课时跟踪检测(五十六) 曲线与方程

课时跟踪检测(五十六) 曲线与方程1．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC ＝λ1OA ＋λ2OB (O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线2．(2012·焦作模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝23．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆4．若点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y5．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点的椭圆经过A ，B 两点，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1(y ≥1) C ．x 2－y 248＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 248＝1(x ≥1) 6．(2012·杭州模拟)已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA ＝AP，则点P的轨迹方程为()A．y＝－2x B．y＝2xC．y＝2x－8 D．y＝2x＋47．点P是圆C：(x＋2)2＋y2＝4上的动点，定点F(2,0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q的轨迹方程是________．8．直线xa＋y2－a＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是________．9．已知向量a＝(x，3y)，b＝(1,0)，且(a＋3b)⊥(a－3b)．则点M(x，y)的轨迹C 的方程为______________．10．(2012·四川高考改编)如图，动点M与两定点A(－1,0)，B(1,0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C，试求轨迹C的方程．11．(2012·苏州模拟)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于P，Q两点，交直线l1于点R，求RP,·RQ,的最小值．12．(2012·山西模拟)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点F1，F2在y轴上，它的一个顶点为A(2，0)，且中心O到直线AF1的距离为焦距的14，过点M(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，点N在线段PQ上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，求动点N的轨迹方程．1．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴正半轴和y 轴正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ,＝2PA ,，OQ ,·AB ,＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)2．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1) B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1) C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0) D ．x 2－y 210＝1(x ＞1) 3．(2012·辽宁高考)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程．答 案课时跟踪检测(五十六)A 级1．选A 设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )，OA ＝(3,1)，OB ＝(－1,3)，∵OC ＝λ1OA ＋λ2OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1， ∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．2．选D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝ 2.即|PM |2＝2，即P 的轨迹方程为 (x －1)2＋y 2＝2.3．选B 设N (a ，b )，M (x ，y )，则a ＝x －22，b ＝y2，代入圆O 的方程得点M 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝22，此时|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－(|PF 1|±2)＝±2，即||PF 1|－|PF 2||＝2,2<|F 1F 2|故所求的轨迹是双曲线．4．选C 点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0,2)和到直线y ＋2＝0的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x 2＝2py ，其中p ＝4，故所求的轨迹方程为x 2＝8y .5．选A 由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又∵|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，∴点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)． 6．选B ∵RA ＝AP ，∴R ，A ，P 三点共线，且A 为RP 的中点，设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则由RA ＝AP ，得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝x －1，－y 1＝y ，即x 1＝2－x ，y 1＝－y ，将其代入直线y ＝2x －4中，得y ＝2x .7．解析：依题意有|QP |＝|QF |， 则||QC |－|QF ||＝|CP |＝2，又|CF |＝4＞2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线，a ＝1，c ＝2，得b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝1 8．解析：设直线x a ＋y2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)，B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1) 9．解析：∵(a ＋3b )⊥(a －3b )， ∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0，∴a 2－3b 2＝0，∴x 2＋3y 2－3＝0，即点M (x ，y )的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.答案：x 23＋y 2＝110．解：设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在．于是x ≠1且x ≠－1，此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1.由题意，有y x ＋1·yx －1＝4，化简可得4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程是4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)． 11．解：(1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 又易得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2k ，－1， ∴RP ·RQ ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)·(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋8. ∵k 2＋1k2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP RQ ≥4×2＋8＝16，即RP ·RQ 的最小值为16. 12．解：(1)设椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆的一个顶点是A (2，0)， 故b 2＝2.根据题意得∠AF 1O ＝π6，sin ∠AF 1O ＝ba ，即a ＝2b ，a 2＝8，所以椭圆的标准方程是y 28＋x 22＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x ，y )，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．