东北大学数学分析2007答案

2007年试卷参考答案一、 实际问题---数学模型---数值方法---计算结果；误差：a.建立数学模型过程：模型误差，参数误差；、b.选择数值方法过程：截断误差；c.计算过程：舍入误差，传播误差；二、Newton 插值多项式：001001201001012()()[,]()[,,]()()()01(,)25(,,)6n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x f x x f x x x =+-+--===-代入牛顿插值公式N n(x)=由上可知，两种方法得到的插值多项式是一样的，那么他们的余项也相同。

012'''()()()()()6f R x x x x x x x ξ=--- 三、（不考）四、五、A=104441044410⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,D=diag(10,10,10),L=000400440⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,U=044004000--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;Jacobi 迭代方法 0][11)()1(≥-=∑≠=+k x a b a x n ij j k j ij i ii k i , . 1123121313121[134()]101[254()]101[114()]10k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩收敛性由|()|0D L U λ-+=给出 Gauss —Seidle 迭代方法 ][11)(11)1()1(∑∑+=-=++--=n i j k j ij i j k j ij i ii k i x a x a b a x ,n i ,,2,1 =. ， 1123112131113121[134()]101[254()]101[114()]10k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩收敛性由|()|0D L U λ--=给出六、不考七、八、euler 法 1(,)m m m m y y h f x y +=+ 那么有1 1.5m m y y +=，0(0)1y y ==2 2.25y =改进erler 法 111[(,)(,)]2m m m m m m h y y f x y f x y +++=++ 那么有135m m y y +=，0(0)1y y == 225 2.789y == 精确解为e ，由上可知，改进法更接近，收敛速度更快。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kn n P k C p p n n -=-= ，，，， 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则()()U UA B =痧（ ）A ．{1}B ．{5}C ．{24}，D ．{1234}，，， 2．若函数()y f x =的反函数图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点（ ） A ．(11)， B ．(15)，C ．(51)，D ．(55)，3．若向量a 与b 不共线，0≠a b ，且⎛⎫⎪⎝⎭a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ ） A ．0B ．π6C ．π3D ．π24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63B ．45C ．36D ．275．若35ππ44θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sincos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ ） A ．(12)--，B ．(12)-，C ．(12)-，D ．(12)，7．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ= n βγ= ，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥8．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）A ．965⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，， C ．(][)36-∞+∞ ，，D ．[36]，9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ） A ．122B ．111C ．322D ．21110．设p q ，是两个命题：21251:log (||3)0:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．63B ．12C ．123D ．2412．已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知函数2cos (0)()1(0)a x x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，在点0x =处连续，则a = ．14．设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+ ，则||OM= ．15．若一个底面边长为32，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 ．16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a = ，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法有 种（用数字作答）． 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>） （I ）求函数()f x 的值域；（II ）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间． 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，AC BC a ==，D E ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30 ．（I ）证明：111A B C D ⊥；（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．19．（本小题满分12分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q 的函数关系式为3232010(0)3q C q q q =-++>该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：市场情形 概率 价格p 与产量q 的函数关系式好 0.4 1643p q =- 中 0.4 1013p q =- 差0.2704p q =-设123L L L ，，分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k ξ，表示当产量为q ，而市场前景无法确定的利润．（I ）分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式； （II ）当产量q 确定时，求期望k E ξ；（III ）试问产量q 取何值时，k E ξ取得最大值． 20．（本小题满分14分）已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点C 为圆心） （I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF，的最大值和最小值． 1A 1C1BCBAMDE21．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 与函数()f x ，()g x ，x ∈R 满足条件：n n a b =，1()()()n n f b g b n +=∈N*.（I ）若()102f x tx t t +≠≠≥，，，()2g x x =，()()f b g b ≠，lim n n a →∞存在，求x 的取值范围；（II ）若函数()y f x =为R 上的增函数，1()()g x f x -=，1b =，(1)1f <，证明对任意n ∈N *，lim n n a →∞（用t 表示）．22．（本小题满分12分）已知函数2222()2()21tf x x t x x x t =-++++，1()()2g x f x =． （I ）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数；（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（III ）证明：3()2f x ≥．2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）参考答案一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C DBBA CADAB C 1．设集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则()()UUA B = 痧{2,4,5= ，选B 。

