概率论习题册答案中国地质大学

中国地质大学（北京）继续教育学院概率论与数理统计模拟题（开卷）《概率论与数理统计》模拟题一．单项选择题1. 掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现大于2点的概率为( ). A. 1/3 B. 2/3 C. 1/6 D. 3/62. 设,A B 为两随机事件，且A B ?，则下列式子正确的是( ). A. ()()P A B P B += B ．()()()P AB P A P B ==Ｃ.()|()P B A P B = Ｄ. ()()()()()P B A P B P A P B P AB -=-=-3. 一批产品中有10%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为 ( ) A. 0.20B. 0.30C. 0.38D. 0.544. 设随机变量X 的分布律为,,2,1,2}{P N k Nak x ===则常数a 等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，它们的概率分布依次为则下列各式正确的是 ( ) A. 1{}4P X Y ==B. {}0P X Y ==C. 1{}2P X Y ==D. {}1P X Y ==6. A 、B 为两个事件，则)(B A P -= ( )A ．)()(B P A P - B ．)()(AB P A P -C ．)()(B P A P -D ．)(A B P -7. 设A 与B 相互独立，3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A P( ) A ．0.2B ．0.4C ．0.7D ．0.88. 任意抛一个均匀的骰子两次，则这两次出现的点数之和为7的概率为（） A ．363 B ．364 C ．365 D ．3669. 某一随机变量的分布函数为()4x xa be F x e +=+，则F (0)的值为（）A. 0.2B. 0.5C. 0.25D. 都不对10. 设随机变量X 服从参数为3的指数分布，其分布函数记为)(xF ，则=)31(F ( ) A ．e31B ．3e C ．11--e D ．1311--e二．填空题1. A 、B 为两事件，6.0)(=B A P ，3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=-)(A B P 。

