数学多笔画问题课件《三年级奥数》

一笔画与多笔画知识框架一、一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。

什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、一笔画问题（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.重难点（1）知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。

（2）知道什么样的图形可以一笔画出。

（3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？例题精讲【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？【巩固】 下图中，哪些点是奇点，哪些点是偶点？【例 2】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.【巩固】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？J O I H G FED CBA GF E D CBA【例 3】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.【例 4】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【巩固】 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？【例 5】 下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？E CDB A 乙甲【例 6】 邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【例 7】 （2010年第8届走美杯3年级初赛第6题）有16个点排成的44 方阵。

第五讲：多笔画一、基本功（一笔画的相关概念）1、 一笔画要求： 在一个平面内 ⑴笔不离开纸；⑵每条线只画一次，不重复。

2、 奇点：与奇数条线连接的点3、 偶点：与偶数条线连接的点注意：（1） 在数“与点连接的线”的多少时我们可记为“从该点出发的线”，这样不容易出错。

如下图中从A 点出发的线应该是2条，A 是偶点。

（2）与点连接的线可以是直线，可以是曲线。

如下图从B 点出发的是3条线，B是奇点。

二、一笔画判断前提：必须是连通图奇点数≦2（奇点一定是成对出现的，即不会出现3个奇点的情况）（1） 奇点数=0，即没有奇点。

特点：可以图形中的任意点出发，最后还是回到这个点；（哪点进，哪点出）（2） 奇点数=2。

特点：必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

（一个奇点进，另一奇点出）例 判断下列各图能否一笔画出。

解析：图a 不是连通图，不能一笔画；图b 有4个奇点，不能一笔画； 图c 有6个奇点，不能一笔画；图d 有2个奇点，能一笔画 图e 没有奇点，能一笔画。

图a图b图c图d图e三、多笔画概念：不能一笔画的点线图，即为多笔画。

最少笔画数： 奇点个数÷2例1 看图填写下表解析：图 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 奇点数 4 4 6 6 88 笔画数 2 2 3 3 4 4四、多笔画转化为一笔画宗旨：减少奇点数方法：（1）添线（2）去线例2 加一条线或去一条线，一笔画出这个图形（以一幅图为例讲解）解析：本图有4个奇点，不能一笔画。

想要一笔画成，就要将其奇点数减少到2个或者0个，可以去线，如下图或也可以添线，如下图① ② ③ ④ ⑤ ⑥一条线能改变其连接的2个点的奇偶性，故添/去一条线最多能将2个奇点转化为偶点去掉连接2个奇点的线，这两个点就成为偶点五、一笔画的实际应用1、判断能否一次不重复走完某路线方法：转化为点线图，观察奇点的数量，即可判断 关键：如何将题目转化为点线图窍门：线——路线，题目中要求一次不重复走的东西，比如，一次不重复经过所有的门，那一道门就是一条线。

一、 一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。

什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.二、 一笔画问题（1） 能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2） 凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3） 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4） 奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、 多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.（1） 知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。

（2） 知道什么样的图形可以一笔画出。

（3） 不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？【例 1】 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 图a 能，因为有2个奇点，图aNML KF DECBA 图bODCBA图cGFEDCBA一笔画与多笔画B知识框架重难点例题精讲图b 不能，因为图形不是连通的， 图c 能，因为因为图中全是奇点【答案】a 能，b 不能，c 能【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，六年级，初赛，第10题【解析】最少需要4种颜色的旗子。

知识框架一、一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法.什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.二、一笔画问题（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.重难点（1）知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点.（2）知道什么样的图形可以一笔画出.（3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？一笔画与多笔画例题精讲【例1】下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B 出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？【例2】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？E CDB A 【例3】下图中的每条线都表示一条街道，线上的数字表示这条街道的里数.邮递员从邮局出发，要走遍各条街道，最后回到邮局.问：邮递员怎样走，路线最合理？【例4】右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度.清晨，洒水车从A出发，要洒遍所有的街道，最后再回到A.问：如何设计洒水路线最合理？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例5】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例6】如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到？【例7】（2009“数学解题能力展示"读者评选活动五年级初赛6题）某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是．【例8】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？【例9】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？课堂检测【随练1】一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A出发，走遍所有的街道再回到A.怎样走路程最短，全程多少公里？【随练2】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走？家庭作业【作业1】下列图形分别是几笔画？怎样画？【作业2】从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短？【作业3】邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？【作业4】有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，下图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？欢迎关注：奥数轻松学【作业5】在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？【作业6】下图是一个街区街道的平面图.邮递员从邮局出发，跑遍所有街道投送信件.请你为他安排一条最短的路线，并按图中标出的千米数算出这条路线的长度（单位：千米）.教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：2122△邮局2113。

