数学分析 第一型曲面积分

曲面积分三大公式曲面积分是数学分析中的一个重要概念，在物理学、工程学、计算机图形学等领域的应用极为广泛。

曲面积分可以看作是对曲面上的某个量进行积分运算，其本质是对曲面的局部几何性质（如曲率、法向量、面积等）进行计算，常用于求取曲面质量、曲线弧长、电场场强等问题。

在曲面积分的求解中，有三个重要的公式，分别是第一型、第二型和第三型曲面积分公式。

下面我们将对这三个公式进行详细介绍。

第一型曲面积分公式第一型曲面积分公式，又称为曲面上的标量积分，是指对曲面上某个标量场进行积分的运算。

其数学表达式为：$$\\iint_{S}f(x,y,z)dS$$其中，S为曲面，f(x,y,z)为在曲面上的某一点(x,y,z)上的标量场值。

该公式中的dS表示曲面元素，可以看作曲面上一个小面积的微元素。

在计算时，需要对曲面S进行参数化，并根据表面积元素的定义进行求解。

第二型曲面积分公式第二型曲面积分公式，又称为曲面上的向量积分，是指对曲面上某个向量场进行积分的运算。

其数学表达式为：$$\\iint_{S}\\vec{F}\\cdot\\vec{n}dS$$其中，$\\vec{F}$ 为曲面上的向量场，$\\vec{n}$ 为曲面上某一点的法向量。

该公式中的dS含义同上。

在计算时，需要对曲面S进行参数化，并根据向量积分的定义进行求解。

第三型曲面积分公式第三型曲面积分公式，又称为曲面上的第二型线积分，是指对曲面边界上的某个向量场进行积分的运算。

其数学表达式为：$$\\oint_{\\partial S}\\vec{F}\\cdot d\\vec{r}$$其中，$\\partial S$ 为曲面S的边界，$\\vec{F}$ 为曲面上的向量场，$d\\vec{r}$ 为曲线元素。

该公式中的 $\\oint$ 表示沿曲线逆时针方向进行积分。

在计算时，需要对曲面S进行参数化，并根据向量积分的定义进行求解。

综上所述，第一型、第二型和第三型曲面积分公式是曲面积分求解中的三个重要工具。

第二十二章 曲线积分与曲面积分P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分 1. 计算下列第一型曲线积分： （1）)1,0(),0,1(),0,0(,)(B A O L ds y x L是以其中⎰+为顶点的三角形；（2）⎰+Lds y x2122)(，其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；（3）⎰L xyds ，其中L 为椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分；（4）⎰Lds y ，其中L 为单位圆122=+y x ；（5）ds z y x L)(222⎰++，其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段； （6）⎰Lxyzds ，其中L 为曲线)10(21,232,22≤≤===t t z t y t x 的一段； （7）⎰+Lds z y 222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆周．2. 求曲线)0,10(21,,2>≤≤===a t at z at y a x 的质量．设其线密度为.2az =ρ 3. 求摆线⎩⎨⎧≤≤-=-=)0()cos 1()sin (πt t a y t t a x 的重心，设其质量分布是均匀的．4. 计算下列第一类型曲面积分： （１）⎰⎰++SdS z y x )(,其中S 是上半圆面0,2222≥=++z a z y x ； （２）⎰⎰+SdS y x )(22，其中S 为立体122≤≤+z y x 的边界曲面； （３），⎰⎰+S yx dS 22其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； （４）⎰⎰SxyzdS ，其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分；5. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示，试给出计算⎰Lds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线积分： （１）⎰+Ly x ds e22，其中L 为曲线)4(πθρ≤≤=a 的一段；（２）⎰Lxds ，其中L 为对数螺线)0(>=k ae k θρ在圆a r =内的部分．6. 设有一质量分布不均匀的半圆弧)0(sin ,cos πθθθ≤≤==r y r x ，其线密度θρa =（a 为常数），求它对原点)0,0(处质量为m 的质点的引力．7. 证明：若函数f 在光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x L 上连续，则存在点L y x ∈),(00，使得L y x f dS y x f L∆=⎰),(),(00，其中L ∆为L 的长．8. 计算dS z S⎰⎰2，其中S 为圆锥表面的一部分： ⎩⎨⎧≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,20,0:;cos sin sin sin cos :πϕθθϕθϕa r D r z r y r x S这里θ为常数).20(πθ≤≤P.371 第二型曲线积分1. 计算第二型曲线积分： （１）⎰-L ydx xdy ，其中L 为本节例２中的三种情形．（２）⎰+-Ldy dx y a )2(，其中L 为摆线)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 沿t 增加方向的一段； （３）⎰++-L y x ydy xdx 22，其中L 为圆周222a y x =+，依逆时针方向；（４）⎰+Lxdy ydx sin ，其中L 为)0(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向； （５）⎰++Lzdz ydy xdx ，其中L ：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段．2. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由)0,(a 沿椭圆移动到),0(b ，求力所作的功。

