正四面体的性质 (2)

正四面体二级结论正四面体是一种具有四个等边等角面的多面体，它是一种非常特殊的几何体。

在正四面体的二级结论中，我们将探讨一些与正四面体相关的重要性质和定理。

让我们来介绍一下正四面体的基本构造。

正四面体由四个等边三角形构成，其中每个三角形的边长和角度都相等。

这使得正四面体具有高度对称的特点，它的任意两个面都可以通过旋转和翻转操作变成另一个面。

正四面体的一个重要性质是它的重心、垂心和外心是共点的。

重心是正四面体的所有顶点的中点连成的线段的交点，垂心是正四面体的每个面上的高的交点，外心是正四面体的每个面上外接圆的圆心。

这个共点的交点被称为正四面体的“Euler点”。

正四面体的二级结论之一是关于正四面体的体积和表面积的定理。

正四面体的体积可以通过以下公式计算：体积 = 底面积 * 高 / 3。

其中，底面积是正四面体底面的面积，高是从正四面体顶点到底面上某一点的垂直距离。

正四面体的表面积可以通过以下公式计算：表面积 = 底面积 + 3 * 侧面积。

其中，侧面积是正四面体的任意一个侧面的面积。

正四面体的二级结论还涉及到正四面体的对称性。

正四面体具有旋转对称和镜像对称两种对称性。

旋转对称是指正四面体可以通过绕着某个轴旋转一定角度来变成它自身。

镜像对称是指正四面体可以通过沿着某个平面进行镜像反射来变成它自身。

除了对称性，正四面体还具有一些其他的性质。

例如，正四面体的内角和为360度，每个内角都是70度。

此外，正四面体的每条棱都是两个面的公共边，棱长可以通过勾股定理计算得到。

正四面体的二级结论还包括与正四面体相关的一些特殊点和线段。

例如，正四面体的垂直于某个面的高交于该面的重心，垂直于某个面的中线交于该面的垂心。

此外，正四面体的每个面上都存在一个内切圆，内切圆的圆心位于正四面体的重心和外心连线的延长线上。

正四面体的二级结论是几何学中的重要内容，它们揭示了正四面体的一些重要性质和定理。

通过对正四面体的深入研究，我们可以更好地理解几何学中的各种概念和定理，为我们解决实际问题提供了重要的参考和指导。

几何体的正四面体正四面体是一种特殊的几何体，具有很多独特的性质和特点。

在本文中，我将介绍正四面体的定义、属性以及一些有趣的应用。

一、正四面体的定义正四面体是一种具有四个等边等角面的多面体。

它的四个面都是等边三角形，每两个面之间的夹角都是一样的，也都是等于70.53°。

在正四面体中，任意两条边的长度和相等。

这些特点使得正四面体在几何学中有着重要的地位。

二、正四面体的性质1. 对称性：正四面体具有很高的对称性。

它有24个对称操作，包括旋转和翻转等。

这些对称性使得正四面体在立体几何中有广泛的应用，例如建筑设计和立体模型制作等。

2. 共面性：正四面体的四个顶点共面。

这意味着可以通过这四个顶点构成一个平面。

而且在这个平面上，正四面体可以被视为一个等边三角形。

3. 体积和表面积：正四面体的体积和表面积可以通过简单的公式计算得到。

其中，体积公式为V = (a³√2) / 12，表面积公式为S = a²√3，其中a表示正四面体一个面的边长。

4. 空间分割：正四面体可以将三维空间分割成四个完全相同的四面体。

这种空间分割在某些科学领域中非常有用，例如晶体结构的研究和分子模拟等。

三、正四面体的应用1. 立体几何学研究：正四面体是立体几何学中的一个基本概念，它的研究可以帮助我们理解和解决各种与几何学相关的问题，例如立体投影、体积计算等。

2. 建筑设计：正四面体的对称性和美观性使得它成为建筑设计中的常用元素。

例如，一些摩天大楼的外形可以采用正四面体的结构，使得建筑物更加稳定和美观。

3. 教育和娱乐：正四面体的独特性质和形状可以作为教学和娱乐的工具。

通过搭建正四面体模型或者使用虚拟现实技术，人们可以更直观地了解和体验正四面体的一些特点和性质。

总结：正四面体作为一种特殊的几何体，具有对称性、共面性以及特定的体积和表面积等性质。

它在几何学研究、建筑设计和教育娱乐等领域有着广泛的应用。

通过深入研究和探索正四面体，我们可以进一步拓展对几何学的理解和应用。

四面体与平行六面体一、一般四面体的性质性质1.任意四面体六个二面角的平分面交于一点，这点到四面体四个面的距离相等，称该点为四面体内切球球心（简称四面体的内心）。

内切球与四面体四个面内切。

若四面体ABCD 的体积为V ，顶点A 所对的侧面面积为A S ，类似的有,,B C D S S S ,则内切球半径3A B C DVr S S S S =+++.性质2.任意四面体六条棱的垂直平分面交于一点，这点到四面体顶点的距离相等，该点称为四面体外接球球心（简称四面体外心）。

外接球通过四面体四顶点。

性质3.任意四面体的四条中线（每一顶点与其对面重心的连线）交于一点，而且该点是中线的四等分点。

性质4.四面体体积公式一：11113333A A B B C C D D V S h S h S h S h ==== 性质5.四面体体积公式之二：1||||sin ,6V AB CD d AB CD =⋅⋅⋅<> （其中d 为AB 、CD 距离）性质6.四面体体积公式二：2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 333333C D AB A D BC A B CD B C DA B D AC A C BDS S S S S S S S S S S S V AB BC CD DA AC BDθθθθθθ======二、特殊四面体的性质（1） 正四面体：各边均相等；（2） （3） 等腰四面体：三组对边分别相等。

