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八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知==⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→a a x a x xx ，则9lim2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。
3．方程017=-+x x 共有 个正根。
4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。
5．⎰=20sin πxdx x 。
二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛。
2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。
（A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。
3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ）（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。
4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ，⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（ ）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。
2008~2009学年第二学期试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0)3dzdx dy =-；(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；(C)曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；(D) 曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1)2. 设10 (1,2,)n u n n≤<=，则下列级数中必收敛的是[ ](A)1n n u ∞=∑； (B)1(1)nnn u∞=-∑； (C)1n ∞= (D)21(1)nnn u∞=-∑.3. 如果81lim 1=+∞→nn n a a ，则幂级数∑∞=03n n n x a [ ](A) 当8<x 时收敛； (B) 当2<x 时收敛； (C) 当81>x 时发散； (D) 当21>x 时发散.4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω++⎰⎰⎰= [ ] .(A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 525a π.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 .2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 .3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分()Lx y ds +⎰= .4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 .5. 设∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分，则曲面积分()234x y z dS ∑++⎰⎰= . 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为0, 20()3, 022x f x x -≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，()f x 的Fourier 级数的和函数为()s x ，则(4)s = .三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且与平面0x y z ++=垂直的平面方程.2. 设z = f (e xsin y , x 2+ y 2), 其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.3. 设(,,)F x y z 具有连续偏导数，且对任意实数t 有(,,)F tx ty tz (,,)k t F x y z =(k 为自然数)，试证:曲面(,,)0F x y z =上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处2220x y z F F F ++≠).4. 计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区域.5. 将函数()arctan f x x =展开成关于x 的幂级数，并求展开式成立的区间. 