第四章 留数定理 习题梁昆淼数学物理方法

第四章 留数定理
1. 函数z ze z f /1)(=在0=z 的奇点类型为 本性奇点 ，其留数为 1/2 。

2. 设n m ,为整数,则=⋅⎰
-dx nx mx )cos (sin π
π
0 。

3.函数2
3)(22+++=z z z z z f 有____1___个极点，为_____1____阶极点，在极点处的
留数为____________－2____________。

4.
为
的单极点，则
为__________________。

5.函数sin /()z z f z e =在0=z 的奇点类型为 可去奇点 ，其留为 0
6.函数4
3)(22-+-=z z z
z z f 有________个极点，为__________阶极点；在极点处的
留数 为________________________。

7.
为
的 。

A) 单极点 B) 二阶极点
C) 三阶极点 D) 四阶极点
8.已知函数，试判断
是
的几阶极点，然后计算
、
和
在
的留数，再利用所得结果给出在
的邻域上洛朗展开级
数的前三项。

(注意：此题亦可用的泰勒展开直接求出
的洛朗展开的前几项，然后利用
所得结果求出留数。

)
9.求函数的奇点所在的位置，然后计算积分。

10.用留数定理计算复积分⎰
=-+=
2
/3||22
)
2)(1(z z z dz
I 。

解： 回路内有两个一阶极点.,21i z i z -== （2分）其留数为
分）
（350
/)34(])2(2/[1]
)2)(/[(1lim )]
()[(lim )(Re 2
2221i i i z i z z f i z z sf i
z i
z -=-=-+=-=→→
分）
（350
/)34(])2(2/[1]
)2)(/[(1lim )]
()[(lim )(Re 2
2222i i i z i z z f i z z sf i
z i
z +=---=--=+=→-→
25/8))(Re )((Re 221i z sf z sf i I ππ=+= （2分）。

11.用留数定理计算实积分 ⎰+=π
20
sin 35x
dx
I
解： 设,ix e z =则)./(),2/()(sin 1iz dz dx i z z x =-=- （2分） 于是，
⎰⎰==--+=-+=
1||21||13
1032)2/()(35)/(z z iz z dz
i z z iz dz I （2分） )3103/(1)(2-+=iz z z f 的零点,3/1i z -= .32i z -= 其中只有1z 为单位圆内一阶
极点（2分）， 其留数为
i z z z z z f z z z sf z z z z 81
)(31)(31lim
)]()[(lim )(Re 212
1111
=-=-=-=→→ （2分）
由留数定理得 .2
8122π
π=⋅
⋅=i i I （2分 12.用留数定理计算复积分
⎰
=--3
||2)
5)(1(z z z z dz。

解：被积函数)
5)(1(1
)(2--=
z z z z f 有两个极点对积分有贡献：单极点1=z ，两
阶极点0=z 。

留数分别为4
/1)1(Res 25/6)0(Res -==f f ---(6分)
根据留数定理得
i f f i z z z dz z 50))1(Res )0(Res (2)
5)(1(3||2π
π-=+=--⎰=
13.用留数定理计算实积分⎰∞
∞-+ 2
41
dx x 。

解：根据留数定理有：
⎰∞∞-+=
=+=2
241
)({241z z f i dx x I π在上半平面所有奇点留数之和｝---(2分) 所以 )2(Res 2i f i I ⋅=π
41
)
2(lim 22
2z i z i i
z +-⋅=→π
2
412π
π=⋅
=i i 14.用留数定理计算复积分22
|4|4
(3)(1)z z dz
I z z -==-+⎰
解：由题意
被积函数2
2
()(3)(1)
z f z z z =-+，有一个二阶极点01z =-和一个单极点03z =。

（3分）
又因为二阶极点01z =-不在积分回路之内，所以现在只考虑单极点03z =，即
22
2
233Re (3)lim[(3)]lim[]
(3)(1)(1)z z z z sf z z z z →→=-=-++ 9
16
=
（5分） 所以复积分
22
|4|
49
2R e (3)(3)(1)8
z z d z
I i s f i z z ππ-==
==-+
⎰
（2分）
15. 用留数定理计算实积分 2
cos 4sin 236x x x
dx x ∞
-∞-+⎰。

解：由题意
222 cos 4sin 2cos 4sin 2363636x x x x x x dx dx dx x x x ∞
∞∞-∞-∞-∞-=-+++⎰⎰⎰ 而
422cos 413636zi x dx e dz x z ∞
∞-∞-∞=++⎰⎰ （1）
222sin 213636zi
x x z dx e dz x i z ∞∞-∞-∞=++⎰⎰ （2） （2分）
对于（1）式中，积分函数有两个单极点6i ±，6i +在上半平面，而42
36zi
e z +在6i +的
留数为
4424
266lim [(6)]lim []36612zi zi z i z i e e e z i z z i i
-→+→+-==++ （3分） 对于（2）积分中的函数有两个单极点6i ±，函数在6i +的留数为
2212
266lim [(6)]lim []3662zi zi z i z i ze ze e z i z z i i
-→+→+-==
++ （3分）
所以
2412 2412
2
cos 4sin 2[]36122122
x x x e e dx i e e x i i πππ--∞
---∞-=-=-+⎰ （2分） 16.用留数定理计算复积分⎰
=---=
2
|2|2
)2)(1(z z z zdz
I 。

解： 回路内有一个二阶极点2=z 和一个单极点1=z （2分）其留数为 1)1(Res =f 和 1)2(Res -=f （6分）
0))2((Re 2==sf i I π （2分）。

17. 用留数定理计算实积分⎰
∞
∞-+ 2
42cos dx x x。

解：根据留数定理有：
z
i e z i dx x x I 202
241{242cos 2⎰∞+=+=π在上半平面所有奇点留数之和｝(2分)
所以 )2(Res 2i f i I ⋅=π
(3分) 4)2(lim 2222z
e i z i z
i i z +-⋅=→π (3
分)
e 2
424
-4ππ=⋅=-i e i (2分) 18.用留数定理计算复积分 ⎰
=--+=3
|2|)
4)(2(z z z z dz
I 。

19. 用留数定理计算实积分⎰
∞
∞-+= 2
9cos dx x x
I 。

20.用留数定理计算积分
⎰=--3
||2)2)(1(z z z dz。

解：被积函数2
)2)(1(1
)(--=
z z z f 在积分围线内有两个极点：单极点1=z ，两阶
极点2=z 。

---(2分)
留数分别为
1)()1(lim )1(Res 1=-=→z f z f z ---(3分)
和
[]
111lim )()2()!12(1lim )2(Res 222
-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=--=→→z dz d z f z dz d f z z ---(3分)
根据留数定理得
0))2(Res )1(Res (2)2)(1(3
||2=+=--⎰=z f f i z z dz
π ---(2分) 用留数定理计算实积分
⎰+π
20cos 2x dx。

解：⎰⎰⎰⎰
===--+++=++=++
=+1||1||2
1||120
)32)(32(21422
2/cos 2z z z z z dz
i z z dz i z
z iz dz x dx π ----------------(2+2+2=6分) 根据留数定理得
3
2)3232(122)}32(Res {2cos 220
π
πππ
=
+++-=+-=+⎰
i i f i x dx ----------------(2+1+1=4分)。