初中九年级上册数学 《相似三角形的性质》图形的相似(第1课时)优质课件PPT

kk k2
SA`B`C` 1 B`C`A`D`
2
①相似三角形面积的比等于相似比的平方.
❖ 三角形全等与相似的性质
对应角 对应边 周长 对应三条重 面积 要的线段
全 等
相等
相等
相等
相等 相等
周长的 对应的三 面积的
相 相等 成比例 比等于？条重要线 比等于？
似
段的比等
相似比
于？ 相似比
相似比的
平方
D
C
F
A
B
E
相似三角形的性质:
中线 （1）相似三角形对应的 高比线等于相似比.
角平分线 （2）相似 三角周形长的比等于相似比.
（3）相似 三角面形积的比等于相似比的平方.
课堂测验：
（1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3， 则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ， 面积之比为 4：9 。
全 等
相等
相等
相等
相等
相等
相
相等
周长的 成比例比等于？
对应的三面积的 条重要线比等于？
似
段的比等 于？
如果两个三角形相似，它们的周长的比等于？
已知： ΔABC∽ΔAˊBˊCˊ
A
A/
求: ΔABC的周长
ΔA’B’C’的周长 B
C B/
C/
解: ∵ ΔABC∽ΔAˊBˊCˊ ∴ AB BC CA k
．．． ．．．
注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，
求面积比要平方; 而已知面积比，求相似比或
周长比则要开方。
基础练习
1、判断题： （1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5
倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍。（√）

定义
两个多面体，如果它们的对应角相等，对应边长 成比例，则称这两个多面体相似。
1. 对应角相等
通过测量或计算验证两个多面体的对应角是否相 等。
3
2. 对应边长成比例
通过测量或计算验证两个多面体的对应边长是否 成比例。
性质总结
性质一
相似多面体的对应面面 积之比等于相似比的平
方。
性质二
相似多面体的对应体积 之比等于相似比的立方
案例分析
测量河流宽度
通过构造相似三角形，可以测量 河流的宽度，为水利工程和桥梁
建设提供重要数据支持。
估算森林面积
利用航空照片和相似三角形的原理 ，可以对森林面积进行估算，为林 业资源管理和生态保护提供依据。
分析交通事故原因
在交通事故分析中，相似三角形可 以帮助分析事故原因，确定责任方 ，为交通事故处理提供科学依据。
。
性质三
相似多面体的对应棱的 中线之比等于相似比。
性质四
相似多面体的对应高的 比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于
相似比。
应用前景展望
建筑设计
在建筑设计中，利用相似多面体 的性质可以方便地按比例缩放建 筑模型，以适应不同规模和需求
的设计项目。
艺术创作
在机械、航空等工程领域，相似 多面体的概念可用于按比例放大 或缩小零部件和装置，以简化设
。
相似比与对应角关系
01
02
03
相似比
两个相似三角形的对应边 之间的比值称为相似比。
相等性
相似三角形的对应角相等 。
互补性
如果两个角在一个三角形 中是互补的，那么它们在 另一个相似三角形中也是 互补的。
性质总结
对应边成比例

2.能应用相似三角形的有关性质解决相关问题.
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第二页，共二十页。
（1）相似三角形有哪些判定方法？ （2）相似三角形有什么性质(xìngzhì)？根据是什么？
相似多边形呢？
根据(gēnjù)定义对应：角相等，对应边的比相等；
（3）相似三角形的对应边的比叫什么？
相似比
（4）ΔABC与ΔA′B′C′ 的相似比为k,则
No 线段：。相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么关系。根据判定定理1，△ADE∽△ABC.。（2）
如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那。⑵△ADE∽△ABC。2.如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥BC，则:
Image
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第二十页，共二十页。
高线
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角平分线
第五页，共二十页。
中线
相似三角形的相似比与对应边上(biān shànɡ)高线比有什么 关系？
例如(lìrú)：ΔABC∽ΔA′B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥ B′C′于D′，
求证：
A
A′
B
D C B′ D ′C ′
①相似三角形的对应高线之比等于相似比.
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第八页，共二十页。
相似(xiānɡ sì)三角形的性质:
中线
（1）相似三角形对应(duìyìng) 高线 的比等于相似比.
角平分线
（2）相似三角形的周长的比等于相似比.
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
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第九页，共二十页。
例1 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=3:1, △ABC的面积(miàn jī)为48. 求△ADE的面积.

