空间平行力系

应用静力学
第4章
空间力系的平衡
静力学
第4章 空间力系的平衡
实 例 1
静力学
第4章 空间力系的平衡
实 例 2
静力学
第4章 空间力系的平衡
主要内容
本章内容： 1. 空间约束； 2. 空间分布力；
3. 空间汇交力系的平衡； 4. 空间平行力系的平衡；
5. 空间力偶系的平衡；
6. 空间一般力系的平衡。
静力学
第4章 空间力系的平衡
空间平行分布力
z q x O
L x
例1 沿AOB分布的平行分布力， 最大分布集度为q，OA=OB=L。 求合力大小及位置。 解：方法一
xC
F
B
y
A
xq dx
A
xq( L x) / Ldx qL
0

L 6
yC
yq
y
dy

L
yq( L y ) / Ldy qL
静力学
第4章 空间力系的平衡
主要内容
本章内容： 1. 空间约束； 2. 空间分布力；
3. 空间汇交力系的平衡； 4. 空间平行力系的平衡；
5. 空间力偶系的平衡；
6. 空间一般力系的平衡。
静力学
第4章 空间力系的平衡
空间约束
一. 约束回顾
1. 柔索
1
2. 光滑接触面 1
3. 平面光滑柱铰

F F F
x
0
y
0
0
z

M M M
x
0
y
0
0
z
空间平行力系
(parallel force system in space) 平衡方程:

2
即空间一般力系平衡的解析条件是力系中所有各力 在任一轴上投影的代数和为零，同时力系中各力对任一 轴力矩的代数和为零。式（4.2）称为空间一般力系的平 衡方程（equationsofequilibrium ofthreedimensionalforcesystem inspace）。 应当指出，由空间一般力系平衡的解析条件可知， 在实际应用平衡方程时，所选各投影轴不必一定正交， 且所选各力矩轴也不必一定与投影轴重合。此外，还可 用力矩方程取代投影方程，但独立平衡方程总数仍然是 6个。
30
4.3.1 有主次之分物体系统的平衡 有主次之分的物体系统，其荷载传递规律是：作用 在主要部分上的荷载，不传递给相应的次要部分，也不 传递给与它无关的其他主要部分；而作用在次要部分上 的荷载，一定要传递给与它相关的主要部分。
31
32
据此，先分析次要部分BD，其受力图如图4.11（b） 所示。建立图示参考系Oxy，列平衡方程并求解。由于 本题只要求出D处的约束反力，而不必要求出B处的约 束反力，故
12
13
建立参考系 Bxy，列平衡方程，求未知力。
14
15
例4.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 图4.5所示为一管道支架，其上搁有管道，设 每一支架所承受的管重G1=12kN，G2=7kN，且架重不计。 求支座A和C处的约束反力，尺寸如图所示。
16
17
解 取刚架AB为研究对象，其上所受力有：已知的 集中力F、集度为q的均布荷载，集中力偶；未知的3个 约束反力FAx，FAy，MA。刚架AB的受力图如图4.6（b） 所示。各力组成一平面一般力系。建立图示Oxy坐标系， 列平衡方程求解
9
2.平面一般力系平衡方程的其他形式 （1）二矩式平衡方程

解：取铰D 脱离体， 为 脱离体， 画受力图如 所示， 图b所示， 各力形成空 间汇交力系。 间汇交力系。
由ΣFx ＝0, cos60 sin60 60ºsin60º+ cos60 sin60 60ºsin60º= －NADcos60 sin60 + NBDcos60 sin60 =0 NAD=NAD 得 由ΣFy ＝0, Tcos60 +NCDcos60 －NADcos60 cos60 －NBDcos60 cos60 =0 cos60º+ cos60º－ cos60ºcos60 cos60º－ cos60ºcos60 cos60º=0 FG＋NCD－0.5NAD－0.5NBD=0 得 由ΣFz ＝0, NADsin60 +NCDsin60 +NBDsin60 ―T sin60 ―FG=0 sin60 60º+ sin60 60º+ sin60 60º― sin60 60º― 866( 866+ 得 0.866(NAD+ NCD+ NBD)－(0.866+1)FG=0 联立求解得 NAD =NBD =31.55kN ， NCD=1.55kN。 。
球形铰链
2、向心轴承 、
4、 、 向 心 推 力 轴 承
6、空间固定端 、
例 3 － 3 ： 用三角架 ABCD 和绞车提升一重物如图 所示。 为一等边三角形， 所示。设ABC为一等边三角形，各杆及绳索均与水 平面成60 的角。 60º的角 30kN, kN,各杆均为二力 平面成60 的角。已知重物FG＝30kN,各杆均为二力 滑轮大小不计。 杆 ， 滑轮大小不计 。 试求重物匀速吊起时各杆所 受的力。 受的力。
[例] 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N。求： 例 平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？

