第十二章 概率与统计

第十二章 概率与统计 §12.1 离散型随机变量的分布列1.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为（ ）A .25B .10C .7D .6答案 C2.下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（ ）A .B.C.D.基础自测答案 C3.已知随机变量X 的分布列为P （X =i ）=a i2（i =1，2，3），则P （X =2）等于 （ ）A .91 B .61C .31D .41 答案 C4.设随机变量X ~B ⎪⎭⎫⎝⎛216，,则P （X =3）等于（ ）A .165B .163C .85D .83 答案 A5.若X 的分布列为则常数c = .答案 31例1 一袋中装有编号为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X 表示取出的最大号码. （1）求X 的分布列； （2）求X ＞4的概率.解 （1）X 的可能取值为3，4，5，6，从而有：P （X =3）=3633C C =201， P （X =4）=362311C C C ⋅=203， P （X =5）=362411C C C ⋅=103， P （X =6）=362511C C C ⋅=21. 故X 的分布列为（2）P （X ＞4）=P （X =5）+P （X =6）=105103+=54. 例2 （12分）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31. （1）设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； （2）设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列； （3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.解 （1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为31，且每次试验结果是相互独立的， 故X ~B ⎪⎭⎫ ⎝⎛31,6.2分所以X 的分布列为P （X =k ）=kk k -⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛663231C ，k =0，1，2，3，4，5，6. 4分（2）由于Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y 是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5. 其中：{Y =k }（k =0，1，2，3，4，5）表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k +1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.P （Y =k ）=3132⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛k（k =0，1，2，3，4，5），6分而{Y =6}表示一路没有遇上红灯，故其概率为P （Y =6）=632⎪⎭⎫⎝⎛，因此Y 的分布列为：8分（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X ≥1}={X =1或X =2或…或X =6}，10分所以其概率为 P （X ≥1）=∑=61k P （X =k ）=1-P （X =0）=1-632⎪⎭⎫ ⎝⎛=729665≈0.912.12分例3 设离散型随机变量X 的分布列为求：（1）2X +1的分布列； （2）|X -1|的分布列. 解 由分布列的性质知：0.2+0.1+0.1+0.3+m =1，∴m =0.3. 首先列表为：从而由上表得两个分布列为： （1）2X +1的分布列：（2）|X -1|的分布列：1.袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数ξ的分布列. 解 得分ξ的取值为-3，-2，-1，0，1，2，3.ξ=-3时表示取得3个球均为红球，∴P （ξ=-3）=31133C C =1651； ξ=-2时表示取得2个红球和1个黑球，∴P （ξ=-2）=3111523C C C =111； ξ=-1时表示取得2个红球和1个白球，或1个红球和2个黑球，∴P （ξ=-1）=5513C C C C C 31125131323=+； ξ=0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，∴P （ξ=0）=31C C C C C 31115131335=+； ξ=1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，∴P （ξ=1）=5513C C C C C 31113232513=+； ξ=2时表示取得2个白球和1个黑球，∴P （ξ=2）=111C C C 3111523=； ξ=3时表示取得3个白球，∴P （ξ=3）=1651C C 31133=； ∴所求概率分布为：2.（2008·山东理，18）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为32，32，21，且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分. （1）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P （AB ）.