2007年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{1}B．{5}C．{2，4}D．{1，2，3，4}2．（5分）若函数y=f（x）的反函数图象过点（1，5），则函数y=f（x）的图象必过点（）A．（1，1） B．（1，5） C．（5，1） D．（5，5）3．（5分）若向量与不共线，≠0，且，则向量与的夹角为（）A．0 B．C．D．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．275．（5分）若，则复数（cosθ+sinθ）+（sinθ﹣cosθ）i在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（5分）若函数y=f（x）的图象按向量平移后，得到函数y=f（x+1）﹣2的图象，则向量=（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）7．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ D．若m⊥β，m∥α，则α⊥β8．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A． B．C．（﹣∞，3]∪[6，+∞）D．[3，6] 9．（5分）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）设p，q是两个命题：，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）设P为双曲线x2﹣=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（）A．B．12 C．D．2412．（5分）已知f（x）与g（x）是定义在R上的连续函数，如果f（x）与g（x）仅当x=0时的函数值为0，且f（x）≥g（x），那么下列情形不可能出现的是（）A．0是f（x）的极大值，也是g（x）的极大值B．0是f（x）的极小值，也是g（x）的极小值C．0是f（x）的极大值，但不是g（x）的极值D．0是f（x）的极小值，但不是g（x）的极值二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知函数在点x=0处连续，则a=．14．（4分）设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足=（+），则=．15．（4分）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为．16．（4分）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为a i（i=1，2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法有种（用数字作答）．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知函数（其中ω＞0）（I）求函数f（x）的值域；（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=﹣1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=a，D，E 分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M﹣DE﹣A为30°．（I）证明：A1B1⊥C1D；（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．19．（12分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为．该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：市场情形概率价格p与产量q的函数关系式好0.4p=164﹣3q中0.4p=101﹣3q差0.2p=70﹣3q设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量ξq，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．（Ⅰ）分别求利润L1，L2，L3与产量q的函数关系式；（Ⅱ）当产量q确定时，求期望Eξq，试问产量q取何值时，Eξq取得最大值．20．（14分）已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设圆M的方程为（x﹣4﹣7cosθ）2+（y﹣7sinθ）2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求的最大值和最小值．21．（12分）已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：a n=b n，f（b n）=g（b n+1）（n∈N*）．（I）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），存在，求x的取值范围；（II）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f﹣1（x），b=1，f（1）＜1，证明＜a n（用t表示）．对任意n∈N*，a n+122．（12分）已知函数f（x）=2t2﹣2（e x+x）t+e2x+x2+1，g（x）=f′（x）．（I）证明：当时，g（x）在R上是增函数；（II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数；（III）证明：．2007年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•辽宁）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{1}B．{5}C．{2，4}D．{1，2，3，4}【分析】先根据补集的含义求C u A和C u B，再根据交集的含义求（C u A）∩（C u B）．【解答】解：C u A={2，4，5}，C u B={1，5}，（C u A）∩（C u B）={5}，故选B2．（5分）（2007•辽宁）若函数y=f（x）的反函数图象过点（1，5），则函数y=f （x）的图象必过点（）A．（1，1） B．（1，5） C．（5，1） D．（5，5）【分析】原函数与反函数的图象关于y=x对称，直接求出（1，5）的对称点，就是函数y=f（x）的图象必过点．【解答】解：根据反函数定义知反函数图象过（1，5），原函数与反函数的图象关于y=x对称，（1，5）的对称点为（5，1），就是说原函数图象过点（5，1），故选C3．（5分）（2007•辽宁）若向量与不共线，≠0，且，则向量与的夹角为（）A．0 B．C．D．【分析】求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律．【解答】解：∵==0∴向量a与c垂直，故选D．4．（5分）（2007•辽宁）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．27【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．【解答】解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45∴a7+a8+a9=45故选B．5．（5分）（2007•辽宁）若，则复数（cosθ+sinθ）+（sinθ﹣cosθ）i在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用特殊值代入法即可【解答】解：取θ=π得，（cosθ+sinθ）+（sinθ﹣cosθ）i=﹣1+i，则复数在第二象限，故选B6．（5分）（2007•辽宁）若函数y=f（x）的图象按向量平移后，得到函数y=f（x+1）﹣2的图象，则向量=（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）【分析】使用待定系数法，先设出平移向量，再根据其它已知条件列出方程（组），解方程（组）即可求出平移向量．【解答】解：设=（h，k）则由移公式得：函数y=f（x）的图象平移后对应的解析式为：y=f（x﹣h）+k则∴=（﹣1，﹣2），故选A7．