李雅普诺夫方程求解

文章标题：深入探讨Python求解连续时间的李雅普诺夫方程在数学和物理学中，李雅普诺夫方程是描述动力系统性质的一种方程。

它在不同领域如天文学、化学、生物学和工程学中有着广泛的应用。

本文将从简单的定义开始，逐步深入探讨李雅普诺夫方程在连续时间下的求解问题，并结合Python编程语言来实现这一过程。

通过本文的阅读，读者将能够更深入地理解李雅普诺夫方程的求解方法，以及Python在动力系统分析中的应用。

1. 李雅普诺夫方程的基本概念首先我们来了解一下李雅普诺夫方程的基本概念。

李雅普诺夫方程是描述动力系统中随时间演化的一组微分方程，并且关注系统状态的随时间变化。

它的核心思想在于描述系统状态的变化趋势，以及系统在不同状态之间的切换规律。

在动力系统的分析中，李雅普诺夫方程是一种重要的数学工具，能够帮助我们理解系统的稳定性和演化规律。

2. 连续时间下的李雅普诺夫方程在连续时间下，李雅普诺夫方程的求解涉及到一系列的微分方程和数值方法。

我们需要借助数值计算的手段来求解系统的演化轨迹，并对系统状态的稳定性进行分析。

Python作为一种功能强大的编程语言，提供了丰富的科学计算库和数值计算工具，非常适合用来求解李雅普诺夫方程。

3. Python中的数值计算工具在Python中，有许多科学计算库和数值计算工具可以帮助我们求解微分方程和动力系统的演化。

NumPy和SciPy库提供了丰富的数学函数和数值方法，可以用来求解微分方程的初值问题。

Matplotlib库还可以帮助我们可视化系统的演化轨迹和稳定性分析结果。

这些工具的使用将大大简化我们求解李雅普诺夫方程的过程。

4. 求解连续时间的李雅普诺夫方程接下来，我们将使用Python来求解一个具体的连续时间李雅普诺夫方程。

假设我们有一个简单的动力系统，描述为一组具有一定规律的微分方程。

我们可以利用Python编写相应的数值计算代码，通过数值积分方法来求解系统状态随时间的演化。

在这个过程中，我们将重点关注系统状态的稳定性，以及系统在不同状态之间切换的规律，从而得到对李雅普诺夫方程的深入理解。

问题：1、 v(x) 应具有什么性质。（如何才能构造） 2、怎样用 v(x) 判别稳定性。
问题1：V(x)应具有什么性质。（如何才能构造）
二、李雅普诺夫函数性质： （1）是以状态向量 x(t)为自变量的标量函数。
（∵能量只能有数量的概念）
（2）若 x e 0 是系统平衡状态，则 V(xe ) V(0) 0 ，
系统在xe = 0处是不稳定的。
例1-4 设系统的状态方程为
x1 x2 x2 x1 x2
试确定其平衡状态的稳定性。
v(x) = x12 + x22 > 0
v( x) 2x1x12 2x2 x2 2x22 0
当 v( x)0时，x2 = 0， x1 = 0。 当x1=任意值，x2 = 0时，v( x)=0，但不会恒等于零。按 照定理，系统在xe=0处是渐近稳定的。又当‖x‖时， v(x)，故xe=0也是大范围渐近稳定的。
稳定性定理小结
• 下V面(x)将前面讨论的V李’(x雅) 普诺夫稳定性的结论判定
方正定法(>作0) 一小结 负定(<0)
该平衡态渐近稳定
正定(>0)
半负定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解)
该平衡态渐近稳定
正定(>0)
半负定(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解)
该平衡态稳定 但非渐近稳定
dx dx
(0.5x
2x x
x2
)
令 dx ，0则求得系统的两个奇点
dx 0
x1 x1
0 0
x x
2 2
2 0
为确定奇点类型，需计算各奇点处的一个阶偏导数及增量
线性化方程。
奇点（0，0）处
f (x, x) 2

