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04_留数定理

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04留数定理

04留数定理


所以I F cos x,sin x dx
0
2
z z 1 z z 1 dz F( , ) C 2 2i iz
(C : z 1, 逆时针)
数学物理方法
例1
计算积分
I
2
0
1 dx (0 1). 1 cos x
1 z z dz 解：设 z eix 则 cos x ;dx . 2 iz 1 dz 2 1 I 2 dz 1 C 1 ( z z ) / 2 iz i C z (2 / ) z 1
课堂练习
zdz 1 、计算积分 ( z 1)( z 2) (C : z 2 2, 逆时针). C
sin zdz (C : z 2 , 逆时针). 2 、计算积分 2 (2 z )( z ) C
数学物理方法
zdz 1 、计算积分 (C : z 2 2, 逆时针). ( z 1)( z 2) C
(C : z n (n为正整数), 逆时针).
解： f ( z ) tan z
1 sin z z ( k ) (k 0,1,2...) k 的奇点为： 2 cos z
皆为一阶极点，被包围于C中的奇点对应于：
k n, n 1,..., 1,0,1,...n 1,
解：
z1 1, z2 2
皆为一阶极点，并且都被包围于C中
zdz 2i[Re sf ( z1 ) Re sf ( z2 )] ( z 1)( z 2) C 2i[lim ( z 1) f ( z ) lim ( z 2) f ( z )]
z 1 z 2
z 2i z5 4z3
数学物理方法-留数

数学物理方法-留数


2
2
sin ei ei 1 z z1 2i 2i
2. 把原积分变成：
２ R(cos,sin ) d f (z) d z
０
|z|1
2 i f (z)在单位元内孤立奇点的留数之和
5.2 利用留数定理计算实函数积分
１
2 i
C
f
( z )dz

Resf
()
C
１
n
2 i C f (z)dz k1 Resf (bk )
x
二者相加，并注意到右边两个积分的围道的方向
相反，其和为零，得到右边所有有限孤立奇点和
无穷远点的留数之和为0。
5.1 留数及其留数定理
6.所有奇点留数之和：应用
例题：求积分
1
zk

e2 ki/4

i 1
i
k 0 k 1 k 2 k 3
都是一阶极点，且都在 z 2内。
y | z | 2
x
例题
5.1 留数及其留数定理
例4
ez
计算积分 |z|2 z(z 1)2 dz
5.2 利用留数定理计算实函数积分
5.2 利用留数定理计算实函数积分
2.留数定理:证明
如图，在每个孤立奇点bk，以bk为中心，做一个小圆 k ,使得每个 k中只包含一个孤立奇点bk。则根据多联通区域的柯西积分公式
有
m
C
f
z dz
k 1 k
f
z dz
其中
也是逆时针方向的。
k
将f z 在bk的邻域内展开为洛朗级数

f
因此

留数定理

留数定理

留数定理编辑讨论3 上传视频本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。

在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。

它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。

[1]中文名留数定理外文名Residue theorem别称柯西留数定理应用学科工程学、数学适用领域范围工学相关术语解析函数目录1 定律定义2 推导过程3 相关术语定律定义编辑假设U是复平面上的一个单连通开子集，，是复平面上有限个点，是定义在U\{ }的全纯函数。

如果γ是一条把包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个，并且其起点与终点重合，那么：如果γ是若尔当曲线，那么I(γ,ak)=1, 因此：在这里，Res(f, ak)表示f在点ak的留数，I(γ, ak)表示γ关于点ak 的卷绕数[2] 。

卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点ak的次数。

如果γ依逆时针方向绕着ak移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过ak，卷绕数就是零。

推导过程编辑以下的积分在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。

我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。

取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。

路径积分为：由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。

由于z2 + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。

这两个点只有一个在路径所包围的区域中。

由于f(z)是f(z)在z = i的留数是：根据留数定理，我们有：路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：因此如果t> 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零：因此，如果t> 0，那么：类似地，如果曲线是绕过−i而不是i，那么可以证明如果t< 0，则因此我们有：（如果t= 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。