（5分）（2007•辽宁）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ D．若m⊥β，m∥α，则α⊥β【分析】对于选项A直线m可能与平面α斜交，对于选项B可根据三棱柱进行判定，对于选项C列举反例，如正方体同一顶点的三个平面，对于D根据面面垂直的判定定理进行判定即可．【解答】解：对于选项D，若m∥α，则过直线m的平面与平面α相交得交线n，由线面平行的性质定理可得m∥n，又m⊥β，故n⊥β，且n⊂α，故由面面垂直的判定定理可得α⊥β．故选D8．（5分）（2007•辽宁）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A． B．C．（﹣∞，3]∪[6，+∞）D．[3，6]【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：三角形顶点坐标分别为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，故的取值范围是故选A．9．（5分）（2007•辽宁）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A．B．C．D．【分析】从中任取两个球共有C122=66种取法，其中取到的都是红球有C62种取法，至少有1个球的号码是偶数的取法有C62﹣C32=12种取法，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：从中任取两个球共有C122=66种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有C62﹣C32=12种取法，∴概率为，故选D．10．（5分）（2007•辽宁）设p，q是两个命题：，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】首先解两个不等式，再判断不等式解的范围，判断p，q条件关系．【解答】解：p：∵0＜|x|﹣3＜1，∴3＜|x|＜4，∴﹣4＜x＜﹣3或3＜x＜4，q：，结合数轴知p是q的充分而不必要条件，故选A11．（5分）（2007•辽宁）设P为双曲线x2﹣=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（）A．B．12 C．D．24【分析】根据双曲线定义得|PF1|﹣|PF2|=2a=2，所以，再由△PF 1F2为直角三角形，可以推导出其面积．【解答】解：因为|PF1|：|PF2|=3：2，设|PF1|=3x，|PF2|=2x，根据双曲线定义得|PF1|﹣|PF2|=3x﹣2x=x=2a=2，所以，，△PF1F2为直角三角形，其面积为，故选B．12．（5分）（2007•辽宁）已知f（x）与g（x）是定义在R上的连续函数，如果f（x）与g（x）仅当x=0时的函数值为0，且f（x）≥g（x），那么下列情形不可能出现的是（）A．0是f（x）的极大值，也是g（x）的极大值B．0是f（x）的极小值，也是g（x）的极小值C．0是f（x）的极大值，但不是g（x）的极值D．0是f（x）的极小值，但不是g（x）的极值【分析】结合函数的图象分析：由上述三个图可得答案．【解答】解析：根据题意和图形知结合函数的图象分析：由上述三个图可得A，B，D可能．当0是f（x）的极大值时，不是g（x）的极值是不可能的，选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2007•辽宁）已知函数在点x=0处连续，则a=﹣1．【分析】本题中函数是一个分段函数，由于函数在x=0处连续，故可以由其左右两侧函数值的极限相等建立方程求参数，由于函数的表达式在x=0都成立，故由连续性的定义直接建立关于参数的方程即可求得参数值．【解答】解：∵在点x=0处连续，∴，故答案为﹣1．14．（4分）（2007•辽宁）设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足=（+），则=2．【分析】根据a2﹣b2=c2求出左焦点F的坐标，根据椭圆的准线公式x=﹣求出左准线方程，然后设P的坐标（x，y），根据两点间的距离公式求出P到准线方程的距离让其等于10求出x，然后再把x的值代入到椭圆方程中得到P的坐标，由=（+）得到M为PF的中点，根据中点坐标公式求出M的坐标，利用两点间的距离公式求出即可．【解答】解：由椭圆得a=5，b=4，根据勾股定理得c=3，则左准线为，左焦点F（﹣3，0），设P（x，y），因为P到左准线的距离为10，列出=10，解得x=或x=﹣（舍去）；又P在椭圆上，则将x=代入到椭圆方程中求出y=，所以点P（，）；由点M满足=（+），则得M为PF中点，根据中点坐标公式求得M（﹣，±），所以=故答案为2．15．（4分）（2007•辽宁）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为4π．【分析】正六棱柱的体对角线就是外接球的直径，求出即可求其体积．【解答】解：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由；得R=，球体积为故答案为：416．（4分）（2007•辽宁）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为a i （i=1，2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法有30种（用数字作答）．【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，先排a1，a3，a5，当a1=2，a1=3，a1=4；做出这三种情况下的结果数；第二步再排a2，a4，a6，做出结果数，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题分两步：（1）先排a1，a3，a5，当a1=2，有2种；a1=3有2种；a1=4有1种，共有5种；（2）再排a2，a4，a6，共有A33=6种，∴不同的排列方法种数为5×6=30，故答案为：30三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2007•辽宁）已知函数（其中ω＞0）（I）求函数f（x）的值域；（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=﹣1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．【分析】（I）化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据正弦函数的有界性求出函数f（x）的值域；（II）对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=﹣1有且仅有两个不同的交点，确定函数的周期，再确定ω的值，然后求函数y=f（x），x ∈R的单调增区间．【解答】解：（I）解：==由，得可知函数f（x）的值域为[﹣3，1]．（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f（x）的周期为π，又由ω＞0，得，即得ω=2．于是有，再由，解得．B1所以y=f（x）的单调增区间为18．（12分）（2007•辽宁）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=a，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M﹣DE﹣A为30°．（I）证明：A1B1⊥C1D；（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．【分析】（I）连接CD，根据三垂线定理可得AB⊥C1D，而A1B1平行AB，从而A1B1⊥C1D；（II）过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF，根据定义可知∠MFA为二面角M﹣DE﹣A的平面角，在Rt△GAF中，∠GFA=30°，求出A到平面MDE的距离，再根据线面平行可知C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等．【解答】解：（I）证明：连接CD，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∴CD为C1D在平面ABC内的射影．∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点，∴AB⊥CD，∴AB⊥C1D∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D（II）解：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC又∵AF∥CE，CE⊥AC∴AF⊥DE∵MA⊥平面ABC，∴AF为MF在平面ABC内的射影∴MF⊥DE∴∠MFA为二面角M﹣DE﹣A的平面角，∠MFA=30°在Rt△MAF中，，∠MFA=30°，∴作AG⊥MF，垂足为G，∵MF⊥DE，AF⊥DE，∴DE⊥平面AMF，∵平面MDE⊥平面AMF，∴AG⊥平面MDE在Rt△GAF中，∠GFA=30°，，∴，即A到平面MDE的距离为∵CA ∥DE，∴CA∥平面MDE，∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为．19．（12分）（2007•辽宁）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为．该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：市场情形概率价格p与产量q的函数关系式好0.4p=164﹣3q中0.4p=101﹣3q差0.2p=70﹣3q设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量ξq，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．（Ⅰ）分别求利润L1，L2，L3与产量q的函数关系式；（Ⅱ）当产量q确定时，求期望Eξq，试问产量q取何值时，Eξq取得最大值．【分析】（Ⅰ）根据所给的表格中的数据和题意可以写出利润L1，L2，L3与产量q 的函数关系式，整理合并同类项得到关于q的三次函数，写出自变量q的取值范围．（Ⅱ）写出期望的表示式，根据多项式的四则运算，写出最简形式，利用函数的导数求函数的最值，对函数求导，令导数等于0，解出q的值，确定这是函数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据所给的表格中的数据和题意写出=．同理可得．．（Ⅱ）由期望定义可知Eξq=0.4L1+0.4L2+0.2L3==．可知Eξq是产量q的函数，设，得f′（q）=﹣q2+100．令f′（q）=0解得q=10，q=﹣10（舍去）．由题意及问题的实际意义可知，当q=10时，f（q）取得最大值，即Eξq最大时的产量为10．20．（14分）（2007•辽宁）已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设圆M的方程为（x﹣4﹣7cosθ）2+（y﹣7sinθ）2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）设出A、B的坐标（正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x 上），根据△ABO边长相等，求出A、B点的坐标，再求圆心和半径，进而求可得圆C的方程；（Ⅱ）设出∠ECF=2α，表示出数量积，数量积中有cosα，，确定|PC|的范围，可求出数量积的最值．【解答】解：（Ⅰ）解法一：设A，B两点坐标分别为，，由题设知解得y12=y22=12，所以，或，．设圆心C的坐标为（r，0），则，所以圆C的方程为（x﹣4）2+y2=16．解法二：设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知x12+y12=x22+y22又因为y12=2x1，y22=2x2，可得x12+2x1=x22+2x2．即（x1﹣x2）（x1+x2+2）=0由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上设C点的坐标为（r，0），则A点坐标为，于是有，解得r=4，所以圆C的方程为（x﹣4）2+y2=16．（Ⅱ）解：设∠ECF=2α，则．在Rt△PCE中，，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|﹣1=7﹣1=6，所以，由此可得．则的最大值为，最小值为﹣8．21．（12分）（2007•辽宁）已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：a n=b n，f（b n）=g（b n+1）（n∈N*）．（I）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），存在，求x的取值范围；（II）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f﹣1（x），b=1，f（1）＜1，证明＜a n（用t表示）．对任意n∈N*，a n+1【分析】（I）由题设知，所以．由t≠2，知．由t≠0，t≠2，f（b）≠g（b），知，，分析可得答案．=f（a n）．然后用数学归纳法证明a n+1＜a n（n （II）因为g（x）=f﹣1（x），所以b n+1∈N*）．【解答】解：（I）由题设知，得．又已知t≠2，可得．由t≠0，t≠2，f（b）≠g（b），可知，所以是等比数列，其首项为，公比为．于是，即．又存在，可得，所以﹣2＜t＜2且t≠0.．（II）证明：因为g（x）=f﹣1（x），所以a n=g（b n+1）=f﹣1（b n+1），即b n+1=f（a n）．＜a n（n∈N*）．下面用数学归纳法证明a n+1（1）当n=1（2）时，由f（x）（3）为增函数，且f（1）＜1（4），得a1=f（b1）=f（1）＜1（5），b2=f（a1）＜f（1）＜1（6），a2=f（b2）＜f（1）=a1（7），即a2＜a1，结论成立．（8）假设n=k（9）时结论成立，即a k＜a k（10）．由f（x）（11）为增函数，+1）＜f（a k）（12），即b k+2＜b k+1（13），进而得f（b k+2）＜f（b k+1）（14），得f（a k+1＜a k+1（15），这就是说当n=k+1（16）时，结论也成立．根据（1）和（2）即a k+2＜a n（18）．可知，对任意的n∈N*（17），a n+122．（12分）（2007•辽宁）已知函数f（x）=2t2﹣2（e x+x）t+e2x+x2+1，g（x）=f′（x）．（I）证明：当时，g（x）在R上是增函数；（II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数；（III）证明：．【分析】（1）由已知解出g（x）的值，进而得到g′（x）的值，接下来采用分析证明法来分析，若证g（x）为R上的增函数，只需证2e2x﹣te x+1＞0，即证t＜2e x+e﹣x，又因为2e x+e﹣x≥2，且t＜2，所以即证，再利用综合证明的方法写出来即可．（2）若证明g（x）在[a，b]上的减函数，只需证明g′（x）＜0，即2e2x﹣te x+1＜0，t＞2e x+e﹣x，因为y=2e x+e﹣x在闭区间[a，b]上连续，故有最大值，令这个最大值为实数k即可．（3）已知f（x）含有t，可以把f（x）转换成关于t的一元二次函数F（t））=2t2﹣2（e x+x）t+e2x+x2+1，通过配方，易得F（t）≥（e x﹣x）2+1，再令H（x）=e x﹣x，通过求解H（x）的单调性和最值，可以得到H（x）的最小值为1．就可以得出f（t）≥，即证．【解答】解：（I）证明：由题设易得g（x）=e2x﹣t（e x+1）+x，g'（x）=2e2x﹣te x+1．又由，且得t＜2e x+e﹣x，te x＜2e2x+1，即g'（x）=2e2x﹣te x+1＞0．由此可知，g（x）在R上是增函数．（II）因为g'（x）＜0是g（x）为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时g'（x）=2e2x﹣te x+1＜0，即t＞2e x+e﹣x在闭区间[a，b]上成立即可．因为y=2e x+e﹣x在闭区间[a，b]上连续，故在闭区间[a，b]上有最大值，设其为k，于是在t＞k时，g'（x）＜0在闭区间[a，b]上恒成立，即g（x）在闭区间[a，b]上为减函数．（III）设F（t）=2t2﹣2（e x+x）t+e2x+x2+1，即，易得．令H（x）=e x﹣x，则H'（x）=e x﹣1，易知H'（0）=0．当x＞0时，H'（0）＞0；当x＜0时，H'（0）＜0．故当x=0时，H（x）取最小值，H（0）=1．所以，于是对任意的x，t，都有，即．。