12/23/2012
2 V ( x) ( x1 x2 )( x1 x2 ) 2x1x1 x2 x2 ( x12 x2 )
当 x 时， ( x) ，所以系统在其原点处大范围 V 渐近稳定。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
x1 x1 x2 例4-8 系统的状态方程为 x2 x1 x2
,
,
可见此二次型函数是正定的，即
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4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据 定理 设系统的状态方程为
x f ( x),
如果平衡状态 xe 0, 即， f ( xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足：
1） V ( x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V ( x) 是正定的；
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
例 设 x x1
x2
x3
T
2 1) V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x a，a， T 0, x （ - 0） 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
2 2) V ( x) x12 x2因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x 0， a） 0, x （ 0， T 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
2. 二次型标量函数
设 x1，x2 ，xn为n个变量， 二次型标量函数可写为
p11 p V ( x) xT Px x1 x2 xn 21 pn1 其中，P为实对称矩阵。 p12 p22 p1n x1 x2 pnn xn

1 李雅普诺夫稳定性系统的李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。

因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。

自治系统的静止状态就是系统的平衡状态。

无外部输入作用时的系统称为自治系统。

设系统状态方程为),(t x f x= ，若对所有t ，状态x 满足0=x ，则称该状态x 为平衡状态，记为e x 。

故有下式成立0),(=t x f e 。

由此式在状态空间中所确定的点，称为平衡点。

线性定常系统的平衡点：将方程),(t x f x= 化成Ax x = ，其平衡状态e x 应满足代数方程0=Ax 。

解此方程，当A 是非奇异时，则系统存在惟一的一个平衡点0=e x 。

当A 是奇异时，则系统的平衡点可能不止一个。

如果A 的行列式值为0，则A 为奇异矩阵；行列式值不为0，则A 为非奇异矩阵。

换言之，能求逆的矩阵为非奇异矩阵。

大范围渐近稳定性的理解： 系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总能回到平衡点附近且不断的向平衡点靠拢，则系统就是大范围渐近稳定。

对于线性系统，由于其满足叠加原理，所以系统若是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。

在此验证了线性系统稳定性与初始条件大小无关的特性。

对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上一定趋向于无穷远。

2. 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫第一法又称间接法。

它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。

对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。

对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。

线性定常系统Ax x≡ ，渐近稳定的充要条件是系统矩阵A 的特征值λ均具有负实部，即()n i i ,2,1,0Re =<λ李雅普诺夫第二法又称直接法。

运用此法可以在不求出状态方程解的条件下，直接确定系统的稳定性。

口 > ( ) 。 二 : , 二:
沿 着 方 程 ( 2 ) 的 轨 线 劣 : = x , ( t ) , 二: = x : ( )t 对 函 数 试 二 , , x : ) 求导 数 可 得
面(x
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t
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但 究竟应该按怎 样的一
种关系 来选取 呢 ? 在一 般情 况 下 , 是 没有一个 通 用 办法 的 , 在特殊情 况 下 , 则 有 一 些方 法、
今 将克拉 索夫斯基 方 法与 变 量梯度法 简介如 下 :
一 、 克 拉 索 失斯 甚 ( K ik r a s o v i) 方 法
设 已知非线性系统为
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和
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飞
这 表 明 相 平 面 上 经过 曲 线 U (二 , , 诺: ) = 试 劣 、 ( t 。 ) , x : ( t 。 ) 上 的 点 的 轨 线 将永 远 沿 着 此 曲
线 运行 , 由于 百的性质 , 当 。 为 足够 小 的正 数 时 , 。 (二 , , 气 ) 二 。 是 围 绕原 点 的 一 族 闭 曲线 ,
独 、
所 以在没有阻力情 况下 , 单摆 运动方

麻省理工学院电气工程与计算机科学系6.241：动态系统－2003年秋复习 6李亚普诺夫方法在这一小节中我们将回顾稳定性的概念，并使用李亚普诺夫直接法、间接法对系统平衡点附近的稳定性进行分析。

