8.6.3.1平面与平面垂直的判定教案2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第二册

8.6.3平面与平面垂直复习课（第三课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)一、教学目标1.进一步加深理解和掌握平面与平面垂直的定义、判定定理及性质定理，并能应用定理解决相关问题；2.理顺空间垂直位置关系的知识架构，并能应用相关知识对问题进行分析、转化和解决；3.通过平面与平面垂直判定和性质定理的综合应用，以及空间问题平面化的思维方式，体会化归思想方法的应用.二、教学重难点1.平面与平面垂直的判定定理和性质定理的应用.2.应用定理证明过程中表述的条理性和严谨性.三、教学过程1.知识回顾1.1面面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，记作：α⊥β.(2)画法：如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.【设计意图】复习面面垂直的定义，做到温故而知新.11.2【微训练】1.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC.m∥n，n⊥β，m⊂αD.m∥n，m⊥α，n⊥β【设计意图】通过小题训练，帮助学生回顾平面与平面垂直的判定定理.平面与平面垂直的判定定理2.判断题(1)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.( )(2)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β.( )(3)若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β.( )【设计意图】通过题组训练，帮助学生加深对平面与平面垂直的性质定理的理解. 平面与平面垂直的性质定理2图形语言2.课堂互动题型一求二面角的大小【活动要求】让学生提前练习，老师检查学生答题情况.如图所示，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且P A＝AC，求二面角P－BC－A的大小.【活动预设】引导学生找二面角的平面角.【设计意图】加强对二面角的理解，熟练的计算二面角的平面角.题型二平面与平面垂直的证明【活动要求】让学生提前练习，老师检查、点评学生的答题情况.如图，在四棱锥P­ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若∠ABC＝60°，求证：平面P AB⊥平面P AE.3【设计意图】通过对问题进行分析，学生可以体会和应用平面与平面垂直的判定定理在分析问题和解决问题中的转化功能，体会应用所学知识解决问题的心理愉悦.老师点评旨在规范学生的解题格式，注重表述的条理性和严谨性.题型三平面与平面垂直的性质及应用【活动要求】让学生提前练习，老师检查、点评学生的答题情况.如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.求证：(1)BG⊥平面P AD；(2)AD⊥PB；(3)求点D到面PAB的距离.4【设计意图】让学生体会和应用平面与平面垂直的性质定理在分析问题和解决问题中的转化功能，体会应用所学知识解决问题的心理愉悦.老师点评旨在规范学生的解题格式，注重表述的条理性和严谨性.3.归纳小结【设计意图】（1）梳理平面与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，提高应用定理解决相关问题的能力；（2）激发学生的探究精神，养成独立思考的习惯.四、课外作业1.四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB.(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)求二面角B－P A－D的平面角的度数；(3)求二面角B－P A－C的平面角的度数；(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数.2.图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．53.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE 沿DE折起，使点A到达点P的位置，得到如图2所示的四棱锥P­EBCD，点M为棱PB的中点．(1)求证：PD∥平面MCE；(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M­BCE的体积．6。

课 题：平面与平面垂直的判定【学情分析】平面与平面垂直的判定是立体几何中点、线、面的位置关系最后一节内容，在此之前，学生已经研究过线面、面面平行的判定和性质以及线面垂直的判定，能够较熟练地运用相关定理对线线、线面、面面的平行的判定和性质、线面垂直的判定进行研究与论证。

【教学目标】知识技能目标1．结合实际问题使学生了解二面角及二面角的平面角的定义； 2．学生通过具体情境分析、探索平面与平面垂直的判定定理；3．利用判定定理判定或证明简单的平面与平面垂直问题，初步掌握平面与平面垂直的判定方法。

能力目标1．结合情境，通过自主探究逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，着重培养学生的认知能力；2．引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力。

【教学重点、难点】 判定定理的证明及应用． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】一、复习旧知，温故知新师:初中我们学过角的概念是什么？生：由一点引两条射线所组成的几何图形叫做角。

记作：AOB ∠师:什么是斜线与平面所成的角？生：斜线与斜线在平面内的射影所成的角。

师: 也就是说将线面角转化为线线角。

BAO〖设计意图〗复习旧知识，为新知识学习埋下伏笔。

二、创设情境，引入新课师:取一张纸，任意一折，这样一个平面就变成两个…… 生：相交平面师:此时这两个平面就成一定的…… 生：角度师:为此，我们需要引进二面角的概念，研究两个平面所成的角。

〖设计意图〗从现实生活中，学生所熟悉的简单直观的实际问题引入，使学生易于接受。

三、类比知新，了解概念师:如何定义两个平面所成的角呢？（引导学生类比初中学的角的定义） 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。