四、 (8分) 设曲线积分[]⎰-+BA x dy x f ydx x f e )()(与路径无关，且21)0(=f ，求)(x f ，并求当A ，B 分别为（0，0），（1，1）时的曲线积分值.五、(8分) 计算积分222(I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+被平面4z =截下的有限部分的下侧.六、(8分) 3．(10分)平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x - 2y - 2z )的中心, 且垂直于直线L : 00x y z =⎧⎨+=⎩, 求平面与球面的交线在xOy 平面上的投影, 并求投影与(1, -4,1)点的最短和最长距离.七、(6分) )判断级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性.解答一、1. 【解】应选择C.),(),,(0000y x f y x f y x 存在只是全微分存在的必要条件，故A 是错误的。
东北大学考试试卷（A卷）2010—2011 学年第 2 学期课程名称：图论与代数结构┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄总分一二三四五六七八九学院班级学号姓名……………○……………密……………○……………封……………○…………线………………得分一．(15分) 填空1.设A={2, 4, 6, 8}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a, b}，则在独异点<A,*>中，单位元是 2 ，零元是8 。
2.设a是12阶群的生成元，则a2是 6 阶元素，a5是12 阶元素。
3.设〈G, *〉是一个群，G中的幂等元是 e 。
若G={a,b,c}，a*x=b，则x=a-1*b ；设a是幺元，则b*c= a 。
4.小于5个元素的格都是有补分配（布尔）格。
5.有n个结点的树，其结点度数之和是2(n-1)。
6.一个无向图有生成树的充分必要条件是该图是连通图__。
7.n阶无向完全图Kn 的边数是n(n-1)/2 ，每个结点的度数是n-1 。
若Kn为欧拉图，则n的取值为奇数。
8.具有6 个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由 3 条边围成。
9.无向树T有8片树叶，2个3度分支结点，其余的分支结点都是4度顶点，则 2 个4度分支结点。
得分二． (26分)判断题4.（6分）判断下列集合和运算能否构成半群、独异点和群。
如果不能，简单说明理由。
（1）a是正整数，G={a n|n∈Z，Z为整数集}, 运算是普通乘法。
是半群、独异点和群。
（2分）（2）Q+是正有理数集，运算为普通加法。
（2分）是半群，不是独异点和群。
满足封闭、结合，但没有幺元。
（3）设Z为整数集，∀ x,y∈Z, 运算x*y=x+y-2。
是半群、群和独异点。
（2分）1.（6分）设V1=<Z,+>, V2=<Z, •>，其中Z为整数集合，+和•分别代表普通加法和乘法。
判断下述集合S能否构成V1和V2的子半群和子独异点。
东北大学高等数学(下)期末考试试卷一、填空题（20分）1．曲线t t t e z t e y t e x 2,sin ,cos ===相应于点0=t 处的切线与oz 轴夹角的正弦=γsin （ ）2．设40,10:≤≤≤≤y x D ，则=⎰⎰Ddxdy x 3（ ）3．设L 是由2x y =及1=y 所围成的区域D 的正向边界，则=+++⎰Ldy y x x dx y x xy )()(24233（ ）4．周期为π2的周期函数)(x f ，它在一个周期上的表达式为ππ≤≤-=x x x f ,)(，设它的付立叶级数的和函数为)(x s ，则=)23(πs （ ） 5．微分方程0=+ydy xdx 的通解是（ ）二、 求解下列各题（32分）1．（8分）设yxe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2。
2．（8分）计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域。
3．（8分）计算曲线积分⎰Lxds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界。
4．（8分）求微分方程0)2(=-+ydx dy x y 的通解。
三．（9分）计算曲面积分⎰⎰∑-dxdy z )3(，其中∑是曲面222y x z +=上介于2=z 及3=z 之间部分的下侧。
四．（7分）判别级数∑∞=1223cos n nn n π的敛散性。
五．（9分）求微分方程x xe y y y 265=+'-''的通解。
六．（9分）将函数x x f 3sin )(=展开成)3(π+x 的幂级数，并指出收七．（9分）经过点（2，3，1）的平面中，求这样的平面，使得该平面与三个坐标面围成的第一卦限中的立体体积最小。