解 （1）方法一 由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且P （ξ=0）=.271)321(C 303=-⨯,P (ξ=1)=9232132C 213=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯,P (ξ=2)=9432132C 223=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯,P (ξ=3)=27832C 333=⎪⎭⎫⎝⎛⨯.所以ξ的分布列为ξ的数学期望为E ξ=0×271+1×92+2×94+3×278=2.方法二 根据题设可知, ξ~B ⎪⎭⎫⎝⎛32,3,因此ξ的分布列为P (ξ=k )=,32C 32132C 3333kk kkk ⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-k =0,1,2,3.因为ξ~B ⎪⎭⎫⎝⎛32,3,所以E ξ=3×32=2.(2)方法一 用C 表示“甲队得2分乙队得1分”这一事件，用D 表示“甲队得3分乙队得0分”这一事件，所以AB =C ∪D ，且C 、D 互斥，P （C ）=,31021313121323121313232132C 4223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯P （D ）=,3421313132C 5333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯由互斥事件的概率公式得 P (AB )=P (C )+P (D )=2433433434310554==+. 方法二 用A k 表示“甲队得k 分”这一事件，用B k 表示“乙队得k 分”这一事件，k =0，1，2，3.由于事件A 3B 0，A 2B 1为互斥事件，故有P （AB ）=P （A 3B 0∪A 2B 1）=P （A 3B 0）+P （A 2B 1）. 由题设可知，事件A 3与B 0独立，事件A 2与B 1独立，因此 P （AB ）=P （A 3B 0）+P （A 2B 1） =P （A 3）P （B 0）+P （A 2）P （B 1）=.2433432C 21312132C 2131322122322323=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3.已知随机变量ξ的分布列为分别求出随机变量η1=ξ21，η2=2ξ的分布列.解 由于η1=ξ21对于不同的ξ有不同的取值y =21x ， 即y 1=21x 1=-1，y 2=21x 2=-21， y 3=21x 3=0，y 4=21x 4=21， y 5=21x 5=1，y 6=21x 6=23. 所以η1的分布列为：2η=2ξ对于ξ的不同取值-2，2及-1，1，2η分别取相同的值4与1，即2η取4这个值的概率应是ξ取-2与2值的概率121与122合并的结果，2η取1这个值的概率为ξ取-1与1的概率123与121合并的结果，故2η的分布列为：一、选择题1.袋中有大小相同的红球6个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为（ ） A .1，2，…，6 B .1，2，…，7C .1，2，…，11D . 1，2，3，…答案 B2.已知某离散型随机变量ξ的分布列如下：则常数k 的值为（ ）A .21nB .n 1C .121-nD .)12(1-n n答案 A3.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为则q 的值为（ ）A .1B .1±22C .1+22 D .1-22 答案 D4.已知随机变量X 服从二项分布X ~B ⎪⎭⎫⎝⎛316，，则P （X =2）等于（ ）A 1613 B .2434C .24313D .24380答案 D5.一只袋内装有m 个白球，n -m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于32A A )(nmm n -的是 （ ）A .P (ξ=3)B .P （ξ≥2）C .P （ξ≤3）D .P （ξ=2）答案 D6.如果ξ～B ⎪⎭⎫⎝⎛41,15，则使P （ξ=k ）取最大值的k 值为（ ）A .3B .4C .5D .3或4答案 D二、填空题7.若某一射手射击所得环数X 的分布列如下：则此射手“射击一次命中环数X ≥7”的概率是 . 答案 0.888.设随机变量X 的分布列为：则k = . 答案121-n三、解答题9.设离散型随机变量ξ的分布列P （ξ=5k ）=ak ，k =1，2，3，4，5.（1）求常数a 的值； （2）求P （ξ≥53）； （3）求P （101＜ξ＜107）.解 （1）由离散型随机变量的性质，得 a ·1+a ·2+a ·3+a ·4+a ·5=1， 解得a =151. (2)由（1），得P （ξ=5k ）=151k ,k =1,2,3,4,5. 方法一 P （ξ≥53）=P （ξ=53）+P （ξ=54）+P （ξ=1）=153+154+155=54. 方法二 P （ξ≥53）=1-P （ξ＜53） =1-[P (ξ=51)+P （ξ=52）]=1-（152151+）=54.(3)∵101＜ξ＜107，∴ξ=51，52，53，∴P （101＜ξ＜107）=P （ξ=51）+P （ξ=52）+P （ξ=53）=151+152+153=52. 10.从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，则随机变量X 可以取哪些值？求X 的分布列.解 从箱中取两个球的情形有以下六种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}. 