记作：二面角βα--l 、二面角βα--AB 或者二面角D BC A -- 师:生活中有许多的二面角，你能举出一些实例吗？ 生：折纸，书打开，门打开等。

教学设计标题：平面与平面垂直的判定学情分析：学生前面已经学习了面面平行以及线面垂直，有了知识储备，并且大部分同学已经具备了一定的空间想象能力、基本的逻辑推理思维、书写的规范性等.然而，对两个平面的垂直关系还停留在感性的认识阶段，还没有上升到理论，学生还不知道应该如何定义和判定两个平面互相垂直，还未能建立起各种垂直关系之间的联系，还没有形成完整的空间知识结构体系，学生内在的知识网络还有待进一步清晰化，所以学生在学习的过程中要适时的引导，关注学生的学习过程．教学目标：1.通过实例，引导学生运用类比的思想，提出平面与平面垂直关系的判定方法，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养；2.学生通过直观感知、推理论证等探究过程，领悟研究几何问题的基本思路，提高运用图形语言、符号语言和文字语言表达与交流的能力；3.学生通过对实际问题的分析和探究，能将现实空间问题抽象为数学问题，并通过研究性学习的实践与展示，体验敢于探究、乐于探索和勇于创新的科学精神．教学重难点：教学重点：二面角的概念和平面与平面垂直的判定定理教学难点：平面与平面垂直的判定定理的形成过程角，就说这两个平面互相垂直平面角例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角.(1)D1-AB-D (2)C1-BD-C (3)C-C1B-B1在正方体中设置两个二面角的问题学生通过抢答的方式找二面角的平面角，借此巩固二面角及其平面角的相关概念，并通过后面两个直二面角的问题，引发对判定定理的期待. （学生答完一题后，课件上展示二面角问题的图形并揭示答案）到直角，操作性有待改善，联想其它位置关系都有判定定理，因而激发学生对平面与平面垂直的判定定理的思考和期待，进而开启下一个内容，也就是难点内容，使得教学过程更流畅自然。

探究面面垂直判定定理(三)活动探究面面垂直的判定定理情景一：转动的门跟地面情景二：建筑工人砌墙，常用铅锤检测所砌的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的细线紧贴地面，就说明墙面与地面垂直，不然就不垂直。

