选修2-1第三章3.1.3空间向量的数量积运算学案及作业

§2.2.1两个向量的数量积学习目标1.明确空间中两个向量夹角的范围，及异面直线夹角的定义。

2.理解空间中两个向量的数量积的定义、性质及运算律，并能够利用空间向量数量积解学习过程【任务一】阅读教材，明确相关知识点阅读教材P85-87内容，解决下面问题1.空间中两个向量的夹角：2.两条异面直线的夹角：3.空间中两个向量的数量积：4.空间中两个向量数量积的性质和运算律：【任务二】典型例题分析阅读教材P87例1，完成下边例1.例1：在长方体''''D C B A ABCD -中：（1）哪些棱所在直线与直线'AA 成异面直线，且互相垂直？（2）已知1,3'==AA AB ，求向量BA 分别与'',C B C D CC 和的夹角。

例1图 例2图 阅读教材P87例3，完成下边例2.例2：已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为1，设AA ===',,，求：（1）)(c b a +⋅； （2）)(c b a a ++⋅；（3）)()(c b b a +⋅+； （4++【任务三】课堂达标练习1.对于向量,,和实数λ，下列为真命题的是（ ）A.若0=⋅，则=或=。

B.若=λ，则0=λ或=。

C.若22b a =，则=或-=。

D.若c a b a ⋅=⋅，则c b =。

2.︒>=<==60,,4-等于3.若向量,1)(,1,2=+⋅==，则向量,的夹角的大小为4.已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为1，设AA ===',,，求：（1）''DB AC ⋅，><'',DB AC ；（2）AD BD ⋅'5.已知四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，点G F E ,,分别是棱DC AD AB ,,的中点，求下列向量的数量积：（1）⋅ （2）⋅ （3） ⋅（4）⋅ （5）⋅ （5）⋅。

3.1.3 空间向量的数量积运算[目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．[重点] 空间向量的数量积运算．[难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题．知识点一 空间向量的夹角[填一填]1．定义：(1)条件：a ，b 是空间的两个非零向量． (2)作法：在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b . (3)结论：∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ，b ．2．范围：a ，b ∈[0，π]，其中， (1)当a ，b ＝0时，a 与b 的方向相同． (2)当a ，b ＝π时，a 与b 的方向相反． (3)当a ，b ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .[答一答]1．若a ，b 是空间的两个非零向量，则－a ，b ＝a ，－b ＝a ，b ，对吗？ 提示：不对．∵－a 与a ，－b 与b 分别是互为相反向量，∴－a ，b ＝a ，－b ＝π－a ，b ．知识点二 空间向量的数量积[填一填]1．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos a，b叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos a，b．(2)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量数量积的性质[答一答]2．类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？提示：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘积．3．对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？提示：不能，若a，b，c是非零向量，则a·b＝a·c得到a·(b－c)＝0，即可能有a⊥(b－c)成立．4．对于向量a，b，若a·b＝k，能不能写成a＝k b？提示：不能，向量没有除法，kb无意义．5．为什么(a·b)c＝a(b·c)不一定成立？提示：由定义得(a·b)c＝(|a||b|cos a，b)c，即(a·b)c＝λ1c；a(b·c)＝a(|b||c|cos b，c)，即a(b·c)＝λ2a，因此，(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可．3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．类型一空间向量的数量积运算【例1】如下图所示，已知正三棱锥A-BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点．求下列向量的数量积．(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →；(3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.【解】 (1)由题知|AB →|＝|AC →|＝a ，且〈AB →，AC →〉＝60°，∴AB →·AC →＝a ·a ·cos60°＝12a 2. (2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，且〈AD →，BD →〉＝60°.∴AD →·BD →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(3)|GF →|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，∴〈GF →，AC →〉＝180°.∴GF →·AC →＝12a ·a ·cos180°＝－12a 2.(4)|EF →|＝12a ，|BC →|＝a ，又EF →∥BD →，∴〈EF →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝60°.∴EF →·BC →＝12a ·a ·cos60°＝14a 2.在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)．解：如图所示，(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝12；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.类型二 利用数量积求夹角【例2】 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．【分析】 求异面直线BA 1与AC 所成的角，可转化为求向量BA 1→与AC →所成的角，因此可先求BA 1→·AC →，再求|BA 1→|，|AC →|，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别．【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB 1→·BA →＝BB 1→·BC →＝0，所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →)＝BA →·BC →－BA →2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA →＝－1.又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝ 3.所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →|BA 1→||AC →|＝－16＝－66. 则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．解：不妨设正方体的棱长为1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC →＝a ＋b .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1.而|A 1B →|＝|AC →|＝2， ∴cos 〈A 1B →，AC →〉＝12×2＝12，∴〈A 1B →，AC →〉＝60°. ∴异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°.类型三 利用数量积求距离【例3】 在正四面体ABCD 中，棱长为a .M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.【分析】 转化为求向量MN →的模，然后将向量MN →分解，再根据数量积运算性质进行求解．【解】 因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →· ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2.所以|MN |＝53a .求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离.如下图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使直线AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD →＝0，同理BA →·AC →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°.∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴BD →2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·CD →＝3＋2·1·1·cos 〈BA →，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4 (〈BA →，CD →〉＝60°)，2 (〈BA →，CD →〉＝120°).∴|BD →|＝2或2，即B ，D 间的距离为2或 2.类型四 利用数量积证明垂直问题【例4】 如下图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面P AC.【分析】 本题考查利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0求证线面垂直，关键是在平面P AC 中找出两相交向量与向量B 1O →垂直．【证明】 不妨设正方体的棱长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝a ·c ＝0.由题图得：P A →＝PD →＋DA →＝－12AA 1→－AD →＝－b －12c ，PC →＝PD →＋DC →＝－12AA 1→＋AB →＝a －12c ，B 1O →＝B 1B →＋BO →＝－c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b －c .∵P A →·B 1O →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c ＝12a ·b －12b 2＋b ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2，PC →·B 1O →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c ＝－12a 2＋12a ·b －a ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2，又∵|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0，∴P A →·B 1O →＝0，PC →·B 1O →＝0.∴P A →⊥B 1O →，PC →⊥B 1O →.∴P A ⊥B 1O ，PC ⊥B 1O .又∵P A ∩PC ＝P ，∴B 1O ⊥平面P AC .用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 证明：如图．方法一：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，∴AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0.AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB →2－AB →·BD →＝AB →·AC →－AB →2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0.∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC .方法二：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，∵AB ⊥CD ，∴AB →·CD →＝0，即AB →·(AD →－AC →)＝0，a ·(c －b )＝0，即a ·c ＝b ·a .∵AC ⊥BD ，∴AC →·BD →＝0，即AC →·(AD →－AB →)＝0，b ·(c －a )＝0，即b ·c ＝b ·a .∴a ·c ＝b ·c ，c ·(b －a )＝0，即AD →·(AC →－AB →)＝0，AD →·BC →＝0.∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC.1．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线AC 1和BD 1相交于点O ，则有( C)A.AB →·A 1C 1→＝2a 2B.AB →·AC 1→＝2a 2C.AB →·AO →＝12a 2D.BC →·DA 1→＝a 2解析：∵AB →·AO →＝AB →·12AC 1→＝12AB →·(AB →＋AD →＋AA 1→) ＝12(AB →2＋AB →·AD →＋AB →·AA 1→)＝12AB →2＝12|AB →|2＝12a 2.2．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( B )A ．14 B.14 C ．4 D ．2解析：|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴|a －2b ＋3c |＝14.3．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于－2.解析：a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2.4．已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则 |a －b ＋2c |等于 5. 解析：(a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a·b ＋4a·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos60°＝5，∴|a －b ＋2c |＝ 5.5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2.BD →·AC →＝(AD →－AB →)·AC →＝AD →·AC →－AB →·AC →，由于AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝AD →·AD →＝1，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos60°＝2×2×12＝1.∴BD →·AC →＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ，∴BD ⊥平面ADC .。

