《概率论与数理统计》习题册答案

2.略。 常用的几个随机变量的概率分布
一、填空题
1. 9 ；2. 2 e2 ；3. 0.2 64 3
二、计算题
1、 3 ；2、0.352 ；3、0.5167 ；4、（1）(2.5) (1.5) 1 0.9270 ；（2）d 3.29 4
随机向量及其分布函数 边际分布 一、填空题
1、 F(b,b) F(a,b) F(b, a) F(a, a) ； F(b,b) F(a,b) ；
1. 试验的样本空间包含样本点数为 10 本书的全排列 10！，设 A 指定的3本书放在一起 ，
所以 A 中包含的样本点数为 8!3!，即把指定的 3 本书捆在一起看做整体，与其他三本书全排， 然后这指定的 3 本书再全排。故 P(A) 8!3! 1 。
10! 15 2. 样本空间样本点 n 7! 5040 ，设事件 A 表示这 7 个字母恰好组成单词 SCIENCE，则 因 为 C 及 C, E 及 E 是 两 两 相 同 的 ， 所 以 A 包 含 的 样 本 点 数 是 A 2!2! 4 ， 故
1. 3, 4， ，20 2 0,100 3. {(x, y, z) | x 0, y 0, z 0, x y z 1}, x, y, z
分别表示折后三段长度。 三、（1）任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验，易知共有 6 个不同的结果.设试验
的样本点 i "出点i点"， i 1, 2,3, 4,5, 6 ；则 A 2 ,4 ,6 ， B 3,6
由于 P{X 1} 1 ，则 F(1) P{X 1} 1 ；
8
8
从而有
P{1 X 1} 1 P{X 1} P{X 1} 1 1 1 5 ； 48 8
由已知条件当 1 x 1时，有 P{1 X x 1 X 1} k(x 1) ；
而 P{1 X 1 1 X 1} 1，则 k 1 2
z0
2、 f Z (z) 1 ez , 0 z 1
(e 1)ez , z 1
0, z 0
0 , z0
3、
fZ
(z)
1 2
,0
z
1；
FZ
(z)
z 2
,0 z 1
1, z 1
1
1 2z
,
z 1
第二章测验 一、填空题
1、 1 ；2、 3 4 ；3、 0 ；4、 0.2 4
二、选择题 1、C； 2、A； 3、B
F (b)
2
二、选择题 1、D；
三、计算题
2、A；
1.解：由题意知随机变量 X 的分布列（律）为
X3
4
5
P1 3 6
10 10 10
所以得随机变量 X 的分布函数为
0, x 3
1 ,3 x4
F ( x)
10 4
,
4
x
5
10
1,
x5
2.解：（1）由条件知，当 x 1时， F(x) 0 ；
4、
1
1
e
1 2
1 (1)
随机变量函数的概率分布
一、填空题
1、
Y
3 1 1
3
7
P
3
4
5
4
4
20 20 20 20 20
Z
9
4
1
0
P
3
8
5
4
20 20 20 20
2、
fY
( y)
1, 0 0,
y 1 其它
二、选择题 1、B；
三、计算题
2、D；
1、
f
( y)
1,0 0,
y 1
；
else
0,
于是，对于 1 X 1有
P{1 X x} P{1 X x,1 X 1} P{1 X 1} P{1 X x 1 X 1}
5 x 1 5(x 1)
82
16
所以
F(x ) P{X
1} P{1 X
x}
1 8
5(x 16
1)
5x 7 16
当 x 1时， F (x) 1，从而
,
z z
0 0
；（2）
fZ
(z)
(z
1 1)2 0,
,z z
0 0
第三章 随机变量的数字特征
数学期望
一 、填空题
1、 1 ， 2 ， 35 ； 3 3 24
二、计算题
2、 21， 0.2
3、 2 ， 47 96
1.