三、平行面体像平行四边形是平面图几何的基础一样， 平行六面体是立体几何的基本图形。

性质1.平行六面体的四条体对角线交于一点，且在这一点互相平分，称该点为平行六面体的中心； 性质2.平行六面体的所有体对角线的平方和等于所有棱的平方和。

推论1:平行六面体的所有侧面对角线的平方和等于其所有体对角线平方和的两倍。

推论2：平行六面体的每一侧棱的平方和等于等于与这一侧共面的两侧面四条对角线的平方减去与这一侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的14。

⑨内切球半径 r= S ^OB +S ^OC +S ^OC ~S m ca +b +c与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)1 a = arccos —3 (5)对棱互相垂直。

⑺外接球半径 R= —a ；4(8)内切球半径 r= 逅a12(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体 .如图，在直角四面体 AOC 中，/ AOB M BOC M COA=90 , OA=a ,OB=b ,OC=c .则① 不含直角的底面ABC 是锐角三角形；② 直角顶点O 在底面上的射影H 是^ ABC 的垂心；1③ 体积 V= - a b c ；6④ 底面面积 S AAB (=-J a 2b 2 + b 2c 2 +c 2a 2 ; 22 2 2 &⑥S △Bo +S △Ao +S △ AO =S △ABC1 1+ -- ・2 2 Jb c R=1 J a2 + b 2 +c 2 ; (1)全面积 (2)体积 V=返 a3 12 (3)对棱中点连线段的长 d= 匹a ；(此线段为对棱的距离，若一个球2⑷相邻两面所成的二面角⑹ 侧棱与底面所成的角为P =arccos⑤ S △ BO =S BHC • & ABC⑧外接球半径 C2⑨内切球半径r= S^OB +S^OC +S^OC~S m ca +b +c⑨内切球半径 r= S ^OB +S ^OC +S ^OC ~S m ca +b +c与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)1 a = arccos —3 (5)对棱互相垂直。

⑺外接球半径 R= —a ；4(8)内切球半径 r= 逅a12(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体 .如图，在直角四面体 AOC 中，/ AOB M BOC M COA=90 , OA=a ,OB=b ,OC=c .则① 不含直角的底面ABC 是锐角三角形；② 直角顶点O 在底面上的射影H 是^ ABC 的垂心；1③ 体积 V= - a b c ；6④ 底面面积 S AAB (=-J a 2b 2 + b 2c 2 +c 2a 2 ; (1)全面积(2)体积 V=返 a 312(3)对棱中点连线段的长d= 匹a ；(此线段为对棱的距离，若一个球 2⑷相邻两面所成的二面角⑹ 侧棱与底面所成的角为P =arccosC⑨内切球半径 r= S ^OB +S ^OC +S ^OC ~S m ca +b +c22 2 2 &⑥S △Bo +S △Ao +S △ AO =S △ABC1 1+ -- ・2 2 J b cR= 1 J a 2 + b 2 +c 2; 2⑤ S △ BO =S BHC • & ABC⑧外接球半径⑨内切球半径 r= S ^OB +S ^OC +S ^OC ~S m ca +b +c与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

四面体的性质如果从面的数目上来说，四面体是最简单的多面体。

一．四面体性质1．四面体的射影定理：如果设四面体ABCD 的顶点S 1，△ADC 的面积为S 2，△BCD 的面积为S 3，△ABD 为θ2-3，二面角A-BD-C 为θ3-4，二面角C-AB-D 为θθ1-2，则S 1 = S 2cosθ1-2 + S 3cosθ1-3 + S 4cosθ1-4S 2 = S 1cosθ1-2 + S 3cosθ2-3 + S 4cosθ2-4 S 3 = S 1cosθ1-3 + S 2cosθ2-3 + S 4cosθ3-4 S 4 = S 1cosθ1-4 + S 2cosθ2-4 + S 3cosθ3-4 2．性质2(类似余弦定理)S 12= S 22 + S 32 +S 42 - 2S 2S 3 cosθ2-3 - 2S 2S 4 cosθ2-4 - 2S 3S 4 cosθ3-4 S 22= S 12+ S 32+S 42- 2S 1S 3 cosθ1-3 - 2S 1S 4 cosθ1-4 - 2S 3S 4 cosθ3-4 S 32 = S 12 + S 22 +S 42 - 2S 1S 2 cosθ1-2 - 2S 1S 4 cosθ1-4 - 2S 2S 4 cosθ2-4 S 42 = S 12 + S 22 +S 32 - 2S 1S 2 cosθ1-2 - 2S 1S 3 cosθ1-3 - 2S 2S 3 cosθ2-3特别地，当cosθ1-2 = cosθ1-4 = cosθ2-4 = 0，即二面角C-AB-D 、 C-AD-B 、B-AC-D 均为直二面角（也就是AB 、AC 、BC 两两垂直）时，有S 32 = S 12 + S 22 +S 42，证明：S 32= S 3S 1cosθ1-3 + S 3S 2cosθ2-3 + S 3S 4cosθ3-4= S 1 S 3cosθ1-3 + S 2 S 3cosθ2-3 + S 3 S 4cosθ3-4= S 1（S 1 - S 2cosθ1-2 + S 4cosθ1-4）+S 2（S 2 - S 1cosθ1-2 + S 4cosθ2-4）+S 4（S 4 - S 1cosθ1-4+ S 2cosθ2-4）= S 12 + S 22 +S 42 - 2S 1S 2 cosθ1-2 - 2S 1S 4 cosθ1-4 - 2S 2S 4 cosθ2-4二．正四面体的性质设正四面体的棱长为，则这个正四面体的a(1)全面积 S 全2a ； (2)体积V=312a ； (3)对棱中点连线段的长d= 2；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