3.1.3 空间向量的数目积【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解观点，达成导学纲要；2．小组合作，着手实践。

【学习目标】1.掌握空间向量夹角和模的观点及表示方法；2.掌握两个向量的数目积的计算方法，并能利用两个向量的数目积解决立体几何中的一些简单问题．3.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；4.掌握空间向量的坐标运算的规律；【要点】利用两个向量的数目积解决立体几何中的问题．【难点】空间向量的坐标运算的规律一、自主学习1 预习教材P90~ P92, 解决以下问题复习 1：什么是平面向量 a 与 b 的数目积？复习 2：在边长为 1 的正三角形⊿ ABC 中，求 AB BC .2.导学纲要1)两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a, b ，在空间，作OA a, OB b.，则 AOB 叫做向量 a 与b的夹角，记作⑴范围:a,ba, b =0 时 , a 与 b; a,b =π时 , a 与 b⑵a, bb , a 成立吗？⑶a, b，则称 a 与b相互垂直，记作.2) 向量的数目积：已知向量 a, b ，则叫做a, b的数量积，记作 a b ，即a b.⑴ 两个向量的数目积是数目仍是向量？⑵0 a（选0仍是0）⑶你能说出 a b 的几何意义吗？3)空间向量数目积的性质：（ 1）设单位向量 e ，则a e| a | cos a, e．（ 2） a b a b．（ 3）a a＝.（ 4） cos a ,b=____________4)空间向量数目积知足哪些运算律：_____________________________⑴（a b) c a (b c) 吗？举例说明.⑵若 a b a c ，则b c 吗？为何?⑶若 a b0 ，则a0 或b0 吗？为何？5)对空间的随意愿量a，可否用空间的几个向量独一表示？假如能，那需要___个向量？这几个向量有何地点关系？⑴ 空间的随意愿量 a ，均可分解为不共面的三个向量 1 a1、 2 a2、 3 a3 ，使 a 1 a1 2 a2 3 a3. 假如 a1 , a2 , a3两两，这类分解叫空间向量的___________.(2) 空间向量基本定理：假如三个向量a,b, c，对空间任一直量p ，存在有序实数组 { x, y, z} ，使得 p xa yb zc . 把的一个基底 a, b, c 都叫做 __________. 空间随意一个向量的基底有个 .一个基底能够表示_____个空间向量？(3) 假如空间一个基底的三个基向量相互，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，往常用_________表示 .⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz 和向量 a，且设 i、j 、 k 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{ x, y, z} ，使得 a xi y j zk，则称有序实数组{ x, y, z} 为向量a的坐标，记住p.⑸设 A (x1 , y1 , z1 ) ， B ( x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ＝.⑹向量的直角坐标运算：设 a＝(a1, a2, a3)， b＝(b1,b2,b3)，则⑴ a＋ b＝_________________；⑵ a－ b＝_________________；⑶ λa＝__________________; (R) ；⑷a· b＝_____________________.6)试用向量方法证明直线与平面垂直的判判定理二、典型例题例 1.1.以下命题中：①若 a b0 ，则 a ， b 中起码一个为 0②若 a 0 且 a b a c ，则 b c③ (a b) c a(b c)④ (3a2b)(3a22 2b) 9 a 4 b正确有个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D.3个2. 已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下边向量中与2e2e1垂直3的是（）A.e1e2B.e1e2C.e1D.e23.若 a,b,c 为空间向量的一组基底，则以下各项中，能组成基底的是（）A. a, a b,a bB.b, a b, a bC.c, a b, a bD.a2b, a b, a b4.设 i、 j、k 为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且 AB i j k ，则点 B 的坐标是5.已知ABC 中，A, B, C 所对的边为 a,b, c ，且 a 3,b 1 , C 30,则 BC CA =6.在三棱锥OABC中， G 是ABC的重心（三条中线的交点），选用OA,OB ,OC 为基底，试用基底表示OG ＝7.已知 a 4 ， b 2 ，且 a 和 b 不共线，当a b 与 a b 的夹角是锐角时，的取值范围是.8.正方体 ABCD A'B'C'D' 的棱长为2，以 A 为坐标原点，以 AB,AD,AA '为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向成立空间直角坐标系， E 为 BB1中点，则 E 的坐标是.9.已知向量a,b 知足a 4 ， b 2 ， a b3，则 a b____10.已知对于x 的方程 x2t 2 x t 23t50 有两个实根， c a tb ，且 a1,1,3 , b 1,0, 2 ，当 t＝时， c 的模获得最大值 .例 2如图，在空间四边形ABCD 中，AB 2 ，BC3，BD 2 3，CD 3 ，DABD30 ， ABC 60，求 AB 与 CD 的夹角的余弦值A CB变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C1中，若AB = 2 BB 1,则 AB 1与 C1 B 所成的角为（）A.60°B. 90°C. 105°D. 75°例 3 如下图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60°角，求 B、 D 间的距离．→→→例 4 在平行六面体ABCD －A′B′C′D′中，－ *6] ·OC＝a，AD＝b，AA′＝c，P是 CA′的中点， M 是 CD′的中点， N 是 C′D′的中点，点Q 是 CA′上的点，且 CQ∶ QA′＝ 4∶ 1，用基底 { a，b，c} 表示以下向量：（1）AP；→；(2)AM(3) AN；→(4)AQ.三、变式训练：课本第92 页练习1-3，94页练习1-3题四、讲堂小结1．知识：2．数学思想、方法：3．能力：五、课后稳固1.课本第 98 页 A 组 3、4 题2.已知空间四边形ABCD 中，AB CD ，AC BD ，求证：AD BC .DA CB3.已知 a, b, c 是空间的一个正交基底，向量 a b, a b,c 是另一组基底，若 p 在 a,b, c 的坐标是1,2,3 ，求 p 在 a b, a b, c 的坐标 .。