平面与平面垂直的判定教案教学目标：1. 理解平面的概念及性质，掌握平面与平面垂直的判定方法。

2. 能运用平面与平面垂直的判定方法解决实际问题，提高空间想象能力和逻辑推理能力。

3. 通过对平面与平面垂直的判定方法的学习，培养学生数学思想和方法的应用意识。

教学重、难点：1. 教学重点：平面与平面垂直的判定方法及其应用。

2. 教学难点：如何灵活运用平面与平面垂直的判定方法解决实际问题。

教学准备：1. 多媒体课件：包含判定定理的证明过程、图形示例等内容的PPT 或视频资料。

2. 几何画板：学生可利用几何画板进行自主探究和实践，绘制相关图形，加深理解。

3. 白板讲解：利用白板或黑板进行现场讲解和互动问答，提高教学效果。

4. 学生练习册：根据教学目标和内容，设计相应的练习册或习题集，供学生练习使用。

教学方法和手段：1. 课堂讲解：教师精讲判定定理及其应用，注意逻辑清晰，表达准确。

2. 小组讨论：学生针对课堂练习或实际问题的讨论，促进互相学习和交流。

3. 互动问答：教师鼓励学生提问，通过回答问题了解学生对知识的掌握情况，并及时调整教学策略。

4. 多媒体辅助：使用多媒体课件展示图形和实例，增强视觉效果，帮助学生更好地理解。

5. 工具应用：引导学生使用几何画板等工具进行自主探究和实践，提高教学效率。

教学过程：1.概念讲解教师引导学生复习平面的概念及性质，强调平面的基本属性，为后续学习做好铺垫。

2. 定理介绍教师介绍平面与平面垂直的判定方法，即“一面四点两线”判定定理。

指出定理的现代形式如下：如果一个平面内的四条直线与另一个平面内的四条直线对应平行，那么这两个平面垂直。

并深入讲解该定理的证明过程及应用范围。

3. 范例分析教师通过实例讲解如何运用判定方法解决实际问题。

如：通过观察教室墙面和地面的关系，引导学生用判定方法判断两个平面是否垂直，并指导学生在练习本上画出相应的图形，锻炼学生的实际应用能力。

4. 课堂练习教师布置与课堂内容同步的作业，学生完成后进行展示和交流。

2.3.2 平面與平面垂直的判定整體設計教學分析在空間平面與平面之間的位置關係中，垂直是一種非常重要的位置關係，它不僅應用較多，而且是空間問題平面化的典範.空間中平面與平面垂直的定義是通過二面角給出的，二面角是高考中的重點和難點.使學生掌握兩個平面互相垂直的判定，提高學生空間想像能力，提高等價轉化思想滲透的意識，進一步提高學生分析問題、解決問題的能力；使學生學會多角度分析、思考問題，培養學生的創新精神.三維目標1.探究平面與平面垂直的判定定理，二面角的定義及應用，培養學生的歸納能力.2.掌握平面與平面垂直的判定定理的應用，培養學生的空間想像能力.3.引導學生總結求二面角的方法,培養學生歸納問題的能力.重點難點教學重點:平面與平面垂直判定.教學難點:平面與平面垂直判定和求二面角.課時安排1課時教學過程複習兩平面的位置關係：（1）如果兩個平面沒有公共點，則兩平面平行⇔若α∩β=∅,則α∥β.（2）如果兩個平面有一條公共直線，則兩平面相交⇔若α∩β=AB,則α與β相交.兩平面平行與相交的圖形表示如圖1.圖1導入新課思路1.(情境導入)為了解決實際問題，人們需要研究兩個平面所成的角.修築水壩時，為了使水壩堅固耐用必須使水壩面與水平面成適當的角度；發射人造地球衛星時，使衛星軌道平面與地球赤道平面成一定的角度.為此，我們引入二面角的概念，研究兩個平面所成的角.思路2.(直接導入)前邊舉過門和牆所在平面的關係，隨著門的開啟，其所在平面與牆所在平面的相交程度在變，怎樣描述這種變化呢？今天我們一起來探究兩個平面所成角問題.推進新課新知探究提出問題①二面角的有關概念、畫法及表示方法.②二面角的平面角的概念.③兩個平面垂直的定義.④用三種語言描述平面與平面垂直的判定定理，並給出證明.⑤應用面面垂直的判定定理難點在哪裡？討論結果：①二面角的有關概念.二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平臥式兩種畫法：如圖2（教師和學生共同動手）.直立式：平臥式：(1) (2)圖2二面角的表示方法：如圖3中，棱為AB，面為α、β的二面角，記作二面角α-AB-β.有時為了方便也可在α、β內（棱以外的半平面部分）分別取點P、Q，將這個二面角記作二面角P-AB-Q.圖3如果棱為l，則這個二面角記作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念.如圖4,在二面角αlβ的棱上任取點O，以O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直於棱的射線OA和OB，則射線OA和OB組成∠AOB.圖4再取棱上另一點O′，在α和β內分別作l的垂線O′A′和O′B′，則它們組成角∠A′O′B′.因為OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的兩邊分別平行且方向相同, 即∠AOB=∠A′O′B′.從上述結論說明了：按照上述方法作出的角的大小，與角的頂點在棱上的位置無關.由此結果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直於棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.圖中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.③直二面角的定義.二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的牆面與地面，一個正方體中每相鄰的兩個面、課桌的側面與地面都是互相垂直的.兩個平面互相垂直的概念和平面幾何裡兩條直線互相垂直的概念相類似，也是用它們所成的角為直角來定義，二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角.兩個平面互相垂直的定義可表述為：如果兩個相交平面所成的二面角為直二面角，那麼這兩個平面互相垂直.直二面角的畫法：如圖5.圖5④兩個平面垂直的判定定理.如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直. 兩個平面垂直的判定定理符號表述為：⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β.兩個平面垂直的判定定理圖形表述為：如圖6.圖6證明如下：已知AB⊥β，AB∩β=B ，AB ⊂α. 求證：α⊥β.分析：要證α⊥β,需證α和β構成的二面角是直二面角，而要證明一個二面角是直二面角，需找到其中一個平面角，並證明這個二面角的平面角是直角. 證明：設α∩β=CD ，則由AB ⊂α,知AB 、CD 共面. ∵AB⊥β，CD ⊂β,∴AB⊥CD ，垂足為點B. 在平面β內過點B 作直線BE⊥CD, 則∠ABE 是二面角αCDβ的平面角.又AB⊥BE ，即二面角αCDβ是直二面角,∴α⊥β.⑤應用面面垂直的判定定理難點在於：在一個平面內找到另一個平面的垂線,即要證面面垂直轉化為證線線垂直. 應用示例思路1例1 如圖7,⊙O 在平面α內，AB 是⊙O 的直徑，PA⊥α，C 為圓周上不同於A 、B 的任意一點.圖7求證：平面PAC⊥平面PBC.證明：設⊙O 所在平面為α,由已知條件，PA⊥α,BC ⊂α,∴PA⊥BC. ∵C 為圓周上不同於A 、B 的任意一點,AB 是⊙O 的直徑, ∴BC⊥AC.又∵PA 與AC 是△PAC 所在平面內的兩條相交直線，∴BC⊥平面PAC.∵BC ⊂平面P BC,∴平面PAC⊥平面PBC. 變式訓練如圖8，把等腰Rt△ABC 沿斜邊AB 旋轉至△ABD 的位置，使CD=AC ，圖8（1）求證：平面ABD⊥平面ABC ； （2）求二面角CBDA 的余弦值. （1）證明：由題設,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC ，O 為垂足，則OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中點. ∴O∈AB ，即O ∈平面ABD. ∴OD ⊂平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.（2）解:取BD 的中點E ，連接CE 、OE 、OC, ∵△BCD 為正三角形，∴CE⊥BD.又△BOD 為等腰直角三角形,∴OE⊥BD. ∴∠OEC 為二面角CBDA 的平面角. 同（1）可證OC⊥平面ABD.∴OC⊥OE.∴△COE 為直角三角形. 設BC=a ，則CE=a 23，OE=a 21，∴cos∠OEC=33=CE OE . 點評：欲證面面垂直關鍵在於在一個平面內找到另一個平面的垂線.例2 如圖9所示，河堤斜面與水平面所成二面角為60°，堤面上有一條直道CD ，它與堤角的水平線AB 的夾角為30°，沿這條直道從堤腳向上行走到10 m 時人升高了多少？（精確到0.1 m ）圖9解：取CD 上一點E ，設CE=10 m ，過點E 作直線AB 所在的水平面的垂線EG ，垂足為G ，則線段EG 的長就是所求的高度.在河堤斜面內，作EF⊥AB ，垂足為F ，並連接FG,則FG⊥AB,即∠EFG 就是河堤斜面與水平面ABG 所成二面角的平面角, ∠EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×2352321=⨯≈4.3（m ）.答：沿直道行走到10 m 時人升高約4.3 m. 變式訓練已知二面角αABβ等於45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB=45°. 