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一笔画与多笔画知识框架一、一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。
什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、一笔画问题（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.重难点（1）知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。
（2）知道什么样的图形可以一笔画出。
（3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？例题精讲【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？【巩固】 下图中，哪些点是奇点，哪些点是偶点？【例 2】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.【巩固】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？J O I H G FED CBA GF E D CBA【例 3】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.【例 4】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【巩固】 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？【例 5】 下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？E CDB A 乙甲【例 6】 邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【例 7】 （2010年第8届走美杯3年级初赛第6题）有16个点排成的44 方阵。
知识要点一笔画一笔画【例1】 判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。
【例2】 判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。
(6)(4)(3)(2)(1)多笔画【例3】 下面各图至少需要几笔才能画成？（3）（2）（1）【例4】判断图中的三个图形各需要几笔才能画出？请把能一笔画的图形的画法用字母和箭头表示出来。
【例5】观察下面的图形，判断其需要几笔才能画出？多笔画改一笔画【例6】下图中的两个图形均不能一笔画出，你能将原图形中的某一线段取消使之能够一笔画成吗？【例7】下图能一笔画成吗？如果不能，请你添上或减去一根线段使它能一笔画出来。
【例8】 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法，若不能，请说明需要几笔才能画出，并请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．FI H EBA G图aD C 图 bJ I H GDCLKF E BA 图 c【例9】 将下图改为一笔画．生活中的一笔画【例10】 （第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题（小学组））同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻的旗帜色彩不同，则贝贝至少需要＿＿＿种颜色的旗子。
如果贝贝从某营地出发，不走重复的路就______（填“能”或“不能”）完成这项任务。
【例11】 下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、入口应设在哪里？HI FED CBA【例12】下图中每个小正方形的边长都是100米。
小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？【例13】小明假日去看画展，展览分四个展区，展览馆内外一共有六扇门，平面图如下，请问小明能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。
如果能，应从哪开始走？【例14】下图是某博物馆的平面图，共有五个主题展馆，相邻两馆之间有门相通，并且设有入口．博物馆的入口以及展馆门口挂了颜色各异的彩旗，请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门采集到所有颜色的彩旗吗？如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到？【例15】在一条河的中间有两个小岛，周围有六座桥与两岸相通．问能否找到一条路线，从一岸出发，不重复走遍所有的桥，然后到达对岸？【例16】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个岛连接起来(如下图所示)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？这个有趣的问题引起了著名数学家欧拉的注意，他证明了七桥问题中提到的走法根本不存在．下面，我们考虑如下两个问题：⑴若再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥？若能，这座桥应架在何处？若不能，请说明理由．⑵架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地？【例18】下图是某博物馆的平面图，相邻两个展厅之间有一扇门相通，每一个展厅都有一门通往馆外．问参观者能否不重复地一次穿过每一扇门？若能，请找出一条可行路径，若不能，请说明理由．如果允许关闭某一扇门，问参观者能否不重复地穿过每一扇开着的门？【例19】（2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛）有一个城市的街道图是由一些矩形所构成，如下图。
2013年5月30号三年级数学奥数题难题《一笔画》专项练习
及答案
题型：一笔画难度：★★★★
在一条河的中间有两个小岛，周围有六座桥与两岸相通．问能否找到一条路线，从一岸出发，不重复走遍所有的桥，然后到达对岸？
【答案解析】
用点表示小岛与河岸，用连接两点的线表示连接相应两地的桥，如图，由于此图中有A和C两个奇点，虽然可以一笔画出此图形，但起点和终点必须为A和C，所以要想以C和D分别为起始点和终点，是无法一笔画出此图形的，所以不能找到一条路线，从一岸出发，不重复走遍所有的桥，然后到达对岸.。
一笔画与多笔画知识框架一、一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。
什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、一笔画问题（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有 2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用 n 笔画成.重难点（1）知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。
（2）知道什么样的图形可以一笔画出。
（3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？例题精讲【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪O JIE FG 些点是偶点？哪些点是奇点？A H DE GBFC 【巩固】下图中，哪些点是奇点，哪些点是偶点？B【例 2】观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.【巩固】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？【例3】同学们野营时建了9 个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就（填“能”或“不能”）完成任务.【例 4】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？EA BD C【例 5】下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？乙【例 6】 邮递员叔叔向 11 个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【例 7】 （2010 年第 8 届走美杯 3 年级初赛第 6 题）有16 个点排成的4 4 方阵。