3.1.3 空间向量的数量积运算[目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．[重点] 空间向量的数量积运算．[难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题．知识点一 空间向量的夹角[填一填]1．定义：(1)条件：a ，b 是空间的两个非零向量．(2)作法：在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b . (3)结论：∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ，b ．2．范围：a ，b∈[0，π]，其中，(1)当a ，b ＝0时，a 与b 的方向相同． (2)当a ，b ＝π时，a 与b 的方向相反． (3)当a ，b＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . [答一答]1．若a ，b 是空间的两个非零向量，则－a ，b ＝a ，－b ＝a ，b ，对吗？提示：不对．∵－a 与a ，－b 与b 分别是互为相反向量，∴－a ，b＝a ，－b ＝π－a ，b ．知识点二 空间向量的数量积[填一填]1．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos a ，b 叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b＝|a ||b |cosa ，b ．(2)运算律：①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 2．空间向量数量积的性质[答一答]2．类比平面向量，你能说出a ·b 的几何意义吗？提示：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ的乘积． 3．对于向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？提示：不能，若a ，b ，c 是非零向量，则a ·b ＝a ·c 得到a ·(b －c )＝0，即可能有a ⊥(b －c )成立．4．对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，能不能写成a ＝k b？ 提示：不能，向量没有除法，k b无意义． 5．为什么(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立？ 提示：由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cosa ，b )c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝a (|b ||c |cos b ，c )，即a (b ·c )＝λ2a ，因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．类型一 空间向量的数量积运算【例1】 如下图所示，已知正三棱锥A ­BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积．(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.【解】 (1)由题知|AB →|＝|AC →|＝a ，且〈AB →，AC →〉＝60°， ∴AB →·AC →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，且〈AD →，BD →〉＝60°. ∴AD →·BD →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(3)|GF →|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，∴〈GF →，AC →〉＝180°.∴GF →·AC →＝12a ·a ·cos180°＝－12a 2.(4)|EF →|＝12a ，|BC →|＝a ，又EF →∥BD →，∴〈EF →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝60°. ∴EF →·BC →＝12a ·a ·cos60°＝14a 2.在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)． 解：如图所示，(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝12；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.类型二 利用数量积求夹角【例2】 如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．【分析】 求异面直线BA 1与AC 所成的角，可转化为求向量BA 1→与AC →所成的角，因此可先求BA 1→·AC →，再求|BA 1→|，|AC →|，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别．【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB 1→·BA →＝BB 1→·BC →＝0， 所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →)＝BA →·BC →－BA→2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA →＝－1. 又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝ 3.所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC→|BA 1→||AC →|＝－16＝－66.则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．解：不妨设正方体的棱长为1， 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC →＝a ＋b .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1.而|A 1B →|＝|AC →|＝2，∴cos 〈A 1B →，AC →〉＝12×2＝12，∴〈A 1B →，AC →〉＝60°.∴异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 类型三 利用数量积求距离【例3】 在正四面体ABCD 中，棱长为a .M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.【分析】 转化为求向量MN →的模，然后将向量MN →分解，再根据数量积运算性质进行求解． 【解】 因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 所以|MN |＝53a .求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离.如下图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使直线AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°， ∴AC →·CD →＝0，同理BA →·AC →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°. ∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →， ∴BD →2＝BA →2＋AC →2＋CD→2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝BA→2＋AC→2＋CD→2＋2BA →·CD →＝3＋2·1·1·cos〈BA →，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧4 〈BA →，CD →〉＝60°， 2〈BA →，CD →〉＝120°.∴|BD →|＝2或2，即B ，D 间的距离为2或 2. 类型四 利用数量积证明垂直问题【例4】 如下图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC .【分析】 本题考查利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0求证线面垂直，关键是在平面PAC 中找出两相交向量与向量B 1O →垂直．【证明】 不妨设正方体的棱长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b＝b ·c ＝a ·c ＝0.由题图得：PA →＝PD →＋DA →＝－12AA 1→－AD →＝－b －12c ，PC →＝PD →＋DC →＝－12AA 1→＋AB →＝a －12c ，B 1O →＝B 1B →＋BO →＝－c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b －c .∵PA →·B 1O →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝12a ·b －12b 2＋b ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2， PC →·B 1O →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝－12a 2＋12a ·b －a ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2，又∵|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0，∴PA →·B 1O →＝0，PC →·B 1O →＝0.∴PA →⊥B 1O →，PC →⊥B 1O →. ∴PA ⊥B 1O ，PC ⊥B 1O .又∵PA ∩PC ＝P ，∴B 1O ⊥平面PAC .用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 证明：如图．方法一：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0.AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC .方法二：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， ∵AB ⊥CD ，∴AB →·CD →＝0，即AB →·(AD →－AC →)＝0，a ·(c －b )＝0，即a ·c ＝b ·a . ∵AC ⊥BD ，∴AC →·BD →＝0，即AC →·(AD →－AB →)＝0，b ·(c －a )＝0， 即b ·c ＝b ·a .∴a ·c ＝b ·c ，c ·(b －a )＝0， 即AD →·(AC →－AB →)＝0，AD →·BC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC.1．如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线AC 1和BD 1相交于点O ，则有( C)A.AB →·A 1C 1→＝2a 2B.AB →·AC 1→＝2a 2C.AB →·AO →＝12a 2D.BC →·DA 1→＝a 2解析：∵AB →·AO →＝AB →·12AC 1→＝12AB →·(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(AB →2＋AB →·AD →＋AB →·AA 1→)＝12AB →2＝12|AB →|2＝12a 2. 2．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( B ) A ．14 B.14 C ．4 D ．2解析：|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴|a －2b ＋3c |＝14.3．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于－2.解析：a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 4．已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则 |a －b ＋2c |等于 5.解析：(a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a·b ＋4a·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos60°＝5，∴|a －b ＋2c |＝ 5.5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2. BD →·AC →＝(AD →－AB →)·AC →＝AD →·AC →－AB →·AC →，由于AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝AD →·AD →＝1，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos60°＝2×2×12＝1.∴BD →·AC →＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ， ∴BD ⊥平面ADC .。