求CD 與平面β所成的角.解：如圖10，作CO⊥β交β於點O ，連接DO ，則∠CDO 為DC 與β所成的角.圖10過點O 作OE⊥AB 於E ，連接CE ，則CE⊥AB. ∴∠CEO 為二面角αABβ的平面角， 即∠CEO=45°. 設CD=a,則CE=a 22,∵CO⊥OE ，OC=OE ， ∴CO=a 21.∵CO⊥DO,∴sin∠CDO=21=CD CO . ∴∠CDO=30°,即DC 與β成30°角.點評：二面角是本節的另一個重點，作二面角的平面角最常用的方法是：在一個半平面α內找一點C ，作另一個半平面β的垂線，垂足為O,然後通過垂足O 作棱AB 的垂線，垂足為E,連接AE,則∠CEO 為二面角α-AB-β的平面角.這一過程要求學生熟記.思路2例1 如圖11，ABCD 是菱形，PA⊥平面ABCD ，PA=AD=2，∠BAD=60°.圖11（1）求證：平面PBD⊥平面PAC ； （2）求點A 到平面PBD 的距離； （3）求二面角APBD 的余弦值.（1）證明：設AC 與BD 交於點O ，連接PO, ∵底面ABCD 是菱形,∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴的PA⊥BD. 又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.又∵BD ⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.(2)解：作AE⊥PO 於點E,∵平面P BD⊥平面PAC,∴AE⊥平面PBD. ∴AE 為點A 到平面PBD 的距離.在△PAO 中,PA=2,AO=2·cos30°=3,∠PAO=90°, ∵PO=722=+AO PA ,∴AE=7212732==•PO AO PA .∴點A 到平面PBD 的距離為7212. （3）解：作AF⊥PB 於點F,連接EF, ∵AE⊥平面PBD,∴AE⊥PB. ∴PB⊥平面AEF,PB⊥EF.∴∠AFE 為二面角APBD 的平面角. 在Rt△AEF 中,AE=7212,AF=2, ∴sin∠AFE=742=AF AE ,cos∠AFE=77)742(12=-. ∴二面角APBD 的余弦值為77. 變式訓練如圖12，PA⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分別是AB 、PC 的中點. （1）求證：MN∥平面PAD ； （2）求證：MN⊥CD ；（3）若二面角PDCA=45°，求證：MN⊥平面PDC.圖12 圖13證明：如圖13所示,（1）取PD 的中點Q ，連接AQ 、NQ,則QN21DC,AM 21DC, ∴QN AM.∴四邊形AMNQ 是平行四邊形.∴MN∥AQ.又∵MN ⊄平面PAD,AQ ⊂平面PAD,∴MN∥平面PAD. （2）∵PA⊥平面ABCD ，∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD. 又∵AQ ⊂平面PAD,∴CD⊥AQ. 又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD.（3）由（2）知，CD⊥平面PAD,∴CD⊥AD,CD⊥PD.∴∠PDA 是二面角PDCA 的平面角.∴∠PDA=45°. 又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD. 又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD.又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面PDC.例2 如圖14,已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA 1，F 為棱BB 1的中點，M 為線段AC 1的中點.圖14（1）求證：直線MF∥平面ABCD ； （2）求證：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求平面AFC 1與平面ABCD 所成二面角的大小. （1）證明：延長C 1F 交CB 的延長線於點N ，連接AN. ∵F 是BB 1的中點，∴F 為C 1N 的中點，B 為CN 的中點. 又M 是線段AC 1的中點，故MF∥AN. 又∵MF ⊄平面ABCD,AN ⊂平面ABCD, ∴MF∥平面ABCD.（2）證明：連接BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1,可知AA 1⊥平面ABCD, 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A⊥BD. ∵四邊形ABCD 為菱形，∴AC⊥BD. 又∵AC∩A 1A=A,AC 、A 1A ⊂平面ACC 1A 1, ∴BD⊥平面ACC 1A 1.在四邊形DANB 中，DA∥BN 且DA=BN ， ∴四邊形DANB 為平行四邊形. 故NA∥BD ，∴NA⊥平面ACC 1A 1. 又∵NA ⊂平面AFC 1,∴平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.（3）解：由（2）,知BD⊥平面ACC 1A 1，又AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴BD⊥AC 1. ∵BD∥NA ，∴AC 1⊥NA.又由BD⊥AC,可知NA⊥AC ，∴∠C 1AC 就是平面AFC 1與平面ABCD 所成二面角的平面角或補角. 在Rt△C 1AC 中，tan∠C 1AC=311=CA C C ，故∠C 1AC=30°. ∴平面AFC 1與平面ABCD 所成二面角的大小為30°或150°.變式訓練如圖15所示，在四棱錐S —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，側面SDC⊥底面ABCD ，且AB=2，SC=SD=2.圖15（1）求證：平面SAD⊥平面SBC ；（2）設BC=x ，BD 與平面SBC 所成的角為α，求sinα的取值範圍. （1）證明：在△SDC 中，∵SC=SD=2，CD=AB=2,∴∠DSC=90°,即DS⊥SC.∵底面ABCD 是矩形,∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD,∴BC⊥面SDC. ∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.∵DS ⊂平面SAD,∴平面SAD⊥平面SBC.（2）解：由（1）,知DS⊥平面SBC,∴SB 是DB 在平面SBC 上的射影. ∴∠DBS 就是BD 與平面SBC 所成的角，即∠DBS=α. 那麼sinα=DBDS. ∵BC=x,CD=2⇒DB=24x +,∴sinα=242x+.由0＜x ＜+∞,得0＜sinα＜22. 知能訓練課本本節練習. 拓展提升如圖16，在四棱錐P —ABCD 中，側面PAD 是正三角形，且與底面ABCD 垂直，底面ABCD 是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，N 是PB 中點，過A 、D 、N 三點的平面交PC 於M ，E 為AD 的中點.圖16（1）求證：EN∥平面PCD ；（2）求證：平面PBC⊥平面ADMN ；（3）求平面PAB 與平面ABCD 所成二面角的正切值. (1)證明：∵AD∥BC,BC ⊂面PBC,AD ⊄面PBC, ∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN, ∴AD∥MN.∴MN∥BC. ∴點M 為PC 的中點.∴MN21BC. 又E 為AD 的中點，∴四邊形DENM 為平行四邊形. ∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.（2）證明：連接PE 、BE,∵四邊形ABCD 為邊長為2的菱形，且∠BAD=60°, ∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB. 又∵PA=AB 且N 為PB 的中點, ∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN.∴平面PBC⊥平面ADMN.（3）解：作EF⊥AB ，連接PF ，∵PE⊥平面ABCD,∴AB⊥PF. ∴∠PFE 就是平面PAB 與平面ABCD 所成二面角的平面角. 又在Rt△AEB 中，BE=3，AE=1，AB=2,∴EF=23. 又∵PE=3,∴tan∠PFE=233 EFPE=2,即平面PAB 與平面ABCD 所成的二面角的正切值為2. 課堂小結知識總結：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂線，然後解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等.思想方法總結：轉化思想，即把面面關係轉化為線面關係，把空間問題轉化為平面問題. 作業課本習題2.3 A 組1、2、3.設計感想線面關係是線線關係和麵面關係的橋樑和紐帶，空間中直線與平面垂直的性質定理不僅是由線面關係轉化為線線關係，而且將垂直關係轉化為平行關係，因此直線與平面垂直的性質定理在立體幾何中有著特殊的地位和作用，因此它是高考考查的重點.本節不僅選用了大量經典好題，還選用了大量的2007高考模擬題，相信能夠幫助大家解決立體幾何中的重點難點問題.。

