课时跟踪检测(三十八) 基本不等式 (1)

2.2.1等式性质与不等式性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1. 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系；2. 灵活掌握作差法比较两实数的大小, 提高数学运算能力；3. 通过具体情景, 构建不等式，初步了解数学建模的思想.二、教学重难点1. 将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2. 在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小.三、教学过程1.用不等式（组）表示不等关系1.1创设情境，引发思考【实际情境】中国“神舟七号”宇宙飞船飞天取得了圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v)不小于第一宇宙速度(记作v2),且小于第二宇宙速度(记作v1).问题1：你能用不等式和不等式组表示下面的不等关系吗？（1）某路段限速40km/h;（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％,蛋白质的含量p应不少于2.3％；（3）三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.【预设的答案】0 ＜v ≤40;{f≥ 2.5p≥ 2.3%;设△ABC的三条边为a，b，c，则a + b ＞c ，a – b＜c ;设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CD＜CE.【设计意图】不等式和不等式组不是凭空产生的，用这些生活实例所蕴含的不等关系抽象出不等式，让学生感受“不等式和不等式组”来简化表达.问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调査，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?【活动预设】（1）第一步：审题找出题中数量关系；（2）第二步：根据数量关系构建不等式或者不等式（组）.【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数x的存在性，唯一性和大致范围，为了表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.问题3：如何比较两个实数的大小关系？你能比较(x+2)(x+3)与(x+1)(x+4)的大小关系吗？【活动预设】（1）化简题设中的代数式，观察结构，利用作差法比大小；（2）总结：实数大小的基本事实.教师讲授：如果a-b是正数，那么a＞b; 如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是负数，那么a＜b.反过来也对.比较大小常用方法: 作差比较法由于(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=2>0，所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).【设计意图】在探究实数大小的基本事实的基础上，总结比较大小的常用方法“作差比大小”.1.2探究典例，理性分析典例1：用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．[变条件]本例中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？[变条件]本例中，若要求x∈N，则x可以取哪些值?【活动预设】感受在列不等式的过程中，变量的范围的重要性及不可缺少性.【设计意图】为加强不等式或不等式(组)中变量范围的限制.典例2：已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[变条件]将本例中“x＞1”改为“x∈R”，比较x3－1与2x2－2x的大小？【活动预设】感受利用作差法比大小的过程中，变量的范围的重要性.【设计意图】为给学生贯彻分类讨论的数学思想.教师讲授：比较两个实数(代数式)大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.1.3具体感知，加强练习活动：观察2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标.注:实际上这个图称为“弦图”,三国时期吴国的数学家赵爽,用来证明勾股定理.【活动要求】第一组每一排学生讨论在这个图案中含有怎样的几何图形；第二组相应排学生找出图案中的相等关系；第三组相应排学生找出图案中的不等关系.【活动预设】得出当a>0,b>0时，a2+b2≥2ab，引导学生思考“当a,b为任意实数时，上式仍成立”的合理性.【设计意图】在实践活动中进行认识, 在得出不等关系后，遵循从特殊到一般的思路，从外延的角度加深概念的理解，为基本不等式作铺.2.初步应用，理解概念例1 比较大小：(x−1)(x−2)与(x−2)的大小关系；【预设的答案】(x−1)(x−2)≥(x−2)【设计意图】进行简单的比较大小运算，熟悉作差法.例2 已知a>0,b>0,试比较√b +√a与√a+√b的大小；【预设的答案】√b +√a≥√a+√b【设计意图】（1）利用作差法概念以及变形方法,加深对作差法比大小的理解；（2）从这个例题中归纳概括出变形的方法：有理化.例3 已知a=√7−√6,b=√6−√5,则下列关系正确的是（）A. a>bB. a≤bC. a≥bD. a<b 【预设的答案】D【设计意图】在解题中加深对作差法中对差进行变形的灵活运用.例4 已知a>b , 证明：a>a+b2>b【预设的答案】∵a−a+b2=a−b2,a−b>0∴a−a−b2>0 即a>a+b2∵a+b2−b=a−b2,a−b>0∴a−b2−b>0 即a+b2>b综上，a>a+b2>b【设计意图】让学生掌握证明不等式的方法及书写格式3.归纳小结实际问题⇒不等关系⇒不等式⇒不等式性质数学抽象两个实数大小关系的基本事实(作差法)思考：对于Nalog，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？【设计意图】（1）梳理本节课对于对数的认知；（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 .四、课外作业高中教科书数学必修第一册第39页至第40页课后练习。

2.2.1基本不等式（第1课时）1．下列结论正确的是( )．A ．当x R ∈时，12x x +≥ B ．当0x >2≥C ．当2x ≥时，1x x +的最小值为2D ．当02x <≤时，1x x -无最大值3．设0,1a b a b <<+=则221,,2,2b ab a b +中最大的是（ ）．A.B. C. D. 4．若63a -≤≤( )．A ．9 B.92C ．3D.25．设0x >，则133y x x=--的最大值是( )． A ．3 B．3- C．3- D ．1- 6．给出下列三个结论，其中正确的有 （填序号）．（1）∵,a b R +∈，∴a bb a+的最小值为2； （2）∵a R ∈，0a ≠，∴4a a+的最小值为4； （3）∵,a b R +∈，14a a ++的最小值为． 7．给出下列不等式：①12x x+≥； ②12x x +≥； ③222x y xy +≥； ④222x y xy +>；⑤2x y+≥. 其中正确的是________(写出序号即可)．8．若0, 0a >b >，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的_____条件． 9．已知4(0,0)ay x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a ＝________．10．已知0x ≠，当x 取什么值时，函数2281y x x=+的值最小？最小值是多少？11．某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？12b 2ab 22a b +2-作业解析1.解析：B A 中，当x R ∈时，x 的正负不确定，∴12x x +≥或12x x+≤-；C 中，当x≥2时，min 152x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭； D 中，当0<x≤2时，1y x x =-在(0,2]上递增，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选B. 2.解析：B a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴a ＝1时，等号成立． 2．不等式212a a +≥中等号成立的条件是( )．A ．1a =±B ．1a =C ．1a =-D ．0a =3.解析：A 由能推出；反之则不然，因为平方不等式的条件是.4.解析：B 因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，(3)(6)922a a -++≤=即(－6≤a ≤3)的最大值为92. 5.解析：C11333(3)33y x x x x =--=-+≤--当且仅当13x x =，即x时取等号．6.解析：（1）； （1）∵,a b R +∈，∴,b aR a b+∈，符合基本不等式的条件，∴2a b b a +≥=（当且仅当时取等号）.（2）由,a R ∈不符合基本不等式的条件，∴44a a +≥=是错误的．（3）∵，∴，（当且仅当即时取等号）∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即． 7.解析：② 当x >0时，1x x +≥2；当x <0时，1x x +≤－2，①不正确；因为x 与1x同号，所以11=2x x x x++≥， 0a b >>222a b ab +<,a b R ∈a b =0a>11444244a a a a +=++-≥=-++144a a +=+413a a +==-，0a >3a =-124a a +>-+②正确；当x ，y 异号时，③不正确；当x ＝y 时，222x y +＝xy ，④不正确；当x ＝1，y ＝－1时，⑤不正确．8.解析：充分不必要 当0, 0a >b >时，由基本不等式，可得a b +≥，当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性是成立的；例如：当1,4a b ==时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件．9.解析：3640,0)a y x x a x =+≥=>>，当且仅当4ax x=，即x时等号成立，此时y 取得最小值又由已知x ＝3时，y 的最小值为＝3，即a ＝36. 10.解析：∵，∴，∴228118y x x =+≥=（当且仅当即时，取等号） 故当时，的值最小为18. 11.解析：设购买x 张游泳卡，活动开支为y 元， 则488402403840.y x x⨯=⋅+≥（当且仅当x=8时取“=”） 此时每人最少交80元．所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的充分条件； “120x x +>且120x x >”⇒“1>0x 且20x >”，所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的必要条件． 所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的充要条件．（2）根据不等式性质可得“12x >且22x >”⇒“124x x +>且124x x >”， 所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的充分条件；例如：121,5,x x ==满足“124x x +>且124x x >”，但是不满足“12x >且22x >”． “124x x +>且124x x >”不能推出“12x >且22x >”．所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的非必要条件． 所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的充分非必要条件． 故答案为：充要；充分非必要．0x ≠20x >2281x x =3x =±3x =±2281x x+。

