北师大版认识三角形和四边形知识总结

北师大版初三数学知识点总结北师大版初三数学知识点总结1直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。

如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。

〔勾股定理的逆定理〕。

判定3：假设一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互为余角〔两角相加等于90°〕的三角形是直角三角形。

判定5：假设两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，那么两直线互相垂直。

那么判定6：假设在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

〔与判定3不同，此定理用于斜边的三角形。

〕北师大版初三数学知识点总结2全套教科书包含了课程标准(实验稿)规定的“数与代数〞“空间与图形〞“统计与概率〞“实践与综合应用〞四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体。

九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。

本册书内容分析如下：第21章二次根式学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。

解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。

“二次根式〞一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。

在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。

“二次根式的乘除〞一节的内容有两条开展的线索。

一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法那么的合理性，并运用二次根式的乘除法那么进行运算;一条是由二次根式的乘除法那么得到并运用它们进行二次根式的化简。

北师大版数学四年级下册章节复习知识点、达标训练附解析第二单元《认识三角形和四边形》知识点一：图形分类知识点二：四边形和三角形的性质1.三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。

2.加固物体时，可以利用三角形的稳定性。

知识点三：三角形分类1.根据角的特征，三角形可以分为直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。

2.根据边的特征，三角形可以分为不等边三角形和等腰三角形。

3. 等腰三角形是两条边相等的三角形，等边三角形是三条边都相等的三角形，所以可以说所有的等边三角形都是等腰三角形，但不能说所有的等腰三角形都是等边三角形。

知识点四：三角形内角和1. 所有三角形的内角和都是180°。

每个三角形的所有内角都能拼成一个平角。

2. 已知三角形两个角的度数可以求出另外一个角的度数，进而确定三角形的形状。

3.已知三角形中一个角的度数，根据三角形内角和等于180°，可以求出另外两个角的度数和，并根据每个角的大小来判断这个三角形可能是什么三角形。

知识点五：三角形三边的关系1.三角形边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。

2.判断三条线段能否围成三角形最简捷的方法：只要把较短的两条线段的和与最长的线段进行比较即可。

知识点六：四边形的分类1.四边形的分类：平行四边形、梯形和一般的四边形。

2.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

只有一组对边平行的四边形是梯形。

3. 正方形、长方形都是特殊的平行四边形；正方形是特殊的长方形。

一、精挑细选（共5题；每题3分，共15分）1. 两个完全相同的梯形一定能拼成一个（）。

A. 梯形B. 长方形C. 平行四边形2. 一个三角形最多有（）个钝角。

A. 1B. 2C. 33. 一个等腰三角形的一个角是30°，其它两个角分别是（）。

A. 30°和120°B. 75°和75°C. 以上两种情况均有可能4. 如果三角形最小的一个内角大于45°，这个三角形一定是（）三角形。

认识三角形和四边形知识盘点知识点1：图形的分类立体图形圆（由曲线围成） 平面图形 三角形（3条边） 三角形、四边形 平行四边形（由线段围成） 四边形（4条边） 长方形正方形知识点2：三角形的认识1、 直角三角形：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形 按角分 锐角三角形：有一个角是直角的三角形是直角三角形 三角形分类 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形 等腰三角形：有两条边相等的三角形是等腰三角形按边分 等边三角形：三条边都相等的三角形是等边三角形任意三角形 2、三角形内角和及三边关系① 任意一个三角形内角和等于180度。

② 三角形任意两边之和大于第三边。

已知两条边的长度，那么第三边的长度要大于已知两边之差小于两边只差。

知识点3：四边形的认识由四条线段围成的封闭图形叫作四边形。

四边形中有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

只由一组对边平行的四边形是梯形。

长方形、正方形是特殊的平行四边形。

正方形是特殊的长方形。

⭐注意易错集合易错点1：四边形的概念典例 判断：由四条线段组成的图形就是四边形。

（ ） 解析 误认为只要四条线段组成的图形就是四边形，忽略了四条线段需要首尾相连。

解答 ×✨针对练习1你能解释为什么吗？易错点2：三角形的分类典例 猜一猜被遮挡住的可能是什么三角形？解析 直角三角形和钝角三角形都有两个锐角，可以根据露出的这个角是直角或钝角来判断是直角三角形还是钝角三角形；当露出来的角是锐角时，则无法直接断定是什么三角形。