小学三年级奥数专题（二十九）一笔画(2)关键词：笔画复地图中奇点展室右图奥数千米邮局年级摘要：《小学三年级奥数专题（二十九）一笔画(2)》...是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A或D展室开始走。
例1的关键是如何把一个实际问题变为判断是否一笔画问题，就像欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时做的那样。
例2 一个邮递员投递信件要走的街道如下页左上图所示...利用一笔画原理，我们可以解决许多有趣的实际问题。
例1 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。
如果能，应从哪开始走？分析与解：我们将每个展室看成一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右图。
能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右图是否一笔画问题。
右图中只有A，D两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A或D展室开始走。
例1的关键是如何把一个实际问题变为判断是否一笔画问题，就像欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时做的那样。
例2 一个邮递员投递信件要走的街道如下页左上图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。
怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？分析与解：图中共有8个奇点，必须在8 个奇点间添加4条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画。
在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左上图中虚线所示，共添加4条连线，这4条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米。
走法参考右上图(走法不唯一)。
例3右图中每个小正方形的边长都是100米。
小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？分析与解：这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解。
首先，图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B点，A，B两点必须是奇点，现在A，B都是偶点，必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点。
一、一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法.什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、 一笔画问题（1） 能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2） 凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3） 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4） 奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.（1） 知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点.重难点知识框架一笔画与多笔画C（2）知道什么样的图形可以一笔画出.（3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？例题精讲【例 1】下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？【解析】本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C.容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和.仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C.【答案】甲先到达C.【例 2】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答【解析】将图形中的6个区域看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然6个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门．【答案】能【巩固】 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？【考点】一笔画问题 【难度】2星【题型】解答【解析】 不能【例 3】 下图中的每条线都表示一条街道，线上的数字表示这条街道的里数.邮递员从邮局出发，要走遍各条街道，最后回到邮局.问：邮递员怎样走，路线最合理？【解析】 邮递员走的路程最短时，路线最合理.利用一笔画的知识分析可得：因为邮递员从邮局作为起点和终点，所以没有奇点是最理想的，但实际上图中却有8个奇点，邮递员必须重复走某些路线.根据多笔画改为一笔画的方法得知：重复走的路线的两个端点应为奇点.重复的总路程应该尽可能短.我们把需重复走的路线，用虚线添在图中，通过分析与计算可知；当邮递员所走的路线如右图时，重复的路程最短，全程共走了56＋4＝60（里）.其中56为所有街道的总长，4为所重复走的路程.小结：本题属于最短邮递路线问题.解决这样的题目时，有两点值得注意：①在所给图中，每条边都有具体的长度，这与前面其他问题中不考虑长度是不同的；②邮递路线中，邮递员必须以邮局作为起点和终点，即在最后能一笔画出的图中，所有的点都必须是偶点.这也与前面游人可以选择进出口的问题不同.E CDBA【例 4】右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度.清晨，洒水车从A出发，要洒遍所有的街道，最后再回到A.问：如何设计洒水路线最合理？【解析】这又是一个最短路线的问题.通过分析可以知道：在洒水路线中，K是中间点，因此必须成为偶点，这样洒水车必须重复走KC这条边（如下左图）.至此，奇点的个数并未减少，仍是6个，但问题却转化为例6的类型.类似于例6，容易得出，洒水车必须重复走的路线有：GF、IJ、BC.即洒水路线如下右图.全程45＋3+6=54（里）.【例 5】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？【考点】一笔画问题【难度】3星【题型】解答【解析】这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解．首先，图中有8 个奇点，在8 个奇点之间至少要去掉4 条线段，才能使这8 个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B 点，A，B 两点必须是奇点，现在A，B 都是偶点，必须在与A，B 连接的线段中各去掉1 条线段，使A，B 成为奇点．所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走1800 米，走法如图【答案】【例 6】如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到？【考点】一笔画问题【难度】4星【题型】解答【解析】可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号．这时，连通厅与厅之间的门就相当于各点之间的连线．于是题目中餐厅平面图就抽象成为一个连通的图形，如下：求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题．在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即②、③、④和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门．但根据一笔画问题的知识，只要关闭门，把③、④变为偶点，就可以办到，关闭B门，可行路线如上图.【答案】关闭B门.【例 7】（2009“数学解题能力展示"读者评选活动五年级初赛6题）某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是．