§3.1.3 空间向量的数量积（三）学习目标：1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

一、主要知识：1、空间向量的夹角及其表示：2、空间向量的数量积及性质：3、空间向量数量积运算律：二、典例分析： 〖例1〗：已知正四面体O ABC -的棱长为，求：（1）OA OB ⋅u u u r u u u r ；（2）()()OA OB CA CB +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r ；（3）OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r 。

〖例2〗：如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=o ，60OAB ∠=o ，求OA 与BC 的夹角的余弦值。

〖例3〗：已知线段,AB BD 在平面α内，BD AB ⊥，线段AC α⊥，若,,AB a BD b AC c ===，求,C D 间的距离。

〖例4〗：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 与BD 的交点，G 为1CC 的中点。

求证：1A O ⊥面GBD 。

三、课后作业： 1、设,a b r r 为空间的非零向量，下列各式：①22a a =r r ；②2a b b a a ⋅=r r r r r ；③ ()2222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r ；④()222a b a b ⋅=⋅r r r r 。

其中正确的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、已知,a b 是异面直线，且a b ⊥，12,e e r r 分别为取自直线,a b 上的单位向量，且1223a e e =+r r r ，12b ke e =-r r r ，a b ⊥r r ，则实数k 的值为（ ）A 、6-B 、6C 、3D 、3- 3、设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，0AC AD ⋅=u u u r u u u r ，0AB AD ⋅=u u u r u u u r ，则BCD ∆是A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、不确定4、已知,a b 是异面直线，,A B a ∈，,C D b ∈，AC b ⊥，BD b ⊥，且2,1AB CD ==，则,a b 所成的角为（ ） A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o5、空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC u u u r u u u r >的值是（ ）A 、21B 、22C 、－21D 、06、在正四面体S ABC -中，,E F 分别是,SC AB 的中点，则异面直线,EF SA 所成的角为（ ）A 、90oB 、60oC 、45oD 、30o7、已知a =r 4b =r ，m a b =+r r r ，n a b λ=+r r r ，,135a b =o r r ，m n ⊥r r ，则λ= 。

