高考数学必背经典结论-正四面体性质

正四面体常用结论
正四面体是一种具有四个等边三角形的三维几何体，其常用结论包括以下几个方面。

1. 正四面体的性质
正四面体的四个面都是等边三角形，四个顶点相互连通，其中每个顶点都是三个面的公共点，每条边都是两个面的公共边。

正四面体的底面中心、顶点以及每个面的重心三点共线，且共线比为1:3。

正四面体的每个内角都是70.53度，每个外角为109.47度。

2. 正四面体的体积公式
正四面体的体积公式为V=√2/12a³，其中a为正四面体的棱长。

这个公式可以通过正四面体的高度和底面积来推导得到，也可以通过计算四个棱锥的体积并相加得到。

3. 正四面体的表面积公式
正四面体的表面积公式为S=√3a²，其中a为正四面体的棱长。

这个公式可以通过将正四面体分解成四个等腰三角形和一个正三角形来推导得到。

4. 正四面体的对称性
正四面体具有旋转对称性和镜像对称性。

它有6个旋转对称轴，分
别为通过两个相邻顶点的轴，以及通过中心垂直于某个面的轴。

它也有6个镜像对称面，分别为通过两个相邻顶点和中心的面，以及通过棱中点和面中心的面。

5. 正四面体的嵌入
正四面体可以嵌入到三维空间中的不同形状中。

其中最著名的是嵌入到八面体中，也就是四面体与另外一个四面体共享一个顶点，中心分别连接形成六个正方形。

正四面体作为一种基本几何体，具有独特的性质和应用。

掌握正四面体的常用结论，可以帮助我们更好地理解三维几何空间中的形状和应用。

正四面体的性质及应用正四面体是立体几何中的基本几何体，它蕴涵着极为丰富的线面的位置、数量关系．在近年来各类考试中，正四面体倍受命题者青睐，命题者常以正四面体中的线面问题为载体，借以考察学生的数学思维能力和思维品质．因此，一线师生在教学过程中，应对这个几何体引起足够的重视．笔者在长期的教学中对正四面体进行了深入研究、潜心挖掘，得出了一些优美、简洁的结论．下面给出正四面体的相关结论，并利用这些结论解决问题，以期能对同学们学习立体几何有所启示．一、理顺正四面体性质——固本清源不妨设正四面体ABCD的棱长为a，则存在着以下定理：定理1．正四面体的3对异面棱均互相垂直，任意一对异面棱之间的距离均为；定理2．正四面体的高为；定理3．正四面体的切球半径为，外接球半径为，且有；略证：如图1，易知正四面体的外接球心与切球心重合为点O，并且位于正四面体的高AH上，连结BO、CO、DO，易知，且，从而AO、BO、CO、DO两两所确定的平面将正四面体分割成四个形状相同的正三棱锥：，，且每一个小正三棱锥的高都是切球的半径，于是有，即，亦即有，所以，．故定理4．正四面体的全面积为，体积为；定理5．正四面体底面任一点O到三个侧面的距离的之和；正四面体任意一点到四个侧面的距离之和(仿定理3利用体积分割法易证)．定理6．正四面体的侧棱与其底面所成的线面角大小为；定理7．正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为；略证：设相邻两个侧面所成的角为，由于四个侧面的面积均相等，所以由射影面积公式知．定理8．设正四面体的侧棱与底面所成的角为，相邻两个侧面所成的二面角记为，则有略证：如图1所示，易知，，由H为的中心，易知，从而．定理9．正四面体的外接球的球心与切球的球心O重合且为正四面体的中心；中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等，其大小为，此角即为化学中甲烷分子结构式中的键位角．略证：如图1，在三角形AOB中，，，由余弦定理可求得，于是．同理可得．定理10．正四面体接于一正方体，且它们共同接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线．二、运用正四面体性质——化繁为易1．巧算空间距离例1．一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则求此球的体积．分析一：由定理10知，将正四面体嵌于正方体的部，然后再利用正四面体的棱与球相切，则该半径与正方体的切半径相等进行求解．解法一．如图2所示，将正四面体补成正方体，易知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的切球．∵正四面体的棱长为a，∴正方体的棱长为．∴正方体的切球半径．∴．分析二：根据正四面体的对称性，结合定理1可知，该球的球心应位于正四面体的中心，其直径即为正四面体相对棱之间的距离．解法二．∵正四面体的棱长为a，∴由定理1可知，相对棱间的距离为．即该球的半径为．∴．例2．在棱长为2的正四面体木块ABCD的棱AB上有一点P（），过P点要锯出与棱AB垂直的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD上锯痕，在面ABC上的锯缝，求锯缝MN的值．解：如图3，取AB的中点E，连结CE，DE，则为正四面体相邻两面的二面角的平面角，由条件知∠MPN也是正四体相邻两面的二面角的平面角，即∠NPM＝∠CED，由定理7可知，于是，在中，由余弦定理得，∴2．妙求空间角例3．设P为空间一点，PA、PB、PC、PD是四条射线，若PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，则这些角的余弦值为．解：如图4，构造正四面体ABCD，设P为四面体的中心，则PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，设，由正四面体的性质，可知余弦值为例4．如图5，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连结AF、CE．⑴求异面直线直线AF和CE所成的角；⑵求CE与面BCD所成的角．解：⑴连结FD，在平面AFD，过点E作EG∥AF交DF于点G．则是异面直线AF与CE所成的角（或其补角）．设正四面体ABCD的棱长为a，可得，，．由余弦定理可求得．故异面直线AF与CE所成的角为．⑵由已知易知平面AFD⊥平面BCD，在平面AFD，过点E作EH⊥FD于点H，连结CH，则∠ECH为CE与平面BCD所成的角．∵EH为正四面体高的一半，由正四面体性质的定理2知．∴．∴CE与底面BCD所成的角为．例5．如图6，正四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，CC1和DD1是该球的直径，求面ABC与面AC1D1所成角的正弦值．解：由正四面体性质定理10知正四面体接于一球，该正方体也接于此球，且正方体的对角线为此球的直径，如图所示，即CC1、DD1为该球的直径．连结C1D1，交AB于点M，连结MC．∵MC⊥AB，MD1⊥AB，∴∠CMD1为平面ABC与平面AC1D1所成的角．设正方体棱长为a，在中，．∴平面ABC与平面ACD所成的角的正弦值为．归纳反思：正四面体是立体几何中一个重要的数学问题载体，在平时的学习过程中若能有意识地研究它、利用它，就能较好地培养我们数学思维的“方向感”和思路的“归属感”，有助于促进自己数学思维空间的拓展、数学品质的提升．1.在正四面体P ABC-中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是②．①//BC面PDF；②面PDF⊥面ABC；③DF⊥面PAE；④面PAE⊥面ABC．2.正四面体ABCD中，AB与平面ACD所成角的余弦值为3．