课时跟踪检测(三十八) 基本不等式一抓基础，多练小题做到眼疾手快．已知，∈＋，且＋＝，则的最大值为( )．．．．解析：选∵，∈＋，∴＝＋≥，∴≤，当且仅当＝＝时等号成立．．设非零实数，，则“＋≥”是“＋≥”成立的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．既不充分也不必要条件．充要条件解析：选因为，∈时，都有＋－＝(－)≥，即＋≥，而＋≥⇔>，所以“＋≥”是“＋≥”的必要不充分条件．．已知＋＝(＞，＞)，为常数，且的最大值为，则＝( )．．．．解析：选因为>，>时，有≤＝，当且仅当＝＝时取等号．因为的最大值为，所以＝，＝，所以＝＝.．(·鄂州一模)已知>，则的最大值为．解析：因为＝，又＞时，＋≥＝，当且仅当＝，即＝时取等号，所以<≤，即的最大值为.答案：．已知，∈，且＝，则＋的最小值是．解析：依题意得，同号，于是有＋＝＋≥＝＝＝，当且仅当＝＝时取等号，因此＋的最小值是.答案：二保高考，全练题型做到高考达标．下列函数中，最小值为的是( )．＝＋．＝＋)(<<π)．＝＋－．＝＋解析：选∵＝＋中可取负值，∴其最小值不可能为；由于<<π，∴< ≤，∴＝＋)> ·( ))＝，其最小值大于；由于>，∴＝＋－≥＝，当且仅当＝时取等号，∴其最小值为；∵≥，∴＝＋≥，当且仅当＝±时取等号，∴其最小值为.．已知>，>，，的等比中项是，且＝＋，＝＋，则＋的最小值是( )．．．．解析：选由题意知：＝，∴＝＋＝，＝＋＝，∴＋＝(＋)≥＝.当且仅当＝＝时取等号．．(·湖南高考)若实数，满足＋＝，则的最小值为( )．．．．解析：选由＋＝，知＞，＞，所以＝＋≥，即≥，当且仅当(\\(()＝()，,()＋()＝()，))即＝，＝时取“＝”，所以的最小值为.．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为元．若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．件．件．件．件解析：选每批生产件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则＋≥＝，当且仅当＝，即＝时“＝”成立，∴每批生产产品件．．(·重庆巴蜀中学模拟)若正数，满足＋＝，则＋的最小值是( )．．．．解析：选＋＝＝≥(＋)＝，当且仅当＝，即＝，＝时取等号，故选.．(·广州一模)已知实数，满足＋－＝，则＋的最大值为．解析：因为＋－＝，所以＋＝＋.所以(＋)＝＋≤＋×，即(＋)≤，解得－≤＋≤.当且仅当＝＝时等号成立．所以＋的最大值为.答案：。

课时跟踪检测(三十八) 归纳推理与类比推理第Ⅰ组：全员必做题1．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1252．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝a b”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18 B.19 C.164 D.1274．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πab D ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N ＋，(n ＋1)2＞2n5．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．8936．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．7．若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．8.(2013·湖北高考)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…… 请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．10．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．第Ⅱ组：重点选做题1．观察下列算式：13＝1，23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，……若某数m 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝________.2．(2014·东北三校联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝(－1)n ·2a n －2(n ≥3，n ∈N ＋)，其前n 项和为S n .(1)a 2n ＋1关于n 的表达式为________；(2)观察S 1，S 2，S 3，S 4，…S n ，在数列{S n }的前100项中相等的项有________对．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58＝390 625，59＝1 953 125,510＝9 765 625，…∴5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 011)＝f (501×4＋7)＝f (7)．∴52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.2．选B ①②正确，③④⑤⑥错误．3．选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. 4．选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确． 5．选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.6．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 247．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝(b 1q p －1)m －n ·(b 1q m －1)n －p ·(b 1q n －1)p －m ＝b 01·q 0＝1. 答案：b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝18．解析：(1)由定义知，四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，S 四边形DEFG ＝3.(2)由待定系数法可得，⎩⎪⎨⎪⎧ 12＝a ·0＋b ·3＋c ，1＝a ·0＋b ·4＋c ，3＝a ·1＋b ·6＋c ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12，c ＝－1，当N ＝71，L ＝18时，S ＝1×71＋12×18－1＝79. 答案：(1)3,1,6 (2)799．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V ＝13×底面积×高； (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14. 10．解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋ 34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：某数m 3按上述规律展开后，等式右边为m 个连续奇数的和，观察可知每行的最后一个数为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2，19＝42＋3，…，所以第m 行的最后一个数为m 2＋(m －1)．因为当m ＝44时，m 2＋(m －1)＝1 979，当m ＝45时，m 2＋(m －1)＝2 069，所以要使等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝45.答案：452．解析：(1)a 3a 1＝a 5a 3＝…＝a 2n ＋1a 2n －1＝－2， 又a 1＝1，从而a 2n ＋1＝(－2)n .(2)由(1)及条件知，数列{a n }为1,2，－2,22，(－2)2,23，(－2)3,24，…，从而可知S 1＝S 3，S 5＝S 7，S 9＝S 11，…，故在{S n }的前100项中相等的项有25对．答案：(1)a 2n ＋1＝(－2)n (2)25。