知2－练
解题秘方：由DE ∥BC 可得出△ ADE ∽△ ABC，
利用相似三角形的性质结合S△ ADE=S 四边形BCED，可
得出

= ，结合BD=AB－AD

即可求出

的值．

感悟新知
知2－练
解：∵ DE ∥ BC，∴∠ ADE= ∠ B，∠ AED= ∠ C.
∴△ ADE ∽△ ABC. ∴ (
据相似三角形周长的比等于相似比列方程，解方程
即可解决问题.
感悟新知
知1－练
2-1.[期末·枣庄台儿庄区] △ ABC 的三边长分别为2，3，4，
另有一个与它相似的△ DEF， 其最长边为12， 则△
DEF 的周长是(
A.54
B.36
C.27
D.21
C )
感悟新知
知识点 2 相似三角形面积的比
知2－讲
边角
相似三
角形的
性质
周长
对应
线段
面积
对应边成比例，对应角相等
周长比等于相似比
对应高、中线、角平
分线的比等于相似比
面积比等于相似比的平方
在BC 上，AD与EH 的交点为P，矩形相邻两边长的
比为1∶2 . 若BC=30 cm，AD=10 cm，求矩形EFGH
的周长.
解题秘方：将矩形周长问题转化为
相似三角形对应高的比求解.
感悟新知
解：设HG=x cm，则EH=2 x cm.
知1－练
易得AP⊥ EH，PD=HG=x cm.
∵AD=10 cm，∴ AP=(10 －x)cm.
S △ ADE ∶S 四边形BCED.
解：∵AD∶DB=2 ∶1，∴

3.类似三角形的性质
华东师大版 九年级数学上册 上课课件
• 学习目标：
会说出类似三角形的性质：对应角相等，对应 边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于 类似比，周长比等于类似比，面积比等于类似 比的平方.
• 学习重点：
1. 类似三角形中的对应线段比值的推导； 2. 类似多边形的周长比、面积比与类似比关系
的推导； 3.运用类似三角形的性质解决实际问题.
• 学习难点：
类似三角形性质的灵活运用，类似三角形周长 比、面积比与类似比关系的推导及运用.
复习导入
判定两个三角形类似的简便方法有哪些？
定义法 平行法 判定定理1、2、3.
推动新课
在下图中，△ABC 和 △A′B′C′ 是两个类似三 角形，类似比为 k ，其中AD、A′D′ 分别为 BC、 B′C′ 边上的高，那么 AD、A′D′ 之间有什么关系？
的示意图.已知桌面的直径为 1.2 m，桌面距离地面为
1 m，若灯泡距离地面 3 m，则地面上阴影部分的面
积为_0_._8_1_π__m_2__.
运用类似三角形对应
d = h = 2， d' h' 3 d′ = 1.8m.
h
高的比等于类似比.
h′
d= d′
1.2m
S'
d' 2
2
0.81
m2
A
A′ E
E′
B
D
C
B′ D′ C′
A
A′ E
E′
B
D
C
B′ D′ C′
由此可以得出结论： 类似三角形对应角的平分线之比等于类似比. 类似三角形对应边上的中线之比等于类似比. 类似三角形的周长之比等于类似比.