正四面体二级结论正四面体二级结论是关于正四面体体积与高的数学结论。

正四面体是一种四个面都是正三角形的立体图形，它是几何学中的一个基本图形。

一、正四面体基本属性正四面体所有的面都是等边三角形，其每个顶点处都是四个面相交。

正四面体有四个相等的面，因此被称为“正”四面体。

其它一些几何学基本属性包括：1.四个面都是正三角形，相邻两个面之间的夹角为60度。

2.它的四条棱都是等长的，每个顶点的三个角度相等。

3.正四面体的中心，所有的对角线和三角形的外心都在一个点上。

二、正四面体的体积与高正四面体体积公式为：V=√2/12a³，其中a是正四面体的边长。

它的体积和高的比值为：V/h=√2/3（层高比），因此正四面体的高等于√6/3a=√2/3a√3。

三、证明正四面体二级结论已知正四面体ABCD，E,F,G分别是BC,CD,AD三条棱上的等分点，已知BF的长度为a，设$BG=CF=BE=\alpha $， EG的长度为d，向量DF连接DG，EG和FE三条向量构成三角形DEG，设角DEG为$\theta$。

首先可以通过画图将正四面体、三角形DEG、向量DF、EG和FE画出。

正四面体的棱长为a，因此瞬间可以得出边AD的长为$\sqrt {2}a$。

其次，可以通过向量相减可以得到向量DG和FE的矢量，可以对其进行坐标处理，通过向量的模长可以求出在三角形DEG中，角度$\theta$的余弦值。

$v_{DE}=(1-\alpha)^2v_{AD}$$v_{DG}=\begin{bmatrix}1-2\alpha cos\frac{\pi}{3}\\(\alpha-\frac{1}{2})\sqrt{3}+d\\-\alpha\end{bmatrix}$$v_{FE}=\begin{bmatrix}1-\alpha & a-\alpha & \alpha\\-\alpha & \alpha & a-\alpha\\\alpha & -a+\alpha & \alpha\end{bmatrix}$其中在向量vDG和FE之间夹的角为θ，用$\cos \theta $求解。

正棱锥正四面体的概念正棱锥是一种具有正三角形底面和顶点在底面外的顶点的多面体，它由底面和侧面组成。

正棱锥的特点是底面是一个正三角形，而侧面则是三个共有一个公共顶点的等腰三角形，此外，从顶点到底面三个顶点的线段等长。

正四面体是一种具有4个相等的正三角形面的多面体。

它的特点是任意两个面之间的角度都相等，每个面都与其他三个面共享一个公共边。

现在我们来详细介绍一下正棱锥和正四面体的性质。

正棱锥的性质：1. 正棱锥有一个顶点和一个底面，底面是一个正三角形。

2. 正棱锥的侧面由三个等腰三角形组成，它们共享一个公共顶点。

3. 任意两个侧面之间的角度相等，并且每个侧面都与底面共享一个公共边。

4. 正棱锥的侧面上的三角形的三边长度相等，这意味着从顶点到底面上的任意一个顶点的线段长度相等。

5. 正棱锥的高是从顶点到底面的垂直距离，它的长度可以通过应用勾股定理计算。

正四面体的性质：1. 正四面体有四个面，每个面是一个等腰三角形。

2. 任意两个面之间的角度相等。

3. 正四面体的任意两条边相交于一个点，这个点被称为顶点。

4. 正四面体的每个面都与其他三个面共享一个公共边。

5. 正四面体的高是从顶点到底面的垂直距离，它的长度可以通过应用勾股定理计算。

正棱锥和正四面体的应用：正棱锥和正四面体在几何学中具有重要的应用。

它们常常用于计算物体的体积和表面积。

正棱锥和正四面体的特殊性质使得它们在建筑、物理和化学等领域有广泛的应用。

正棱锥和正四面体也常常用于解决几何问题。

例如，我们可以利用正四面体的性质来找出一个四面体是否是正四面体，或者通过计算正棱锥的高来确定其体积。

总结：正棱锥和正四面体是具有特定形状和性质的多面体。

它们广泛应用于建筑、物理和化学等领域，并且在几何学中也有重要的应用。

对于正棱锥和正四面体的了解，有助于我们理解和解决与它们相关的几何问题。

分子空间构型是化学中一个重要的概念，它描述了分子在空间中排列的方式。

而正四面体构型是一种特殊的构型，其中分子的键角为60度。

本文将深入探讨键角为60度的分子空间构型正四面体。

一、正四面体构型的定义正四面体是一种特殊的几何形状，它由四个相等的三角形构成，这些三角形共享一个顶点。

正四面体构型在化学中指的是分子中的原子之间的排列方式呈现出的几何形状，其中分子的键角为60度。

二、正四面体构型的性质1. 对称性：正四面体具有最高的对称性，具有四个等价的顶点和四个等价的面。

2.键角：正四面体构型中，分子的键角固定为60度。

3.稳定性：正四面体构型的分子通常具有较高的稳定性，这种构型使得分子中的电子云分布均匀，有利于分子的稳定性。

4.应用：正四面体结构广泛存在于化学和生物领域，例如硼烷、甲硼烷等分子中均具有正四面体构型。

三、正四面体构型的实现1. 分子中心原子四面体构型的实例以甲硼烷（BH4）- 分子为例，甲硼烷（BH4）-分子由一个硼原子和四个氢原子组成，硼原子和每个氢原子之间的键角均为120度，而整个甲硼烷分子的结构与正四面体构型非常相似。

硼原子位于正四面体的中心，四个氢原子分别位于四个顶点，形成正四面体构型。

2. 键角为60度构型的原子排列对于分子中的原子排列方式，常见的是分子中含有四个相同的原子，它们均位于分子的四个顶点上，形成正四面体构型。

这样的分子中，每个原子之间的键角均为60度，呈现出对称的几何形状。

四、正四面体构型的意义正四面体构型在化学与生物领域中具有重要的意义：1. 理论意义：正四面体构型的研究有助于深化对分子空间结构的理解，加深对分子之间相互作用的认识。