Pz Psin45 Pxy Pcos45 Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
理论力学
中南大学土木建筑学院
7
mz (P )mz (P x )mz (P y )mz (P z )6Px (5Py )0 6Pcos45sin605Pcos45cos6038.2(Nm)
mx (P )mx (P x )mx (P y )mx (P z )006Pz 6Psin4584.8(Nm)
由 mA (Fi ) 0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0
XA 0
Y 0
YB NB P0,
YA
P 3
理论力学
中南大学土木建筑学院
22
二、平面平行力系平衡方程 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即 X 0 恒成立， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
R '0F 0 M O mO (Fi )0
又 R' (X )2 (Y )2 (Z )2
MO (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
所以空间任意力系的平衡方程为：
X 0,mx (F )0 Y 0,my (F )0 Z 0,mz (F )0
再研究轮
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
理论力学
中南大学土木建筑学院

将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。

最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为
（2）合力偶
当 中心无关。 （3）力螺旋 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 当 ∥ 时
力螺旋中心轴过简化中心
当
成角
且
既不平行也不垂直时
力螺旋中心轴距简化中心为
（4）平衡
当 平衡力系
时，空间力系为
§4–5 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、 主矩分别为零。 1.空间任意力系的平衡方程
空间力系
空间力系：
空间汇交（共点）力系
空间力偶系
空间任意力系 (空间平行力系)。
§4–1空间汇交力系
平面汇交力系合成的力多边形法则对空间汇交力 系是否适用？
解析法 1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
间接（二次）投影法
Fx Fxy cos F sin . cos
Fy Fxy sin F sin . sin
其中，各
，各
一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系。
空间汇交力系的合力 称为力系的主矢
空间力偶系的合力偶矩
称为空间力偶系的主矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
式中，各分别表示各 对 ， ， ,轴的矩。
力
2． 空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1） 合力 当 最后结果为一个合力。 合力作用点过简化中心。 当 时，
已知：
两圆盘半径均为200mm，
AB =800mm,
圆盘面O1垂直于z轴， 圆盘面O2垂直于x轴，
两盘面上作用有力偶，F1=3N，F2=5N， 构件自重不计。
求:轴承A,B处的约束力。 解：取整体，受 力图如图所示。 由力偶系平衡方程

r = x i + y j + z k 则：
z
i x MO(F) = r F =
jk yz
B
MO(F）
F
Od y
Fx Fy Fz
rA
x
=( y·Fz - z ·Fy ) i + (z·Fx - x ·Fz ) j + (x·Fy - y ·Fx ) k
其中 [MO (F)] x = y·Fz - z ·Fy [MO (F)] z = x·Fy - y ·Fx
使-R=R')
③由反向平行力合成得：
F1与R合成得F2，作用在d点 F1'与R'合成得F2'，作用在c点
且R-F1=F2 ，R'- F1'= F2'
④在I内的力偶（F1，F1'）等效变成II内的（ F2， F2' ）
14
由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：
①力偶矩的大小= m
②力偶矩的方向——与力偶作用面法线方向相同 ③转向——遵循右手螺旋规则。 三、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。
[MO (F)] y = z·Fx - x ·Fz 为力矩式在坐标轴上的投影。
19
二 力对轴的矩
z
力对物体绕轴转动效果的度量
1)定义:力对轴的矩等于此力在垂直
于矩轴的平面上的投影矢量对
于矩轴与这平面的交点的距 。
o
用FXY表示F在XY平面上的投影，
则力F对Z轴的矩为
x
mZ (F) Fxyd
各力偶矩矢在三个坐标轴的每一坐标轴上投影的代数和等于零.