【新教材】8.6.3 平面与平面垂直教学设计（人教A版）第1课时平面与平面垂直的判定在平面与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容是直线与平面垂直关系延续和提高.通过本节使学生对整个空间中的垂直关系有一个整体的认知，线线垂直、线面垂直、面面垂直是可以相互转化的.课程目标1．理解二面角的概念，并会求简单的二面角；2．理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.3.通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2. 数学运算：求二面角；3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：平面与平面垂直的判定定理及其应用.难点：平面与平面垂直的判定定理，找垂直关系.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入我们知道如果两个平面的二面角是直角，那么这两个平面一定垂直.那么有没有更简单的方法证明两个平面垂直？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本155-158页，思考并完成以下问题1、什么是二面角？什么是直二面角？2、平面与平面平行的判定定理是什么？3、怎样用符号语言表示平面与平面平行的判定定理？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.图中的二面角可记作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.(2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直与直线l的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.平面与平面垂直(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作α⊥β.(2)判定定理四、典例分析、举一反三题型一对面面垂直判定定理的应用例1 如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面．证明：平面平面.【答案】证明见解析．【解析】证明：∵是的直径，点是上的动点，AB O⊙C O⊙PA O⊙ABCPAC PBCAB O⊙C O⊙∴，即．又∵垂直于所在平面，平面∴．∴∴平面．又平面，∴平面平面．解题技巧（判定两个平面垂直的常用方法）(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.跟踪训练一1、如图所示,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,AA 1=2,M 是棱CC 1的中点.证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M.【答案】证明见解析.【解析】证明 由长方体的性质可知,A 1B 1⊥平面BCC 1B 1,又BM ⊂平面BCC 1B 1,所以A 1B 1⊥BM.又CC 1=2,M 为CC 1的中点,所以C 1M=CM=1.90ACB ∠=︒BC AC ⊥PA O ⊙BC ⊂O ⊙PA BC ⊥PA AC A =BC ⊥PAC BC ⊂PCB PAC ⊥PBC在Rt△B1C1M中,B1同理又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM ⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1,所以BM⊥平面A1B1M.因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.题型二求二面角例2如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:(1)求二面角D′-AB-D的大小;(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小.【答案】(1)45°. (2)45°.【解析】(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°.所以二面角D′-AB-D的大小为45°.(2)因为M是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MN⊥AB.取CD的中点H,连接HN,则HN⊥AB.从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°.所以二面角M-AB-D的大小为45°.解题技巧：(作二面角的三种常用方法)(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂直法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 跟踪训练二1、如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2√3.(1)求证:平面PAB⊥平面ABC;(2)E为BA的延长线上一点,若二面角P-EC-B的大小为30°,求BE的长.【答案】证明见解析【解析】（1）证明:因为PA⊥平面PBC,所以PA⊥PC,PA⊥PB.经计算,得所以AB2+BC2=AC2,故BC⊥AB.又PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC.因为PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.又BC⊂平面ABC,故平面PAB⊥平面ABC.(2)如图,取AB的中点F,连接PF.因为PA=PB,所以PF⊥AB.由(1)知平面PAB⊥平面ABC, 又平面PAB∩平面ABC=AB,PF⊂平面PAB,所以PF⊥平面ABC,PF⊥EC.过F作FG⊥EC于G,连接PG.因为PF⊥EC,PF∩FG=F,所以EC⊥平面FPG.因为PG⊂平面FPG,所以EC⊥PG.于是∠PGF是二面角P-EC-B的平面角,因此,∠PGF=30°.又所以设由(1)知BC⊥AB,所以△EFG ∽△ECB,得FG BC =EF EC .因此, 即x 2解得舍去).所以五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本158页练习，162页习题8.6的3、6、7、8题.学生了解两个平面垂直的判定，但在问题中应用的时候就不够灵活或找不到需要的条件.为此，本节的课堂中心是判定定理的引入与理解，判定定理的应用及立体空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养.。

