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实验二-层流火焰传播速度的测定实验实验二层流火焰传播速度的测定实验一、预备知识1、火焰传播和化学反应燃烧发生了一系列化学反应，在这些反应中，燃料在一些自由基例如O、OH、H碰撞下发生反应，产生更多的H或者是分解成更小的碎片。
例如，CH4被连续地转化成CH3，CH2，CH。
最初形成的各种氧化的中间产物与燃料中的碳结合而首先变为CO，并且燃料中的氢基变为H2，所有的中间产物将接着进一步氧化，再一次通过自由基的作用，而变为CO2和H2O。
总热量的一大部分释放都是发生在第二阶段。
这个次序使燃烧具有自持性，且只能够发生在高温下（如1500K以上）。
因为只有在高温下，才能是自由基产生的速率比消耗的速率快，而这对燃料完全变形以及中间产物的氧化是有必要的。
当点燃预混燃料时，局部温度将提高到一个非常高的值，提高了反应速率，从而也引起燃料的燃烧，并且释放出热量。
通过热传导把热量引导到了未燃的相邻区域，相邻区域的温度以及反应率都提高了，因此燃烧就在那里发生了。
我们知道，热量的扩散是火焰传播的原因，燃烧波传播的速度取决于燃烧后的温度以及未燃混合物的热扩散性。
为了把高温区域的自由基传递到与之接触的低温的未燃混合物中，质量扩散也是很重要的；通常质量和热扩散率是相同的。
在本实验中，未燃混合物的压力和温度与环境大气一致。
火焰传播速度只依赖于混合物中的燃料/氧化剂的数量，它们反过来又控制着火焰的温度。
贫油(Φ<1)和富油(Φ>1)的火焰温度比化学恰当比(Φ=1)时更低因为偏离化学恰当比时多余的物质吸收了由可燃燃料燃烧所产生的热量。
实际上，温度最大值出现在当量比比1稍大一些的地方，因为产物的比热容比化学恰当比时稍低。
如果混合物过贫，燃气温度将太低，而不能产生大量的自由基，因此火焰传播变得不可能。
如果混合物过富，大量的燃料将吸收自由基，因此使燃烧第二阶段不能进行。
因此，火焰传播只在某个当量比范围内才有可能，这被称为可燃极限。
汽油层流燃烧速度的测量及其替代物模型研究徐昭华;胡二江;黄佐华【摘要】针对实际汽油组分复杂导致数值模拟研究困难的问题,采用球形火焰法,在定容燃烧弹上测量了初始温度分别为358、403、448 K,初始压力分别为0.1、0.2、0.5 MPa,当量比为0.8～1.5工况下,实际汽油、正庚烷、异辛烷、甲苯、异辛烷/正庚烷混合燃料(PRF)、甲苯/异辛烷/正庚烷混合燃料(TRF)的层流燃烧速度,分析了初始温度、压力以及当量比对汽油的层流燃烧速度的影响规律,对比了不同替代物模型对实际汽油的层流燃烧速度的预测结果.基于实验结果,构建了适合我国汽油的双组分和三组分汽油替代物模型,对比结果表明,在本研究的实验工况范围内,三组分汽油替代物模型比双组分汽油替代物模型能够更好预测实际汽油层流燃烧速度.应用Chemkin软件和KAUST清洁燃烧研究中心近期发展的汽油替代物机理,对本研究实验数据进行了数值仿真,该机理对实验数据给出了合理预测.利用本研究提出的汽油替代物模型,可对实际汽油的层流燃烧速度进行合理的预测.【期刊名称】《西安交通大学学报》【年(卷),期】2019(053)003【总页数】7页(P36-42)【关键词】汽油;层流燃烧速度;实验测量;汽油替代物模型【作者】徐昭华;胡二江;黄佐华【作者单位】西安交通大学动力工程多相流国家重点实验室,710049,西安;西安交通大学动力工程多相流国家重点实验室,710049,西安;西安交通大学动力工程多相流国家重点实验室,710049,西安【正文语种】中文【中图分类】TK407.9随着排放法规的日益严峻,汽油机朝着高效率和低排放方向发展,对汽油基础燃烧特性的了解对高效低污染汽油机设计十分重要。
由于汽油组分的复杂性,使得直接对汽油的实验和数值研究十分困难[1]。
为了对汽油进行数值模拟研究,需要构建合理的汽油替代物模型,这不仅可以代表实际汽油中存在的重要有机化合物类别,还能够体现实际汽油的燃烧特性。
用本生灯法测定60.1%甲烷—39.9%二氧化碳混合气体的火焰法向传播速度实验一、实验目的巩固火焰传播速度的概念，掌握本生灯法测量火焰传播速度的原理和方法。
测定可燃气的层流火焰传播速度。