3.1.3 空间向量的数量积运算学习目标：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．空间向量的夹角 (1)夹角的定义图3­1­15已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉． (2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量垂直，记作a ⊥b .2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉(2)数量积的运算律：(3)思考：(1)若a ·(2)若a ·b >0，则〈a ，b 〉一定是锐角吗？[提示] (1)若a ·b ＝0，则不一定有a ⊥b ，也可能a ＝0或b ＝0(2)当〈a ，b 〉＝0时，也有a ·b >0，故当a ·b >0时，〈a ·b 〉不一定是锐角．[基础自测]1．思考辨析(1)在△ABC 中，〈AB →，BC →〉＝∠B ．( )(2)在正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，AB →与A ′C ′→的夹角为45°.( ) (3)0·a ＝0.( )(4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉为钝角．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则〈A ′B →，B ′D ′→〉等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°D [△B ′D ′C 是等边三角形，〈A ′B →，B ′D ′→〉＝〈D ′C →，B ′D ′→〉＝120°.] 3．已知|a |＝3，|b |＝2，a ·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝________.【导学号：46342138】23π [cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12. 所以〈a ，b 〉＝23π.][合 作 探 究·攻 重 难](1)) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)如图3­1­16所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求值：图3­1­16(1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →； (4)AB →·CD →.[解析] (1)由题意知，p ·q ＝0，p 2＝q 2＝1所以a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2－2q 2＋p ·q ＝1. [答案] A(2)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉 ＝12cos 60°＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12.(3)EF ·DC →＝12BD →·DC →＝－12DB →·DC →＝－12×cos 60°＝－14.(4)AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝cos 60°－cos 60°＝0.1．(1)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →＝________.【导学号：46342139】14a 2 [AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →·12AD →＝12AB →·AD →＋14BC →·AD →＝12a 2cos 60°＝14a 2.] (2)在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G 为△ABC 的重心，则OG →·(OA →＋OB →＋OC →)＝________.143 [OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →) ＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13OB →＋13OC →＋13OA →∴OG →·(OA →＋OB →＋OC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OB →＋13OC →＋13OA →·(OA →＋OB →＋OC →)＝13OB →2＋13OC →2＋13OA →2＝13×22＋13×32＋13×12＝143.]OA ，BC 的中点，G是MN 的中点，求证：OG ⊥BC ．[解] 连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋12(OB →＋OC →)＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG →⊥BC →，即OG ⊥BC ．[跟踪训练]2．如图3­1­17，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，CD ′与DC ′相交于点O ，连接AO ，求证：图3­1­17(1)AO ⊥CD ′；(2)AC ′⊥平面B ′CD ′.[证明] (1)因为AO →＝AD →＋DO →＝AD →＋12(DD ′→＋DC →)，因为CD ′→＝DD ′→－DC →， 所以AO →·CD ′→＝12(DD ′→＋DC →＋2AD →)·(DD ′→－DC →)＝12(DD ′→·DD ′→－DD ′→·DC →＋DC →·DD ′→－DC →·DC →＋2AD →·DD ′→－2AD →·DC →)＝12(|DD ′→|2－|DC →|2)＝0，所以AO →⊥CD ′→，故AO ⊥CD ′. (2)因为AC ′→·B ′C →＝(AB →＋BC →＋CC ′→)·(B ′B →＋BC →)＝AB →·B ′B →＋AB →·BC →＋BC →·B ′B →＋BC →·BC →＋CC ′→·B ′B →＋CC ′→·BC →， 可知AB →·B ′B →＝0，AB →·BC →＝0， BC →·B ′B →＝0，BC →·BC →＝|BC →|2， CC ′→·B ′B →＝－|CC ′→|2，CC ′→·BC →＝0，所以AC ′→·B ′C →＝|BC →|2－|CC ′→|2＝0， 所以AC ′→⊥B ′C →，所以AC ′⊥B ′C ． 同理可证，AC ′⊥B ′D ′.又B ′C ，B ′D ′⊂平面B ′CD ′，B ′C ∩B ′D ′＝B ′，所以AC ′⊥平面B ′CD ′.如图3­1­18，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值.【导学号：46342140】图3­1­18[思路探究] 求异面直线OA 与BC 所成的角，首先来求OA →与BC →的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化． [解] ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.∴cos〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225，∴异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.3.如图3­1­19，已知直三棱柱ABC ­A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．图3­1­19(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D ．(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. ∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.[探究问题]1．异面直线AB ，CD 所成的角为60°，则〈AB →，CD →〉的值是多少？ 提示：〈AB →，CD →〉＝60°或120°2．如图3­1­20，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，试求A ，D 两点间的距离．图3­1­20提示：∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC ＋2AB →·CD ＋2BC →·CD →＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，∴|AD →|＝22，即A ，D 两点间的距离为2 2.如图3­1­21所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．图3­1­21[思路探究] BD →＝BA →＋AC →＋CD →→得到|BD →|2的值，注意对〈BA →，CD →〉的讨论→得B ，D 间的距离[解] ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD ＝0，同理可得AC →·BA →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或〈BA →，CD →〉＝120°.又BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos〈BA →，CD →〉．∴当〈BA →，CD →〉＝60°时，|BD →|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA →，CD →〉＝120°时，|BD →|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.4.如图3­1­22所示，在空间四边形OABC 中，OA ，OB ，OC 两两成60°角，且OA ＝OB ＝OC ＝2，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，试求E ，F 间的距离．图3­1­22[解] EF →＝EA →＋AF →＝12OA →＋12(AB →＋AC →)＝12OA →＋12[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝－12OA →＋12OB →＋12OC →，所以EF 2→＝14OA →2＋14OB →2＋14OC →2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12OA →·OB →＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12OA →·OC →＋2×12×12OB →·OC →＝2.∴|EF →|＝2，即E ，F 间的距离为 2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．3D ．－3B [由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0， |e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0， ∴2k －12＝0，∴k ＝6.]2．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，有下列命题： ①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°. 其中真命题的个数为( )【导学号：46342141】A ．1B ．2C ．3D ．0B [对于①，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝AA 1→2＋AD →2＋AB →2＝3AB →2，故①正确； 对于②，A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0，故②正确． 对于③，〈AD 1→，A 1B →〉＝120°，故③错．]3．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( ) A ．12 B ．22 C ．－12D ．0 D [OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos∠AOC －|OA →||OB →|cos∠AOB ＝12|OA →||OC →|－12|OA→||O B →|＝0，∴OA →⊥BC →，∴cos〈OA →，BC →〉＝0.]4．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________.0 [原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →)＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0.]5．如图3­1­23，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝C ．图3­1­23(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长.【导学号：46342142】[解] (1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a ) ＝13a ＋13b ＋13C ． (2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5， ∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.。

《空间向量的数量积运算》导学案制作人王维审核高二数学组2016-02-29【学习目标】1、理解空间向量夹角的概念及表示方法；2、理解空间向量数量积的概念、运算性质及运算律；3、通过探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题与解决问题的能力.【学习重点】空间向量数量积的概念、运算性质及运算律【学习难点】空间向量数量积的概念、运算性质及运算律的运用【问题探究】探究活动一：两空间向量的夹角探究活动二：空间向量的数量积探究活动三：空间两个向量的数量积的性质探究活动四：空间向量的数量积满足的运算律【预习导航】1、复习回顾：平面向量的数量积运算2、如何进行空间向量的数量积运算？【思考】如何运用空间向量的数量积运算处理有关问题？1•【应用训练】【练习题】1、在平面内的一条直线 ,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 ,那1、向量a 、b 之间的夹角为30 0，且a = 3 ，b = 4 ，则么它也和这条斜线垂直.a •b = __________， a 2 = __________， b 2= __________，（a + 2b ） (a - b ) = __________.2、已知 a = 2 2夹角.， b =22 ，a • b = 2 ，试求向量 a 与 b的【总结概括】2 、已知l ⊥ n ，m ， n 是平面α求证：l ⊥α.内的两条相交直线，若l ⊥ m ，本节课的收获：【分层作业】 必做题：教材第 98 页习题 第 3,4 题选做题：同步练习册课后作业提升习题2。