直线l 的方程与椭圆方程联立消去y 得 (k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－8＝0. 由Δ＝16k 4－4(k 2＋4)(4k 2－8)＞0， 得－2＜k ＜2.根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 24＋k 2，x 1x 2＝4k 2－84＋k 2.又|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |， 即(2－x 1)(x 2－x )＝(x －x 1)(2－x 2)．解得x ＝1，代入直线l 的方程得y ＝－k ，y ∈(－2,2)． 所以动点N 的轨迹方程为x ＝1，y ∈(－2,2)．B 级1．选A 设A (a,0)，B (0，b )(a ，b ＞0)．可得BP ＝(x ，y －b )，PA ,＝(a －x ，－y )，OQ＝(－x ，y )，AB ＝(－a ，b )．由BP ＝2PA ,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －2x ，y －b ＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .由OQ ·AB ＝1得ax ＋by ＝1.所以32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．2．选A 设另两个切点为E 、F ，如图所示， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |， |NF |＝|NB |，从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝ |MB |－|NB |＝4－2＝2＜|MN |，所以P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)． 3．解：(1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|.由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209，从而 x 20y 20＝x 20⎝⎛⎭⎫1－x 209＝－19⎝⎛⎭⎫x 20－922＋94. 当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6. (2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．。

课时跟踪训练(十五) 曲线与方程1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的序号是________． ①(0,0)；②⎝⎛⎭⎫15，15；③(1,5)；④(4,4)．2．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________．3．以下各组方程表示的曲线相同的是________(填序号)．①x 2＝y 2与y ＝|x | ②y ＝x 2与y ＝10lg x③xy ＝1与y ＝|x |x 2 ④x y ＝1与y x ＝14．方程(x ＋y －1)x －1＝0所表示的曲线是________．5．若点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，则m 的值为________．6．下列命题是否正确？若不正确，说明原因．(1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是|x |＝2；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y ＝x .7．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断P (1，－2)，Q (2，3)两点是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M (m 2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．8. 如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，AM ＝17，AN ＝3，且BN ＝6，建立适当的坐标系，求曲线C 的方程．答 案1．解析：∵y ＝x (1≤x ≤5)，∴(4,4)在曲线C 上．答案：④2．解析：∵P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，∴4－9a ＝1，解得a ＝13. 答案：133．解析：①、②、③中方程表示的曲线不相同．答案：④4．解析：由题意，得⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x ≥1或x ＝1，故方程表示的是一条射线与一条直线． 答案：一条射线与一条直线5．解析：∵点M 在曲线x －y 2＝0上，∴m －m 2＝0，解得m ＝0或m ＝1.答案：0或16．解：(1)错误，因为以方程|x |＝2的解为坐标的点，不都在直线l 上，直线l 只是方程|x |＝2所表示的图形的一部分．(2)错误，因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y ＝x 和y ＝－x ，故命题错误．7．解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10，而(2)2＋(3－1)2≠10.所以点P (1，－2)在方程表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程表示的曲线上．(2)因为点M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以⎝⎛⎭⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.8．解：如图，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，点O 为坐标原点．依题意可设曲线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，则p＝MN .由题意知x 1≤x ≤x 2，y >0，其中x 1、x 2分别为A 、B 的横坐标．∵M ⎝⎛⎭⎫－p 2，0、N ⎝⎛⎭⎫p 2，0， AM ＝17，AN ＝3， ∴⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫x 1＋p 22＋2px 1＝17，⎝⎛⎭⎫x 1－p 22＋2px 1＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，p ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，p ＝2. ∵△AMN 为锐角三角形， ∴p 2>x 1，故舍去⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，p ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，p ＝4. 由点B 在曲线C 上，得x 2＝BN －p 2＝4. 综上得，曲线C 的方程为y 2＝8x (1≤x ≤4，y >0)．。

课时跟踪检测(五十七) 曲线与方程一、选择题1．(2015·山西联考)已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A ．4B ．3C ．1D ．12．(2015·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝03．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线4．(2015·长春模拟) 设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 5．(2015·洛阳模拟) 设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若,＝2,，且,·,＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)6．(2015·东营模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A ­B ­C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )二、填空题7．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是__________________．8．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________________________________．9．(2015·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足＝＋t (－)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________________________________．10．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足＝＋，则动点Q 的轨迹方程是________________．三、解答题11．