3.如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则EF BA的值为()A．4B．4-C．2-D．24.以下说法 ①三个数20.3a =，2log 0.3b =，0.32c =之间的大小关系是b a c <<；②已知：指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠过点(2,4)，则log 41a y =；③已知正四面体的边长为2cm ，则其外接球的体积为33cm π； ④已知函数()y f x =的值域是[1，3]，则()(1)F x f x =-的值域是[0，2]；⑤已知直线//m 平面α，直线n 在α，则m 与n 平行．其中正确的序号是①③．5.在正四面体A BCD -中，M 为AB 的中点，则直线CM 与AD 所成角的余弦值为()A ．12B ．2C ．3D ．23选：C ．6.在正四面体ABCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，连接AF 、CE ，则异面直线AF 和CE 所成角的正弦值为()A ．13B ．23C ．24D ．5 选：D ．【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．本题易错点在于要看清是求异面直线AF 和CE 所成角的正弦值，而不是余弦值，不要错选答7.如图所示，在正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是()A 6πB ．6πC 36D ．32π 选：A ．8.棱长为1的正四面体ABCD 中，E 为棱AB 上一点（不含A ，B 两点），点E 到平面ACD 和平面BCD 的距离分别为a ，b ，则11a b +的最小值为6 【考点】7F ：基本不等式及其应用【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F ：空间位置关系与距离；5T ：不等式【分析】设点O 是正三角形ACD 的中心，连接OB ，作EF AO ⊥，垂足为点F ．AO 交CD 于点M ，则点M 为CD 的中点．设(01)AE AB λλ=<<．23AO AM =，3AM ，22BO AB AO =-．由//EF BO ，可得6EF BO a λ===．同理可得：6)b EN λ=-．代入利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：如图所示，设点O 是正三角形ACD 的中心，连接OB ，作EF AO ⊥，垂足为点F ．AO 交CD 于点M ，则点M 为CD 的中点．设(01)AE AB λλ=<<．223333AO AM ===， 226BO AB AO ∴=- //EF BO ，6EF BO a λ∴===． 同理可得：6)b EN λ==-．∴21111161()11(1)()2a b λλλλλλ+=+=⨯=+---当且仅当12λ=时取等号．故答案为：9.已知M 是正四面体ABCD 棱AB 的中点，N 是棱CD 上异于端点C ，D 的任一点，则下列结论中，正确的个数有()（1）MN AB ⊥；（2）若N 为中点，则MN 与AD 所成角为45︒；（3）平面CDM ⊥平面ABN ；（4）存在点N ，使得过MN 的平面与AC 垂直．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】LM ：异面直线及其所成的角；LO ：空间中直线与直线之间的位置关系；LW ：直线与平面垂直；LY ：平面与平面垂直【专题】14：证明题【分析】连接CM 、DM ，可证明出AB ⊥平面CDM ，从而MN AB ⊥，得（1）正确；取AC 中点E ，连接EM 、EN ，利用三角形中位线定理证明出EN 、NM 所成的直角或锐角，就是异面直线MN 、AD 所成的角，再通过余弦定理，可以求出MN 与AD 所成角为45︒，故（2）正确；根据（1）的正确结论：MN AB ⊥，结合平面与平面垂直的判定定理，得到（3）正确；对于（4），若存在点N ，使得过MN 的平面与AC 垂直，说明存在N 的一个位置，使MN AC ⊥．因此证明出“不论N 在线段CD 上的何处，都不可能有MN AC ⊥”，从而说明不存在点N ，使得过MN 的平面与AC 垂直．【解答】解：（1）连接CM 、DM正ABC ∆中，M 为AB 的中点CM AB ∴⊥同理DM AB ⊥，结合MC M D M =AB ∴⊥平面CDM ，而MN ⊆平面CDMMN AB ∴⊥，故（1）是正确的；（2）取AC 中点E ，连接EM 、ENADC ∆中，E 、N 分别是AC 、CD 的中点//EN AD ∴，12EN AD =． EN ∴、NM 所成的直角或锐角，就是异面直线MN 、AD 所成的角设正四面体棱长为2a ，在MCD ∆中，2CM DM a === 则Rt MNC ∆中122CN a a =⨯=∴MN = 在MNE ∆中，122ME EN a a ==⨯=∴222cos 2EN MN EM ENM EN MN +-∠==⨯⨯ 45ENM ∴∠=︒，即异面直线MN 、AD 所成的角是45︒，故（2）正确；（3）由（1）的证明知：AB ⊥平面CDMAB ⊂平面ABN∴平面ABN ⊥平面CDM ，故（3）正确；（4）若有MN AC ⊥，根据（1）的结论MN AB ⊥，因为AB 、AC 相交于A 点，所以MN ⊥平面ABCMCD ∆中，CM MD ==，2CD a =2221cos 023CM MD CD CMD CM MD +-∴∠==> 可得CMD ∠是锐角，说明点N 在线段CD 上从C 到D 运动过程中， CMN ∠的最大值是锐角，不可能是直角，因为CM ⊂平面ABC ，CM 与NM 不能垂直，以上结论与MN ⊥平面ABC 矛盾，故不论N 在线段CD 上的何处，都不可能有MN AC ⊥．因此不存在点N ，使得过MN 的平面与AC 垂直．综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）故选：C ．10.棱长为a 的正四面体中，给出下列命题：①正四面体的体积为324a V =；②正四面体的表面积为2S ；③切球与外接球的表面积的比为1:9；④正四面体的任意一点到四个面的距离之和均为定值．上述命题中真命题的序号为②③④．【考点】LE ：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F ：空间位置关系与距离【分析】①正四面体的高h ==，体积为213V =，计算即可判断出正误；②正四面体的表面积为24S a =，即可判断出正误；③分别设切球与外接球的半径为r ，R ，则23143r ⨯，解得r ；R +=，解得R ，即可判断出正误； ④正四面体的任意一点到四个面的距离之和为H，则221133H ⨯=【解答】解：①正四面体的高h =，体积为3231324a V ==≠，因此不正确；②正四面体的表面积为224S a =，正确；③分别设切球与外接球的半径为r ，R ，则2314312r ⨯=，解得r =；R +=，解得R ． :1:3r R ∴=，因此表面积的比为1:9，正确；④正四面体的任意一点到四个面的距离之和为H ，则221133H ⨯=化简可得：H =，即为正四面体的高，均为定值，正确．上述命题中真命题的序号为②③④．。

