不等式的性质与证明

不等式的性质和证明一、基础知识1．性质对称性a＞bÛb＜a 传递性a＞b，b＞c Þ a＞c 加法单调性a＞b Þ a+c＞b+c 乘法单调性a＞b，c＞0 Þ ac＞bc；a＞b，c＜0 Þ ac＜bc开方法则a＞b＞0 Þ移项法则a+b ＞c Þ a＞c－b 同向不等式相加a＞b，c＞d Þ a+c＞b+d 同向不等式相乘a＞b＞0，c ＞d＞0 Þ ac＞bd 乘方法则a＞b＞0 Þ a n＞b n倒数法则a＞b，ab＞0 Þ2．证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法证明技巧：逆代，判别式，放缩，拆项，单调性3．主要公式及解题思路公式：a2+b2≥2ab（a，b∈R）a3+b3+c3≥3abc（a，b，c∈R+）思路：①②③④正数x，y且x+y=1，求证：≥二、例题解析1．（1）a，b∈R+且a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．（2）若0＜x＜1，0＜y＜1且x≠y，则x2+y2，x+y，2xy，中最大的一个是（）A．x2+y2B．x+y C．2xy D．（3）若a，b为非零实数，则在①a2+b2≥2ab ②≤ ③≥④≥2中恒成立的个数为（）A．4B．3C．2D．1（4）下列函数中，y的最小值是4的是（）A．B．C．y= D．y=lgx+4log x10（5）若a2+b2+c2=1，则下列不等式成立的是（）A. a2+b2+c2＞1B.ab+bc+ca≥C.|abc|≤ D a3+b3+c3≥2．（1）已知x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值为（2）已知x，y∈R 且x2+y2=1，则3x+4y的最大值为（3）在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，试比较大小：a5b5（4）已知a＞0，b＞0，a + b=1，则的最小值为（5）已知：x+2y=1，则的最小值为（6）已知：x＞0，y＞0且x+2y=4，则lg x + lg y的最大值为（7）若x＞0，则，若x＜0，则（8）建造一个容积为8 m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元。

不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。

不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。

本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。

一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。

这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。

2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。

这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。

3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。

这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。

4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。

这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。

二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。

2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。

均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。

3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。

负数，要证 a>b，只需证
a b<1
.
基础自测
1.下列关系中对任意 a<b<0 的实数都成立的是
A.a2<b2
B.lg b2<lg a2
C.ba>1
D.12a2>12b2
解析 a<b<0，∴a2>b2>0，∴lg a2>lg b2，故选 B.
答案 B
()
2.已知 a>0 且 a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则 P、Q
解析
|a|＋|b|
mn ＝
|a＋b| |a－b|
＝（|a|a|＋＋|bb||）·|a|－|a|b－| |b||
||a|－|b||
＝||aa22－ －bb22||＝1，∴m＝n.
答案 ＝
课堂小结 1.比较法有两种形式，一是作差；二是作商.用作差证明不 等式是最基本、最常用的方法.它的依据是不等式的基本性质. 2.步骤是：作差(商)―→变形―→判断.变形的目的是为了判 断.若是作差，就判断与 0 的大小关系，为了便于判断，往往把 差式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就判断与 1 的 大小关系. 3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证 明方法综合使用.
●反思感悟：实数大小的比较常用 a>b⇔a－b>0 或“ab>1， 且 b>0⇒a>b”来解决，比较法的关键是第二步的变形，一 般来说，变形越彻底，越有利于下一步的符号判断.
1.设 a>0，b>0 且 a≠b，试比较 aabb 与 abba 的大小. 解 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b. 当 a>b>0 时，ab>1，a－b>0，则aba－b>1， 于是 aabb>abba.当 b>a>0 时，0<ab<1，a－b<0， 则aba－b>1，于是 aabb>abba. 综上所述，对于不相等的正数 a、b，都有 aabb>abba.

高 三 数 学---------不等式复习【教学内容】不等式的性质、不等式证明的几种常见方法 比拟法、综合法、分析法、换元法和放缩法等。

【教学目标】不等式的性质是不等式证明和求解不等式的理论根底和前提条件。

比拟法是证明不等式的最根本的方法，它思维清晰，可操作性强，适用X 围广泛，在不等式证明中常常采用。

比拟法通常分两类：第一、作差与零比拟，作差后常需要把多项式因式分解，再由各因式的符号来确定差与零的大小；第二、作商与1比拟，但要注意除式的符号，作商后常需把分子分母因式分解后约分再与1进展大小比拟。

综合法常常用到如下公式：〔1〕22b a +≥2ab(a,b ∈R) (2)2b a +≥),(+∈R b a ab (3)baa b +≥2(a .b>0) (4)222b a +≥),()2(2R b a b a ∈+(5)3c b a ++≥),,(3+∈R c b a abc 利用综合法证明不等式时常需要进展灵活的恒等变形,创造条件去运用公式。

对于不能直接分析出如何用综合法来证明的不等式，我们可以采用分析法，执果索因，从要证明的结论出发，去追逆它要成立的条件，得到要证明的结论就是条件或已有的公式，从而说明所证不等式成立。

另外，换元法、放缩法等对较复杂的不等式的证明也很有帮助。

【知识讲解】例1、 设1>2a>0,试比拟A=1+a 2与B=a-11的大小。

解：A-B=aa a a a a ----+=--+111111322=1)1(1223-+-=--+-a a a a a a a a∵01,2>+-∈+a a R a 恒成立.由条件知0<21<a ,∴a-1<0,∴A-B<0 即A<B.例2、设a.b ∈R +,求证a a b b ≥a b b a分析:这里所证的不等式的左、右两边均正，且都为乘积的形式，所以可以考虑作商与1比拟，转化为运用指数函数的性质来证明。