【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 根据一笔画的有关概念，道路图中有6个奇点，邮递员不可能不重复地走遍所有街道并返回邮局．但可以对道路图作一些处理，相当于邮递员通过走重复的道路，完成一笔画，如下图：总路程为3102846⨯+⨯=．【答案】46【例 8】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a )．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了．而图B 中有4个奇点显然不能一笔画出．【答案】不能【巩固】 如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】解答 【答案】能.【例 9】 一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？【考点】一笔画问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】 图中共有8 个奇点，必须在8 个奇点间添加4 条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左下图中虚线所示，共添加4 条连线，这4 条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米．走法参考右下图(走法不唯一)．【答案】30千米【随练1】 一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A 出发，走遍所有的街道再回到A.怎样走路程最短，全程多少公里？例题精讲【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答【解析】【答案】如图，27；【随练2】 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走？【解析】 我们将每个展室看成一个点，室外看成点E ，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右图.能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右图是否一笔画问题.上图中只有A ，D 两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A 或D 展室开始走.【答案】能，应该从A 或D 展室开始走.EDCBA【作业1】 下列图形分别是几笔画？怎样画？【答案】（1）1笔 （2）2笔 （3）1笔【作业2】 从A 点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A 点，怎样走才能使重复走的路程最短？【答案】【作业3】 邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？A例题精讲【答案】【作业4】 有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，下图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？【答案】邮局213332邮局33322111 / 12【作业5】 一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A 点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A 点时，最多能爬行多少厘米？【答案】34厘米.【作业6】 在六面体的顶点B 和E 处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？【解析】 许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题.这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D 点，因而获胜.问题变为从B 到D 与从E 到D 哪个是一笔画问题.图中只有E ，D 两个奇点，所以从E 到D 可以一笔画出，而从B 到D 却不能，因此E 点的蚂蚁获胜.【答案】E 点的蚂蚁获胜.【作业7】 下图是一个街区街道的平面图.邮递员从邮局出发，跑遍所有街道投送信件.请你为他安排一条最短的路线，并按图中标出的千米数算出这条路线的长度（单位：千米）.△ 邮局 3数学文化小故事：“0”的来历大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的。
三年级一笔画试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 一笔画问题中，奇数个奇点的图形不能一笔画成，那么偶数个奇点的图形可以一笔画成吗？A. 可以B. 不可以C. 不确定答案：A2. 一笔画问题中，如果一个图形有0个奇点，那么这个图形可以一笔画成吗？A. 可以B. 不可以C. 不确定答案：A3. 一笔画问题中，从一个奇点出发，最后必须回到哪个点？A. 起点B. 另一个奇点C. 任意点答案：A4. 一笔画问题中，如果一个图形有两个奇点，那么这个图形可以一笔画成吗？A. 可以B. 不可以C. 不确定答案：B5. 一笔画问题中，如果一个图形有四个奇点，那么这个图形可以一笔画成吗？A. 可以B. 不可以C. 不确定答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 一笔画问题中，如果一个图形有__个奇点，那么这个图形可以一笔画成。
答案：0或22. 一笔画问题中，从一个奇点出发，最后必须回到__点。
答案：起点3. 一笔画问题中，如果一个图形有__个奇点，那么这个图形不能一笔画成。
答案：奇数4. 一笔画问题中，如果一个图形有__个奇点，那么这个图形可以一笔画成。
答案：偶数5. 一笔画问题中，从一个奇点出发，最后必须回到__点。
答案：起点三、判断题（每题2分，共20分）1. 一笔画问题中，如果一个图形有3个奇点，那么这个图形可以一笔画成。
（）答案：×2. 一笔画问题中，如果一个图形有0个奇点，那么这个图形可以一笔画成。
（）答案：√3. 一笔画问题中，从一个奇点出发，最后必须回到另一个奇点。
（）答案：×4. 一笔画问题中，如果一个图形有2个奇点，那么这个图形可以一笔画成。
（）答案：√5. 一笔画问题中，如果一个图形有4个奇点，那么这个图形不能一笔画成。
（）答案：×四、解答题（每题10分，共50分）1. 请画出一个一笔画成的图形，并说明为什么可以一笔画成。
答案：图形：一个正方形，四个顶点分别连接对角线。
一、一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。
什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、 一笔画问题（1） 能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2） 凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3） 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4） 奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.重难点知识框架一笔画与多笔画A（2） 知道什么样的图形可以一笔画出。
（3） 不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？【考点】一笔画问题 【难度】2星【题型】解答【解析】 奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I 【答案】奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I【巩固】 下图中，哪些点是奇点，哪些点是偶点？【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 奇点： E C 偶点：A B D F G 【答案】奇点：E C 偶点：A B D F G【例 2】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.J O I H G FED CBA GF E D CBA例题精讲【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答【解析】(a)图：可以一笔画，因只有两个奇点A、B；画法为A→头部→翅膀→尾部→翅膀→嘴。