二、实验原理层流火焰传播速度是燃料燃烧的基本参数。
测量火焰传播速度的方法很多，本试验装置是用动力法即本生灯法进行测定。
正常法向火焰传播速度定义为在垂直于层流火焰前沿面方向上火焰前沿面相对于未燃混合气的运动速度。
在稳定的火焰中，内锥面是层流预混火焰前沿面。
在此面上某一点处，混合气流的法向分速度与未燃混合气流的运动速度即法向火焰传播速度相平衡，这样才能保持燃烧前沿面在法线方向上的燃烧速度(图1)，即图一 火焰传播速度测试原理0sin s u u α=⨯式中：u s －混合气的流速（cm/s ）；α－火焰锥角之半。
或 022q u r r h=+ 式中：q v －混合气的体积流量（L/s ）；h －火焰内锥高度（cm ）；r －喷口半径（cm ）。
上式是使用本生灯火焰高度法测定可燃混合气体的层流火焰传播速度0uq是用湿式流量计分的计算式。
在我们的实验中，可燃混合气体的体积流量v别测定燃气与空气的体积流量而得到的，内锥焰面底部圆的半径r可取本生灯喷口半径；内焰锥高度h可由测高尺测量。
三、实验设备结构实验台由本生灯、旋涡气泵、湿式气体流量计、测高尺等组成。
旋涡气泵产生的空气通过泻流阀、稳压罐、湿式气体流量计、调压阀后进入本生灯，燃气经减压器、湿式气体流量计、防回火器、调压阀后进入本生灯与空气预混合，点燃后通过测量内焰锥高度计算火焰的传播速度。
四、实验步骤1、启动旋涡气泵，调节风量使本生灯出口流速稳定，并由湿式流量计读出空气流量。
2、开启燃气阀，并持续进行点火，点燃燃气。
3、缓慢调节空气和燃气流量，当火焰稳定后，分别由湿式流量计测出燃气与空气的体积流量；由测尺测出火焰内锥高度（从火焰底部，即喷口出口断面处到火焰顶部间的距离）。
法向火焰传播速度的实验测量陈婧;张炘【摘要】法向火焰传播速度是燃气燃烧的重要特性之一,是燃烧设备设计的主要依据.采用动力学法对火焰法向火焰传播速度进行了测量,获得火焰高度h和喷口半径r,以及燃气和空气量,获得了法向火焰传播速度与一次空气系数之间的特征关系曲线.实验表明,随着一次空气系数的增大,火焰传播速度先增大后减小,当一次空气系数接近1时,法向火焰传播速度最大.该系统能够准确测量法向火焰等特征参数,可广泛应用于燃气相关专业的教学和科研.【期刊名称】《实验室科学》【年(卷),期】2017(020)005【总页数】3页(P44-46)【关键词】火焰;法向速度;测量【作者】陈婧;张炘【作者单位】中国石油大学 (华东) 储运与建筑工程学院, 山东青岛 266580;中国石油大学 (华东) 储运与建筑工程学院, 山东青岛 266580【正文语种】中文【中图分类】TK16火焰前沿焰面沿其法线方向朝邻近未燃气体移动的速度称作法向火焰传播速度。
法向火焰传播速度是燃气燃烧的重要特性之一，它影响火焰的稳定性，是燃气燃烧器和燃烧设备设计的主要依据，也是判定燃气互换性的基本参数[1-3]。
法向火焰传播速度仅与可燃混合气体的物理化学性质有关，决定法向火焰传播速度值的基本量有：燃气性质、燃气与氧化剂混合浓度以及可燃混合气体的预热温度、压力、湿度[4-5]。
目前，尚不能用精确的理论公式计算火焰的传播速度，通常依靠实验测量[6-8]。
火焰测量一般可分为静力法和动力法两类，其中静力法是燃烧火烟焰面在静止的可燃混合物中运动，动力法则是让火焰焰面处于静止状态，而可燃混合物气流则以层流状态作相反方向运动[9-11]。
静力法直观性强，但受管径影响大。
因此，本文采用动力学对火焰法向火焰传播速度进行了测量，同时和理论值进行了对比。
动力法测定火焰传播速度用本生火焰法测试。
测试系统如图1所示：燃气、空气分别通过各自湿式气体流量计计量后，经混合罐预混，在燃烧管管口燃烧，调节合适空燃比，可在管口处观察到本生火焰如图2所示，由内锥和外锥两层焰面组成。
层流预混火焰传播速度的测定实验成员：徐俊卿 郑仁春 韩超一、实验的理论基础许多工业设备都应用预混气燃烧作为热和能量的生成方式。
如火花点火发动机（汽油机），煤气炉内的燃烧，灾害性的火灾和爆炸都涉及到预混气的燃烧和火焰传播问题。
研究预混气燃烧的最重要参数是层流火焰传播速度。
火焰速度是预混气的基本特性，是研究火焰稳定性以及湍流预混气燃烧的基础。