解答 直角三角形 钝角三角形 可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形⭐点拨 由四条线段首位顺次连接组成的封闭图形叫作四边形。

⭐点拨 四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性。

✨针对练习2将下面的三角形进行分类（填写序号）锐角三角形有（ ）；直角三角形有（ ）；钝角三角形有（ ）； 等腰三角形有（ ）；等边三角形（ ）。

易错点3：三角形的内角和问题 典例 求出图中三角形未知角的度数。

小学数学总复习各模块知识线统计表平面图形的认识与计算 角 二、统计与概率一、空间与图形 平面图形 统计图 长方体、正方体立体图形的认识与计算圆柱体、圆锥体一、空间与图形（一）平面图形的认识和计算1、线线段的长就是这两点间的距离。

（有两个端点）平行线：在同一平面内不相交的两条直线,叫做长可以得到一条直线 平行线。

（没有端点） 垂线：两条直线相交成直角,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线。

射线：把线段的一端无限延长可以得到一条射线。

（有一个端点）2、角：从一点引出两条射线所组成的图形 锐角：小于90度的角直角：等于90度的角钝角：大于90度而小于180度的角平角：180度的角周角：360度的角3、平面图形（1）三角形：由三条线段首尾相互连接围成的图形 锐角三角形：三个角都是锐角按角分 直角三角形：有一个角是直角钝角三角形：有一个角是钝角 三角形 等腰三角形：两条边相等按边分 等边三角形：三条边相等不等边三角形：三条边都不相等（2）四边形：由四条线段首尾依次连接围成的图形。

平行四边形 长方形 正方形 （3）圆形四边形环形直角梯形梯形等腰梯形（画线段、画角、画高、量线段、画垂线、画圆、画对称轴）3、立体图形的表面积和体积的计算公式六、统计与概率单式统计表统计表复式统计表百分数统计表统计表包括：总标题、纵栏标题、横栏标题、数据资料栏、数量单位、制表日期条形统计图（单式、复式）统计图折线统计图（单式、复式）扇形统计图。

《认识三角形和四边形》单元分析单元学习目标1．经历量、摆、拼等直观操作活动，认识三角形、平行四边形和梯形的特征，以及它们之间的联系，进一步发展空间观念。

2．了解三角形、四边形的分类情况，探索三角形三边之间的关系和三角形的内角和，在亲历探索发现的过程中，体验数学思考与探究的乐趣，激发数学学习的兴趣。

3．体会不同的分类标准在图形分类活动中的意义，感受量、摆、拼等直观操作活动在探索图形性质中的作用。

4．能运用所学知识解释生活现象，感受数学与生活的紧密联系。

单元学习内容的前后联系单元学习内容分析学生之前对一些图形已经进行了直观认识，在此基础上，本单元将进一步认识平面图形的特点和性质。

教科书主要通过图形分类、探索活动等问题情境引导学生展开学习，进一步发展学生的空间观念。

组织本单元学习内容的思路如下。

认识图形是发展学生空间观念的重要途径，本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面。

1．突出分类在认识图形中的作用，建立图形间的联系分类的方法在数学概念学习中有着重要的作用，本单元涉及三角形、四边形等多种图形的认识，如何能有条理地去认识这些图形，教科书用分类的方法把这些图形联系起来，并使之系统化，以利于学生更好地认识图形的性质。