2. 应用价值：正四面体构型的分子在物理、化学、生物等领域具有广泛的应用价值，例如在材料科学中的应用以及对分子性质的研究等。

3. 化学合成：正四面体构型的分子在化学合成中具有一定的指导意义，有助于设计以及合成具有特定性质的分子，具有重要的应用前景。

正四面体相关结论正四面体是一种具有特殊性质的几何图形，它由四个相等的正三角形组成，每个角都是60度。

在正四面体中，有一些重要的结论和性质，这些结论和性质在解决相关的几何问题时非常有用。

1、中心与顶点之间的关系正四面体的中心到四个顶点的距离相等，也就是说，中心是四个顶点所组成的菱形的中心。

这个结论可以用于计算正四面体的半径和中心到顶点的距离。

2、边长与高之间的关系正四面体的边长和高之间有一个重要的关系，即高是边长的2/3。

这个结论可以用于计算正四面体的高，也可以用于解决与正四面体的边长和高有关的问题。

3、体积与半径之间的关系正四面体的体积与半径之间有一个重要的关系，即体积是半径的立方根。

这个结论可以用于计算正四面体的体积，也可以用于解决与正四面体的体积和半径有关的问题。

4、三个两两垂直的平面相交于一点在正四面体中，三个两两垂直的平面相交于一点，这个结论可以用于解决与正四面体的三个两两垂直的平面相交有关的问题。

5、相对的两条边互相垂直在正四面体中，相对的两条边互相垂直，这个结论可以用于解决与正四面体的相对的两条边互相垂直有关的问题。

正四面体的一些重要结论和性质在解决相关的几何问题时非常有用，这些结论和性质可以帮助我们更好地理解和解决正四面体的问题。

正四面体外接球和内切球的半径的求法在几何学中，正四面体是一种具有特殊性质的几何形态。

它由四个相等的正三角形构成，每个面都是一个等边三角形。

这种几何形态在许多领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、工程学等。

在解决实际问题时，我们常常需要找出正四面体的外接球和内切球的半径。

下面将介绍两种求法。

第一种方法是通过几何计算直接求解。

首先，我们需要找到正四面体的中心点。

这个点可以通过连接正四面体的四个顶点并取其中间位置来找到。

一旦找到了中心点，我们就可以通过连接这个点和正四面体的各个顶点，找到外接球的球心。

外接球的半径就是从球心到正四面体顶点的距离。

内切球的半径则是从球心到正四面体四个面的中心的距离。

正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的(1)全面积 S 全2a ； (2)体积3； (3)对棱中点连线段的长d=2a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

) (4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos3(7)外接球半径a ； (8)内切球半径r=12a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V= 16a b c ； ④底面面积S △ABC⑤S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2△BOC +S 2△AOB+S 2△AOC =S2△ABC⑦22221111OH a b c =++;⑧外接球半径⑨内切球半径 r=AOBBOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++四面体的性质探究如果从面的数目上来说，四面体是最简单的多面体。

一．四面体性质ABCDO HA BDCOS 1S 2S 3 S 41．四面体的射影定理：如果设四面体ABCD 的顶点A 在平面BCD 上的射影为O ，△ABC 的面积为S 1，△ADC的面积为S 2，△BCD 的面积为S 3，△ABD 的面积为S 4，二面角A-BC-D 为θ1-3，二面角A-DC-B 为θ2-3，二面角A-BD-C 为θ3-4，二面角C-AB-D 为θ1-4，二面角C-AD-B 为θ2-4，二面角B-AC-D 为θ1-2，则S 1 = S 2cosθ1-2 + S 3cosθ1-3 + S 4cosθ1-4 S 2 = S 1cosθ1-2 + S 3cosθ2-3 + S 4cosθ2-4 S 3 = S 1cosθ1-3 + S 2cosθ2-3 + S 4cosθ3-4 S 4 = S 1cosθ1-4 + S 2cosθ2-4 + S 3cosθ3-42．性质2(类似余弦定理)S 12= S 22+ S 32+S 42- 2S 2S 3 cosθ2-3 - 2S 2S 4 cosθ2-4 - 2S 3S 4 cosθ3-4 S 22= S 12+ S 32+S 42- 2S 1S 3 cosθ1-3 - 2S 1S 4 cosθ1-4 - 2S 3S 4 cosθ3-4 S 32= S 12+ S 22+S 42 - 2S 1S 2 cosθ1-2 - 2S 1S 4 cosθ1-4 - 2S 2S 4 cosθ2-4 S 42= S 12+ S 22+S 32- 2S 1S 2 cosθ1-2 - 2S 1S 3 cosθ1-3 - 2S 2S 3 cosθ2-3特别地，当cosθ1-2 = cosθ1-4 = cosθ2-4 = 0，即二面角C-AB-D 、 C-AD-B 、B-AC-D 均为直二面角（也就是AB 、AC 、BC 两两垂直）时，有S 32= S 12+ S 22+S 42， 证明：S 32= S 3S 1cosθ1-3 + S 3S 2cosθ2-3 + S 3S 4cosθ3-4= S 1 S 3cosθ1-3 + S 2 S 3cosθ2-3 + S 3 S 4cosθ3-4= S 1（S 1 - S 2cosθ1-2 + S 4cosθ1-4）+S 2（S 2 - S 1cosθ1-2 + S 4co sθ2-4）+ S 4（S 4 - S 1cosθ1-4 + S 2cosθ2-4）= S 12+ S 22+S 42- 2S 1S 2 cosθ1-2 - 2S 1S 4 cosθ1-4 - 2S 2S 4 cosθ2-4二．正四面体的性质设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积S 全2a ；(2)体积V=312a ；(3)对棱中点连线段的长 a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