提问回答例题练习1..二面角的概念（1）半平面：平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。

（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．（3）二面角的画法和记法：面1－棱－面2 点1－棱－点2二面角βα--l二面角QlP--问题1：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？问题2：探究：用课本作模型，相邻两页书也构成二面角，活动：尝试“打开课本”为30°、90°、120°，观察是指哪个角的变化？（4）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.思考：∠AOB 的大小与点O在棱l上的位置有关吗？为什么？二面角的平面角必须满足：①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内③角的边都要垂直于二面角的棱观察：教室相邻两个墙面与地面可构成几个二面角？分别指出构这些二面角的面、棱、平面角及其度数。

【答案】三个2. 平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作：βα⊥图形表示：深刻二面角概念。

学生做好笔记，并理解记忆学生做好笔记，并力。

通过思考，引入二面角的平面角，提高学生分析问题、概括能力。

通过观察，由实例引入两平观察：如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？【答案】用铅锤来检测，如系有铅锤的细线紧贴墙面，认为墙面垂直与地面。

3.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。

图形： 符号语言：βαβα⊥⇒⊂⊥a a , 简记：线面垂直，则面面垂直。

三、巩固知识、典型讲练练习：概念辨析．判断下列说法的对错：(1)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（ ）(2)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（ ）(3)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β.（ ）(4)若m ⊥α , m ⊂β,则α⊥β.（ ）例 1.在正方体D C B A ABCD ''''-中，求证：平面A C AC BD A ''⊥'平面例2.如图,AB 是圆O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.练习：练．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③四、课堂小结1. 平面与平面垂直的判定：(1)定义(2)判定定理2.数学思想：转化思想五、布置作业习题8.6 6,7题让学生进行小结结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