(2015·抚州模拟)在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2·＝·(O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．12．(2014·广东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案1．选B ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，∴e ＝2或e ＝12.mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有4－m 2＝12，∴m ＝3；当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m＝12，∴m ＝163；当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2－m ＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12.∴满足条件的圆锥曲线有3个．2．选D 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.3．选B 设P (x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0，又D 2＋E 2－4F ＝16＞0，所以动点P 的轨迹是圆．4．选D ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆．∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.5．选A 设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由＝2，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由·＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．6．选D 当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，∴y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，∴y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D.7．解析：直线xa ＋y2－a＝1与x ，y 轴的交点为A (a,0)，B (0，2－a )，设AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0且a ≠2，∴x ≠0且x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0且x ≠1) 8．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2， |CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．答案：x 29－y 216＝1(x ＞3)9．解析：设C (x ，y )，则＝(x ，y )，＋t (－)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －210．解析：作P 关于O 的对称点M ，连结F 1M ，F 2M ，则四边形F 1PF 2M 为平行四边形，所以 ＋＝＝2＝－2，又＝＋，所以＝－12，设Q (x ，y )，则＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.答案：x 24a 2＋y 24b2＝111．解：＝(x,1)，＝(x ，－2)， ＝(x ＋2，y )，＝(x －2，y )． ∵λ2·＝·，∴(x 2－2)λ2＝x 2－2＋y 2， 整理得(1－λ2)x 2＋y 2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y ＝0，轨迹为一条直线； ②当λ＝0时，方程为x 2＋y 2＝2，轨迹为圆； ③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为x 22＋y 2－λ2＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为x 22－y 2λ2－＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．12．解：(1)依题意得，c ＝5，e ＝c a ＝53， 因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0，则由⎝ ⎛y ＝k x －x 0＋y 0，x 29＋y 24＝1得x 29＋[k x －x 0＋y 0]24＝1，即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0，Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2，经检验知均满足x20＋y20＝13.因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2＋y2＝13.。

课时跟踪检测（五十） 曲线与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是______________．解析：由(x ＋y －1)x －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.所以方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.答案：射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝12．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB ―→⊥BC ―→，则动点C 的轨迹方程为________．解析：由题意得AB ―→＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC ―→＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，由AB ―→⊥BC ―→，得AB ―→·BC ―→＝0，即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y2＝0，所以动点C 的轨迹方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x3．(2018·江苏太湖高级中学检测)若动点P (x ，y )满足条件|(x ＋4)2＋y 2－(x －4)2＋y 2|＝6，则点P 的轨迹是________．解析：|(x ＋4)2＋y 2－(x －4)2＋y 2|＝6表示点P 到(4,0)，(－4,0)两点的距离的差的绝对值为6，根据定义得点P 轨迹是双曲线．答案：双曲线4．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且PA ＝1，则P 点的轨迹方程为________．解析：如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连结MA ，PM ，则MA ⊥PA ，且MA ＝1，又因为PA ＝1，所以PM ＝MA 2＋PA 2＝2， 即PM 2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(x －1)2＋y 2＝25．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )，满足PA ―→·PB ―→＝x 2－6，则动点P 的轨迹方程是________．解析：因为动点P (x ，y )满足PA ―→·PB ―→＝x 2－6， 所以(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2－6，即y 2＝x ， 所以动点P 的轨迹方程是y 2＝x . 答案：y 2＝x6．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，动点P (x ，y )满足OA ―→＋OB ―→＝2OP ―→，则点P 的轨迹方程为________．解析：设B (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x 0＝2x ，y 0＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ，代入圆方程得(2x －4)2＋4y 2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1. 答案：(x －2)2＋y 2＝1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·盐城一模)设点Q (2,0)，圆C ：x 2＋y 2＝1，若动点M 到圆C 的切线长与M Q 长的比等于2，则动点M 的轨迹方程是________．解析：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 满足MN ＝2M Q ，∵圆的半径ON ＝1，∴MN 2＝MO 2－ON 2＝MO 2－1. 