第一章 概率论的基本概念一、填空题1．;)3(;)2(;)1(C B A C B A C B A C B A C AB )()4(C B C A B A C B A C B A C B A C B A 或; 2．2181，； 3．6.0； 4． 733.0，； 5． 8.0,7.0； 6． 87； 7． 85；8. 996.0121101012或A -； 9． 2778.01856446==A ；10. p -1. 二、选择题 D ；C ；B ；A ；D ； C ；D ；C ；D ；B .三、解答题1.解：).()()()(),((AB P B P AB P A P A B P B A P -=-∴=）相互独立，又）B A B A P B P A P ,,91)(),((==∴.32)(,91)](1[)()()()(22=∴=-===∴A P A P A P B P A P B A P2.解： 设事件A 表示“取得的三个数字排成一个三位偶数”，事件B 表示“此三位偶数的末尾为0”，事件B 表示“此三位偶数的末尾不为0”，则:=)(A P )()(B P B P += .1253412123423=+A A A A A 3.解：设A i =“飞机被i 人击中”，i =1,2,3 , B =“飞机被击落”, 则由全概率公式：)()()()((321321B A P B A P B A P B A B A B A P B P ++== ）)()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++= (1)设1H =“飞机被甲击中”，2H =“飞机被乙击中”，3H =“飞机被丙击中”, 则: =)(1A P 321(H H H P 321(H H H P 321(H H H P ) =+)(321H H H P +)(321H H H P )(321H H H P ) 由于甲、乙、丙的射击是相互独立的，=∴)(1A P +)()()(321H P H P H P )()()(321H P H P H P+)()()(321H P H P H P )=36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯同理求得41.0)(2=A P , 14.0)(3=A P .代入（1）式458.0114.06.041.02.036.0)(=⨯+⨯+⨯=∴B P .4.解：设事件A 表示“知道正确答案”，事件B 表示“答对了”，则所求为).|(B A P)|()()|()()|()()()()()()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P +=+==∴.755132131131=⨯+⨯⨯=5.解：设A =“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，=B “箱中恰有i 件残次品” 2,1,0=i , 由题意1.0)()(,8.0)(210===B P B P B P .1912)|(,54)|(,1)|(420418242041910=====C C B A P C C B A P B A P（1）由全概率公式：94.0475448)|()()(2≈==∑=i i i B A P B P A P ， （2）由贝叶斯公式：85.011295)()()|()|(000≈==A P B P B A P A B P .第二章 随机变量及其分布一、填空题1.21；2. e 21-；3. 9974.0； 4. 2719； 5.6. 421；7. 4； 8. 3.0-e ； 9. )21(-y F . ；；；B ；D ；C ；B ；B ；C ；A .三、 解答题1.解：(1) 因为1}{21==∑-=k k X P ，所以1913113=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++A ， 得409=A . (2) ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<=2,121,403910,10901,40271,0)(x x x x x x F . (3) 311{12}{1}{2}404010≤≤==+==+=P X P X P X .(4) 1+=X Y 的分布律为: 3,2,10,31409}{1，=⎪⎭⎫⎝⎛==-k k Y P k .或： 1392740404040p3210Y .2. 解：且右连续，单调不减，并，为随机变量的分布函数)()(x F x F ∴ .0)(1)(=-∞=+∞F F ， .0lim )(1])1([lim )(2===-∞==++=+∞∴-∞→+∞→c c F a x ba F x x ，右连续，得由)(x F :.1])1([lim 20-=-=∴=+=+++→a b c b a x ba x ， .0,1,1=-==∴cb a3. 解：可知，及）由（85}21{1)(1=>=⎰+∞∞-X P dx x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⎰⎰85)(1)(12110dx B Ax dx B Ax 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+8528312B A B A 即⎪⎩⎪⎨⎧==211B A . ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+=其他得：由,010,21)()1()2(x x x f ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<+≤=≤=∴⎰1,110,)21(0,0}{)(0x x dx x x x X P x F x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<+≤=1,110,21210,02x x x x x .327)2121()21()(}2141{)3(2141221412141=+=+==≤<⎰⎰x x dx x dx x f X P ，则的分布函数为记)()4(y F Y Y)21(}21{}12{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边求导得： )21(21)21)(21()(+='++=y f y y f y f X X Y , 的表达式得：代入)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤+<++=其他）（,01210,212121)(y y y f Y , ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+=其他,011,214y y .4．解：，则的分布函数为记)(y F Y Y ：}1{}1{}{)(22y e P y e P y Y P y F X X Y -≥=≤-=≤=--，;0)(101=≥≤-y F y y Y 时，即当;0)(011=≤≥-y F y y Y 时，即当所以)}1ln(21{}1{)(102y X P y eP y F y XY --≤=-≥=<<-时，当))1ln(21(y F X --=.两边求导得：yy f y f X Y -⋅⋅--=1121))1ln(21()( 的表达式得：代入)(x f .1)(=y f Y⎩⎨⎧<<=∴其他,010,1)(y y f Y , 即)1,0(U Y 服从的均匀分布.四、应用题1. 解：设考生的外语成绩为X ，则),72(~2σN X . 因为 0.023=⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=≤-=>σσσ24124721}96{1}96{X P X P X P ， 即977.024=⎪⎭⎫⎝⎛Φσ，查表得：224=σ，即12=σ.于是)12,72(~2N X . 所以6826.01)1(2112721}8460{=-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤-=≤≤X P X P . 2. 解：由)10,5.7(~2N X ，得一次测量中误差不超过10米的概率为5586.0105.710105.710}1010{≈⎪⎭⎫⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤≤-X P .设需要进行n 次独立测量，A 表示事件“在n 次独立测量中至少有一次误差不超 过10米”， 则 : 39.0)5586.01(1)(≥⇒>--=n A P n, 即至少需要进行3次独立测量才能达到要求.第三、四章 多维随机变量、数字特征一、填空题：1．1-e ； 2. 4.18； 3. N (－3,25)； 4.98；5．4.0，1.0; 6．6，6；7．9.0；8．91；9. e 21；10. e211-. 二、选择题： A ；B ；C ； D ；A ；B ；C ；C ；D ；A .三、解答题：1．解：21}0{}1,0{}01{=+=======b a b X P Y X P X Y P ①31}0{}0,1{}01{=+=======c a c Y P Y X P Y X P ②5.0,15.01=++=+++∴=∑c b a c b a pi即，又③由①得, ;b a = 由②得, ;2c a =代入将c b a 2==③式得：.2.0,1.0===b a c2. 解：（1）（X ，Y ）的分布律及边缘分布律为：（2）{}Y X P ≥=P {Y =－1}+P {X =1,Y =0}=24165+=2421. (3) ),2(Y Y X Cov -=-),(Y X Cov ),(2Y Y Cov因X,Y 相互独立，故 0),(=Y X Cov ；而 65610651)(-=⨯+⨯-=Y E ，65610651)(2=⨯+⨯=Y E ， )(),(Y D Y Y Cov =∴365)()(22=-=Y E Y E , ),2(Y Y X Cov -=-),(Y X Cov ),(2Y Y Cov = 185- .3. 解：(1)由,31),(1010k kxdy dx dxdy y x f x ===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-得3=k .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<<++==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其他,010,030),()(00x dy xdy dy dy y x f x f x x X ⎩⎨⎧<<=其它,010,32x x ；同理:⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,010),1(23)(2y y y f Y .由于),()()(y x f y f x f Y X ≠，故X 与Y 不是相互独立的.(3)==>+⎰⎰>+1),(}1{y x dxdy y x f Y X P 8531211=⎰⎰-xxxdy dx . 4. 解：),(,2121Y X dx xS D e D ∴==⎰的面积为的联合概率密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,21),(D y x y x f从而⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰∞+∞-其他,01,2121),()(210e x x dy dy y x f x f x X , .41)2()(2===∴X X f x f x 处，在5. 解：(1)由已知得：.21)()()|(,21)()()|(====B P AB P B A P A P AB P A B P.81)(,41)()(===∴AB P B P A P).1,1(),0,1(),1,0(),0,0(),(的所有可能取值为Y X.85)]()()([1)()(}0,0{=-+-=====AB P B P A P B A P B A P Y X P.81)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P.81)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P.81)(}1,1{====AB P Y X P的联合分布律为：),(Y X ∴(2) ,41)(=X E ,41)(=Y E ,8)(=XY E .161414181)()()(),(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov6. 解：=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>3πX P ⎰=ππ3,212cos 21dx x ).21,4(~B Y ∴ ,2214)(=⨯=∴Y E ,121214)(=⨯⨯=Y D .541)()()(22=+=+=∴Y E Y D Y E7. 解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤>==⎰⎰-∞+∞-000),()(0x x dy e dy y x f x f x x X ⎩⎨⎧≤>=-000x x xex ⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他001)(),()|(|x y x x f y x f x y f X X Y ；（2）⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(y y e y f y Y)1()1,1()11(≤≤≤=≤≤Y P Y X P Y X P 12111--=-=--⎰⎰e e e dy edx x x8．解：利用公式dx x z x f z f Z ⎰+∞∞--=),()(,⎩⎨⎧<-<<<---=-其他10,10)(2),(x z x x z x x z x f⎩⎨⎧<<-<<-=其他1,102zx z x z .① 当0≤z 或2≥z 时，0)(=z f Z ; ② 当10<<z 时，)2()2()(0z z dx z z f zZ -=-=⎰;③ 当21<≤z 时，211)2()2()(z dx z z f z Z -=-=⎰-.故 Y X Z +=.的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=其他021)2(10)2()(2z z z z z z f Z . 注：本题也可利用分布函数的定义求.第六、七章 样本及抽样分布、参数估计一、填空题1．),(2n N σμ，∑=-n i i X X n 12)(1，2M '=∑=-n i i X X n 12)(1； 2. 8； 3．)4(t ； 4． ))1()1(,)1()1((2212222-----n S n n S n ααχχ； 5． X -23 ； 6． 1ˆ2+θ； 7. )1,0(N ； 8. 131;,Y Y Y .二选择题 B ；C ；C ；D ；B ；A ；C ；D ； D .三、解答题1.解：设来自总体X 、Y 的样本均值分别为Y X 、，,3,20222121====σσμμ15,1021==n n ，则)21,0(),(~22212121N n n N Y X =+--σσμμ，故： )]2103.0()2103.0([1}3.0{1}3.0{--Φ--Φ-=≤--=>-Y X P Y X P674.0)]4242.0(1[2=Φ-=2.解：.43)21(32)1(210)()1(22θθθθθθ-=-⋅+⋅+-⋅+⋅=X E,341ˆ.43,)(）（的矩估计量为：故得即令X X X X E -==-=θθθ的矩估计量为故而θ,2)32130313(81=+++++++=x .41ˆ=θ 42681)21()1(4}{)()2(θθθθ--===∏=i i x X P L 然函数为由给定的样本值，得似取对数：),21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln θθθθ-+-++=L求导：.)21)(1(24286218126)(ln 2θθθθθθθθθθ--+-=----=d L d,121370)(ln 2,1±==θθθ，解得：令d L d的最大似然估计值为故由于θ,2112137>+：.12137ˆ-=θ 3.解： （1） 2d )(6d )()(032-θθθθ=-==⎰⎰∞+∞x x x x x xf X E ， ∑==ni i X n X 11令X =2θ，得θ的矩估计量为X 2ˆ=θ. （2）)1(2)2()ˆ(1∑===ni i X n E X E E θ )(2)(12X E X nE n i =⋅⋅=,22θθ=⋅=所以θˆ是θ的无偏估计量.4.解：似然函数为：)()1()1(),()(2111θθθθθθθθn n ni i ni i x x x x x f L +=+==∏∏==取对数：∑=++=ni i x n L 1ln )1ln()(ln θθθ，0ln 1)(ln 1=++=∑=ni i x nd L d θθθ，解得： ∑=--=ni ixn1ln 1ˆθ，所以θ 的最大似然估计量为∑=--=ni iXn1ln 1ˆθ.5．解： 由于2σ未知，故用随机变量)1(~--=n t nSX T μ7531.1)15()1( 0.1, ,90.01 ,1605.02==-==-=t n t n ααα由样本值得 01713.0 ,125.2==s x .计算得 1175.21601713.07531.1125.2)15(05.0=⨯-=-n s t x 1325.21601713.07531.1125.2)15(05.0=⨯+=+ns t x故所求置信区间为)1325.2,1175.2(. 6．解：（1） ==⎰+∞∞-d )()(x x xf X E λλλ22=⎰+∞-dx xe x x ，令X =λ2，得λ的矩估计量为X2ˆ=λ. （2）似然函数为：∏==n i i x f L 1),()(λλ=⎪⎩⎪⎨⎧>∑=-其他，00,,,)(21121n x n n x x x e x x ni i λλ 当时，0,...,,21>n x x x∑=-+=ni i n x x x n L 11)ln(ln 2)(ln λλλ ，,2)(ln 1∑=-=ni i x n d L d λλλ ,0)(ln =λλd L d 令解得： x 2ˆ=λ， 所以λ的最大似然估计量为X2ˆ=λ.第八章 假设检验一、填空题1. 5%>μ ，α ；2. 概率很小的事件在一次试验中是不可能发生的；3. 2αz U >;4. nS X T /0μ-=，nX U /0σμ-=；5. 25.30=μ：H ，25.31≠μ：H ；5/25.3S X T -=；)4(t ；6041.4>T ;6. 210μμ≤：H ，211μμ>：H ；22212121n n X X U σσ+-=；)1,0(N ；645.105.0=>z U .二、选择题 B ； A ； D ； D ； B ； B ；C. 三、解答题1.解：假设,:,55.4:0100μμμμ≠==H H 在假设0H 为真时，统计量),1,0(~0N nX Z σμ-=对01.0=α查标准正态分布表，得临界值：,58.2005.02==z z α,6,108.0,452.46161====∑=n x x i i σ ,223.26108.055.4452.40=-=-=∴n x z σμ 由于,58.2223.2<=z ，所以在显著性水平01.0=α下，接受假设0H ， 即认为这天的铁水含碳量无显著变化。