2.2 基本不等式 课时1 基本不等式1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( × ) (2)若a ≠0，则a ＋1a ≥2a ·1a＝2.( × ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.( √ )(4)当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2xx －1，所以函数y 的最小值是2xx －1.( × )题型1 基本不等式的理解2．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( B ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0解析：当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，等号成立． 3．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2解析：对于A 项，当a ＝b 时，应有a 2＋b 2＝2ab ，所以A 项错；对于B ，C ，条件ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D 项，因为ab >0，所以b a ，ab >0，所以b a ＋a b≥2b a ·a b＝2. 4．当a ，b ∈R 时，下列不等式关系成立的是__③__. ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab . 解析：根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断知，①②④错，只有③正确．题型2 直接应用基本不等式求最值5．已知ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为( B ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2.6．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4abC ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：若a <0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错误；若a ＝1，b ＝1，则a 2＋b 2<4ab ，故B错误；若a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错误；由基本不等式可知D 正确．7．若a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab 的最大值为 258. 解析：方法一：因为a >0，b >0，a ＋2b ＝5， 所以5＝a ＋2b ≥22ab ，25≥8ab ，所以ab ≤258，当且仅当a ＝2b ，即a ＝52，b ＝54时，等号成立．方法二：因为a >0，b >0，a ＋2b ＝5， 所以ab ＝12a ×2b ≤12×⎝⎛⎭⎫a ＋2b 22＝258，当且仅当a ＝2b ，即a ＝52，b ＝54时，等号成立．题型3 利用基本不等式进行证明8．已知a ，b ，c 都是正整数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc ≥3.证明：左边＝b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋bc－1＝⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c －3. 因为a ，b ，c 为正数，所以b a ＋a b ≥2(当且仅当a ＝b 时取等号)；c a ＋ac ≥2(当且仅当a ＝c时取等号)；c b ＋bc≥2(当且仅当b ＝c 时取等号)．从而⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥6(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c －3≥3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3. 9．已知x ，y 都是正数，求证：(x ＋y )(x 2＋y 2)·(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 证明：∵x ，y 都是正数， ∴x 2>0，y 2>0，x 3>0，y 3>0，∴x ＋y ≥2xy >0，x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3，即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立．易错点 忽视等号成立的一致性10．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8y xy的最小值为__9__.解析：因为x ，y 为正数，且x ＋2y ＝2，所以x ＋8y xy ＝⎝⎛⎭⎫1y ＋8x ·⎝⎛⎭⎫x 2＋y ＝x 2y ＋8yx ＋5≥2x 2y ·8y x＋5＝9，当且仅当x ＝4y ＝43时，等号成立，所以x ＋8y xy的最小值为9.[误区警示] 连续运用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当地拆分或合并，直到取等号的条件成立．(限时30分钟)一、选择题1．设a >0，b >0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为( B )A ．8B ．4C ．1D ．14解析：若a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14.所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.2．设a >0，b >0，且a ＋b ≤4，则有( B ) A ．1ab ≥12B ．1a ＋1b ≥1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤14解析：因为4≥a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤2，所以1ab ≥12，所以1a ＋1b ≥2ab≥1.故选B.3．设p ＝ab ，q ＝a ＋b2，r ＝a 2＋b 22(b >a >0)，则下列关系式正确的是( A ) A ．r >q >pB ．q >p >rC ．q >r >pD ．r ＝q >p解析：∵b >a >0，∴a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2， ∴a 2＋b 22>(a ＋b )24，∴a 2＋b 22>a ＋b2. 又a ＋b 2>ab ，∴a 2＋b 22>a ＋b 2>ab ，即r >q >p . 4．(多选题)下列各式中，最小值是2的是( AC ) A ．(a －1)＋1a －1(a >1)B ．y ＝x 2＋2＋1x 2＋2C ．y ＝x 2＋1x 2D ．y ＝x 2＋2x解析：对于A ，∵a >1，∴(a －1)＋1a －1≥2(a －1)·1a －1＝2，当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时等号成立，故A 正确；对于B ，y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2x 2＋2·1x 2＋2＝2，由于x 2＋2＝1x 2＋2无解，所以最小值不是2，故B 错误；对于C ，y ＝x2＋1x 2≥2x 2·1x2＝2，当且仅当x 2＝1x 2，即x ＝±1时等号成立，故C 正确；对于D ，当x <0时，y ＝x 2＋2x <0，故最小值不是2，故D 错误．故选AC.5．(多选题)设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( BD ) A ．ab >1 B ．ab <1 C ．a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22>1解析：因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ≠b ，所以ab <1，又1＝(a ＋b )24＝a 2＋b 2＋2ab 4<a 2＋b 22，所以a 2＋b 22>1.所以ab <1<a 2＋b 22. 6．已知0<x <1，则x (3－3x )取最大值时x 的值为( A ) A ．12B ．34C ．23D ．25解析：因为0<x <1，所以1－x >0，则x (3－3x )＝3[x (1－x )]≤3×⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．7．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( B ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：因为x >0，y >0，且x ＋y ＝8， 所以(1＋x )(1＋y )＝1＋x ＋y ＋xy ＝9＋xy ≤9＋⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝9＋42＝25，当且仅当x ＝y ＝4时“＝”成立，故(1＋x )(1＋y )的最大值为25.二、填空题8．已知x ，y 都是正数．(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是 215 ； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是2254. 解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215，当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1522＝2254，即xy 的最大值是2254，当且仅当x ＝y ＝152时取最大值．9．已知当x ＝3时，代数式4x ＋ax (x >0，a >0)取得最小值，则a ＝__36__.解析：4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，所以a2＝3，即a ＝36. 10．已知x >0，y >0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为__3__，取得最大值时y 的值为__2__.解析：因为x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，所以xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号．三、解答题11．(1)x >0时，求x ＋9x ＋2的最小值；(2)0<x <52时，求2x (5－2x )的最大值．解：(1)因为x >0，所以x ＋9x＋2≥2x ·9x＋2＝8， 当且仅当x ＝9x，即x ＝3时等号成立．所以x ＋9x ＋2的最小值是8.(2)因为0<x <52，所以5－2x >0，所以2x (5－2x )≤⎝⎛⎭⎫2x ＋5－2x 22＝254，当且仅当2x ＝5－2x ，即x ＝54时等号成立，所以2x (5－2x )的最大值为254.12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明：(1)因为a ＋b ＝1，a >0，b >0， 所以1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b . 又1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4，所以1a ＋1b ＋1ab≥8⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. (2)因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋ab ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.。