8.6.2 直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定(教师独具内容)课程标准：1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系.2.归纳出直线与平面垂直的判定定理．教学重点：1.直线与平面垂直的定义.2.直线与平面垂直的判定.3.直线与平面所成的角的求解．教学难点：直线与平面垂直的判定定理的应用．核心素养：在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.1．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是90°.(2)线面垂直，则线线垂直．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线与一个平面内两条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线一定不与这个平面垂直．( )(3)若直线与平面所成的角为0°，则直线与平面平行．( )2．做一做(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC(2)过平面外一点作该平面的垂线有____条．(3)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：①平行四边形的两条对角线；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．其中不能保证该直线与平面垂直的是____(填序号)．(4)AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线段A′A的长为____.(5)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角为____.题型一直线与平面垂直的定义例1 下列命题中正确的个数是( )①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1C．2 D．3[跟踪训练1] 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m题型二直线与平面垂直的证明例2 如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点．求证：(1)BC⊥平面SAB；(2)EF⊥SD.[跟踪训练2] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.题型三直线与平面所成的角例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE 与平面ABB1A1所成角的正弦值．[跟踪训练3] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．1．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )A．30° B．45°C．60° D．120°2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB3. (多选)如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么下列结论正确的是( )A．MA∥BDB．MA与BD异面C．MA与BD相交D．MA⊥BD4．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m⊥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确说法的序号是____.5. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD ＝ 2.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．一、选择题1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )A．平行B．相交C．异面D．垂直2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( ) A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定3．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是( )A. 5 B．2 5C．3 5 D．4 55．(多选) 如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是( )A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面ABCD所成的角是∠SACD．AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角二、填空题6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝____.7．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD 所成的角是____.8. 如图所示，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是____.三、解答题9. 如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点．若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝π2，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值．1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( ) A．有且只有一个B．至多有一个C．有一个或无数多个D．不存在2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段3. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F＝____.4．如图，正方形ACDE的边长为2，AD与CE的交点为M，AE⊥平面ABC，AC ⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值．5. 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C的中点．(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：直线AE⊥平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成的角的大小．8.6.2 直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定(教师独具内容)课程标准：1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系.2.归纳出直线与平面垂直的判定定理．教学重点：1.直线与平面垂直的定义.2.直线与平面垂直的判定.3.直线与平面所成的角的求解．教学难点：直线与平面垂直的判定定理的应用．核心素养：在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.1．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是90°.(2)线面垂直，则线线垂直．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线与一个平面内两条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线一定不与这个平面垂直．( )(3)若直线与平面所成的角为0°，则直线与平面平行．( )答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC(2)过平面外一点作该平面的垂线有____条．(3)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：①平行四边形的两条对角线；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．其中不能保证该直线与平面垂直的是____(填序号)．(4)AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线段A′A的长为____.(5)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角为____.答案(1)C (2)1 (3)②④(4)a2－b2(5)45°题型一直线与平面垂直的定义例1 下列命题中正确的个数是( )①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1C．2 D．3[解析]当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故①错误；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故②错误；③正确．故选B.[答案] B直线与平面垂直的定义的理解直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法．[跟踪训练1] 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B解析对于A，由l⊥m及m⊂α，可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故A错误；B正确；对于C，l与m可能平行或异面，故C错误；对于D，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故D错误．故选B.题型二直线与平面垂直的证明例2 如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点．求证：(1)BC⊥平面SAB；(2)EF⊥SD.[证明](1)∵四棱锥S－ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC.∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC.又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.(2)由(1)知BC⊥平面SAB.同理，CD⊥平面SAD.∵E，F分别是SD，SC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.又SD⊂平面SAD，∴EF⊥SD.应用线面垂直判定定理的注意事项(1)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．(2)判定定理在应用时，切实要抓住“相交”二字，它把线面垂直转化为线线垂直．即“l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒l⊥α.”[跟踪训练2] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.证明如图，连接AE，CE，D1O，D1E，D1B1.设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ， 易证AE ＝CE .因为AO ＝OC ，所以OE ⊥AC . 在正方体中易求出：D 1O ＝DD 21＋DO 2＝ a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝62a ，OE ＝BE 2＋OB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝32a ，D 1E ＝D 1B 21＋B 1E 2＝2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝32a . 因为D 1O 2＋OE 2＝D 1E 2，所以D 1O ⊥OE .因为D 1O ∩AC ＝O ，D 1O ⊂平面ACD 1，AC ⊂平面ACD 1，所以OE ⊥平面ACD 1.题型三 直线与平面所成的角例3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．求直线BE 与平面ABB 1A 1所成角的正弦值．[解] 如图所示，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM ，因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 即为直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3.于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EMBE＝23，即直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值为23 .[条件探究] 在本例中，若求直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值，又如何求解？解∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴BE与平面ABCD所成角与所求角相等．连接BD，则∠EBD即为直线BE与平面ABCD所成的角．设正方体的棱长为2，则在Rt△BDE中，sin∠EBD＝DEBE＝13，即直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为1 3 .求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．[跟踪训练3] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．解(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2 2.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A 1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A 1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.1．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )A．30° B．45°C．60° D．120°答案 C解析如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝1 2AB，∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角．在Rt△ABC中，cos∠ABC＝BCAB＝12，∴∠ABC＝60°，即AB与平面α所成的角为60°.2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB答案 B解析由题意知A1B1⊥平面ADD1A1，∵AD1⊂平面ADD1A1，∴A1B1⊥AD1，又A1D ⊥AD1，A1B1∩A1D＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1，故选B.3. (多选)如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么下列结论正确的是( )A．MA∥BDB．MA与BD异面C．MA与BD相交D．MA⊥BD答案BD解析由异面直线的判定方法可知MA与BD异面，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又MC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥MC.又MC∩AC＝C，∴BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，∴MA⊥BD.故选BD.4．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m⊥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确说法的序号是____.答案①④解析①④可由直线与平面垂直的定义和判定推证．根据②中条件可知，m 与n平行或异面，所以②错误．③中由m⊥n，m∥α，可知n∥α或n⊂α，或n 与α相交，故③错误，所以①④正确．5. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD ＝ 2.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．解(1)证明：因为四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA＝1，PD ＝2，所以PD2＝PA2＋AD2，所以PA⊥AD，又PA⊥CD，AD∩CD＝D，所以PA⊥平面ABCD.(2)因为四棱锥P－ABCD的底面积为1，PA⊥平面ABCD，所以四棱锥P－ABCD的高为PA＝1，所以四棱锥P－ABCD的体积为1 3 .一、选择题1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )A．平行B．相交C．异面D．垂直答案 A解析∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( ) A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定答案 D解析直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直，或直线l 在平面α内，或直线l与平面α相交，都有可能．3．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直答案 C解析在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC ＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD 与BC异面，故选C.4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是( )A. 5 B．2 5C．3 5 D．4 5答案 D解析如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CB.又PA∩PD＝P，PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.又AC＝AB，∴D为BC的中点．在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝82＋42＝4 5.5．(多选) 如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是( )A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面ABCD所成的角是∠SACD．AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角答案ABD解析对于A，∵AC⊥BD，且SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，A正确；对于B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，∴AB∥平面SCD，B正确；对于C，∵SD⊥平面ABCD，∴AD是SA在平面ABCD内的射影，∴∠SAD是SA与平面ABCD所成的角，C不正确；对于D，∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，D正确．故选ABD.二、填空题6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝____.答案90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B 1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.7．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是____.答案30°解析连接AC，由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角．在Rt△ABC中，∵AB＝1，BC＝2，∴AC＝AB2＋BC2＝12＋22＝ 3.在Rt△PAC中，∵tan∠PCA＝PAAC＝13＝33，∴∠PCA＝30°.8. 如图所示，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是____.答案①②③解析∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF，∵AF⊥平面PBC，∴AF⊥FE.∴AE与EF不垂直，又EF⊂平面PBC，∴AE不垂直于平面PBC.故①②③正确，④不正确．三、解答题9. 如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.证明取CD的中点G，连接EG，FG.∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG∥BD.又E为AD的中点，AC＝BD＝2，∴EG＝FG＝1.∵EF＝2，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点．若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝π2，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值．解如图，过点C作CH⊥C1D于点H，连接AC1.∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.∵BD⊂平面ABC，∴CC1⊥BD.∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1，∵CH⊂平面ACC1，∴BD⊥CH.又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，∴CH⊥平面BC1D，∴∠CC1D为CC1与平面BC1D所成的角．设AB＝2a，则CD＝2a，C1D＝6a，∴sin∠CC1D＝CDC1D＝2a6a＝33.1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( ) A．有且只有一个B．至多有一个C．有一个或无数多个D．不存在答案 B解析当异面直线互相垂直时满足条件的平面有1个，当异面直线不互相垂直时满足条件的平面有0个．2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 答案 A解析 如图所示，易知BD 1⊥平面AB 1C ，故当点P 在平面AB 1C 内时，总保持AP ⊥BD 1，又点P 在侧面BCC 1B 1内，且B 1C 为平面AB 1C 和平面BCC 1B 1的交线，故点P 一定位于线段B 1C 上．3. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F ＝____.答案12解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1的斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .由2×2＝h 22＋22，得h ＝233，DE ＝33.在Rt △DEB 1中，B 1E ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝ 66.由66× x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12，即线段B 1F 的长为12.4．如图，正方形ACDE 的边长为2，AD 与CE 的交点为M ，AE ⊥平面ABC ，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值．解(1)证明：∵AE⊥平面ABC，∴AE⊥BC.又AC⊥BC，AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACDE，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.(2)取AB的中点F，连接CF，EF.∵AE⊥平面ABC，CF⊂平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB.∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF为直线EC与平面ABE所成的角．在Rt△ABC中，∵AC＝BC＝2，∴AB＝22＋22＝2 2.∴CF＝12AB＝ 2.在Rt△AEF中，∵AE＝2，AF＝12AB＝2，∴EF＝22＋22＝ 6.在Rt△CFE中，∵CF＝2，EF＝6，∴tan∠CEF＝26＝33.5. 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C的中点．(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：直线AE⊥平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成的角的大小．解(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1. 又因为EF⊄平面A1B1BA，BA1⊂平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCB1，所以AE⊥平面BCB1.(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝12B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以四边形MBAA1为平行四边形，所以A1M∥AB，A1M＝AB，又由AB⊥BB1，得A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝B1M2＋A1M2＝4.在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝A1NA1B1＝12，因此∠A1B1N＝30°.所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.。

