【浩瀚题库】高考数学必背经典结论-正四面体性质【冲刺必备版】

高中数学二级结论1、任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积)2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。

①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x )4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b|7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E yy D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-byy a x x④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x Bx Ax 13、①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是||22222A a -B b =C14、椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±= （左加右减）15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为x 的点P 到焦点的距离)公式，且F 1为左焦点，F 2为右焦点，e 为双曲线的离心率。

1 2 6 述性质可知 OH AH ，而 AH 。 4 3
1 2 6 6 ∴ OH 。故应选 B。 4 3 6
2、空间角 例 7 正三棱锥 S-ABC 侧棱与底面边长相等，若 E、F 分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 。
简析： 此正三棱锥即为正四面体，将它转移到正方 体中，如右图：易得 EF 与 SA 所成的角为 45 。
2、射影 例 2 (2000 年全国高考题)如图，E、F 分别为正方体 的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是_______________。
简析：根据题目的各种可能情形进行分类，四边形 BFD1E 在正方体的面上的射影分三类： I）在上、下 两个面上的射影为②； II）在前后两个面上的射影为② III）在左右两个面上的射影为③，故应填②③。
；
样の生活. 热血,刺激,荣耀,掌控！ 他确定,他喜欢上现在の生活,他也决定朝着强者之路,不断の前行,直到他死.他知道精彩の十年,胜过麻木平凡の一生,他不知道他这样の选择是否是正确の,但是他知道,他不后悔… 狗Riの人生,如果机遇来了,你呀不抓住,那么你呀这辈子,将永远过着狗Riの 人生… …… 前进,前进！ 青龙匕在手,气场在外,迷踪步在下.白重炙不再多想,全神贯注开始探查附近の情况,全速前进. 几多钟后,大道依旧看不到终点. 半个不咋大的时后, 几个不咋大的时后. 他终于走到了终点,一扇和入口一模一样,金光闪闪の大门. 没有犹豫,战气全开,战智合体,精神高 度集中,青龙匕刀浪吞吐,他气势陡然飙升,浑身荡漾着惨烈刚绝,一往无前の气势,朝着大门,猛然冲去. 一门之隔,宛如变了一些世界. 白重炙感觉身体一晃,等他再次睁眼看着眼前の种种景色,看着眼前宛如仙境般の场景,他再一次惊呆了. 这是仙界,这是神界吗? 他来到了一处他在梦中都没有梦 过の地方. 这俨然是一座仙府一样,他站立の地方是一座用白玉彻成の不咋大的广场上,通体透明の白玉,泛着晶莹剔透の光芒,一尘不染.左边是一座不咋大的潭,湖水清澈,里面俨然有几条非常漂亮の鱼儿来游动,有水在流动.右边是一座不咋大的花园,五颜六色,不知名字の花儿草儿树儿,正释放 着他们各自の芳香和翠绿. 最震撼人心の是,正前方の一处宫殿,超级大の宫殿,这宫殿没有金碧辉煌,也没有五颜六色,而是几多圣洁の纯白.宫殿建造の非常の漂亮,俨如仙宫,正大门,三个龙飞凤舞の大字,更是为这宫殿带来了几分仙气"逍遥阁". 整个附近の地形都笼罩在淡淡の白雾中,但却没有 影响白重炙の视线,反而觉得仙气腾腾,并且他来到这,感觉这里の空气似乎,和别处不一样,非常の舒服,非常の温馨,非常の让人沉醉… "老大,不咋大的心一点,这地方如此诡异,很有可能有圣智！"不咋大的白の传音,将白重炙の思绪拉回了现实,他顾不得欣赏此地美妙の景色,连忙四处观察起来, 确定有没有异状. "嗡…" 就在这时,空气一阵抖动,将夜清寒绷紧の神经绷の更紧了几分,前方陡然出现一些人影,一些让白重炙吓了一条の人影. "前辈?怎么是你呀?" 来人正是山羊脸鹿希！鹿希却没有回答他の话,而是非常舒服の闭上眼睛,深深呼吸了几口气,才悠悠说道："几千年了,俺终于再 次闻到了神界の气息,神灵之气,果然好闻,舒坦,哈哈…" "前辈,这,这是什么情况?"白重炙隐隐觉得,有些非常好の气息,连忙追问起来. 鹿希这次有了回应,他转过身子,脸上没有刚才の笑意,而是一脸认真,一脸严肃.他,突然单膝下跪,对着白重炙恭敬说道："恭喜少主,破了落神山の所有关卡,成 为了这逍遥阁の主人,同时也成为了鹿希の少主人！" "额…" 白重炙愣住了,迷糊了,傻了…随即震惊了,慌了,害怕了…连忙摆手摇头慌忙说道："前辈快快起来,这…这是什么情况?你呀老别吓俺啊?" 开玩笑！鹿希可是神级强者,传说中の神,自己怎么敢接他跪拜?怎么受得起,还有什么逍遥阁の 主人,逍遥阁不就是这仙宫吗?越想越迷糊,越想越慌,这些不可思议の事情,吓到他了… "呵呵,少主！别慌,事情很简单,你呀破了落神山の所有关卡,进入了逍遥阁,所以,你呀得到主人の赏赐,以后你呀就是这逍遥阁の主人了.至于俺,在少主人未达到神级之前,俺将一直守护你呀の安全,直到你呀 飞升神界！"鹿希站了起来,他很满意白重炙对他の恭敬,眉眼都是笑意,为白重炙解释起来. "破了,俺破了最后一关?这么简单?俺运气那么好,居然几多之一の机会让俺撞到了?哇咔咔…人品无敌了！"白重炙终于懂了,嘴角弯起一些微笑の弧度,随即这个弧度不断放大,有微笑,变成大笑,最后变成 狂笑！ "恩,其实不是你呀运气好！" 鹿希の话语让白重炙停止了狂笑,但是他依旧开心の不得了,笑意盈然望着鹿希,听着他继续说道. 鹿希意味深长の笑了起来,道："其实,最后一关,命运之门,你呀走任何一条道路都一样,结果都是无惊无险达到这里,最后一关,从你呀迈进命运之门の时候,你呀 已经破了！" "啊！" 白重炙惊了,脑海转动几圈,顿时明白了. 最后一关,原来是唬人の,根本没有九死一生,根本没有上阶圣智,魂帝设置这关,看来只是为了考研闯关者の强者之心.只要你呀敢于接受挑战,敢于迈进这十道大门,你呀就已经成功了,如果不敢の话,那么你呀就不仅心里废了,身体也 会被废了…这老王八蛋,太阴险了,太毒辣了…… 【作者题外话】：额,昨天の话当俺没说吧…… 本书来自 品&书#网 当前 第2陆肆章 月倾城の忧伤 几多之一の机会,基本等于送死,而另外一条道路却是平安出去,并且获得圣器和花不完の财富,只有闯关者内心有点害怕,有点胆怯,都不敢选这九 死一生の道路吧.请大家检索（品%书￥￥网）看最全！更新最快の "嘿嘿！"鹿希将白重炙明白了,笑了笑道："没错,其实第一关,考虑の是人心和品行,人心不善良,品行不好の人,将会直接排除.第二关考验の是潜力和天赋,主人不会选一些废物,作为他の继承人.而第三关考验の是耐心,智力和强 者之心,没有耐心修炼,神之道路不会走太长,没有智慧,去了神界,迟早是死,而没有强者之心,将永远不会成为巅峰强者,笑傲苍生！" 牛！ 此刻白重炙算是全部明白了,不禁对魂帝这神级大能,涌起了无线の敬佩.不过他没时候想这些,他内心此刻除了开心狂喜外,还涌现出非常の急迫心情,他…要 回家！ 搓了搓手,白重炙吞了口唾沫,嘿嘿说道："那是什么…前辈,俺什么时候出去啊?还有,不是说不咋大的神格,额逍遥阁有神器?有无数の宝物?" 鹿希看着白重炙,无意中表现の不咋大的孩子神态,不禁有些好笑,说道："不要着急,你呀需要炼化逍遥阁の核心灵器,大概需要两三天时候吧,倒是 你呀就可以出去了.恩…神器有,宝物,当然也有,走吧,俺们进去,看看属于你呀の宝物吧…" 白重炙一听见,更是激动了,连咽几口唾沫,身体更是激动の微微颤抖起来,随着鹿希,朝着前面の逍遥阁,大步走去. …… …… 当月倾城夜轻舞风紫花草龙水流等他们踏入了天路の时候,她们心情几多の复 杂. 五年前,几人还信誓旦旦一起约定,努力修炼一同闯闯这落神山.只是没想到,五年后,白重炙陷入落神山几年了,至今生死不明,龙赛男迈入了帝王境,早已随着大部队进去闯关了,而就连夜轻语也偷偷の混了进去,此刻想必也随着大部队开始,不断の闯关,寻找の白重炙. 而她们几人,虽然这五年 来,时刻都在努力の修炼.但是她们原先の境界太低了,虽然努力修炼,并且消耗了大量の天才地宝,灵菜灵丹,或者另有其遇. 但是几人都没有踏入帝王境,所以他们连进入落神山の资格都没有,还只能在世家帝王境强者の保护下在天路上逛逛,见见世面. 天路很神奇,落神山前の诡异重力,却没有坐 落在天路上,所以几人很轻松の在天路上前行着. 天路很长,众人行走了几分钟了,还没看到头,而外面のの景色,各世家の太上长老和无数の帐篷,已经看不清楚了,但是天路还没走到尽头. 天路有雾,但是这雾很神奇,他是一阵阵の飘过来の,天路两边の白雾很浓,看不到四周の景色,而天路上,却不 定时候,不定空间,偶然飘来一阵白雾,让天路变得若隐若现,宛如仙境. 终于,他们走到了尽头.天路の尽头,是一块超级大の广场.这广场一眼望去,因为不时被飘来の白雾笼罩,所以看不到尽头,平均の能见度,只有几百米.但是在他们四处绕了一圈之后,他们大概估算出来,这快广场大概有数千米长, 数千米宽.而每个方向都有一条金光闪闪の大门,看来是给闯关者进入了. "天青爷爷,这里什么都没有,一点都没意思啊！"夜轻舞,绕了几圈之后,发现这地方出了白雾就是白

