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第一讲一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。
那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。
典型例题例【 1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（ 1）（2）（3）（4）分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。
经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。
图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。
图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。
通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。
由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。
相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。
再看图（ 1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。
而图（2）有 4 个奇点， 2 个偶点，不能一笔画成。
这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。
例【 2】下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。
关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由 A B C AD C。
图中 B、D 为偶点， A、C 为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。
要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。
经过尝试，图（ 3）无法一笔画成，而图中有 4 个奇点， 5 个偶点。
解图（ 1）、（2）可以一笔画。
这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。
如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。
如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。
如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。
例【 3】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析图（ 1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由 A 开始或由 B 开始到 B 结束或到 A 结束。
一笔画月日姓名【知识要点】1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。
2．分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。
（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。
3．规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。
（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。
（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。
（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。
【典型例题】例1．判断下面图形中哪些点是单数点，哪些点是双数点。
例2．下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？（1）（2）（3）（4）例3．如图，能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？例4．将下图去掉最少的线改成一笔画图形。
随堂小测姓名成绩1.判断下面图形哪些是单数点，哪些是双数点。
2. 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？3. 一个邮递员投递信件要走的街道如下左图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每一条街道，你能帮帮他吗？4. 一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束？（3）AC E（1）（2）（3）（4）5. 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。
【知识拓展】1．为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗？2．你能用一笔画成4条线段把下图的9朵小花都连起来吗？课后作业姓名成绩1．判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。
2．判断下面图形能不能一笔画成。
（1）（2）B3．下图能否一笔画成？如果能，应怎样画？4．如图，是一个公园的平面图，请你设计好入口、出口，并给出一种游玩路线，要求走遍每一条路且不重复。
5．如图，是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊，问：出口、入口应设在哪里？家长签名：【课外知识链接】七桥问题著名古典数学问题之一。
小学奥数：一笔画
【专题简析】
1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。
2．图中的点可分两大类：
（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。
（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。
3．规律----一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。
（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。
（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，
最后以另一单数点为终点。
（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。
【题目】
1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。
单数点（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
双数点（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
单数点（ ） （ ） （ ）
双数点（ ） （ ） （ ）
B
C
B
单数点（ ） （ ） （ ） 双数点（ ） （ ） （ ）
单数点（ ） （ ） （ ）
双数点（ ） （ ） （ ）
单数点（ ） （ ） （ ）
双数点（ ） （ ） （ ）
由以上图形可以得出：
B
C
A
C
单数点（）（）（）双数点（）（）（）
单数点（）（）（）
双数点（）（）（）
由以上图形可以得出：
C D
E
F
单数点（）（）（）双数点（）（）（）
单数点（）（）（）双数点（）（）（）由以上图形可以得出：。
奥数问题：一笔画
一笔画问题是研究平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，且使得在每条线段上都不重复。
数学家欧拉找到一笔画的规律是：
⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
⒊其他情况的图都不能一笔画出。
（有偶数个奇点除以二可以算出此图至少需几笔画成。
）
备注：
顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指
数。
奇顶点：指数为奇数的顶点。
可以简单地理解为，以此点为顶点的直线段和曲线段的条数为奇数。
偶顶点：指数为偶数的顶点。
可以简单地理解为，以此点为顶点的直线段和曲线段的条数为偶数。
在1736年，欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法 (Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis)》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范，开创了数学上的新分支――图形与几何拓扑。
能一笔画出并回到起点的图为欧拉图。
他发表了“一笔画定理”：
一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件:图形是联通的；图形中的奇点（与奇数条边相连的点）个数为0或2。
一笔画与多笔画知识框架一、一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。
什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、一笔画问题（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有 2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用 n 笔画成.重难点（1）知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。
（2）知道什么样的图形可以一笔画出。
（3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？例题精讲【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪O JIE FG 些点是偶点？哪些点是奇点？A H DE GBFC 【巩固】下图中，哪些点是奇点，哪些点是偶点？B【例 2】观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.【巩固】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？【例3】同学们野营时建了9 个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就（填“能”或“不能”）完成任务.【例 4】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？EA BD C【例 5】下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？乙【例 6】 邮递员叔叔向 11 个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【例 7】 （2010 年第 8 届走美杯 3 年级初赛第 6 题）有16 个点排成的4 4 方阵。
小学三年级奥数专题（二十八）一笔画(1)关键词：欧拉笔画复地斯堡画成奥数图形年级这个小学摘要：《小学三年级奥数专题（二十八）一笔画(1)》...现了一笔画原理。
欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。
我们把一个图形上...如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。
显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。
同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。
所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。
后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。
欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。
我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。
如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点。
欧拉的一笔画原理是：(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。
学习一笔画
【专题简析】
1 .概念：
（1）连通图：图中任意两点都是连通的,那么图被称作连通图。
（2）一笔画：是指笔不离开纸,而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。
（3）一笔画一定是连通图,连通图不一定是一笔画。
2.图中的点可分两大类：
（1）偶数点：从这点出发的线的数目是偶数的，叫偶数点（偶点）。
（2）奇数点：从这点出发的线的数目是奇数的，叫奇数点（奇点）。
3.规律一■一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。
（1）同进同出：凡是图形中没有奇数点的一定可以一笔画成。
（2）一进一出：凡是图形中只有两个单数点,一定可以一笔画成，
画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。
（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。
【例题1] 一些平面图形是由点和线构成的，这里的“线”可以是线段，也可以是一段曲线, 请自己画一些图研究每个点和线的连接情况。
思路导航：请小朋友仔细观察下列各图中的点，他们分别与几条线相连。
（1）与一条线段相连的点有：•
.