本单元安排了三次分类活动。

第一次是“图形分类”，通过学生对已学过的立体与平面图形层层分类，认识到分类方法在认识图形中的作用。

第二次是“三角形分类”，通过按不同的标准进行分类得到不同的分类结果，使学生理解不同的分类方法，以利于从不同的角度来认识三角形。

第三次是“四边形分类”，通过按照边的平行关系对四边形进行分类，认识平行四边形和梯形。

通过这三次分类活动，使学生认识到根据认识图形的需要，对图形可以有不同的分类标准。

图形分类是认识图形特征的重要方法，同时也是了解图形间关系的重要手段。

2．强调直观操作探索图形的性质，积累认识图形的活动经验直观操作是小学生认识图形性质的基本方法，通过操作活动感知图形的特征，同时也在操作活动中获得体验和经验。

第二单元 认
识三角形和四边形 三角形分类 认识三角形
四边形分类 图形分类
分类 立体图形
长方体，正方体，圆柱，球体 平面图形 圆（由曲线围成） 三
角形，四边形
（由线段围成）
三角形（3条边） 四边形（4条边） 平行四边形
长方形
正方形 根据三角形角的特点分类 根据三角形变得特点分类
直角三角形：有一个角是直角
钝角三角形：有一个教室钝角
锐角三角形：三个角都是锐角
不等边三角形：三条边都不相等 等腰三角形：两条边相等
等边三角形：三条边都相等 相
等的两条边叫腰，另一条边叫底；两个腰的夹角叫
顶角，底边上的两个角叫底角。

等腰三角形的两个底
角相等
特征：三条边相等，三个角也相等，每个角都是60° 等边三角形是特殊的等腰三角形
三角形内角和
三角形内角和都是180°，三角形的内角与三角形的大小，形状无关 已
知三角形两个角的度数，根据内角和180°，可以求出第三个角的读
数，从而判断出该三角形是什么三角形
性质
三角形：具有稳定性
四边形：具有不稳定性
三角形边的关系
三角形任意两边之和大于第三边 判
断三条线段能否围成三角形，只要较短的两条线段的长度之和大于第三
条线段的长度，就可以围成三角形，反之不能。

平行四边形 梯形
正方形和长方形 两组对边分别平行
只有一组对边平行 正方形和长方形是特殊的平行四边形
正方形是特殊的长方形 一般的四边形 两组对边都不平行 北师大版数学四年级下册。

1、读一读教材例题（教材第24页例题）老师：同学们，你们认同上面的两个三角形的话吗？（请学生发表自己的看法）学生A：一样大学生B：不知道。

学生C：大的三角形的内角和大。

......老师：既然大家的意见的不一样，那我们一起来探讨一下三角形内角和的关系。

1、小组活动：每人准备一个三角形，量一量，填一填老师：从图中可以清晰看到三角形有多少个内角呢？学生：3个。

老师：顾名思义，三角形的内角和代表什么呢？学生：三角形的三个内角的度数之和，即上诉图形中∠1，∠2，∠3度数之和。

小结：三角形的内角指三角形里面的三个角，即三角形每相邻两条边跑的夹角；三角形的内角和指的是这三个内角的度数之和。

（2）实际测量，探索三角形的内角和。

老师：现在我们已经知道什么是三角形的内角了，要想知道三角形的内角和，我们有什么方法呢？学生：用量角器量一量。

老师：不错，我们要想知道一个三角形的内角和，最熟悉的方法就是将三角形的三个内角加起来算一算。

老师：现在就让我们来量一量，算一算，填一填，完成下面这个表格（请学生汇报自己的表格）（PPT展示）2、小组交流发现了什么？老师：同学们，和小组里的其他成员讨论一下自己的表格是否和别人的一样。