正四面体的常用结论公式正四面体是我们生活中常见的一种几何图形，它的结构和性质一直以来都是数学家们研究的重点。

在这篇文章中，我将从理论和实践两个方面来探讨正四面体的常用结论公式。

我们来看一下正四面体的定义和性质。

正四面体是一个由四个边长相等的三角形组成的立体图形，它的每个面都是一个等边三角形。

正四面体的特点是它的六个顶点都在同一个球面上，这个球心被称为正四面体的外接球心。

由于正四面体的对称性，我们只需要知道其中一个面的面积和高，就可以计算出其他面的面积和高。

接下来，我将介绍一些常用的结论公式。

一、正四面体的体积公式1.1 底面积公式正四面体的底面积可以用以下公式表示：S = (a2 * b2) / (4 * GCD(a, b))其中，a和b分别是正四面体的两个相邻边的边长，GCD(a, b)表示a和b的最大公约数。

1.2 体积公式正四面体的体积可以用以下公式表示：V = S * h / 3其中，h是正四面体的高，可以通过勾股定理计算得出。

二、正四面体的表面积公式2.1 三个侧面的面积之和公式正四面体的三个侧面的面积分别为A1、A2和A3,它们可以表示为：A1 = a * b * sin60° = ab * √3 / 2A2 = a * c * sin60° = ac * √3 / 2A3 = b * c * sin60° = bc * √3 / 2所以，三个侧面的面积之和为：A_total = A1 + A2 + A3 = (ab + ac + bc) * √3 / 22.2 六个面的总面积公式正四面体的六个面的总面积为：A_total = 3 * (A1 + A2 + A3) = 3 * (ab + ac + bc) * √3 / 2三、正四面体的外接球半径公式3.1 外接球心到任意顶点的距离公式设正四面体的外接球心为O,任意一个顶点为P,那么OP就是外接球心到顶点P的距离。

高二数学正四面体知识点正四面体是一个非常特殊的几何体，它具有很多独特的性质和特点。

在高二数学学习中，正四面体也是一个重要的知识点。

本文将介绍一些关于正四面体的基本定义、性质和相关定理。

一、基本定义正四面体是一个四面都是正三角形的多面体。

它由四个全等的正三角形面围成，其中每个面都与其他三个面相交，且每个交线都是三面交线的角平分线。

四个面所成的四个顶点形成一个四面体。

二、性质1. 四个全等正三角形的三个顶点和四个顶点的连线相互垂直，且都交于同一点，该点称为正四面体的高心。

2. 正四面体的高心到四个顶点的距离相等，并且等于正四面体边长的 $\frac{1}{2}$ 倍。

3. 正四面体的重心是四个顶点和它们的连线的交点，即四个顶点和高心的连线相交于同一点。

4. 正四面体的重心到四个顶点的距离相等，并且等于正四面体边长的 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 倍。

5. 正四面体的面心是四个面的重心的连线相交于同一点，即四个面心和高心的连线相交于同一点。

6. 正四面体的面心到四个面心的距离相等，并且等于正四面体边长的 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 倍。

7. 正四面体的体积可以通过以下公式计算：$V =\frac{1}{12}\sqrt{2}a^3$，其中 $a$ 表示正四面体的边长。

8. 正四面体的表面积可以通过以下公式计算：$S = \sqrt{3}a^2$，其中 $a$ 表示正四面体的边长。

三、相关定理1. 正四面体的四条高线互相垂直，并且彼此平分。

2. 正四面体的四个面的面积互等，并且每个面的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，其中 $a$ 表示正四面体的边长。