八. (7分)设)(u f 连续，试证：⎰⎰⎰-≤+=+111)()(du u f dxdy y x f y x高等数学试题答案 2001.07.16一、（1 （2）3； （3）0； （4）;2π-（5.C =二、1．'';y u x z e f f x ∂=+∂ 22""""'.y y y y u u u yx uxy u z x e f e f x e f f e f x y ∂=++++∂∂ 2．221rzdV d rdr zdz πθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰12407(2).12r r r dr ππ=--=⎰ 3．Lxds =⎰1L xds +⎰2L xds =⎰10+=⎰⎰4．112,(2)dydy y y dx x x ee dy C dy y-⎰⎰-==+⎰(2ln ).y y C =+ 三、22(3)(3)2Dx y z dxdy dxdy ∑+-=--⎰⎰⎰⎰220224)232[28r d rdr r r πθππ=-=-=⎰ 四、2cos 3,22n nn n n n n u v π=≤= 且用比值法知道1n n v ∞=∑收敛，再用比较法可知 原级数是收敛的 。
第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章函数、极限与连续习题1.1⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1）yx =与是同一函数 （2）y x =与y=（3）2111x y x x -=-+与y=不是同一函数 （4）22ln ln y x x =与y=不是同一函数⒉指出下列函数的定义域. （1）43)(+=x x f 的定义域是),34[+∞- （2）xx f -=11ln )(的定义域是)1,(-∞（3）)1ln()(2-=x x f 的定义域是),2[]2,(+∞⋃-∞（4）)arcsin(ln )(x x f =的定义域是],1[e e -（5）若)(x f 的定义域是]4,4[-，则)(2x f 的定义域是]2,2[-（6）若)(x f 的定义域是]3,0[a ，则)()(a x f a x f -++的定义域是]2,[a a3.判别下列函数的奇偶性.（1）()sin f x x x =+是奇函数 （2）()cos f x x x =⋅是奇函数（3）()2f x x x =-是非奇非偶函数 （4）()1lg 1x f x x-=+是奇函数（5）()cos(sin )f x x =是偶函数 （6）()sin x f x x=是偶函数（7）())f x x =是奇函数 （8）()f x =⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）sin y x =在其定义域内不是单调的 （2）arcsin y x =在其定义域内是单调递增的 （3）2y x x =-在其定义域内不是单调的（4）0≠a 时，ax ye =在其定义域内是单调的，其中0<a 时，axy e =在其定义域内是单调递减的，0>a 时，axy e =在其定义域内是单调递增的5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）),1(1+∞=在区间xy 上有界（2）)10,1()12ln(在区间-=x y 上有界 （3）)4,3(3-=在区间x y 上有界（4）)1,1(),,(),0,(sin -+∞-∞-∞=在区间x y 上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期.（1）sin 3yx =是周期函数，最小正周期是32π（2）cos y x =是周期函数，最小正周期是π（3）tan 2y x =是周期函数，最小正周期是2π （4）ln(cos 2)y x =+是周期函数，最小正周期是π7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1）2),2arcsin()(x u u u f =+=不可以构成复合函数 （2）x u u u f 2sin ),1ln()(=-=不可以构成复合函数（3）221ln,)(x u u u f +==不可以构成复合函数（4）212,arccos )(xxu u u f +==可以构成复合函数 8.将下列复合函数进行分解.（1）对复合函数43)(2--=x x x f 的分解结果是：43,)(2--==x x u u x f（2）对复合函数32)(-=x e x f 的分解结果是：32,)(-==x u e x f u（3）对复合函数()ln(23)f x x =-的分解结果是：32,ln )(-==x u u x f（4）对复合函数()arcsin(1)f x x =+的分解结果是：1,sin )(+==x u u acc x f9.求函数值或表达式. （1）已知函数12)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222+-===-=+-=x x x f f f f x x x f 则.（2）已知函数0)(,22)4(,0)1(,1,01,sin )(===⎩⎨⎧≥<=ππf f f x x xx f 则.（3）已知函数21-)21arcsin (,sin )(=-=f x x f 则.（4）已知函数x x f 2cos )(sin =，则[]1,1,21)(2-∈-=x x x f习题1.21.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限.（1） ,67,51,45,31,23,1:n x 没有极限 （2）n x n 1=有极限，01lim =∞→nn （3）2sin πn x n =没有极限 （4）1)1(3+-=n n x nn 有极限，0]1)1[(lim 3=+-∞→n n n n 2.