高考物理复习课时跟踪检测(三十八) 变压器电能的传输高考常考题型：选择题＋计算题1．(2013·洛阳联考)如图1所示，理想变压器的原副线圈匝数比为1∶5，原线圈两端的交变电压为u＝202sin 100πt V，氖泡在两端电压达到100 V时开始发光，下列说法中正确的有( )图1A．开关接通后，氖泡的发光频率为50 HzB．开关接通后，电压表的示数为100 VC．开关断开后，电压表的示数变大D．开关断开后，变压器的输出功率不变2．为保证用户电压稳定在220 V，变电所需适时进行调压，图2甲为调压变压器示意图。

保持输入电压u1不变，当滑动接头P上下移动时可改变输出电压。

某次检测得到用户电压u2 随时间t变化的曲线如图乙所示。

以下正确的是( )图2A．u2＝190 2 sin (50πt) VB．u2＝190 2 sin(100πt) VC．为使用户电压稳定在220 V，应将P适当下移D．为使用户电压稳定在220 V，应将P适当上移3.如图3所示，一理想自耦变压器的原线圈接有正弦交变电压，其最大值保持不变，副线圈接有可调电阻R，触头P与线圈始终接触良好，下列判断正确的是( )A．若通过电路中A、C两处的电流分别为IA、IC，则IA>ICB．若仅将触头P向A端滑动，则电阻R消耗的电功率增大C．若仅使电阻R增大，则原线圈的输入电功率增大图3D．若在使电阻R增大的同时，将触头P向A端滑动，则通过A处的电流增大4．(2012·宿州一模)如图4所示为含有理想变压器的电路，图中的三个灯泡L1、L2、L3都标有“5 V 5 W”字样，L4标有“5 V10 W”字样，若它们都能正常发光，不考虑导线的能耗，则该电路的输入功率Pab和输入电压为Uab应为( )图4A．20 W,25 V B．20 W,20 VC．25 W,25 V D．25 W,20 V5．某小型水电站的电能输送示意图如图5所示。

课时跟踪检测（三十八）微生物的培养与应用一、对点练小题，落实主干知识1．做“微生物的分离与培养”实验时，下列叙述正确的是()A．高压灭菌加热结束时，打开放气阀使压力表指针回到零后，开启锅盖B．倒平板时，应将打开的皿盖放到一边，以免培养基溅到皿盖上C．为了防止污染，接种环经火焰灭菌后应趁热快速挑取菌落D．用记号笔标记培养皿中菌落时，应标记在皿底上解析：选D在高压灭菌的操作过程中，加热结束后应让灭菌锅内温度自然下降，待压力表的指针指到零时，打开放气阀，旋松螺栓，打开盖子。

倒平板时，用左手将培养皿打开一条稍大于瓶口的缝隙，而不是完全取下放到一边。

接种环经火焰灼烧灭菌后应在火焰旁冷却后，再用其挑取菌落。

在微生物的培养中，一般将培养皿倒置，在皿底上用记号笔做标记。

2．有关微生物的培养与应用，下列说法正确的是()A．通常使用液体培养基分离获得细菌单菌落B．大肠杆菌的纯化培养过程包括培养基的配制和纯化大肠杆菌两个阶段C．接种前需对培养基、培养皿、接种环、实验操作者的双手等进行严格灭菌处理D．某一稀释度的3个平板的菌落数依次为M1、M2、M3，以M2作为该样品菌落估计值解析：选B通常使用固体培养基分离获得细菌单菌落，A错误；大肠杆菌的纯化培养过程包括培养基的配制和纯化大肠杆菌两个阶段，B正确；培养基、培养皿、接种环都需要使用恰当方式进行灭菌处理，而实验操作者的双手只能进行消毒而不能进行灭菌处理，C错误；某一稀释度的3个平板的菌落数依次为M1、M2、M3，为了保证结果准确，一般选择菌落数在30～300的平板进行计数，以它们的平均值作为该样品菌落数的估计值，D错误。

3．(2021年1月新高考8省联考·江苏卷)平板涂布是分离菌种常用的方法，下列相关叙述不恰当的是()A．固体培养基灭菌后，应冷却至50 ℃左右时倒平板B．倒好的平板需立即使用，以免表面干燥，影响菌的生长C．平板涂布分离到的单菌落需进一步划线纯化D．平板涂布法既可用于微生物的分离，也可用于微生物的计数解析：选B固体培养基灭菌后，应冷却至50 ℃左右时倒平板，温度过低易导致污染，温度过高无法操作，A正确；倒好的平板需要冷却后使用，且不宜久存，以免表面干燥，影响接种后微生物的生长，B错误；平板涂布分离到的单菌落仍需进一步划线纯化，以利于菌种保藏，C正确；平板涂布法既可用于微生物的分离，也可用于微生物的计数，D正确。

人教a 版 基本不等式、求最大(小)值及其应用拿捏基础1.下列说法正确的是( )A.a 2+b 2≥2ab 成立的前提条件是a ≥0,b ≥0B.a 2+b 2>2ab 成立的前提条件是a,b ∈RC.a+b ≥2√ab 成立的前提条件是a ≥0,b ≥0D.a+b>2√ab 成立的前提条件是ab>0 2.已知a,b 为正实数,则“ab a+b≤2”是“ab ≤16”的( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.不等式a 2+4a 2≥4中,等号成立的条件是( ) A.a=2 B.a=±2 C.a=√2 D.a=±√24.(多选)若a,b ∈R ,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A.a 2+b 2≥2ab B.a+b ≥2√ab C.1a +1b >√abD.b a +ab ≥25.(2023郑州期中)已知a>1,则a+9a−1的最小值为( ) A.5 B.6C.7D.106.已知a>b>0,则a 2+16b(a -b)的最小值为( ) A.8 B.8√2 C.16 D.16√27.(2023连云港期中)若x<23,则y=3x+1+93x−2有( ) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-38.(2024广东期末)已知a 2+b 2=ab+4,则a+b 的最大值为( ) A.2 B.4 C.8 D.2√2 9.(2023大庆中学期末)若-4<x<1,则x 2-2x+22x−2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-110.(多选题)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式2x +my ≥4恒成立,则m 的值可以是( )A.1B.√2C.2D.2√211.某服装加工厂为了适应市场需求,引进某种新设备,以提高生产效率和降低生产成本,已知购买m 台设备的总成本为y=1200m 2+m+200(单位:万元).若要使每台设备的平均成本最低,则应购买设备( ) A.100台B.200台C.300台D.400台12.(2023山东青岛月考)(1)已知x<54,求4x-2+14x -5的最大值; (2)设x>-1,求(x+5)(x+2)x+1的最小值.13.(2024四川雅安期末)已知正实数a,b,c 满足a 2+b 2+c 2=3. (1)若a=1,证明:1b 2+1c 2≥2;(2)求ab+bc+ca的最大值.14.(2024广州期末)某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益,拟在下一年度开展促销活动,已知该款食品年销量x吨与年促销费用t万元之间满足函数关系式x=2-k(k为常数),如果不开展促销活动,年销量是1吨.已知每一年生产设备t+2折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1吨该款食品需再投入32万元的生产费用,通过市场分析,若将每吨食品的售价定为“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费用的一半”之和,则当年生产的该款食品正好能销售完.(1)求k的值;(2)将下一年的利润y(单位:万元)表示为促销费用t(单位:万元)的函数;(3)该食品企业下一年的促销费用为多少时,该款食品的年利润最大?注:利润=销售收入-生产成本-促销费用,生产成本=固定费用+生产费用.挑战高考(2022全国新高考Ⅱ)(多选)若x,y 满足x 2+y 2-xy=1,则( )A.x+y ≤1B.x+y ≥-2C.x 2+y 2≤2D.x 2+y 2≥1(2021天津高考)若a>0,b>0,则1a +ab2+b 的最小值为？（请写出解题必要步骤）。