第二十一章曲线积分与曲面积分§1 第一型曲线积分与曲面积分1.对照定积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质。

解：第一型曲线积分的性质:1（线性性）设⎰L ds z y x f ),,(,⎰L ds z y x g ),,(存在，21,k k 是实常数，则[]ds z y x g k z y x f kL ⎰+),,(),,(21存在，且[]ds z y x g k z y x f k L⎰+),,(),,(21⎰⎰+=LLds z y x g kds z y x f k ),,(),,(21;2l ds L=⎰1,其中l 为曲线L 的长度;3(可加性)设L 由1L 与2L 衔接而成，且1L 与2L 只有一个公共点，则⎰Lds z y x f ),,(存在⇔⎰1),,(Lds z y x f 与⎰2),,(L ds z y x f 均存在，且=⎰Lds z y x f ),,(⎰1),,(L ds z y x f +⎰2),,(L ds z y x f ;4(单调性)若⎰L ds z y x f ),,(与⎰L ds z y x g ),,(均存在，且在L 上的每一点p 都有),()(p g p f ≤则⎰⎰≤L L ds p g ds p f )()(;5若⎰L ds p f )(存在，则⎰L ds p f )(亦存在，且≤⎰ds p f L)(⎰Ldsp f )(6（中值定理）设L 是光滑曲线，)(p f 在L 上连续，则存在L p ∈0，使得l p f ds p f L)()(0=⎰,l 是L 的长度;第一型曲面积分的性质: 设S 是光滑曲面，⎰⎰S ds p f )(,⎰⎰S ds p g )(均存在，则有1（线性性）设21,k k 是实常数，则[]⎰⎰+Sds p g k p f k)()(21存在, 且[]⎰⎰+Sds p g k p f k )()(21⎰⎰⎰⎰+=SSds p g k ds p f k )()(21;2s ds S=⎰1, 其中s 为S 的面积;3(可加性)若S 由1S ,2S 组成21S S S =，且1S ,2S 除边界外不相交，则⎰⎰Sds p f )(存在⇔⎰⎰1)(S ds p f 与⎰⎰2)(S ds p f 均存在，且⎰⎰Sds p f )(=⎰⎰1)(S ds p f +⎰⎰2)(S ds p f4 (单调性)若在S 上的的每一点p 均有),()(p g p f ≤则⎰⎰⎰⎰≤SSds p g ds p f )()(;5⎰⎰S ds p f )(也存在，且≤⎰⎰Sdsp f )(⎰⎰Sds p f )(;6 （中值定理）若)(p f 在S 上连续，则存在S p ∈0,使得使得s p f ds p f S⎰⎰=)()(0，其中s 为S 的面积。