分析下列函数的变化趋势，求极限（1）01lim2=∞→x x （2）011lim =++∞→x x （3）+∞=++∞→)2ln(lim x x （4）2232lim=++-∞→x x x3.图略，)(lim 0x f x →不存在4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？（1）0→x 时，2100x 是无穷小量 （2）+→0x 时，x2是无穷大量（3）∞→x 时，112--x x 是无穷小量 （4）+∞→x 时，xe 是无穷大量 （5）∞→n 时，3)1(2+-n n n 是无穷大量 （6）∞→x 时，x x sin 是无穷小量（7）∞→x 时，x 1sin 是无穷小量 （8）0→x 时，12-x 是无穷小量5.已知函数2)3(1)(--=x x x f ，则)(x f 在-∞→x 或+∞→x 或∞→x 的过程中是无穷小量，在-→3x 或+→3x 或3→x 的过程中是无穷大量？6. 当1x →-时，无穷小1x +与下列无穷小是否同阶？是否等价？（１）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小31x +同阶，但不等价 （２）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小21(1)2x -同阶，而且等价习题1.31.设函数x x f =)(，则xt x f t x f t 21)()(lim0=-+→2.设函数⎩⎨⎧<+≥+=2,122,1)(2x x x x x f ，则5)(lim ,5)(lim ,5)(lim 222===→→→+-x f x f x f x x x .3.求下列各式的极限：（1）15)52(lim 22=+--→x x x （2）3213lim 2421-=++-→x x x x（3）35)321(lim 0=--→x x （4）242lim 22=+-∞→x x x x （5）2111lim 220-=+-→x x x （6）21)21(lim 222=+++∞→nn n n n （7）1122lim2=-+++∞→x x x x （8）311lim 31=--→x x x （9）61)319(lim 2=-++∞→x x x x （10）112lim1=---→x x x x （11）201020101032)53()32()1(lim =---+∞→x x x x 4.已知516lim21-=-+-→x ax x x ，则7=a . 5.2)(lim 2=-++∞→x kx x x ，则4=k .6.求下列极限：（1）252sin 5sin lim 0=→x x x （2）1sin 2tan lim 0=-→x xx x（3）43cos cos lim 20=-→x x x x （4）2)sin()2tan(lim 230=-+→x x x x x （5）11sin lim =⋅∞→xx x （6）0sin sin lim 0=+-→x x xx x（7）323arcsin 2lim 0=→x x x （8）21sin tan lim 30=-→xx x x 7.求下列极限：（1）82)41(lim e x x x =+∞→ （2）21)21(lim --∞→=-e xx x（3）3220)33(lim -→=-e x x x （4）21)11(lim --∞→=+-e x x x x（5）5ln 51)ln 1(lim e x xx =++→ （6）e x x x =+→sec 2)cos 1(lim π8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1）236arctan lim0=→x x x （2）214lim 20=-→x x e x（3）22cos 1lim 20=-→x x x （4）21)21ln(lim 0=-+→x x e x 习题1.41.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,31,11)(2x x x x x f ，则()f x 在1=x 处不连续．2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？（1）函数11)(2-=x x f 的间断点有点1-=x 和点1=x ，它们都是第二类间断点中的无穷间断点（2）函数xe xf 1)(=的间断点有点0=x ，它是第二类间断点（3）函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点有点0=x 和点1=x ，其中点0=x 是第二类间断点中的无穷间断点，点1=x 是第一类间断点（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=1,01,11)(2x x x x x f 的间断点有点1-=x ，它是第一类间断点中的可去间断点（5）函数⎩⎨⎧>≤+=0,20,2)(2x x x x f x的间断点有点0=x ，它是第一类间断点中的跳跃间断点（6）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,32,24)(2x x x x x f 的间断点有点2=x ，它是第一类间断点中的可去间断点3.