高等数学教材东北大学答案一、导数与微分1.1 导数的定义和几何意义1.1.1 导数的定义导数是函数在一点上的局部性质，用于刻画函数在该点附近的变化速率。

设函数f(x)在点x0的某个邻域有定义，若极限lim_(Δx→0) [f(x_0+Δx)-f(x_0)]/Δx存在，则称该极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)，即f'(x_0)=lim_(Δx→0) [f(x_0+Δx)-f(x_0)]/Δx1.1.2 导数的几何意义导数表示了函数在某一点处的切线斜率，也即函数在该点的变化速率。

若函数f(x)在点x0可导，则函数f(x)在该点处的切线方程为y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)1.2 导数运算法则1.2.1 四则运算法则设函数f(x)和g(x)都在点x0处可导，则(1) (f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)(2) (f-g)'(x_0)=f'(x_0)-g'(x_0)(3) (f*g)'(x_0)=f'(x_0)*g(x_0)+f(x_0)*g'(x_0)(4) 若g(x_0)≠0，则(f/g)'(x_0)=[f'(x_0)*g(x_0)-f(x_0)*g'(x_0)]/[g(x_0)]^21.2.2 复合函数的导数若f(x)在点x=g(t)处可导，g(t)在点t处可导，则复合函数F(t)=f(g(t))在点t处可导，并且有F'(t)=f'(g(t))*g'(t)1.2.3 反函数的导数若函数f(x)在点x0处连续且可导，且f'(x0)≠0，则其反函数f^(-1)(x)在点f(x0)处可导，并且有[f^(-1)]'(x_0)=1/[f'(f^(-1)(x_0))]1.3 高阶导数与隐函数求导1.3.1 高阶导数若函数f(x)的导数f'(x)在区间I上有定义，则可以考虑它的导数f''(x)，称之为f(x)的二阶导数。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2007•辽宁）若集合A={1，3}，B={2，3，4}，则A∩B=（）A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3，4}2．（5分）（2007•辽宁）若函数y=f（x）的反函数图象过点（1，5），则函数y=f（x）的图象必过点（）A．（1，1）B．（1，5）C．（5，1）D．（5，5）【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】原函数与反函数的图象关于y=x对称，直接求出（1，5）的对称点，就是函数y=f（x）的图象必过点．【解答】解：依据反函数定义知反函数图象过（1，5），原函数与反函数的图象关于y=x对称，（1，5）的对称点为（5，1），就是说原函数图象过点（5，1），故选C【点评】本题考查反函数与原函数图象的关系，是基础题．3．（5分）（2007•辽宁）双曲线的焦点坐标为（）A．，B．，C．（﹣5，0），（5，0） D．（0，﹣5），（0，5）4．（5分）（2007•辽宁）若向量与不共线，≠0，且，则向量与的夹角为（）A．0B．C．D．【考点】平面对量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律．【解答】解：∵==0∴向量a与c垂直，故选D．【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应当会的．5．（5分）（2007•辽宁）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．27【考点】等差数列的性质．【分析】观看下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．【解答】解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45 ∴a7+a8+a9=45故选B．【点评】本题考查等差数列的性质．6．（5分）（2007•辽宁）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γD．若m⊥β，m∥α，则α⊥β7．（5分）（2007•辽宁）若函数y=f（x）的图象按向量平移后，得到函数y=f（x+1）﹣2的图象，则向量=（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）【考点】函数的图象与图象变化．【专题】待定系数法．【分析】使用待定系数法，先设出平移向量，再依据其它已知条件列出方程（组），解方程（组）即可求出平移向量．【解答】解：设=（h，k）则由移公式得：函数y=f（x）的图象平移后对应的解析式为：y=f（x﹣h）+k则∴=（﹣1，﹣2），故选A【点评】利用待定系数法求平移向量的关键是：依据已知条件和多项式相等的条件构造出方程（组）．8．（5分）（2007•辽宁）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3]∪[6，+∞）D．[3，6]【考点】简洁线性规划的应用．【专题】数形结合．【分析】本题考查的学问点是线性规划，处理的思路为：依据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．9．（5分）（2007•辽宁）函数的单调增区间为（）A．B．（3，+∞）C．D．（﹣∞，2）【考点】复合函数的单调性．【分析】先求出函数的定义域，再依据复合函数的单调性﹣﹣同增异减可得答案．【解答】解：由题意知，x2﹣5x+6＞0∴函数定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞），排解A、C，依据复合函数的单调性知的单调增区间为（﹣∞，2），故选D【点评】本题主要考查两个方面，第一求对数函数定义域，要保证真数大于0；其次复合函数的单调性问题，留意同增异减的性质．10．（5分）（2007•辽宁）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）（2007•辽宁）设p，q是两个命题：，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的推断；集合的包含关系推断及应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先解两个不等式，再推断不等式解的范围，推断p，q条件关系．【解答】解：p：∵0＜|x|﹣3＜1，∴3＜|x|＜4，∴﹣4＜x＜﹣3或3＜x＜4，q：，结合数轴知p是q的充分而不必要条件，故选A【点评】本题主要考查对数不等式的求解，多项式不等式的求解，以及命题的充要条件，充分条件，必要条件的推断．要认真把握．12．（5分）（2007•辽宁）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为a i（i=1，2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法种数为（）A．18 B．3C．36 D．48【考点】排列及排列数公式．【专题】压轴题．