第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分一、第一型曲线积分的定义引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量.当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i ni i P f ∆Ω∑=1)(.当对Ω有分割越来越细密(即d=i ni ∆Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是该物体的质量.定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max ，在L i 上任取一点(ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i ni i i T s f ∆∑=→1),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：⎰L ds y x f ),(.注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分⎰L ds z y x f ),,(.性质：1、若⎰L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰∑=L ki i ids y x f c1),(=∑⎰=ki Li i ds y x f c 1),(.2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL ds y x f ),((i=1,2,…,k)都存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(=∑⎰=ki L i ids y x f 1),(.3、若⎰L ds y x f ),(与⎰L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则⎰Lds y x f ),(≤⎰Lds y x g ),(.4、若⎰L ds y x f ),(存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(≤⎰L ds y x f ),(.5、若⎰L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得⎰L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L≤c ≤),(sup y x f L.6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是⎰Lds y x f ),(.二、第一型曲线积分的计算 定理20.1：设有光滑曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L上的连续函数，则⎰L ds y x f ),(=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =⎰='+'ii t t dt t t 1)()(22ψϕ.由)()(22t t ψϕ'+'的连续性与积分中值定理，有△s i =)()(22i i τψτϕ''+''△t i (t i-1<i τ'<t=t i )，∴i ni i i s f ∆∑=1),(ηξ=i i i ni i i t f ∆''+''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ (t i-1<i τ',i τ''<t=t i ). 设σ=[]i i i i i n i i i t f ∆'''+'''-''+''''''∑=)()()()())(),((22221τψτϕτψτϕτψτϕ，则有in i iis f ∆∑=1),(ηξ=i i i ni iit f ∆'''+'''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ+σ.令△t=max{△t 1,△t 2,…,△t n }，则当T →0时，必有△t →0. 又复合函数f(φ(t),ψ(t))关于t 连续，∴在[α,β]上有界，即 存在常数M ，使对一切t ∈[α,β]，都有|f(φ(t),ψ(t))|≤M. 再由)()(22t t ψϕ'+'在[α,β]上连续，从而在[α,β]上一致连续，即 ∀ε>0, ∃δ>0，使当△t<δ时有)()()()(2222i i i i τψτϕτψτϕ'''+'''-''+''<ε, 从而|σ|≤εM ∑=∆ni i t 1=εM(β-α)， 即σlim 0→∆t =0. 又由定积分的定义，得i i i ni i i t t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())(),((lim221τψτϕτψτϕ=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 故⎰Lds y x f ),(=in i iit s f ∆∑=→∆1),(limηξ=i i i ni iit t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())(),((lim 221τψτϕτψτϕ+0lim →∆t σ=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22.注：1、若曲线L 由方程y=ψ(x), x ∈[a,b]表示，且ψ(x)在[a,b]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+ba dx x x x f )(1))(,(2ψψ.2、当曲线L 由方程x=φ(y), y ∈[c,d]表示，且φ(y)在[c,d]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+dc dy y y y f )(1)),((2ϕϕ. 3、对空间曲线积分⎰L ds z y x f ),,(，当曲线L 由参量方程x=φ(t),y=ψ(t),z=χ(t), t ∈[α,β]表示时，有⎰Lds z y x f ),,(=⎰'+'+'βαχψϕχψϕdt t t t t t t f )()()())(),(),((222. 4、由第一型曲线积分的定义，在Oxy 平面上，线密度为ρ(x,y)的曲线状物体对x,y 轴的转动惯量分别为：J x =⎰L ds y x y ),(2ρ和J x =⎰L ds y x x ),(2ρ.例1：设L 是半圆周⎩⎨⎧==t a y ta x sin cos , t ∈[0,π]，试计算第一型曲线积分⎰+Lds y x )(22.解：⎰+L ds y x )(22=⎰++π022222222cos sin )sin cos (dt t a t a t a t a =⎰π03dt a =a 3π.例2：设L 是y 2=4x 从O(0,0)到A(1,2)的一段，试求第一型曲线积分⎰L yds . 解：⎰L yds =⎰+20241dy yy =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++202241412y d y =202324134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y =)122(34-.