同学：一样。

老师：那请同学分享一下自己的发现。

同学A：每个三角形的内角和都是180゜。

同学B：有些不是180゜。

老师：那不是180゜的，是否接近180゜呢？学生：接近。

老师：通过实际测量、计算发现，每个三角形的三个内角和都在180゜左右。

实际上，三角形的内角和就是180゜，只是因为测量有误差，导致计算出的内角和不都是180゜。

3、验证三角形内角和180゜。

验证三角形内角和等于180゜的方法。

方法一：把三角形的三个角撕下来，拼一拼。

老师：从量一量那里我们可以猜测三角形内角和180゜，说起180゜，我们还记得什么角是180゜吗？学生：一个平角是180゜。

老师：是的，要想证明三角形的内角和是否为180゜，我们就得看看三角形的三个内角是否可以拼成一个平角。

梯形、平行四边形和三角形的高的画法
问题导入你能画出下面图形中给定底边上的高吗？试一试，画一画。

（教材51页例题）
方法讲解
1．梯形高的画法
把三角尺的一条直角边与梯形的一条底边重合，另一条直角边与另一条底边相交于一点，从这一点向对应底边（或底边延长线）作垂线，这点到对应底边（或底边延长线）的垂直线段就是梯形的高，如下图所示：
2．平行四边形高的画法
把三角尺的一条直角边与平行四边形的一条底边重合，另一条直角边与平行四边形这条底边所对的边相交于一点，从这一点向底边（或底边延长线）作垂线，这点到底边（或底边沿长线）的垂直线段就是平行四边形的高，如下图所示：
3．三角形高的画法
(1)把三角尺的一条直角边与一条底边重合，沿着这个底边平移三角尺，使另一条直角
边通过底边所对的顶点。

(2)从顶点向底边画一条垂线，顶点到底边（或底边延长线）的垂直线段就是三角形底
边上的高。

如果是直角三角形，两条直角边就分别是三角形的底和高；如果是钝角三角形，画从两个锐角顶点所引的高时，可将底边延长（延长部分用虚线），再画高，如下图所示：
归纳总结
1．梯形的高的画法：从梯形的上底（或下底）任意找一点，向下底（或上底）画垂线，两底之间的垂直线段就是梯形的高。

2．平行四边形的高的画法：以任意一边为底，从对边的一点向底边画垂线，两底之间的垂直线段就是平行四边形的高。

3．三角形的高的画法：可以选三角形任意一边为底，从底边所对的顶点作底边的垂线，顶点和底边之间的垂直线段就是三角形的高。

第四讲认识三角形和四边形（二）知识点四三角形边的关系1、三角形任意两边之和大于第三边。

2、根据上述知识点判断所给的已知长度的三条线段能否围成三角形。

如果能围成三角形，能围成一个什么样的三角形。

知识精讲四例1.三角形两边之和（）第三边A.大于B.小于C.等于例2 .1，2，3厘米的三根火柴（）围成三角形A.能B.不能例3.若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为________。

例4.若等腰三角形的两边长分别是3和4，则它的周长为________。

例5.长为10、7、5、3的四跟木条，选其中三根组成三角形有________种选法。

例6.三角形的周长是24cm，三边长是三个连续的自然数，则三边长为________。

例7.在△ABC中，若a＝3，b＝5，则第三边c的取值范围是________。

例8.△ABD中，△B的对边是________。

例9.如果三条线段的比：（1）5：20：30；（2）5：10：15；（3）3：3：5（4）3：4：5；（5）5：5：10。

那么其中可以构成三角形的比有________。

例10.等腰三角形腰长10厘米，周长24厘米，底长________厘米。

例11.等腰三角形可以分为________、________、________。

例12.三角形按边分类可以分为________、________。

例13.已知等腰三角形的两边长分别为4，9，求它的周长例14.一个等腰三角形，周长为20cm，一边长6cm，求其他两边长参考答案1.【答案】A【考点】三角形的特性【解析】【解答】三角形两边之和大于第三边。