3. 正四面体的六条棱所构成的六个五面角的面积互等。

4. 正四面体的四条高线与四个面上的高线的交点所构成的四个四面角的面积互等。

通过以上的知识点，我们可以更好地理解正四面体的性质和特点。

正四面体是一种简单但非常重要的几何体，它在数学及其他科学领域中具有广泛的应用。

高三立体几何必考知识点几何学是数学的一个重要分支，而立体几何则是数学中的一个关键概念。

在高三数学考试中，立体几何是一个必考的内容，掌握好立体几何的知识点对于取得好成绩至关重要。

本文将介绍高三立体几何的必考知识点，帮助同学们更好地备考。

一、多面体的性质多面体是指由多个平面多边形组成的立体图形。

在高三数学考试中，多面体的性质是经常被考察的知识点。

以下是几个常见的多面体及其性质：1. 正四面体: 正四面体是最简单的四面体，它的底面为等边三角形，上面的顶点与底面的重心连线垂直。

常用的性质有底面三角形的面积、体积计算公式，以及各个面和边的关系等。

2. 正六面体: 正六面体也被称为立方体，它的六个面都是正方形。

立方体有着很多独特的性质，例如它的对角线相等、面对面的平行线互相垂直等。

3. 正八面体和正十二面体: 正八面体和正十二面体是比较常见的多面体，它们的性质和计算方法也会在考试中出现。

二、平行四边形的性质平行四边形是由四条平行线组成的四边形，它的性质也是高三数学考试中的重点内容之一。

以下是几个和平行四边形相关的必考知识点：1. 三角形面积公式: 在平行四边形中，可以根据两条边和夹角的关系计算三角形的面积。

常用的计算公式有海伦公式和正弦定理等。

2. 平行四边形的面积公式: 平行四边形的面积可以使用底边长乘以高的公式进行计算。

如果已知两条边和夹角，则可以使用正弦定理计算面积。

3. 对角线的性质: 平行四边形的对角线互相平分，并且对角线的长度相等。

这一性质在高三数学考试中很常见，同学们一定要牢记。

三、圆锥、圆台的性质圆锥和圆台是高考中经常出现的立体图形，了解它们的性质对于解题非常有帮助。

以下是一些圆锥和圆台的必考知识点：1. 圆锥的体积公式: 圆锥的体积可以使用底面积乘以高再除以3进行计算，这个公式在高考中经常会被使用。

2. 圆台的体积和表面积公式: 圆台的体积可以使用平均半径乘以高再乘以π进行计算。

而圆台的表面积则是底面面积加上底面周长乘以斜高的一半。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载正四面体的性质及应用地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容正四面体的性质及应用正四面体是立体几何中的基本几何体，它蕴涵着极为丰富的线面的位置、数量关系．在近年来各类考试中，正四面体倍受命题者青睐，命题者常以正四面体中的线面问题为载体，借以考察学生的数学思维能力和思维品质．因此，一线师生在教学过程中，应对这个几何体引起足够的重视．笔者在长期的教学中对正四面体进行了深入研究、潜心挖掘，得出了一些优美、简洁的结论．下面给出正四面体的相关结论，并利用这些结论解决问题，以期能对同学们学习立体几何有所启示．一、理顺正四面体性质——固本清源不妨设正四面体ABCD的棱长为a，则存在着以下定理：定理1．正四面体的3对异面棱均互相垂直，任意一对异面棱之间的距离均为；定理2．正四面体的高为；定理3．正四面体的内切球半径为，外接球半径为，且有；略证：如图1，易知正四面体的外接球心与内切球心重合为点O，并且位于正四面体的高AH上，连结BO、CO、DO，易知，且，从而AO、BO、CO、DO两两所确定的平面将正四面体分割成四个形状相同的正三棱锥：，，且每一个小正三棱锥的高都是内切球的半径，于是有，即，亦即有，所以，．故定理4．正四面体的全面积为，体积为；定理5．正四面体底面内任一点O到三个侧面的距离的之和；正四面体内任意一点到四个侧面的距离之和(仿定理3利用体积分割法易证)．定理6．正四面体的侧棱与其底面所成的线面角大小为；定理7．正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为；略证：设相邻两个侧面所成的角为，由于四个侧面的面积均相等，所以由射影面积公式知．定理8．设正四面体的侧棱与底面所成的角为，相邻两个侧面所成的二面角记为，则有略证：如图1所示，易知，，由H为的中心，易知，从而．定理9．正四面体的外接球的球心与内切球的球心O重合且为正四面体的中心；中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等，其大小为，此角即为化学中甲烷分子结构式中的键位角．略证：如图1，在三角形AOB中，，，由余弦定理可求得，于是．同理可得．定理10．正四面体内接于一正方体，且它们共同内接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线．二、运用正四面体性质——化繁为易1．巧算空间距离例1．一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则求此球的体积．分析一：由定理10知，将正四面体嵌于正方体的内部，然后再利用正四面体的棱与球相切，则该半径与正方体的内切半径相等进行求解．解法一．如图2所示，将正四面体补成正方体，易知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球．∵ 正四面体的棱长为a，∴ 正方体的棱长为．∴ 正方体的内切球半径．∴ ．分析二：根据正四面体的对称性，结合定理1可知，该球的球心应位于正四面体的中心，其直径即为正四面体相对棱之间的距离．解法二．∵ 正四面体的棱长为a，∴ 由定理1可知，相对棱间的距离为．即该球的半径为．∴ ．例2．在棱长为2的正四面体木块ABCD的棱AB上有一点P（），过P点要锯出与棱AB垂直的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD上锯痕，在面ABC上的锯缝，求锯缝MN的值．解：如图3，取AB的中点E，连结CE，DE，则为正四面体相邻两面的二面角的平面角，由条件知∠MPN也是正四体相邻两面的二面角的平面角，即∠NPM＝∠CED，由定理7可知，于是，在中，由余弦定理得，∴2．妙求空间角例3．设P为空间一点，PA、PB、PC、PD是四条射线，若PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，则这些角的余弦值为．解：如图4，构造正四面体ABCD，设P为四面体的中心，则PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，设，由正四面体的性质，可知余弦值为例4．如图5，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连结AF、CE．⑴求异面直线直线AF和CE所成的角；⑵求CE与面BCD所成的角．解：⑴连结FD，在平面AFD内，过点E作EG∥AF交DF于点G．则是异面直线AF与CE所成的角（或其补角）．设正四面体ABCD的棱长为a，可得，，．由余弦定理可求得．故异面直线AF与CE所成的角为．⑵由已知易知平面AFD⊥平面BCD，在平面AFD内，过点E作EH⊥FD于点H，连结CH，则∠ECH为CE与平面BCD所成的角．∵ EH为正四面体高的一半，由正四面体性质的定理2知．∴ ．∴ CE 与底面BCD所成的角为．例5．如图6，正四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，CC1和DD1是该球的直径，求面ABC与面AC1D1所成角的正弦值．解：由正四面体性质定理10知正四面体内接于一球，该正方体也内接于此球，且正方体的对角线为此球的直径，如图所示，即CC1、DD1为该球的直径．连结C1D1，交AB于点M，连结MC．∵ MC⊥AB，MD1⊥AB，∴ ∠CMD1为平面ABC与平面AC1D1所成的角．设正方体棱长为a，在中，．∴ 平面ABC与平面ACD所成的角的正弦值为．归纳反思：正四面体是立体几何中一个重要的数学问题载体，在平时的学习过程中若能有意识地研究它、利用它，就能较好地培养我们数学思维的“方向感”和思路的“归属感”，有助于促进自己数学思维空间的拓展、数学品质的提升．1.在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中不成立的是②．①面；②面面；③面；④面面．2.正四面体中，与平面所成角的余弦值为．3.如图，正四面体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则的值为A．4 B．C．D．2选：．44.以下说法①三个数，，之间的大小关系是；②已知：指数函数过点，则；③已知正四面体的边长为，则其外接球的体积为；④已知函数的值域是，，则的值域是，；⑤已知直线平面，直线在内，则与平行．其中正确的序号是①③．555555555.在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．选：．6.在正四面体中，、分别为棱、的中点，连接、，则异面直线和所成角的正弦值为A．B．C．D．选：．【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．本题易错点在于要看清是求异面直线和所成角的正弦值，而不是余弦值，不要错选答案．7.如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是A．B．C．D．选：．8.棱长为1的正四面体中，为棱上一点（不含，两点），点到平面和平面的距离分别为，，则的最小值为．【考点】：基本不等式及其应用【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：不等式【分析】设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点，则点为的中点．设．，，．由，可得．同理可得：．代入利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点，则点为的中点．设．，．，．同理可得：．，当且仅当时取等号．故答案为：．9.已知是正四面体棱的中点，是棱上异于端点，的任一点，则下列结论中，正确的个数有（1）；（2）若为中点，则与所成角为；（3）平面平面；（4）存在点，使得过的平面与垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】：异面直线及其所成的角；：空间中直线与直线之间的位置关系；：直线与平面垂直；：平面与平面垂直【专题】14：证明题【分析】连接、，可证明出平面，从而，得（1）正确；取中点，连接、，利用三角形中位线定理证明出、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角，再通过余弦定理，可以求出与所成角为，故（2）正确；根据（1）的正确结论：，结合平面与平面垂直的判定定理，得到（3）正确；对于（4），若存在点，使得过的平面与垂直，说明存在的一个位置，使．因此证明出“不论在线段上的何处，都不可能有”，从而说明不存在点，使得过的平面与垂直．【解答】解：（1）连接、正中，为的中点同理，结合平面，而平面，故（1）是正确的；（2）取中点，连接、中，、分别是、的中点，．、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角设正四面体棱长为，在中，则中在中，，即异面直线、所成的角是，故（2）正确；（3）由（1）的证明知：平面平面平面平面，故（3）正确；（4）若有，根据（1）的结论，因为、相交于点，所以平面中，，可得是锐角，说明点在线段上从到运动过程中，的最大值是锐角，不可能是直角，因为平面，与不能垂直，以上结论与平面矛盾，故不论在线段上的何处，都不可能有．因此不存在点，使得过的平面与垂直．综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）故选：．10.棱长为的正四面体中，给出下列命题：①正四面体的体积为；②正四面体的表面积为；③内切球与外接球的表面积的比为；④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值．上述命题中真命题的序号为②③④．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】①正四面体的高，体积为，计算即可判断出正误；②正四面体的表面积为，即可判断出正误；③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；，解得，即可判断出正误；④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则，化简即可判断出正误．【解答】解：①正四面体的高，体积为，因此不正确；②正四面体的表面积为，正确；③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；，解得．，因此表面积的比为，正确；④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则，化简可得：，即为正四面体的高，均为定值，正确．上述命题中真命题的序号为②③④．。