数学物理方法4留数定理

数学物理方法4留数定理


P 0
Res f (0) =
=1
Q(0)
15
例4
计算积分
tan zdz
z =n
(n为正整数).
解 因tan z = sin z = P(z) ; 只以 cos z Q(z)
z=k+1 2
k = 0, 1,
, n 1, n为一阶极点,
Res tan z
z =k + 1 2
=
sin z (cos z)'
• (2) 要计算解析函数的积分，关键：计算留数；
• (3) bj(j=1,2,…)是 l 所包围的f(z)的所有奇点，而不是 f(z)所有的奇点。
6
例1
求
f (z) = z sin z z6
在 z = 0 的留数.
解: 采用洛朗展开式求 a1 :
z
sin z6
z
=
1 z6
z
z
z3 3!
+
Res
f
(1)
=
(2
1 lim
1)! z1
d dz
(z
1)2
ez z(z 1)2
=
lim
z1
d dz
ez z
=
lim
z1
e
z
(z z2
1)
=
0,
所以
ez
l
dz z(z 1)2
= 2 iRes
f (0) + Res
f (1)
= 2 i(1+ 0)= 2 i.
17
（三）无穷远点的留数
定义 设函数 f (z)在圆环域 R z +内解析，
l0
04_留数定理

04_留数定理


应用留数定理计算实变函数定积分 §4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
围道积分法 基本思想：实变函数定积分↔ 基本思想：实变函数定积分↔复变函数回路积分 y l2
l1 a 0 b x
∫
l
f ( z )dz = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( z )dz
l1 l2
几种类型实变定积分的计算方法
1 d m −1 Res f ( z0 ) = lim m −1 ( z − z0 ) m f ( z ) (m − 1)! z → z0 d z
3. 本性奇点的留数通过洛朗展开来计算 本性奇点的留数通过洛朗展开来计算 通过
ze z 例: Res , 2 z −1
dz 例：计算回路积分 ∫ z =1 2 ε z + 2z + ε
解：由 ε z 2 + 2 z + ε = 0 ⇒ f ( z ) =
( 0 < ε < 1)
1 ε z 2 + 2z + ε
的两个单
极点为： 极点为： −1 + 1 − ε 2 −1 − 1 − ε 2 z01 = , z02 = ε ε
ez 例: Res 2 , ∞ z −1 e 1 Res f (1) = , Res f (−1) = − e −1 2 2 e −1 − e Res f (∞) = 2
1 2 3 f ( z) = 1 − + 2 + 3 , z z z
∞
1 1 Resf (∞) = −Res f ⋅ 2 , 0 = 1 z z
2） f ( z ) = ）
e
2
1z
z −z
第四章留数定理

第四章留数定理


k
)
Z=ia在 上半平 面的2 阶极点
例 P82.2(6), 计算 解： I 2
1
2
I

2
x
2 2 2
0
(x a )
dx
z
2 2 2 2
x
2 2 2

(x a )
dx i
Re sf ( z
Im z k 0
k
) f ( z) ，
(z a )

z
2
2 2
,
zz 2i
)
1
1 iz ,
dz
1
2i Re s[ R (
z k 1
zk zk 2
zk zk 2i
)
1 iz k
]
例1[p81.1.2]计算积分：