接下来我们将提供一系列的例子。

稳定性的定义考虑一个自由（时不变）非线性系统，该系统可以描述为()(())x t f x t •=。

这个系统的一个平衡点就是方程的一个根。

因为任意一个平衡点()0f x −=x −不在原点的系统都可以很方便的转化为一个平衡点在原点的相似系统（例如，令z x x −=−），所以在定义中，我们假定所讨论的系统的平衡点在原点。

如果对于任意给定的0ε>，都存在0δ>，使得若0()x t δ<，()x t ε<对于一切都成立，那么称系统在原点附近的平衡点是李亚普诺夫意义下稳定的（i.s.L ）。

如果系统在原点附近的平衡点附近是稳定的，并且存在0t t >0α>，使得若0()x t α<，则当时，那么称系统是李亚普诺夫条件下渐近稳定的。

如果t →∞()0x t →lim ()0t x t →∞=在任意初始条件，即0()x t 在状态空间的任意位置都成立，那么系统是全局渐近稳定的。

李亚普诺夫直接法总体说来，证明一个形如()(())x t f x t •=的非线性系统在原点附近的全局渐近稳定性是一个非常困难的工作，其难度相当于在任一初始条件0()x t 下求解()x t 的封闭解的表达式。

对于线性时不变系统（()()()x t Ax t Bu t •=+），我们得到封闭解表达式，即： 00()()()0()()tA t t A t Bu d t x t e x t e τττ−−=+∫ （1）对于任意矩阵A （不论是否可以对角化），当且仅当A 的特征向量全部位于左半开复平面1，线性系统x Ax •=在原点附近是渐近稳定的。

这是由()x t 表达式中的衰减指数项决定的。

解：原点是系统的平衡点。在原点处线性化可得：
=A
= 3−−3xx122 −−x41 x=0
0 3
−4 0
特征根均在虚轴上，间接法失效。
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2、李雅普诺夫方法
2.1 第一方法（间接法） 2.2 第二方法（直接法）
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2、李雅普诺夫方法
∂x1
∂x2
的线性化模型为：
y == A y , A
其中 y = x − xe 。
∂∂= xfT x = xe
∂ f2
∂x1
∂ fn
∂ f2 ∂x2
∂ fn
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∂ f1
∂xn
∂ f2
∂xn
∂
fn
∂xn x=xe
2、李雅普诺夫方法
x 1 x2
= =
x2 cos x1 − sin x1 −
x2
解：原点是系统的平衡点（不唯一？）。在原点处线性化可得：
A
= −−xc2 osisnx1x1 co−s1x1 x=0
0 −1
1 −1
特征根均在左半开平面内，因此原点是该系统的渐近稳定平衡点。
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2、李雅普诺夫方法
2.1 第一方法（间接法） 线性化方法不能给出全局稳定性的判断。但该例中的系统有
多个平衡点，因此原点不是其全局渐近稳定平衡点。
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2、李雅普诺夫方法
2.1 第一方法（间接法）
[例 2-2] 判断下述系统在原点处的稳定性
x 1

讲义81. 李雅普诺夫（Lyapunov ）函数分析本讲中，对于一些有*E (,)0t S r w ⎡⎤=⎣⎦的*γ，我们研究1(,)t t t t t r r S r w γ+=+的收敛性。

回顾一下确定性实例中的Lyapunov 函数分析，我们选取了函数()V r 使得** ()0, ,()()0, , ()0.T V r r V r S r r r V r •≥∀•∇<≠•∇=如收敛性的论证为：我们发现()t V r 随时间减小并且有下限，因此，()t V r 收敛。

对V 和S 采用技术条件，可以证明*t r r →。

现在转到随机实例，用t F 表示到t 时刻的过程历史记录，显然，t F 可表示为{},,,,,,.t l l t r l t w l t l t γ=≤<≤F注意，步长t γ依赖于随机的历史记录，而步依赖于扰动t w 。