层流火焰速度定义为给定可燃预混气的一维平面预混火焰在没有热损失时相对于未燃气的移动速度。
用S 0表示。
该定义给出的火焰速度是预混气的单一的固有特性，而与外界流动条件无关，在某些精心设计的实验设备，如相向流火焰设备上，采用激光多普勒速度仪，可以精确测定S 0。
普通的预混火焰设备很难完成满足上述定义中的所有条件。
如采用本生灯测定火焰速度，由于火焰面呈锥形，不是一维火焰，顶端和底部火焰有弯曲。
不可避免地有热损失。
因此测到的是被测点当地的火焰速度或称局部火焰速度，用S 表示。
S 除与可燃预混气的气/油比有关外，还受热损失，火焰拉伸等动力学因素影响。
用其它的实验方法，如平面火焰法，火焰推进法，肥皂泡法，球弹法和圆管法都是只能测定局部火焰速度。
层流火焰理论指出，预混火焰的稳定位置总是位于预混气在火焰面的法向速度分量与火焰速度（总与火焰面垂直）大小相等，方向相反的地方。
当这两个速度不相等时，火焰面就要移动，而扩散火焰总是驻定在燃料与氧化剂为化学计量值的位置上。
在这一位置，燃料与氧化剂混合最均匀，反应率最快。
偏离这一位置，不可能组织起燃烧，扩散火焰没有火焰传播速度的概念，这是预混火焰和扩散火焰最主要的区别之一。
二、实验原理实验采用本生灯测定（局部）火焰传播速度，实验设备与实验二相同。
设计良好的本生灯火焰呈锥形，除顶端和底部火焰弯曲外，中间有较长一段的平直火焰，假定预混气速度沿出口截面分布均匀，火焰前沿各处的气流法向速度相等，把驻定在管口的火焰面简化为正锥形，如图3-1所示。
球形传播火焰法测量层流火焰速度及Markstein 长度的方法研究摘要：球形传播火焰法目前被广泛地用来测量不同燃料的层流火焰速度和Markstein 长度。
本文研究了用于球形传播火焰的各种线性与非线性模型。
首先，本文基于详细模型推导出了关于拉伸率与曲率的线性与非线性模型；接下来研究了各种模型的准确度及其在球形传播火焰法中的应用情况。
研究结果表明：对于层流火焰速度和Markstein 长度，基于曲率的非线性模型而预测的结果最为准确。
本文研究的结果对球形传播火焰法测量层流火焰速度及Markstein 长度有一定的指导意义。
关键词：球形传播火焰法；层流火焰速度；Markstein 长度；非线性模型0 前言层流火焰速度被定义为一维、绝热、平面火焰相对于未燃预混气体的速度[1]。
层流火焰速度是影响燃料燃烧状况和效率的最重要参数之一。
同时，层流火焰速度是验证燃料化学反应机理的重要参数[2, 3]。
另一个反映燃料燃烧特性的重要参数是Markstein 长度。
Markstein 长度表征了由于拉伸率的存在而引起的火焰速度变化，它决定了预混火焰传播的稳定性[2, 4]。
同时层流火焰速度与Markstein 长度也都是湍流预混燃烧模型中的重要参数[5]。
近五十年来，由于层流火焰速度与Markstein 长度的重要性，各种实验方法被用来测量这两个物理量。
球形传播火焰法[6-9]由于有着火焰结构简单以及拉伸率定义准确等特点，目前被广泛地用来测量不同条件下不同燃料的层流火焰速度和Markstein 长度。
在国内，西安交通大学黄佐华教授及其团队利用球形传播火焰法系统地研究了多种碳氢燃料的层流燃烧特性[9-15]。
目前关于球形传播火焰法的研究重点之一是如何提高测量精度。
例如，点火[16]、非稳定性[17]、非球对称[18]、热辐射[19]、气体压缩[19, 20]等影响因素已经得到了系统的研究。
然而，在文献中，不同实验者对同种燃料在同一条件下测得的层流火焰速度和Markstein 长度仍有较大的偏差，特别是Markstein 长度的测量相对偏差甚至可以达到300%[20-22]。