正四面体中的两个重要结论作者：胡彬来源：《新高考·高二语数外》2008年第11期（空间）向量是研究（立体）几何问题的一种非常有效的工具.从向量的角度去看几何问题,往往会使问题简单化、具体化，且能把本来很抽象的问题（位置关系）转化为具体（代数运算）的问题.学习立体几何知识时，除了正方体外，正四面体也是一个值得关注的模型.下面我们用向量的方法来论证关于正四面体的两个重要结论.结论1正四面体的四条高线相交于一点(中心),且该交点分每一条高线的比是3∶1.图1如图1,正四面体ABCD.作高线AH,垂足为H（H为正△BCD的中心）.在AH上取一点M1,满足|AM1|∶|M1H|=3∶1.设O是空间中的任一点.因为OM1=OA+34AH=OA+34(OH-OA)=14OA+34OH，又OH=13（OB+OC+OD+BH+CH+DH）=13(OB+OC+OD),所以OM1=14OA+34·13(OB+OC+OD)=14(OA+OB+OC+OD).对于该四面体的其他高线,完全类似地取点M2,M3,M4,则有OM2=OM3=OM4=14(OA+OB+OC+OD).所以M1,M2，M3，M4重合,称该重合点为该正四面体的中心,显然中心分每一条高线的比是3∶1.结论2正四面体的中心与各顶点的连线两两所成的角相等且为定值.图2如图2,正四面体DABC.设其棱长为a,中心为S，OD为高线,O为垂足,作轴Ox∥BC.以O为原点，Ox,OA,OD分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,易求得A0，33a,0,S0,0,612a,D0,0,63a.所以SA=0,33a,-612a,SD=0,0,64a.故cos∠ASD=SA·SD|SA||SD|=-13.于是∠ASD=π-arccos13,为定值.同理，∠ASB＝∠ASC=∠BSC=∠BSD=∠CSD=π-arccos13.巩固练习1. 正四面体ABCD的棱长为1,E,F分别为AD和BC中点,求异面直线AF和CE所成的角.2. 正四面体ABCD的棱长为1,E为AD的中点.求CE与底面BCD所成的角.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

正四面体常用性质：1、正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。

它有4个面，6条棱，4个顶点。

正四面体是最简单的正多面体。

2、正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形就可以，不需要四个面全等且都是等边三角形。

因此，正四面体是特殊的正三棱锥。

3、基本性质：正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶。

正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。

正四面体的对边相互垂直。

正四面体的对棱相等。

正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值63a。

4、相关数据当正四面体的棱长为a时，一些数据如下：高：63a。

（中心把高分为1:3两部分} 表面积：23a体积：3212a外接球半径：64a，内切球半径：612a，棱切球半径：24a对棱中点的连线段的长：22a，两邻面夹角满足1cos3α=。

若将正四面体放进一个正方体内，则该正方体棱长为22a，其实，正四面体的棱切球即为次正方体的内切球。

5、建系方法1.设有一正四面体D-ABC棱长为a以AB边为y轴A为顶点ABC所属平面为xOy面建系四个顶点的坐标依次为其他性质：正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处。

正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。

正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。

正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。

内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。

两条高夹角：2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。

这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度.侧棱与底面的夹角：ArcCos(√3/3)正四面体的对棱相等。

正四面体公式
正四面体是一种四面均等的三维多面体，它的每一个面都是一个正三角形，每一个顶点都共分布着三条棱。

正四面体经常出现在数学、物理和化学等学科的研究中，因此掌握正四面体的基本公式和性质非常重要。

下面是正四面体的一些基本公式：
1. 正四面体的体积公式
正四面体的体积可以通过以下公式计算：
V = (a^3) / (6√2)
其中，V表示正四面体的体积，a表示正四面体的棱长。

2. 正四面体的表面积公式
正四面体的表面积可以通过以下公式计算：
S = √3(a^2)
其中，S表示正四面体的表面积，a表示正四面体的棱长。

3. 正四面体的外接球半径公式
正四面体的外接球半径可以通过以下公式计算：
R = a / (√3)
其中，R表示正四面体的外接球半径，a表示正四面体的棱长。

4. 正四面体的内接球半径公式
正四面体的内接球半径可以通过以下公式计算：
r = (a√2) / 12
其中，r表示正四面体的内接球半径，a表示正四面体的棱长。

5. 正四面体的重心公式
正四面体的重心位于四个顶点和四个面的重心的平面交点处，其坐标可以通过以下公式计算：
G = (a / 4)(1, 1, 1)
其中，G表示正四面体的重心坐标，a表示正四面体的棱长。

总结：
正四面体是一种常见的三维多面体，掌握它的基本公式和性质对于数学、物理和化学等学科的研究具有非常重要的作用。

正四面体的基本公式包括：体积公式、表面积公式、外接球半径公式、内接球半径公式和重心公式。

正四面体相关结论正四面体是一种具有特殊性质的几何图形，它由四个相等的正三角形组成，每个角都是60度。

在正四面体中，有一些重要的结论和性质，这些结论和性质在解决相关的几何问题时非常有用。

1、中心与顶点之间的关系正四面体的中心到四个顶点的距离相等，也就是说，中心是四个顶点所组成的菱形的中心。

这个结论可以用于计算正四面体的半径和中心到顶点的距离。

2、边长与高之间的关系正四面体的边长和高之间有一个重要的关系，即高是边长的2/3。

这个结论可以用于计算正四面体的高，也可以用于解决与正四面体的边长和高有关的问题。

3、体积与半径之间的关系正四面体的体积与半径之间有一个重要的关系，即体积是半径的立方根。

这个结论可以用于计算正四面体的体积，也可以用于解决与正四面体的体积和半径有关的问题。

4、三个两两垂直的平面相交于一点在正四面体中，三个两两垂直的平面相交于一点，这个结论可以用于解决与正四面体的三个两两垂直的平面相交有关的问题。

5、相对的两条边互相垂直在正四面体中，相对的两条边互相垂直，这个结论可以用于解决与正四面体的相对的两条边互相垂直有关的问题。

正四面体的一些重要结论和性质在解决相关的几何问题时非常有用，这些结论和性质可以帮助我们更好地理解和解决正四面体的问题。

正四面体外接球和内切球的半径的求法在几何学中，正四面体是一种具有特殊性质的几何形态。

它由四个相等的正三角形构成，每个面都是一个等边三角形。

这种几何形态在许多领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、工程学等。

在解决实际问题时，我们常常需要找出正四面体的外接球和内切球的半径。

下面将介绍两种求法。

第一种方法是通过几何计算直接求解。

首先，我们需要找到正四面体的中心点。

这个点可以通过连接正四面体的四个顶点并取其中间位置来找到。

一旦找到了中心点，我们就可以通过连接这个点和正四面体的各个顶点，找到外接球的球心。

外接球的半径就是从球心到正四面体顶点的距离。

内切球的半径则是从球心到正四面体四个面的中心的距离。

正四面体的性质：设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积S全= 2a；(2)体积V=312a；(3)对棱中点连线段的长d=2a；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)(4)相邻两面所成的二面角α=1 arccos3(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1 arccos3(7)外接球半径R= a；(8)内切球半径r=12a.(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c.则①不含直角的底面ABC是锐角三角形；②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；③体积V= 16a b c；④底面面积S△ABC⑤S2△BOC=S△BHC·S△ABC；ABCDOH⑥S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC ⑦22221111OH a b c=++; ⑧外接球半径R=⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的(1)全面积 S 全= 2a ； (2)体积V=312a ； (3)对棱中点连线段的长d=a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)(4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3(7)外接球半径R=4a ； (8)内切球半径r=a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；AOH②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；③体积 V=16a b c ；④底面面积S △ABC⑤S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC ⑦22221111OH a b c=++;⑧外接球半径 R=⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的(1)全面积 S 全= 2a ；(2)体积 V=312a ；(3)对棱中点连线段的长 d=2a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的(1)全面积 S 全2a ； (2)体积3； (3)对棱中点连线段的长d=2a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

) (4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos3(7)外接球半径a ； (8)内切球半径r=12a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V= 16a b c ； ④底面面积S △ABC⑤S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2△BOC +S 2△AOB+S 2△AOC =S2△ABC⑦22221111OH a b c =++;⑧外接球半径⑨内切球半径 r=AOBBOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++四面体的性质探究如果从面的数目上来说，四面体是最简单的多面体。

一．四面体性质ABCDO HA BDCOS 1S 2S 3 S 41．四面体的射影定理：如果设四面体ABCD 的顶点A 在平面BCD 上的射影为O ，△ABC 的面积为S 1，△ADC的面积为S 2，△BCD 的面积为S 3，△ABD 的面积为S 4，二面角A-BC-D 为θ1-3，二面角A-DC-B 为θ2-3，二面角A-BD-C 为θ3-4，二面角C-AB-D 为θ1-4，二面角C-AD-B 为θ2-4，二面角B-AC-D 为θ1-2，则S 1 = S 2cosθ1-2 + S 3cosθ1-3 + S 4cosθ1-4 S 2 = S 1cosθ1-2 + S 3cosθ2-3 + S 4cosθ2-4 S 3 = S 1cosθ1-3 + S 2cosθ2-3 + S 4cosθ3-4 S 4 = S 1cosθ1-4 + S 2cosθ2-4 + S 3cosθ3-42．性质2(类似余弦定理)S 12= S 22+ S 32+S 42- 2S 2S 3 cosθ2-3 - 2S 2S 4 cosθ2-4 - 2S 3S 4 cosθ3-4 S 22= S 12+ S 32+S 42- 2S 1S 3 cosθ1-3 - 2S 1S 4 cosθ1-4 - 2S 3S 4 cosθ3-4 S 32= S 12+ S 22+S 42 - 2S 1S 2 cosθ1-2 - 2S 1S 4 cosθ1-4 - 2S 2S 4 cosθ2-4 S 42= S 12+ S 22+S 32- 2S 1S 2 cosθ1-2 - 2S 1S 3 cosθ1-3 - 2S 2S 3 cosθ2-3特别地，当cosθ1-2 = cosθ1-4 = cosθ2-4 = 0，即二面角C-AB-D 、 C-AD-B 、B-AC-D 均为直二面角（也就是AB 、AC 、BC 两两垂直）时，有S 32= S 12+ S 22+S 42， 证明：S 32= S 3S 1cosθ1-3 + S 3S 2cosθ2-3 + S 3S 4cosθ3-4= S 1 S 3cosθ1-3 + S 2 S 3cosθ2-3 + S 3 S 4cosθ3-4= S 1（S 1 - S 2cosθ1-2 + S 4cosθ1-4）+S 2（S 2 - S 1cosθ1-2 + S 4co sθ2-4）+ S 4（S 4 - S 1cosθ1-4 + S 2cosθ2-4）= S 12+ S 22+S 42- 2S 1S 2 cosθ1-2 - 2S 1S 4 cosθ1-4 - 2S 2S 4 cosθ2-4二．正四面体的性质设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积S 全2a ；(2)体积V=312a ；(3)对棱中点连线段的长 a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

正四面体的性质：设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积S全= 2a；(2)体积V=312a；(3)对棱中点连线段的长d= a；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)(4)相邻两面所成的二面角α=1arccos3(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos3(7)外接球半径R=4a；(8)内切球半径r=12a.(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c.则①不含直角的底面ABC是锐角三角形；②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；③体积V= 16a b c；④底面面积S△ABC⑤S2△BOC=S△BHC·S△ABC；ABCDOH⑥S 2△BOC+S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC⑦22221111OH a b c=++; ⑧外接球半径 R=⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的(1)全面积 S 全= 2a ；(2)体积 3a ； (3)对棱中点连线段的长 d=a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)(4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3(7)外接球半径 R=4a ； (8)内切球半径 r=a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；AO H②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；③体积 V=16a b c ；④底面面积S △ABC⑤S 2△BOC=S △BHC ·S △ABC ；⑥S 2△BOC+S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC⑦22221111OH a b c=++;⑧外接球半径 R=⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的(1)全面积 S 全= 2a ；(2)体积 3a ；(3)对棱中点连线段的长 d=2a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

正四面体的性质及其应用举例设棱长a 为的正四面体ABCD 的高为h ，内切球半径为r ，外接球半径为R ,体积为V ，则有下列结论：3h a =，312V a =，1412r h a ==，344R h a ==， 10928AOB '∠≈,1cos 3AOB ∠=−对边互相垂直，对边之间的距离为2a .正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值，即等于该正四面体的高. 例1.已知半径为1的球面上有,,A B C 三个点，且它们之间的球面距离均为3π，则球心O到平面ABC 的距离为（ ）2A3B 1.2C7D解：如图所示：1OA OB OC ===,又3AB BC CA π===,球的半径为1，所以3AOB BOC COA π∠=∠=∠=,则1AB BC CA ===.所以为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心到平面ABC的距离即为其高为3，故选.B例2.已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ）6A a12B a .4aC8D aB解：直接运用正四面体的性质，内切球的半径为12r a =，中截面到底面的距离为高的一半6a ，则球O 到平面M的距离为61212a a a −=，故选.B 例3（2006年陕西卷）将半径为R 四个球两两相切放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为 .解：设四个球心分别为,,,A B C D ,则四面体ABCD长为2R ,最上面的球心为D 到底面ABC 的距离为3R所以最上面一个球的球心到桌面的距离为(1R R R =+ . 例4（2006年山东卷）：在等腰梯形ABCD中（如图1），22,60,AB DC DAB E ==∠=为AC 的中点，将ADE ∆与BEC ∆ 分别沿ED 、EC 向上折起，使,A B 重合于P （如图2） ，则三棱锥P DEC − 的外接球的体积为（ ）.27A 2B π 8C 24D 解：三棱锥实质上是棱长为1的正四面体，则其外接球的体积为3344(3348V R πππ===,故选.C例5(2006年湖南卷)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球心的一个截面如图1，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）2A 2B C D 图2图1解：由截面图形可知，正四面体恰好有两个顶点在球面上，且截面园经过其外接球的球心（正四面体的中心）由正四面体的对称性可知M 为AB 对棱CD 的中点, M 到AB 的距离即为正四面体对棱之间的距离（公垂线的长度）2a ，所以1222ABC S ∆=⨯=.2020.05.05。