定义欧几里德范数122()T V V V =。

定理1 假设V ∃使得（a ）()0, ,V r r ≥∀（b ）L ∃使得22()()V r V r L r r ∇−∇≤−(李普希茨连续Lipschitz continuity) （c ）12,K K ∃使得221222E (,)(),t t t t S r w K K V r ⎡⎤≤+∇⎣⎦F（d ）c ∃使得22()E (,)().T t t t t t V r S r w c V r ∇⎡⎤≤−∇⎣⎦F 则，如t γ满足0t t γ∞==∞∑和20t t γ∞=<∞∑，有z ()t V r 收敛。

z lim ()0t t V r →∞∇=z 每一个t r 的极限点r 满足()0V r ∇=我们将证明某特例的收敛性，该特例对于一些*r 有2*122()V r r r =−。

定理2 假设2*122()V r r r=−满足（a ）12,K K ∃使得2122E (,)(),t t t t S r w K K V r ⎡⎤≤+⎣⎦F（b ）c ∃使得()E (,)().T t t t t t V r S r w cV r ∇⎡⎤≤−⎣⎦F则，如t γ满足0t t γ∞==∞∑和20t t γ∞=<∞∑，有*t r r →, w.p.1（以概率1）我们用下面的上鞅收敛定理证明定理2。

三阶李雅普诺夫方程化简方法（原创实用版）目录1.三阶李雅普诺夫方程的概述2.三阶李雅普诺夫方程的化简方法3.实际应用案例正文【1.三阶李雅普诺夫方程的概述】李雅普诺夫方程是动力学系统中的一种微分方程，描述了物体在给定初始条件下的运动规律。

三阶李雅普诺夫方程是其中较为常见的一种，其一般形式为：dx/dt = p(x, y, z)x + q(x, y, z)y + r(x, y, z)z其中，x、y、z 分别是三个变量，p(x, y, z)、q(x, y, z)、r(x, y, z) 是已知函数。

求解三阶李雅普诺夫方程，可以得到物体在给定时间内的运动状态。

【2.三阶李雅普诺夫方程的化简方法】对于三阶李雅普诺夫方程，我们可以采用以下方法进行化简：(1) 线性化方法：当方程中的非线性项可以忽略时，可以将方程线性化。

具体操作是求解方程的齐次方程，即：dx/dt = p(x, y, z)x + q(x, y, z)y + r(x, y, z)z设 p(x, y, z)x + q(x, y, z)y + r(x, y, z)z = 0，解得：x = x0 * exp(-∫p(x, y, z)dx/dt)y = y0 * exp(-∫q(x, y, z)dx/dt)z = z0 * exp(-∫r(x, y, z)dx/dt)其中，x0、y0、z0 是积分常数，∫p(x, y, z)dx/dt、∫q(x, y, z)dx/dt、∫r(x, y, z)dx/dt 分别是 p(x, y, z)、q(x, y, z)、r(x, y, z) 关于x、y、z 的积分。