丙烷-空气-稀释气层流燃烧速率测定汤成龙;黄佐华;何佳佳;金春;王金华;张志远;苗海燕;王锡斌【期刊名称】《内燃机学报》【年(卷),期】2008(026)006【摘要】利用高速纹影摄像法和球型发展火焰研究了常温常压下丙烷-空气,丙烷-空气-稀释气预混层流燃烧特性,获得了不同稀释系数(0、10%、20%、30%)和燃空当量比(0.6～2.0)下混合气的层流燃烧速率和马克斯坦长度值,分析了拉伸对火焰传播速率的影响.结果表明:丙烷-空气混合气的无拉伸火焰传播速率和无拉伸层流燃烧率在当星比1.1时达到最大值,随当量比的增加,马克斯坦长度值降低,火焰前锋面不稳定性趋势增加.当量比为1.4时,马克斯坦长度值由正值转为负值.丙烷-空气-稀释气混合气随稀释系数的增加,火焰传播速率和层流燃烧速率降低,在当量比小于1.4时,随稀释系数的增加,马克斯坦长度值增加,火焰前锋面的稳定性趋势增加.有无稀释气时无拉伸层流燃烧速率的比值仅与稀释系数有关并成线性关系而与混合气浓度无关.【总页数】8页(P525-532)【作者】汤成龙;黄佐华;何佳佳;金春;王金华;张志远;苗海燕;王锡斌【作者单位】西安交通大学,动力工程多相流国家重点实验室,陕西,西安,710049;西安交通大学,动力工程多相流国家重点实验室,陕西,西安,710049;西安交通大学,动力工程多相流国家重点实验室,陕西,西安,710049;西安交通大学,动力工程多相流国家重点实验室,陕西,西安,710049;西安交通大学,动力工程多相流国家重点实验室,陕西,西安,710049;西安交通大学,动力工程多相流国家重点实验室,陕西,西安,710049;西安交通大学,动力工程多相流国家重点实验室,陕西,西安,710049;西安交通大学,动力工程多相流国家重点实验室,陕西,西安,710049【正文语种】中文【中图分类】TK431【相关文献】1.二乙醚-空气预混合气层流燃烧速率测定 [J], 张旎;狄亚格;黄佐华;张志远2.不同初始温度下甲烷-空气混合气层流燃烧速率的测定 [J], 何佳佳;胡二江;金春;黄佐华;汤成龙;苗海燕3.稀释气对掺氢天然气层流预混燃烧燃烧速率的影响 [J], 苗海燕;焦琦;黄佐华;蒋德明4.氮气稀释丙烷空气混合气的层流火焰速度测量 [J], 李兴虎5.甲醇-空气和甲醇-空气-稀释气预混层流燃烧特性 [J], 张志远;黄佐华;王显刚;郑建军;苗海燕;王锡斌因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
球形传播火焰法测量层流火焰速度及Markstein 长度的方法研究摘要：球形传播火焰法目前被广泛地用来测量不同燃料的层流火焰速度和Markstein 长度。
本文研究了用于球形传播火焰的各种线性与非线性模型。
首先，本文基于详细模型推导出了关于拉伸率与曲率的线性与非线性模型；接下来研究了各种模型的准确度及其在球形传播火焰法中的应用情况。
研究结果表明：对于层流火焰速度和Markstein 长度，基于曲率的非线性模型而预测的结果最为准确。
本文研究的结果对球形传播火焰法测量层流火焰速度及Markstein 长度有一定的指导意义。
关键词：球形传播火焰法；层流火焰速度；Markstein 长度；非线性模型0 前言层流火焰速度被定义为一维、绝热、平面火焰相对于未燃预混气体的速度[1]。
层流火焰速度是影响燃料燃烧状况和效率的最重要参数之一。
同时，层流火焰速度是验证燃料化学反应机理的重要参数[2, 3]。
另一个反映燃料燃烧特性的重要参数是Markstein 长度。
Markstein 长度表征了由于拉伸率的存在而引起的火焰速度变化，它决定了预混火焰传播的稳定性[2, 4]。
同时层流火焰速度与Markstein 长度也都是湍流预混燃烧模型中的重要参数[5]。
近五十年来，由于层流火焰速度与Markstein 长度的重要性，各种实验方法被用来测量这两个物理量。
球形传播火焰法[6-9]由于有着火焰结构简单以及拉伸率定义准确等特点，目前被广泛地用来测量不同条件下不同燃料的层流火焰速度和Markstein 长度。
在国内，西安交通大学黄佐华教授及其团队利用球形传播火焰法系统地研究了多种碳氢燃料的层流燃烧特性[9-15]。
目前关于球形传播火焰法的研究重点之一是如何提高测量精度。
例如，点火[16]、非稳定性[17]、非球对称[18]、热辐射[19]、气体压缩[19, 20]等影响因素已经得到了系统的研究。
然而，在文献中，不同实验者对同种燃料在同一条件下测得的层流火焰速度和Markstein 长度仍有较大的偏差，特别是Markstein 长度的测量相对偏差甚至可以达到300%[20-22]。
造成这些偏差的原因有待被量化地解释。
一个重要原因在于对实验数据的处理，尤其是那些在理论模型不成立的范围内的实验数据的使用会导致结果偏差很大。
