李雅普诺夫方法50页PPT

第三章 动态系统的稳定性及李雅普诺夫
分析方法
1
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性
考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t) k1
y(t) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。
10
单摆是Lyapunov意义下稳定或渐近稳定的例子。
xe
11
§2 李雅普诺夫稳定性分析方法
一、李雅普诺夫第一法
又称间接法，通过系统状态方程的解来分析系统的稳定性， 比较适用于线性系统和可线性化的非线性系统。
1．线性系统情况
线性定常连续系统平衡状态 xe 0 为渐近稳定的充要条件
是系统矩阵A的所有特征值都具有负实部。
S( ) ，则称平
衡状态 xe 为不稳定。
二维状态空间中零平衡状态 xe 0 为不稳定的几何解释如右图。
对于线性系统一般有：
lim
t
x(t, x0,t0 ) xe

对于非线性系统，也有可能趋于
S ( ) 以外的某个平衡点或某个极限环。
x2
x(t)
x(t0 ) xe
S( ) S( ) x1
4
3. 平衡状态
对于系统

x
f
(
x ,t )
（线性、非线性、定常、时变）
x (t0 ) x0
如果存在 xe，对所有的t有 f (xe,t) 0 成立，称状态 xe为上述 系统的平衡状态。
通常情况下，一个自治系统的平衡状态不是唯一的。而对于 线性定常连续系统的平衡状态有：
x Axe 0 ①若A非奇异，xe 0 唯一的平衡状态

VxxTPxx2p21 p22
p2n
x1
x2
xn
xnpn1 pn2
pnn
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（4-17）
如果pij＝pji，则称P为实对称阵。对于二次型V（x）＝
x T P x ，若P为实
对称阵，则必存在正交矩阵T，通过变换
x Tx，使之化成
V x x T P x x T T T P T x x T ( T 1 P T ) x
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§4－3 李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统运动方程。而是借助 于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进 行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减， 到达平衡状态时，能量将达到最小值，那么这个平衡状态试渐进稳定的。反之，如果 系统不断的从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果 系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。
例如V（x）＝
(x1 x2)2
（5）V（x）>0或V（x）<0，则称V（x）为不定的。
例如V（x）＝
x1 x2
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[例4-3]判别下列各函数的符号性质。
（1）设x＝[x1 x2 x3]T，标量函数为
V（x）＝ (x1x2)2 x32
因为有V（0）＝0，而且对非零x，例如
半正定的。
x1 , x2 xn和时间t的函数。
一般地，为时变的非线性函数。如果不显含t，则为定常的非线性函数。
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设方程式（4-1）在给定条件（t0，x0）下，有唯一解

则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动 范围内运动稳定性.
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现

例4.13 非线性系统的状态方程为


x1 x 2

x2

x1 (x12

x
2 2
)
x1 x2 (x12 x22 )
分析其平衡状态的稳定性。
解：确定平衡点:
xxe2e1
xe2 xe1
xe1(xe21 xe22 ) 0 xe2 (xe21 xe22 ) 0
取Q=I，P

P11

P12
P12
P22

,代入

T
得
0 1
1 P11

1

P12
P12 P22


P11

P12
P12 0
P22


1
1 1

10
0 1
P12

P11

P12
P12
P22 P22
不恒等于0，V (x) 也不恒等于0，因此， 系统平衡状态是大范围渐进稳定的。
李雅普诺夫函数不是唯一的。本例也可
取 则
V ( x)

1 2
[( x1
x2 ) 2
2 x12

x
2 2
]
V (x) (x1 x2 )(x1 x 2 ) 2x1 x1 x2 x 2
根据上述定义容易检验下列标量函数的正定性
1） V (x) = x12 2x22 是正定的；
2） V (x) = (x1 x2 )2 是半正定的,因为当 x1 x2 时 ， V ( x) =0；
3）V (x) 0