正四面体的常用结论公式正四面体的常用结论公式，你知道吗？今天我们就来聊聊这个有趣的话题，让你在轻松愉快的氛围中学习一些关于正四面体的知识。

让我们来了解一下什么是正四面体。

正四面体是指一个有四个等边三角形面的多面体。

它的每个面都是一个等边三角形，而且所有的边都相等。

你可能会想：“哇，这么厉害的多面体，一定很难构造吧？”其实，正四面体的构造方法有很多，但是最简单的方法就是用一个正方体和一个正四面体结合在一起。

这样一来，我们就可以得到一个既有正方形又有等边三角形面的多面体，而且所有的边都相等。

那么，正四面体有哪些常见的结论呢？下面我们就来总结一下：1. 正四面体的高：正四面体的高是指从一个顶点垂直于底面的距离。

这个距离可以通过勾股定理计算得出。

具体来说，如果我们把正四面体看作一个正方体切掉一个角，那么这个高就是切掉的部分的高度。

这个高度并不是唯一的，因为正四面体的形状可以有很多种变化。

2. 正四面体的体积：正四面体的体积可以通过下面的公式计算得出：V = (a3 * b3)/ (6 * h),其中a、b分别是正四面体的两条棱长，h是正四面体的高。

这个公式告诉我们，只要知道正四面体的棱长和高，就可以计算出它的体积。

不过，这个公式只适用于直角正四面体，对于其他类型的正四面体，我们需要使用更复杂的公式。

3. 正四面体的表面积：正四面体的表面积可以通过下面的公式计算得出：S = 4 *(a2 * b2 * sin^2(C)) / c^2,其中a、b、c分别是正四面体的三条棱长，C是它们之间的角度。

这个公式告诉我们，只要知道正四面体的棱长和它们之间的角度，就可以计算出它的表面积。

不过，这个公式同样只适用于直角正四面体。

4. 正四面体的外接球：如果我们把正四面体放在一个平面上，那么它就是一个六边形。

这个六边形可以被分成六个全等的小三角形，每个小三角形的顶点都在一个圆上。

这个圆就是正四面体的外接球的截面。

通过观察这个截面，我们可以知道正四面体的外接球的大小和形状。

正四面体相关结论正四面体是一种具有特殊性质的几何图形，它由四个相等的正三角形组成，每个角都是60度。

在正四面体中，有一些重要的结论和性质，这些结论和性质在解决相关的几何问题时非常有用。

1、中心与顶点之间的关系正四面体的中心到四个顶点的距离相等，也就是说，中心是四个顶点所组成的菱形的中心。

这个结论可以用于计算正四面体的半径和中心到顶点的距离。

2、边长与高之间的关系正四面体的边长和高之间有一个重要的关系，即高是边长的2/3。

这个结论可以用于计算正四面体的高，也可以用于解决与正四面体的边长和高有关的问题。

3、体积与半径之间的关系正四面体的体积与半径之间有一个重要的关系，即体积是半径的立方根。

这个结论可以用于计算正四面体的体积，也可以用于解决与正四面体的体积和半径有关的问题。

4、三个两两垂直的平面相交于一点在正四面体中，三个两两垂直的平面相交于一点，这个结论可以用于解决与正四面体的三个两两垂直的平面相交有关的问题。

5、相对的两条边互相垂直在正四面体中，相对的两条边互相垂直，这个结论可以用于解决与正四面体的相对的两条边互相垂直有关的问题。

正四面体的一些重要结论和性质在解决相关的几何问题时非常有用，这些结论和性质可以帮助我们更好地理解和解决正四面体的问题。

正四面体外接球和内切球的半径的求法在几何学中，正四面体是一种具有特殊性质的几何形态。

它由四个相等的正三角形构成，每个面都是一个等边三角形。

这种几何形态在许多领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、工程学等。

在解决实际问题时，我们常常需要找出正四面体的外接球和内切球的半径。

下面将介绍两种求法。

第一种方法是通过几何计算直接求解。

首先，我们需要找到正四面体的中心点。

这个点可以通过连接正四面体的四个顶点并取其中间位置来找到。

一旦找到了中心点，我们就可以通过连接这个点和正四面体的各个顶点，找到外接球的球心。

外接球的半径就是从球心到正四面体顶点的距离。

内切球的半径则是从球心到正四面体四个面的中心的距离。

正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的(1)全面积 S 全2a ； (2)体积3； (3)对棱中点连线段的长d=2a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

) (4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos3(7)外接球半径a ； (8)内切球半径r=12a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V= 16a b c ； ④底面面积S △ABC⑤S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2△BOC +S 2△AOB+S 2△AOC =S2△ABC⑦22221111OH a b c =++;⑧外接球半径⑨内切球半径 r=AOBBOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++四面体的性质探究如果从面的数目上来说，四面体是最简单的多面体。