课练习
的地方，把手臂向前伸直且让小尺竖直，看到尺上大约有24个分划恰好 遮住旗杆。已知此同学的臂长约为60cm，求旗杆的大致高度。
解：由已知得：BC=24cm=0.24m，CM=60cm=0.6m，
EN=30m，BC//DE，CM//EN，
堂
∴△ABC∽△ADE，△ACM∽△AEN BC AC ，CM AC ，
探 ∴ 100 CD 40 .
D
120 CD
究 答：点C到直线PQ的距离为240m.
1、要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别
练习 为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边
课 为（ C ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm
D. 5cm
DE AE EN AE
练 习
BC CM ， DE EN
0.24 0.6， DE 30
∴DE=12m. 答：旗杆大致高12m.
动脑筋
课 堂 通过本节课的学习，你有什么收获与体会？ 小 结
1、已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别为△ABC，△DEF的一条中线，
练习 且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长. DN=3cm
作 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′.
探
又∵AT，A′T′分别平分∠BAC=∠B′A′C′，
∴∠BAT= 1∠BAC，∠B′A′C′= 1 ∠B′A′T′
2
2
∴∠BAT=∠B′A′T′，
究 ∴△ABT∽△A′B′T′， ∴ AT AB . A' T' A' B'
归纳 类似三角形对应角平分线的比等于类似比.

（k >0）， 点 D，E 在 BC 边上，点 D′，E′ 在 B′C′ 边上 .
（1）
若∠BAD
1
=
3
∠BAC
，
∠B′A′D′
=
1 3
∠B′A′C′
，则
AD AD
等于多少？
图4
由“两角分别相等的两个三角形相似”，可知△ABD∽△A′B′D′，
于是
AD AD
=
AB AB
k
k
0.
探究新知
如图4，已知△ABC∽△A′B′C′ ，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
（1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？
A
解：∵ 四边形 PQRS 是正方形，
S
ER
∴ RS∥BC. ∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC.
B
C
PD Q
图5
典例精讲
例 如图5，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在BC边上，点 R 在 AC 边上，
（k >0）， 点 D，E 在 BC 边上，点 D′，E′ 在 B′C′ 边上 .
（2）
若BE
=
1 3
BC
，
B′E′
=
1 3 B′C′
，则
AE AE
等于多少？
图4
由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，
可知△ABE∽△A′B′E′，于是
AE = AB k k 0.
AE AB
典例精讲
例 如图5，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在BC边上，点 R 在 AC 边上，

AD⊥BC于D， 作A' D' B'C'于D'
D C B′
D′ C′
∴
∵ △ ABC∽ △A' B'C'
∴
(相似三角形对应边成比例)
∴
第六页，共十五页。
例1：已知：△ ABC∽△ A' B'C' ，它们的周长分别
为60cm和72cm，且AB=15cmB，'C' =24cm。
求：BC、AC、A' B'、A'C' A
A
A′
求证：
B 证明： ∵ △ ABC∽△ A' B'C'
C B′
C′
∴ AB BC CA (相似三角形对应边成比例) A' B' B'C' C' A'
∴
(等比性质)
第五页，共十五页。
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
已知： △ ABC∽△ A' B'C'
A
A′
求证：
证明： 分别过A、A′，
交BC于N，则NH:MH=___1_:4__。
第十二页，共十五页。
思考题：
在△ABC中，BC=m，DE∥BC，交AB于E，交AC于D
，
求DE的长度。
A
E B
第十三页，共十五页。
D C
小结：
这节课我们学习了相似三 角形的另一重要性质：相似三 角形周长的比等于相似比，相 似三角形面积的比等于相似比 的平方。
C
求：
A
D
B
第十页，共十五页。
3、三角形的一条中位线把三角形截成的一个小 三角形与原三角形的周长之比等于___1_:2____， 面积之比等于___1_:4____。