空间几何中的四面体与四面体的性质四面体是空间几何中的一个基本几何体，它由四个面组成，每个面都是一个三角形。

四面体的性质十分有趣，它们在数学和几何中有广泛的应用。

本文将介绍四面体的定义、特征以及一些重要的性质。

一、四面体的定义和构造四面体的定义很简单：它是一个具有四个面的立体，且每个面都是一个三角形。

这四个面彼此相邻，共享边。

通过四个顶点，可以唯一地确定一个四面体。

构造四面体有多种方法，下面介绍两种常见的方法。

1. 顶点法构造：选取空间中的四个点作为四面体的顶点，通过连接这四个点，就可以构造出一个四面体。

2. 剖分法构造：将一个三角形沿着一个内部点作剖分，得到四个小三角形。

这四个小三角形的边即为四面体的边，而原来的三角形则成为四面体的底面。

无论是哪种构造方法，生成的四面体都具有相同的性质和特征。

二、四面体的性质1. 顶点、边、面和体积：一个四面体有四个顶点、六条边、四个面。

其中每个面都是一个三角形，每个顶点都是三条边的交点。

四面体的体积可以通过海伦公式来计算，该公式将四面体的面积和边长联系在一起。

设四面体的底面积为S，底面和顶点的距离为h，则四面体的体积V可以通过如下公式求得：V = (1/3) * S * h。

2. 共面性：四面体的四个顶点不共面，也就是说它们不会在同一个平面上。

这个性质使得四面体与其他几何体有所区别。

3. 高度和正交性：对于任意一个面，可以通过顶点引垂线得到一条高。

同时，四面体的相邻面也满足正交关系，即相交直线互相垂直。

4. 对称轴和中线：四面体具有对称轴和中线。

对称轴是通过两个相对的棱的中点连接而成的直线，它可以将四面体分为两个对称的部分。

中线则是通过两个相对的顶点的中点连接而成的直线。

5. 欧拉公式：对于一个凸四面体，其顶点数、边数和面数满足欧拉公式：顶点数 + 面数 = 边数 + 2。

四、特殊类型的四面体1. 正四面体：四个等边三角形组成的四面体称为正四面体。

正四面体具有以下特点：所有边长相等，任意两条边的夹角为60度，底面上的高相等。

正四面体中的几个性质作者：祁绍锋来源：《中学生数理化·学研版》2014年第01期在立体几何中，正四面体是一种特殊的正三棱锥，它有一些很重要的几何性质.回顾近几年的高考试题，我们可以发现有关正四面体的问题是考查的一个热点.命题者往往以正四面体为载体出题，考查立体几何中有关角和距离的知识点，因此我们很有必要系统地整理出它的几何性质，这样有关正四面体的几何问题就能迎刃而解.我们不妨以棱长是的正四面体为例.如右图1，O为底面BCD的中心，AO⊥底面BCD，AO为正四面A-BCD的高，∠ABO是棱AB与底面BCD所成的角，连结BO延长交CD于点E，则E为CD中点且BE⊥CD，，连结AE，则AE⊥CD，AE为正四面体的斜高，∠AEO 为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角.一、垂直问题（1）对棱互相垂直（如图1中AB⊥CD）简证：因为O是△ABC的中心，所以BE⊥CD，BE是AB在平面BCD内的射影，由三垂线定理可知AB⊥CD.（2）设O1为AO的中点，则BO1、CO1、DO1两两垂直简证：如图2中CO1=DO1= ，而CD= ， CO12+DO12=CD2，故∠CO1D=90°，即CO1⊥DO1，同理可证CO1⊥BO1 ，BO1⊥DO1.所以BO1、CO1、DO1两两垂直.应用举例：如右图，正四面体ABCD的棱长为1，G是底面△ABC的重心，点M在线段DG上，且使得∠AMB=90°，则DM的长为 .略解：由上可知当M为DG的中点时，满足∠AMB=90°，所以DM= .二、距离问题（1）顶点A到底面BCD的距离（正四面体顶点到底面的距离）如图1中AO⊥底面BCD，所以AO为顶点A到底面BCD的距离，AO= = = .应用举例：把半径为1的四个球垒成两层放在桌面上，下层放三个，上层放一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度.分析：四个球的球心构成一个正四面体顶点.解：四个球两两相切，球心组成一个正四面体的顶点，正四面体的棱长为2，此正四面体的高为，所以上层小球最高点离桌面的高度 +2.（2）棱AB与棱CD的距离（正四面体中对棱的距离）如图3中E、F分别为AB与CD的中点，易证EF为AB与CD的公垂线，EF= = = .应用举例：某同学为加强体育组环境管理，订做了半径为2R圆柱形铁筐（既有上盖也有下底），用来盛放半径为R的篮球，则该筐最多可放篮球的个数为（）A 22B 24C 26D 28略解：当如右图所示两球两球交替上叠，相邻四个篮球两两相切，任意相邻四个篮球球心的连线刚好组成一个正四面体，这样能装得最多，若记同一高度的两个篮球为一层，则上层两球心的连线与下层两球心的连线刚好是棱长为2R的正四面体的一组对棱，距离为，假设最多可以叠放n层.那么20R-2R≥ ×（n-1）（n∈N*），n≤9 +1≈13.728；所以最多可放13层，共26个篮球.所以选C.评注：球与球相组合的问题，直观图比较难画，一般可考虑通过画球心代替球，组成一个多面体来解决相关问题.三、空间角问题（1）对棱所成的角（异面直线所成的角）为90°略解：方法一：如右图中G为AC中点，连结FG与EG，则FG=EG= ，又因为EF= ，所以EG2+FG2=EF2，即EG⊥FG， AD与BC所成的角是90°.方法二：∵AD与BC异面垂直，∴AD与BC所成的角是90°.（2）侧棱与底面所成的角（直线与平面所成的角）为 .略解：如图1中∠ABO为棱AB与底面BCD所成的角，∵BO= ×BE= × = ，AB= ，AO⊥BO，∴ = = ， = .（3）两侧面所成的角或侧面与底面所成的角（面与面所成的角）为略解：∵BE⊥CD，AE⊥CD，方法一：如图1中∠AEO为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角，在Rt△AEO 中，EO= BE= AE， = ，所以 = .方法二：如图1中∠AEB为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角，在△ABE 中，AE=BE= ，AB= ， = = ，所以 = .评注：在正四面体中求直线所成角、二面角的时候，通常转化到斜高、斜高在底面的射影与高线或侧棱、侧棱在底面的射影与高线所组成的直角三角形中，将空间图形转化为平面图形，这样求解将会变得比较方便.四、内切球与外接球问题（1）内切球半径 =略解：设一个面的面积为S，内切球球心O1，连结A O1、CO1、DO1，则 = + + +即 =4× S×，因此 = .评注：用等体积法求几何体中内切球半径是一种学生比较容易掌握的方法.（2）外接球半径R=略解：棱长为的正四面体可以补出一个与它有相同外接球的正方体，正四面体的六条棱刚好是正方体六个面的六条面对线，而正方体的外接球半径等于正方体对角线长的一半，设此正方体的棱长为x，则外接球的半径R= x，由图可知 = ，所以R= .应用举例：甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空结构为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是 .若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为（）A B C D略解：先补出以四个氢原子为顶点的正四面体的外接正方体，它们有相同的外接球半径，由题意可知此外接球半径为，任意两个氢原子之间的距离 = = .所以选C.评注：正四面体中与外接球半径有关的问题，我们可以将正四面体补形为正方体，这样解题可以避免复杂的作图过程.。