3．1.3空间向量的数量积运算1.了解空间向量夹角的概念及表示方法．2.掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．3．能将立体几何问题转化为向量运算问题．1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法〈a，b〉范围通常规定，0≤〈a，b〉≤π，当〈a，b〉＝π2时，a⊥b 空间向量的夹角与向量位置关系(1)〈a，b〉＝0时，向量a，b方向相同．(2)〈a，b〉＝π时，向量a，b方向相反．(3)〈a，b〉＝π2时，向量a⊥b.2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.运算符“·”：其中a·b中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“×”代替．(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c向量数量积的垂直若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0共线同向：则a·b＝|a|·|b|反向：则a·b＝－|a|·|b|性质模a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2|a|＝a·a|a·b|≤|a|·|b|夹角θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量AB→与CD→的夹角等于向量AB→与DC→的夹角．()(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(3)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等．()(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.()(5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝() A．－2B．－1C．±1 D.2答案：A在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是()A.AB→与A′C′→B.AB→与C′A′→C.AB→与A′D′→D.AB→与B′A′→答案：A已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．答案：2π3已知向量a，b满足：|b|＝2，〈a，b〉＝45°，且a与2b－a互相垂直，则|a|＝________．答案：2探究点1 空间向量的数量积运算[学生用书P55]已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积． (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·⎣⎡⎦⎤12（c －a ）＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→) ＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.[变问法]若本例的条件不变，计算EF →·FC 1→. 解：EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎡⎦⎤12（AA 1→－AB →）＋12AD →·⎝⎛⎭⎫12AD →＋AB → ＝⎣⎡⎦⎤12（c －a ）＋12b ·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.空间向量数量积的计算问题的解题思路(1)在几何体中求空间向量数量积的步骤①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； ③代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．(2)长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直或特殊角等条件．1.已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝________．解析：(2a －b )·a ＝2a 2－b ·a ＝2|a |2－|a ||b |cos 120°＝2×4－2×5×⎝⎛⎭⎫－12＝13. 答案：132．如图，已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →； (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)．解：在正四面体OABC 中，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1， 〈OA →，OB →〉＝〈OA →，OC →〉＝〈OB →，OC →〉＝60°. (1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA →2＋2OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →2－2OB →·OC →＝12＋2×12－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1.探究点2 利用向量的数量积判断或证明垂直问题[学生用书P56]如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .求证：P A ⊥BD .【证明】 由底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，知DA ⊥BD ，则BD →·DA →＝0.由PD ⊥底面ABCD ，知PD ⊥BD ，则BD →·PD →＝0. 又P A →＝PD →＋DA →，所以P A →·BD →＝(PD →＋DA →)·BD →＝PD →·BD →＋DA →·BD →＝0，即P A ⊥BD .利用向量数量积判断或证明线线、线面垂直的思路(1)由数量积的性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ，b ≠0)可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱CC 1，BC ，CD的中点，求证：A 1G ⊥平面DEF .证明：设正方体的棱长为a ，因为A 1G →·DF →＝(A 1A →＋AD →＋DG →)·(DC →＋CF →)＝A 1A →·DC →＋AD →·DC →＋DG →·DC →＋A 1A →·CF →＋AD →·CF →＋DG →·CF →＝DG→·DC→＋AD→·CF→＝12a2－12a2＝0，所以A1G⊥DF，同理可证A1G⊥DE，又DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面DEF.探究点3利用空间向量的数量积求夹角[学生用书P56]已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量OE→与向量BF→所成角的余弦值．【解】设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝π3，则a·b＝b·c＝c·a＝12.因为OE→＝12(OA→＋OB→)＝12(a＋b)，BF→＝OF→－OB→＝12OC→－OB→＝12c－b，|OE→|＝|BF→|＝32，所以OE→·BF→＝12(a＋b)·⎝⎛⎭⎫12c－b＝14a·c＋14b·c－12a·b－12b2＝－12，设OE→与BF→所成的角为θ，cos θ＝OE→·BF→|OE→||BF→|＝－1232×32＝－23.所以向量OE→与向量BF→所成角的余弦值是－23.求两个向量的夹角的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围．(2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求向量BC 1→与AC →的夹角的大小．解：法一：如图，连接AD 1，CD 1，因为AD 1→＝BC 1→， 所以∠CAD 1的大小就等于〈BC 1→，AC →〉． 因为△ACD 1为等边三角形，所以∠CAD 1＝60°. 所以向量BC 1→与AC →的夹角的大小为60°.法二：设正方体的棱长为1，则|BC 1→|＝2，|AC →|＝ 2.BC 1→·AC →＝(BC →＋CC 1→)·(AB →＋BC →)＝(AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋|AD →|2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝0＋|AD →|2＋0＋0＝|AD →|2＝1.cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝12×2＝12，所以〈BC 1→，AC →〉＝60°.即向量BC 1→与AC →的夹角的大小为60°.探究点4 利用数量积求两点间的距离[学生用书P56]如图，在三棱锥A -BCD 中，底面边长与侧棱长均为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD上的点，且MB ＝2AM ，CN ＝12ND ，求MN 的长．【解】 因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →) ＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →2＝⎝⎛⎭⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →2＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2 ＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2 ＝59a 2， 所以|MN →|＝53a .则MN 的长为53a .求两点间的距离或线段的长度的方法(1)将此线段用向量表示．(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量． (3)利用|a |＝a 2，计算出|a |，即得所求距离．1.已知在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝AD ＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC 1的长为( )A ．6 B. 6 C ．3D. 3解析：选B.设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， 因此a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.由AC 1→＝a ＋b ＋c 得|AC 1→|2＝AC 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝6. 所以|AC 1→|＝6，故选B.2．如图，在120°的二面角α-l -β中，A ∈l ，B ∈l ，AC ⊂α，BD ⊂β且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B ，已知AC ＝AB ＝BD ＝6，则线段CD 的长应为________．解析：因为AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， 所以CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0， 又因为二面角α-l -β的平面角为120°， 所以〈CA →，BD →〉＝60°， 所以CD 2＝|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋BD →·AB →)＝3×62＋2×62×cos 60°＝144， 所以CD ＝12. 答案：121．已知|p |＝|q |＝1，且〈p ，q 〉＝90°，a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D.4答案：A2．已知空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A.12B.22 C ．－12D.0解析：选 D.OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝12|OA →||OC →|－12|OA →||OB →|＝0，所以OA →⊥BC →.所以cos 〈OA →，BC →〉＝0.3．若a ，b ，c 为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a －b ＋2c |＝________． 答案： 54．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →与A 1P →所成角的大小为________，B 1C →·A 1P →＝________．解析：法一：连接A1D，则∠P A1D就是B1C→与A1P→所成角．连接PD，在△P A1D中，易得P A1＝DA1＝PD＝2，即△P A1D为等边三角形，从而∠P A1D＝60°，即B1C→与A1P→所成角的大小为60°.因此B1C→·A1P→＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B1C→·A1P→＝(A1A→＋AD→)·(AD→＋12AB→)＝AD→2＝1.由题意可得P A1＝B1C＝2，则2×2×cos〈B1C→，A1P→〉＝1，从而〈B1C→，A1P→〉＝60°.答案：60° 1[学生用书P57]知识结构深化拓展1.空间向量数量积性质的应用(1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论用于证明空间中的垂直关系．(2)|a|2＝a2，此结论用于求空间中线段的长度．(3)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，此结论用于求有关空间角的问题．(4)|b|cos〈a，b〉＝a·b|a|，此结论用于求空间中的距离问题．2．空间向量的数量积的三点注意(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.(3)空间向量没有除法运算：即若a·b＝k，则没有a＝kb.[学生用书P131(单独成册)])[A 基础达标]1．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D.－3解析：选B.由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0， |e 1|＝|e 2|＝1，所以(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0， 所以2k －12＝0， 所以k ＝6.2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 解析：选C.AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD → ＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →) ＝14(a ×a ×12＋a ×a ×12)＝14a 2. 3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是 ( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD →与AB →D.P A →与CD → 解析：选A.可用排除法．因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，P A →·CD →＝0，排除D. 又因为AD ⊥AB ，所以AD ⊥PB ， 所以DA →·PB →＝0，同理PD →·AB →＝0，排除B ，C ，故选A. 4.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6 C ．12D.144解析：选 C.因为PC →＝P A →＋AB →＋BC →，所以PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2P A →·AB →＋2P A →·BC →＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC ＝12.5．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D.等边三角形解析：选B.因为DB →＋DC →－2DA →＝(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)＝AB →＋AC →， 所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0， 所以|AB →|＝|AC →|， 即△ABC 是等腰三角形．6．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________． 解析：原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →) ＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0. 答案：07．如图，已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB →·AE →＝________．解析：AE →＝AA 1→＋AD →＋12AB →，AB →·AE →＝AB →·AA 1→＋AB →·AD →＋12AB →2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：14 8.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．解析：不妨设棱长为2，则AB 1→＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝（BB 1→－BA →）·（BC →＋12BB 1→）22×5＝0－2＋2－022×5＝0，所以〈AB 1→，BM →〉＝90°.答案：90°9．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，D 1D 的中点，正方体的棱长为1.(1)求〈CD →，AF →〉的余弦值； (2)求证：BD 1→⊥EF →.解：(1)AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→＋12CD →＝AA 1→－12AB →.因为AB →·AD →＝0，AB →·AA 1→＝0，AD →·AA 1→＝0， 所以CE →·AF →＝(AA 1→－12AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA 1→＝12. 又|AF →|＝|CE →|＝52，所以cos 〈CE →，AF →〉＝25.(2)证明：BD 1→＝BD →＋DD 1→＝AD →－AB →＋AA 1→，EF →＝ED 1→＋D 1F →＝－12(AB →＋AA 1→)，所以BD 1→·EF →＝0，所以BD 1→⊥EF →. 10．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长． 解：(1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N → ＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→ ＝13(c －a )＋a ＋13(b －a ) ＝13a ＋13b ＋13c . (2)因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，所以|a ＋b ＋c |＝5， 所以|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53. [B 能力提升]11．已知空间四边形ABCD 中，∠ACD ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝2，CD ＝1，则AB 与CD 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D.90°解析：选C.根据已知∠ACD ＝∠BDC ＝90°，得AC →·CD →＝DB →·CD →＝0，所以AB →·CD →＝(AC→＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋|CD →|2＋DB →·CD →＝|CD →|2＝1，所以cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12，所以AB 与CD 所成的角为60°.12．在三棱锥O -ABC 中，OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，∠BOC ＝60°，OA ＝OB ＝OC ＝2，若E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，则EF ＝________．解析：因为EF →＝OF →－OE →＝12(OB →＋OC →)－12OA →，所以|EF →|2＝14(OB →＋OC →－OA →)2＝14(OB →2＋OC →2＋OA →2＋2OB →·OC →－2OB →·OA →－2OC →·OA →)． 又由已知得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，OA →⊥OB →，OA →⊥OC →，OB →·OC →＝2×2×12＝2，所以|EF →|2＝14(4＋4＋4＋4)＝4.所以|EF →|＝2，即EF ＝2. 答案：2 13.(选做题)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长为 2. (1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1)证明：AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝BB 1→＋BC →. 因为BB 1⊥平面ABC ， 所以BB 1→·AB →＝0，BB 1→·BC →＝0. 又△ABC 为正三角形，所以〈AB →，BC →〉＝π－〈BA →，BC →〉＝π－π3＝2π3.因为AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BB 1→＋BC →)＝AB →·BB 1→＋AB →·BC →＋BB 1→2＋BB 1→·BC → ＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝－1＋1＝0， 所以AB 1⊥BC 1. (2)结合第一问知AB 1→·BC 1→＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝BB 1→2－1. 又|AB 1→|＝（AB ―→＋BB 1―→）2＝2＋BB 1→2＝|BC 1→|. 所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝BB 1→2－12＋BB 1→2＝12，所以|BB 1→|＝2， 即侧棱长为2.。