3 李雅普诺夫判稳第一方法
李氏第一法判稳思路： （间接法）
1、线性定常系统－特征值判断 2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化系统
的特征值判断
3.1 线性定常系统的李亚普洛夫第一法 外部稳定性判据：
线性定常连续系统的传递函数是 G (s)C(sIA)1B，当且仅 当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周 期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。
X f( X ,t )X ,( t 0 . ) .X 0 . ,t . . t 0 , ..
2）平衡状态——状态空间中满足 Xef(Xe,t)0 属性的一个 状态。
3）受扰运动——自治系统因初始扰动X0引起的一类状态运动。 用X0u(t)表示。其呈现为状态空间中从X0出发的一条轨线。
2 李亚普洛夫稳定性定义
2.2 状态向量范数
符号 称为向量的范数，xxe 为状态向量端点至
平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差 向量”的空间距离的尺度，其定义式为：
1
x x e ( x 1 x e 1 ) 2 ( x 2 x e 2 ) 2 ( x n x e n ) 2 2
①范数 X0 Xe 表示初始偏差都在以Xe 为中心，δ为半径的
闭球域S(δ)内.
② X0u Xe 表示X 0u偏差都在以Xe 为中心，ε为半径的闭
球域S(ε)内
2.3 李雅普诺夫意义下稳定性意义
1、稳定： （系统的自由响应是有界的） 设 x e 为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域S( )
或任意正实数 0 ，都可以找到另一个正实数 (,t0) 或球
当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将

xe 0
的解
Axe 是系统唯一存在的平衡状态，当A为非奇异时，则
0
xe
会有无穷多个。
5) 由于任意一个已知的平衡状态,都可以通过坐标变换将其变
0
换到坐标原点 xe 处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的
稳定性就可以了。
6) 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。(这一点从
线性定常系统中的描述中可以得到理解)
种平衡状态xe不稳定。
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1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
球域s()限制着初始状态x0的取值，球域s()规定了系统自由 响
(t ; x0 , t0 )
应 x(t ) 的边界。
如果x(t)为有界，则称xe稳定。
如果x(t)不仅有界而且有： lim x(t ) 0 则称 xe 渐近稳定
如果与t0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的
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。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
若对应于每一个s()，都存在一个s()，使当t无限增长使，从
s()出发的状态轨线(系统的响应)总不离开s()，即系统响应的
幅值是有界的，则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下的稳定，
简称为稳定。
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第28页/共66页
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
如果系统 对于有 界输入 u所引 起的输 出y是有 界的， 则称系 统为输 出稳定 。
线性定常 系统 ∑＝（A ，b，c ）输出 稳定的 充要条 件是其 传递函 数
W s c sI A b
1
的极点全 部位于s 的左半 平面。
线性系统的稳定判据
线性定常 系统 ∑＝（A ，b，c ）

2
sin
x1
0 0
由平衡状态定义，令f(x1,x2)=0，可求得平衡状态
x1 x2
k
0
2021年4月30日
0
xe
,
0
,0,0 Nhomakorabea,
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注： ★
1、线性系统的任意平衡状态均可通过坐标变换将其 移到状态空间原点，其稳定性是一致的。
不失一般性的，我们认为线性系统的平衡状态确 定为xe=0。 2、对线性定常系统，可以认为是研究系统的稳定性； 而对其他系统，只能认为是研究某一平衡态下的稳 定性。
lim
t
x xe
x01 k
在t→∞的过程中，由于系统的解x不是收敛于平衡状态 xe，系 统是稳定的，但不是渐近稳定的。实际上，只要每个特征值均具
有负实部，则每个状态分量的零输入解将衰减为0，即收敛于0平
衡状态，系统是渐近稳定的。 ★
实际上，由于是线性系统，分析原点的平衡状态的稳定 性即可。
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诺夫意义下的稳定。
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第5章第10页
工程上往往喜欢渐近稳 定，因为希望干扰除去后， 系统又会回到原来的工作状 态，这个状态正是我们设计 系统时所期望的，也就是前 面所说的平衡状态。
x2 x0
s(ε) s(δ)
x1
渐近稳定
无论是李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳定，都属于系 统在平衡状态附近一小范围内的局部性质。因为系统只要在 包围 xe 的小范围内，能找到δ和ε满足定义中条件即可。至于 从s(δ)外的状态出发的运动，却完全可以超出s(ε)。因此，上 面涉及的是小范围稳定或小范围渐近稳定。
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第5章第12页