《相似三角形的性质》PPT 课件
目录
• 相似三角形基本概念 • 相似三角形性质探究 • 相似三角形在几何证明中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 拓展：全等三角形与相似三角形联系
与区别
01
相似三角形基本概念
定义及判定方法
定义
两个三角形如果它们的对应角相等，那 么这两个三角形相似。
AAA相似
01
利用相似三角形对应角相等 的性质，可以证明两个角相
等。
02
通过构造相似三角形，将待 证相等的两个角作为对应角 ，从而证明角度相等关系。
03
相似三角形中，若已知两角 对应相等，则第三角也必然 相等，这一性质可用于证明
复杂角度相等关系。
证明图形形状和大小关系
利用相似三角形形状相同的性质 ，可以证明两个图形形状相同。
01
04
对应角相等；
全等三角形的性质
02
05
面积相等；
对应边相等；
03
06
周长相等。
全等与相似关系探讨
联系 全等三角形是相似三角形的特例，即
相似比为1:1的情况；
全等和相似都涉及到两个三角形的形 状和大小关系。
区别
全等要求两个三角形完全重合，而相 似只要求形状相同，大小可以不同；
全等三角形的对应边和对应角都相等 ，而相似三角形只要求对应角相等， 对应边成比例。
02
相似三角形性质探究
对应角相等性质
01Biblioteka 0203性质描述
相似三角形的对应角相等 。
证明方法
通过三角形的相似定义和 角的对应关系进行证明。
应用举例
在几何问题中，利用相似 三角形的对应角相等性质 ，可以解决角度相关的问 题。

B′ D′ C′
∴AD:A’D’=比、对应 角平分线的比都等于相似比.
课堂练习:
填空： （1）两个三角形的对应边的比为3:4，则这两 个三角形的对应角平分线的比为_____ ，对应边 上的高的比为____，对应边上的中线的比为____ (2)相似三角形对应角平分线比为0.2,则相似比 为_________,对应中线的比等于______;
△ABC 中，AB = 5cm，BC = 4cm ，CA = 8cm .
已知△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′的周 长为34cm，求△A′B′C′的各边长.
对应角相等 相 似 三 角 形 的 性 质
对应边成比例 相似比等于对应边的比 对应高的比，对应中线的比、对应角平分 线的比都等于相似比. 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方
D’
C’
△ABC～△A’B’C’，相似比为K
S S’ = AD 1/2 · BC · B’C’ · A’D’ 1/2 · = BC · AD B’C’ · A’D’ K K 2 K =
例1 已知： △ABC∽△A′B′C′，它们的周长分 别为 60cm 和 72cm ，且 AB = 15cm ， B′C′= 24cm .求：BC、AC、 A′B′、 A′C′.
相似三角形周长的比等于相似比.
如果△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′
的相似比为k，即
AB BC CA k AB BC C A
AB BC CA k AB BC C A
,那么
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A A’
B
D
C
B’
相似三角形的性质
回顾与思考 1.识别两个三角形相似的简便方法有哪些? 2.在△ABC与△A/B/C/ 中,AB=10cm,AC=6cm,BC=8cm,A/B/=5cm,A/C/= 3cm,B/C/=4cm,这两个三角形相似吗?说明理由.如 果相似,它们的相似比是多少?

（1）△ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？
如果相似，指出它们的相似比．
（2）如果CD=1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
C′ C
A
D
B
A′
D′
B′
探究新知
解：（1）△ACD与△A'C'D'相似；
理由：∵
AC A'C'
AB A'B'
BC B'C'
，
∴△ABC∽△A'B'C'．
C
A
D
∴∠A=∠C'A'D'．
∵△ABC∽△A'B'C'，
C
∴∠B=∠B'．
又∵△ABD和△A'B'D'都是直角三角形，
A
D
B
∴△ABD∽△A'B'D' ．
∴
AD AB k ． A'D' A'B'
C′
所以相似三角形对应高的比等于相似比．
A′
D′
B′
探究新知
（2）如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应角平分线 AD和A'D'．
的边、角之间存在什么样的关系？
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，
那么 AB BC AC k ， AB BC AC
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′．
相似三角形的高、中线、角平分线之间关系？
探究新知
如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房 梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱．