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立体几何（必背经典结论）
之
正四面体性质（李炳璋提供）
【***】由于时间仓促，难免有误，若有错误，请及时指正！谢谢！！！
设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的
对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为
（1）对棱间的距离为a 2
2
（正方体的边长）/ 对棱中点连线段
的长 d=
2
a ；(此线段为对棱的距离，
若一个球与正四面体的6条
棱都相切，则此线段就是该球的直径。)
（2） 正四面体的高
a 3
6
（正方体体对角线l 32=）
（3） 正四面体的体积为3
12
2a （正方体小三棱锥
正方体V V V 314=-） （4） 正四面体的全面积 S
全= 2a ；
（5） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1
（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2
1
61=）
（6）外接球的半径为
a 4
6 （是正方体的外接球，则半径正方体体对角线l 2
1
=） （7）内切球的半径为
a 12
6 （是正四面体中心到四个面的距离，则半径正方体体对角线l 6
1
=）
（8）相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3
（9）侧棱与底面所成的角为β=1
arccos 3
（10）对棱互相垂直。
（11）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。
直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体。
如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°， OA=a ,OB=b ,OC=c .则
A
B
C
D
O
H
（1）不含直角的底面ABC 是锐角三角形；
（2）直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； （3）体积 V= 16a b c ；
（4）底面面积S
△ABC
（5）S
2△BOC
=S △BHC ·S △ABC ； （6）S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2
△ABC
（7）
22221111
OH a b c =++;
（8）外接球半径
（9）内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c
∆∆∆∆++-++