(2) 变量分离方法：当方程中存在某个变量与其他变量分离时，可以采用变量分离方法进行化简。

具体操作是将方程分为两个二阶微分方程，分别求解。

(3) 矩方法：当方程中存在某些矩阵结构时，可以采用矩方法进行化简。

具体操作是将方程转化为矩阵形式，然后求解矩阵方程。

【3.实际应用案例】三阶李雅普诺夫方程在实际应用中十分广泛，例如在力学系统、电子电路、生物学等领域都有涉及。

Ａｂ ｔａ ｔ Ｔ ｉ ａ ｅ ｒ ｓ ｎ ｓｏ ｅ ｏ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｓ ｒ ｃ ： ｈ ｓｐ ｐ ｒｐ ｅ ｅ ｔ ｎ ｆｇ ｉｖ ｒｅ ｆ Ａ Ｊ ０ Ａ 一 ．Ａｎ ｈ ｘ ｒ ｓ ｉｎ ｏ ｘ ｌ ｉ ｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ ｄ ｔ ｅ ｅ Ｋｅ ｒ ｓ Ｌ ａ ｕ ｏ ｑ ａ ｉｎ ｈ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ： ｙ ｐ ｎ ｖ ｅ ｕ ｔ ；ｔ ｅｃ ｍｍｕ ａｉｅ ｍａ ｒ ；ｅ ｐ ｉｉ ｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｄ ｎ ｃ ｎ ｎ ｃ ｌ ｏｍ ｏ ｔｔ ｔ ｘ ｘ ｌ ｔ ｏ ｕｉ ；Ｊ ｒ ａ ａ ｏ ｉａ ｒ ｖ ｉ ｃ ｏ ｆ
Ｖ １ ８， ｏ １ ｏ． Ｎ ．
Ｍａ ． ０ ０ ｒ ，２ １
文 章 编 号 ：６ ２ ５ ８ ２ １ ） ｌ ０ ８— ７ １７ —２５ （００ ０ 一００ ０
李 普 夫 方 程 Ａ 亚 诺 Ｘ—Ｘ ＝Ｃ Ａ 的 显 式 解 及 其 应 用
尤 兴 华 马 圣容 ，
（． １ 南京工程 学 院基 础部 ，江 苏 南京 ２ １６ ；． １ １ ７ ２ 南京晓庄 学 院数 学 系 ，江苏 南京 ２ ０ １ ） １０ ７
定其 稳定性条 件 时 ， 解李亚 普诺 夫 （ ｙｐｎｖ 方 程 Ａ ＋ Ａ ＝一Ｑ 可交换 矩 阵具有许 多 良好 的性 质 ， 须 Ｌ ａｕ ｏ） Ｘ ．
而且对 矩阵理 论 的研 究具 有重 要意 义．
本文 所采用 与矩 阵广 义逆相 关 的符 号全 部来 自文献 ［ ］ ［ ］ ５ 、６ ． 求 与矩阵 Ａ 可交换 的矩 阵等 价于求解 矩 阵方程
摘 要： 首先给 出Ａ０ — Ａ 的一个 ｇ 一逆 ， 然后通过矩 阵分 解的方法获得 李亚普诺夫方程 ＡＸ—Ｘ ＝ 的显 Ａ

李雅普诺夫方程是控制理论中的重要概念，它描述了线性时不变系统的稳定性。

在实际控制系统中，我们经常需要对这些系统进行稳定性分析和设计。

而在进行李雅普诺夫方程的求解和稳定性分析时，p矩阵计算方法是一个非常实用的工具。

1. 李雅普诺夫方程的基本概念李雅普诺夫方程是对线性时不变系统进行稳定性分析的一种方法。

其数学表达式为Ax+xA^T<0，其中A是系统的状态方程矩阵。

这个方程描述了系统的状态变量随时间的演化，以及系统的稳定性和收敛性。

在实际应用中，我们常常需要对系统进行稳定性分析，以确保系统的可控性和可靠性。

2. p矩阵计算方法的原理和应用p矩阵计算方法是一种用于求解李雅普诺夫方程的有效工具。

其基本思想是将系统的状态方程矩阵A表示为p矩阵和一些辅助矩阵的组合，然后利用这些矩阵的性质和结构来求解李雅普诺夫方程。

这种方法不仅简化了计算过程，还提高了计算的精确度和稳定性。

3. p矩阵计算方法的优势和局限p矩阵计算方法在实际应用中有许多优势。

它可以有效地求解大规模系统的李雅普诺夫方程，提高了计算效率和精度。

这种方法可以直观地反映出系统的结构特性，有利于工程应用和分析。

然而，这种方法也存在一些局限性，比如对初始猜测值的选择比较敏感，需要一定的经验和技巧。

4. 个人观点和思考从我的角度来看，p矩阵计算方法是一个非常实用的工具，可以帮助工程师和研究人员更好地理解和分析控制系统的稳定性。

在实际工程中，我也经常应用这种方法来进行系统设计和调试。

当然，我也意识到这种方法在某些情况下存在局限性，需要不断地学习和探索新的方法来完善自己的技能。

总结：通过本篇文章的阐述，我们对李雅普诺夫方程和p矩阵计算方法有了更深入的理解。

这不仅有助于我们在工程实践中应用这些理论知识，还能够提高我们对控制系统稳定性分析的能力和水平。

希望通过不断的学习和实践，我们能够更好地应用这些方法，为控制系统的设计和应用做出更大的贡献。

李雅普诺夫方程和p矩阵计算方法是控制理论中非常重要的概念，它们在实际控制系统的稳定性分析和设计中起着至关重要的作用。

matlab练习程序（解西尔维斯特、李雅普诺夫⽅程）西尔维斯特⽅程的形式：AX+XB=C李雅普诺夫⽅程的形式：AX+XA'=-C这两种⽅程都是已知矩阵A,B,C,求解X的⽅程。