正四面体的性质及应用正四面体是立体几何中的基本几何体，它蕴涵着极为丰富的线面的位置、数量关系．在近年来各类考试中，正四面体倍受命题者青睐，命题者常以正四面体中的线面问题为载体，借以考察学生的数学思维能力和思维品质．因此，一线师生在教学过程中，应对这个几何体引起足够的重视．笔者在长期的教学中对正四面体进行了深入研究、潜心挖掘，得出了一些优美、简洁的结论．下面给出正四面体的相关结论，并利用这些结论解决问题，以期能对同学们学习立体几何有所启示．一、理顺正四面体性质——固本清源不妨设正四面体ABCD的棱长为a，则存在着以下定理：定理1．正四面体的3对异面棱均互相垂直，任意一对异面棱之间的距离均为；定理2．正四面体的高为；定理3．正四面体的内切球半径为，外接球半径为，且有；略证：如图1，易知正四面体的外接球心与内切球心重合为点O，并且位于正四面体的高AH上，连结BO、CO、DO，易知，且，从而AO、BO、CO、DO两两所确定的平面将正四面体分割成四个形状相同的正三棱锥：，，且每一个小正三棱锥的高都是内切球的半径，于是有，即，亦即有，所以，．故定理4．正四面体的全面积为，体积为；定理5．正四面体底面内任一点O到三个侧面的距离的之和；正四面体内任意一点到四个侧面的距离之和(仿定理3利用体积分割法易证)．定理6．正四面体的侧棱与其底面所成的线面角大小为；定理7．正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为；略证：设相邻两个侧面所成的角为，由于四个侧面的面积均相等，所以由射影面积公式知．定理8．设正四面体的侧棱与底面所成的角为，相邻两个侧面所成的二面角记为，则有略证：如图1所示，易知，，由H为的中心，易知，从而．定理9．正四面体的外接球的球心与内切球的球心O重合且为正四面体的中心；中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等，其大小为，此角即为化学中甲烷分子结构式中的键位角．略证：如图1，在三角形AOB中，，，由余弦定理可求得，于是．同理可得．定理10．正四面体内接于一正方体，且它们共同内接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线．二、运用正四面体性质——化繁为易1．巧算空间距离例1．一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则求此球的体积．分析一：由定理10知，将正四面体嵌于正方体的内部，然后再利用正四面体的棱与球相切，则该半径与正方体的内切半径相等进行求解．解法一．如图2所示，将正四面体补成正方体，易知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球．∵正四面体的棱长为a，∴正方体的棱长为．∴正方体的内切球半径．∴．分析二：根据正四面体的对称性，结合定理1可知，该球的球心应位于正四面体的中心，其直径即为正四面体相对棱之间的距离．解法二．∵正四面体的棱长为a，∴由定理1可知，相对棱间的距离为．即该球的半径为．∴．例2．在棱长为2的正四面体木块ABCD的棱AB上有一点P（），过P点要锯出与棱AB垂直的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD上锯痕，在面ABC上的锯缝，求锯缝MN的值．解：如图3，取AB的中点E，连结CE，DE，则为正四面体相邻两面的二面角的平面角，由条件知∠MPN也是正四体相邻两面的二面角的平面角，即∠NPM＝∠CED，由定理7可知，于是，在中，由余弦定理得，∴2．妙求空间角例3．设P为空间一点，PA、PB、PC、PD是四条射线，若PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，则这些角的余弦值为．解：如图4，构造正四面体ABCD，设P为四面体的中心，则PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，设，由正四面体的性质，可知余弦值为例4．如图5，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连结AF、CE．⑴求异面直线直线AF和CE所成的角；⑵求CE与面BCD所成的角．解：⑴连结FD，在平面AFD内，过点E作EG∥AF交DF于点G．则是异面直线AF与CE所成的角（或其补角）．设正四面体ABCD的棱长为a，可得，，．由余弦定理可求得．故异面直线AF与CE所成的角为．⑵由已知易知平面AFD⊥平面BCD，在平面AFD内，过点E作EH⊥FD于点H，连结CH，则∠ECH为CE与平面BCD所成的角．∵EH为正四面体高的一半，由正四面体性质的定理2知．∴．∴CE与底面BCD所成的角为．例5．如图6，正四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，CC1和DD1是该球的直径，求面ABC与面AC1D1所成角的正弦值．解：由正四面体性质定理10知正四面体内接于一球，该正方体也内接于此球，且正方体的对角线为此球的直径，如图所示，即CC 1、DD 1为该球的直径．连结C 1D 1，交AB 于点M ，连结MC ．∵ MC ⊥AB ，MD 1⊥AB ，∴ ∠CMD 1为平面ABC 与平面AC 1D 1所成的角．设正方体棱长为a ，在中，．∴ 平面ABC 与平面ACD 所成的角的正弦值为．归纳反思：正四面体是立体几何中一个重要的数学问题载体，在平时的学习过程中若能有意识地研究它、利用它，就能较好地培养我们数学思维的“方向感”和思路的“归属感”，有助于促进自己数学思维空间的拓展、数学品质的提升．1.在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中不P ABC -D E F AB BC CA成立的是　②　．①面；//BC PDF ②面面；PDF ⊥ABC ③面；DF ⊥PAE ④面面．PAE ⊥ABC2.正四面体中，与平面ABCD AB ACD3.如图，正四面体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则的值ABCD E F AD BC EF BA为 ()A ．4B ．C ．D ．24-2-选：．C 4.以下说法①三个数，，之间的大小关系是；20.3a =2log 0.3b =0.32c =b a c <<②已知：指数函数过点，则；()(0,1)x f x a a a =>≠(2,4)log 41a y =③；3④已知函数的值域是，，则的值域是，；()y f x =[13]()(1)F x f x =-[02]⑤已知直线平面，直线在内，则与平行．//m αn αm n 其中正确的序号是　①③　．5.在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为 A BCD -M AB CM AD ()A ．BCD ．1223选：．C 6.