普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(四)数学(文)试题+Word版含答案

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（四）本试题卷共14页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·丹东期末]设集合{}2|M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-【答案】C【解析】由题意{}0,1M =，∴{}0,1MN =．故选C ．2．[2018·南阳一中]设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ）A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A 【解析】()21f x x x =-+，()()()()i 11i i 12ii i 1i 11i 2z +--+-====-----，()()()()2i i i 1i f z f ∴=-=---+=，故选A ．3．[2018·郴州一中]已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则312f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-【答案】B【解析】()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，223131sin log 122322f f ⎡⎤⎛⎛⎫π⎛⎫⎛⎫⎢⎥∴+=⨯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2115sin 5log 26422π⎛⎫⎛⎫=π++=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ．4．[2018·衡水金卷]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ） A．3B．C． D．3-【答案】C【解析】由等差数列的性质可得：()19959692+=π==a a S a ，∴523π=a，则52tan tan3π==a C ． 5．[2018·承德期末]执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】2+5+14+41+122100S =>，故输出5n =．6．[2018·漳州调研]已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤＜f x x 的图象向右平移3π个单位长度开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+班级姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封后，得到函数()cos2=g x x 的图象，则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为（ ） A ．6π=x B ．12π=x C ．3π=x D ．0=x【答案】A【解析】函数()cos2=g x x 的图象的对称轴方程为()2π=∈Z k x k ，故函数()=y f x 的图象的对称轴方程为()23ππ=-∈Z k x k ，当1=k 时，6π=x ，故选A ．7．[2018·云南联考]图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;n n -B ．21;1n n -+C ．121;n n +-D ．121;1n n +-+【答案】D【解析】当1n =时，正方形的个数有0122+个；当2n =时，正方形的个数有012222++个；，则0121222221n n n S +=++++=-个，最大的正方形面积为1，当1n =时，由勾股定理知正方形面积的和为2，以此类推，所有正方形面积的和为1n +，故选D ． 8．[2018·防城港模拟]已知点P 在圆C ：224240x y x y +--+=上运动，则点P 到直线l ：250x y --=的距离的最小值是（ ）A ．4 B．C1D1【答案】D【解析】圆C ：224240x y x y +--+=化为()()22211x y -+-=，圆心()2,1C 半径为1，=P 到直线l ：250x y --=的距离的1．选D ．9．[2018·唐山期末]已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的x 的取值范围是（ ）A ．()(),10,3-∞-B ．()()1,03,-+∞C ．()(),11,3-∞-D ．()()1,01,3-【答案】A【解析】∵偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且()20f -=， ∴函数()f x 在(),0-∞单调递增，且()20f =．结合图象可得不等式()10xf x ->等价于()010>->⎧⎨⎩x f x 或()010<-<⎧⎨⎩x f x ，即013>-<⎨<⎧⎩x x 或01<<-⎧⎨⎩x x ，解得03x <<或1x <-． 故x 的取值范围为()(),10,3-∞-．选A ．10．[2018·重庆期末]已知点()4,0A ，()0,4B ，点(),Pxy 的坐标x ，y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．254B ．0C ．19625－D ．－8【答案】C【解析】由题意可得：()()()()2244228AP BP x x y y x y ⋅=-+-=-+--，()()2222x y -+-即为点(),P x y 与点()22，的距离的平方，结合图形知，最小值即为点()22，到直线的距离的平方25d ==，故最小值为221968525⎛⎫-=-⎪⎝⎭．本题选择C 选项．11．[2018·海南期末]某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为x ，CQ 的长度为关于x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】如图所示，设AOQ θ∠=，则弧长AQ x =，线段()CQ f x =，5xθ=， 作OH BQ ⊥于H 当Q 在半圆弧AQB 上运动时，1()2QOH θ∠=π-，2sin 2cos 22BQ OQ OQ θθπ-=⨯=⨯，CQ ==== 即()f x =，由余弦函数的性质知当5=πx 时，即运动到B 点时y 有最小值10，只有A 选项适合，又由对称性知选A ，故选A ．12．[2018·石家庄毕业]双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ） AB．