课时作业38 基本不等式一、选择题1．下列不等式一定成立的是( C )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.故选C. 2．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( D ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：∵1＝2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立， ∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2. 3．已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t ＝( C ) A ．2 B ．4 C ．2 2D ．2 5解析：∵a >0，b >0，∴ab ≤a ＋b24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t2时取等号．∵ab 的最大值为2，∴t 24＝2，t 2＝8.又t ＝a ＋b >0，∴t ＝8＝2 2.4．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( D )A.12 B.43 C ．－1D ．0解析：f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值是0.5．已知x ，y 为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值是( C )A ．3 B.72 C ．4D.92解析：∵x ＋y ＋1x ＋1y＝5，∴(x ＋y )[5－(x ＋y )]＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝2＋y x ＋x y≥2＋2＝4，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，∴1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4，当且仅当x ＝y ＝2时取得．6．(2019·吉林长春外国语学校质检)已知x >0，y >0，且3x ＋2y ＝xy ，若2x ＋3y >t 2＋5t ＋1恒成立，则实数t 的取值范围是( B )A ．(－∞，－8)∪(3，＋∞)B ．(－8,3)C ．(－∞，－8)D ．(3，＋∞)解析：∵x >0，y >0，且3x ＋2y ＝xy ，可得3y ＋2x ＝1，∴2x ＋3y ＝(2x ＋3y )3y ＋2x ＝13＋6xy＋6yx≥13＋26x y ·6y x＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号．∵2x ＋3y >t 2＋5t ＋1恒成立，∴t 2＋5t ＋1<(2x ＋3y )min ，∴t 2＋5t ＋1<25，解得－8<t <3.7．若对于任意的x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( A )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15解析：由x >0，xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，令t ＝x ＋1x ，则t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，t 取得最小值2.x x 2＋3x ＋1取得最大值15，所以对于任意的x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a ≥15.二、填空题8．已知a >0，则a －a －a 的最小值为－1.解析：a －a －a＝4a 2－a －4a ＋1a ＝4a －5＋1a.∵a >0，∴4a －5＋1a≥24a ·1a －5＝－1，当且仅当4a ＝1a ，即a ＝12时取等号，∴a －a －a的最小值为－1.9．若x >0，y >0，x ＋4y ＋2xy ＝7，则x ＋2y 的最小值是3. 解析：因为x >0，y >0，x ＋4y ＋2xy ＝7，则2y ＝7－xx ＋2.则x ＋2y ＝x ＋7－x x ＋2＝x ＋2＋9x ＋2－3≥2x ＋9x ＋2－3＝3，当且仅当x ＝1时取等号．因此其最小值是3. 10．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值是8万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．三、解答题11．(2019·河北唐山模拟)已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y的最小值．(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解：(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xyxy＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下： 因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )． 又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2. 从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋＋y ＋22≤4， 因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.12．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值． 解：(1)由题设， 得S ＝(x －8)⎝⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x ≥22x ·7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.13．(2019·海淀质监)当0<m <12时，若1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围为( D )A ．[－2,0)∪(0,4]B ．[－4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]解析：因为0<m <12，所以12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋－2m 22＝18，当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m－2m ≥8，又1m ＋21－2m≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.14．(2019·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2 017＝4 034，则1a 9＋9a 2 009的最小值为4.解析：由等差数列的前n 项和公式， 得S 2 017＝a 1＋a 2 0172＝4 034，则a 1＋a 2 017＝4.由等差数列的性质得a 9＋a 2 009＝4， 所以1a 9＋9a 2 009＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 9＋9×4a 2 009＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 9＋a 2 009a 9＋a 9＋a 2 009a 2 009＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2 009a 9＋9a 9a 2 009＋10 ≥14⎝⎛⎭⎪⎫2a 2 009a 9×9a 9a 2 009＋10＝4， 当且仅当a 2 009＝3a 9时等号成立．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝13ax 3－2x 2＋cx 在R 上单调递增，且ac ≤4，则a c 2＋4＋ca 2＋4的最小值为( B )A ．0B ．12 C ．14D ．1解析：因为函数f (x )＝13ax 3－2x 2＋cx 在R 上单调递增，所以f ′(x )＝ax 2－4x ＋c ≥0在R 上恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4ac ≤0，所以ac ≥4，又ac ≤4，所以ac ＝4，又a >0，所以c >0，则a c 2＋4＋c a 2＋4＝a c 2＋ac ＋ca 2＋ac ＝a cc ＋a ＋c a c ＋a ＝1c －1c ＋a ＋1a －1c ＋a ＝1a＋1c －2c ＋a≥21ac－22ac＝1－12＝12，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，故选B.16．(2019·天津模拟)已知x ，y 为正实数，则2x x ＋2y ＋x ＋y x 的最小值为52. 解析：∵x ，y 为正实数，则2x x ＋2y ＋x ＋yx＝2x x ＋2y ＋y x ＋1＝21＋2y x＋yx＋1， 令t ＝y x，则t >0， ∴2x x ＋2y ＋x ＋y x ＝21＋2t ＋t ＋1 ＝112＋t ＋t ＋12＋12≥2112＋t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋12＝52，当且仅当t ＝12时取等号．∴2x x ＋2y ＋x ＋y x 的最小值为52.。