在正四面体中，、分别为棱、的中点，连接、，则异面直线ABCD E F AD BC AF CE 和所成角的正弦值为 AF CE ()A ．B ．CD 1323选：．D【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．本题易错点在于要看清是求异面直线和所成角的正弦值，而不是余弦值，不要错选答AF CE 案．B 7.如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，A BCD -E AD P AC BP PE +，则该正四面体的外接球的体积是 ()A B ．C D ．6π32π选：．A 8.棱长为1的正四面体中，为棱上一点（不含，两点），点到平面ABCD E AB A B E ACD和平面的距离分别为，，则的最小值为　BCD a b 11a b+【考点】：基本不等式及其应用7F 【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：不等式5F 5T 【分析】设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交O ACD OB EF AO ⊥F AO CD于点，则点为的中点．设．，，M M CD (01)AE AB λλ=<<23AO AM =AM =．由，可得．同理可得：BO =//EF BO EF BO a λ===．代入利用基本不等式的性质即可得出．)b EN λ==-【解答】解：如图所示，设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点O ACD OB EF AO ⊥F AO CD ，则点为的中点．M M CD 设．(01)AE AB λλ=<<2233AO AM ===BO ∴==，//EF BO．EF BO a λ∴===同理可得：．)b EN λ==-当且仅当时取等号．∴2111111()11(1)()2a b λλλλλλ+=+==+---…12λ=故答案为：9.已知是正四面体棱的中点，是棱上异于端点，的任一点，则下列M ABCD AB N CD C D 结论中，正确的个数有 ()（1）；（2）若为中点，则与所成角为；MN AB ⊥N MN AD 45︒（3）平面平面；（4）存在点，使得过的平面与垂直．CDM ⊥ABN N MN AC A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】：异面直线及其所成的角；：空间中直线与直线之间的位置关系；：LM LO LW 直线与平面垂直；：平面与平面垂直LY 【专题】14：证明题【分析】连接、，可证明出平面，从而，得（1）正确；取CM DM AB ⊥CDM MN AB ⊥AC 中点，连接、，利用三角形中位线定理证明出、所成的直角或锐角，E EM EN EN NM 就是异面直线、所成的角，再通过余弦定理，可以求出与所成角为MN AD MN AD ，故（2）正确；根据（1）的正确结论：，结合平面与平面垂直的判定定45︒MN AB ⊥理，得到（3）正确；对于（4），若存在点，使得过的平面与垂直，说明存在N MN AC 的一个位置，使．因此证明出“不论在线段上的何处，都不可能有N MN AC ⊥N CD ”，从而说明不存在点，使得过的平面与垂直．MN AC ⊥N MN AC 【解答】解：（1）连接、CM DM正中，为的中点ABC ∆M AB CM AB∴⊥同理，结合DM AB ⊥MC M D M= 平面，而平面AB ∴⊥CDM MN ⊆CDM，故（1）是正确的；MN AB ∴⊥（2）取中点，连接、AC E EM EN中，、分别是、的中点ADC ∆ E N AC CD ，．//EN AD ∴12EN AD =、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角EN ∴NM MN AD设正四面体棱长为，在中，2a MCD ∆2CM DM a ===则中Rt MNC ∆122CN a a =⨯=∴MN ==在中，MNE ∆122ME EN a a ==⨯=∴222cos 2EN MN EM ENM EN MN +-∠==⨯⨯，即异面直线、所成的角是，故（2）正确；45ENM ∴∠=︒MN AD 45︒（3）由（1）的证明知：平面AB ⊥CDM平面AB ⊂ ABN平面平面，故（3）正确；∴ABN ⊥CDM （4）若有，根据（1）的结论，MN AC ⊥MN AB ⊥因为、相交于点，所以平面AB AC A MN ⊥ABC中，，MCD ∆ CM MD ==2CD a =2221cos 023CM MD CD CMD CM MD +-∴∠==> 可得是锐角，说明点在线段上从到运动过程中，CMD ∠N CD C D 的最大值是锐角，不可能是直角，CMN ∠因为平面，与不能垂直，CM ⊂ABC CM NM 以上结论与平面矛盾，MN ⊥ABC 故不论在线段上的何处，都不可能有．N CD MN AC ⊥因此不存在点，使得过的平面与垂直．N MN AC 综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）故选：．C 10.棱长为的正四面体中，给出下列命题：a ①正四面体的体积为；324a V =②正四面体的表面积为；2S =③内切球与外接球的表面积的比为；1:9④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值．上述命题中真命题的序号为　②③④　．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；：棱柱、棱锥、棱台的体积LE LF 【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离5F【分析】①正四面体的高，体积为，计算即h ==213V =可判断出正误；②正四面体的表面积为，即可判断出正误；24S a =③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；r R 23143r ⨯=r，解得，即可判断出正误；R =R ④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则H，化简即可判断出正误．221133H ⨯=【解答】解：①正四面体的高，体积为h ==，因此不正确；3231324a V ==≠②正四面体的表面积为，正确；224S a ==③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；r R 23143r ⨯=r =，解得．R =R =，因此表面积的比为，正确；:1:3r R ∴=1:9④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则H，化简可得：，即为正四面体的高，221133H ⨯=H =均为定值，正确．上述命题中真命题的序号为②③④．。