一．四面体性质ABCDO HA BDCOS 1S 2S 3 S 41．四面体的射影定理：如果设四面体ABCD 的顶点A 在平面BCD 上的射影为O ，△ABC 的面积为S 1，△ADC的面积为S 2，△BCD 的面积为S 3，△ABD 的面积为S 4，二面角A-BC-D 为θ1-3，二面角A-DC-B 为θ2-3，二面角A-BD-C 为θ3-4，二面角C-AB-D 为θ1-4，二面角C-AD-B 为θ2-4，二面角B-AC-D 为θ1-2，则S 1 = S 2cosθ1-2 + S 3cosθ1-3 + S 4cosθ1-4 S 2 = S 1cosθ1-2 + S 3cosθ2-3 + S 4cosθ2-4 S 3 = S 1cosθ1-3 + S 2cosθ2-3 + S 4cosθ3-4 S 4 = S 1cosθ1-4 + S 2cosθ2-4 + S 3cosθ3-42．性质2(类似余弦定理)S 12= S 22+ S 32+S 42- 2S 2S 3 cosθ2-3 - 2S 2S 4 cosθ2-4 - 2S 3S 4 cosθ3-4 S 22= S 12+ S 32+S 42- 2S 1S 3 cosθ1-3 - 2S 1S 4 cosθ1-4 - 2S 3S 4 cosθ3-4 S 32= S 12+ S 22+S 42 - 2S 1S 2 cosθ1-2 - 2S 1S 4 cosθ1-4 - 2S 2S 4 cosθ2-4 S 42= S 12+ S 22+S 32- 2S 1S 2 cosθ1-2 - 2S 1S 3 cosθ1-3 - 2S 2S 3 cosθ2-3特别地，当cosθ1-2 = cosθ1-4 = cosθ2-4 = 0，即二面角C-AB-D 、 C-AD-B 、B-AC-D 均为直二面角（也就是AB 、AC 、BC 两两垂直）时，有S 32= S 12+ S 22+S 42， 证明：S 32= S 3S 1cosθ1-3 + S 3S 2cosθ2-3 + S 3S 4cosθ3-4= S 1 S 3cosθ1-3 + S 2 S 3cosθ2-3 + S 3 S 4cosθ3-4= S 1（S 1 - S 2cosθ1-2 + S 4cosθ1-4）+S 2（S 2 - S 1cosθ1-2 + S 4co sθ2-4）+ S 4（S 4 - S 1cosθ1-4 + S 2cosθ2-4）= S 12+ S 22+S 42- 2S 1S 2 cosθ1-2 - 2S 1S 4 cosθ1-4 - 2S 2S 4 cosθ2-4二．正四面体的性质设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积S 全2a ；(2)体积V=312a ；(3)对棱中点连线段的长 a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

正四面体中的几个性质作者：祁绍锋来源：《中学生数理化·学研版》2014年第01期在立体几何中，正四面体是一种特殊的正三棱锥，它有一些很重要的几何性质.回顾近几年的高考试题，我们可以发现有关正四面体的问题是考查的一个热点.命题者往往以正四面体为载体出题，考查立体几何中有关角和距离的知识点，因此我们很有必要系统地整理出它的几何性质，这样有关正四面体的几何问题就能迎刃而解.我们不妨以棱长是的正四面体为例.如右图1，O为底面BCD的中心，AO⊥底面BCD，AO为正四面A-BCD的高，∠ABO是棱AB与底面BCD所成的角，连结BO延长交CD于点E，则E为CD中点且BE⊥CD，，连结AE，则AE⊥CD，AE为正四面体的斜高，∠AEO 为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角.一、垂直问题（1）对棱互相垂直（如图1中AB⊥CD）简证：因为O是△ABC的中心，所以BE⊥CD，BE是AB在平面BCD内的射影，由三垂线定理可知AB⊥CD.（2）设O1为AO的中点，则BO1、CO1、DO1两两垂直简证：如图2中CO1=DO1= ，而CD= ， CO12+DO12=CD2，故∠CO1D=90°，即CO1⊥DO1，同理可证CO1⊥BO1 ，BO1⊥DO1.所以BO1、CO1、DO1两两垂直.应用举例：如右图，正四面体ABCD的棱长为1，G是底面△ABC的重心，点M在线段DG上，且使得∠AMB=90°，则DM的长为 .略解：由上可知当M为DG的中点时，满足∠AMB=90°，所以DM= .二、距离问题（1）顶点A到底面BCD的距离（正四面体顶点到底面的距离）如图1中AO⊥底面BCD，所以AO为顶点A到底面BCD的距离，AO= = = .应用举例：把半径为1的四个球垒成两层放在桌面上，下层放三个，上层放一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度.分析：四个球的球心构成一个正四面体顶点.解：四个球两两相切，球心组成一个正四面体的顶点，正四面体的棱长为2，此正四面体的高为，所以上层小球最高点离桌面的高度 +2.（2）棱AB与棱CD的距离（正四面体中对棱的距离）如图3中E、F分别为AB与CD的中点，易证EF为AB与CD的公垂线，EF= = = .应用举例：某同学为加强体育组环境管理，订做了半径为2R圆柱形铁筐（既有上盖也有下底），用来盛放半径为R的篮球，则该筐最多可放篮球的个数为（）A 22B 24C 26D 28略解：当如右图所示两球两球交替上叠，相邻四个篮球两两相切，任意相邻四个篮球球心的连线刚好组成一个正四面体，这样能装得最多，若记同一高度的两个篮球为一层，则上层两球心的连线与下层两球心的连线刚好是棱长为2R的正四面体的一组对棱，距离为，假设最多可以叠放n层.那么20R-2R≥ ×（n-1）（n∈N*），n≤9 +1≈13.728；所以最多可放13层，共26个篮球.所以选C.评注：球与球相组合的问题，直观图比较难画，一般可考虑通过画球心代替球，组成一个多面体来解决相关问题.三、空间角问题（1）对棱所成的角（异面直线所成的角）为90°略解：方法一：如右图中G为AC中点，连结FG与EG，则FG=EG= ，又因为EF= ，所以EG2+FG2=EF2，即EG⊥FG， AD与BC所成的角是90°.方法二：∵AD与BC异面垂直，∴AD与BC所成的角是90°.（2）侧棱与底面所成的角（直线与平面所成的角）为 .略解：如图1中∠ABO为棱AB与底面BCD所成的角，∵BO= ×BE= × = ，AB= ，AO⊥BO，∴ = = ， = .（3）两侧面所成的角或侧面与底面所成的角（面与面所成的角）为略解：∵BE⊥CD，AE⊥CD，方法一：如图1中∠AEO为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角，在Rt△AEO 中，EO= BE= AE， = ，所以 = .方法二：如图1中∠AEB为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角，在△ABE 中，AE=BE= ，AB= ， = = ，所以 = .评注：在正四面体中求直线所成角、二面角的时候，通常转化到斜高、斜高在底面的射影与高线或侧棱、侧棱在底面的射影与高线所组成的直角三角形中，将空间图形转化为平面图形，这样求解将会变得比较方便.四、内切球与外接球问题（1）内切球半径 =略解：设一个面的面积为S，内切球球心O1，连结A O1、CO1、DO1，则 = + + +即 =4× S×，因此 = .评注：用等体积法求几何体中内切球半径是一种学生比较容易掌握的方法.（2）外接球半径R=略解：棱长为的正四面体可以补出一个与它有相同外接球的正方体，正四面体的六条棱刚好是正方体六个面的六条面对线，而正方体的外接球半径等于正方体对角线长的一半，设此正方体的棱长为x，则外接球的半径R= x，由图可知 = ，所以R= .应用举例：甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空结构为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是 .若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为（）A B C D略解：先补出以四个氢原子为顶点的正四面体的外接正方体，它们有相同的外接球半径，由题意可知此外接球半径为，任意两个氢原子之间的距离 = = .所以选C.评注：正四面体中与外接球半径有关的问题，我们可以将正四面体补形为正方体，这样解题可以避免复杂的作图过程.。