解：
E(X )
k
k 1
ak (1 a)k1
a (1 a)2
k 1
k
1
二、计算题 1.： ， 提示： 设
0, 部件i个不需要调整 Xi 1, 部件i个需要调整
则 X1 , X 2 , X3 相互独立，并且 X X1 X 2 X3 ，显然 X1 B(1, 0.1) ,
X 2 B(1, 0.2) , X3 B(1, 0.3)
2.：1/3，1/3 ； 3．： 16/3 ，28
三、 证明题
提示： D(XY) E XY E(XY)2 E XY EX EY)2
E XY YEX YEX EX EY )2 EY (X EX ) EX (Y EY )2 DX DY
3、
X1
1
Y
1
1
4
1
0
条件分布
1
2
1
4
随机变量的独立性
一、选择题 1、B；
二、计算题
2、A； 3、D；
4、C；
5、D
1、
X |Y 0 0
1
2
P
0.25 0.25 0.5
2、
f X |Y
(x
|
y)
2x, 0
0
,
x 1 其它 ,
fY | X
(y
|
x)
2 y, 0
0
,
y 1 其它
3、（1） c 8 ；（2） P{Y X } 1 ；（3）不独立。 24
第一章 随机事件与概率 § 随机试验 随机事件 一、选择题 1. 设 B 表示事件“甲种产品畅销”，C 表示事件“乙种产品滞销”，则依题意得 A=BC.于
是对立事件 A B C 甲产品滞销或乙产品畅销 ，故选 D.
2. 由 A B B A B B A AB ，故选 D.也可由文氏图表示得出. 二 写出下列随机试验的样本空间
图1.1
二． 选择题 1. C; 2. A; 3. D; 4. B; 5. B. 三． 解答题
解：因为 AB A A B, 所以由概率的性质可知： P(AB) P(A) P(A B). 又因 为 P(AB) 0, 所以可得 P(A B) P(A) P(B), 于是我们就有
P(AB) P(A) P(A B) P(A) P(B) . 如果 A B, 则 AB A, P(AB) P(A) ； 如果 B A, 则 A B A, 这时有 P(A) P(A B).
解答题
1. 2. （1）；（2）
3.（1） 0.943；（2） 0.848
§ 贝努利概型与二项概率公式 一． 填空题
1. 1 (1 p)n , (1 p)n np(1 p)n1 ；2. 2 3
二． 解答题
1. .
2. 0.94n ， Cnn2 (0.94)n2 (0.06)2 ，1 n(0.94)n1(0.06) (0.94)n
0, x 1
F ( x)
5x
16
7
,
1
x
1
1, x 1
（2）略。
离散型与连续性随机变量的概率分布
一、填空题
1． 27 ；2. 2 38
二、选择题 ；；
三、计算题
0,
x0
x2 ,
0 x 1
1.（1）
A 1, B
2；（2） F (x)
2
2x
x2 2
1,1
x
；（3）
2
3 4
1,
x2
P(A) 2! 2! 1 7! 1260
二、求解下列概率
1. (1)
C52 C82
0.36 ;
(2)
C31C755! C86 6!
C31 A75 A86
0.375
2.
1
A142 124
0.4271
3. 由图所示，样本点为随机点 M 落在半圆 0 y 2ax x2 (a为正常数) 内，所以样本
得 P( AB) P( AB) ，注意到 P( AB) P( A) P( AB), P(B) 1 P(B), 代入上式并整理后 P(B) P(B)
可得 P(AB) P(A)P(B) 。由此可知，答案 D。
三． 解答题
1. 3 ，3 ； 2. 2
10 5
n
§ 全概率公式和逆概率（Bayes）公式
3.（1），（2），（3）
章节测验
一． 填空题
1. 8 ； 2. 对立；3. 0.7； 4. 8 ，4
25
21 7
二． 选择题
三、解答题
1.（1）； （2） 2 23
2. .0038 四、证明题（略）。
随机变量 分布函数
一、填空题
1.1 F (a) ； F(1) F(1) ； F (b) F (a) ；2. a 1 ,b 1/π；3.1 2e1
2、 0 ；1
二、计算题
1、（1） A 1 , B ,C ；（2） 1 ；
2
2
2
16
（3）
FX
(x)
1
( 2
arctan x), x 2