对于这种⽅程有两种⽅法来求解，⼀种是朴素法，⼀种是Bartels-Stewart法。

以西尔维斯特⽅程为例，朴素法是将⽅程写为下列形式进⾏直接求解：其中圆圈中带个X的符号是kron积，vec()是将X或C转换为了n*1的列向量。

该⽅法将原来O(n^3)的问题变为了O(n^6)，如果矩阵⽐较⼤，估计速度会⽐较慢。

第⼆种⽅法为Bartels-Stewart法，下⾯以西尔维斯特⽅程为例介绍⼀下：⾸先我们对A和B‘进⾏shur分解：原⽅程可改写为：此时令：得到：此时R和S都是⼀个上三⾓矩阵，我们需要S作为下三⾓矩阵才能⽅便求解。

这⾥的S正好是我们是对B'的shur分解，由于shur分解的特性，shur(B)=VSV'，shur(B')=VS'V'，所以这⾥再对S求个转置即可。

得到类似下⾯的矩阵⽅程：展开得到：再依次求出y4,y3,y2,y1即可。

matlab代码如下：解西尔维斯特⽅程：clear all;close all;clc;A = rand(2,2);X = rand(2,2);B = rand(2,2);C = A*X+X*B;X%%系统函数X = sylvester(A,B,C)%%朴素法，⾃写kron积IA = [A zeros(2);zeros(2) A];BI = [B(1,1)*eye(2) B(2,1)*eye(2);B(1,2)*eye(2) B(2,2)*eye(2)];X = reshape(inv(IA+BI)*C(:),[2,2])%%朴素法，系统kron积X = reshape(inv(kron(eye(2),A)+kron(B',eye(2)))*C(:),[2,2])%%Bartels–Stewart法[U,R] = schur(A); %schur分解，R是上三⾓[V,S] = schur(B');S = S'; %S是下三⾓F = U'*C*V;%解R*Y + Y*S = F⽅程Y = zeros(2,2);Y(2,2) = F(2,2)/(R(2,2) + S(2,2));Y(2,1) = (F(2,1) - S(2,1)*Y(2,2)) / (S(1,1) + R(2,2));Y(1,2) = (F(1,2) - R(1,2)*Y(2,2)) / (R(1,1) + S(2,2));Y(1,1) = (F(1,1) - R(1,2)*Y(2,1) - S(2,1)*Y(1,2)) / (R(1,1) + S(1,1)); X = U*Y*V'解李雅普诺夫⽅程：clear all;close all;clc;A = rand(2);X = rand(2);C = -(A*X+X*A');X%%系统函数X = lyap(A,C)%%朴素法，⾃写kron积IA = [A zeros(2);zeros(2) A];BI = [A(1,1)*eye(2) A(1,2)*eye(2);A(2,1)*eye(2) A(2,2)*eye(2)];X = reshape(inv(IA+BI)*(-C(:)),[2,2])%%朴素法，系统kron积X = reshape(inv(kron(eye(2),A)+kron(A,eye(2)))*(-C(:)),[2,2]) %%Bartels–Stewart法[U,R] = schur(A); %schur分解，R是上三⾓S = R'; %S是下三⾓F = U'*(-C)*U;%解R*Y + Y*S = F⽅程Y = zeros(2,2);Y(2,2) = F(2,2)/(R(2,2) + S(2,2));Y(2,1) = (F(2,1) - S(2,1)*Y(2,2)) / (S(1,1) + R(2,2));Y(1,2) = (F(1,2) - R(1,2)*Y(2,2)) / (R(1,1) + S(2,2));Y(1,1) = (F(1,1) - R(1,2)*Y(2,1) - S(2,1)*Y(1,2)) / (R(1,1) + S(1,1)); X = U*Y*U'。