例3：计算⎰L ds x 2，其中L 为球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面x+y+z=0所截得的圆周.解：由对称性知，⎰L ds x 2=⎰L ds y 2=⎰L ds z 2，∴⎰L ds x 2=⎰++L ds z y x )(31222=⎰L ds a 32=33πa .例4：求线密度ρ(x,y)=21xy +的曲线段y=lnx, x ∈[1,2]对于y 轴的转动惯量.解：J x =⎰L ds y x x ),(2ρ=⎰+Lds x y x 221=⎰++21222111ln dx xx x x =⎰21ln xdx x =ln4-43.习题1、计算下列第一型曲线积分：(1)⎰+L ds y x )(, 其中L 是以O(0,0), A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形； (2)⎰+L ds y x 22, 其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；(3)⎰L xyds , 其中L 为椭圆22a x +22by =1在第一象限中的部分；(4)⎰L ds y ||, 其中L 为单位圆周x 2+y 2=1；(5)⎰++L ds z y x )(222, 其中L 为螺旋线x=acost, y=asint, z=bt(0≤t ≤2π)的一段；(6)⎰L xyzds , 其中L 是曲线x=t, y=3232t , z=21t 2(0≤t ≤1)的一段； (7)⎰+L ds z y 222, 其中L 为x 2+y 2+z 2=a 2与x=y 相交的圆周. 解：(1) ⎰+L ds y x )(=⎰+OA ds y x )(+⎰+AB ds y x )(+⎰+BO dsy x )( =⎰10xdx +⎰102dx +⎰10ydy =1+2.(2)右半圆的参数方程为：x=Rcos θ, y=Rsin θ, -2π≤θ≤2π. ∴⎰+L ds y x 22=⎰-222ππθd R =πR 2.(3)方法一：∵y=22x a a b-, y ’=22xa a bx -, ∴⎰L xyds =⎰-+-adx x a a x b x a x a b 02222222)(1=⎰--adx x b a a a b 0222242)(2=)(3)(22b a b ab a ab +++.方法二：L 的参数方程为：x=acos θ, y=bsin θ,0≤θ≤2π.∴⎰L xyds =⎰+202222cos sin sin cos πθθθθθd b a ab=⎰-++-2022222cos 2cos 2)(224πθθd a b b a ab =)(3)(22b a b ab a ab +++. (4)方法一：圆的参数方程为：x=cos θ, y=sin θ,0≤θ≤2π， ∴⎰L ds y ||=⎰πθθ0sin d -⎰ππθθ2sin d =4. 方法二：∵|y|=21x -, (|y|)’=21xx --,∴⎰L ds y ||=2⎰--+-11222111dx x x x=2⎰-11dx =4. (5)⎰++L ds z y x )(222=⎰++π2022222)(dt b a t b a =2232b a +π(3a 2+4π2b 2).(6)x ’=1, y ’=t 2, z ’=t,∴⎰L xyzds =⎰++⋅⋅102232121232dt t t t t t =⎰+129)1(32dt t t =143216. (7)依题意，L 的参数方程可表示为：x=y=2a cos θ, z=asin θ, 0≤θ≤2π，∴⎰+L ds z y 222=⎰πθ202d a =2a 2π.2、求曲线x=a, y=at, z=21at 2(0≤t ≤1, a>0)的质量，设线密度为ρ=az 2. 解：⎰L ds a z 2=⎰+10222dt t a a t =⎰+102212dt t a =)122(3-a.3、求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t ≤π)的质心，设其质量分布均匀.解：∵dx=dt t a t a 2222sin )cos 1(+-=2asin 2t dt ，m=2a ρ0⎰π02sin dt t=4a ρ0.∴质心坐标为x=⎰-πρ002sin 2)sin (1dt t a t t a m =⎰-π0)2sin sin 2sin (2dt t t t t a =34a;y=⎰-πρ002sin 2)cos 1(1dt t a t a m =34a .4、若曲线以极坐标ρ=ρ(θ) (θ1≤θ≤θ2)表示，试给出计算⎰L ds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线的积分： (1)⎰+L y x ds e22, 其中L 为曲线ρ=a (0≤θ≤4π)的一段； (2)⎰L xds , 其中L 为对数螺线ρ=ae k θ (k>0)在圆r=a 内的部分. 解：L 的参数方程为x=ρ(θ)cos θ, y=ρ(θ)sin θ, (θ1≤θ≤θ2)，ds=θθθd d dy d dx 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθρθρd )()(22'+，∴⎰L ds y x f ),(=⎰'+21)()()sin ,cos (22θθθθρθρθρθρd f .(1)⎰+L y x ds e22=⎰40πθd ae a =4πae a . (2)⎰L xds =a ⎰∞-+022222cos θθθθθd e k a e a e k k k=a 2⎰∞-+022cos 1θθθd ekk =1412222++k k ka .注：∵⎰∞-02cos θθθd e k =⎰∞-02cos 21θθk de k =⎰∞-∞-+202sin 21cos 21d e ke kk k θθθθ=θθk e d k k 202sin 4121⎰∞-+=⎰∞--022cos 4121θθθd e kk k ； ∴⎰∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+022cos 411θθθd e k k =k 21，即⎰∞-02cos θθθd e k =1422+k k .5、证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L: x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]上连续，则存在点(x 0,y 0)∈L ，使得⎰L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L ，其中△L 为L 的弧长. 证：∵f 在光滑曲线L 上连续，∴⎰L ds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαdt t y t x t y t x f )()())(),((22.又f(x(t),y(t))与)()(22t y t x '+'在[α,β]上连续，由积分中值定理知， ∃t 0∈[α,β]，使⎰L ds y x f ),(=f(x(t 0),y(t 0))⎰'+'βαdt t y t x )()(22= f(x(t 0),y(t 0))△L. 令x 0=x(t 0), y 0=y(t 0), 则(x 0,y 0)∈L, 且⎰L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L.。

