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![[工学]企业综合自动化课程资料第3章自由度分析](https://img.taocdn.com/s1/m/1153ca7149d7c1c708a1284ac850ad02de80071f.png)
第三章 自由度分析3.1自由度概念化工流程模拟从本质上讲就是用不同的方法求解不同类型、不同规模的方程组求得有关未知变量的问题。
一个基本问题就是确定未知数数目（m ）与独立方程数（n ）之间的关系。
考察由m 个未知变量和n 个独立方程构成的模型方程组：0)(=X F 式中，),,,(21m x x x X "= ),,,(21n f f f F "=根据方程理论，n 个方程只能对n 个变量求解，因此，必须有m -n 个变量在求解方程之前被确定。
这个在求解方程之前必须确定其值的变量数（m -n ）称作自由度，用符号d 表示：n m d −=显然，自由度实际上就是独立变量数。
自由度d 有三种情况：（1） 0=d ，即n m =，独立方程数与未知变量数相同，方程有唯一解； （2） 0>d ，即n m >，未知变量数比独立方程数多，（设定不足），必须指定多余的)(n m −个未知变量的值方程才有唯一解，否则有无穷多解，——方程解不确定。
（3） 0<d ，即n m <，独立方程数比未知变量数多，（设定过度），有多余的方程，不同方程之间会出现矛盾，方程组无解。
在过程模拟之前，通过自由度分析正确地确定独立变量数，可以避免由于设定不足和设定过度而引起的方程组无解。
看起来确定自由度十分容易，实际上并非如此。
例如混合单元如图，我们可能会写出下列物料衡算方程：),,1(,33,22,11,c i F x F x F x i i i "==+ 321F F F =+111,=∑=ci i x112,=∑=ci i x113,=∑=ci i x式中，j F ——第j 股流的摩尔流量；j i x ,——第j 股流组分i 的摩尔分率。
上述方程共有4+c 个，变量数33+c 个，可得到自由度12−c 。
实际上这些方程不是相互独立的。
组分平衡方程各式相加可得到总物料平衡。
因此独立方程数应该是3+c ，正确的自由度为c 2。
力学系统中的自由度分析方法引言：力学系统是研究物体运动的一门学科，它涉及到许多复杂的问题。
为了更好地理解和描述力学系统的运动规律，我们需要对系统的自由度进行分析。
本文将介绍力学系统中的自由度分析方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、自由度的定义和意义在力学系统中，自由度是指描述系统运动所需独立变量的数量。
它反映了系统的自由程度和可变性。
自由度的确定对于研究系统的运动规律和解决力学问题至关重要。
二、约束条件与自由度在力学系统中，约束条件是指限制系统运动的条件。
它可以是物体之间的接触、几何限制或其他形式的限制。
约束条件的存在会影响系统的自由度。
三、平面运动的自由度分析对于平面运动的力学系统，我们可以通过以下步骤进行自由度分析：1. 确定系统中的物体数量：首先，我们需要确定系统中涉及的物体数量。
这些物体可以是刚体、质点或其他形式的物体。
2. 确定物体之间的约束条件：接下来，我们需要确定物体之间的约束条件。
这些约束条件可以是物体之间的接触、几何限制或其他形式的限制。
3. 计算自由度：根据物体数量和约束条件，我们可以计算系统的自由度。
自由度的计算可以通过减去约束条件的数量来实现。
4. 分析系统的运动：最后，我们可以利用自由度的信息来分析系统的运动规律。
自由度的数量决定了系统的自由程度和可变性，从而影响了系统的运动方式。
四、空间运动的自由度分析对于空间运动的力学系统，自由度的分析方法与平面运动类似，但需要考虑更多的维度。
在进行自由度分析时，我们需要确定系统中的物体数量、物体之间的约束条件，并计算自由度。
通过分析系统的自由度，我们可以更好地理解系统的运动规律和解决力学问题。
五、自由度分析的应用自由度分析方法在力学系统的研究和应用中具有广泛的应用价值。
它可以帮助我们理解和描述系统的运动规律，解决力学问题，设计和优化机械系统等。
通过对系统自由度的分析，我们可以更好地掌握系统的特性和行为，为实际应用提供指导。
第三章过程系统自由度分析及系统分解3.1 自由度分析建立系统模型后，需要对系统进行求解，在系统求解之前，进行系统自由度分析，根据系统的自由度的数量确定相应的指定变量数，使系统有唯一确定的解，避免因变量设置的不足和过度而引起方程无解。