第 3期
汤学 炳: 李雅普诺夫矩阵方程的新解法
·1 2 7 ·
iii ) E N = N E = N
证明 当 A 为具有 n 重特征值的 n 阶矩阵时, 则存在非奇异变换矩阵 P, 使得
P- 1A P = J =
K 1
1
K 1 w w w 1
=
K
1 w
+
K
( Ki + Kj ) m+ k+ 1
R
∑( KiEi + N i ) + i= 1
R
∑(
KiE
T i
+
N
T i
)
i= 1
∑∑ ∑ R R i= 1 j = 1
E
T i
QE
j
Ki + Kj
+
ki- 1
(-
m= 1
1) m
E
T i
Q
N
m j
+
( Ki +
(
N
T i
)
QE
Kj ) m+ 1
j
+
∑∑ ki- 1 kj - 1
V ol . 20 N o. 3 Sep . 1998
李雅普诺夫矩阵方程的新解法
汤 学 炳
( 江汉石油学院电子与信息工程系, 荆州 434102)
摘 要 通过对矩阵的 分解得到了求解李 雅普诺夫矩阵方程的 解析方法, 从而获得方 程的 精确解。该方法具有广泛的适用性, 且可以 用计算机程序实现。例题的计算结果表明, 该方法是 正确有效的。
P - 1 N i = P U i
P- 1
0
0

则称v (x ,t )为常正(常负）函数。
例：v (x ,t )
1 1t2
(x12
x
2 2
),t
t0
0就是一个常正函数。
注意到在这个例子中limt v(x,t) 0。
若当 x 存在正定函数w(x )，使得对于t t0 成立v(x,t) w(x )，则称v(x,t)为正定函数；
若对于t t0，成立v(x,t) w(x )，则称v(x,t) 为负定函数。
dv(x ) dt
(
v x
)T
f
(x )
n i 1
v xi
fi
(x )
0(
0)
则（7-39）的零解渐近稳定。
(7 40)
几何解释：
由于v(x)正定， v(x)=C是一个闭的曲面族，层 层相套、随C 趋向于零而向原点退缩。而dv/dt 负 定则说明：在任一点x处，v(x) 的值都是减小的，从 而在任一点x 处，运动的轨线都从v(x)=C的外部穿 越v(x)=C 走向内部。这表明，limt0x(t)=0，即原 点（零解）是渐近稳定的。
例:考虑如下系统关于零解的稳定性： x 5x
首先构造一个正定函数：
v(x ) x 2
显然，v(x) 0x 0,且v(x) 0 x 0。
现在，我们考虑v沿上述微分方程的解对时间t的 导数，有
v 2xx 10x 2 0x 0 由于v(x )正定，v负定，这意味着v(x )，从而x必将 渐近收敛到零。我们得出了这个结论但却并未求 解微分方程。
例：v (x ,t )
x12
tx22不具无限小上界，只要取t
1
x
2 2
；
而v(x ,t) x12 sint x22具无限小上界，只要取

➢ 在图中所示状态,v=-x’,由牛顿第二定律可知,其运动满足 如下方程:
m(-x’’)=mgcos-fmgsin 其中f为摩擦阻尼系数。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(3/7)
➢ 因此,有 mx’’=-mg(cos-fsin)
➢ 因此,能量的变化趋势(导数)为 V’=mx’x’’+mgx’cos
定义 设xRn,是Rn中包含原点的一个封闭有限区域,实函数 V(x,t)是定义在[t0,)上的一个标量函数且V(0,t)=0,标量连 续函数(||x||)和(||x||)为非减(函数值单调增加)的且满足 (0)=(0)=0,
1) 如果对任意tt0和x0, V(x,t)为有界正定的,即
0<(||x||)V(x,t)(||x||)， 称函数V(x,t)为[t0,)上的(时变)正定函数。
的几个定理。
李雅普诺夫第二法的几个定理(1/1)
3. 李雅普诺夫第二法的几个定理
从平衡态的定义可知,平衡态是使得系统静止不动(导数为零, 即运动变化的趋势为零)的状态。 ➢ 从能量的观点来说,静止不动即不存在运动变化所需要 的能量,即变化所需的能量为零。 ➢ 通过分析状态变化所反映的能量变化关系可以分析出 状态的变迁或演变,可以分析出平衡态是否稳定或不稳 定。 ➢ 下面通过一刚体运动的能量变化来简介李雅普诺夫稳 定性定理的直观意义。
0
2
1
-1 2 5
-1 1 5
1 0 0
行:(3)(1)(3)
0 列:(3)(1)(3)
2
1
0 1 4
1 0 0
行:(3)(2) / 2(3)
0 列:(3)(2) / 2(3)
2
0
0 0 7/2