对于球形传播火焰，在压力变化可被忽略时，可以认为已燃气体处于静止状态。
因此，球形火焰面移动的速度就等于相对于已燃气体的层流火焰速度，即S b =dR f (t )/dt 。
当拉伸率较小时，火焰速度与拉伸率成线性关系[6-9]：K L S S b b b -=0(1)其中S b 0和L b 分别是相对于已燃气体的层流火焰速度和Markstein 长度，K =(2/R f )(dR f /dt )是球形火焰的拉伸率。
根据式(1)，S b 0和L b 可以通过对实验测得的S b 和K 进行线性拟合而得到。
未燃烧气体的平面层流火焰速度S u 0则可以通过质量守恒得到：S u 0=σS b 0，其中基金项目：国家自然科学基金(编号50976003)与内燃机国家重点实验室开放课题(编号K2010-02)σ=ρb /ρu 为已燃气体与未燃气体的密度比。
我们将上述火焰速度与拉伸率成线性关系的模型记为LM-S (Liner Model with respect to Stretch)模型，该模型及其积分形式是球形传播火焰法测量层流火焰速度及Markstein 长度的最常用拟合模型。
然而在拉伸率或者Markstein 长度较大时，火焰速度与拉伸率并不是线性关系。
鉴于这一点，Kelley 和Law[23]提出了在球形传播火焰法的数据处理中采用关于火焰速度与拉伸率的非线性对数形式模型(记为NM-L, Nonlinear Model in Logarithm form )：2020/2)/ln()/(bb b b b b S K L S S S S ⋅-= (2)Halter 等人[24]比较了LM-S 和NM-L 这两种模型在数据处理方面的效果。
类似于Kelley 和Law 的观点[23]，Halter 等人[24]认为采用NM-L 模型获得结果更为精确。
最近，我们[25]提出在球形传播火焰法的数据处理中，可以采用由Markstein[4]最先提出的火焰速度与曲率(C =2/R f )间的线性关系：C L S S b b b ⋅-=1/0(3)我们将上式记为LM-C (Liner Model with respect to Curvature)模型。
在我们最近的文章中[25]，我们基于理论分析与数值模拟系统地研究了上述三种模型在球形传播火焰法中的应用情况，研究结果表明采用LM-S ，NM-L ，LM-C 这三种模型获得的结果很大程度上依赖于Lewis 数的大小：当混合气体具有较大的Lewis 数时(对应Markstein 长度大于零)，采用LM-C 模型获得的结果的准确度最高，而当混合气体具有较小的Lewis 数时(对应Markstein 长度小于零)，采用NM-L 模型获得的结果的准确度最高。
所以，要获得精确的层流火焰速度和Markstein 长度，对不同的气体混合物需要采用不同的模型[25]。
尽管模型LM-C 和NM-L 能够较模型LM-S 给出更准确的结果，然而，在Lewis 数远大于或者远小于1.0时，根据这两种模型得到的结果的准确性仍然不够高[25]。
鉴于此，本文的研究目标为构造适用于球形传播火焰法的准确度更高的模型。
注意到式(1)和(3)分别是只考虑拉伸率和曲率的零阶与一阶项(即线性模型)，因此只适用于Markstein 长度较小(即Lewis 数接近于1.0)以及拉伸率或曲率较小的情况。
为了提高模型的准确度，可以在模型中考虑拉伸率或曲率的高阶项(二阶、三阶等)，即非线性模型。
本文将首先基于球形传播火焰理论推导出关于拉伸率和曲率的非线性模型，然后研究非线性模型的准确度及其在球形传播火焰法中的应用情况。
1 非线性模型的理论推导文献[26]基于准静态假设与常密度假设对球形传播火焰进行了理论分析，得出了描述火焰传播速度随火焰半径变化的理论关系式。
在绝热且无热源条件下，关于无量纲火焰传播速度(U )、火焰温度(T f )以及火焰半径(R )的关系为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-==⎰⎰∞----∞----f f ad RULes ULeRRUsURfT T Z ds e s e R Ledses e R T )1(12exp 12222σσ (4)其中Le 为Lewis 数，σ=T u /T ad 是平面绝热火焰的膨胀比，Z ad =(E a /R 0T ad )(1-σ)为基于平面绝热火焰温度的Zeldovich 数。