第一章习 题1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;A(2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A(3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB(9)“三人均未中靶”： ;C B A(10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A B A B (2) ()()A B A B解:(1)()()A B A B AB AB B B == , (2) ()()A B A B ()AB AB B A A B B ==Ω= .4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率. 解：51050.302410P P ==. 5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S= __________________________(2)—枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= _____________________________________ ;2.(1)丢一颗骰子.A :出现奇数点，贝U A= _________________ ; B:数点大于2，则B=(2)一枚硬币连丢2次， A :第一次出现正面，则A= _________________ ;B:两次出现同一面，则 = ________________ ; C :至少有一次出现正面，则C= § 1 .2随机事件的运算1•设A、B C为三事件，用A B C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为： __________ .(2)A 与B都发生，而C不发生表示为：(3)A与B都不发生，而C发生表示为：.(4)A 、B C中最多二个发生表示为：(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A 、B C中不多于一个发生表示为：2.设S = {x : 0 _ x _ 5}, A = {x :1 ：： x _ 3}, B = {x : 2 _ ：： 4}:贝y(1) A 一 B = , (2) AB = , (3) AB = _______________ ,(4) A B = __________________ , (5) AB = ________________________ 。

§ 1 .3概率的定义和性质1.已知P(A B)二0.8, P( A)二0.5, P(B)二0.6，贝U(1) P(AB) = , (2)( P( A B) )= , (3) P(A B)= .2.已知P(A) =0.7, P(AB) =0.3,则P(AB)= .§ 1 .4古典概型1.某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率，(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到 4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.§ 1 .5条件概率与乘法公式1 •丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是 ____________________ 。

地大《概率论与数理统计》在线作业二-0008试卷总分:100 得分:100一、单选题(共25 道试题,共100 分)1.市场供应的某种商品中，甲厂生产的产品占50%，乙厂生产的产品占30%，丙厂生产的产品占20%，甲、乙、丙产品的合格率分别为90%、85%、和95%，则顾客买到这种产品为合格品的概率是（）A.0.24B.0.64C.0.895D.0.985答案:C2.A.DB.CC.BD.A答案:C3.现抽样检验某车间生产的产品，抽取100件产品，发现有4件次品，60件一等品，36件二等品。

问此车间生产的合格率为（）A.96﹪B.4﹪C.64﹪D.36﹪答案:A4.某单位有200台电话机，每台电话机大约有5%的时间要使用外线电话，若每台电话机是否使用外线是相互独立的，该单位需要安装（）条外线，才能以90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线时而不被占用。

A.至少15条B.至少14条C.至少13条D.至少12条答案:B5.设一百件产品中有十件次品，每次随机地抽取一件，检验后放回去，连续抽三次，计算最多取到一件次品的概率（）A.0.972B.0.78C.0.45D.0.25答案:A6.把三个不同的球随机地放入三个不同的盒中，则出现两个空盒的概率为（）。

A.8/9B.2/3C.1/9答案:C7.正常人的脉膊平均为72次/分，今对某种疾病患者10人测其脉膊为54，68，77，70，64，69，72，62，71，65 (次/分)，设患者的脉膊次数X服从正态分布，则在显著水平为时，检验患者脉膊与正常人脉膊( )差异。

A.无B.有C.不一定D.以上都不对答案:B8.A.DB.CC.BD.A答案:B9.一部件包括10部分。

每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立且具有同一分布。

其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为20±0.1mm时产品合格，则产品合格的概率为（）。

A.0.636B.0.527C.0.473D.0.364答案:C10.设随机变量X在区间(a,b)的分布密度f(x)＝c，在其他区间为f(x)=0，欲使变量X服从均匀分布则c的值为( )A.b-aB.a-bC.1/(b-a)D.0答案:C11.设X,Y为两个随机变量，已知cov(X,Y)=0,则必有（）。

概率论与数理统计课后习题答案一、概率论1.1 基础概念题目1.什么是随机试验？试举例子。

2.什么是样本空间和事件？回答1.随机试验是指具备以下特征的实验：可以在相同条件下重复进行，每次试验的结果不确定，但可能结果（事件）集合已经确定。

例如，抛一枚硬币的结果是正面或反面，掷一个骰子的结果是1、2、3、4、5或6等等。

2.样本空间是指随机试验所有可能结果的集合，用S表示。

事件是指样本空间中的一个或多个结果组成的子集。

例如，抛一枚硬币的样本空间是{正面，反面}，事件可以是{正面}或{反面}，或者样本空间本身。

1.2 概率公理题目1.什么是频率概率和主观概率？2.概率公理中的三条公理是什么？回答1.频率概率是由大量重复试验的结果所呈现的相对频率给出的概率。

它基于频率的思想，认为某个事件发生的概率等于该事件在大量试验中出现的频率。

主观概率是由个人主观判断给出的概率。

它基于主观认知和经验，认为某个事件发生的概率取决于主观评估和信念。

2.概率公理是指概率理论的基本公理系统，包括以下三条公理：–非负性公理：对于任意事件A，其概率P(A)大于等于0。

–规范性公理：样本空间S的概率为1，即P(S) = 1。

–可列可加性公理：对于任意互不相容的事件A1，A2，…，An，即这些事件两两不相容（即任意i≠j，Ai∩Aj=∅），则它们的并事件A=A1∪A2∪…∪An的概率等于各事件概率之和，即P(A) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。

1.3 条件概率与独立性题目1.什么是条件概率？给出计算条件概率的公式。

2.什么是独立事件？给出判断两个事件独立的条件。

回答1.条件概率是指事件A在另一个事件B已经发生的条件下发生的概率。

条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B) /P(B)，其中P(A∩B)表示A与B的交集的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