《平面与平面垂直的判定》课时教学设计一、内容及内容解析1．内容：研究平面与平面的垂直关系2．内容解析（1）内容的本质研究面面垂直与研究线线垂直一样，是从一般到特殊，即先定义二面角及二面角的平面角，再研究其中的特殊情形-面面垂直.二面角的定义类比了初中角的定义，角是从同一点引出的两条射线所组成的图形，二面角是从同一直线出发的两个半平面所组成的图形，二面角的大小是将其转化成了线线角，其本质是从棱上同一点分别在两个半平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角就是二面角的平面角.对于面面垂直的判定转化为线面垂直问题。

（2）内容蕴含的数学思想和方法本节课最重要的数学思想方法是转化与化归的思想，将平面与平面所成的角转化为平面角；将面面垂直问题转化为线面垂直问题.概括为一句话就是空间问题平面化，这是研究立体几何最常用的数学思想方法.其次是特殊与一般思想.研究线线垂直、面面垂直采用的是一般到特殊的研究方法，即先定义异面直线所成的角、二面角，再研究其成90度即垂直的情形；而研究线面垂直则采用了从特殊到一般的思想，即先定义线面垂直，再定义直线（斜线）与平面所成的角.这充分体现了特殊到一般的数学思想.再次本节课的研究中还采用了类比思想，定义二面角时，类比了初中角的定义，面面垂直关系类比面面平行进行研究.（3）知识的上下位关系本节内容以初中的相交直线所成的角以及上一单元空间中点、直线、平面的位置关系为基础，它是前面位置关系内容的特殊化位置关系的研究，在空间的位置关系中，平行和垂直是两种特殊的位置关系，通过这两种特殊的置关系的间的以用它们来处理一般的关系.（4）内容的育人价值本节的学习中，要通过观察生活中的物体，探究平面与平而的垂直关系，发展学生的数核心素养；能在空间图形中，分析点、线、面的位置关系，找出垂直关系，提升学生的数学抽象核心素养；通过面面垂直的判定定理的学习，运用其证明相关命题，解决相关问题，在此过程中可以培养学生的逻辑推理核心素养。

8.6.3平面与平面垂直的判定教学设计一、教学内容解析：1.教材的地位与作用：本节课是人教A版必修2第8章第6节的第3课时，是在前面学习了线面垂直的判定、线面角的基础上按照直观感知、操作确认的方式得出二面角及其平面角的概念、面面垂直的定义、画法及判定定理，是为解决空间中证明面面垂直的问题而设置的，为后面研究面面垂直的性质奠定了基础.2.学习重点、难点：重点：二面角的平面角的有关概念。

难点：平面与平面垂直的判定定理的理解和应用。

.二、学习目标设置：1、通过对二面角的直观感知，生活抽象，理解和掌握二面角的有关概念，培养数学的数学抽象、直观想象能力；2、通过面面垂直的探究，掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直；培养学生数学建模能力；3、用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题，进一步培养空间想象能力和分析、解决问题的能力。

三、学生学情分析：学生课前已经预习了课本内容.大部分同学已经具备了学习本节内容的知识基础，并且具备了很好的空间想象能力、立体几何解题技巧及思维、书写的规范性.因此，本节课的教学重点定位在引导学生小组合作，主动探究二面角及面面垂直的判定定理，以导学案为载体，采用发现问题、解决问题、加深理解、学以致用的方式帮助学生掌握学习立体几何的方法.四、教学策略分析：采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法，使学生形成“自主探究—归纳总结—灵活应用”的探究式学习方法，从而达到以学生为主体，教师为主导，师生共同发展的课堂教学效果.五、教学过程：【引入】通过线线角到线线垂直，再到线面角到线面垂直，引导学生明确每一个定义与定理产生的发展的过程，促进学生对核心概念理解与应用，也为本节课平面与平面垂直定义依据二面角的引入埋下伏笔。

师：同学们，前面我们学习了线线垂直、线面垂直，是如何定义的呢？生：通过它们所成角为90o定义的师：平面与平面垂直又是如何定义的呢？我们先来看今天的学习目标：【学习目标】1、通过对二面角的直观感知，生活抽象，理解和掌握二面角的有关概念，培养数学的数学抽象、直观想象能力；2、通过面面垂直的探究，掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直；培养学生数学建模能力；3、用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题，进一步培养空间想象能力和分析、解决问题的能力。