2
1 (1 cos x)
2
dx
(0 1)
0
解：
I

1
z 1
1
1
[1
2
dz
4 i
2
( z ia ) ( z ia )
Re sf (ia ) lim
d dz
z ia
( z ia )
2
z
2
2 2
( z ia ) ( z ia )

d
z
2 2 z ia
dz ( z ia )

i 4a
I

2
x
2 2 2
0
(x a )
dx i (
i 4a
则

f ( z )dz 0,
当R 时
留数定理

留数定理



lim( z
z1
- 1)
z ez z2 -1

lim
z1
z ez z 1

e 2
Res[
f
(z), -1]

lim ( z
z-1
1)
z z2
ez -1

lim
z-1
z ez z -1

e-1 2
.
因此
C
z z2
ez -
1
d
z
2πi(e 2

e-1 ) 2 π i ch1 2
由此可见, 二阶导数的计算过程将十分繁杂。
[方法二]、但把 m 取得比实际的级数高反而使计算方便。尽
管
z=0
是函数
z
- sin z6
z
的三级极点,
如果认为是六级极点，计
算在 z=0 处的留数, 而更加简便。
Res

z
- sin z6
z
, 0

(6
1 lim
-1)! z0
d5 dz5

n
z

Res[
f
( z ),
zk
](k
1,2,, n)
即 f (z) d z 2 π i Res[ f (z), zk ].
C
k 1
意义：把计算沿路径积分的整体问题化为计算各孤立 奇点留数的局部问题。
讨论问题：柯西积分定理、柯西积分公式与留数定理 的关系如何？
n
f (z) d z 2 π i Res[ f (z), zk ]
z
6

z
- sin z6
z
第一节留数定理 优质课件

第一节留数定理 优质课件

第四章 留数定理
第1节 第2节
第3节
留数定理 应用留数定理计 算实变函数定积分 计算定积分补充例题
1
§4.1 留数定理
一. 留数及留数定理
1. 留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据柯西定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个
=
lim ( z
zz0
-
z0
)
P(z0 Q(z0
) )
=
P(z0 ) Q' (z0 )
例
Re
s

z
ze z 2-
1
,-1


lim z
z-1

1
z
ze z 2-
1

ze z
lim z-1
2z


e -1 2
Re
s

z
ze z 2-
1
,1
(1)+(2)可得
0 2if z在所有各点的留数之和
即函数在全平面上所有各点的留数之和为零,这里所有的点 包括无留数的计算方法
（一）可去奇点的留数： 对于可去奇点由定义知：Resf(z0)=0
（二） 极点的留数
1. 如果z0为f(z)的一阶极点（单极点）, 则
① l 包围一个 f(Z)的孤立奇点Z0 时
( z - z )
f (z)=
ak
k -
k
0
Cauchy 定理知： f (z)dz = f (z)dz
l
l0
又Q
1
2i
留数定理

留数定理


f ( z)
可见，z=1是函数的单极点。
Resf(1)= lim ( z 1) f ( z ) lim
z 1
1 ( z n 1 z n 2
z 1
1 1) n
例2.求函数
f (z)
1 ( z 2 1)3
在 z i 的留数。
解：显然，z=i是函数的三阶极点。
极点的留数
1 例3：确定函数 f (z) 的极点，求出函数在这些。 sin z
极点的留数
解： 函数的奇点是 z nπ , n 0,1,2,3...
limf(z) lim
z nπ z nπ
1 是单极点。 sinz
z nπ lim ( z nπ) f (z) lim z nπ sin z z nπ (1) n
A. 如果z0为f(z)的一阶极点（单极点）, 则
f (z)

k 1

k (z z0） a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z ) a2 ( z z0 ) 2 ...
(z - z0 )f (z) ( z z0 )

k 1

k (z z0） a1 a0 ( z z )1 a1 ( z z0 ) 2 ...

C
P (z) z 1 3 2, Q ( z ) 4 z 4z z 1 1 1 1 d z 2 π i( ) 0 4 4 4 4 4 z 1
例6 计算积分 解

C
ez d z , C为正向圆周|z|=2. 2 z ( z 1)
z=0为被积函数的一级极点, z=1为二级极点, 而
第四章留数定理及其应用

第四章留数定理及其应用

两边沿顺时针方向积分
x ol
f (z)dz l
ak
zkdz
l
ak l zkdz a1 2 i
k
k
66
因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式 中z-1项的系数的a-1相反数，即
Re sf () a1 若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Res f ()一般不为零.
f (z) P(z) 1 其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:
Q(z) sin z
Res
f
(k )
lim
zk
1 (sin z)'
lim
zk
1 cos z
(1)k
k 0, 1, 2,
1144
由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 k 时
的极限点），因此在z=的留数没有意义.
四、推论
若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此 定理称为留数和定理.
77
【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则：
m
l f (z)dz 2 i Resf (bk ) k=1
无限远点的留数为： f (z)dz 2 i Resf () l
b
a F ( x)dx C F (z)dz l F (z)dz
2 i[F(z)在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和].
其中
b
第四章 留数定理及其应用