【分析】考查了三角形的特性。

2.【答案】B【考点】三角形的特性【解析】【解答】两边之和大于第三边才能围成三角形【分析】考查了三角形的特性3.【答案】17【考点】三角形的特性【解析】【解答】由两边之和大于第三边，另外一边只能是7，周长17厘米【分析】考察了三角形的特性4.【答案】10或11【考点】三角形的特性【解析】【解答】由两边之和大于第三边，另外一边可能是3或4【分析】考察了三角形的特性5.【答案】2【考点】三角形的特性【解析】【解答】3＋5＋7，5＋7＋10，一共两种【分析】考察了三角形的特性6.【答案】7cm ，8cm ，9cm【考点】三角形的特性【解析】【解答】其中一边必为24÷3＝8，所以剩下两边是7和9【分析】考察了三角形的特性7.【答案】2到8【考点】三角形的特性【解析】【解答】根据两边之和大于第三边，两边只差小于第三边判断【分析】考察了三角形的特性8.【答案】AD【考点】三角形的特性【解析】【解答】画出三角形，来判断【分析】考察了三角形的特性9.【答案】（3），（4）【考点】三角形的特性【解析】【解答】根据两边之和大于第三边，两边只差小于第三边判断【分析】考察了三角形的特性10.【答案】4【考点】三角形的特性【解析】【解答】24－10－10＝4厘米【分析】考察了三角形的特性11.【答案】等腰直角三角形；等腰锐角三角形；等腰钝角三角形【考点】三角形的特性【解析】【解答】等腰三角形的三种分类【分析】考察了三角形的特性12.【答案】等腰三角形；等边三角形【考点】三角形的特性【解析】【解答】三角形的分类【分析】考察了三角形的特性13.【答案】解：另外一边根据边的关系，只能是9，9＋9＋4＝22答：它的周长是22【考点】三角形的特性【解析】【分析】考察了三角形的特性14.【答案】解：如果一边6厘米为腰时,则其他两边一个是腰6厘米,别一边是:20-6X2=8厘米；如果一边6厘米为底边时,则两个腰都是:(20-6)÷2=7厘米【考点】三角形的特性【解析】【分析】考察了三角形的特性对应练习一、选择题1.三角形两边之差（）第三边A.大于B.小于C.等于2 .5，6，7厘米的三根火柴（）围成三角形A.能B.不能3.有3厘米和4厘米的火柴，加上（）厘米的火柴后能围成三角形A.6B.7C.8二、判断题4.三条线段一定能围成三角形5.三角形任意两边之和一定大于第三边6.三角形的三边长可以相等7.用四根一样的火柴棒可以围成一个三角形8.三角形任意两边之差大于第三边三、应用题9.三角形两边长为5厘米，8厘米，求第三边边长10.有木条4根，长度为12厘米，10厘米，8厘米，4厘米，选其中三根组成三角形，则选择的种数有哪几种11.三角形两边长为2厘米和7厘米，第三边长是奇数，第三边长多少?对应练习答案解析部分一、选择题1.【答案】B【考点】三角形的特性【解析】【解答】三角形两边之差小于第三边。

二认识三角形和四边形【三角形】1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。

2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

三角形只有3条高。

重点：三角形高的画法。

3、三角形的特性：1、物理特性：稳定性。

如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。

4、边的特性：任意两边之和大于第三边。

5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。

6、三角形的分类：按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

按照边长短来分：等边三角形、等腰三角形、三条边都不相等的三角形7、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。

8、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

（其他两个角必定是锐角）9、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

（其他两个角比定是锐角）10、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。

11、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

(等腰三角形的特点：两腰相等，两个底角相等)12、三条边都相等的三角形叫等边三角形(正三角形) (等边△的三边相等，每个角是60度)13、等边三角形是特殊的等腰三角形14、三角形的内角和等于180°；四边形的内角和是360°；五边形的内角和是540°15、图形的拼组：用任意2个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。

16、用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。

17、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。

18、用2个相同的等腰直角的三角形可以拼成一个正方形、一个平行四边形、一个大的等腰的直角的三角形。

19、密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形等。

课堂巩固练习一、用心选一选。

1、一个三角形有（）条高。

A、1B、3C、无数2、如果直角三角形的一个锐角是20°，那么另一个角一定是（）。