【分析】本题为有特殊要求的排列问题，可以从特殊位置入手考虑．由a1≠1且a1＜a3＜a5，故a1的取法方法只有2、3、4三种，由a1的三种状况分别考虑a3、a5的支配方式，最终考虑a2，a4，a6【解答】解：分两步：（1）先排a1，a3，a5，a1=2，有2种；a1=3有2种；a1=4有1种，共有5种；（2）再排a2，a4，a6，共有A33=6种，故不同的排列方法种数为5×6=30，选B【点评】本题考查有特殊要求的排列问题，需要较强的分析问题、解决问题的力量．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13．（4分）（2007•辽宁）已知函数y=f（x）为奇函数，若f（3）﹣f（2）=1，则f（﹣2）﹣f（﹣3）=1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】直接利用奇函数进行转化．14．（4分）（2007•辽宁）开放式中含x的整数次幂的项的系数之和为72（用数字作答）．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用二项开放式的通项公式进行找寻整数次幂，留意找到全部的整数次幂，然后再求和．【解答】解：，当r=0，4，8时为含x的整数次幂的项，所以开放式中含x的整数次幂的项的系数之和为C80+C84+C88=72，填72．【点评】本题考查二项开放式的通项公式，考查转化思想和化归思想，考查同学们的运算力量．15．（4分）（2007•辽宁）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的全部顶点都在一个平面上，则此球的体积为4π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】正六棱柱的体对角线就是外接球的直径，求出即可求其体积．【解答】解：依据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由；得R=，球体积为故答案为：4【点评】本题考查球的体积，棱柱的体对角线问题，考查空间想象力量，是基础题．16．（4分）（2007•辽宁）设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足=（+），则=2．【考点】两点间的距离公式；中点坐标公式；椭圆的简洁性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】依据a2﹣b2=c2求出左焦点F的坐标，依据椭圆的准线公式x=﹣求出左准线方程，然后设P的坐标（x，y），依据两点间的距离公式求出P到准线方程的距离让其等于10求出x，然后再把x的值代入到椭圆方程中得到P的坐标，由=（+）得到M为PF的中点，依据中点坐标公式求出M的坐标，利用两点间的距离公式求出即可．【解答】解：由椭圆得a=5，b=4，依据勾股定理得c=3，则左准线为，左焦点F（﹣3，0），设P（x，y），由于P到左准线的距离为10，列出=10，解得x=或x=﹣（舍去）；又P在椭圆上，则将x=代入到椭圆方程中求出y=，所以点P（，）；由点M满足=（+），则得M为PF中点，依据中点坐标公式求得M（﹣，±），所以=故答案为2．【点评】本题是一道综合题，考查同学把握椭圆的一些简洁性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查同学把握向量的运用法则及向量模的求法，做题时要求同学学问面要宽，综合运用数学学问解决问题．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2007•辽宁）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组[500，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500）[1500，1700）[1700，1900）[1900，+∞）频数48 121 208 223 193 165 42频率（1）将各组的频率填入表中；（2）依据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管2支，若将上述频率作为概率，试求恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．【考点】频率分布表．【专题】计算题．【分析】（1）由频率=，可得出各组的频率；（2）要计算灯管使用寿命不足1500小时的频率，即计算前四个小组的频率之和；（3）恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时即1支灯管使用寿命不足1500小时，另一支灯管使用寿命超过1500小时，分为两种情形，最终求出它们的和即可．【解答】解：（I）分组[500，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500）[1500，1700）[1700，1900）[1900，+∞）频数48 121 208 223 193 165 42频率0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042（4分）（II）由（I）可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6．（8分）（III）由（II）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率P1=0.6，另一支灯管使用寿命超过1500小时的概率P2=1﹣P1=1﹣0.6=0.4，则这两支灯管中恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是P1P2+P2P1=2×0.6×0.4=0.48．所以有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.48．（12分）【点评】本题主要考查频率分布表的计算和频数分布直方图的应用以及概率的求法，属于基础题．18．（12分）（2007•辽宁）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=a，D，E分别为棱AB，BC 的中点，M为棱AA1上的点，二面角M﹣DE﹣A为30°．（I）证明：A1B1⊥C1D；（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）连接CD，依据三垂线定理可得AB⊥C1D，而A1B1平行AB，从而A1B1⊥C1D；（II）过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF，依据定义可知∠MFA为二面角M﹣DE﹣A的平面角，在Rt△GAF中，∠GFA=30°，求出A到平面MDE的距离，再依据线面平行可知C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等．【解答】解：（I）证明：连接CD，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∴CD为C1D在平面ABC内的射影．∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点，∴AB⊥CD，∴AB⊥C1D∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D（II）解：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC又∵AF∥CE，CE⊥AC∴AF⊥DE∵MA⊥平面ABC，∴AF为MF在平面ABC内的射影∴MF⊥DE∴∠MFA为二面角M﹣DE﹣A的平面角，∠MFA=30°在Rt△MAF中，，∠MFA=30°，∴作AG⊥MF，垂足为G，∵MF⊥DE，AF⊥DE，∴DE⊥平面AMF，∵平面MDE⊥平面AMF，∴AG⊥平面MDE在Rt△GAF中，∠GFA=30°，，∴，即A到平面MDE的距离为∵CA∥DE，∴CA∥平面MDE，∴C 到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为．【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础学问，考查空间想象力量与思维力量，属于基础题．19．（12分）（2007•辽宁）已知函数（其中ω＞0）（I）求函数f（x）的值域；（II）若函数y=f（x）的图象与直线y=﹣1的两个相邻交点间的距离为，求函数y=f（x）的单调增区间．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（I）利用两角和与差的正弦函数、二倍角公式化简不等式，然后利用两角和化简函数为，解好正弦函数的有界性，求函数f（x）的值域；（II）利用函数y=f（x）的图象与直线y=﹣1的两个相邻交点间的距离为，求出周期，求出ω，利用正弦函数的单调增区间，求函出数y=f（x）的单调增区间．【解答】解：（I）解：==．【点评】本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础学问，考查综合运用三角函数有关学问的力量，常考题．20．（12分）（2007•辽宁）已知数列{a n}，{b n}满足a1=2，b1=1，且（n≥2）（I）令c n=a n+b n，求数列{c n}的通项公式；（II）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式S n．【考点】数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（I）依据题意可求得c n=c n﹣1+2，进而依据等差数列的定义可推断出{c n}是首项为a1+b1=3，公差为2的等差数列，进而求得其通项公式．（II）令d n=a n﹣b n，则可知进而推断出{d n}是首项为a1﹣b1=1，公比为的等比数列，则其通项公式可求，进而依据a n﹣b n和a n+b n的表达式，联立方程求得a n，进而依据等差数列和等比数列的求和公式求得答案．【解答】解：（I）由题设得a n+b n=（a n﹣1+b n﹣1）+2（n≥2），即c n=c n﹣1+2（n≥2）易知{c n}是首项为a1+b1=3，公差为2的等差数列，通项公式为c n=2n+1（II）解：由题设得，令d n=a n﹣b n，则、易知{d n}是首项为a1﹣b1=1，公比为的等比数列，通项公式为由解得，求和得【点评】本小题主要考查等差数列，等比数列等基础学问，考查基本运算力量．21．（14分）（2007•辽宁）已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB 的内接圆（点C为圆心）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设圆M的方程为（x﹣4﹣7cosθ）2+（y﹣7cosθ）2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求的最大值和最小值．【考点】圆的标准方程；平面对量数量积的运算；圆的切线方程．【专题】计算题；综合题；压轴题；函数思想．【分析】（Ⅰ）设出A、B的坐标（正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上），依据△ABO边长相等，求出A、B点的坐标，再求圆心和半径，进而求可得圆C的方程；（Ⅱ）设出∠ECF=2α，表示出数量积，数量积中有cosα，，确定|PC|的范围，可求出数量积的最值．【解答】解：（Ⅰ）解法一：设A，B两点坐标分别为，，由题设知解得y12=y22=12，所以，或，．设圆心C的坐标为（r，0），则，所以圆C的方程为（x﹣4）2+y2=16．解法二：设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知x12+y12=x22+y22又由于y12=2x1，y22=2x2，可得x12+2x1=x22+2x2．即（x1﹣x2）（x1+x2+2）=0由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上设C点的坐标为（r，0），则A点坐标为，于是有，解得r=4，所以圆C的方程为（x﹣4）2+y2=16．（Ⅱ）解：设∠ECF=2α，则．在Rt△PCE中，，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|﹣1=7﹣1=6，所以，由此可得．则的最大值为，最小值为﹣8．【点评】本小题主要考查平面对量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本学问，考查综合运用解析几何学问解决问题的力量．22．（12分）（2007•辽宁）已知函数f（x）=x3﹣9x2cosα+48xcosβ+18sin2α，g（x）=f'（x），且对任意的实数t均有g （1+cost）≥0，g（3+sint）≤0．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若对任意的m∈[﹣26，6]，恒有f（x）≥x2﹣mx﹣11，求x的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．【专题】压轴题．【分析】（1）先求出f'（x），即g（x），它是关于x的二次函数，对任意的实数t均有g（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0可先求出1+cost和3+sint的范围，转化为g（x）在某些区间上恒成立，结合二次函数的图象确定g（x）应满足的条件．（2）由题意对任意的m∈[﹣26，6]恒成立，只要把式子看成关于m的不等式恒成马上可．【解答】解：（1）g（x）=f'（x）=3x2﹣18xcosα+48cosβ对任意的实数t，1+cost∈[0，2]，3+sint∈[2，4]．对任意的实数t有g（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0即对任意的实数x∈[0，2]有g（x）≥0，x∈[2，4]时有g（x）≤0∴即，解得所以f（x）=x3﹣9x2+24x（2）令g（m）=f（x）﹣x2+mx+11=xm+x3﹣10x2+24x+11由题意只要即，解得【点评】本题考查待定系数法求解析式、不等式恒成立问题，综合性强，难度较大．。