设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin )(x x x x k x xxx f ，当1=k 时，函数)(x f 在其定义域内是连续的.4.求下列极限：（1）42arccoslim 21π=+→x x x （2）0sin lg lim 2=→x x π （3）021lim cos sin 0=+-→x x x e e （4）2ln ln )1ln(lim 1=-+→xxx x（5）2121lim 224=+++∞→x x x x （6）11lim 1=--→x xx x（7）e x x e x 1ln lim =→ （8）4arctan lim 1π=→x x5.（略）6.（略）复习题1一、单项选择题1.下列函数中（C ）是初等函数.（A ）)2arcsin(2+=x y （B ）⎩⎨⎧∈∉=Q x Qx x f 10)(（C ）12+-=x y （D ）⎩⎨⎧>+<≤=1110)(2x x x x x f2.下列极限存在的是（B ）.（A ）xx 4lim ∞→ （B ）131lim 33-+∞→x x x （C ）xx ln lim 0+→ （D ）11sin lim 1-→x x 3.当0x →时，2tan x 与下列（D ）不是等价无穷小.（A ）2tan x （B ）2x （C ）2sin x （D ）2cos x 4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B ）.（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 5.已知0sin lim2x axx→=,则常数=a （C ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =在[,]a b 上一定是（C ）.（A ）单调函数 （B ）奇函数或偶函数（C ）有界函数 （D ）周期函数 二、填空题1.设10()20x x x f x x +-∞<≤⎧=⎨<<+∞⎩， 则(2)f = 4 .2.函数5cos 3y x =是由简单函数 x v v u u y 3,cos ,3=== 复合而成的. 3.点1x =是函数1,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩ 的第一类间断点中的跳跃 间断点.4.当x ∞- 时，函数3xy =是无穷小.5.极限 2lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭= 2e.6.函数ln(4)y x =-的连续区间为 [)4,1.三、计算下列极限1.24231x x x x -++=0 2.223lim 2x x x →--不存在 3.2211lim 21x x x x →---21= 4.22356lim 815x x x x x →-+-+ 5.1)2(1lim 22=---∞→x x x x 6.4281lim5x x x x →∞-++ 不存在 7.63132lim1=--+→x x x 8.231lim (3cos )1x x x x →∞+++=0 9.21sin cos 1lim0=-→θθθθ 10.1cos lim =-∞→x x x x 11.212sin )1ln(lim0=+→x x x 12.21)81221(lim 32=---→x x x13.320lim(12)xx x →-3-=e 14.122lim(1)xx x-→∞- 1-=e15.11lim x x x x +→+⎛⎫⎪⎝⎭e = 16.1lim()1xx x x →∞-+ 2-=e 四、综合题1.函数2101()11x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+>⎩在点1=x 处不连续，在点2=x 处连续，函数的图像略。
试卷（A卷）(共2页）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(15分)设三阶矩阵，,.解因为＝,所以,分）设向量组，，线性相关，向量.解由于所以，分）证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V是R2⨯2的子空间，试在,使V成为欧几里得空间,并给出V的一组正交基.V对线性运算封闭，所以V是R2⨯2的子空间。
［A,B］=，］=［B,A］，［kA，B]=k［A,B］, [A,A］≥0且[A,A］=0当且仅当A=0..四分）已知三阶矩阵的伴随矩阵，求齐次线性方程组的通解。
解R（A)=2，所以，的解空间是1维的。
又由于，所以，的列向量是的解.，3)T是的基础解系，所以，通解为：15分）设三阶实对称矩阵满足,且向量是齐次方程的一个基础解系，解由的基础解系含一个解知A的秩为2.由知A的特征值只能为2或0，所以，A的三个特征值为：2，2，0。
由知是属于特征值0的特征向量.所以，A的属于特征值2的特征向量必与正交，所以，特征值2的特征向量可取为:和，于是，可构造正交矩阵：满足：所以，分) 某仓库有A,B,C三种物品若干件，现按下述方案进行采购:购进原B物品件数30%和原C物品件数50％的A物品;购进原A物品件数30％的B物品;购进原B物品件数60％的C物品。
试建立采购前后仓库A,B,C三种物品件数间的关系式。
若采购后仓库A，B，C三种物品件数分别为290，330,380，求采购前仓库A,B，C三种物品的件数。