2 C ．2 D1【答案】B【解析】双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点F 为(),0c -，直线l的方程为)y x c =+，令0x =，则y =，即()A ，因为A 平分线段1FB ，根据中点坐标公式可得()B c ，代入双曲线方程可得2222121c c a b -=，由于()1c e e a=>，则2221211e e e -=-，化简可得421410e e -+=，解得27e =±1e >，解得2e =故选B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2{|}M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．B ．i -C ．1i -+D ．1i --3．已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则312f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ） A．BC．D．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．5B ．6C ．7D ．8班级 姓名 准考证号考场号 座位号6．已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤＜f x x 的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()cos2=g x x 的图象，则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为（ ） A ．6π=x B ．12π=x C ．3π=x D ．0=x7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;n n -B ．21;1n n -+C ．121;n n +-D ．121;1n n +-+8．已知点P 在圆C ：224240x y x y +--+=上运动，则点P 到直线：250x y --=的距离的最小值是（ ） A ．BC1D19．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的的取值范围是（ ） A ．()(),10,3-∞- B ．()()1,03,-+∞ C ．()(),11,3-∞-D ．()()1,01,3-10．已知点()4,0A ，()0,4B ，点(),P x y 的坐标，y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．254B ．0C ．19625－D ．－811．某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为，CQ 的长度为关于的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ）A ．B ．2C ．2D 1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

四川省达州市高2018届高考模拟四 2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|3A x x =<，{}|2B x y x ==+，则A B =（ ）A ．(2,3)-B ．[2,3)-C ．(0,3)D ．[0,3)2.已知(1)17z i i +=-+（i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则||z 等于（ ） A ．2B ．34i +C ．5D ．73.如图是我国2008年—2017年GDP 年增量统计图．下列说法正确的是（ ）A ．2009年GDP 比2008年GDP 少B ．与上一年比，GDP 年增量的增量最大的是2017年C ．从2011年到2015年，GDP 年增量逐年减少D ．2016年GDP 年增长率比2012年GDP 年增长率小4.已知数列{}n a 为等比数列，若162a a =，下列结论成立的是（ ） A ．24354a a a a =B ．342a a +=C ．12322a a a =D ．2522a a +≥5.在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，1AD =，则BD AC ⋅=（ ）A ．2-B ．3-C ．2D ．56.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向左平移6π，然后再向下平移一个单位，所得图象的一个对称中心为（ ）A ．(,0)3π-B ．(,0)6π-C ．(,1)3π--D ．(,1)6π--7.运行如图所示的程序框图，若输入的x 与输出的y 相等，则x 为正数的概率是（ ）A ．14B ．12C ．15D ．258.函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，在R 上是单调函数，函数()(5)g x f x =-；数列{}n a 为等差数列，公差不为0，若19()()0g a g a +=，则129a a a +++=…（ ） A ．45B ．15C ．45-D ．09.如图，一几何体的正视图是高为233的等腰三角形，它的俯视图是由三个等腰三角形组合成的边长为2的正三角形，几何体的顶点均在球O 上，球O 的体积为（ ）A ．43πB ．42πC ．32π D ．33π 10.已知数据1x ，2x ，…，10x ，2的平均值为2，方差为1，则数据1x ，2x ，…，10x 相对于原数据（ ） A ．一样稳定B ．变得比较稳定C ．变得比较不稳定D ．稳定性不可以判断11.过抛物线2(0)y mx m =>的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，5||4PQ m =，则m =（ ） A ．6B ．4C ．10D ．812.已知函数()ln xf x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(0,)eB ．(0,)eC ．1(,)e eD ．(,)e -∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若a b =，则a b ≥”的逆否命题是 ．14.直线3y x =是双曲线22221x y a b-=的一条渐近线，双曲线的离心率是 ．15.设变量x ，y 满足约束条件1,4,2,x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则目标函数2z x y =+的最大值为 ．16.