2.事件A和事件B是独立事件，指的是事件A的发生与事件B的发生无关。

概率论与数理统计习（第四版）题解答第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。

设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB =（3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点数之和小于15”．（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3只，A —“最小号码为1”．解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则},,,{1843ωωω =Ω；},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ；(2) ABC ；(3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品； （4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；(2) n A A A 21或n A A A ⋃⋃⋃ 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121⋃⋃⋃ (4) n A A A ⋃⋃⋃ 21或.21n A A A第二章 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解：基本事件总数为611011011011011011019109⨯=C C C C C C C 有利事件总数为456789214151617181919⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则0605.0109456789)(62≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A P二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．解：基本事件总数为!101010=A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7⨯=⨯⨯(亦可理解为)3388P P 设A 表示“指定的三本书放在一起”，则067.0151!10!3!8)(≈=⨯=A P三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数1020C ；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则526.01910)(102091812≈==C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”，则 .10A A A ⋃=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而0281.0979942347)(5010050950≈⨯⨯⨯==C C A P 1529.09799447255)(501004995151≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率．解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则 (1) 0855.019819920019319418)(3200219416≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194≈⨯⨯⨯⨯==C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426≈⨯⨯⨯⨯=+=C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(======BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的 概率．解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ⋃⋃=，于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃= 75.04341313131==-++=第三章 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=⨯--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(≈=--+=-+==B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”（1）2.0101101)()()(19111101911011=+=⋅+=+=C C C C C C A B P A P C P（2）4.05151)()()(2511141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合格品”（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(31)03.01(32≈-⨯+-⨯=（2）25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有1006.0)(1kA P ==，得60=k ，从而有4.015060150)(2===k A P ，.3.020060200)(3===k A P设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=⨯-⨯-+⨯-+= （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则2201)(312330==C C A P 22027)(31219231==C C C A P 220108)(31229132==C C C A P 22084)(31239033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则31236312373123831239322084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ⋅+⋅+⋅+⋅==∑=146.0532400776161112208444722010855142202755212201≈=⋅+⋅+⋅+⋅=第四章 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++=)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-+⨯⨯=902.0=．（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有504.07.08.09.0)(0=⨯⨯=B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=B P故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率．解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P又设B 表示“电路发生间断”，则321A A A B +=于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+= 328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=．三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41，求能将此密码译出的概率．解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则51)(=A P 31)(=B P 41)(=C P设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ⋃⋃=，从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++= 6.0413151415141513151413151=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=． （另解）52)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有6.053521)(1)(==-=-=D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率．解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则4.0)(1=A P5.0)(2=A P 7.0)(3=A P设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P )()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=14.07.05.04.0)()()()()(3213213=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P设A 表示“飞机被击落”，则由题设有0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P ．五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则)9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0(⋅+⋅⋅+C C+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(9+⋅⋅+0403.01556.02668.02668.01715.0++++=901.0=．六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n 次试验，则n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次要p p n ≥--)1(1，即要p p n -≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答：至少需要进行一次试验．第五章 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q -=1，则ξ的概率分布为三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布；（２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布．解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164===-x C C C x X P xx从而X 的概率分布为即（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P xx x从而X 的概率分布为即四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0(=p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300≈-=-==C p p C ξP（2）用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ168031355.0!43)4(34≈==-e ξP相对误差为.5168877.0168031355.0168877.0000≈-=δ五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率．解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=16308.000243.002835.01323.0≈++≈（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P322541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=16308.0≈六、设随机变量X 的概率分布为2, 1, ,0 , !)(===k k ak X P kλ；其中λ>0为常数，试确定常数a ．解：因为∑∞===01)(k k X P ，即∑∞==01!k kk λa ，亦即1=λae ，所以.λe a -=第六章 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、函数211x+可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）．解：（1）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F因为0)(lim =-∞→x F x ，0)(lim =+∞→x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．（2）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F 且0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim 0=-→x F x 因为)0( 0)1(2)('22<>+-=x x xx F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增． 综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π； （2）[]π,0； （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π．解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以0sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(2020=-=⎰ππx dx x f ，所以当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度．（2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但12cos )(00≠=-=⎰ππx dx x f ，所以当[]πx ,0∈时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度．（3）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为于是，X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤<≤<≤=3,132,22021921,222110,430,0)(x x x x x x F 其图形见右：四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率；(3) X 的概率密度． 解：(1) 由0)2()(lim =-⋅+=-∞→πB A x F x ，12)(lim =⋅+=-∞→πB A x F x ，解得.1,21πB A ==即)( ,arctan 121)(+∞<<-∞+=x x πx F ． (2) .21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Ae x f x,)(．求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．解：(1) 由1)(⎰+∞∞-=dx x f ，得1220⎰⎰+∞∞-+∞--===A dx e A dx Ae xx ，解得21=A ，即有).( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x(2) ).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x -=-===<<--⎰⎰(3) 随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤===-∞--∞-⎰⎰21102121)()(x e x e dx e dx x f x F x x x xx．第七章 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,51)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰e e dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上 的概率．解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xex F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=． 解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X X Y -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f yyyyyyXYY π，即 )( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f yyY π．第八章 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan (),(yC x B A y x F ++=．求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 xxxX xdx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan1)4(2),()(2ππ2arctan 121x π+=yxyY ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x yy x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dy e e dy y x f x f x y x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00030006),()(3032y y ex x dx e e dx y x f y f y y x Y（4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xRdy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(6306271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰C x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx481.02713)322(92922132102≈=-++=x x x x ． 第九章 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,21)(2y y e y f yY求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥．解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈=)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X（2）dx edx e dy e dx dxdy y x f X Y P x xyxy xy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+-∞+-≥=-===≥1021022102)(21),()(7869.0)1(2221122≈-=-=--e ex二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：.,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j qp C j p n i q p C i p jn jjn Y in i i n X ====--证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布． 证明: 设j i k +=, 则ik n i k i k n ki i n i i n ki Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22110)()()()( ∑=-+=ki k n n k i n in q p C C2121)( 由knm ki ik nk m C C C +=-=∑, 有k n n ki in i n C C C21210+==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(212121n n k q p C k P kn n k i n n Z +==-++ 由此知Y X Z +=也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或求随机变量Y X Z +=的概率密度． 解: X 的概率密度为 ⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,0]1,0[,1)(x x y f ξ . 于是),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0, 2 1,10 ,210,10,),(其它当当y x y y x y y x fY X Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z ∈=≤+=≤=，其中D 是zy x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.故有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-+-≤≤><=3229321212331023,00)(222z z z z z z z z z z z F Z 从而随机变量Y X Z +=的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤≤><=3232132103,00)(z z z z z z z z z f Z三、电子仪器由六个相互独立的部件ij L （3,2,1;2,1==j i ）组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命ij X 服从相同的指数分布)(λe ，求仪器使用寿命的概率密度．解: 由题设，知ij X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1x x e F x X ij λ 先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),m ax (21==i Y i i i ξξ从而有)3,2,1( =i Y i 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-==-0,00,)1()(221y y e F F y F y X X Y ii i λ 设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min (321Y Y Y Z =.从而有Z 的分布函数为⎩⎨⎧≤>---=⎩⎨⎧≤>----=-0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ故Z 的概率密度为⎩⎨⎧≤>--=---0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ第十章 随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即于是有1103322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即3.0004.03041.02205.0175.00≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX2X 的分布为即于是有229220192209444914302=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即4091.0004.09041.04205.0175.002≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX从而有3191.013310042471)11033(229)(222≈=-=-=EX EX DX 565.03191.0≈==DX X σ二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差． 解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( =i ，则X 的分布为于是有p q p q q p q p iqp ipqEX i i i i i i 1)1()1()(211111=-='-='===∑∑∑∞=∞=-∞=- 2X的分布为于是有p pp p q q p q p q q p pqi EX i i i ii i 122)1()1()(])([223111122-=-=-+='=''==∑∑∑∞=∞=∞=- 进一步有pp p p p EX EX DX 11)1(12)(22222-=--=-=三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ ==-=k k X P k k k问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．解：因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=⋅-=-=-==1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k ki i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以ξ没有数学期望．四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1, 0;1,11)(2x x xx f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：011)()(112=-⋅==⎰⎰-+∞∞-dx xx dx x xf X E πdx x x dx x x dx x f x X D ⎰⎰⎰-=-⋅==-∞+∞-1022112221211)()(πππ21]arcsin 2112[2102=+--=x x x π五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x．求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：021)(===⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222==Γ====⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x（分部积分亦可）第十一章 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2)3(X X Y -=的数学期望及方差． 解：X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为于是有72.072.0128.00=⨯+⨯=EY72.072.0128.002=⨯+⨯=EY 2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为θ，则θ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=]2,2[,0]2,2[,1)(ππθππθπθf ．弦OB 的长为 ]2,2[cos 2)(ππθθθ-∈=R L ，故所有弦的平均长度为⎰⎰-∞+∞-⋅==22cos 21)()()]([ππθθπθθθθd R d L f L EπθπθθπππRR d R4sin 4cos 4202===⎰．三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-. 0,0 ;0 ,41)(4x x e x f x工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元， 调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有⎰⎰---∞--=-===<104110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x 进而有 41)1(1)1(-=<-=≥eX P X P设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141≈-⨯=⨯+-⨯-=---eee EY答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2σ．求这些随机变量的算术平均值∑==ni i X n X 11的数学期望与方差．解：因为μ=)(i X E ，2)(σ=i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有μμ=====∑∑∑∑====ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，nn X D n X D n X n D X D ni ni i n i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(σσ=====∑∑∑∑====．五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则i X 服从"10-"分布. 其中⎩⎨⎧=站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i ,1,0于是iX 的概率分布为设∑==ni iXX 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101--⨯+-⨯===∑∑==i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020≈-=即停车次数的数学期望为748.8.第十二章 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为()(). 1,222++=y xAy x f求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ．解: (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f . 有()()⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+==+=++1112022222A dr rrd A dxdy y xAπθπ解得, π1=A .(2) ()011),()(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxdy dxdy y x xf X E π.由对称性, 知 0)(=Y E .⎰⎰+∞∞-+∞∞-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222()⎰⎰∞+∞-∞+∞-++=dx y xx dy 222211π()()+∞=+++=+-+=+=∞+∞+∞+⎰⎰⎰22022220223]11)1ln([1)1(211rr dr rrr r dr rr d πθπ同理, 有 +∞=)(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--= ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(()011),(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxydy dxdy y x xyf π.二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它．,0;10,,1),(x x y y x f求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？解: (1) 因为 ⎰⎰⎰⎰⎰====-∞+∞-∞+∞-10210322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x0),(10===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xx ydy dx dxdy y x yf EY0),()(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X -=--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(010==⎰⎰-xxydy xdx ．(2) 当)1,0(∈x 时,有 ⎰⎰+∞∞--===x dy dy y x f x f xxX 2),()(; 当)1,0(∉x 时, 有0)(=x f X .即⎩⎨⎧∉∈=)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f 同理有 ⎩⎨⎧∉+∈-=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=⎰⎰-)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f y y因为 ),()()(y x f y f x f Y X ≠, 所以X 与Y 不是独立的．又因为0),cov(=Y X , 所以X 与Y 是不相关的．三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差)(X σ的概率．解：91)3()3(2=≤>-ξξξξξD D D E P ．四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率． 解：设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”，则)5.0,10000(~B ξ且有50005.010000=⨯==np E ξ 2500)5.01(5.010000=-⨯⨯==npq D ξ于是有npqp npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(-=-≥<-=<- 75.025.011=-=-=pq五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？ 解：设ξ表示“发现的次品件数”，则)1.0,(~n B ξ，现要求.nn ξE 1.0= n ξD 09.0=要使得9.0)10(=>ξP ，即9.0)10(=≤<n ξP ，因为9.0)10(=≤<n ξP ，所以 )3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P -≤-<-=-≤-<-)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P --≈≤-<-=ΦΦ1)3.0101.0()3(1,01,0--+nn n ΦΦ （德莫威尔—Laplace 定理）因为10>n ，所以53>n ，从而有1)3(1,0≈n Φ，故9.0)3.0101.0(1,0≈-nn Φ．查表有8997.0)28.1(1,0=Φ，故有28.13.0101.0≈-nn ，解得.146≈n答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．第十三章 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ(2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---=.0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率．解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ=9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--=于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ． 当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z=2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++= 212222212221μσμσσσ++=．第十四章二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布中心极限定理一、设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，16)(=X D ，25)(=Y D ，并且12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．。