正四面体正四面体是几何学中的一种多面体，也被称为正四面体体，是四面体中最简单的一种。

它有四个等边等面的三角形面和四个顶点，每个顶点相邻的边的夹角是109.47度。

正四面体在数学、物理学、化学等领域中具有重要的应用和意义。

正四面体的特点是每个面都是等边三角形，它有一些独特的性质。

首先，正四面体的所有面都是等边等角的三角形，这意味着每个面的边长和角度都相等。

其次，正四面体的对角线相交于一个点，这个点被称为正四面体的正中心，连结正中心与顶点的线段被称为正四面体的高，并且高的长度等于正四面体边长的根号3倍。

此外，正四面体的各个面都是相等的，并且任意两个面之间的夹角是立体角的二等分线。

正四面体的体积也可以通过公式来计算，公式为V = (a^3)/(6√2)，其中V表示体积，a表示正四面体的边长。

正四面体的表面积可以通过公式S = √3*a^2，其中S表示表面积。

通过这些公式，我们可以方便地计算正四面体的体积和表面积。

正四面体在数学中有很多重要的应用。

它是立体几何学中的一个重要研究对象，可以通过正四面体的性质探索其他多面体的性质。

在计算几何学中，正四面体是一个非常有用的模型，可以用来解决与几何形状相关的问题。

正四面体在物理学中也有广泛的应用。

例如，在分子结构研究中，正四面体经常用来表示一些分子的结构，例如硫酸四面体(SO4)。

此外，正四面体也可以用来表示晶体的结构，例如金刚石晶体的结构就是一个正四面体。

在化学中，正四面体也具有重要的意义。

正四面体分子的结构常常具有一定的稳定性，可以用来构建一些特殊的化学物质。

例如，正四面体结构的分子一般具有较高的对称性，这种对称性可以影响分子的性质和反应活性。

总之，正四面体是几何学中的一个重要概念，它具有独特的性质和特点，并在数学、物理学和化学等领域中具有广泛的应用。

通过研究正四面体的性质和应用，我们可以更好地理解立体几何学和其它相关学科的知识，为实际问题的解决提供更加可靠的理论基础。

高中数学正四面体的结论
正四面体（Regular Tetrahedron），是高中数学中常用的几何体之一，它是一个三维的，拥有四个平行面的晶体。

它是比较容易了解的几何形状，下面就介绍其特性：
一、正四面体的顶角：
正四面体的每个顶角都是一个直角，它们夹在三条互相垂直的边中，其角度为90°，称为正四面体的几何角。

二、正四面体的边：
正四面体的边长都是相等的，它们互相垂直，三个边可以构成相应的三角形，并且相互平行。

三、正四面体的表面：
正四面体有四个平行面，当三条直线连接某三个顶点时，可以形成正四面体的表面，这四个平行面都是矩形，每个平行面跟每条边相等。

四、正四面体的面积：
正四面体的表面积是a²*√3，它可以通过边长a来计算，也可以用边和顶角来计算表面积。

五、正四面体的体积：
正四面体的体积是a³/6√2，它可以通过边长a来计算，也可以用直角三角形的面积、顶角或平面面积来求解。

总之，正四面体是一个边和顶角都是相等的三维几何体，有许多结论可以推导出来，如面积和体积的计算公式等。

正四面体的学习和考察对于理解高中数学的知识和运用至关重要，是高中数学必不可少的一个概念。

(1)全面积 S 全2a ； (2)体积3a ； (3)对棱中点连线段的长a ；(此线段dfd 为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)(4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3(7)外接球半径a ； (8)内切球半径a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；③体积 V= 16a b c ；④底面面积S △ABC⑤S 2△BOC=S △BHC ·S △ABC ；⑥S 2△BOC+S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC⑦22221111OH a b c =++; ⑧外接球半径⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++ABCDO H(1)全面积 S 全2a ； (2)体积3a ； (3)对棱中点连线段的长a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)(4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3(7)外接球半径a ； (8)内切球半径a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；③体积 V= 16a b c ；④底面面积S △ABC⑤S 2△BOC=S △BHC ·S △ABC ；⑥S 2△BOC+S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC⑦22221111OH a b c =++; ⑧外接球半径⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++ABCDO H(1)全面积 S 全2a ； (2)体积3a ； (3)对棱中点连线段的长a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

正四面体的性质及其应用正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则（1） 全面积S 全= 3 a 2；（2） 高h = 6 3a ； （3） 体积V = 2 12a 3； （4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d（5） 相邻两面所成的二面角α=arccos 13； （6） 棱与其相交的面所成的角 β=a rctan 2 ；（7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6 12a ，外接球半径R ＝ 6 4a ，r ︰R =1︰3； （8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。

将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。

考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π3，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）A 3 2B 6 3C 12D 21 7解析：如右图所示，OA=OB=OC =1又3π===⌒⌒⌒CA BC AB ，球的半径r =1∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π3，则AB=BC=CA =1 所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的距离即其高为 6 3，答案B 。

例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ） A a 4 B 6 6 a C 6 12a D 2 8a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6 12a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6 12a ，因此选C 。

例3：（06年陕西卷）将半径为R一个球的球心到桌面的距离为 。