定义域和值域均为[],a a -（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，给出下列四个命题： ①方程[]()0f g x =有且仅有三个解； ②方程[]()0g f x =有且仅有三个解；③方程[]()0f f x =有且仅有九个解； ④方程[]()0g g x =有且仅有一个解．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的番号）．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(cos sin )b a C C =-． （1）求角A ；（2）若10a =，sin 2sin B C =，求ABC ∆的面积．18.在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x （单位：分）与物理偏差y （单位：分）之间的关系进行偏差分析，决定从全班40位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：（1）已知x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（2）若这次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为92分，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩．参考公式：1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-，参考数据：81324i ii x y==∑，8211256i i x ==∑．19.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，//EF AC ，2AD =，3EA ED EF ===．（1）求证：AD BE ⊥； （2）若5BE =，求三棱锥F ABD -的体积．20.已知过点(0,1)A 的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，B 为椭圆上的任意一点，且13||BF ，12||F F ，23||BF 成等差数列． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l ：(2)y k x =+交椭圆于P ，Q 两点，若点A 始终在以PQ 为直径的圆外，求实数k 的取值范围． 21.已知函数()ln 1f x x x =--，21()()22g x xf x x x =++． （1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()g x 在区间(,1)m m +（m Z ∈）内存在唯一的极值点，求m 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，1C 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为22cos()4πρθ=-．（1）求2C 的直角坐标方程，并指出其图形的形状；（2）1C 与2C 相交于不同两点A ，B ，线段AB 中点为M ，点(0,1)N -，若||2MN =，求1C 参数方程中sin α的值．23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||1|f x x x =+-．（1）若()|1|f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（2）记（1）中m 的最大值为M ，正实数a ，b 满足22a b M +=，证明：2a b ab +≥．四川省达州市高2018届高考模拟四2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案 一、选择题1-5:BCDAA 6-10:CBACC 11、12：DA二、填空题13.若a b <，则a b ≠ 14.2 15.6.5 16.①④三、解答题17.解：（1）∵(cos sin )b a C C =-，∴由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C A C =-，可得sin()sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C A C A C +=+=-， ∴cos sin sin sin A C A C =-， 由sin 0C ≠，可得sin cos 0A A +=， ∴tan 1A =-，由A 为三角形内角，可得34A π=． （2）因为sin 2sinBC =，所以由正弦定理可得2b c =，因为2222cos a b c bc A =+-，34A π=，可得2c =， 所以2b =， 所以1sin 12ABC S bc A ∆==． 18.解：（1）由题意计算得，52x =，98y =， 122215932481285412568()2ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===-⨯-∑∑， 所以a y bx =-15184229=-⨯=， 故线性回归方程为1142y x =+．（2）由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为92ω-， 而数学偏差为1261206-=， 则（1）的结论可得1192642ω-=⨯+，解得94ω=， 所以可以预测这位同学的物理成绩为94分．19.解：（1）如图，取AD 的中点O ，连接EO ，BO ． 因为EA ED =，所以EO AD ⊥，因为四边形ABCD 为菱形，所以AB AD =， 因为60DAB ∠=︒，所以ABD ∆为等边三角形， 所以BA BD =，所以BO AD ⊥， 因为BOEO O =，所以AD ⊥平面BEO ，因为BE ⊂平面BEO ，所以AD BE ⊥． （2）在EAD ∆中，3EA ED ==，2AD =，所以222EO AE AO =-=，因为ABD ∆为等边三角形，所以3BO =， 因为5BE =，所以222EO OB BE +=，所以EO OB ⊥，又因为EO AD ⊥，AD OB O =，所以EO ⊥平面ABCD ．因为//EF AC ，1123322ABD S AD OB ∆=⋅=⨯⨯=， 所以11632333F ABD E ABD ABD V V S EO --∆==⋅=⨯⨯=．20.