高中数学正四面体的结论
正四面体（Regular Tetrahedron），是高中数学中常用的几何体之一，它是一个三维的，拥有四个平行面的晶体。

它是比较容易了解的几何形状，下面就介绍其特性：
一、正四面体的顶角：
正四面体的每个顶角都是一个直角，它们夹在三条互相垂直的边中，其角度为90°，称为正四面体的几何角。

二、正四面体的边：
正四面体的边长都是相等的，它们互相垂直，三个边可以构成相应的三角形，并且相互平行。

三、正四面体的表面：
正四面体有四个平行面，当三条直线连接某三个顶点时，可以形成正四面体的表面，这四个平行面都是矩形，每个平行面跟每条边相等。

四、正四面体的面积：
正四面体的表面积是a²*√3，它可以通过边长a来计算，也可以用边和顶角来计算表面积。

五、正四面体的体积：
正四面体的体积是a³/6√2，它可以通过边长a来计算，也可以用直角三角形的面积、顶角或平面面积来求解。

总之，正四面体是一个边和顶角都是相等的三维几何体，有许多结论可以推导出来，如面积和体积的计算公式等。

正四面体的学习和考察对于理解高中数学的知识和运用至关重要，是高中数学必不可少的一个概念。

正四面体的体积和表面积的计算
正四面体的体积和表面积可以通过公式计算得出。 体积公式 1/3 * S * H S：底面积 H：高
表面积公式 a² * √3 a：边长
与正四面体相关的例题分析
通过课程学习，你已经具备了解决类似数学问题的工具和技巧。我们来看看这个案例。
案例
一个正四面体底面的面积为5 cm²，如果它的高为6 cm，那么这个正四面体的体积和表面积分别是多少？
解答
根据公式体积 = 1/3 * 底面积 * 高 可以得到: 体积 = 1/3 * 5 * 6 = 10 (cm³) 通过公式表面积 = 底面积 * √3可得： 表面积 = 5 * √3≈8.66 (cm²)
正四面体的应用
正四面体是一种具有很高对称性的多面体，因此常用作装饰、建筑、佛教神像和化学分子等领域。例如，硼、 磷、氮和甲烷等分子形状就与正四面体非常相似。
正四面体的高、中心和垂心
在几何关系中，高和垂心非常重要。
高
正四面体的高是由顶点到底面垂 线的长度。
重心
正四面体的重心是所有顶点的平 均值。它位于一条连接底面三角 形重心和顶点垂线上，距离底边 中点是2/3高的长度。
垂心
正四面体不存在固定的垂心。垂 心是指一条直线，使四面体的每 个顶点都位于这条直线上，并且 正交于这条直线。
正四面体的对称性很独特，并且具有很高的对称性。把正四面体旋转一定的角度，你得到的仍然是一个 正四面体。
1
面对称性
沿着相邻两个面之间的对称轴旋转180°
2
棱对称性
沿着连接相邻棱的对称轴旋转120°
3
顶点对称性
沿着连接相邻顶点的对称轴旋转90°
正四面体的外接球和内切球
正四面体有两个球，一个可以紧贴它的面，另一个则可以被它所包含。分别是外接球和内切球。

高一数学正四面体知识点正四面体是一种特殊的多面体，具有一些独特的性质和特点。

在高一数学中，正四面体是一个重要的几何概念，学习正四面体的知识点对于理解空间几何关系和解决相关问题至关重要。

本文将为大家介绍高一数学中与正四面体相关的知识点。

一、正四面体的定义和性质正四面体是由等边三角形组成的四面体。

其定义需要满足以下条件：1. 四个面均为等边三角形；2. 任意两个面的交线是一个点，称为顶点；3. 任意两个顶点之间的线段相等。

正四面体具有以下性质：1. 所有边长相等，所有的面都是等边三角形；2. 任意两个面之间的夹角为60度；3. 所有的侧面都与底面平行；4. 顶点到底面的距离是底边的一半。

二、正四面体的体积和表面积计算1. 体积计算：正四面体的体积计算公式为V = (√2/12) * a³，其中a为边长。

证明过程：设A为底面中心点，连接A与顶点B，由于正四面体对称性，三角形ABC是等边三角形。

连接O为AB上的中线，连接C为底面上的点到顶点B的垂线，由勾股定理，AB²=BO²+AO²，得到AB²= (1/4)a²+a²，即AB=√2/2 * a。

由底面AB与顶点C的连线构成一个立体角∠ABC，因此这个角是等角，其大小为60°，同时，BC与底面上任意一条边都是垂直的，也即与该底面平行，所以这个三面角是一个锐角。

我们先求出这个三角形底边的长度，设为h，可知tan60°=h/AB,即h=AB*√3=√2/2 * a * √3=a√6/2，所以a*h= (1/4)*a²√6。

故正四面体的体积为V= (1/3)*底面面积*高= (1/3)* (1/4)*a²√3 * a√6/2 = (1/12)*a³√2。

2. 表面积计算：正四面体的表面积计算公式为S = √3 * a²，其中a为边长。

正四面体的性质及其应用举例设棱长a 为的正四面体ABCD 的高为h ，内切球半径为r ，外接球半径为R ,体积为V ，则有下列结论：3h a =，312V a =，1412r h a ==，344R h a ==， 10928AOB '∠≈,1cos 3AOB ∠=−对边互相垂直，对边之间的距离为2a .正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值，即等于该正四面体的高. 例1.已知半径为1的球面上有,,A B C 三个点，且它们之间的球面距离均为3π，则球心O到平面ABC 的距离为（ ）2A3B 1.2C7D解：如图所示：1OA OB OC ===,又3AB BC CA π===,球的半径为1，所以3AOB BOC COA π∠=∠=∠=,则1AB BC CA ===.所以为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心到平面ABC的距离即为其高为3，故选.B例2.已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ）6A a12B a .4aC8D aB解：直接运用正四面体的性质，内切球的半径为12r a =，中截面到底面的距离为高的一半6a ，则球O 到平面M的距离为61212a a a −=，故选.B 例3（2006年陕西卷）将半径为R 四个球两两相切放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为 .解：设四个球心分别为,,,A B C D ,则四面体ABCD长为2R ,最上面的球心为D 到底面ABC 的距离为3R所以最上面一个球的球心到桌面的距离为(1R R R =+ . 例4（2006年山东卷）：在等腰梯形ABCD中（如图1），22,60,AB DC DAB E ==∠=为AC 的中点，将ADE ∆与BEC ∆ 分别沿ED 、EC 向上折起，使,A B 重合于P （如图2） ，则三棱锥P DEC − 的外接球的体积为（ ）.27A 2B π 8C 24D 解：三棱锥实质上是棱长为1的正四面体，则其外接球的体积为3344(3348V R πππ===,故选.C例5(2006年湖南卷)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球心的一个截面如图1，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）2A 2B C D 图2图1解：由截面图形可知，正四面体恰好有两个顶点在球面上，且截面园经过其外接球的球心（正四面体的中心）由正四面体的对称性可知M 为AB 对棱CD 的中点, M 到AB 的距离即为正四面体对棱之间的距离（公垂线的长度）2a ，所以1222ABC S ∆=⨯=.2020.05.05。