解记采购前仓库A，B,C三种物品件数分别为：，采购后仓库A，B，C三种物品件数分别为：，则由已知有：即：所以，若时,有即采购前仓库A，B，C三种物品的件数分别为100，300, 200。
2-2。
一、填空题（共5题，每题3分,共15分）1. 设函数e xy z y=，则(1,2)xz '= . 答：2e2. 交换二次积分11d (,)d xx f x y y ⎰⎰的次序为 ．答：100d (,)d y y f x y x⎰⎰3. 若级数1(1)n n u ∞=-∑收敛，则=∞→n n u lim ．答：14. 若曲线积分2(2)d ()d Laxy x x xy y -++⎰在xOy 面内与路径无关，则=a ．答：2a =5. 若∑是由平面1=++z y x 及三个坐标面围成的立体表面外侧，则曲面积分⎰⎰∑=+++y x x z y z y x d d d d d 1)d ( ．答：31二、单项选择题（共5题,每题3分,共15分）1. 函数),(y x f z =的两个偏导数)(y x f x ，'及)(y x f y ，'在点),(000y x P 处连续，是函数),(y x f z =在点),(000y x P 可微的（ A ）条件.（A ）充分； （B ）必要； （C ）充分且必要； （D ） 即非充分又非必要.2. 设22()z f x y =+，其中f 具有连续的导数，则下列等式成立的是（ B ）（A ）y z y x z x∂∂=∂∂; （B ）y z x x z y ∂∂=∂∂; （C ）y z x x z y ∂∂-=∂∂; （D ）yz y x z x ∂∂-=∂∂.3．由几何意义，二重积分221d d x y x y +≤=⎰⎰（ A ）.（A ）π； （B ）23π； （C ）43π； （D ）0．4．设L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则()d Lx y s +⎰=（ D ）．（A ）0； （B ）1； （C（D5．若幂级数∑∞=-0)1(n nnx a在5x =点收敛，则级数03n n n a ∞=∑（ C ）．（A ） 发散； （B ） 条件收敛； （C ） 绝对收敛； （D ） 收敛性无法确定．三、偏导数和全微分计算题（共2题,每题6分,共12分）1. 设函数yx z =，化简1ln x z zy x x y∂∂+∂∂.解: 由1-=∂∂y yx x z ，（2分） x x yz y ln =∂∂，（4分）则z x x yzx x z y x y y 2ln 1=+=∂∂+∂∂.（6分）2. 设函数(,)z z x y =由方程3zx y z e +-=确定，求全微分d z .解: 方程两边对x 求导（将z 看作y x ,的函数），有3z z z e x x ∂∂-=∂∂，解得3.1z z x e ∂=∂+ （2分）类似地，有1.1z z y e ∂=∂+ （4分）因此,31d 11z z z dx dy e e =+++. （6分）四、重积分计算题（共2题,每题7分,共14分）1．计算二重积分()d d Dy x x y -⎰⎰，区域D 由不等式10≤≤x 及1x y ≤≤确定．解：()d d Dy x x y -⎰⎰11d ()d xx y x y =-⎰⎰ （3分）12011(1)d 26x x =-=⎰.（7分）２．计算三重积分⎰⎰⎰Ωz y x z d d d ，其中Ω是由平面1,,0===y y z z 及抛物柱面2x y =所围成的闭区域．解：原式21110d d d yxx y z z -=⎰⎰⎰ （3分）211211d d 2x x y y -=⎰⎰（4分） 1611(1)d 6x x -=-⎰ （6分）27=. （7分）五、线面积分计算题（共2题,每题6分,共12分）1．计算曲线积分⎰++-Ly x y x y x d )(d )(3232，L 是上半圆域221x y +≤，0≥y 正向边界．解：由格林公式，原式22D3()d d x y x y =+⎰⎰ （3分）130033d d 4πθρρπ==⎰⎰．（6分）2.⎰⎰∑+++y x zz x z y z y x d d )(d d d d 3，其中∑是正方体a x ≤≤0，a y ≤≤0，a z ≤≤0的表面外侧．解：由高斯公式，原式2(33)d d d z x y z Ω=+⎰⎰⎰ （3分）323503d d 3d 3aaaa x y z z a a =+=+⎰⎰⎰． （6分）六、级数题（共3题,每题6分,共18分）1. 判断级数 ∑∞=12223n n n n 的收敛性．解：因为143)1(43lim 344)1(3lim lim 221211<=+=⋅+=∞→++∞→+∞→n n n n u u n n n n n n nn n ，（5分）所以级数∑∞=12223n n n n 收敛．（6分）2. 求幂级数nn n x n )1(21-∑∞=的收敛半径与收敛区间.解：．解：由22)1(2lim lim 11=⋅+⋅=+∞→+∞→n n a a n n n nn n ,（2分）得幂级数n n n x n )1(21-∑∞=收敛半径21=R ．（4分）所以幂级数nn n x n )1(21-∑∞=的收敛区间是)23,21(．（6分）3.将函数1()3f x x=-展开为x 的幂级数，并指出收敛范围．