第四章 留数定理及其应用

z→∞
∫
∞
−∞
f (x) eimxdx = 2πi ∑ Res[ f (z)eimz ]
Imz>0 z>
证明：
∫
C
f (z) eimzdz
imx imz CR
= ∫ f (x) e dx + ∫ f (z) e dz
−R
R
因此
∫
∞
−∞
f (x) e dx = lim ∫ f (z) e dz − lim ∫ f (z) e dz
0
e
Rdϕ ≤ ∫
π /2
−π −mR = (e −1) 2m
0
π /2 − mRϕ e π Rd
2
−π ϕ= e 2
−
2mR
π
ϕ
π
2
0
因此 从而
R→∞ 0
lim ∫
e
−mRsinϕ
−π −mR π R dϕ ≤ lim (e −1) = R→∞ 2m 2m (m> 0)
R→∞ CR
lim ∫ f (z) e dz ≤ lim2M
imz R→∞
π
2m
=0
(m > 0)
若尔当引理成立！ 特别的, 若 ρ = 0, ϕ1 = 0, ϕ2 = π 如右图所示。
类型III 设积分 ∫ f (x) eimxdx, (m > 0)存在， f (z)
−∞
∞
在实轴上没有奇点，在上半平面内只有有限个奇 点，且 lim f (z) = 0, (0 ≤ arg z ≤ π ) ，则
五. 利用留数定理计算复积分
例4.* 计算积分 z 1 ∫c (z −1)(z −3)2 dz， c : | z −3| = 2 计算积分

数学物理方法留数定理


[( z z 0 ) P( z )]' P( z 0 ) = lim = . z z0 Q( z )' Q( z 0 )
12
三、在无穷远点的留数
1.定义 设函数 f (z )在圆环域 R z +内解析，
C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，
1 则称此定值 那末积分 1 f ( z)dz 的值与C无关， 2 i C
1 z z = 6[ + L], z 3! 5!
1 z sin z Res ,0 = c1 = . 6 5! z
3
5
19
说明:在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开罗朗级数求 c1 来计算留数 .
23
z dz , C为正向圆周: z = 2 . 例5 计算积分 4 z 1 C z 在 z = 2 的外部, 除 点外没有 解 函数 4 z 1
其他奇点. z z 4 1 dz = 2iRes f ( z ), C
z z 1
4
=z
3
1 1 1 4 z
=z
3
+ a0 ( z z0 )m + a1 ( z z0 )m +1 + L
9
两边求 m 1 阶导数,
d m 1 m 得 m 1 [( z z0 ) f ( z )] dz
= ( m 1)!a1 +(含有 z z0 正幂的项) d lim m 1 [( z z0 )m f ( z )] = ( m 1)!a1 , z z0 dz 所以 Res[ f ( z ), z0 ] = a1

第四章 留数定理及其应用


分别在各个 bk 的无心邻域 0 z bk R 中将 f ( z ) 展开成洛 朗级数
bn
L3 b3
D
Ln L2
b1
b2
L1
L
数学物理方法
f ( z)
n



(k ) an ( z bk ) n
k 1, 2, m
代入积分公式： f ( z )dz f ( z )dz
2 i
(k ) 1
L
k 1
bn L b1 n L L3 b3 b2 1 L2
L
数学物理方法