正四面体的性质及应用正四面体是立体几何中的基本几何体，它蕴涵着极为丰富的线面的位置、数量关系．在近年来各类考试中，正四面体倍受命题者青睐，命题者常以正四面体中的线面问题为载体，借以考察学生的数学思维能力和思维品质．因此，一线师生在教学过程中，应对这个几何体引起足够的重视．笔者在长期的教学中对正四面体进行了深入研究、潜心挖掘，得出了一些优美、简洁的结论．下面给出正四面体的相关结论，并利用这些结论解决问题，以期能对同学们学习立体几何有所启示．一、理顺正四面体性质——固本清源不妨设正四面体ABCD的棱长为a，则存在着以下定理：定理1．正四面体的3对异面棱均互相垂直，任意一对异面棱之间的距离均为；定理2．正四面体的高为；定理3．正四面体的内切球半径为，外接球半径为，且有；略证：如图1，易知正四面体的外接球心与内切球心重合为点O，并且位于正四面体的高AH上，连结BO、CO、DO，易知，且，从而AO、BO、CO、DO两两所确定的平面将正四面体分割成四个形状相同的正三棱锥：，，且每一个小正三棱锥的高都是内切球的半径，于是有，即，亦即有，所以，．故定理4．正四面体的全面积为，体积为；定理5．正四面体底面内任一点O到三个侧面的距离的之和；正四面体内任意一点到四个侧面的距离之和(仿定理3利用体积分割法易证)．定理6．正四面体的侧棱与其底面所成的线面角大小为；定理7．正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为；略证：设相邻两个侧面所成的角为，由于四个侧面的面积均相等，所以由射影面积公式知．定理8．设正四面体的侧棱与底面所成的角为，相邻两个侧面所成的二面角记为，则有略证：如图1所示，易知，，由H为的中心，易知，从而．定理9．正四面体的外接球的球心与内切球的球心O重合且为正四面体的中心；中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等，其大小为，此角即为化学中甲烷分子结构式中的键位角．略证：如图1，在三角形AOB中，，，由余弦定理可求得，于是．同理可得．定理10．正四面体内接于一正方体，且它们共同内接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线．二、运用正四面体性质——化繁为易1．巧算空间距离例1．一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则求此球的体积．分析一：由定理10知，将正四面体嵌于正方体的内部，然后再利用正四面体的棱与球相切，则该半径与正方体的内切半径相等进行求解．解法一．如图2所示，将正四面体补成正方体，易知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球．∵正四面体的棱长为a，∴正方体的棱长为．∴正方体的内切球半径．∴．分析二：根据正四面体的对称性，结合定理1可知，该球的球心应位于正四面体的中心，其直径即为正四面体相对棱之间的距离．解法二．∵正四面体的棱长为a，∴由定理1可知，相对棱间的距离为．即该球的半径为．∴．例2．在棱长为2的正四面体木块ABCD的棱AB上有一点P（），过P点要锯出与棱AB垂直的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD上锯痕，在面ABC上的锯缝，求锯缝MN的值．解：如图3，取AB的中点E，连结CE，DE，则为正四面体相邻两面的二面角的平面角，由条件知∠MPN也是正四体相邻两面的二面角的平面角，即∠NPM＝∠CED，由定理7可知，于是，在中，由余弦定理得，∴2．妙求空间角例3．设P为空间一点，PA、PB、PC、PD是四条射线，若PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，则这些角的余弦值为．解：如图4，构造正四面体ABCD，设P为四面体的中心，则PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，设，由正四面体的性质，可知余弦值为例4．如图5，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连结AF、CE．⑴求异面直线直线AF和CE所成的角；⑵求CE与面BCD所成的角．解：⑴连结FD，在平面AFD内，过点E作EG∥AF交DF于点G．则是异面直线AF与CE所成的角（或其补角）．设正四面体ABCD的棱长为a，可得，，．由余弦定理可求得．故异面直线AF与CE所成的角为．⑵由已知易知平面AFD⊥平面BCD，在平面AFD内，过点E作EH⊥FD于点H，连结CH，则∠ECH为CE与平面BCD所成的角．∵EH为正四面体高的一半，由正四面体性质的定理2知．∴．∴CE与底面BCD所成的角为．例5．如图6，正四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，CC1和DD1是该球的直径，求面ABC与面AC1D1所成角的正弦值．解：由正四面体性质定理10知正四面体内接于一球，该正方体也内接于此球，且正方体的对角线为此球的直径，如图所示，即CC 1、DD 1为该球的直径．连结C 1D 1，交AB 于点M ，连结MC ．∵ MC ⊥AB ，MD 1⊥AB ，∴ ∠CMD 1为平面ABC 与平面AC 1D 1所成的角．设正方体棱长为a ，在中，．∴ 平面ABC 与平面ACD 所成的角的正弦值为．归纳反思：正四面体是立体几何中一个重要的数学问题载体，在平时的学习过程中若能有意识地研究它、利用它，就能较好地培养我们数学思维的“方向感”和思路的“归属感”，有助于促进自己数学思维空间的拓展、数学品质的提升．1.在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中不P ABC -D E F AB BC CA成立的是　②　．①面；//BC PDF ②面面；PDF ⊥ABC ③面；DF ⊥PAE ④面面．PAE ⊥ABC2.正四面体中，与平面ABCD AB ACD3.如图，正四面体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则的值ABCD E F AD BC EF BA为 ()A ．4B ．C ．D ．24-2-选：．C 4.以下说法①三个数，，之间的大小关系是；20.3a =2log 0.3b =0.32c =b a c <<②已知：指数函数过点，则；()(0,1)x f x a a a =>≠(2,4)log 41a y =③；3④已知函数的值域是，，则的值域是，；()y f x =[13]()(1)F x f x =-[02]⑤已知直线平面，直线在内，则与平行．//m αn αm n 其中正确的序号是　①③　．5.在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为 A BCD -M AB CM AD ()A ．BCD ．1223选：．C 6.在正四面体中，、分别为棱、的中点，连接、，则异面直线ABCD E F AD BC AF CE 和所成角的正弦值为 AF CE ()A ．B ．CD 1323选：．D【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．本题易错点在于要看清是求异面直线和所成角的正弦值，而不是余弦值，不要错选答AF CE 案．B 7.如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，A BCD -E AD P AC BP PE +，则该正四面体的外接球的体积是 ()A B ．C D ．6π32π选：．A 8.棱长为1的正四面体中，为棱上一点（不含，两点），点到平面ABCD E AB A B E ACD和平面的距离分别为，，则的最小值为　BCD a b 11a b+【考点】：基本不等式及其应用7F 【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：不等式5F 5T 【分析】设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交O ACD OB EF AO ⊥F AO CD于点，则点为的中点．设．，，M M CD (01)AE AB λλ=<<23AO AM =AM =．由，可得．同理可得：BO =//EF BO EF BO a λ===．代入利用基本不等式的性质即可得出．)b EN λ==-【解答】解：如图所示，设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点O ACD OB EF AO ⊥F AO CD ，则点为的中点．M M CD 设．(01)AE AB λλ=<<2233AO AM ===BO ∴==，//EF BO．EF BO a λ∴===同理可得：．)b EN λ==-当且仅当时取等号．∴2111111()11(1)()2a b λλλλλλ+=+==+---…12λ=故答案为：9.已知是正四面体棱的中点，是棱上异于端点，的任一点，则下列M ABCD AB N CD C D 结论中，正确的个数有 ()（1）；（2）若为中点，则与所成角为；MN AB ⊥N MN AD 45︒（3）平面平面；（4）存在点，使得过的平面与垂直．CDM ⊥ABN N MN AC A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】：异面直线及其所成的角；：空间中直线与直线之间的位置关系；：LM LO LW 直线与平面垂直；：平面与平面垂直LY 【专题】14：证明题【分析】连接、，可证明出平面，从而，得（1）正确；取CM DM AB ⊥CDM MN AB ⊥AC 中点，连接、，利用三角形中位线定理证明出、所成的直角或锐角，E EM EN EN NM 就是异面直线、所成的角，再通过余弦定理，可以求出与所成角为MN AD MN AD ，故（2）正确；根据（1）的正确结论：，结合平面与平面垂直的判定定45︒MN AB ⊥理，得到（3）正确；对于（4），若存在点，使得过的平面与垂直，说明存在N MN AC 的一个位置，使．因此证明出“不论在线段上的何处，都不可能有N MN AC ⊥N CD ”，从而说明不存在点，使得过的平面与垂直．MN AC ⊥N MN AC 【解答】解：（1）连接、CM DM正中，为的中点ABC ∆M AB CM AB∴⊥同理，结合DM AB ⊥MC M D M= 平面，而平面AB ∴⊥CDM MN ⊆CDM，故（1）是正确的；MN AB ∴⊥（2）取中点，连接、AC E EM EN中，、分别是、的中点ADC ∆ E N AC CD ，．//EN AD ∴12EN AD =、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角EN ∴NM MN AD设正四面体棱长为，在中，2a MCD ∆2CM DM a ===则中Rt MNC ∆122CN a a =⨯=∴MN ==在中，MNE ∆122ME EN a a ==⨯=∴222cos 2EN MN EM ENM EN MN +-∠==⨯⨯，即异面直线、所成的角是，故（2）正确；45ENM ∴∠=︒MN AD 45︒（3）由（1）的证明知：平面AB ⊥CDM平面AB ⊂ ABN平面平面，故（3）正确；∴ABN ⊥CDM （4）若有，根据（1）的结论，MN AC ⊥MN AB ⊥因为、相交于点，所以平面AB AC A MN ⊥ABC中，，MCD ∆ CM MD ==2CD a =2221cos 023CM MD CD CMD CM MD +-∴∠==> 可得是锐角，说明点在线段上从到运动过程中，CMD ∠N CD C D 的最大值是锐角，不可能是直角，CMN ∠因为平面，与不能垂直，CM ⊂ABC CM NM 以上结论与平面矛盾，MN ⊥ABC 故不论在线段上的何处，都不可能有．N CD MN AC ⊥因此不存在点，使得过的平面与垂直．N MN AC 综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）故选：．C 10.棱长为的正四面体中，给出下列命题：a ①正四面体的体积为；324a V =②正四面体的表面积为；2S =③内切球与外接球的表面积的比为；1:9④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值．上述命题中真命题的序号为　②③④　．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；：棱柱、棱锥、棱台的体积LE LF 【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离5F【分析】①正四面体的高，体积为，计算即h ==213V =可判断出正误；②正四面体的表面积为，即可判断出正误；24S a =③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；r R 23143r ⨯=r，解得，即可判断出正误；R =R ④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则H，化简即可判断出正误．221133H ⨯=【解答】解：①正四面体的高，体积为h ==，因此不正确；3231324a V ==≠②正四面体的表面积为，正确；224S a ==③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；r R 23143r ⨯=r =，解得．R =R =，因此表面积的比为，正确；:1:3r R ∴=1:9④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则H，化简可得：，即为正四面体的高，221133H ⨯=H =均为定值，正确．上述命题中真命题的序号为②③④．。