中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院概率论与数理统计课程综合测试2 学习层次：专升本 时间：90分钟一、单项选择题(每小题4分，共32分)1．从装有3个红球和2个白球的袋中任取两个球，记=A “取到两个白球”，则A =（ ）()A 取到两个红球 ()B 至少取到一个白球 ()C 没有取到白球 ()D 至少取到一个红球2．某人射击，中靶的概率是43，如果射击直到中靶为止，射击次数为3的概率是（ ） ()A 343⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()B 41432⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()C 43412⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()D 341⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3．设事件B A ，互不相容，(),(),P A p P B q == 则()P AB =（ ）()(1) A p q - ()B pq ()C q ()D p4．设X 服从正态分布2(,)N μσ，则()P k X k μσμσ-≤≤+ =（ ）()A )1(2-Φk ()B 1)2(-Φk ()C )12(-Φk ()D 1)(2-Φk5．已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p , 则()()E X D X += ( )()A np ()B p q + ()()C n p q + ()(2)D np p -6、现在有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地、无放回地抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是（ ）()A 6 ()B 12 ()C 7.8 ()D 97．设随机变量X 的方差()E X 存在, (,Y aX b a b =+是常数）,则( )()A ()()D X D Y = ()B ()()D Y aD X = ()C 2()()D Y a D X = ()D 2()()D Y a D X b =+8．若总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间 ( )()A 长度变大 ()B 长度变小 ()C 长度不变 ()D 长度不一定不二、填空题(每小题4分，共24分)9． 若事件A,B 互不相容，则P (A +B )= ． 10．若事件,A B相互独立，()0.4,()0.5P A P B ==，则(),()P A B P A B=+=． 11．设X 是连续型随机变量，则对于任意实数a ，{}P X a == .12．设随机变量X 服从参数为λ的泊公分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ= ． 13．设12,,X X …60X 是来自总体X 的一个样本，则总体期望()E X 的无偏估计X = .14．对于相同置信度，参数估计的精确度越高，则相应置信区间长度就越 .三、计算题(每小题9分，共36分)15．10件产品中7件正品，3件次品，从中随机抽取2件，求（1）两件都是次品的概率（2）至少有一件是次品的概率.16．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,010,)(3x Cx x f , 试(1) 确定常数C 的值； (2)求1()2P X <. 17．设随机变量X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=其它 ,010 ,101 ,1)(x x x x x f ，求)(),(X D X E .18．随机变量),(Y X 的联合分布如表所示，试求： (1),X Y 的边缘分布；(2) X Y ⋅的概率分布；(3) ,X Y 是否相互独立？四、证明题(本题8分)19．若()0,()0A A P B >>，且(|)()P A B P A >，证明：(|)()P B A P B >.答案一、单项选择题(每小题4分，共32分)1．从装有3个红球和2个白球的袋中任取两个球，记=A “取到两个白球”，则A =（ D ）()A 取到两个红球； ()B 至少取到一个白球； ()C 没有取到白球； ()D 至少取到一个红球。

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

中国地质大学(北京)网络教育学院课程考试《概率论与数理统计》模拟题一、单项选择题1、设随机事件A 与B 互不相容，且P （A ）＞P （B ）＞0，则（D ）A ． P(A)=1-P(B)B ．P(AB)=P(A)P(B)C ．P(A ∪B)=1D ．1AB P ）＝（2、设A ，B 为随机事件，P （B ）＞0，P （A|B ）=1,则必有（A ）A ． P(A ∪B)＝P （A ）B ．B A ⊃C ．P （A ）＝P （B ）D ．P （AB ）＝P （A ）3、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）A ．2242 B ．2412C C C ．24A 2! D ．4!2!4、设X ～B （n ，ϕ），则有_______D_____。

A ．E （3X －1）＝n ϕ－1；B ．E （3X －1）＝3n ϕ；C ．D （3X －1）＝9n ϕ（1－ϕ）－1； D ．D （3X －1）＝9n ϕ（1－ϕ）。

5则a ＝__D______。

A ．1/6；B ．1/2；C ．1/4；D ．1/3。

6、若X ～N (0, 1 )，ϕ(x) 是它的密度函数，Φ(x)是它的分布函数，则下面叙述不正确的是____A____。

A ．Φ (－x)＝ －Φ (x)；B ．ϕ(x)关于纵轴对称 ；C ．Φ (0)＝0.5；D ．ϕ(－x)＝ϕ(x)。

7、设随机变量X 的数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，X 1 ，X 2 ，…X n 为其一个样本，样本平均值X ＝∑=n i i X n 11，样本方差S 2 ＝21)]([1X E X n n i i -∑=，修正样本方差S 2*=21)]([11X E X n ni i --∑=，下列叙述中不完全正确的是_D______。

A ．X ，S2*分别是μ，σ2的估计；B ． X ，S 2分别是μ，σ2的矩估计；C ． X ，S2*分别是μ，σ2的无偏估计；D ． X ，S 2分别是μ，σ2的无偏估计。