S
分析：本题若仔细观察已知条件， 易知S-ABC为正四面体。而正四面 体必可补成正方体，显然，EF在正 方体的两底面的中心连线上， B F 与正方体的侧棱SD平行，由 ∠ASD=45°，知选(C).
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E
A C
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课堂练习
2.如图，四面体S-ABC体积为72，连接两面的重 心E、F，则EF的长度是（ ）
E
F
A
C
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课堂小结
同学们都掌握这些性质了吗？ 你还有什么疑问呢？ 在解答问题是你需要注意一些什么问题？
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作业布置
1. 半径为R的球的内接正四面体的体积等于_ __________. 2. 棱长为2的正四面体的体积为____赏！ 再见！
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分析：连接SE、SF延长分别交A B、BC 于G、H，易知 EF= GH= AB，故只需求出正四 面体的棱长即可，本题若直接由 体积求棱长有一定的难度，若根 B 据结论，先把正四面体补成正方 体，则V正方体=3V正四面体=216， 故正方体的棱为6，而正四面体 的棱长为6，所以EF=AB=2.
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S
正四面体的性质
学校： 授课人：
1
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教学目标
1.使学生在理解四面体的基础上掌握正四面 体的性质。 2.培养学生观察、分析、推理、概括的能力。 3.掌握应用正四面体的性质来解决相关问题。
2
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重难点
1.掌握正四面体性质的推理方法。 2.会应用正四面体的性质来解题。
3

(1)全面积 S 全2a ； (2)体积3； (3)对棱中点连线段的长a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)(4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3(7)外接球半径a ； (8)内切球半径a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；③体积 V= 16a b c ；④底面面积S △ABC⑤S 2△BOC=S △BHC ·S △ABC ；⑥S 2△BOC+S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC⑦22221111OH a b c =++; ⑧外接球半径⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++ABCDO H(1)全面积 S 全2a ； (2)体积3； (3)对棱中点连线段的长a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)(4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3(7)外接球半径a ； (8)内切球半径a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；③体积 V= 16a b c ；④底面面积S △ABC⑤S 2△BOC=S △BHC ·S △ABC ；⑥S 2△BOC+S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC⑦22221111OH a b c =++; ⑧外接球半径⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++ABCDO H(1)全面积 S 全2a ； (2)体积3； (3)对棱中点连线段的长a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