L
f ( z )dz 2 i Re sf (bk )
k 1
m
bn L b1 n L L3 b3 b2 1 L2
L
（1）方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数在奇点 的留数。留数定理：将上述两者建立了一种关系。 （2）要计算解析函数的积分，关键：计算留数； （3）留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物； （4）bk (k 1, 2,)是 L 所包围的 f ( z ) 的所有奇点，而不是 f ( z ) 所有的奇点。
方法一：
1 1 Re sf (2i ) lim( z 2i ) f ( z ) lim( z 2i) z 2 i z 2 i ( z 2i ) z 2i
数学物理方法
方法二： a1 2i是f ( z ) 的一阶极点，且
1 ( z) f ( z) ( z ) 1, ( z ) ( z 2i) z ( z 2i ) z ( z )

L
f ( z )dz 2 i Re sf (bk )

留数定理的计算及应用

留数及其应用摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词 留数定理；留数计算；应用引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一. 预备知识 孤立奇点1．设()f z 在点a 的某去心邻域内解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sinz 以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点；当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠---m mm m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…nC -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1[]1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k nz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰． （1）证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得 ()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则()()()()11!n z aa Res f z n ϕ-==-．这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有()()()()11lim n n z aa z ϕϕ--→=． 推论3 设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-， 则 ()()z aRes f z a ϕ==．推论4 设a 为()f z 的二阶极点，()()()2z z a f z ϕ=-， 则 ()()'z aRes f z a ϕ==．3. 留数的引理引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则()()21limRS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰．引理2(若尔当引理) 设函数()g z 沿半圆周:i R z Re θΓ= (0θπ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．引理3 (1)设a 为()f z 的n 阶零点，则a 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z a f z Res n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； (2)设b 为()f z 的m 阶极点，则b 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且()()'z bf z Res m f z =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（. 2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： 211Re [,]Re [(),0]s f z s f z z∞=-⋅（）. 例 1 求函数2()1ize f z z=+在奇点处的留数． 解 ()f z 有两个一阶极点z i =±，于是根据（6.5）得2()Re (,)()22i P i e is f i Q i i e===-'2()Re (,)()22i P i e is f i e Q i i ---==='--例 2 求函数3cos ()zf z z=在奇点处的留数． 解 ()f z 有一个三阶极点0z =，故由（6.7）得33001cos 11Re (,0)lim()lim(cos )222z z z s f z z z →→''=⋅=-=-四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。

留数定理及其应用重点难点

第四章 留数定理及其应用 重点难点第一节 留数定理1．留数定义的由来：若函数在单连通区域D 中解析，在D 中作一围线C ，如果在围线C 的内部，)(z f 是解析的，则由柯西定理可知0)(=∫Cdz z f ；如果在围线C 的内部，a z =是)(z f 的奇点，则)(Re 2)(a sf i dz z f Cπ=∫，即留下了一个有限数，因而可把 )(Re a sf 称为留数（留数也可等于零）。

2．留数计算公式：在奇点a 邻域中展成的洛朗级数中1()z a −−项的系数1−c 就是留数Re ()sf a ，这是求留数的一般方法。

但是，在某些情况下，有更简便的方法。

例如，若a 是)(z f 的m 阶极点，则111Re ()[()()](1)!m m z a m d s f a f z z a m dz −=−=−−又如，当a 是函数的可去奇点时，由于此时洛朗级数中不含负幂项，于是留数等于零。

3. 讨论解析函数在无限远点的留数时，要注意：函数在无限远点的留数定义中围线的方向是顺时针转向的。

第二节 留数定理的应用1．应用留数定理计算实变函数的积分是复变函数留数理论的一个重要应用，找到适当的闭合回路或变换是这种方法的关键。

2．若函数在单连（通）区域D 中解析，在D 中作一围线C ，如果在围线C 的内部，)(z f 是解析的，则由柯西定理可知0)(=∫Cdz z f ，如果在围线C 的内部，a z =是)(z f 的奇点，则)(Re 2)(a sf i dz z f Cπ=∫，即留下了一个有限数，因而可把)(Re a sf 称为留数（留数也可等于零）。