F F
sin γ cos φ
sin
γ
sin
φ
Fz F cos γ
应当指出：力在坐标轴上的投影是代数量，有正、负两种可能；而力在平面上的投影为矢量。
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
1．空间汇交力系的合成
设有空间汇交力系 F1，F2，…，Fn，利用力的四边形法则，可将其逐步合成为合力矢 R，
某轴之矩等于各分力对同轴的矩的代数和，即
M x FR M x F1 M x F2 M y FR M y F1 M y F2 M z FR M z F1 M z F2
Mx My
Fn Fn
Mx My
FFii
M
z
Fn
M
z
Fi
5.2.3 空间力系的合力矩定理
如图所示，设力F的作用线沿AB，O点为矩心，则力对 这一点之矩可用矢量来表示，称为力矩矢，用MO（F）表 示。力矩矢MO（F）的始端为O点，它的模（即大小）等 于力F与力臂d的乘积，方位垂直于力F与矩心O所决定的平 面，指向可用右手法则来确定。于是可得：
MO (F ) Fd 2A OAB
5.2.1 力对点之矩
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
例 5-1 如图所示，在正方体的顶角 A 和 B 处分别作用有力 F1 和 F2，试求此二力在 x，y，z 轴上的
投影。
F1x F1 sin cos F1
2 3
1 2
3
3
F1
解：首先，求 F1 在 x，y，z 轴上的投影，即 F1y F1 sin sin F1
5.2.4 力对点之矩与力对轴之矩的关系
以矩心 O 为原点，取直角坐标系 Oxyz，如图所示。设力 F 在各坐标轴上的投影为 Fx，Fy，Fz；力作 用点 A 的坐标为（x，y，z），则有 F Fxi Fy j Fzk

图3-11 常见规则构件的对称画法图示
3.4.2 求重心位置的方法
2. 分割法
工程中常见的物体是简单形体的组合，而各简单形体的重 心位置是已知的或容易求得的。此时可将组合体分割成若干个 简单物体，利用式（3-10）即可求出整个物体的重心坐标。
3.4.2 求重心位置的方法
3.4.2 求重心位置的方法
上的投影为矢量。这是因为力在平面上投影的方向不能像在轴 上的投影那样简单地用正负号来表明，而必须用矢量来表示。
3.1 力在空间直角坐标轴上的投影
【例3-1】
在一立方体上作用有三个力F1、F2、F3，如图3-3所示。 已知F1=2 kN，F2=1 kN，F3=5 kN。
图3-3 【例3-1】图
3.1 力在空间直角坐标轴上的投影
根据合力矩定理，可求 得力F对指定的X、Y、Z三轴 之矩如下：
3.3 空间力系的平衡 方程
PART
3.3.1 空间任意力系的平衡方程
由空间任意力系的平衡条件，可以得到空间任意力 系平衡的解析表达式为
(3-7)
式(3-7)说明：空间任意力系平衡时，力系中的各力 在直角坐标系各轴上的投影代数和为零，对各轴之矩的代 数和也为零。
3.4.2 求重心位置的方法
图3-15 称重法
THANKS
建筑力学
第3章 空 间 力 系
3.1
CONTENTS
目 录 3.2
3.3
3.4
平面汇交力系 平面力偶系 平面任意力系
摩擦
第3章 空 间 力 系
作用在物体上的力系中各力不在同一平面内的力系称为空 间力系。空间力系按中各力作用线的分布情况可分为以下三类：
（1）空间汇交力系。各力的作用线都汇交于一点的力系 为空间汇交力系，如图3-1（a）、（b）所示。

1、力对点之矩的数学描述
（1）矢量表示式
MO
z F
MO r F
O x
r
y
（2）解析表示式
z
Fz F
MO r F
r xi yj zk F Fx i Fy j Fz k
i MO x Fx j y Fy k z Fz
x i y
k
r
Fx z j x
Fy y
( yFz zFy ) i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx ) k
可得，空间任意力系平衡的充分必要条件：
Fx 0 M x ( F ) 0 Fy 0, M y ( F ) 0, Fz 0 M z ( F ) 0
四、空间平行力系的平衡方程
z
F1
F2
Fx 0 Fy 0
解得： FD=5.8 kN
FB=7.777 kN
FA=4.423 kN
R A B D F


F1
F2
P
200mm 200mm 200mm
例4-3 皮带的拉力F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力F=2000 N。已知 皮带轮的直径D=400 mm，曲柄长R=300 mm，皮带1和皮带2与铅 垂线间夹角分别为 和 ， 30 0 ， 60 0 ，其它尺寸如 图所示。求皮带拉力和轴承反力。
例4-4 图示均质长方板由六根直杆支撑于水平位置，直杆两 端各用球铰链与板和地面连接。板重为P，在A处作用一水平 力F ，且F=2P。求各杆的内力。 b a F A P H G
D
B
C b
E
F
z a