设点M 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2－1＝2(x －2)2＋y 2，化简得3x 2＋3y 2－16x ＋17＝0.答案：3x 2＋3y 2－16x ＋17＝02．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动，AC ―→＝2CB ―→，则点C 的轨迹方程为________________．解析：设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9， ① 又AC ―→＝2CB ―→，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②代入①式整理可得x 2＋y 24＝1.答案：x 2＋y 24＝13．已知A (－1,0)，B (1,0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MN ―→2＝λAN ―→·NB ―→，当λ＜0时，动点M 的轨迹为________．解析：设M (x ，y )，则N (x,0)，所以MN ―→2＝y 2，λAN ―→·NB ―→＝λ(x ＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x 2)，所以y 2＝λ(1－x 2)，即λx 2＋y 2＝λ，变形为x 2＋y 2λ＝1.又因为λ＜0，所以动点M 的轨迹为双曲线．答案：双曲线4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段A Q 的垂直平分线与C Q 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为________．解析：因为M 为A Q 垂直平分线上一点， 则AM ＝M Q ，所以MC ＋MA ＝MC ＋M Q ＝C Q ＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， 所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1.答案：4x 225＋4y 221＝15．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是________．解析：设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0. 由BP ―→＝2PA ―→，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )， 即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.即AB ―→＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ， 点Q (－x ，y )，故由O Q ―→·AB ―→＝1，得(－x ，y )·⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ＝1， 即32x 2＋3y 2＝1. 故所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)6.(2019·扬州一模)如图，已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，线段Q N 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为________．解析：因为点F 2关于∠F 1PF 2的外角平分线P Q 的对称点Q ′在直线F 1P 的延长线上， 故F 1Q ′＝PF 1＋PF 2＝2a ＝4，又O Q 是△F 2F 1Q ′的中位线，所以O Q ＝12F 1Q ′＝2，设M (x ，y )，则Q (2x ，y )， 所以有4x 2＋y 2＝4.故点M 的轨迹方程为y 24＋x 2＝1.答案：y 24＋x 2＝17．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 和点M (－2,0)，N (2,0)满足|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________．解析：因为|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0， 所以4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0， 化简变形，得y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x8．(2019·通州一模)已知⊙C ：(x ＋1)2＋y 2＝36及点A (1,0)，点P 为圆上任意一点，AP 的垂直平分线交CP 于点M ，则点M 的轨迹方程为________．解析：由圆的方程可知，圆心C (－1,0)，半径等于6，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵AP 的垂直平分线交CP 于M ，∴MA ＝MP ，又MP ＋MC ＝6，∴MC ＋MA ＝6＞AC ＝2，∴点M 满足椭圆的定义，且2a ＝6,2c ＝2，∴a ＝3，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝8，∴点M 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1.答案：x 29＋y 28＝19．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP ―→＝22PB ―→，求点P 的轨迹方程．解：设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，由已知知AP ―→＝22PB ―→，又AP ―→＝(x －x 0，y )，PB ―→＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为AB ＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.即点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.10．已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PB Q 的角平分线，证明：直线l 过定点．解：(1)如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意O 1A ＝O 1M ，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ， 则H 是MN 的中点． 所以O 1M ＝x 2＋42， 又O 1A ＝(x －4)2＋y 2，所以(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， 所以动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x ，得k 2x 2＋(2kb －8)x ＋b 2＝0. 则Δ＝－32kb ＋64＞0. 且x 1＋x 2＝8－2kbk 2， ① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2kb )＋2k 2b ＝0，所以k ＝－b ，此时Δ＞0，所以直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M (1，－3)，N (5,1)，若点C 的坐标满足OC ―→＝tOM ―→＋(1－t )ON ―→(t ∈R )，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)在x 轴上是否存在一点P (m,0)，使得过点P 任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由OC ―→＝tOM ―→＋(1－t )ON ―→(t ∈R )，可知点C 的轨迹是M ，N 两点所在的直线，所以点C 的轨迹方程为y ＋3＝1－(－3)5－1(x －1)，即y ＝x －4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，化简得x 2－12x ＋16＝0,设C 的轨迹方程与抛物线y 2＝4x 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝－16， 因为OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝16－16＝0, 所以OA ⊥OB .(2)假设存在这样的P 点，并设AB 是过抛物线的弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其方程为x ＝ny ＋m ，代入y 2＝4x 得y 2－4ny －4m ＝0, 此时y 1＋y 2＝4n ，y 1y 2＝－4m ，所以k OA k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 214·y 2y 224＝16y 1y 2＝－4m ＝－1，所以m ＝4(定值)，故存在这样的点P (4,0)满足题意． 设AB 的中点为T (x ，y )，则y ＝12(y 1＋y 2)＝2n ，x ＝12(x 1＋x 2)＝12(ny 1＋4＋ny 2＋4)＝n 2(y 1＋y 2)＋4＝2n 2＋4，消去n得y 2＝2x －8.。