解： 111()13313f x x x==-- （1分） 100111()333n nn n n x x ∞∞+====∑∑ （5分） 收敛范围为33x -<< （6分）七、应用题（8分）要造一容积为定值V 的长方体无盖水箱，为最省材料应如何设计水箱的尺寸？解：设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,.则表面积z y x xy A )(2++=， )0,0,0(>>>z y x . （2分）约束条件为V xyz =.设)()(2),,(V xyz z y x xy z y x L -+++=λ，（3分）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++='=++='=++=',,0)(2,02,02V xyz xy y x L xz z x L yz z y L z yxλλλ（5分）得惟一驻点32V y x==，3212V z =. （6分）由实际意义，体积一定时，长方体表面积A 有最小值. （7分）所以，当水箱的长、宽都为32V ，高为3212V时，最省材料. （8分）八、证明题（6分）设{}n u 是单调递增有界的正数数列，证明11(1)nn n u u ∞=+-∑收敛．证明: 记11+-=n n n u u v ，则011≥-=++n n n n u u u v ，且11u u u v nn n -≤+，（1分）正项级数∑∞=+-111n n n u u u 的部分和111111u u u u u u S n nk k k n -=-=+=+∑. （2分）因为{}n u 是单调递增有界的正数数列，所以由单调有界定理知,存在常数A ,使得A u n n =∞→lim .（4分）从而11lim u u A S n n -=∞→，（5分）故∑∞=+-111n n n u u u 收敛，即原级数∑∞=+-11)1(n n n u u 收敛. （6分）。
《高等数学》（下册）考试试卷(A)说明：所有答案写在答题纸相应位置上，写在试题纸上无效.一、单项选择题（每小题4分，共20分）1. 两条直线158121x y z --+==-与63112x y z --==--的夹角为（ ）. A. π6 B. π4 C. π3 D. π22．由方程xyz +所确定的函数()z z x,y =在点(1,0,1)-处的全微分d z =( ).A. d x y -B. d x yC.d x y - D . d x y +3. 已知1n n a a ∞==∑，则级数()11n n n a a ∞+=-∑的和等于（ ）.A. aB. 1aC. 11n a a +-D. 1n a a -4. 设()f x 是周期为2π的周期函数，它在区间(]π,π-上的表达式()0π030π,x ,f x x,x ,-<≤⎧=⎨<≤⎩则()f x 的傅里叶级数在πx =处收敛于（ ）. A. 2π3 B. 2π3- C. 3π2- D . 3π25．设函数()z f x,y =在点00(,)x y 处可微，且0000(,)(,)0x y f x y f x y ==，则()f x,y 在点00(,)x y 处（ ）.A. 可能有极值，也可能没有极值B. 必有极大值C. 必有极值，可能有极大值，也可能有极小值D. 必有极小值二、 填空题（每小题4分，共20分）1. 交换二次积分的积分次序()100d ,d ⎰⎰ye yf x y x = . 2. 如果函数(,)yf x y x =在点(1,1)处沿某方向l 取得最大变化率，则l = . 3. 设曲线L 为圆221+=x y 依逆时针方向一周，则曲线积分d d -⎰ Lx y y x = . 4. 微分方程250'''++=y y y 的通解为 .5. 若级数()11n n u ∞=-∑收敛，则lim n n u →∞= .三、计算下列各题（每小题6分，共30分）1. 求微分方程e x y y x -'+=满足初始条件()02y =的特解.2. 设函数()z f u,y =，e yu x =，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂. 3. 设L 是椭圆22221x y a b +=逆时针方向一周，求22(00)L xdy ydx ,a ,b x y->>+⎰ . 4. 求过点()301A ,,-且平行于平面3450x y z --+=，又与直线11211x y z -+==-垂直的直线方程.5.设在上半平面(){}0D x,y y =>内，函数()f x,y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有()()2f tx,ty t f x,y -=.证明对D 内的任意分段光滑的有向闭曲线L ，都有()()d d 0Lyf x,y x xf x,y y -=⎰ . 四、解答下列各题（每小题8分，共16分）1. 计算曲面积分()()33d d d d 3d d xyz y z y zx z x z x y ∑-+-+⎰⎰，其中∑为锥面1=-z ()0≥z 的上侧.2. 求幂级数()211121n nn x n +∞=-+∑的收敛区间及和函数. 五、解答下列各题（每小题7分，共14分）1.计算二重积分()223e d d x D x y x y +⎰⎰，其中D 为由直线y x,y x ==-和1x =围成的闭区域.2.用薄钢板制作一个容积为4m 3的无盖长方体形箱子，如何选取长方体的长、宽、高的值，才能使得制作箱子所用的钢板最省.。