第二十二章曲面积分教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。

教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。

教学时数：18学时§ 1 第一型曲面积分一. 第一型面积分的定义:1. 几何体的质量: 已知密度函数 , 分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算2. 曲面的质量:3. 第一型面积分的定义: 定义及记法., 面积分.4. 第一型面积分的性质:二. 第一型面积分的计算:1. 第一型曲面积分的计算:Th22.2 设有光滑曲面.为上的连续函数,则.例4 计算积分, 其中是球面被平面所截的顶部 . P281§2 第二型曲面积分一. 曲面的侧:1. 单侧曲面与双侧曲面:2. 双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为,则上侧法线方向对应第三个分量, 即选“+”号时，应有，亦即法线方向与轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向闭合曲面分内侧和外侧.二. 第二型曲面积分:1. 稳流场的流量: 以磁场为例. P2842. 第二型曲面积分的定义: P284 . 闭合曲面上的积分及记法.3. 第二型曲面积分的性质: 线性 , 关于积分曲面块的可加性.4. 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系:设为曲面的指定法向, 则.三. 第二型曲面积分的计算:Th22.2 设是定义在光滑曲面D上的连续函数, 以的上侧为正侧( 即), 则有.证P类似地, 对光滑曲面D, 在其前侧上的积分.对光滑曲面D, 在其右侧上的积分.计算积分时, 通常分开来计算三个积分, , .为此, 分别把曲面投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算. 投影域的侧由曲面的定向决定.例1 计算积分,其中是球面在部分取外侧. P287 例2 计算积分，为球面取外侧.解对积分, 分别用和记前半球面和后半球面的外侧, 则有: ;: .因此, =+ =.对积分, 分别用和记右半球面和左半球面的外侧, 则有: ;: .因此, +=.对积分, 分别用和记上半球面和下半球面的外侧, 则有: ;: .因此, =+ =.综上, =.§ 3 Gauss公式和Stokes公式一. Gauss公式:Th22.6 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面围成 . 若函数在V上连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则,其中取外侧.称上述公式为Gauss公式或Остроградский―Gauss公式.证只证.设V是型区域( 即型体 ) , 其边界曲面由曲面下侧 , D ,上侧 , D . .以及垂直于平面的柱面(外侧)组成. 注意到=, 有==.可类证, .以上三式相加, 即得Gauss公式.例1 计算积分，为球面取外侧.解.由Gauss公式.例2 计算积分，其中是边长为的正方体V的表面取外侧. V: . P291 解应用Gauss公式 , 有.例1 计算积分，为锥面在平面下方的部分，取外法线方向 .解设为圆取上侧 , 则构成由其所围锥体V的表面外侧 , 由Gauss公式 , 有=锥体V的体积;而因而, .例1 设V是三维空间的区域, 其内任何封闭曲面都可不通过V外的点连续收缩为V上的一点. 又设函数、和在V上有连续的偏导数. 表示V内任一不自交的光滑封闭曲面, 是的外法线. 试证明: 对V内任意曲面恒有的充要条件是在V内处处成立.证.由Gauss公式直接得到 .反设不然 , 即存在点V, 使,不妨设其. 由在点连续, 存在以点为中心且在V 内的小球, 使在其内有. 以表示小球的表面外侧, 就有,与矛盾.二. Stokes公式:空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系: 右手螺旋法则, 即当人站在曲面的正侧上, 沿边界曲线L行走时, 若曲面在左侧, 则把人的前进方向定为L的正向.1. Stokes定理:Th22.7 设光滑曲面的边界L是按段光滑的连续曲线 . 若函数、和在( 连同L )上连续 ,且有一阶连续的偏导数 , 则. 其中的侧与L的方向按右手法则确定 .称该公式为Stokes公式 .证先证式. 具体证明参阅P292.Stokes公式也记为.例5 计算积分,其中L为平面与各坐标平面的交线, 方向为: 从平面的上方往下看为逆时针方向. P2942. 空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性:空间单连通、复连通域.Th 22.5 设R为空间单连通区域 . 若函数、和在上连续, 且有一阶连续的偏导数 , 则以下四个条件等价: ⅰ> 对于内任一按段光滑的封闭曲线L , 有; ⅱ> 对于内任一按段光滑的封闭曲线L , 曲线积分与路径无关;ⅲ> 是内某一函数的全微分;ⅳ> 在内处处成立 . P2943. 恰当微分的原函数:恰当微分的验证及原函数求法.例6 验证曲线积分与路径无关 , 并求被积表达式的原函数. P295。

陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论（圣才出品）第14章曲线积分、曲面积分与场论1．计算为取逆时针方向．[南开大学2011研]解：记因为P与Q在点（0，0）处都无定义，则不能直接应用格林公式．在L围成的区域内取一闭曲线L1:（取逆时针方向）,则在L与L1围成是区域内可以应用格林公式．由于则由Green公式知，则2．求第一型曲面积分其中h≠R．[浙江大学研]解：令其中且3．计算其中[湖南大学研]解：令所以4．求常数λ，使得曲线积分对上半平面内任何光滑闭曲线L成立．[北京大学研]解：记由题设知，所考虑积分在上半平面内与路径无关，所以，即即即所以λ=．5．设为xy平面上具有光滑边界的有界闭区域且u为非常值函数及证明[武汉大学研]证明：因在上，u=0．故所以又u为非常值函数，故再注意到的连续性，所以6．计算其中∑为圆柱面被z=0，z=3截的部分外侧．[北京航空航天大学研]解：分别补充圆柱体的交面记P=x，Q=y，R=z，由奥高公式而平面，yz平面；平面，yz平面，所以从而7．计算为[南开大学2011研]解：(对称性)8．计算曲线积分其中L是从（2a，0）沿曲线到点（0，0）的一段．[兰州大学2009研]解：曲线即记则所以所以由Green公式得9．计算，其中为圆柱面的部分，它的法线与ox轴正向成锐角；为xoy平面上半圆域：的部分，它的法线与oz轴正向相反．[上海交通大学研]解：如图14-1所示，补充则构成封闭曲面的外侧，由奥高公式其中则又，从而平面，平面，从而图14-110．计算曲线积分其中C是从A（－a，0）经上半椭圆到B（a，0）的弧段．[湖北大学研]解：记则所以此积分在上半平面内与路径无关，如图14-2所示取以（0，0）为心，a为半径的上半圆周，则。