R
，
FY
( y)
1
( 2
arctan
y ), 3
y
R
2、（1）
FX
(x)
1
e2 0
x,x ,x
0 0
，
FY
(
y)
1
e 0
y
, ,
y y
0 0
AB A B , A B ， 因 为 AB 且A B , 所 以 A 与 B 是 对 立 事 件 ， 即
A B，A B 。所以， P(A B) P(A B) 1, 于是 P(A B) P(A B) 2
二． 选择题 1. D； 2. B；3. A；4. D；5. B
1． 已知 P(A B) P(A B) 1, 又 P(A B) P(A B) 1, 所以 P(A B) P(A B), 于是
,；
（2） e2 e4 。
0
, x0
0
, y0
3、FX
(x)
1 2
(sin x
1
cos x),0
x
2
，FY
( y)
1
2
(sin
y
1
cos y),0
y
2
1
, x 2
1
, y 2
二维离散型与连续性随机向量的概率分布 一、填空题
1、 7
8
；2、
j 1
pij
，
i 1
pij
；3、 1 4
空间测度可以用半圆的面积 S 表示。设事件 A 表示远点 O 与随机点 M 的连线 OM 与 x 轴的
夹角小于 ，则 A 的测度即为阴影部分面积 s ， 4
所以
P(A)
s S
Leabharlann Baidu
a2 a2 42
a2
1 1 2
a
2
§概率的性质
一． 填空题
1．; 2.
1 p ; 3.
1
; 4.
7
6 12
a 2a
a
a
k
1
根据公式
k 1
kxk 1
k 1
xk
'
x 1 x
'
1 1 x 2
( x 1) 得到
a
1
E(X )
(1 a)2
1
1
a
a
2
a
2． 0 ；3．: 2 a
4. 2/3，4/3 ，-2/3，8/5 ； 5．4/5，3/5，1/2，16/15
方差
一、填空题 1. 0.49 ；2. 1/6 ； 3. 8/9 ；4. 8 ，
x),0 ,
x 1， 其它
fX
(x)
12y(1 0
y 2 ),0 y 1； , 其它
（3）不独立；
（4）
f X |Y
(x
|
y)
2(1 x) (1 y)2
,0
x
1,0
y
1 ,
fY|X
(y
|
x)
2y
x
2
,0
x
1,0
y
1
。
0 ,
其它
0 ,
其它
3、（1）
fZ
(z)
ze z 0 ,
三、计算题
1、 X ~ B(3, 0.4) ，则随机变量的概率函数为
X
0
1
2
3
P
27
54 36
8
125 125 125 125
其分布函数为：
0 , x0
27
,0
x
1
125
F ( x)
81 125
,1
x
2
117 125
,2
x
3
1 , x 3
2、（1） A 24 ；
（2）
fX
(x)
12x2 (1 0
如果 AB , 则 P(AB） 0, 这时有 P(A B) P(A) P(B).
§ 条件概率与事件的独立性
一． 填空题
1. 2 ；2. 0.3、；3. 2 ；4. 1 ； 5. 2；
3
34
5. 因 为 AB AB ， 所 以 ( AB)( AB) AABB , ( AB)( AB) AB AB ， 则 有
；4、 1 4
二、计算题
1、 c
1；
fX
(x)
ex , x 0 , x
0 0
；
fY
( y)
( y
1 1)2 0
, ,
y y
0 0
2、（1）
f
(x,
y)
6, (x, y) D 0, 其它
；
（2）
fX
(x)
6(x
x2 ), 0 0,
x 1； 其它
fY
( y)
6(
y y), 0 y 1 0 , 其它
（ 2 ） A 1,3,5 ， B 1,2 ,4 ,5 ， A B 2 ,3,4 ,6 ， AB 6 ， A B 1,5
四、（1） ABC ；（2） ABC ；（3）“ A、B、C 不都发生”就是“ A、B、C 都发生”的对立 事件，所以应记为 ABC ；（4）A B C ；（5） “ A、B、C 中最多有一事件发生”就是“ A、B、C 中至少有二事件发生”的对立事件，所以应记为： AB AC BC .又这个事件也就是 “ A、B、C 中至少有二事件不发生”，即为三事件 AB、AC、BC 的并，所以也可以记为 AB AC BC . § 随机事件的概率 一、填空题