假设 V ( x) 0
V ( x) 2(1 x2 )2 x22
a.x2 (t) 0, x1任意
x2
(t )
0
x2
x2
(t ) (t )
0 0
x1 (t )
x1
(t
)
0 0
意味只有零平衡状态才满足。
b.x2 (t) 1, x1任意
x2
(t
)
1
x2 x2
(t (t
) )
1 0
由判据3，系统在零平衡状态是不稳定的。
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第5章第19页
例5.18 分析此系统的稳定性。
解1）求平衡状态
xe1 xe2
0 0
2）选择能量函数
0 x 1
1 1 x
a.V ( x) 2x12 x22 0 V ( x) 4x1x1 2x2x2 4x1(x2 ) 2x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2x22,不定
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例5.16分析系统的稳定性。
x
Ax,
A
1 1
1 1
解1）求平衡状态
2）选择能量函数
xe1
xe
2
0 0
V ( x) x12 x22 0 V ( x) 2x1x1 2x2 x2 2x1(x1 x2 ) 2x2 (x1 x2 ) 2(x12 x22 ) 0
x1 (t )
R L
x1 (t )
1 L
x2 (t)
iR L
x2 (t)
1 C
x1 (t )
u
Cy
y(t) x2 (t)
电容能量 电感能量
T
Q2 2C
1 2

一般说来，微分方程的解不能求得，故 v 的显式不 能得到。但却可求出 v 沿微分方程解的导数：
v
v x1
x1
v x 2
x2
(6x1
2x2 )x2
(2x1
4x2 )(x1
x2)
2(x12
x
2 2
)
第2页/共53页
当x1和x2不同时为零时，即在相 平面上，除原点x1=x2=0外，总 有dv/dt<0，这说明v总是沿着微 分方程的运动而减小的，也就是 说，运动轨线从v=C的椭圆的外 面穿过椭圆走向其内部。因此， 系统关于零解必是渐近稳定的。
)
fi
(x )
v(x x1
)
v(x ) x 2
f1(x )
v(x xn
)
f2 fn
(x (x
) )
v
(x
)
T
x
f (x )
第12页/共53页
定理7-20*（Lyapunov,1892)： v(x,t)正定（负定），且沿方程（7-39）
x f (x ,t ), f (0,t ) 0 （7 39）
例：v(x ,t)
(1
1
1 t
2
)(x12
x
2 2
),t
t0
0, 正定，只要
取w(x ) x12 x22就可看出。
正定、负定函数统称定号函数。
（3）不是常号和定号函数的函数统称变号函数。
例：v(x ) x1x2是变号函数。
第8页/共53页
例： 变号 v(x1, x2) = x1x2
x2
－+ ε
第19页/共53页
1) 对一个系统，构造一个合适的 v 函数是十分重 要的。若原点是渐近稳定的，但并不预先知道 这一点，则可能出现如下三种情况：

a）常取Q=I b) 若 V[x(k)] 沿任一解序列不恒为0，那么Q可取为半正定 c) 上述判据是充要条件
20
例 试确定系统

x1(k x2 (k
1) 1)

0 0.5
0.5 x1(k)
1


x2
(k
)

在原点的稳定性
解:在李雅普诺夫方程中,取 Q I , 得
称矩阵P，使得 AT P PA 0 。
结论：任意给定实对称Q>0，若存在实对称P>0， 满足李雅
普诺夫方程 AT P PA Q， 则可取
V (x) xT Px
为李雅普诺夫函数。
（2）
5
应用：
1）先选取一个正定矩阵Q 2）代入李雅普诺夫方程 AT P PA Q ，解出P 3）希尔维斯特判据判定P的正定性 4）判断系统的稳定性

1
4
13
J

xT
(0)Px(0)

(

1 4
)
x12
(0)

x1(0)x2 (0)
1 4
x22 (0)
将 x1(0) 1, x代2 (0入) 上0式，知
J 。 1
4
再令 J 0, 于是得 * 1

2
14
4.4.2 线性时变连续系统渐近稳定判据 设线性时变连续系统状态方程为：
AT P PA I
a）常取Q=I b) 若 V(x) 沿任一轨迹不恒等于0，那么Q可取为半正定 c) 上述判据是充要条件
6
7
8
9
10
利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题