实验4-Laypunov方程求解《现代控制理论》实验四院系：学生姓名：学号：一：原理1.李雅普诺夫稳定性概念忽略输入后，非线性时变系统的状态方程如下),(t x f x =& （1）式中，x 为n 维状态向量；t 为时间变量；),(t x f 为n 维函数，其展开式为12(,,,,)i i n x f x x x t =&L n i ,,1Λ= 假定方程的解为 ),;(00t x t x ，0x 和0t 分别为初始状态向量和初始时刻，0000),;(x t x t x =。

平衡状态 如果对于所有t ，满足0),(==t x f x e e & （2）的状态e x 称为平衡状态（又称为平衡点）。

平衡状态的各分量不再随时间变化。

若已知状态方程，令0=x& 所求得的解x ，便是平衡状态。

对于线性定常系统Ax x=&，其平衡状态满足0=e Ax ，如果A 非奇异，系统只有惟一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。

至于非线性系统，0),(=t x f e 的解可能有多个，由系统状态方程决定。

控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。

鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。

对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。

本节主要研究平衡状态位于状态空间原点（即零状态）的稳定性问题，因为任何非零状态均可以通过坐标变换平移到坐标原点，而坐标变换又不会改变系统的稳定性（a ）李雅普诺夫意义下的稳定性 （b ）渐近稳定性 （c ） 不稳定性图1 稳定性的平面几何表示2.李雅普诺夫稳定性定义（1）李雅普诺夫稳定性：如果对于任意小的ε > 0，均存在一个0),(0>t εδ，当初始状态满足δ≤-e x x 0时，系统运动轨迹满足lim t →∞ε≤-e x t x t x ),;(00，则称该平衡状态e x 是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。

李雅普诺夫方程求解
李雅普诺夫方程是常微分方程中的一种，也叫做“二阶线性常微分方程”，是描述几乎所有振动现象的重要数学模型。

它在机械、电子、物理、化学等各个领域广泛应用，因此学习和掌握李雅普诺夫方程的求解方法显得尤为重要。

某一物理系统的振动，可以用李雅普诺夫方程表示为： mx'' + kx = 0
其中，m、k均为常数，x是时间t的函数，表示物理系统在运动时的位移。

x''表示位移关于时间t的二阶导数。

对于这样的一个方程，我们的目标就是求出它的解析解，即表示x 与t的函数关系。

首先，我们可以尝试使用特征方程法求解该方程，以便得到x通解。

特征方程为：mλ^2 + k = 0
解出特征根：λ1 = i√(k/m), λ2 = -i√(k/m)
由此，x的通解为：x = c1cos(√(k/m)t) + c2sin(√(k/m)t)其中，c1、c2为常数，代表初始条件。

特别的，在某些情况下，我们也可以采用拉普拉斯变换法求解李雅普诺夫方程。

通过先对方程进行拉普拉斯变换，再求解得到X(s)，最后再把X(s)逆变换即可得到x(t)的解析式。

除了上述两种方法外，在实际中我们还可以采用变量分离法、对
数微商法等不同的数学工具来求解李雅普诺夫方程。

选择不同方法的
主要依据是方程形式的具体情况和求解过程的难易程度。

总体来说，学习李雅普诺夫方程的求解方法对于理解和应用物理、工程学中的振动问题至关重要，希望大家在日常学习中多多掌握相关
知识，以便更好地解决实际问题。