课时跟踪检测(三十八) 基本不等式1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－42．(2013·太原模拟)设a 、b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．24．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b25．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32B.53C.256D ．不存在6．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－27．已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．8．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p ＞0)若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．9．(2012·朝阳区统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．10．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， (1)求函数y ＝x (a －2x )的最大值； (2)求y ＝1a －2x－x 的最小值． 11．正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？1．(2012·浙江联考)已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________．3．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．[答 题 栏]答 案课时跟踪检测(三十七)A 级1．选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－ ⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．2．选B 命题p ：(a －b )2≤0⇔a ＝b ；命题q ：(a －b )2≥0.显然，由p 可得q 成立，但由q 不能推出p 成立，故p 是q 的充分不必要条件．3．选A ∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．4．选A 设甲、乙两地的距离为s ，则从甲地到乙地所需时间为sa ，从乙地到甲地所需时间为s b ，又因为a <b ，所以全程的平均速度为v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab ，2ab a ＋b >2ab2b＝a ，即a <v <ab . 5．选A 设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2.由a m a n ＝4a 1，即2m ＋n －22＝4，得2m ＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32，当且仅当4m n ＝n m 时等号成立． 6．选C 由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.7．解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3.答案：38．解析：由题意得x －1＞0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.答案：949．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x ＞0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 810．解：(1)∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(a －2x )22＝a 28，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28. (2)y ＝1a －2x＋a －2x 2－a 2≥212－a 2＝2－a2. 当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a2.11．解：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9xy≥19＋2 2y x ·9xy＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 12．解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元， 建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)， 建筑第x 层楼房的建筑费用为72＋(x －1)×2＝2x ＋70(万元)， 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y ＝f (x )＝72x ＋x (x －1)2×2＋100＝x 2＋71x ＋100，综上可知y ＝f (x )＝x 2＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z)．(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝f (x )×10 0001 000x ＝10f (x )x＝10(x 2＋71x ＋100)x ＝10x ＋1 000x＋710≥210x ·1 000x＋710＝910.当且仅当10x ＝1 000x，即x ＝10时等号成立．综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．B 级1．选B 依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值是2；又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.2．解析：由已知条件可得y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝14⎝⎛⎭⎫x z ＋9z x ＋6 ≥14⎝⎛⎭⎫2 x z ×9z x ＋6＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2xz 取得最小值3.答案：33．解：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元， 则y 1＝[9x (x ＋1)＋900]x ＋1 800×6＝900x＋9x ＋10 809 ≥2900x·9x ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． (2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉． 设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35)． 令f (x )＝x ＋100x(x ≥35)，x 2＞x 1≥35，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋100x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋100x 2＝(x 2－x 1)(100－x 1x 2)x 1x 2.∵x 2＞x 1≥35，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0,100－x 1x 2＜0， 故f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)， 即f (x )＝x ＋100x ，当x ≥35时为增函数．则当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2＜10 989. 因此该厂应接受此优惠条件．。

学习资料基本不等式［A 组 学业达标]1．下列不等式正确的是（ ) A ．a ＋错误!≥2 B ．(－a )＋错误!≤－2 C ．a 2＋错误!≥2 D ．(－a ）2＋错误!2≤－2答案：C2．下列不等式中正确的是( ） A ．a ＋错误!≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.错误!≥错误!D ．x 2＋错误!≥2错误! 解析：a 〈0，则a ＋错误!≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则错误!〈错误!，故C 错;由基本不等式可知D 项正确． 答案：D3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.错误! B ．错误! C 。

错误!D.错误!解析:由x （3－3x )＝错误!×3x (3－3x ）≤错误!×错误!＝错误!，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝错误!时等号成立． 答案：B4．已知m ＝a ＋1a ＋1（a >0）,n ＝3x (x <1），则m ,n 之间的大小关系是（ )A ．m 〉nB ．m 〈nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：因为a 〉0，所以m ＝a ＋错误!＋1≥2错误!＋1＝3，当且仅当a ＝1时等号成立．又因为x <1，所以n ＝3x <31＝3，所以m >n 。

答案：A5．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋错误!，n ＝a ＋错误!，则m ＋n 的最小值是( ） A.错误! B ．4 C 。

92D ．5解析:由题意：正数a ，b 的等比中项是2，得ab ＝4,因为m ＝b ＋错误!，n ＝a ＋错误!， 所以m ＋n ＝b ＋错误!＋a ＋错误!， 由ab ＝4，那么b ＝错误!, 所以b ＋错误!＋a ＋错误!＝错误!＋错误!＋a ＋错误!＝错误!＋错误!≥2错误!＝5,当且仅当错误!＝错误!即a ＝2时取等号．所以m ＋n 的最小值是5。

2.2　基本不等式（同步检测）一、选择题1.(多选)已知实数a ，b ，下列不等式一定正确的有( )A.a ＋b 2≥abB.a ＋1a ≥2C.|ab ＋ba|≥2 D.2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22.(多选)下列条件可使b a ＋ab ≥2成立的是( )A .ab>0 B.ab<0C .a>0，b>0D.a<0，b<03.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2C.22D.44.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m5.“ab ＜a 2＋b 22”是“a ＞b ＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为（ ）A.2B.3C.22D.237.如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一B .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一C .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一D .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一8.已知a>1，则a ＋12，a ，2a a ＋1三个数的大小顺序是( )A.a＋12<a<2aa＋1B.a<a＋12<2aa＋1C.2aa＋1<a<a＋12D.a<2aa＋1≤a＋129.若－4<x<1，则y＝x2－2x＋22x－2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－1二、填空题10.已知x＞3，则x＋4x－3的最小值为________11.设x＞0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为________12.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．13.二十大报告中提到：“我国制造业规模稳居世界第一”．某公司为提高产能，购买一批新型设备，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．三、解答题14.设a，b，c都是正数，求证：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.已知a，b，c都是正数，且abc＝1，证明：1a＋1b≥2c．16.已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.CD　解析：当a＜0，b＜0时，a＋b2≥ab不成立；当a＜0，时，a＋1a≥2不成立；因为|a b＋b a|＝|a b|＋|b a|≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．2.ACD　解析：当且仅当ba＝ab>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．3.C　解析：由ab＝1a＋2b≥22ab，得ab≥22，当且仅当1a＝2b时取“＝”．4.C　解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选7 m最合理．5.B　解析：∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜a2＋b22⇒a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0⇒a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．6.A　解析：∵x＋y＋xy＝3，∴y＋1＝4x＋1，∴x＋y＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝y＝1时取等号．故选A．7.A　解析：由a＋b≥2ab可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤(c＋d2)2，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．8.C　解析：当a，b是正数时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，令b＝1，得2aa＋1≤a≤a＋12．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．9.D　解析：y＝x2－2x＋22x－2＝12[(x－1)＋1x－1]，又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．故y＝－12[－(x－1)＋1－(x－1)]≤－1．当且仅当x－1＝1x－1，即x＝0时等号成立．故选D．二、填空题10.答案：7解析：∵x＞3，∴x－3＞0，4x－3＞0．∴x＋4x－3＝x－3＋4x－3＋3≥2(x－3)·4x－3＋3＝7，当且仅当x－3＝4x－3，即x＝5时，x＋4x－3取得最小值7．11.答案：0　解析：y＝x＋22x＋1－32＝(x＋12)＋1x＋12－2≥2(x＋12)·1x＋12－2＝0，当且仅当x＋1 2＝1x＋12，即x＝12时等号成立．所以函数的最小值为0．12.答案：25　解析：设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y m2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤[x＋(10－x)2]2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y取最大值25．13.答案：5，8　解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－(x＋25x)，且x＞0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．三、解答题14.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2，所以(b a＋a b)＋(c a＋a c)＋(c b＋b c)≥6，当且仅当b a＝a b，c a＝a c，c b＝b c，即a＝b＝c时，等号成立，所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.证明：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以c＝1 ab．所以1a＋1b≥21ab＝2c，当且仅当1a＝1b，即a＝b＝1c时取等号．故1a＋1b≥2c成立．16.解：(1)由题意知x，y为正数，xy－8＝4x＋y≥24xy＝4xy，当且仅当4x＝y，即x＝1＋3，y＝4＋43时等号成立，则(xy)2－4xy－8≥0，解得xy≥2＋23或xy≤2－23(舍去)，所以xy≥(2＋23)2＝16＋83，即xy的最小值为16＋83．(2)由题意知x，y为正数，4x－xy＝－y－8，故x＝y＋8 y－4，因为x＞0，y＞0，所以y＞4，则x＋y＝y＋8y－4＋y＝y＋12y－4＋1＝(y－4)＋12y－4＋5．因为y＞4，y－4＞0，12y－4＞0，(y－4)＋12y－4＋5≥43＋5，即x＋y≥43＋5，当且仅当y－4＝12y－4，即y＝4＋23时等号成立．所以x＋y的最小值为5＋43．。