通过柯西公式和柯西导数公式可导出一阶极点和m 阶极点的留数计算公式。

3. 应用级数分析留数定理。

在奇点k a 邻域中展成的洛朗级数中1)(−−k a z 项的系数1−c 就是留数)(Re k a sf 。

当k a 是函数的本性奇点时，一般只能用洛朗级数展开方法来求留数；当k a 是函数的极点时，也可用这种方法来求取留数；当k a 是函数的可去奇点时，由于此时洛朗级数中不含负幂项，于是留数等于零。

留数定理


求出函数在
这些极点的留数.
解
f (z) = z + 2i z5 + 4z3
=
z + 2i z3 (z2 + 4)
=
z3(z
z + 2i + 2i)(z
− 2i)
=
1 z3 (z − 2i)
(1)、当z→2i时，f(z) →∞，所以z=2i是f(z)的极点，
lim ( z
z→2i
− 2i)
f
(z)
=
lim
∫l f (z)dz = −2π ia−1
Re sf (∞) = −a−1
二、全平面的留数和为零
∞
∑ f (z) = ak z k k =−∞ (R < z < ∞)
函数f(z)在全平面上所有各点的留数之和为0。 这里的所有各点包括无限远点和有限远的奇点。
{ f (z)在所有有限远奇点上的留数和 + Re sf (∞)} = 0
n
∫ ∑ l
f
( z )dz
=
2π i
Re sf
j =1
(bj )
注意: 左边的积分是沿l 的正向进行的；
右边的奇点是指l 所围区域内的，并非是f(z)所有
的奇点。
7
留数定理对于无限远点也成立：
∞
∞
∫ ∫ ∑ ∑ ∫ f (z)dz = l
l k =−∞ ak z k dz = k =−∞ ak
l zk dz = 2π ia−1
∫ dz
z =1 ε z2 + 2z + ε
(0 < ε < 1)
∫ dz = πi
z =1 ε z2 + 2z + ε 1− ε 2