解：（1）∵13||BF ，12||F F ，23||BF ， ∴12122||3||3||FF BF BF =+123(||||)BF BF =+， 由椭圆定义得2232c a ⋅=⋅，∴32c a =， 又椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点(0,1)A ，∴1b =，∴22222314c a b a a =-=-=，解得2a =，3c =， ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=． （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立方程22(2),1,4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=，直线l ：(2)y k x =+恒过点(2,0)-，此点为椭圆的左顶点，∴12x =-，10y =，①由方程的根与系数关系可得21221614k x x k-+=+，②可得121212(2)(2)()4y y k x k x k x x k +=+++=++，③由①②③，解得2222814k x k -=+，22414ky k=+， 由点A 在以PQ 为直径的圆外，得PAQ ∠为锐角，即0AP AQ ⋅>， 由(2,1)AP =--，22(,1)AQ x y =-，∴22210AP AQ x y ⋅=--+>，即2224164101414k kk k-+-<++， 整理得220430k k -->，解得310k <-或12k >． ∴实数k 的取值范围是31(,)(,)102-∞-+∞．21.解：（1）由已知得 0x >，1'()1f x x =-1xx-=，当1x <时，由'()0f x >，得01x <<；由'()0f x <，得 1x >， 所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞． （2）因为222111()()2(ln 1)2ln 222g x xf x x x x x x x x x x x x =++=--++=-+， 则'()ln 11ln 2()3g x x x x x f x =+-+=-+=+，由（1）可知，函数'()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． 又因为222111'()220g e e e=--+=-<，'(1)10g =>， 所以'()g x 在(0,1)上有且只有一个零点1x ，又在1(0,)x 上'()0g x <，()g x 在1(0,)x 上单调递减，在1(,1)x 上'()0g x >，()g x 在1(,1)x 上单调递增， 所以1x 为极值点，此时0m =，又'(3)ln310g =->，'(4)2ln 220g =-<，所以'()g x 在(3,4)上有且只有一个零点2x ．因在2(3,)x 上'()0g x >，()g x 在2(3,)x 上单调递增；在2(,4)x 上'()0g x <，()g x 在2(,4)x 上单调递减， 所以2x 为极值点，此时3m =． 综上所述，0m =或3m =． 22.解：（1）由22cos()4πρθ=-得2cos 2sin ρθθ=+，所以22cos 2sin ρρθρθ=+，将cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入到2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=，所以2C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=，表示以(1,1)为圆心，2为半径的圆． （2）将cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入22(1)(1)2x y -+-=，整理得2(2cos 4sin )30t t αα-++=，设A ，B 对应的参数分别为1t 、2t ，则1t 、2t 是方程2(2cos 4sin )30t t αα-++=的两根， 所以122cos 4sin t t αα+=+，因为||2MN =，所以12||22t t +=，所以cos 2sin 2αα+=， 所以221sin 4(1sin )αα-=-，所以(5sin 3)(sin 1)0αα--=， 所以3sin 5α=或sin 1α=． 23.解：（1）由21,0,()1,01,21, 1.x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩得min ()1f x =，要使()|1|f x m ≥-恒成立，只要1|1|m ≥-，即02m ≤≤，实数m 的最大值为2． （2）由（1）知222a b +=，又222a b ab +≥，故1ab ≤；222222222()4242242(1)(21)a b a b a b ab a b ab a b ab ab +-=++-=+-=--+，∵01ab <≤，∴222()42(1)(21)0a b a b ab ab +-=--+≥，∴2a b ab +≥．。

普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（四）文科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|30}A x x x =->，{|2}B x x =<，则AB =（ ）A ．(2,0)-B ．(2,3)-C ．(0,2)D ．(2,3)2.（2017·海口市调研）已知复数12z i =-，22z a i =+（i 为虚数单位，a R ∈），若12z z R ∈，则a =（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-3.（2017·桂林市模拟）若向量a ，b 满足：1a =，()a b a +⊥，(3)a b b +⊥，则b =（ ）A ．3B ．3C ．1D ．34.（2017·福建省质检）在ABC ∆中，3B π=，2AB =，D 为AB 的中点，BCD ∆的面积为33，则AC 等于（ ） A ．2 B ．7 C ．10 D ．195.已知,{1,2,3,4,5,6}x y ∈，且7x y +=，则2xy ≥的概率为（ ） A ．13 B ．23 C ．12 D ．566.（2017·昆明市统考）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（单位：cm ），图中粗线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．24024π-B ．24012π-C ．2408π-D ．2404π- 7.（2017·长春市三模）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ）A ．6n =B ．6n <C ．6n ≤D ．8n ≤ 8.（2017·郑州一预）函数()cos xf x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．229.（2017·海口市调研）若x ，y 满足30300x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为12-，则k 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14- 10.