当取到2白时，结果输2元，则X =-2；当取到1白1黄时，输1元，记随机变量X =-1； 当取到1白1黑时，随机变量X =1；当取到2黄时，X =0；当取到1黑1黄时，X =2； 当取到2黑时，X =4.则X 的可能取值为-2，-1，0，1，2，4.∵P （X =-2）=225C C 21226=，P （X =-1）=112C C C 2121216=， P （X =0）=661C C 21222=，P （X =1）=114C C C 2121416=，P （X =2）=334C C C 2121214=，P （X =4）=111C C 21224=. 从而得到X 的分布列如下：11.（2008·长沙检测）甲、乙两人轮流投篮直至某人投中为止，已知甲投篮每次投中的概率为0.4，乙每次投篮投中的概率为0.6，各次投篮互不影响.设甲投篮的次数为ξ,若乙先投，且两人投篮次数之和不超过4次，求ξ的分布列.解 因为乙先投，且次数之和不超过4次，所以，甲投篮次数的随机变量ξ可以是0，1，2三个. 由于乙先投，若乙第一次就投中，则甲就不再投，∴P （ξ=0）=0.6.当ξ=1时，它包含两种情况.第一种：甲第1次投中，这种情况的概率为 p 1=0.4×0.4=0.16.第二种：甲第1次未投中，乙第2次投中，这种情况的概率为p 2=0.4×0.6×0.6=0.144， ∴P （ξ=1）=p 1+p 2=0.304. 当ξ=2时，投篮终止，∴P （ξ=2）=0.4×0.6×0.4=0.096. ∴ξ的分布列为12.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A = a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ,其中A 的各位数中,a 1=1, a k (k =2,3,4,5)出现0的概率为31,出现1的概率为32.记ξ=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5,当程序运行一次时, (1)求ξ=3的概率; (2)求ξ的分布列.解 (1)已知a 1=1,要使ξ=3,只需后四位中出现2个1和2个0. ∴P (ξ=3)=24C 232⎪⎭⎫ ⎝⎛·231⎪⎭⎫⎝⎛=278. (2)ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P (ξ=1)=04C 032⎪⎭⎫ ⎝⎛·431⎪⎭⎫⎝⎛=811. P (ξ=2)=14C 132⎪⎭⎫ ⎝⎛·331⎪⎭⎫⎝⎛=818. P (ξ=3)=24C 232⎪⎭⎫ ⎝⎛·231⎪⎭⎫⎝⎛=278. P (ξ=4)=34C 332⎪⎭⎫ ⎝⎛·⎪⎭⎫ ⎝⎛31=8132. P (ξ=5)=44C 432⎪⎭⎫ ⎝⎛=8116. ∴ξ的分布列为§12.2 离散型随机变量的期望与方差1.若随机变量X 的分布列如下表，则E ξ等于（ ）A .181 B .91 C .920 D .209 答案 C2.已知随机变量X 服从二项分布，且EX =2.4，DX =1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为（ ）A .n =4,p =0.6B .n =6,p =0.4C .n =8,p =0.3D .n =24,p =0.1答案 B 3.已知ξ的分布列则在下列式子中，①E ξ=-31;②D ξ=2723;③P (ξ=0)= 31. 正确的个数是（ ）A .0B .1C .2D .3基础自测答案 C4.已知ξ的分布列为ξ=-1,0,1,对应P =21，61，31，且设η=2ξ+1，则η的期望是 （ ）A .-61 B .32C .3629 D .1答案 B例1 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求： （1）X 的分布列； （2）X 的期望.解 （1）X 的所有可能取值为0，10，20，50，60.P （X =0）=3109⎪⎭⎫⎝⎛=0001729；P （X =10）=101×2109⎪⎭⎫⎝⎛+109×12C ×101×109=0001243; P (X =20)= 101×12C ×101×109=000118; P (X =50)=109×2101=00019; P (X =60)=3101 =00011. 故X 的分布列为（2）EX =0×0001729+10×0001243+20×000118+50×00019+60×00011=3.3(元). 例2 某运动员投篮时命中率p =0.6.（1）求一次投篮命中次数ξ的期望与方差； （2）求重复5次投篮时，命中次数η的期望与方差. 解 （1）投篮一次，命中次数的分布列为：则E ξ=0×0.4+1×0.6=0.6,D ξ=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数η服从二项分布, 即η～B (5,0.6),由二项分布期望与方差的计算结论有 E η=5×0.6=3,D η=5×0.6×0.4=1.2.例3 （12分）设随机变量ξ具有分布P （ξ=k ）=51，k =1，2，3，4，5，求E (ξ+2)2，D （2ξ-1）， σ（ξ-1）.解 ∵E ξ=1×51+2×51+3×51+4×51+5×51=515=3. E ξ2=1×51+22×51+32×51+42×51+52×51=11. 4分D ξ=（1-3）2×51+（2-3）2×51+（3-3）2×51+（4-3）2×51+（5-3）2×51 =51（4+1+0+1+4）=2. 6分∴E （ξ+2）2=E （ξ2+4ξ+4） =E ξ2+4E ξ+4=11+12+4=27. 8分 D （2ξ-1）=4D ξ=8，10分 σ（ξ-1）=)1(-ξD =ξD =2.12分例4 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为试评定这两个保护区的管理水平.