数学物理方法 第四章 留数定理


wuxia@
2、单极点留数
Res[ f ( z0 )] = lim ( z − z0 ) f ( z )
z →z 0
证明：z0是f ( z )的单极点， 洛朗级数为：f ( z ) = a−1 + a0 + a1 ( z − z0 ) + aห้องสมุดไป่ตู้ ( z − z0 ) 2 + ⋯ z − z0
l
wuxia@
再讨论l包围f ( z )的n个孤立奇点b1 , b2 ,⋯, bn的情况， 做回路l1 , l2 ,⋯, ln分别紧紧包围着b1 , b2 ,⋯, bn . 按照柯西定理， f ( z )dz = ∫ ∫
l l 1 l1
+∫
l2 2
+⋯+ ∫ ,
ln n
∫ f ( z )dz = 2πi[Res f (b ) + Res f (b ) + ⋯ + Res f (b )]
在挖去孤立奇点z0而形成的环域上的解析函数 z f(z)的洛朗级数分三种： （1）无负幂项 z0为f(z)的可去奇点 （2）有有限个负幂项 z0为f(z)的极点 （3）有无限个负幂项 z0为f(z)的本性奇点
wuxia@
第四章 留数定理
wuxia@
4、1 留数定理
wuxia@
在收敛环内任取一个包围z0的小回路l0 , 按照柯西定理
∫ f ( z )dz = ∫
l
l0
f ( z )dz, 带入上式，得： ak ( z − z0 ) k dz = ∑
∞
∫
l
f ( z )dz = ∫
l
k = −∞
k = −∞
ak ∫ ( z − z0 ) k dz ∑
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+∞
推导
∫
+∞
−∞
f ( x)dx =2πi{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}
+∞ −∞
例：计算 I = ∫
+∞
1 dx （n为正整数） 2 n (1 + x )
黑板
此时，如果f(z)在实轴上存在有限个单极点，则 推导
∫
−∞
f ( x)dx =2πi{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}
+πi{f(z)在实轴上所有奇点的留数之和} 黑板
∑ Res f ( z ) + Res f (∞) = 0
k =1 k
n
1. lim f ( z ) = 0 a Res f (∞) = − lim[ z ⋅ f ( z )] z →∞ z →∞ 1 1 2. lim f ( z ) ≠ 0 a Res．f (∞) = − Res[ f ( ) 2 , 0] z →∞ z z
课堂练习：
∫
| z|= 2
ze z z eZ z − sin z f ( z ) d z; f ( z ) = 2 , 4 , , 2 z − 1 z − 1 z ( z − 1) z6
设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域R<|z|<+∞内 解析，则定义函数f(z)在z=∞处的留数为 1 Res f (∞) = ∫L f ( z )dz 2πi 其中L: 积分方向为顺时针方向（实际上是包含无穷远点 的区域的正方向）.如果f(z)在z=∞的去心邻域R<|z|<+∞内 的洛朗级数为
1 d m −1 (3) Res f ( z0 ) = lim m −1 [( z − z0 ) m f ( z )] (m − 1)! z → z0 d z
．
m级极点 级极点
3. 本性奇点的留数:洛朗展开 本性奇点的留数 洛朗展开
ze z ze z ze z e 例: Res[ 2 ,1] = lim( z − 1) 2 = lim = ; z →1 z −1 z − 1 z →1 z + 1 2
5z − 2 5z − 2 Res[ f ( z ), 0] = lim z = lim = −2 2 z →0 z → 0 ( z − 1) 2 z ( z − 1) d 2 2 5z − 2 Res[ f ( z ),1] = lim ( z − 1) = lim 2 = 2 2 z →1 dz z ( z − 1) z →1 z 5z − 2 ． ∫ |z|=2 z( z − 1)2 d z = 2πi(−2 + 2) = 0
第四章 留数定理
§4.1 留数定理
已知洛朗展开 f ( z ) = l
k =−∞
∑
+∞
ak ( z − z0 ) k
z0
∫
l
f ( z )dz =
f ( z )dz =
∫ f ( z )dz
l0
l0
∫
l
k =−∞
∑
+∞
ak ∫ ( z − z0 ) k dz = 2π ia−1
l0
定义留数 Resf(z0) = a-1 留数 使得
类型III 类型III
∫
+∞
0
F ( x) cos mxdx,
∫
+∞
0
G ( x) sin mxdx,
∫
+∞
−∞
R( x)eimx dx
其中，F(x)是偶函数、G(x)是奇函数，m>0； F(z), G(z), R(z)实轴上无奇点,在上半平面除有限个奇点外解析; 当z在上半平面和实轴上→∞时，F(z)、G(z)和R(z)一致地→0； +∞ 1 +∞ 推导 ∫ F ( x) cos mxdx = ∫ F ( x)eimx dx 0 2 −∞ 黑板 +∞ 1 +∞ 同理 ∫ G ( x) sin mxdx = ∫ G ( x)eimx dx 0 2i −∞ 约当引理 如果m为正数，CR是原点为圆心位于上半平面 的半圆周，且当z在上半平面和实轴上→∞时，F(z)和G(z) 一致地→0，则