【关键字】统计概率论与数理统计作业答案总分: 100分考试时间:分钟单选题1. 设一批零件的长度服从, 其中均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差，, 则的置信度为0.90的置信区间是_______(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :您的回答：C 正确2. 设总体～，其中已知，是的一个样本，则不是统计量的是_______(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :您的回答：C 正确3. 设…,是总体的一个样本，则有_______(4分)(A) :(B) :(C) :(D) : 以上三种都不对您的回答：D 正确4. 设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足，若，则等于_______(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :您的回答：C 正确5. 设…,是总体的样本，并且，令，则_______(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :您的回答：B 正确6. 设总体～，…, 是的一个样本，则_______(4分)(A) : ～(B) :～(C) : ～(D) :～您的回答：B 正确7. 设是总体的一个样本，则的无偏估计是_______(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :您的回答：C 正确8. 设总体～，是的一个样本，则_______(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :您的回答：C 正确9. 为总体的未知参数，的估计量是，则_______(4分)(A) : 是一个数，近似等于(B) : 是一个随机变量(C) :(D) :您的回答：B正确10. 样本取自标准正态分布总体, 分别为样本均值及样本标准差, 则_______(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :您的回答：D正确11. 设随机变量和都服从标准正态分布，则_______(4分)(A) : 服从正态分布(B) : 服从分布(C) : 和都服从分布(D) : 服从分布您的回答：C正确12. 若总体，其中已知，当置信度保持不变时，如果样本容量增大，则的置信区间_______(4分)(A) : 长度变大(B) : 长度变小(C) : 长度不变(D) : 长度不一定不变您的回答：B正确13. 一个容量为的样本（或称子样）是一个_______(4分)(A) : 随机变量(B) : 维向量(C) : 维随机向量(D) : 答案B或C您的回答：D正确填空题14. 在数理统计中，简单随机样本必须满足两条基本原则，即随机性与___(1)__ _ .(4分)(1). 参考答案: 独立性解题思路：简单随机样本的基本定义.15. 在参数估计中，区间估计与点估计的最大区别在于不仅给出了一个包含参数的区间而且还给出了参数落在该区间内的___(2)___ .(4分)(1). 参考答案: 概率解题思路：从两者的定义出发考虑.16. 评判一个点估计量优劣的标准通常用一致性、有效性与什么性来进行___(3)_ __ .(4分)(1). 参考答案: 无偏性解题思路：评判标准的三条定义.17. 重复独立试验所对应的抽样方法称为___(4)___ .(4分)(1). 参考答案: 简单随机抽样18. 在数理统计中，我们把研究的对象全体称之为___(5)___ .(4分)(1). 参考答案: 总体解题思路：数理统计的基本概念.19. 设为总体的一个样本，为一个连续函数，如果中___(6)___ ，则称为一个统计量.(4分)(1). 参考答案: 不包含任何未知参数20. 极大似然估计法是在___(7)___ 已知情况下的一种点估计方法.(4分)21. 在数理统计中，参数估计通常用点估计法和什么估计法___(8)___ (4分)参考答案: 区间估计解题思路：参数估计的基本方法内容22. 在区间估计中，样本容量、置信区间的宽度和置信水平之间有着密切的联系.当样本容量确定时，其置信区间的宽度会随着置信水平的增加而___(9)___ .(4分)(1). 参考答案: 增加解题思路：置信水平的增加，说明包含参数的概率增加，可信度加大了，则必然导致置信区间增加23. 在参数估计中，极大似然估计的原理是，如果在随机试验中事件A发生了，则参数在各个可能的取值中，应选择使A发生的概率___(10)___ 的那个值.(4分) (1). 参考答案: 最大解题思路：由极大似然估计的定义中寻找答案.判断题24. 样本与样本观察值是两个不同的概念。