然而，最近我们在理论分析中发现式(4)在Lewis 数远离于1.0以及火焰半径很小时并不严格成立，更为准确的关系为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+==⎰⎰∞----∞----f f ad f RULes ULeRRUs URfT T Z T ds e s e R Ledse s e R T )1(12exp ])1([122222σσσσ (5) 比较式(4)与式(5)，两者不同在于右端指数前的系数。
这一不同是由于文献[26]中没有考虑球形火焰温度变化对基于球形火焰温度的Zeldovich 数的影响。
图1给出了根据式(4)与式(5)得到的火焰传播速度(U )随火焰半径(R )的变化情况。
当Le =1时，无量纲的火焰温度为T f =1.0，这导致式(5)右端指数前的系数等于1.0，因此式(4)给出的结果与式(5)完全一致。
在Lewis 数接近于1.0且火焰半径较大时，球形火焰温度接近于平面绝热火焰温度。
此时无量纲的火焰温度(T f )接近于1.0，相应地，式(5)右端指数前的系数也接近于1.0，从而式(4)给出的结果接近于式(5)给出的结果。
图1表明在Lewis 数接近于1.0或者火焰半径较大时，式(4)与式(5)给出的结果相差较小；而在Lewis 数远离于1.0或者火焰半径较小时，式(4)与式(5)给出的结果相差较大。
og10(R )U-10120.511.522.533.5Le =1.0Le =2.0Le =0.5solid line s :upda te d m ode l da she d line s :origina l m ode lLe =0.8Le =1.2Log10(R )U00.511.52 2.50.511.521.02.0Le=0.5so lid lines :updated m o del dashed lines :o rig inal m o del1.20.8图1：火焰传播速度(U )随火焰半径(R )的变化我们称式(5)为详细模型(DM, Detailed Model)，根据详细模型可以算出不同火焰半径对应的火焰传播速度的精确解。
接下来我们根据详细模型式(5)来推导非线性模型。
根据泰勒展开可以得到：)1(22132222R O R ULe LeR U dse s e R LeRULes ULeR+-+=⎰∞---- (6)将式(6)代入式(5)中并消去火焰温度T f 后得到以下关于拉伸率和曲率的非线性模型(只考虑到二阶精度，忽略关于拉伸率或曲率的三阶及更高阶项)：2001K a K L U K ⋅+⋅-=, R U K /2= (7) 2001C a C L U C ⋅+⋅-=, R C /2= (8)其中有：)11](2)1(2[10-+--=LeZ Le L ad σ (9) 2000)(L a a C K -= (10)()()[]()()8/)(4/112144112332022121120L Le Le Le Le Le Le Z a C-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-+---+-+-=------σσσσσσ (11) 我们将式(7)和式(8)分别记为NM-S (Nonlinear Model with respect to Stretch) 和NM-C (Nonlinear Model with respect to Curvature)模型。
当忽略拉伸率或曲率的二阶项，则可以得到线性模型LM-S 和LM-C 的无量纲形式：K L U ⋅-=01 (12) C L U ⋅-=01 (13)类似地，非线性对数形式模型NM-L(式2)的无量纲形式为：C L U U ⋅-=0ln (14)2 各种模型的准确性上述五种模型(LM-S ，LM-C ，NM-L ，NM-S ，NM-C)的准确性可以通过和基于DM 模型的数据进行比较得出[25]。