（2017·桂林市模拟）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 3交抛物线于A ，B 两点.若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(11,0)M ，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．1211.（2017·河南九校联考）四面体的一条棱长为c ，其余棱长为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ） A ．272π B ．92π C ．152πD ．15π 12.设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．C ．1,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2e ⎛ ⎝第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.（2017·长春三模）函数1sin cos 0,222y x x x π⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是 ．14.（2017·潍坊一中模拟）已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，ABC ∆的顶点B 在椭圆上，顶点A ，C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e ，则sin sin 1sin A C B e+=，现将该命题类比到双曲线中，ABC ∆的顶点B 在双曲线上，顶点A 、C分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>.双曲线的离心率为e ，则有 ．15.在一幢10m 高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60，塔基的俯角为30，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为 m ．16.设函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，(3)0f =，且()(1)g x f x =+为偶函数，则不等式(22)0g x -<的解集为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 满足1511a =，143(2)n n a a n -=-≥.（1）求证：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2） 令2log (1)n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（2017·合肥市质检）四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，222AD AE BC AB ====，AB AD ⊥，平面EAD ⊥平面ABCD ，点F 为DE 的中点.（1）求证：//CF 平面EAB ；（2）若CF AD ⊥，求四棱锥E ABCD -的体积.19.有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由550名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：组别 A B C D E 人数5010020015050（1）为了调查大众评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表.组别 A B C D E 人数 50100 20015050抽取人数6（2）在（1）中，若A ，C 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.20.（2017·昆明市统考）已知动圆E 经过定点(1,0)D ，且与直线1x =-相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设过点(1,2)P 的直线1l ，2l 分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线1l ，2l 的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值.21.（2017·贵州省适应性考试）设*n N ∈，函数ln ()n xf x x=，函数()(0)x n e g x x x =>.（1）当1n =时，求函数()y f x =的零点个数；（2）若函数()y f x =与函数()y g x =的图象分别位于直线1y =的两侧，求n 的取值集合A ；（3）对于n A ∀∈，12,(0,)x x ∀∈+∞，求12()()f x g x -的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 42sin x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）若直线l 的斜率为2，判断直线l 与曲线1C 的位置关系； （2）求1C 与2C 交点的极坐标（0ρ≥，02θπ≤<）. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1g x x a x =+++. （1）求实数a 的值； （2）求函数()g x 的最小值.普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（四）文科数学一、选择题1-5: ACBBB 6-10: BCCDC 11、12：DB 二、填空题13. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.sin sin 1sin A C B e -= 15. 40 16. (0,2) 三、解答题17.解析：（1）证明：由11344n n a a -=-知111(1)4n n a a -+=+， 所以数列{1}n a +是以512为首项，14为公比的等比数列.则11212n n a -+=，11221nn a -=-. （2）112n b n =-，设数列{112}n -前n 项和为n T ，则210n T n n =-， 当5n ≤时，210n n S T n n ==-；当6n ≥时，2521050n n S S T n n =-=-+；所以2210,51050,6n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩.18.