单元操作过程的数学模型由代数方程组、微分方程组构成，假定有m个独立的方程式，其中含有n 个变量，该模型的自由度为d=n-m。
d>0 不定方程组，有无穷个解d<0 过度设定，形成矛盾方程，割除冗余方程d=0 正确设定，方程组有唯一解组成系统模型的独立方程数：（1）守恒方程：物料守恒、能量守恒、动量守恒（2）平衡方程：压力平衡、化学平衡、相平衡（3）化学反应动力学方程（4）阻力方程：传热速率、流动阻力系统模型的变量数与流股的变量、热负荷、压力变化有关，（1）流股变量数：对一个已知每个组分初始质量的封闭体系，其平衡状态完全取决于两个独立的变量，而不论该体系有多少相、多少组分或多少化学反应，因此组分数为C个的流股，其变量数为C+2；（2）设备特性参数和操作参数：反应器容积、换热器的传热面积和传热系数、精馏塔的理论塔板数和回流比、分割器的分割；（3）过程从外界得到（或放出）的热量和功。
3.1.1 单元过程自由度分析这里介绍几种主要单元操作过程的自由度分析：（1）混合器（mixer）利用机械力和重力等，将两种或两种以上物料均匀混合起来的机械。
可以将多种物料配合成均匀的混合物，增加物料接触表面积，促进化学反应；加速物理变化，例如粒状溶质加入溶剂，通过混合机械的作用可加速溶解混匀。
混合机械广泛用于各类工业和日常生活中。
分为气体和低粘度液体混合器、中高粘度液体和膏状物混合机械、热塑性物料混合机、粉状与粒状固体物料混合机械四大类。
图3-1为混合器的示意图，两个流股通过混合器后混合成一个流股，每个流股有C+2个独立变量。
对该过程可以建立以下独立方程（数学模型）：压力平衡方程：),min(213p p p =物料衡算方程：213F F F +=)1,,2,1(332211-==+C j F x F x F x j j j热量衡算方程：332211H F H F H F=+上述混合器的独立方程数：2+=C m混合器的自由度：)2(2)2()2(3+=+-+=-=C C C m n d如果有S 个输入流股的混合器，其自由度为S(C+2)图3-1 混合器示意图（2）分割器（divider ）图3-2是简单分割器的示意图，由一个输入流股按一定的分率分割成两股物流。
第三章过程系统自由度分析及系统分解3.1 自由度分析建立系统模型后，需要对系统进行求解，在系统求解之前，进行系统自由度分析，根据系统的自由度的数量确定相应的指定变量数，使系统有唯一确定的解，避免因变量设置的不足和过度而引起方程无解。
单元操作过程的数学模型由代数方程组、微分方程组构成，假定有m个独立的方程式，其中含有n 个变量，该模型的自由度为d=n-m。
d>0 不定方程组，有无穷个解d<0 过度设定，形成矛盾方程，割除冗余方程d=0 正确设定，方程组有唯一解组成系统模型的独立方程数：（1）守恒方程：物料守恒、能量守恒、动量守恒（2）平衡方程：压力平衡、化学平衡、相平衡（3）化学反应动力学方程（4）阻力方程：传热速率、流动阻力系统模型的变量数与流股的变量、热负荷、压力变化有关，（1）流股变量数：对一个已知每个组分初始质量的封闭体系，其平衡状态完全取决于两个独立的变量，而不论该体系有多少相、多少组分或多少化学反应，因此组分数为C个的流股，其变量数为C+2；（2）设备特性参数和操作参数：反应器容积、换热器的传热面积和传热系数、精馏塔的理论塔板数和回流比、分割器的分割；（3）过程从外界得到（或放出）的热量和功。
3.1.1 单元过程自由度分析这里介绍几种主要单元操作过程的自由度分析：（1）混合器（mixer）利用机械力和重力等，将两种或两种以上物料均匀混合起来的机械。
可以将多种物料配合成均匀的混合物，增加物料接触表面积，促进化学反应；加速物理变化，例如粒状溶质加入溶剂，通过混合机械的作用可加速溶解混匀。
混合机械广泛用于各类工业和日常生活中。
分为气体和低粘度液体混合器、中高粘度液体和膏状物混合机械、热塑性物料混合机、粉状与粒状固体物料混合机械四大类。
图3-1为混合器的示意图，两个流股通过混合器后混合成一个流股，每个流股有C+2个独立变量。
对该过程可以建立以下独立方程（数学模型）：压力平衡方程：),min(213p p p =物料衡算方程：213F F F +=)1,,2,1(332211-==+C j F x F x F x j j j热量衡算方程：332211H F H F H F=+上述混合器的独立方程数：2+=C m混合器的自由度：)2(2)2()2(3+=+-+=-=C C C m n d如果有S 个输入流股的混合器，其自由度为S(C+2)图3-1 混合器示意图（2）分割器（divider ）图3-2是简单分割器的示意图，由一个输入流股按一定的分率分割成两股物流。