第一章 随机事件及其概率§1.1-2 随机试验、随机事件1. 多项选择题:⑴ 以下命题正确的是 （ ） A .()()AB AB A =； B .,A B AB A ⊂=若则；C .,A B B A ⊂⊂若则；D .,A B A B B ⊂=若则.⑵某学生做了三道题，以i A 表示“第i 题做对了的事件”)3,2,1(=i ，则该生至少做对了两道题的事件可表示为 （ ） A .123123123A A A A A A A A A ； B .122331A A A A A A ； C .122331A A A A A A ； D .123123123123A A A A A A A A A A A A .2. A 、B 、C 为三个事件，说明下述运算关系的含义：⑴ A ； ⑵ B C ； ⑶ AB C ； ⑷ A B C ； ⑸ AB C ； ⑹ABC .3. 一个工人生产了三个零件，以i A 与i A )3,2,1(=i 分别表示他生产的第i 个零件为正 品、次品的事件.试用i A 与i A )3,2,1(=i 表示以下事件：⑴ 全是正品；⑵ 至少有一个零件是次品；⑶ 恰有一个零件是次品；⑷ 至少有两个零件是次品.§1.3-4 事件的概率、古典概型1. 多项选择题:⑴ 下列命题中,正确的是 （ ） A .B B A B A =；B .B A B A =；C .C B A C B A = ；D .()∅=)(B A AB . ⑵ 若事件A 与B 相容，则有 （ ） A .()()()P AB P A P B =+； B .()()()()P A B P A P B P AB =+-；C .()1()()P A B P A P B =--；D .()1()()P A B P A P B =-.⑶ 事件A 与B 互相对立的充要条件是 （ ） A .()()()P AB P A P B = ； B .()0()1P AB P AB ==且；C .AB A B =∅=Ω且；D . AB =∅.2. 袋中有12只球，其中红球5只，白球4只，黑球3只. 从中任取9只，求其中恰好有4只红球，3只白球，2只黑球的概率.3. 求寝室里的六个同学中至少有两个同学的生日恰好同在一个月的概率.4. 10把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率.5. 将三封信随机地放入标号为1、2、3、4的四个空邮筒中,求以下概率：(１) 恰有三个邮筒各有一封信；（２）第二个邮筒恰有两封信；（３）恰好有一个邮筒有三封信．6. 将20个足球球队随机地分成两组，每组10个队，进行比赛．求上一届分别为第一、二名的两个队被分在同一小组的概率．§1.5 条件概率1. 多项选择题:⑴ 已知0)(>B P 且∅=21A A ,则（ ）成立.A .1(|)0P AB ≥； B .1212(()|)(|)(|)P A A B P A B A B =+；C .12(|)0P A A B =；D . 12(|)1P A A B =.⑵ 若0)(,0(>>B P A P ）且)(|(A P B A P =），则（ ）成立.A .(|)()PB A P B =；B .(|)()P A B P A =；C .,A B 相容；D .,A B 不相容.2. 已知61)|(.41)|(,31)(===B A P A B P A P ，求)(B A P3. 某种灯泡能用到3000小时的概率为0.8，能用到3500小时的概率为0.7.求一只已用到了3000小时还未坏的灯泡还可以再用500小时的概率.4.两个箱子中装有同类型的零件，第一箱装有60只，其中15只一等品；第二箱装有40只，其中15只一等品.求在以下两种取法下恰好取到一只一等品的概率：⑴将两个箱子都打开，取出所有的零件混放在一堆，从中任取一只零件；⑵从两个箱子中任意挑出一个箱子，然后从该箱中随机地取出一只零件.5.某市男性的色盲发病率为7 %,女性的色盲发病率为0.5 % .今有一人到医院求治色盲,求此人为女性的概率.(设该市性别结构为男:女=0.502:0.498)6.袋中有a只黑球，b只白球，甲、乙、丙三人依次从袋中取出一只球(取后不放回)，分别求出他们各自取到白球的概率.§1.6 独立性1. 多项选择题 ：⑴ 对于事件A 与B ，以下命题正确的是( ).A .若B A 、互不相容,则B A 、也互不相容；B .若B A 、相容,则B A 、也相容；C .若B A 、独立，则B A 、也独立；D .若B A 、对立，则B A 、也对立. ⑵ 若事件A 与B 独立，且0)(,0)(>>B P A P ， 则（ ）成立.A .(|)()PB A P B =；B .(|)()P A B P A =；C .B A 、相容；D .B A 、不相容.2. 已知C B A 、、互相独立，证明C B A 、、也互相独立.3. 一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为8180，求此射手每次射击的命中率.*4. 设C B A 、、为互相独立的事件，求证B A AB B A -、、 都与C 独立.5. 甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7.目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中三发则必定冒烟，求目标冒烟的概率.6. 甲、乙、丙三人抢答一道智力竞赛题，他们抢到答题权的概率分别为0.2、0.3、0.5 ；而他们能将题答对的概率则分别为0.9、0.4、0.4.现在这道题已经答对，问甲、乙、丙三人谁答对的可能性最大.7. 某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生．在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率．第二章 一维随机变量及其分布§2.1 离散型随机变量及其概率分布1．填空题：⑴ 当c = 时()/,(1,,)P X k c N k N ===是随机变量X 的概率分布，当c = 时()(1)/,(1,,)P Y k c N k N ==-=是随机变量Y 的概率分布； ⑵ 当a = 时)0,,1,0(!)(>===λλ k k a k Y P k是随机变量Y 的概率分布；⑶ 进行重复的独立试验，并设每次试验成功的概率都是0.6. 以X 表示直到试验获得成功时所需要的试验次数，则X 的分布律为； ⑷ 某射手对某一目标进行射击，每次射击的命中率都是,p 射中了就停止射击且至多只 射击10次. 以X 表示射击的次数，则X 的分布律为； ⑸ 将一枚质量均匀的硬币独立地抛掷n 次，以X 表示此n 次抛掷中落地后正面向上的次数，则X 的分布律为 .2．设在15只同类型的零件中有2只是次品，从中取3次，每次任取1只，以X 表示取出的3只中次品的只数. 分别求出在 ⑴ 每次取出后记录是否为次品，再放回去；⑵ 取后不放回，两种情形下X 的分布律.3．一只袋子中装有大小、质量相同的6只球,其中3只球上各标有1个点,2只球上各标有2个点,1只球上标有3个点.从袋子中任取3只球，以X 表示取出的3只球上点数的和. ⑴ 求X 的分布律；⑵ 求概率(46),(46),(46),(46)P X P X P X P X <≤≤<<<≤≤.4．某厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的可能性都是6.0. 现在为某件事的可行与否个别地征求每个顾问的意见，并按多数顾问的意见作决策.求作出正确决策的概率.5．袋子中装有5只白球，3只黑球，从中任取1只，如果是黑球就不放回去，并从其它地方取来一只白球放入袋中，再从袋中取1只球. 如此继续下去，直到取到白球为止. 求直到取到白球为止时所需的取球次数X 的分布律.§2.2 连续型随机变量及其概率分布1．多项选择题：以下函数中能成为某随机变量的概率密度的是 ( )A .⎪⎩⎪⎨⎧<<=它其20,0,cos )(πx x x f ；B .⎪⎩⎪⎨⎧<<=它其πx x x f 0,0,2cos )( ； C .⎪⎩⎪⎨⎧<<-=它其22,0,cos )(ππx x x f ； D .⎩⎨⎧<<=它其10,0,)(x xe x f x . 2．设随机变量X 的概率分布律如右,求X 的分布函数及)32(),30(),2(≤≤<<≤X P X P X P .3．设一只袋中装有依次标有数字-1、2、2、2、3、3的六只球，从此袋中任取一只球，并以X 表示取得的球上所标有的数字.求X 的分布律与分布函数.4．设连续型随机变量X 的概率密度如右，试求：⑴ 系数A ；⑵ X 的分布函数；⑶ (0.10.7)P X <<5．设连续型随机变量X ⑴ 系数k ；⑵ X 的概率密度；⑶ (||0.5)P X <.6．设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x A B x x R =+∈，试求：⑴ 系数A 与B ；⑵ X 的概率密度；⑶ X 在区间(,)a b 内取值的概率.(),011,1F x kx x x ⎧⎪=≤≤⎨⎪≥⎩，§2.31．设离散型随机变量X 的分布律如右，求12,22,12+=-=+=X W X V X U 的分布律.2．设随机变量X 的概率密度为,0,0,)(<≥⎩⎨⎧=-x x e x f x 求随机变量X e Y =的概率密度.3．设随机变量X 在区间(0,)π上服从均匀分布，求：⑴ 随机变量2ln Y X =-的概率密度；⑵ 随机变量sin Z X =的分布函数与概率密度.4．设连续型随机变量X 的概率密度为2/2()()x f x e x R -=∈,求||Y X =的密度.*5．设1()F x 与2()F x 分别为两个随机变量的分布函数，证明：当0,0a b ≥≥且1a b +=时，)()()(21x bF x aF x +=φ可以作为某个随机变量的分布函数.§2.4 一维随机变量的数字特征1．一批零件中有9件合格品与3件次品，往机器上安装时任取一件，若取到次品就弃置一边. 求在取到合格品之前已取到的次品数的期望、方差与均方差.2．设随机变量X 的概率密度为||()0.5,,x f x e x -=-∞<<+∞求,EX DX .3．设随机变量X 的概率密度为2(1),01(),0,x x f x -≤≤⎧=⎨⎩其它求EX 与DX .4．某路公汽起点站每5分钟发出一辆车，每个乘客到达起点站的时刻在发车间隔的5分钟内均匀分布.求每个乘客候车时间的期望(假定汽车到站时，所有候车的乘客都能上车).5．某工厂生产的设备的寿命X(以年计)的概率密度为/400.25,()0,x xef xx->⎧=⎨<⎩，工厂规定，出售的设备若在一年之内损坏可以调换.若出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.*6．某工厂计划开发一种新产品，预计这种产品出售一件将获利500元，而积压一件将损失2000元. 而且预测到这种产品的销售量Y(件)服从指数分布(0.0001)E. 问要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？第三章 多维随机变量及其分布§3.1 二维随机变量1．设随机变量),(Y X 只取下列数组中的值：)0,0(、)1,1(-、)31,1(-、)0,2(且相应的概率依次为61、31、121、125.求随机变量),(Y X 的分布律与关于X 、Y 的边缘分布律.2．一只口袋中装有四只球，球上分别标有数字1、2、2、3. 从此袋中任取一只球，取后不放回，再从袋中任取一只球.分别以X 与Y 表示第一次、第二次取到的球上标有的数字，求X 与Y 的联合分布律与关于X 、Y 的边缘分布律.3．设随机变量),(Y X 的概率密度，其它+∞≤≤+∞≤≤⎩⎨⎧=+-y x ce y x f y x 0,0,0,),()(2 试求：⑴ 常数c ；⑵ ),(Y X 的分布函数),(y x F ；⑶ }1{≤+Y X P .4．设随机变量),(Y X 的概率密度为 4.8(2),01,0(,)0,y x x y xf x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩，其它求关于X 、Y 的边缘概率密度.5．设随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布，其中G 由x 轴、y 轴及直线12+=x y 所围成，试求：⑴ ),(Y X 的概率密度),(y x f ；⑵ 求关于X 、Y 的边缘概率密度.*6．设某班车起点站上车的人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<乘客中途下车与否相互独立，并以Y 表示在中途下车的人数.求：⑴ 在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；⑵ (,)X Y 的分布律.§1．设随机变量X 与Y 相互独立右表给出二维随机变量),(Y X 律及边缘分布律中的部分数值.试将 其余数值填入表中的空白处.2．设随机变量),(Y X 分布律如右:⑴ a 、b 、c 时X 与Y 相互独立？⑵写出),(Y X 的分布律与边缘分布律.3．设随机变量X 在1、2、3、4四个整数中等可能地取值,而随机变量Y 在X ~1中等可能地取一个整数.求：⑴=X 2时Y ,的条件分布律；⑵=Y 1时X ,的条件分布律.4．设随机变量),(Y X 的概率密度为其它0,0,0,),()(>>⎩⎨⎧=+-y x e y x f y x .⑴ 求)|(|x y f X Y ；⑵ 求)|(|y x f Y X ；⑶ 说明X 与Y 的独立性.*5． 箱子中装有12只开关(其中2只是次品)，从中取两次，每次取一只，并定义随机变量如下：0,1,X ⎧=⎨⎩若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品； 0,1,Y ⎧=⎨⎩若第二次取出的是正品若第二次取出的是次品 ，试在放回抽样与不放回抽样的两种试验中，求关于X 与Y 的条件分布律，并说明X 与Y 的独立性.* 6．设随机变量),(Y X 的概率密度为,||,10(,)0,cy x x f x y <--<<⎧=⎨⎩，其它求参数c 与条件概率密度)|(,)|(||y x f x y f Y X X Y .§3.31. 设),(Y X 的分布律如右,求 ⑴0|3{,}2|2{====X Y P Y X P ⑵ ),max(Y X V =的分布律；⑶ ),min(Y X U =的分布律；⑷ Y X W +=的分布律.2．设X 与Y 是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为1λ、2λ的泊松分布. 证明Y X Z +=服从参数为21λλ+的泊松分布.3．设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从参数为0.25p =的两点分布，记随机变量Z 为1,0,X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩为奇数，非为奇数求X 与Z 的联合分布律与EZ .4．设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为321100,,(),(),32000,0,yxX Y x y e e f x f y x y --⎧⎧≥≥⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩求随机变量U X Y =+的概率密度.5．某种商品一周的需求量X 是一个随机变量，其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,)(x x xe x f x .设各周的需求量是相互独立的，试求：⑴ 两周；⑵ 三周的需求量的概率密度.6．设某种型号的电子管的寿命(以小时记)近似地服从(1160)E 分布. 随机地选取4只，将其串联在一条线路中，求此段线路的寿命超过180小时的概率。

概率论习题册答案第一章 随机事件及其概率§1.1 样本空间与随机事件一、计算下列各题1.写出下列随机实验样本空间：(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色；(4) 有C B A ,,三只盒子，c b a ,,三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况；(5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。