第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 几个稳定性概念 5.2李雅普诺夫稳定性定理 5.3线性系统中李雅普诺夫稳定性分析 5.4非线性系统中李雅普诺夫稳定性分析
1
稳定性定义
稳定性与能控性，能测性一样，均是系统的结构性 质。一个动态系统的稳定性，通常指系统的平衡状 态是否稳定。简单的说，稳定性是指系统在扰动消 失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能， 其是系统的一个自身动态属性。
系统的平衡状态是一致渐近稳定的。
10
李雅普诺夫稳定性定理
定理5-1（李雅普诺夫稳定性的基本定理） 并称 V ( x , t ) 是系统的一个李雅普诺夫函数。 进一步，若 V ( x , t ) 还满足： (3) limV(x,t) ,则系统的平衡状态是大
x
范围一致渐近稳定的。
11
李雅普诺夫稳定性定理
2
平衡状态
对于系统自由运动，令输入 u 0 ，系统的齐次状态方程
•
为 xf(x,t) (5-1)式(5-1)的解为 x(t) (t;x0,t0) (5-2)
式(5-2)描述了系统（5-1）在n维状态空间的运动轨线。
在式（5-1）所描述的系统中，存在状态点 x e ，当系统运动
到该点时，系统状态各分量维持平衡，不在随时间变化，即
发的状态轨迹都收敛于x e 。
8
李雅普诺夫稳定性定理
李雅普稳定性理论提出了判断系统稳定性的两 种方法。
1.第一方法：利用状态方程解的性质来判断系 统的稳定性。
2.第二方法：无须求解状态方程而是借助于象 征广义能量的李雅普诺夫函数 V ( x , t ) 及其对 时间的偏导数V• ( x , t ) 的符号特征直接判定平 衡状态的稳定性。
存在(,t0) 0，使得当 x0xe (,t0)时，系统(5-1) 从任意初始状态 x(t0) x0出发的解满足

b.非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe x
eg. x 1 x1
2 x1 x2 x x
令
3 2
1 0 x
xe 1 0

2 0 x
0 xe3 1

0 xe2 1
=f(x,t)的解为 x(t , x0 , t0 ) 2.初态 x
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：

xe 系统的平衡状态 e f ( xe , t ) 0 x n Ax xR x a.线性系统
A非奇异： A奇异：
Axe 0 xe 0 Axe 0 有无穷多个 xe
4）判
正负半定 ( x, t ) 0 ? V x0 V
( x, t ) 0 反设 V 0 李氏意义下的稳定 若x 0,V 0, 渐近稳定 若 x 0 , V
1 x2 x1 ( x1 x2 ) 试用李氏第二法判稳 eg1.x 2 x1 x2 ( x1 x2 ) x
1 2 2
且 lim x(t , x0 , t0 ) xe
t 0
t t0
则称 xe 是李氏意义下的稳定。
与t0无关 一致稳定
2.渐近稳定 1）是李氏意义下的稳定
x(t , x0 , t0 ) xe 0 2） lim t
与t0无关 一致渐进稳定
3.大范围内渐进稳定性
0
5.2李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一个 实数 ( , t0 ) 0 满足 x0 xe ( , t0 )

–定常系统 –时变系统 –非线性系统
，由V(x) 的符号判断
本章完
42
作业：P186 4-7 4-8 4-11
43
17
离散控制系统稳定的充分必要条件
s平面与z平面的映射关系
S平面
z平面
18
4.4.3 线性定常离散时间系统渐近稳定判据
定理：设线性定常离散时间系统的状态方程为：
（8）
则平衡状态
渐近稳定的充要条件为：G 的特征
根均在单位开圆盘内。
命题2：G Rnn 的所有特征根均在单位开圆盘内（模小于
1），等价于存在实对称矩阵P，使得 GT PG P 0 。
V(x) f T (x)[ J T (x) J (x)] f (x)
推论： 对于线性定常系统 x Ax ，若矩阵A非奇
异，且矩阵 AT A 0 为负定，则系统的平衡状态
xe 0 是大范围渐近稳定的，因为
V (x) f T (x) f (x) xT AT Ax Ax 2
0 0.5 p11
0.5
1


p12
p12 0
p22

0.5
0.5 1


p11 p12
p12 p22


1

0
0 1
由此解出
21
P


p11 p12
52
p12 p22



27 40
称矩阵P，使得 AT P PA 0 。
结论：任意给定实对称Q>0，若存在实对称P>0， 满足李雅
普诺夫方程 AT P PA Q， 则可取