当指定输入流股变量（C+2）个和一个分割分率，则该分割器的两股输出物流的变量就完全确定了，即该简单分割器的自由度为：1)2(++=C d 。
当一个流股分割成S 个流股时，指定输入流股变量(C+2)个以及(S-1)个分割分率值，则可由S(C+2)个独立方程式解出S 个分支流股包含的变量。
该分割器的自由度为：)1()2()2()1()2)(1(-++=+--+++=S C C S S C S d, …,x c3F 1F 2,P 2,T 2,x 12,x 22, …,x c2图3-2 简单分割器示意图（3）闪蒸器闪蒸器共有三个流股，热量作为设备参数，因此变量总数为3(C+2)+1，系统的独立方程有 物料衡算方程 ),,2,1(332211C j x F x F x F j j j =+=热量衡算方程332211H F H F Q H F +=+温度平衡方程 32T T =压力平衡方程 21p p =相平衡方程),,2,1(32C j x k x j j j ==这里共有2(C+2)+3个独立方程式。
故闪蒸器的自由度为4)32(1)2(3+=+-++=C C C d（4）换热器2(C+2)C+2 C+2C+21换热器的自由度1)2(2)2(21)2(4++=+-++=C C C d（5）反应器4)2()2()2(2++=+-+++=r C C r C d（6）压力变化单元阀门自由度：3)2(1)2(2+=+-++=C C C d泵、压缩机的自由度：4)2(2)2(2+=+-++=C C C d过程单元的自由度计算通式：g r e s c dni i U +++-++=∑=)1()2(1][式中：n ——输入流股数s ——通过衡算区时出现的输出流股数 C i ——第i 个输入流股的组分数e ——与物料流无关的能量流和压力变化引起的自由度 r ——反应单元的独立反应数 g ——几何自由度3.1.2 过程系统的自由度分析在单元操作过程自由度分析的基础上，我们就可以进行过程系统自由度分析，以下图所示过程为例，进行过程系统的自由度分析。
C(A,B) 该过程的进料为含有少量杂质B的高压气相组分A。
进料首先与循环物流混合，进入反应器，在反应器中发生由单组分A生成C的放热反应。
反应器出口物料用冷却水冷却，然后通过一节流阀进入闪蒸器。
在闪蒸器里，未反应的组分A 和B进入气相，液相出料为纯度较高的组分C。
未反应的A被循环利用。
为防止系统里杂质B的含量过高，将闪蒸器的一部分气相出料放空，其余部分则经压缩机升压，然后和进料混合。
从信息流图可以看出，过程单元之间的联结流股数为7，每个流股的变量数均为5，所以3575)(=⨯=∑jL jk则过程系统的自由度()()163551)(=-=-=∑∑jL j jU j S k d d3.2 化工过程系统的分解将一个结构已定的系统分割成一些更小的次一级系统的方法。
将系统的总目标分解成更小的系统的目标，或者将阶数、维数很大的系统的数学模型分解成阶数、维数较小的子系统的数学模型。
3.2.1 问题的提出分解的必要性：所有方程联立求解困难分解的可能性：每一个方程并不含所有变量——矩阵的稀疏性 用邻接矩阵描述过程系统的结构时，矩阵的稀疏度可表示为22n m n -==全部元素数零元素数稀疏度式中 m ——流股数 n ——节点数信息流程图：3产物放空系统分解（Decomposition)步骤：（1）系统的分隔（或分割，Partitioning ) ① 识别独立的子系统② 从子系统中识别循环回路或最大循环网（2）子系统（循环回路或最大循环网）的断裂 3.2.2 不相关子系统的识别Himmelblau 方法：（1）列出事件（关联）矩阵∑（2）找出非零元素最多的列，k =3（3）k 列元素值为零行保留；元素为1的行用布尔加法合并∑223221 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 154 3 2 15 4 3 2 1f f f f f x x x x xS ij =1 ，变量x j 存在于方程f i 中0 ，变量x j 不存在于方程f i 中),(0),(0),(0),(0),,(5354243134225311=====x x f x x f x x f x x f x x x f4）重复第（2）步，找出非零元素最多的列，k=2或k=4再重复第三步，得下面的矩阵该矩阵每列只含1个非零元素，说明此时各行间没有共同的变量，每行对应了一个不相关的子系统，即f1，f3，f5，构成的子系统和f2，f4，构成的子系统为两个不相关的子系统，可以单独求解。