正四面体的性质及应用正四面体是立体几何中的基本几何体，它蕴涵着极为丰富的线面的位置、数量关系．在近年来各类考试中，正四面体倍受命题者青睐，命题者常以正四面体中的线面问题为载体，借以考察学生的数学思维能力和思维品质．因此，一线师生在教学过程中，应对这个几何体引起足够的重视．笔者在长期的教学中对正四面体进行了深入研究、潜心挖掘，得出了一些优美、简洁的结论．下面给出正四面体的相关结论，并利用这些结论解决问题，以期能对同学们学习立体几何有所启示．一、理顺正四面体性质——固本清源不妨设正四面体ABCD的棱长为a，则存在着以下定理：定理1．正四面体的3对异面棱均互相垂直，任意一对异面棱之间的距离均为；定理2．正四面体的高为；定理3．正四面体的内切球半径为，外接球半径为，且有；略证：如图1，易知正四面体的外接球心与内切球心重合为点O，并且位于正四面体的高AH上，连结BO、CO、DO，易知，且，从而AO、BO、CO、DO两两所确定的平面将正四面体分割成四个形状相同的正三棱锥：，，且每一个小正三棱锥的高都是内切球的半径，于是有，即，亦即有，所以，．故定理4．正四面体的全面积为，体积为；定理5．正四面体底面内任一点O到三个侧面的距离的之和；正四面体内任意一点到四个侧面的距离之和(仿定理3利用体积分割法易证)．定理6．正四面体的侧棱与其底面所成的线面角大小为；定理7．正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为；略证：设相邻两个侧面所成的角为，由于四个侧面的面积均相等，所以由射影面积公式知．定理8．设正四面体的侧棱与底面所成的角为，相邻两个侧面所成的二面角记为，则有略证：如图1所示，易知，，由H为的中心，易知，从而．定理9．正四面体的外接球的球心与内切球的球心O重合且为正四面体的中心；中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等，其大小为，此角即为化学中甲烷分子结构式中的键位角．略证：如图1，在三角形AOB中，，，由余弦定理可求得，于是．同理可得．定理10．正四面体内接于一正方体，且它们共同内接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线．二、运用正四面体性质——化繁为易1．巧算空间距离例1．一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则求此球的体积．分析一：由定理10知，将正四面体嵌于正方体的内部，然后再利用正四面体的棱与球相切，则该半径与正方体的内切半径相等进行求解．解法一．如图2所示，将正四面体补成正方体，易知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球．∵正四面体的棱长为a，∴正方体的棱长为．∴正方体的内切球半径．∴．分析二：根据正四面体的对称性，结合定理1可知，该球的球心应位于正四面体的中心，其直径即为正四面体相对棱之间的距离．解法二．∵正四面体的棱长为a，∴由定理1可知，相对棱间的距离为．即该球的半径为．∴．例2．在棱长为2的正四面体木块ABCD的棱AB上有一点P（），过P点要锯出与棱AB垂直的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD上锯痕，在面ABC上的锯缝，求锯缝MN的值．解：如图3，取AB的中点E，连结CE，DE，则为正四面体相邻两面的二面角的平面角，由条件知∠MPN也是正四体相邻两面的二面角的平面角，即∠NPM＝∠CED，由定理7可知，于是，在中，由余弦定理得，∴2．妙求空间角例3．设P为空间一点，PA、PB、PC、PD是四条射线，若PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，则这些角的余弦值为．解：如图4，构造正四面体ABCD，设P为四面体的中心，则PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，设，由正四面体的性质，可知余弦值为例4．如图5，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连结AF、CE．⑴求异面直线直线AF和CE所成的角；⑵求CE与面BCD所成的角．解：⑴连结FD，在平面AFD内，过点E作EG∥AF交DF于点G．则是异面直线AF与CE所成的角（或其补角）．设正四面体ABCD的棱长为a，可得，，．由余弦定理可求得．故异面直线AF与CE所成的角为．⑵由已知易知平面AFD⊥平面BCD，在平面AFD内，过点E作EH⊥FD于点H，连结CH，则∠ECH为CE与平面BCD所成的角．∵EH为正四面体高的一半，由正四面体性质的定理2知．∴．∴CE与底面BCD所成的角为．例5．如图6，正四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，CC1和DD1是该球的直径，求面ABC与面AC1D1所成角的正弦值．解：由正四面体性质定理10知正四面体内接于一球，该正方体也内接于此球，且正方体的对角线为此球的直径，如图所示，即CC 1、DD 1为该球的直径．连结C 1D 1，交AB 于点M ，连结MC ．∵ MC ⊥AB ，MD 1⊥AB ，∴ ∠CMD 1为平面ABC 与平面AC 1D 1所成的角．设正方体棱长为a ，在中，．∴ 平面ABC 与平面ACD 所成的角的正弦值为．归纳反思：正四面体是立体几何中一个重要的数学问题载体，在平时的学习过程中若能有意识地研究它、利用它，就能较好地培养我们数学思维的“方向感”和思路的“归属感”，有助于促进自己数学思维空间的拓展、数学品质的提升．1.在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中不P ABC -D E F AB BC CA成立的是　②　．①面；//BC PDF ②面面；PDF ⊥ABC ③面；DF ⊥PAE ④面面．PAE ⊥ABC2.正四面体中，与平面ABCD AB ACD3.如图，正四面体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则的值ABCD E F AD BC EF BA为 ()A ．4B ．C ．D ．24-2-选：．C 4.以下说法①三个数，，之间的大小关系是；20.3a =2log 0.3b =0.32c =b a c <<②已知：指数函数过点，则；()(0,1)x f x a a a =>≠(2,4)log 41a y =③；3④已知函数的值域是，，则的值域是，；()y f x =[13]()(1)F x f x =-[02]⑤已知直线平面，直线在内，则与平行．//m αn αm n 其中正确的序号是　①③　．5.在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为 A BCD -M AB CM AD ()A ．BCD ．1223选：．C 6.在正四面体中，、分别为棱、的中点，连接、，则异面直线ABCD E F AD BC AF CE 和所成角的正弦值为 AF CE ()A ．B ．CD 1323选：．D【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．本题易错点在于要看清是求异面直线和所成角的正弦值，而不是余弦值，不要错选答AF CE 案．B 7.如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，A BCD -E AD P AC BP PE +，则该正四面体的外接球的体积是 ()A B ．C D ．6π32π选：．A 8.棱长为1的正四面体中，为棱上一点（不含，两点），点到平面ABCD E AB A B E ACD和平面的距离分别为，，则的最小值为　BCD a b 11a b+【考点】：基本不等式及其应用7F 【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：不等式5F 5T 【分析】设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交O ACD OB EF AO ⊥F AO CD于点，则点为的中点．设．，，M M CD (01)AE AB λλ=<<23AO AM =AM =．由，可得．同理可得：BO =//EF BO EF BO a λ===．代入利用基本不等式的性质即可得出．)b EN λ==-【解答】解：如图所示，设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点O ACD OB EF AO ⊥F AO CD ，则点为的中点．M M CD 设．(01)AE AB λλ=<<2233AO AM ===BO ∴==，//EF BO．EF BO a λ∴===同理可得：．)b EN λ==-当且仅当时取等号．∴2111111()11(1)()2a b λλλλλλ+=+==+---…12λ=故答案为：9.已知是正四面体棱的中点，是棱上异于端点，的任一点，则下列M ABCD AB N CD C D 结论中，正确的个数有 ()（1）；（2）若为中点，则与所成角为；MN AB ⊥N MN AD 45︒（3）平面平面；（4）存在点，使得过的平面与垂直．CDM ⊥ABN N MN AC A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】：异面直线及其所成的角；：空间中直线与直线之间的位置关系；：LM LO LW 直线与平面垂直；：平面与平面垂直LY 【专题】14：证明题【分析】连接、，可证明出平面，从而，得（1）正确；取CM DM AB ⊥CDM MN AB ⊥AC 中点，连接、，利用三角形中位线定理证明出、所成的直角或锐角，E EM EN EN NM 就是异面直线、所成的角，再通过余弦定理，可以求出与所成角为MN AD MN AD ，故（2）正确；根据（1）的正确结论：，结合平面与平面垂直的判定定45︒MN AB ⊥理，得到（3）正确；对于（4），若存在点，使得过的平面与垂直，说明存在N MN AC 的一个位置，使．因此证明出“不论在线段上的何处，都不可能有N MN AC ⊥N CD ”，从而说明不存在点，使得过的平面与垂直．MN AC ⊥N MN AC 【解答】解：（1）连接、CM DM正中，为的中点ABC ∆M AB CM AB∴⊥同理，结合DM AB ⊥MC M D M= 平面，而平面AB ∴⊥CDM MN ⊆CDM，故（1）是正确的；MN AB ∴⊥（2）取中点，连接、AC E EM EN中，、分别是、的中点ADC ∆ E N AC CD ，．//EN AD ∴12EN AD =、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角EN ∴NM MN AD设正四面体棱长为，在中，2a MCD ∆2CM DM a ===则中Rt MNC ∆122CN a a =⨯=∴MN ==在中，MNE ∆122ME EN a a ==⨯=∴222cos 2EN MN EM ENM EN MN +-∠==⨯⨯，即异面直线、所成的角是，故（2）正确；45ENM ∴∠=︒MN AD 45︒（3）由（1）的证明知：平面AB ⊥CDM平面AB ⊂ ABN平面平面，故（3）正确；∴ABN ⊥CDM （4）若有，根据（1）的结论，MN AC ⊥MN AB ⊥因为、相交于点，所以平面AB AC A MN ⊥ABC中，，MCD ∆ CM MD ==2CD a =2221cos 023CM MD CD CMD CM MD +-∴∠==> 可得是锐角，说明点在线段上从到运动过程中，CMD ∠N CD C D 的最大值是锐角，不可能是直角，CMN ∠因为平面，与不能垂直，CM ⊂ABC CM NM 以上结论与平面矛盾，MN ⊥ABC 故不论在线段上的何处，都不可能有．N CD MN AC ⊥因此不存在点，使得过的平面与垂直．N MN AC 综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）故选：．C 10.棱长为的正四面体中，给出下列命题：a ①正四面体的体积为；324a V =②正四面体的表面积为；2S =③内切球与外接球的表面积的比为；1:9④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值．上述命题中真命题的序号为　②③④　．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；：棱柱、棱锥、棱台的体积LE LF 【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离5F【分析】①正四面体的高，体积为，计算即h ==213V =可判断出正误；②正四面体的表面积为，即可判断出正误；24S a =③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；r R 23143r ⨯=r，解得，即可判断出正误；R =R ④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则H，化简即可判断出正误．221133H ⨯=【解答】解：①正四面体的高，体积为h ==，因此不正确；3231324a V ==≠②正四面体的表面积为，正确；224S a ==③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；r R 23143r ⨯=r =，解得．R =R =，因此表面积的比为，正确；:1:3r R ∴=1:9④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则H，化简可得：，即为正四面体的高，221133H ⨯=H =均为定值，正确．上述命题中真命题的序号为②③④．。

