立体几何折纸建构

立体几何折纸建构
作者：常文武
来源：《新高考·高一数学》2012年第07期
纸，作为文明的载体，其最大的作用曾是书写和印刷.当然,用纸做纸巾、纸尿裤、包装袋等，这些功用也是必不可少的.本文要说明的是，折纸这个我们儿时的游戏不仅反映出纸的另一种用途，而且她还是非常了不起的一种艺术形式，甚至能帮助我们学好数学.
我们已经学过平面几何，将要学习立体几何.立体几何是什么呢？通过下面的一系列折纸探索，可以充分地展示平面这一我们熟悉的概念与立体这一陌生的概念是如何联系起来的.
探索一
取一个信封，用过的也没关系，实在没有就临时制作一个.显然信封是一种平面的物品.现在照下面的步骤就可以使它变成一个立体的正四面体.
第一步：将信封竖起来，将底部的一角折向中缝，同时保证折痕通过另一底角，但折痕不需要做出来.如图1所示.
第二步：将中缝上的这点标记为P.过P点向两底角做两道折痕，注意正反向都要折一次.让折痕尽量做得尖锐和平直.如图2.
第三步：用直角三角尺在P点处画一条水平线，剪去线上的部分.
第四步：从开口端撑开，瞧，一个正四面体就做出来了.
探索二
请你证明：这样得到的果真是个正四面体.也就是说，这个四面体的每个面都是正三角形.
探索三
现在数一数，四面体有几条棱（E），几个顶点（V），几个面（F）.大数学家欧拉研究过对于其它简单多面体也适用的公式： V+ F- E=2. 对于四面体，你能验证这个公式成立吗？
请跟我继续一个新的折纸实验.这次得到的将是更神奇的“一家子”四面体.
探索四
再取一个信封，如果你上次剪掉的上半个信封是完整的，请将它上面的口封好待用.
怎么做呢？如图5所示，
第一步：折一个底角的角平分线，即折出45 ° 角.
第二步：折出与底边构成45 ° 角的平分线，即22.5 ° 角.
第三步：标注翻折后的底角位置P.
第四步：用直角三角尺在P点处画一条水平线，剪去线上的部分.
第五步：通过对折开口边，找到中点M.
第六步：过点M向两底角做两道折痕，注意正反向都要折一次.让折痕尽量做得尖锐和平直.
第七步：从开口端撑开，至此一个新的四面体就做成了.这是一个阶段性的结果，或可称作是半成品.
探索五
这样得到的四面体是怎样的四面体？它的四个面是否全等？每个面的三角形是等腰三角形吗？每个侧面三角形具有怎样的三边长？
探索六
这个四面体有几种二面角？分别是多少度？
继续拿刚才未最终完成的四面体折纸.
第八步：把它打开压扁还原成半截信封的样子.
第九步：照图6所示再作正反折痕3道：一横两斜.
第十步：撑开信封开口端，把半截信封的左上角及右上角先后朝里折到底部的中点N.注意让虚线标注痕折凹陷进去.
你将得到一个奇怪的多面体形状.如图7(此图由梁海声提供).
这是一个包裹着4个四面体的复合体.脱胎于原来大四面体的新结构，这四个小四面体与原来四面体形状一致.
探索七
这个复杂多面体有多少个面，顶点，棱，它们符合欧拉定理么？
探索八
请再制作一个这样的四面体，看看两个这样的四面体可以组合出什么形状的联合体？
以上都是用信封在做实验材料，如果没有信封呢？下面再介绍给大家一种名片折纸.
探索九
取一张名片，请你用它来折出一个四面体，你行吗？
超简单！请看：
图8所示的折痕一律是凹下去的，作出这些折痕，将四个直角顶点统一向上收拢回来就可以形成一个四面体，当然还需要一些胶带来固定接缝.
探索十
还是刚才那张名片，你能用它折出两个四面体吗？
也很容易！如同一加一等于二一般，我们只要把第一种方法重复一次，一个连体双胞胎四面体就做出来了，如图9所示.
当然要注意实线是拱起来的折痕，虚线是凹下去的折痕.
探索十一
你发现了吗？通常这样做成的四面体有一条棱在长方形的内部，它一定是长方形
长边中点的联线！为什么？
探索十二
如果名片长宽比适当，照上面的办法制作出来的连体四面体从外观上来看，可以认为是由这两个四面体拼成的一个四棱锥.这是怎样的长宽比？问题的本质是，如何通过选择纸的形状得到具有直角二面角的四面体？
答案是：2 ∶ 1.这就是通常被人称作是白银长方形的一种长方形.我们用的书、读的报纸、包括这本杂志的形状都是这个比.当然最精确符合这一标准的是 A 4纸.
以上通过折纸得到的两种四面体是立体几何中的两个基本对象.但是已经足以让我们了解到立体几何的独特魅力.维数的增加意味着更多的可能性.是折纸让我们从二维空间进入了三维空间.让我们时刻拿起一张纸来折叠吧，说不定你会发现一个定理并以你的名字命名呢！
(注：相关的折纸视频可参见网站： /v/default.html)
《剖析直线方程的易错点》巩固练习参考答案
1 提示：当 m=
2 时，直线l的方程为 x=2；
当 m≠2 时，直线l的斜率 k=2m－2， 由点斜式得直线方程为 y－1=2m－2（x－2）， 即方程为 2x－（m－2）y+m－6=0， 又当 m=2 时也满足此方程，故所述所求直线l的方程为 2x－（m－ 2）y+ m－6=0.
2 提示：若截距不为0，可设直线的方程为 xa+ ya=1， 把点P（3, 2）代入得： 3a+2a=1， 即 a=5， 此时直线的方程为 x+y－5=0； 若截距为0，可设直线的方程为 y=kx， 把点P（3, 2）代入得 k=23， 此时直线方程为 y=23x， 故所求直线的方程为 2x－3y=0 和 x+y－5=0.
3 提示：若 a=0 时两条直线显然不平行；
若 a≠0， 则 a2=8a≠2－1， 解得 a=4， 故所求a的值为4.
4 提示：当斜率不存在时，直线 x=1 与直线l: 2x+y－6=0 的交点为B（1, 4），符合要求；
当斜率存在时，可设直线的方程为 y+1= k（x－ 1）， 即 kx－y－k－1=0， 由题意得
kx－y－k－1=0， 2x+y－6=0， 解得 x=k+7k+2， y=4k－2k+2. 则
Bk+7k+2, 4k－2k+2
，又 AB=5，
即 k+7k+2－1
2+4k－2k+2+1。