八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知==⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→a a x a x xx ，则9lim2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。

3．方程017=-+x x 共有 个正根。

4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。

5．⎰=20sin πxdx x 。

二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛。

2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。

（A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。

3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ）（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。

4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ，⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（ ）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。

2006——2007学年第二学期数学分析试题Ｂ答案（0601，0602，0603）一：填空（20分）1. 12. ≤3. 1、04. 05. ''()()x t y t 与不同时为06. ()x e C ϕ+7. 绝对收敛8. 1p >9. 充要条件 10.[,]a b 二：判断（16分）⨯∨⨯∨∨⨯⨯⨯三：计算下列各题（15分）2222212221()(3)21241)241(1) (5)22x x x x x x C ====-+⎰⎰分分分2令6x u =则原式变为523216(1)(3)16(ln |1|)326ln |1| 5u u du u u u u u C C ==-+-+=-+-++=+⎰⎰分（分）2020220020cos 3sin cos 1cos sin sin cos (3)2sin cos 11(sin cos )22sin cos (ln |sin cos |)| (4)44d d d d πππππθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπ++-+=++=++=+=⎰⎰⎰⎰分分 (5)分四：解下列各题（28分）1、求幂级数 +++++++12531253n x x x x n )1,1(-∈x 的和函数0011,12121n n n x n n ∞∞====±++∑∑2n+1(-1)解：因且，与都是发散级数该幂级数的收敛区域为(1,1)- （4分）设3521()3521n x x x F x x n +=++++++在收敛区域||1x <内逐项微分之，得'2321()11F x x x x =+++=- （5分） 注意(0)0F =，即得2011()ln (||1)121xdt xF x x t x+==<--⎰于是当||1x <时，有352111ln (||1)352121n x x x x x x n x+++++++=<+- （7分）2、计算⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x t x t x dte dt e 022022lim 解：该极限是∞∞型的不定式极限，利用洛必塔法则有 ()22222222222020lim2lim(3)2lim (5)2lim20 (7)x t xx t x xt x x xt x x xxx e dt e dte e dtee dte e xe →∞→∞→∞→∞====⎰⎰⎰⎰分分分112(1)3lim sin sin sin1(1)lim sin (3)n n n i n n n n n i n n ππππππ→∞→∞=-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-=⋅∑分其中的和式是()sin f x x =在区间[0,]π上的一个积分和，这里所取的是等分分割，(1),i i i x nn ππξ-∆==为小区间1,(1)[][,]i i i i x x n nππ--=的左端点，1,2,,i n =故有12(1)lim sin sin sin1sin (6)n n n n n n xdxπππππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎰分1(cos )|2(7)x πππ=-=分4 解：为方便起见。

§1 实数连续性的等价描述2211.{}({},{})1(1).1; sup 1,inf 0;(2)[2(2)]; sup ,inf ;1(3),1,(1,2,); sup ,inf 2;1(4)[1(1)]; n n n n n n n n n n k k n n n n x x x x x x nx n x x x k x k x x k n x n ++∞-∞=-===+-=+∞=-∞==+==+∞=+=+-求数列的上下确界若无上下确界则称，是的上下确界：(1) sup 3,inf 0;(5)12; sup 2,inf 1;123(6)cos ; sup 1,inf .132nn n nn n n n n n n x x x x x n n x x x n π-===+==-===-+§2 实数闭区间的紧致性{}{}{}{}{}11122112225.,()..,0,. 2,,;max(2,),,; k k n n m n n n n n n n n n x x x a a i x G x x x G G x x x G G x x x x G →∞→∀>∈>=∈>=∈>若数列无界,且非无穷大量,则必存在两个子列,为有限数证明：由数列无界可知对于总有使得那么我们如下构造数列：取则有使得取则有使得取{}{}{}{}2331333max(2,),,;max(2,),,;lim 2,lim ..k k k k k n n n n k k n n n n k n n n n k n G x x x x G G x x x x G x x ii x -→∞→∞=∈>=∈>=+∞=+∞∃则有使得取则有使得由于那么我们可以知道我们得到一个子列满足由于数列不是无穷大量,那么12300111021220323300,0,,. 1,,,max(2,),,, max(3,),,,n n n n G N n N x G N n N x G N n n N x G N n n N x G >∀>∃><=∃><=∃><=∃><对使得我们如下构造数列：取那么使得取那么使得取那么使得{}{}{}100 max(2,),,,,,k k k k k k k n n m n N n n N x G G x x x -=∃><取那么使得 于是我们得到一个以为界的数列那么由紧致性定理可以知道此数列必有收敛子列显然这个收敛子列也必是数列的子列。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C p p -=-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{13}A =，，{234}B =，，，则A B =（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{1234}，，，2．若函数()y f x =的反函数．．．图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点（ ） A ．(51)，B ．(15)，C ．(11)，D ．(55)，3．双曲线221169x y -=的焦点坐标为（ ）A ．(，B ．(0-，，(0 C ．(50)-，，(50)，D ．(05)-，，(05)， 4．若向量a 与b 不共线，0≠a b ，且⎛⎫- ⎪⎝⎭a a c =ab a b ，则向量a 与c 的夹角为（ ） A ．0B ．π6C ．π3D ．π25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．45C ．36D ．276．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥C ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥D ．若m αγ=，n βγ=，m n ∥，则αβ∥ 7．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =（ ） A ．(12)-，B ．(12)，C ．(12)-，D ．(12)-，8．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）A ．965⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，C ．(][)36-∞+∞，，D ．[36]，9．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．(2)-∞，10．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（ ） A ．122B ．111C ．322D ．21111．设p q ，是两个命题：251:||30:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a =，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法种数为（ ）A ．18B ．30C ．36D ．48第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ．14．x展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为 （用数字作答）．15．若一个底面边长为2的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 ．16．设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+，则||OM = ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：（I ）将各组的频率填入表中；（II ）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（III ）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率． 18．（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，AC BC a ==，DE ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30．（I ）证明：111A B C D ⊥；（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．19．（本小题满分12分） 已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>） （I ）求函数()f x 的值域；（II ）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π2，求函数()y f x =的单调增区间．20．（本小题满分12分）1A 1C1BCBAMDE已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥）（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ．21．（本小题满分14分）已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB △的内接圆（点C 为圆心） （I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7sin )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF ，的最大值和最小值．22．（本小题满分12分）已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数t均有(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）若对任意的[266]m ∈-，，恒有2()11f x x mx --≥，求x 的取值范围．2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供文科考生使用）试题答案与评分参考说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。