当系统包含的方程数目很大时，可方便地用计算机识别出不相关的子系统。
3.2.3 对不相关子系统的分隔在一大规模系统中，识别出的各不相关子系统还要进一步逐个处理，即在不相关子系统中识别出不可再分隔的子系统，即循环回路及最大循环网，并用拟节点表示，然后按信息流方向排出有利的计算顺序。
12 1 2 1 10 1 0 1 01 0 1 0 01 0 1 0∑f 5f 3 f 1 f 4 f 2x 5 x 4 x 3 x 2 x 111 1 1 1 01 0 1 0 10 1 0 1 4253 1 54321∑f ff f f x xxxx（a ）最大循环网 （b ）两个序贯相连的循环回路1. 矩阵方法（1）邻接矩阵法邻接矩阵R 的性质：该矩阵的P 次方得到的矩阵RP 给出了步长（由一个节点经输出流股到另一节点就叫1个步长）为P 的全部节点，由此可识别循环回路。
（1）除掉“一步循环回路” （主对角线元素为1）（2）除掉没有输入流股的节点（邻接矩阵中只含零元素的列）（3）除掉没有输出流股的节点（邻接矩阵中只含零元素的行）0 ij S ⎧=⎨⎩单元间无流股相连1 单元间有流股相连⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000000000000010100100000001000000000100100000010010000011001000000100I H G F E D C B R ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=100000001001000010010001100100001000000010F E D C B A R A B C D E F G（4）④ 邻接矩阵中已经没有全为零元素的列或全为零元素的行了，说明系统中存在循环回路。
首先寻找“2步回路” 运算法则：计算顺序为：习题：设计下面过程系统的计算顺序答案：1,4—5—(2,3)---(6,7,8)---9,10⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000000100000101100101001000110110001100100001002G F E D C B A R ),min(),max(001111000101111000y x y x y x y x =⨯=+⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=⨯=⨯⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A B C D E F G ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000000010110010010000010FG D CE B A A B CE D FG ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00101001010000102D CE B A R A B CE D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000100001010013D CE B A R A B CE D I GF E D C B A H ),,(),,,,,(,3.2.4 最大循环网的断裂采用系统分割方法，可以把系统必须同时求解的单元组识别出来，并把这些单元组排列成有利的计算顺序。
这些单元组中，有的只含有一个单元，有的含有一个循环回路。
有的含有多个循环回路（即最大循环网）。
本节讨论如何选择断裂流股，把单元组中所有的循环回路断裂开，并以断裂流股所包含的所有变量作为迭代变量，从而确定计算顺序。
为使计算稳定快速收敛，就存在一个最优断裂流股集合的选择问题。
一般采用以下准则：I. 断裂的流股数目最少；II. 断裂流股包含的变量数目最少；III.对每一流股选定一个权因子，该权因子数值反映了断裂该流股时迭代计算的难易程度，应当使所有的断裂流股权因子数值总和最小；IV. 选择一组断裂流股，使直接代入法具有最好的收敛特性。