5.点到平面的距离的求法
(1)定义法：可以利用两个平面垂直作出点到平面的垂线段.
(2)等积法：可以通过换底法把距离问题转化为体积和面积的计算.
(3)向量法：设A是平面α外一点，B是平面α上一点，n是平面α的法向量， → |AB·n|
则A到平面α的距离是___|n__| __.
PART TWO
常用结论
3 3
D.直线 BO 与直线 AD1 的夹角为π3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
故 V 球＝43πr3＝43π· 33R3＝4273πR3，
V 圆锥＝13πR2·( 3R)＝ 33πR3，
所以
V
圆锥∶V
球＝
33πR3∶4273πR3＝9∶4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.(多选)(2022·石家庄模拟)设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的 平面，则下列结论不正确的是
(4)面面垂直 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔ a2a3＋b2b3＋c2c3＝0 .
4.利用空间向量求空间角 (1)设直线l1，l2的夹角为θ，则有cos θ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直 线l1，l2的方向向量). (2)设直线l与平面α的夹角为θ，则有sin θ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的 方向向量，n是平面α的法向量). (3)设平面α，β的夹角为θ，则有cos θ＝|cos〈n1，n2〉|(其中n1，n2分别是 平面α，β的法向量).
V＝
1 3
S底h＝_13_π_r_2_h_
直棱柱 正棱锥
S侧＝Ch(C为底面周长)
S侧＝12
Ch′(C为底面周长，

<<正四面体>>课堂实录成都航天中学 邓成兵（一）情景引入:师：正四面体是最为简约而又优美的多面体，它有4个顶点、4个面、6条相等的棱，它是一种特殊的正三棱锥——底面边长等于侧棱长。

在历年的高考数学试题中，多次出现正四面体的有关计算问题，主要有三种类型：（1）正四面体的计算；（2）正四面体与正方体的计算；（3）正四面体与球的计算。

下面请同学们展示一下你们得到的正四面体有关性质.首先哪位同学上台展示你们小组的成果:（二）、知识碰闯；万天平(学生):我们组得到的性质如下：①、它们6条棱均相等；②、相邻棱的夹角为060；（①、②这两条性质比较简单就不用证明） ③、相对棱的两条异面直线垂直（对棱垂直）④、对棱的中点是这两条棱的公垂线且长为a 22（以下把正四面体的边长设为a ）。

⑤、相邻的两个面的二面角相等且余弦值为1⑥、侧棱与底面所成的角相等且余弦值为33容易知道侧棱与底面所成的角相等，∠PAO 为PA 与底面ABC 所成的角。

可求AO=3a 3，PA=a ，PO ⊥面ABC 即PO ⊥AO ；在R t ΔPAO 中,cos ∠PAO=33PO AO = ⑦、相邻两个面中平行与交线的中位线与棱的交点所成的四边形为正方形。

（由于时间关系，同学们下来做）例1：已知S-ABC 为正四面体，且E 、F 、G 、H 分别为四 面体的四个面的中心； （1）、求证：四面体EFGH 为正四面体；（2）、求ABCS FHG E S :--表表S （3）、求ABCS FHG E V :--V廖红菊（学生）：我们组得到的性质是：⑧、正四面体的外接球的半径与正四面体棱长的关系是：a 46R =分别取BC 、PA 的中点D 、E ，连结DE ，则DE 为PA 、BC 的公垂线段，且与高1PO 的交点O 是外接球的球心，连结AO 、AD 。

在中，由于,a 23AD =a 21AE =可得a 22DE =，所以 a 42E O =，于是外接球的半径a 46E O AE AO R 22=+== 师：非常好！你在这个推导过成中，还可以得到什么样的结论？廖红菊：（思考片刻）可以算出1PO 长度。