解 1（1）}18,,5,4,3{ ； （2）}10,,5,4,3{ ；（3）},,,,,,{RW BW B RB RW B W R ；其中B W R ,,分别表示红色，白色和蓝色； （4）{,,;,,;,,;,,;,,,,,}Aa Bb Cc Aa Bc Cb Ab Ba Cc Ab Bc Ca Ac Bb Ca Ac Ba Cb 其中Aa 表示a 求放在盒子A 中，可类推；（5）}1,0,0,0|),,{(=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示三段之长。

2. 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,运算关系表示下列事件：（1）A 发生,B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生, 而C 不发生； （3）C B A ,,均发生； （4）C B A ,,至少一个不发生； （5）C B A ,,都不发生； （6）C B A ,,最多一个发生； （7）C B A ,,中不多于二个发生； （8）C B A ,,中至少二个发生。

解 （1）C B A ；（2）C AB ；（3）ABC ；（4）A B C ++；（5）C B A ； （6）C B A C B A C B A C B A +++；（7）ABC ；（8）BC AC AB ++3．下面各式说明什么包含关系？(1) A AB = ； (2) A B A =+； (3) A C B A =++ 解 （1）B A ⊂； （2）B A ⊃； （3）C B A +⊃4. 设}7,6,5{ },5,4,3{ },4,3,2{A },10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{====ΩC B 具体写出下列各事件： (1) B A ， (2) B A +， (3) B A ， (4) BC A ， (5))(C B A +. 解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}；(4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}。

概率论与数理统计习题参考答案概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第1页(共101页)概率论和数理统计的参考答案（附练习）第一章随机事件及其概率1.写出以下随机测试的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3） 10种产品中有3种存在缺陷。

每次取一个，直到三个有缺陷的产品全部取出后再放回去。

记录提取次数；（4）测量汽车通过给定点的速度解：所求的样本空间如下（1） s={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}（2）s={（x，y）|x2+y2<1}（3）s={3，4，5，6，7，8，9，10}（4）s={v|v>0}2.设a、B和C为三个事件，并使用a、B和C的运算关系来表示以下事件：（1）a发生，B和C不发生；（2）a与b都发生，而c不发生；（3）a、b、c都发生；（4）a、b、c都不发生；（5）a、b、c不都发生；（6）至少出现a、B和C中的一种；（7） a、B和C的出现次数不超过一次；（8）解决方案a、B和C中至少有两个出现：请求的事件表示如下(1)abc（2） abc（3）abc（4）abc（6）a？BC(5)abc(7)ab?bc?ac(8)ab?bc?ca3．在某小学的学生中任选一名，若事件a表示被选学生是男生，事件b表示该如果学生是三年级的学生，C项意味着学生是运动员，那么（1）AB项意味着什么？（2）在什么条件下abc=c成立？（3）在什么条件下关系式c?b是正确的？（4）在什么条件下a?b成立？解决方案：请求的事件表示如下（1）事件ab表示该生是三年级男生，但不是运动员.（2）当全校运动员都是三年级男生时，abc=c成立.概率论和数理统计练习参考答案（仅供参考）第1章第2页（101）（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式c?b是正确的.（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，a?b成立.4．设p(a)＝0.7，p(a－b)＝0.3，试求p(ab)由于一个问题的解决方案？B=acab，P（a）=0.7，所以p(a?b)=p(a?ab)=p(a)??p(ab)=0.3,所以p(ab)=0.4,故p(ab)=1?0.4=0.6.5.对于事件a、B和C，已知P（a）=P（B）=P（C）=，P（AB）=P（CB）=0，P（AC）=141求a、b、c中至少有一个发生的概率.8解由于abc?ab,p(ab)?0,故p(abc)=0那么p（a+B+C）=p（a）+p（B）+p（C）CP（AB）CP（BC）CP（AC）+p（ABC）？11115 04万肆仟肆佰捌拾捌元6.设盒中有α只红球和b只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A={两个颜色相同的球}，B={两个颜色不同的球}222解由题意，基本事件总数为aa?b，有利于a的事件数为aa?ab，有利于b111111中的事件数是aaab？阿巴？2aaab，2aa?ab2则p(a)?2aa?b112aaabp(b)?2aa？B7.若10件产品中有件正品，3件次品,（1）取其中任何一个三次，不放回去，计算得到三个不良品的概率；（2）每次取其中任何一个三次，计算得到三次次品的概率（1）让a={得到三次次品}33c3a316p(a)?3?.或者p(a)?3?c10120a10720（2）设b={取到三个次品},则3327p（a）？3.1010008.在一家旅行社的100名导游中，43人说英语，35人说日语，32人说日语和汉语英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：（1）此人可能会说英语和日语，但不会说法语；（2）此人只会说法语的可能性解设a={此人会讲英语},b={此人会讲日语},c={此人会讲法语}根据主题的意思，你可以概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第3页(共101页)（1） p（abc）？p（ab）？p（abc）？(2)p(abc)?p(ab)?p(abc)32923?? 100100100? p（a？b）？0 1? p（a？b）？1.p（a）？p（b）？p（ab）43353254?1一千零一亿零一十万零一百9.罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求：（1）取到的都是白子的概率；（2）获得两个白点和一个太阳黑子的概率；（3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（4）取到三颗棋子颜色相同的概率.解（1）那么让a={带上所有白人孩子}3c814p(a)?3??0.255.C1255（2）设B={得到两个白点和一个太阳黑子}1c82c4p(b)??0.509.3c12(3)设c={取三颗子中至少的一颗黑子}p(c)?1?p(a).4?0.7(4)设d={取到三颗子颜色相同}33c8？c4p（d）？？0.273.3c1210.（1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？（2）六个人中有一个人恰好在同一个月过生日的概率是多少？解决方案(1)设a={至少有一个人生日在7月1日},则364500? 0.746便士？1.p（a）？1.365500（2）假设计算的概率为p（b）41c6?c1?1122?0.0073p(b)?12611.将字母C、C、e、e、I、N和S7随机排列成一行，并尝试将它们精确地排列成科学的概率p.227解决方案因为两个C和两个e共享A2，所以有A2安排，基本事件的总数是a722a2p？？0.0007947a7概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第4页(共101页)12.从5副手套中取出4副手套，并找出这4副手套未配对的可能性解要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有c54?24中取法.设a={4只手套都不配对}，则有c54？2480便士（a）？4.210c1013.一名实习生用一台机器独立生产三个同类型零件，I零件不合格的概率为pi?为多少？假设AI={第I部分不合格}，I=1,2,3，那么p（AI）？圆周率？那么p（AI）？1.圆周率？1，I=1，2，3。

《概率论与数理统计》作业集及答案概率论的基本概念第1章随机试验及随机事件§1 .11. S= ；T 出现的情形. 样本空间是： (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面S= ；次，观察出现正面的次数. 样本空间是：(2) 一枚硬币连丢3B= . 2，则；B：数点大于2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A=A= ；次， A：第一次出现正面，则 (2) 一枚硬币连丢2C= .：至少有一次出现正面，则= ； CB：两次出现同一面，则随机事件的运算§1 .2C的运算关系表示下列各事件：、B、、B、C为三事件，用A1. 设A . 不发生表示为：,而CC都不发生表示为： .(2)A与B都发生(1)A、B、 . 中最多二个发生表示为：B、C,而C发生表示为： .(4)A、(3)A与B都不发生 . 中不多于一个发生表示为：B、C、C中至少二个发生表示为： .(6)A、(5)A、B}42??B?{x:{A?x:1?x?3},S?{x:0?x?5}, 2. 设：则?BA?AB??BA）（，2），（1），（3AB B?A= （4 ）= ，（5）。

§1 .3 概率的定义和性质P(A?B)?0.8,P(A)?0.5,P(B)?0.6，则1.已知P(A?(AB)B)P?(AB)P= . )= , (2)( , (3) (1)P(AB),.30?.7,P(AB)?0P(A)= .2. 已知则§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率..,求有三个盒子各一球的概率个不同的球随机地投入到4个盒子中2. 将3§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。

P(A)?1/4,P(B|A)?1/3,P(A|B)?1/2,P(A?B)? 2. 已知则。