3.1.3 空间向量的数量积运算学习目标1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.3.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．知识点一空间向量的夹角思考〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？[答案]〈a，b〉与〈b，a〉分别表示向量a，b与b，a的夹角，根据空间向量夹角的定义知〈a，b〉与〈b，a〉相等．梳理(1)如图所示，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a与b的夹角的范围是[0，π]，其中当〈a，b〉＝0时，a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，a与b方向相反；当〈a，b〉＝π2时，a与b互相垂直．反之，若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；若a⊥b，则〈a，b〉＝π2.知识点二数量积的概念及运算律1．已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2．空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)|a|2＝a·a，|a|＝a·a.(3)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|. 3．空间向量数量积的运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)．(2)a·b＝b·a(交换律)．(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．(1)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(×)(2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(3)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(√)(4)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(√)类型一数量积的计算例1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD 的中点，求：(1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →；(4)AB →·CD →.考点 空间向量数量积的概念及性质题点 用定义求数量积解 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA → ＝12|BD →||BA →|·cos 〈BD →，BA →〉 ＝12cos 60°＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12. (3)EF →·DC →＝12BD →·DC → ＝12|BD →|·|DC →|cos 〈BD →，DC →〉 ＝12cos 120°＝－14. (4)AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝cos 60°－cos 60°＝0.反思与感悟 (1)已知a ，b 的模及a 与b 的夹角，直接代入数量积公式计算．(2)如果要求的是关于a 与b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a ·a ＝|a |2及数量积公式进行计算．跟踪训练1 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED 1-→；(2)BF →·AB 1-→；(3)EF →·FC 1-→.考点 空间向量数量积的概念及性质题点 用定义求数量积解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1-→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1-→＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16. (2)BF →·AB 1-→＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2 ＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1-→＝⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋12b ·⎝⎛⎭⎫12b ＋a＝12(－a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2. 类型二 利用数量积证明垂直问题例2 (1)已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，那么AD 与BC 的位置关系 为_______．(填“平行”或“垂直”)考点 空间向量数量积的应用题点 数量积的综合应用[答案] 垂直[解析] ∵AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB →2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0，∴AD 与BC 垂直．(2)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .考点 空间向量数量积的应用题点 数量积的综合应用证明 设A 1B 1-→＝a ，A 1D 1-→＝b ，A 1A -→＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |.∵A 1O -→＝A 1A -→＋AO →＝A 1A -→＋12(AB →＋AD →) ＝c ＋12a ＋12b ， BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1-→ ＝12a ＋12b －12c ∴A 1O -→·BD →＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a ＝12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. 于是A 1O -→⊥BD →，即A 1O ⊥BD .同理可证A 1O -→⊥OG →，即A 1O ⊥OG .又∵OG ∩BD ＝O ，OG ⊂平面GBD ，BD ⊂平面CBD ，∴A 1O ⊥平面GBD .反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a ，b ，c 有关的向量m ，n 垂直的方法先用向量a ，b ，c 表示向量m ，n ，再判断向量m ，n 的数量积是否为0.跟踪训练2 如图，在空间四边形OACB 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .考点 空间向量数量积的应用题点 数量积的综合应用证明 因为OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ，所以△OAC ≌△OAB ，所以∠AOC ＝∠AOB .又OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos ∠AOC －|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝0，所以OA →⊥BC →，即OA ⊥BC .类型三 利用数量积解决空间角或距离问题命题角度1 解决角度问题例3 在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC →所成角的余弦值．考点 空间向量数量积的应用题点 利用数量积求角解 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162， ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225. 反思与感悟 求两个空间向量a ，b 夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B与AC 所成的角．考点 空间向量数量积的应用题点 利用数量积求解解 不妨设正方体的棱长为1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1-→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，A 1B -→＝a －c ，AC →＝a ＋b .∴A 1B -→·AC →＝(a －c )·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1，而|A 1B -→|＝|AC →|＝2， ∴cos 〈A 1B -→，AC →〉＝12×2＝12，∵〈A 1B -→，AC →〉∈(0°，180°)，∴〈A 1B -→，AC →〉＝60°.因此，异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°.命题角度2 求空间中的两点间的距离例4 如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，求EF 的长．考点 空间向量数量积的应用题点 利用数量积求线段长解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1-→＝c .由题意，知|a |＝|b |＝|c |＝2，且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°.因为EF →＝EA →＋AA 1-→＋A 1F -→＝－12AB →＋AA 1-→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以|EF →|2＝EF →2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝⎛⎭⎫－12a ·12b ＋12b ·c －12a ·c＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝⎛⎭⎫－14×2×2cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF →|＝5，即EF ＝ 5.反思与感悟 求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．跟踪训练4 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．考点 空间向量数量积的应用题点 利用数量积求线段长解 因为AC 1-→＝AB →＋AD →＋AA 1-→，所以AC -→21＝(AB →＋AD →＋AA 1-→)2＝AB →2＋AD →2＋AA -→21＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→)． 因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，所以AC -→21＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为AC →21＝|AC 1→|2，所以|AC 1-→|2＝23，则|AC 1-→|＝23，即AC 1＝23.1．对于向量a，b，c和实数λ，下列说法正确的是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c考点空间向量数量积的概念及性质题点数量积的性质[答案] B[解析]结合向量的运算，只有B正确．2．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则“c·a＝0且c·b＝0”是“l⊥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用[答案] B[解析]若a∥b，则不一定得到l⊥α，反之成立．3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于()A．97 B．97C．61 D．61考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长[答案] C[解析] |2a －3b |2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61，∴|2a －3b |＝61.4．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________. 考点 空间向量数量积的应用题点 利用数量积求角[答案] 3π4 [解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－22，∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝3π4. 5．已知正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________． 考点 空间向量数量积的应用题点 利用数量积求线段长[答案] 2[解析] |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.1．空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．。