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课时跟踪检测(三十八）发酵食品加工的基本方法一、选择题1．(2017·南通一模）下列有关果酒、果醋和腐乳制作实验的叙述,错误的是（）A．通过控制发酵温度，可抑制其他微生物的生长繁殖B．都是利用微生物胞内酶催化获得最终产品C．果酒、果醋发酵的培养基呈液态而腐乳发酵培养基呈固态D．都可以通过人工接种菌种提高产品质量解析：选B 果酒、果醋和腐乳制作的温度是不一样的，通过控制发酵温度可以抑制其他微生物的生长繁殖；果酒和果醋利用的是胞内酶，而腐乳主要利用的是毛霉分泌的胞外酶。

2．(2017·苏州一模)利用葡萄汁发酵生产葡萄酒，当酒精含量达到12％～16%时，发酵就停止了。

下列有关解释中,错误的是( ）A．酒精对酵母菌有毒害作用B．葡萄汁中的营养物质不足C．发酵液中pH逐渐降低影响酶的活性D．氧气过少导致酵母菌无法进行细胞呼吸解析：选D 酒精是发酵的产物，但酒精对细胞有一定的毒害作用；随着发酵进行，发酵液中的营养物质减少，pH逐渐降低，酵母菌会大量死亡，发酵停止;酵母菌是兼性厌氧菌，不会因氧气过少而无法进行细胞呼吸。

2019年高考生物一轮复习生物技术实践课时跟踪检测（三十八）生物技术在食品加工中的应用选修1一、选择题1．利用葡萄汁发酵生产葡萄酒，当酒精含量达到12%～16%时，发酵就停止了。

下列有关解释错误的是( )A．酒精对酵母菌有毒害作用B．葡萄汁中的营养物质不足C．发酵液中pH逐渐降低影响酶的活性D．氧气过少导致酵母菌无法进行细胞呼吸解析：选D 酒精是发酵的产物，但酒精对细胞有一定的毒害作用；随着发酵进行，发酵液中的营养物质减少，pH逐渐降低，酵母菌会大量死亡，发酵停止；酵母菌是兼性厌氧菌，氧气过少时可进行无氧呼吸。

2．下列关于“腐乳的制作”叙述错误的是( )A．制作腐乳时毛霉等多种微生物共同发挥作用B．毛霉生长的最适温度为30～35 ℃C．后期发酵时间长短与盐用量、卤汤成分等有关D．封瓶时最好将瓶口通过酒精灯的火焰解析：选B 腐乳的制作是毛霉等多种微生物共同作用的结果；毛霉生长的最适温度为15～18 ℃。

3．下图中甲是果醋发酵装置，乙是发酵过程中培养液pH变化曲线图，下列叙述正确的是( )A．发酵初期不通气，溶液中没有气泡产生B．中期可以闻到酒香，说明进行了酒精发酵C．后期接种醋酸菌，适当通气并保持原有温度D．图乙中能正确表示pH变化的曲线是③解析：选B 发酵初期不通气，酵母菌可进行无氧呼吸产生二氧化碳，所以溶液中有气泡产生；酒精是酵母菌无氧呼吸产生的，若中期可以闻到酒香，说明进行了酒精发酵；果酒制作需要缺氧环境，且温度为18～25 ℃，而果醋制作需要氧气，且温度为30～35 ℃，所以接种醋酸菌，应适当通气并提高培养温度；果酒制作阶段，产生二氧化碳溶于水形成碳酸，使pH下降，进行果醋发酵后，产生醋酸也使pH下降，所以图乙中能正确表示pH变化的曲线是②。

4．如图表示利用苹果制备果酒、果醋的流程图。

下列有关叙述错误的是( )A．过程①接种人工培育的酵母菌可以提高苹果酒的品质B．苹果原醋可以为过程③提供所需菌种C．过程①所需的最适温度低于过程②D．整个发酵过程都必须在严格无菌条件下才能正常进行解析：选D 果酒发酵的适宜温度为18～25 ℃，果醋发酵的适宜温度为30～35 ℃；果酒发酵可以利用附着在苹果皮上的野生型酵母菌；发酵过程不需要严格无菌。