三年级奥数专题：一笔画(一)如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。
显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。
同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。
所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。
后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。
欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。
我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。
如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点。
欧拉的一笔画原理是：(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。
利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。
因为图中A，B，C，D 都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。
顺便补充两点：(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。
因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。
三年级奥数详解答案第⼗七讲⼀笔画问题第⼗七讲⼀笔画问题⼩朋友们，你们能把下⾯的图形⼀笔画出来吗？知识点:1.⼀笔画的概念:如果⽤笔在纸上连续不断⼜不重复，⼀笔画成某种图形，这种图形就叫⼀笔画。
那么是不是所有的图形都能⼀笔画成呢？这⼀讲我们就⼀起来学习⼀笔画的规律。
2.⼀笔画的规律3.奇点和偶点例【1】下⾯这些图形，哪个能⼀笔画？哪个不能⼀笔画？（1）（2）（3）（4）分析图（1）⼀笔画出，可以从图中任意⼀点开始画该图，画到同⼀点结束。
经过尝试后，可以发现图（2）不能⼀笔画出。
图（3）不是连通的，显然也不能⼀笔画出。
图（4）也可以⼀笔画出，且从任何⼀点出发都可以。
通过观察，我们可以发现⼀个⼏何图形中和⼀点相连通的线的条数不同。
由⼀点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。
相应的，由⼀点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。
再看图（1）、（4），其中每⼀点都是偶点，都可以⼀笔画，且可以从任意⼀点画起。
⽽图（2）有4个奇点，2个偶点，不能⼀笔画成。
这样我们发现，⼀个图形能否⼀笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看⼀个例题。
例【2】下⾯各图能否⼀笔画成？（1）（2）（3）A EC D B CD A ABCD BF分析图（1）从任意⼀点出都可以⼀笔画成，因为它的每⼀个点都是与两条线相连的偶点。
关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由 A B C AD C 。
图中B 、D为偶点，A 、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。
要想⼀笔画，需从奇点出发，回到奇点。
经过尝试，图（3）⽆法⼀笔画成，⽽图中有4个奇点，5个偶点。
解图（1）、（2）可以⼀笔画。
这样我们可以发现能否⼀笔画和奇点、偶点的数⽬有着紧密的关系。
如果图形只有偶点，可以以任意⼀点为起点，⼀笔画出。
如果只有两个奇点，也可以⼀笔画出，但必须从奇点出发，由另⼀点结束。
如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能⼀笔画出。
例【3】下⾯的图形，哪些能⼀笔画出？哪些不能⼀笔画出？分析图（1）有两个奇点，两个偶点，可以⼀笔画，须由A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。
小学三年级奥数专题（二十八）一笔画(1)关键词：欧拉笔画复地斯堡画成奥数图形年级这个小学摘要：《小学三年级奥数专题（二十八）一笔画(1)》...现了一笔画原理。
欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。
我们把一个图形上...如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。
显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。
同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。
所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。
后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。
欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。
我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。
如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点。
欧拉的一笔画原理是：(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。
一、 一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。
什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.二、 一笔画问题（1） 能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2） 凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3） 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4） 奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、 多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.（1） 知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。
（2） 知道什么样的图形可以一笔画出。
（3） 不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？【例 1】 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 图a 能，因为有2个奇点，图aNML KF DECBA 图bODCBA图cGFEDCBA一笔画与多笔画B知识框架重难点例题精讲图b 不能，因为图形不是连通的， 图c 能，因为因为图中全是奇点【答案】a 能，b 不能，c 能【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，六年级，初赛，第10题【解析】最少需要4种颜色的旗子。
因为中间的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营地两两相邻，要使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。
大三角形各顶点不与小三角形顶点的三个旗子颜色一样。
不走重复路线不能完成插旗的任务，因为本题共有6个奇点。
【答案】4种颜色，不能【例 3】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【考点】一笔画问题 【难度】2星【题型】解答【解析】 将图形中的6个区域看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然6个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门．【答案】能【巩固】 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？【考点】一笔画问题 【难度】2星【题型】解答【解析】 A 有3个门，B 有2个门，C 有2个门，D 有3个门，E 连接2个门。