高二理科数学学案课题：3.1.3空间向量的数量积运算一、学习目标：类比平面向量学习空间两个向量数量积的概念、性质和运算律 二、重点：掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律难点：会用空间向量的数量积解决有关垂直的问题三、复习回顾：平面内两向量数量积的定义、夹角、性质、运算律、几何意义； 四、自学指导导读：阅读课本90-91页，叙述空间向量数量积的定义、性质及运算律，并思考下列问题 导思1、对于三个均不为0的数a,b,c ，若ab=ac,则b=c 。

对于向量a →、b →、c →，由a →·b →=a →·c →，能得到b →=c →吗？如果不能，请举出反例。

导思2、对于三个均不为0的数a,b,c ，若ab=c ，则a=c b (或cb a=).对于向量a →，b →，若a →·b →=k ，能不能写成a →=kb →（或b →=ka→）？也就是说向量有除法吗？导思3、对于三个均不为0的数a,b,c ，有（ab ）c=a(bc)。

对于向量a →、b →、c →,(.)a b c →→→=(.)a b c →→→成立吗？向量的数量积满足结合律吗五、导练： 1、判断真假22222)4()()3()()()2(0,0,0)1(q p q p q p q p q p c b a c b a b a b a -=-⋅+⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅===⋅则若2、仿照课本例2证明： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射影也垂直。

（三垂线逆定理）3、用向量方法证明线面垂直的判定定理4、已知正方体ABCD A B C D ''''-，CD '和DC '相交于点O ，连结AO ，用向量方法证明：AO CD '⊥。

六、达标检测：课本92页练习1、2、3七、反思小结：。