正三棱锥、正四⾯体、直⾓四⾯体的性质正三棱锥性质1．底⾯是正三⾓形。

2．侧⾯是三个全等的等腰三⾓形。

3．顶点在底⾯的射影是底⾯三⾓形的中⼼（也是重⼼、垂⼼、外⼼、内⼼）。

4．⼤⽤处的四个直⾓三⾓形（见图）。

（1）斜⾼、侧棱、底边的⼀半构成的直⾓三⾓形；（含侧棱与底边夹⾓）（2）⾼、斜⾼、斜⾼射影构成的直⾓三⾓形；（含侧⾯与底⾯夹⾓）（3）⾼、侧棱、侧棱射影构成的直⾓三⾓形；（含侧棱与底⾯夹⾓）（4）斜⾼射影、侧棱射影、底边的⼀半构成的直⾓三⾓形。

说明：上述直⾓三⾓形集中了正三棱锥⼏乎所有元素。

在正三棱锥计算题中，常常取上述直⾓三⾓形。

其实质是，不仅使空间问题平⾯化，⽽且使平⾯问题三⾓化，还使已知元素与未知元素集中于⼀个直⾓三⾓形中，利于解出。

正四⾯体的性质正四⾯体的性质：设正四⾯体的棱长为a，则这个正四⾯体的(1)全⾯积 S全2 a；(2)体积3；(3)对棱中点连线段的长a；(此线段为对棱的距离，若⼀个球与正四⾯体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)(4)相邻两⾯所成的⼆⾯⾓α=1 arccos3(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底⾯所成的⾓为β=1 arccos3(7)外接球半径a；(8)内切球半径a.(9)正四⾯体内任意⼀点到四个⾯的距离之和为定值(等于正四⾯体的⾼).1、侧⾯⾼为（a√3)/2 ，⾼为（a√6）/32、内切球半径（a√6）/12，外接球半径（a√6）/4，内切球半径+外接球半径=⾼3、与棱相切的球半径（a√2）/4有⼀个三⾯⾓的各个⾯⾓都是直⾓的四⾯体叫做直⾓四⾯体.如图，在直⾓四⾯体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则①不含直⾓的底⾯ABC 是锐⾓三⾓形；②直⾓顶点O 在底⾯上的射影H 是△ABC 的垂⼼；③体积 V= 16a b c ；④底⾯⾯积S △ABC⑤S2△BOC =S △BHC ·S △ABC ；⑥S2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC ⑦ 22221111OH a b c =++; ⑧外接球半径⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c++-++ 正四⾯体的性质：设正四⾯体的棱长为a ，则这个正四⾯体的(1)全⾯积 S 全2a ；(2)体积3； (3)对棱中点连线段的长a ；(此线段为对棱的距离，若⼀个球与正四⾯体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

正四面体是什么
正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。

它有4个面，6条棱，4个顶点。

正四面体是最简单的正多面体。

正四面体是五种正多面体中的一种，有4个正三角形的面，4个顶点，6条棱。

正四面体不同于其它四种正多面体，它没有对称中心。

正四面体有六个对称面，其中每一个都通过其一条棱和与这条棱相对的棱的中点。

正四面体很容易由正方体得到，只要从正方体一个顶点A引三个面的对角线AB，AC，AD，并两点两点连结之即可。

正四面体和一般四面体一样，根据保利克-施瓦兹定理能够用空间四边形及其对角线表示。

正四面体的对偶是其自身。

正四面体的性质
1.正四面体的每一个面是正三角形，反之亦然。

2.正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体。

3.正四面体是两组对棱垂直的等面四面体。

4.正四面体的各棱的中点是正八面体的六顶点。

5.正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，或等于四面体高线的一半。