学 1:0.32:0.17。已知涡轮连同轴和锥齿轮的总重量为W=12Kn，
其作用线沿轴Cz；锥齿轮的平均半径OB=0.6m ，试求止推
轴承C和轴承A的反力。
第 三 章
力 系 的 平 衡
工
例：翻到问题
程 力
塔式起重机的结构简图如
学 图所示。起重机自重为W，载 重为W1，平衡物重W2。要使
W2
起重机在空载、满载且载重在
工 2、平面平行力系的平衡方程
程
力 学
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 Mo 0
各力不得与投影轴垂直。
第 三 章
M A 0 M B 0 A, B 两点连线不得与各力平行。
力 系 的 平 衡
工 3、平面汇交力系的平衡方程
程
力 学
Fx 0,
Fy 0
4、平面力偶系的平衡条件
第
M 0
三
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
章
力 系 的 平 衡
工
§3-3 平衡方程的应用
程
力
求解平衡问题的步骤
学
1、选择合适的平衡对象，从系统中隔离；
2、进行受力分析；
第
3、应用平衡方程进行求解
三
章
力 系 的 平 衡
工 例：圆弧杆AB与折杆BDC在B处铰接，A、C两处均为固定 程 铰支座，结构受力如图所示。试求A、C两处的约束力。 力 学

Fx Fy

0 0
的 平
Mo 0
衡
工 平面任意力系平衡方程的三种形式： 程
力
学
刚体平衡条件
一矩式 第
三
章

第四章 空间力系




空间力系就是指各力的作用线不在同一平 面内的力系。 在空间力系中，若各力的作用线汇交于一 点，则称为空间汇交力系（图4.1（b))； 若各力的作用线相互平行，则称为空间平 行力系（图4.1(d)）； 若各力的作用线既不完全汇交于一点也不 完全平行，则称为空间一般力系（图4.1（f))。
图4.10

上式表明，空间汇交力系平衡的必要和 充分条件是：力系中所有各力在三个坐标轴 中每一轴上投影的代数和分别等于零。
4.3.4 空间力系平衡方程的应用



当物体受空间力系作用而平衡时，在给定荷载后， 应用上述平衡方程可求出某些未知量。 求解空间力系的平衡问题时，物体所受的约束有 些类型不同于平面力系里的约束类型，即使是同一类 型的约束，在平面问题和在空间问题中，其约束反力 的数目也有所不同。 现将常见的几种空间约束类型以及可能作用于物 体上的约束反力与约束反力偶列于表4.1中。
图4.1
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影
4.1.1 一次投影法

设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图4.2)。
图4.2


如果力F与x、y、z轴所夹的锐角分别为 α、β、γ，则 Fx=±Fcosα Fy=±Fcosβ Fz=±Fcosγ
4.1.2 二次投影法

如图4.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z轴 所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐标轴 上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy上，在 xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
Fxy=Fsinγ 然后再将Fxy投影到x、y轴上，于是力F在x、y、z 轴上的投影分别为 Fx=±Fsinγcosφ Fy=±Fsinγsinφ Fz=±Fcosγ

例4-3 如图所示的折杆，已知在其自由端A处受到 力F的作用。试求折杆固定端O的约束力。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。

z
Fz
γ
O
Fx
φ
x
Fy
y
Fxy
Fz F cos
1.
F
Fxy
F sin
Fx Fy
Fxy cos F sin cos Fxy sin F sin sin
注意：力在轴上的投影是代数量，力在平面上的投 影是矢量。
2．空间力的矢量表示法
F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
xi
rr MO (F )
yj zk
(rr
r F)
F Fx
rr (xi yj
i
r
Fy
j
r
Fz
k
r
zk )(Fxi Fy j
r Fzk
)
r
r
r
(yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为
rr MO (F )x yFz zFy
2）计算力对轴之矩（应用合力矩定理）
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 Fy 0.2 0 212 0.2 42.4N m
M y (F ) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx 0.2 0 Fz 0.05 212 0.2 520 0.05 68.4N m
r
r
r
r
M y (Fr ) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x
Mz (F) Fy x Fx y
rr
r
r
r
Mo (F) ( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k