课时跟踪练(三十八)A 组 基础巩固1．(2019·考感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，b ∈R ，故必要性不成立，故选A.★答案★：A2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2时，sin x ＋4sin x 的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值解析：对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立；对于B ，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，sin x ＋4sin x 的最小值不为4(因为sin x ＝2不成立)；对于C ，当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为3 2.★答案★：C3．(2019·青岛质检)已知x>1，y>1，且lg x，2，lg y成等差数列，则x＋y有()A．最小值20 B．最小值200C．最大值20 D．最大值200解析：由题意得2×2＝lg x＋lg y＝lg(xy)，所以xy＝10 000，则x＋y≥2xy＝200，当且仅当x＝y＝100时，等号成立，所以x＋y有最小值200，故选B.★答案★：B4．设a>0，若关于x的不等式x＋ax－1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A．16 B．9C．4 D．2解析：在(1，＋∞)上，x＋ax－1＝(x－1)＋ax－1＋1≥2（x－1）×a（x－1）＋1＝2a＋1(当且仅当x＝1＋a时取等号)，由题意知2a＋1≥5.所以2a≥4，a≥2，a≥4，a的最小值为4.★答案★：C5．(2019·山西第一次模拟)若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：由题意知∠APB ＝90°，所以|PA |2＋|PB |2＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)，所以|PA |＋|PB |≤22，所以|PA |＋|PB |的最大值为2 2.故选B. ★答案★：B6．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800 元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．( )A ．60B ．80C ．100D ．120解析：若每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8 元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8 元，由基本不等式得800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号． ★答案★：B7．(2019·永州调研)设a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．[0，10]解析：因为a 2＋b 2＝10，所以由基本不等式a 2＋b 2≥2ab 得2(a 2＋b 2)≥2ab ＋a 2＋b 2＝(a ＋b )2，即(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)＝20，所以－25≤a ＋b ≤2 5. ★答案★：A8．(2019·深圳三校联考)已知f (x )＝x 2＋33x (x ∈N *)，则f (x )在定义域上的最小值为( )A.585B.232C.33D ．233解析：f (x )＝x 2＋33x ＝x ＋33x ，因为x ∈N *＞0， 所以x ＋33x≥2x ·33x＝233，当且仅当x ＝33时取等号，但x ∈N *，故x ＝5或x ＝6时，f (x )取最小值，当x ＝5时，f (x )＝585，当x ＝6时，f (x )＝232，故f (x )在定义域上的最小值为232.故选B.★答案★：B9．(2019·聊城一模)已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．解析：由a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b2a ≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋ 3. ★答案★：2＋ 310．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．解析：因为x ＞0，a ＞0，所以f (x )＝4x ＋ax≥24x ·ax＝4a ，当且仅当4x ＝ax，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.★答案★：3611．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ，由于ab >0，所以4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立，故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4. ★答案★：412．(2019·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，因为工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，所以k 1＝5，k 2＝20，所以运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋20x 万元，因为5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元．★答案★：2 20B 组 素养提升13．若向量m ＝(a －1，2)，n ＝(4，b )，且m ⊥n ，a >0，b >0，则log 13a ＋log 3 1b有( )A ．最大值log 3 12B ．最小值log 32C ．最大值－log 1312D ．最小值0解析：由m ⊥n 得m ·n ＝0，即4(a －1)＋2b ＝0，所以2a ＋b ＝2，所以2≥22ab ，所以ab ≤12(当且仅当2a ＝b 时，等号成立)，而log 13a ＋log 31b ＝log 13a ＋log 13b ＝log 13ab ≥log 1312＝log 32，即log 13a ＋log 3 1b有最小值log 32，故选B.★答案★：B14．(2019·湖南师大附中月考试卷)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋b c 的最小值为( )A ．2B ．2＋ 2C ．4D ．2＋2 2解析：因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1， 所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋bc ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2ca ＋b＋a ＋b c ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为2＋22，故选D. ★答案★：D15．(2019·郑州第二次质量预测)已知点P (a ，b )在函数y ＝e 2x 上，且a ＞1，b ＞1，则a ln b 的最大值为________．解析：由点P 在函数y ＝e 2x 上，得ab ＝e 2，则ln a ＋ln b ＝2，又a ＞1，b ＞1，则ln a ＞0，ln b ＞0.令a ln b ＝t ，t ＞1，则ln t ＝ln a ln b≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln a ＋ln b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝e 时，取等号，所以1＜t ≤e ，所以a ln b 的最大值为e.★答案★：e16．(2019·天津滨海新区七所重点学校联考)若正实数x ，y 满足x ＋2y ＝5，则x 2－3x ＋1＋2y 2－1y 的最大值是________．解析：因为x ，y 为正实数，所以x 2－3x ＋1＋2y 2－1y ＝（x ＋1）2－2（x ＋1）－2x ＋1＋2y －1y＝x ＋1－2＋2y －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋1＋1y ＝x ＋2y －1－16⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋1＋1y (x ＋1＋2y )＝4－16⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2＋4y x ＋1＋x ＋1y ≤4－16×(4＋24)＝83， 当且仅当x ＋1＝2y ，即x ＝2，y ＝32时，取等号，则x 2－3x ＋1＋2y 2－1y 的最大值是83.★答案★：83感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

课时跟踪检测(一) 不等式的基本性质1．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a >3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －cC ．若a >b >0，c >d >0，则a d >b cD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：选D 当a >b >0，ac >ad 时，c ，d 的大小关系不确定． 2．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bc B ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：选C a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 3．(四川高考)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c解析：选D 由c <d <0⇒1d <1c <0⇒－1d >－1c>0.又a >b >0，故由不等式性质，得－ad >－b c>0. 所以a d <b c，选D.4．(湖南高考)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③解析：选D 由a >b >1，c <0，得1a <1b ，c a >c b；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c <b c；因为a －c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．5．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________(填序号)．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④6．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列命题对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：对于命题①，由2＝a ＋b ≥2ab ，得ab ≤1，命题①正确；对于命题②，当a ＝b ＝1时，②不成立，所以命题②错误；对于命题③，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ，由命题①知a 2＋b 2＝4－2ab ≥2，命题③正确；对于命题④，当a ＝b ＝1时，④不成立，所以命题④错误；对于命题⑤，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ，由命题①知1a ＋1b ＝2ab≥2，所以命题⑤正确．所以恒成立的是①③⑤.答案：①③⑤7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________． 解析：设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152.由不等式同向可加性，得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8.答案：(3,8)8．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝a －b 2a ＋b ab ，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴a －b2a ＋bab≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围． 解：∵－6<a <8，∴－12<2a <16. 又2<b <3，∴－10<2a ＋b <19. ∵2<b <3，∴－3<－b <－2.又∵－6<a <8，∴－9<a －b <6. ∵2<b <3，∴13<1b <12.①当0≤a <8时，0≤a b<4； ②当－6＜a ＜0时，－3＜a b＜0. 综合①②得－3<a b<4.∴2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围分别为(－10,19)，(－9,6)，(－3,4)．10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各式大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)由题意，知a >0，a ≠1，①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a .②a 3＋1－(a 2＋a )＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0，∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2)＝a 3(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1，∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0，即a 5＋1>a 3＋a 2. (2)根据(1)可得am ＋n＋1＞a m ＋a n.证明如下：a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m －1)(a n －1)．当a >1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0. 当0<a <1时，0<a m<1,0<a n<1， ∴(a m－1)(a n－1)>0.综上可知(a m－1)(a n－1)>0，即a m ＋n＋1>a m ＋a n.。