x y y x xy x y y x =⋅⋅=-÷-⋅-. 解题后的思考：分式的乘除与乘方的混合运算是分式中的重点，也是难点，要注意运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破难点.小结：分式的运算以有理数和整式的运算为基础，以因式分解为手段，经过转化后往往可视为整式的运算.分式法乘除的法则和运算顺序可类比分数的有关内容得到.所以，用类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.特别要注意运算符号的问题.1. 突破难点的方法是利用分式与分数有许多类似之处，从分数入手，研究出分式的有关概念，同时还要清楚分式与分数的联系与区别.通过复习分数的通分、约分总结出分数的基本性质，再用类比的方法得出分式的基本性质.应用分式的基本性质导出通分、约分的概念，使学生在理解的基础上灵活地将分式变形.2. 分式的乘除法法则和运算顺序可类比分数的有关内容得到.所以学会用类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.另外要紧紧抓住做分式乘除法的混合运算时先统一成乘法运算这一点，分式乘除法的混合运算，要注意运算顺序，不要跳步.还要注意运算符号问题、变号法则.（答题时间：60分钟）一、填空题1. 分式24xx -，当x_______时，分式有意义；当x_______时，分式的值为零. 2. 当x_______时，分式15x -+的值为正；当x______时，分式241x -+的值为负.二、选择题3. 下列式子①2x ，②5x y +，③12a -，④1x π-中，是分式的有（ ） A . ①②B . ③④C . ①③D . ①②③④4. 分式31x ax +-中，当x=－a 时，下列结论正确的是（ ） A . 分式的值为零 B . 分式无意义C . 若a ≠－13时，分式的值为零 D . 若a ≠13时，分式的值为零 5. 下列各式中，可能取值为零的是（ ）A . 2211m m +-B . 211m m -+C . 211m m +- D . 211m m ++6. 使分式||1xx -无意义，x 的取值是（ ）A . 0B . 1C . －1D . ±17. 计算（2x y ）·（y x ）÷（－yx ）的结果是（ ）A . 2x yB . －2x yC .xyD . －x y8. 122+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m b 的值是（ ）A . 2321n n b m ++B . －2321n n b m ++C . 4221n n b m ++D . －4221n n b m++9. 化简：（3x y z ）2·（xz y ）·（2yzx ）3等于（ ）A . 232y z xB . xy 4z 2C . xy 4z 4D . y 5z*10. 如果（32a b ）2÷（3a b）2=3，那么48b a 等于（ ）A . 6B . 9C . 12D . 81三、解答题11. 计算：（1）2222213462a a a a a a a a a a -⋅--÷+-+；（2）269x x -+÷29x -·3x +.**12. 已知0233132=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-b a b a =0. 求2b a b +÷[（b a b -）·（ab a b +）]的值.13. 先化简，再求值：232282x x x x x +-++÷（2x x -·41x x ++）. 其中x=－45.一、填空题1. ≠±2，=02. <5，任意实数二、选择题3. C4. C5. B6. D7. B8. D9. B10. 3662242842342()()3339a a a b a b a b b bb a ÷=⋅=⋅=⋅= 答案是B三、解答题11. （1）22222234962aa a a a a a a a -⋅--÷+-+ ()()()()()22222332a a a a a a a a a -⋅-+-⋅-+=31-=a （2）102310396962222-+⋅---÷--+-x x x x x x x x x()()()()()()()()52333252332-+⋅-++-⋅+--=x x x x x x x x x 21= 12. ,013,0233132=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-b a b a b a 2,1,0233-=-==-b a b a .代入2b a b +÷[（b a b -）·（aba b +）]=－1 13. ⎪⎭⎫⎝⎛++⋅-÷++-+142282232x x x x x x x x x ()()()()()()4211242+-+⋅+-+=x x x x x x x x 11+=x把54-=x 代入11+x ，原式=5。

分式的基本性质在物理中的应用
1.分式的基本性质及应用
(1)分式的基本性质
分式是数学中最基本的概念之一，是指加减乘除以及括号等形式的表
达式，表示两个或者多个数字、变量或者因式的组合。

例如：x/y, (a+b) / c, (a+7b/c) / (d-2)等。

由于分式的关系，数值之间可以变换；同时，分式定义了一种新的运算规则，可以用来求解不同类型的数学问题。

(2)分式在物理学中的应用
分式在物理学中有着重要的应用，比如力学有关的运动学问题和热学
有关的热力学问题，都是以分式的形式表示的。

在力学中，运动学里经常用分式来表示动能和势能的变化。

例如，速
度与动能之间关系binv=1/2mv^2表示动能定义。

同样，热力学一般以质量、温度、压强等热力物理量表示，用分式来表达这些变量之间的
关系。

例如，常见的温度和压强定理证明了这一概念，T/P=const，它
表示温度和压强是相对独立的，并满足一定的关系。

另外，分式还常用于描述奥卡姆剃刀原理及数理统计等方面，其中也
广泛运用到各种分式。

此外，物理和数学有很多体系都建立在分式的
基础上，如微分、积分、极限及几何学等。

总之，分式是一种基本而重要的概念，在物理学中有广泛的应用。

它使物理学家们能够处理复杂的数学问题，发现物理定律以及探索物理现象的本质。