.
（2）与两条线段相连的点有：
（3）与三条线段相连的点有：
（4）与四条线段相连的点有:
下列平面图形中，数一数图中有几个单数点?
口甲田人虫
下面图形中有哪几个单数点？下面图形中有哪几个单数点？
A
.• • H ••• G
砂D P F E
C D
下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？
下图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.那么两人谁先到达？为什么？
C. B. .A
下图是某新村小区主干道平面图。
甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的主干道，最后到达C.问谁能最先到达C?为什么？
B.
A e Y
给下面的图形添一条线，使它能够一笔画成。
下面的图形能不能一笔画成，如果能，请说明画法，如果不能，请说明理由
甲、乙两辆车同时以相同的速度分别从A、B出发，哪辆车能最先行驶完所有的路程？为什么?
A C
• •
B,
一只蚂蚁分别从A点和B点出发，爬遍所有的小路。
如果每次爬行的速度相同，那么从哪一点出发所用的时间少？为什么？
在一条小河，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有的小桥吗?
下图能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成能够一笔画成的图形?
下图中，哪些可以一笔画成？请试试。
在一个小区中有一些路，每个圆柱表示邮筒（如下图），邮递员叔叔每次送信时，总是没法走过每一条路而又不重复，你知道为什么吗？如果请你给小区加一条路来解决这个问题，你准备把这条路加在哪儿？请你动手画一画。
下图是以一个小区的中心花园的平面图，你能一次不重复地走完所有的路吗？怎么走?
在王大爷家的花园中有一些路，王大爷每次给花浇水时，总是没法走过每一条路而乂不重复, 你知道为什么吗？如果请你给花园加一条路来解决这个问题，你准备把这条路加在哪儿？
下图能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成能够一笔画成的图形?
下面的图形可以一笔画成吗？为什么？能的话, 应从什么位置起笔?
下图是儿童乐园平面图，出、入口应分别设在哪里才能不重复地走遍每条路？可以怎么走?
下面的图形能不能-•笔画成？为什么？
在一个公园里的两个湖心岛A、B,它们周围有七座桥与两岸相通。
试问能否找到一条路线, 从一岸出发，不重复地走遍所有桥后到达对岸？并说说理由。
D
下图能否一笔画成，若不能，你加上最少的线把它改成能够一笔画成的图形?
判断下面哪些图形可以一笔画成？为什么？能画得请在图中标明起点位置。
邮递员叔叔向10个地点送信一次走完，不走重复路，应该怎样走合适?
下图是某地区所有街道的平面图，乙两人同时分别从A 、B 两地出发，以相同的速度走遍所 有的街道，最后到达C 点，问两人谁能最先到达C?
下图是一个公园的平面图，要是游客走遍每条路而不重复，出入口应设在哪里
?
园林工人在花园里浇花，怎样才能不重复地走遍每条小路
?
下图是商场的平面图，顾客可以从六个门进出商场，怎样走才能一次走遍商场的每条通道?
小明和玲玲玩“过木桥”的游戏（如下图），他们谁能不走重复的路?
将下图去掉最少的线改成一笔画图形
邮递员叔叔要给一个居民小区送信（如图），怎么走才能少走重复路，使每天走的路尽可能短？
A B C
•••
H・・'•£）
♦••
G F E
下面是某商店的平面图，它由五个厅组成，每两厅之间有门相通，整个商店还有一个进口和
一个出口。
问是否有一条路线，能一次不重复地通过每一个门，并且从入口进，从出口出？
下图是一个公园的平面图，应怎样走才能使游客走通每条路而不重复，设计一条最佳路线
C。