第七讲漫画释义知识站牌一年级秋季火柴棒游戏二年级秋季一笔画游戏三年级秋季多笔画问题四年级秋季操作类智巧趣题五年级暑假棋盘中的数学通过一笔画问题引出多笔画问题，能够将多笔画与一笔画进行转换，利用多笔画和一笔画之间的转换解生活中出现的问题，可培养学生处理问题的能力。

同学们，试试下面的简笔画可以一笔画出吗？能一笔画出的图形有什么共同特点？1.会判断图形是否可以一笔画2.学会将多笔画问题转化成一笔画问题3.学会将实物图转化成简笔画（即点线图），进而转化成一笔画问题来解决一笔画，是指从图的一点出发，笔不离纸，走过每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.我们在过去学过如何判断一个几何图形能否一笔画的法则——欧拉定理：课堂引入经典精讲教学目标第七讲首先，判断该几何图形是不是连通图.所谓连通图是指某个几何图形上任意两点间都有一条通路.能一笔画的图必须是连通图，但一个图形是连通图，不一定能一笔画；然后，判断该几何图中的每一个点是奇点还是偶点，并计算奇点个数.当奇点个数为0个或2个时，该图形即可一笔画成.具体来说：（1）当图形有0个奇点时，可以从任意一个偶点出发，一笔画后再回到出发的那个偶点；（2）当图形有2个奇点时，可以从其中一个奇点出发，经过一笔画后到达另一个奇点.几个重要的解题要点：1、连通图中的奇点个数必为偶数：当有2n 个奇点时，这个图形最少要用n 笔画成；2、将不能一笔画成的图形改造成一笔画的图形的方法主要有两个：（1）加边；（2）去边.无论是加边还是去边，其基本思想都是减少奇点个数至0个或2个；3、我们会遇到许多应用型问题，这些问题中给出的图形未必是几何中的图形，在应用一笔画判定法则之前，需先将其转化成几何中的图，即只由点和线构成，其中的线表示可通过的路径.例1：一笔画问题例2：多笔画问题例3：将多笔画转化成一笔画问题例4：七桥问题例5：解决实际问题判断下列各图中，哪些图形可以一笔画出，哪些不能一笔画出？能一笔画出的，请用一笔把它们画出来．(1)(2)(3)例题思路(5)(6)［分析］图⑵、⑶所有点都是偶点，可以一笔画，图⑴、⑹中只有两个奇点，也可以一笔画，画法如下：(1)图⑷中有6个奇点，图⑸是非连通图，所以图⑷、图⑸不能一笔画．【对应学案】［学案1］［拓展］判断下列各图能否一笔画？图aIHGFE DCBA图bF EDCBA图c［分析］图a中九个点全是偶点，因此可以一笔画，其中一种画法为：A FB GC HDE H IFG I E A→→→→→→→→→→→→→→．图b中A B C D、、、四个点均为奇点，故不可以一笔画．图c中，只有A，C为奇点，故可一笔画．其中一种画法为：A D E C H N G M F AB C→→→→→→→→→→→．［拓展］下图中的三个图形哪个图形能一笔画，为什么？请把能一笔画出的图形的画法用字母和箭头表示出来？①DFGECBA②HA B CEG FD③HA B CEG FD［分析］图①能一笔画，因为该图中所有的点全是偶点．它的一个画法是：A B C D E F G E B G A→→→→→→→→→→．第七讲图②能一笔画，因为该图中只有两个奇点．它的一个画法是：C D E F G H A B G C B F→→→→→→→→→→→图③不能一笔画，因为该图中奇点的个数超过两个．请你看图填写下表．⑥⑤④③②①图①②③④⑤⑥奇点数最少笔画数【分析】奇点的个数与笔画数的关系可列如下表．图①②③④⑤⑥奇点数446688最少笔画数223344［想想练练］观察下面的图，看各至少用几笔画成？()IH GDCFEBA(2)(6)(4)(3)(2)(1)［分析］⑴4笔⑵4笔⑶2笔⑷1笔⑸1笔⑹1笔在下列的各个图中，加一条线或去一条线后，一笔画出每个图形．欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。