【答案】能【例 4】 能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？E CDB A【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 只有两个奇点，可以一笔画成。
【答案】可以【巩固】 下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 要想不重复，需要路线能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以入口和出口应该分别放在两个奇点出，即F 和I 点．【答案】出口和入口应该分别放在F 和I 点【例 5】 （2010年第8届走美杯3年级初赛第6题）有16个点排成的44 方阵。
如图，请不间断地一笔画出6条直线经过每个点，且最后回到起点【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】只使用横平竖直的线怎么都不够，因此尝试使用斜线进行构造。
【答案】答案不唯一【例 6】 一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？IHGFEDC BAAGBF CHDE【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】8个定点都是奇点，所以至少需要4笔．多画长和高能保证总路程最长，为A －B －G －H －A －D －C －F －E －D 总长为6×4＋5×4 ＋4×1＝48分米．【答案】48分米【巩固】 一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A 点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A 点时，最多能爬行多少厘米？【考点】一笔画问题 【难度】3星【题型】解答【解析】54423234⨯+⨯+⨯=(厘米)【答案】34厘米【例 7】 观察下面的图形，并列出奇点的个数与笔画数（至少几笔画完此图）的关系表格。
【考点】一笔画问题【难度】3星【题型】解答【解析】为了表示得清楚一些，我们把图中第一笔画出的部分用实线表示，第二笔画出的部分用虚线表示，第三笔画出的部分用点线表示，其余部分请大家自己画出.【答案】略【例 8】 下图是某个花房的平面图，它由六间展室组成，每相邻两室间有一门相通.请你设计一个出口，使参观者能够从入口处A 进去，一次不重复地经过所有的门，最后由出口走出花房。
【考点】一笔画问题【难度】3星【题型】解答A【解析】可把每个花室看作一个点（花房外也看作是一个结点），每个门看作是连接两结点的边，于是，上图就转化为右图.设计一个出口，实际上是添一条与结点A 相连的边，使新图能够以A 为起点和终点一笔画出，也就是说，新图中，所有的点都必须是偶点.观察右图， 发现只有A 、F 两个奇点，所以，应把边添在A 与F 之间（如右图），即：把出口开在花室F 处。
【答案】略【例 9】 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】图(1)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD ，或者去掉BF 都可以使图形能一笔画出．图(2)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL ，或者BK 都可以使图形能一笔画出． 图(3)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉AB 可以使图形能一笔画出．一个K(K ＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K 笔画有2K 个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点．如左下图中的B ，C 两个奇点在右下图中都变成了偶点．所以只要在K 笔画的2K 个奇点间添加(K -1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画．【答案】【巩固】 将下图改为一笔画.ADC BEFGF图a图cABCDABDCA BDC【考点】一笔画问题【难度】3星【题型】解答【解析】图（1）中有6个奇点，因此可添上两条（或3条）边后可改为一笔画；又因为这个图中，把这6个奇点任意分为3对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，可去掉两条边后改为一笔画，举例如图（3）～（6）。
图（2）中有4个奇点，因此，可添上2条（或1条）边后改为一笔画；又因为把奇点按A与B，C与D（或A与D，B与C）分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条（或1条）边后改为一笔画.举例如图（7）～（8）.说明：图（6）运用了两种方法，去掉边BC，添上边AD与EF.【例 10】（2009“数学解题能力展示"读者评选活动四年级初赛6题）如图所示，某小区花园的道路为一个长480米，宽200米的长方形；一个边长为260米的菱形和十字交叉的两条道路组成．一天，王大爷A处进入花园，走遍花园的所有道路并从A处离开．如果他每分钟走60米，那么他从进入花园到走出花园最少要用分．A【考点】一笔画问题【难度】4星【题型】填空【解析】根据一笔画的概念，因为道路图有四个奇点，所以王大爷是没法不重复地走完小区所有的道路回到A的，但可以对道路图作一些处理，相当于王大爷通过走重复的道路，完成一笔画，如下图：道路的总路程为4803200326063600⨯+⨯+⨯=米，王大爷走完这些路要60分钟．【答案】60分【随练1】下面各图能否一笔画成【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】（1）能（2）能（3）不能【随练2】下列图形，至少几笔画出？（1）（2）【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】（1）1笔（2）2笔【作业1】下列图形分别是几笔画？怎样画？【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】（1）1笔（2）2笔（3）1笔【作业2】从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短？ADCBA（3）（2）（1）课堂检测家庭作业【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】略【答案】【作业3】 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。
如果能，应从哪开始走？【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答【解析】我们将每个展室看成一个点，室外看成点E ，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右图。
能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右图是否一笔画问题。
上图中只有A ，D 两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A 或D 展室开始走。
【答案】能，应该从A 或D 展室开始走。
【作业4】 邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？【考点】一笔画问题 【难度】2星【题型】解答【解析】略EDCBA邮局213332【答案】【作业5】 有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，下图中的点表示村庄，线段表示道路。
邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】【作业6】 一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A 点出发，沿棱爬行，每条棱必须爬到，但尽量少的重复，则甲虫回到A 点时，最多能爬行多少厘米？【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答【解析】85444368⨯+⨯+⨯=（厘米）【答案】68厘米。
数学文化小故事：“0”的来历大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的。
他们使用罗马数字。
罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目。