解析：（1）证明：如图，取AE 的中点G ，连接GF ，GB . ∵点F 为DE 的中点， ∴//GF AD ，且12GF AD =， 又//AD BC ，2AD BC =， ∴//GF BC ，且GF BC =， ∴四边形CFGB 为平行四边形， 则//CF BG ，而CF ⊄平面EAB ，BG ⊂平面EAB ， ∴//CF 平面EAB .（2）∵CF AD ⊥，∴AD BG ⊥，而AB AD ⊥， ∴AD ⊥平面EAB ， ∴AD EA ⊥，又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，∴EA ⊥平面ABCD ， ∴113E ABCD ABCD V S EA -=⋅=梯形. 19.解析：（1）组别 A B C D E 人数 50 100 200150 50 抽取人数361293（2）A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为3. C 组抽取的12人中有2人支持1号歌手，则从12人中任选2人，支持1号歌手的概率为21126=. 现从抽样评委A 组3人，C 组12人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率211369p =⨯=.∴从，两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为19. 20.解析：（1）由已知，动点E 到定点(1,0)D 的距离等于E 到直线1x =-的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以(1,0)D 为焦点，以1x =-为准线的抛物线，故曲线C 的方程为24y x =.（2）由题意可知直线1l ，2l 的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线1l 的方程为(1)2y k x =-+，0k ≠. 直线2l 的方程为(1)2y k x =--+，由2(1)24y k x y x=-+⎧⎨=⎩得2222(244)(2)0k x k k x k --++-=， 已知此方程一个根为1，∴22122(2)441k k k x k k --+⨯==， 即21244k k x k-+=，同理22222()4()444()k k k k x k k ---+++==-， ∴212228k x x k ++=，12288k x x k k---==， ∴1212[(1)2][(1)2]y y k x k x -=-+---+2122288()22k k x x k k k k k+=+-=⋅-=， ∴1212818ABy yk k x x k-===---， 所以，直线AB 的斜率为定值1-. 21.解析：（1）当1n =时，ln ()x f x x =，21ln '()(0)xf x x x -=>. 由'()0f x >得0x e <<；由'()0f x <得x e >.所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，因为1()0f e e=>，10f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在(0,)e 上存在一个零点； 当(,)x e ∈+∞时，ln ()0xf x x=>恒成立， 所以函数()f x 在(,)e +∞上不存在零点. 综上得函数()f x 在(0,)+∞上存在唯一一个零点.（2）由函数ln ()n x f x x =求导，得11ln '()(0)n n xf x x x +-=>， 由'()0f x >，得10nx e <<；由'()0f x <，得1nx e >， 所以函数()f x 在1(0,)ne 上单调递增，在1(,)ne +∞上单调递减， 则当1nx e =时，函数()f x 有最大值1max 1()()nf x f e ne==； 由函数()(0)x n e g x x x =>求导，得1()'()(0)xn x n e g x x x +-=>， 由'()0g x >得x n >；由'()0f x <得0x n <<.所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，则当x n =时，函数()g x 有最小值min()()ne g x g n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭；因为*n N ∀∈，函数()f x 的最大值11()1nf e ne=<， 即函数ln ()n xf x x=在直线1y =的下方， 故函数()(0)xn e g x x x=>在直线l ：1y =的上方，所以min()()1ne g x g n n ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，解得n e <.所以n 的取值集合为{1,2}A =.（3）对12,(0,)x x ∀∈+∞，12()()f x g x -的最小值等价于min max 1()()ne g xf x n ne⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当1n =时，min max 1()()g x f x e e-=-； 当2n =时，2min max1()()42e g x f x e-=-； 因为2211(4)20424ee e e e e e ⎛⎫--⎛⎫---=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12()()f x g x -的最小值为2312424e e e e--=.22.解析：（1）斜率为2时，直线l 的普通方程为12(1)y x -=+， 即23y x =+. ①将22cos 42sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程得22(2)(4)4x y -+-=，②则曲线1C 是以1(2,4)C 为圆心，2为半径的圆，圆心1(2,4)C 到直线l 的距离2d ==<， 故直线l 与曲线（圆）1C 相交.（2）2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，由22224816040x y x y x y x ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以1C 与2C 的交点的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭. 23.解析：（1）∵()(1)11a a f x ax a x a x x =+=+-+--，1x >，0a >， ∴()3f x a ≥，即有315a =，解得5a =.（2）由于51(5)(1)4x x x x +++≥+-+=，当且仅当51x -≤≤-时等号成立，∴()51g x x x =+++的最小值为4.。