z =1
1 z e ,1 = 1 Res 2 z − z 2πi
e e 1 z dz dz = ∫ L z2 − z 2πi ∫ L z − 1
1 z
1 z
1 z 1 e = ⋅ 2πi z 2πi
=e z =1
1. 可去奇点的留数为零 2. 极点的留数 单极点
z sin z dz 例:计算 ∫ z 3 | z | =1 (1 − e )
z sin z → z = 0 ∈ C :| z |= 1 z 3 (1 − e ) z2 z3 z ( z − + L) (1 − + L) z sin z z2 1 3! 3! = =− 3 = − − a1 − L 2 z 3 z (1 − e ) z (1 + z + L)3 z 3 −( z + + L) 2! 2! z sin z Res , 0 = −1 z 3 (1 − e ) z sin z ∫ |z|=1 (1 − e z )3 d z = −2πi
∫ f ( z )dz = 2π i Re sf ( z )
0 l
例: f ( z ) = ze ,
z=0 1 1 −1 1 −2 z ze = z + 1 + z + z + L , 2! 3!
1 z
1 z
1 Res [ f ( z ), 0] = c−1 = 2
e , 例: f ( z ) = 2 z −z
由逐项积分定理及公式得到
c− n c−1 f ( z ) = ⋅⋅⋅ + n + ⋅⋅⋅ + + c0 + c1 z + ⋅⋅⋅ + cn z n + ⋅⋅⋅ z z
1 Res f (∞) = 2πi
∫
L
f ( z )dz = −c−1
当f(z)以z=∞为可去奇点或解析点时,其留数可能不等于0． 例: f(z)=1/z以z=∞为解析点，但留数 Res f (∞) = −1 函数f(z)=(z-1)/z以z=∞为可去奇点，但留数 Res f (∞) = 1 留数和定理 设函数f(z)在扩充复平面上除了有限远zk (k = 1, 2, … , n)以及z=∞以外处处解析，则
∫
l
f ( z )dz = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( z )dz
l1 l2
类型II 类型II ∫−∞ f ( x)dx 其中f(x)是x的有理函数，复变函数f(z) 在实轴上没有奇点，在上半平面除了有限个奇点外解析； 当z在上半平面和实轴上→∞时，zf(z)一致地→0；
x n + a1 x n −1 + L + an , m−n ≥ 2 如果f(x)是x的有理分式 f ( x) = m m −1 x + b1 x + L + bm
5 z 27 例: I = ∫ dz 2 4 4 5 | z|=4 ( z − 1) ( z + 2)
π + 2 kπ i 5 z 27 4 a ±1, 2e 4 (k = 0,1, 2,3) ∈ C :| z |= 4 ( z 2 − 1) 4 ( z 4 + 2)5
5 z 27 I =−∫ d z = −2πi Res f (∞) 2 4 4 5 | z| = 4 ( z − 1) ( z + 2) Re sf (∞) = − lim[ zf ( z )] = −5 z →∞ I = 10πi
z + z −1 z − z −1 dz , ) = 可知 I = ∫| z|=1 R( 2 2i iz
∫
| z | =1
f ( z )dz
例：计算 I = ∫
2π
0
1 dθ (0 < ε < 1) 1 + ε cos θ
围道积分法 基本思想：实变函数定积分↔复变函数回路积分 y l2
l1 a 0 b x
课堂练习：P68 例1-3
．
留数定理 设函数 f(z) 在区域 D 内除有限个孤立奇点z1, z2 , … , zn外处处解析， l为区域内包围各奇点的一条正向简单 闭曲线，则 n
∫
l
f ( z ) d z = 2πi∑ Res f ( zk )
k =1
5z − 2 dz 例:计算 ∫ | z|= 2 2 z ( z − 1)
ze z P(1) e = Res 2 ,1 = z − 1 Q′(1) 2
1 1 d2 1 3 Res 2 ,i = lim 2 ( z − i) ⋅ 3 3 3 ( z + 1) (3 − 1)! z →i d z ( z − i) ( z + i) 1 3i −5 = lim[(−3)(−4)( z + i) ] = − 2 z →i 16
Hale Waihona Puke (1) Res f ( z0 ) = lim( z − z0 ) f ( z )
z → z0
P ( z0 ) (2) Res f ( z0 ) = , Q′( z0 ) P( z ) , P ( z0 ) ≠ 0, Q( z0 ) = 0, Q′( z0 ) ≠ 0 f ( z) = Q( z )
应用留数定理计算实变函数定积分 §4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
类型I 类型I
∫
2π
0
R (cos θ ,sin θ )dθ