解 甲保护区的违规次数ξ的数学期望和方差为 E ξ=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3;D ξ=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21. 乙保护区的违规次数η的数学期望和方差为 E η=0×0.1+0.5+2×0.4=1.3;D η=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为E ξ=E η,D ξ＞D η,所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动,乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X .（1）求随机变量X 的概率分布； （2）求随机变量X 的数学期望和方差. 解 （1）P （X =0）=33A 2=31； P （X =1）=3313A C =21；P （X =3）=33A 1=61； ∴概率分布列为（2）EX =1×21+3×61=1. DX =(1-0)2·31+(1-1)2·21+(3-1)2·61=1. 2.A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组.设每一只小白鼠服用A 有效的概率为32，服用B 有效的概率为21.（1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望. 解 （1）设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i =0，1，2， B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i =0，1，2. 依题意有 P （A 1）=2×31×32=94, P （A 2）=32×32=94. P (B 0)=21×21=41, P (B 1)=2×21×21=21. 所求的概率为P =P (B 0·A 1)+P （B 0·A 2）+P （B 1·A 2） =41×94+41×94+21×94=94. （2）ξ的可能值为0,1,2,3，且ξ～B (3,94). P （ξ=0）=395⎪⎭⎫ ⎝⎛=729125，P （ξ=1）=13C ×94×295⎪⎭⎫ ⎝⎛=243100, P (ξ=2)=23C ×294⎪⎭⎫⎝⎛×95=24380,P (ξ=3)=394⎪⎭⎫⎝⎛= 72964.ξ的分布列为数学期望E ξ=0×729125+1×243100+2×24380+3×72964=34. 3.（2008·湖北理，17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号. （1）求ξ的分布列、期望和方差；（2）若η=a ξ+b ,E η=1,D η=11,试求a ,b 的值. 解 （1）ξ的分布列为∴E ξ=0×21+1×201+2×101+3×203+4×51=1.5. D ξ=(0-1.5)2×21+(1-1.5)2×201+(2-1.5)2×101+(3-1.5)2×203+(4-1.5)2×51=2.75.(2)由D η=a 2D ξ,得a 2×2.75=11,即a =±2. 又E η=aE ξ+b ,所以当a =2时,由1=2×1.5+b ,得b =-2. 当a =-2时,由1=-2×1.5+b ,得b =4.∴⎩⎨⎧-==,2,2b a 或⎩⎨⎧=-=42b a 即为所求. 4.有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：其中ξ乙两厂材料哪一种稳定性较好.解 E ξ=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E η=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125，D ξ=0.1×（110-125）2+0.2×(120-125)2+0.4×（125-125）2+0.1×（130-125）2+0.2×（135-125）2=50， D η=0.1×（100-125）2+0.2×（115-125）2+0.4×（125-125）2+0.1×（130-125）2+0.2×（145-125）2=165， 由于E ξ=E η＞120，而D ξ＜D η, 故甲厂的材料稳定性较好.一、选择题1.设一随机试验的结果只有A 和，且P （A ）=p ，令随机变量X =⎩⎨⎧不出现出现A A 01，则X 的方差DX 等于（ ） A .pB .2p (1-p )C .-p (1-p )D .p (1-p )答案 D2.某一离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，且E ξ=1.5，则a -b 的值 ( )A .-0.1B .0C .0.1D .0.2答案 B3.如果a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6的平均数（期望）为3，那么2（a 1-3），2（a 2-3），2（a 3-3），2（a 4-3），2（a 5-3），2（a 6-3）的平均数（期望）是 ( )A .0B .3C .6D .12答案 A4.设ξ～B （n ，p ），若有E ξ=12，D ξ=4，则n 、p 的值分别为（ ） A .18，32B .16，21 C .20，61D .15，41 答案 A5.随机变量X 的分布列为则E （5X +4）等于 （ ）A .15B .11C .2.2D .2.3答案 A6.投掷1枚骰子的点数为ξ，则（ ） A .E ξ=3.5，D ξ=3.52B .E ξ=3.5，D ξ=1235C .E ξ=3.5，D ξ=3.5D .E ξ=3.5，D ξ=1635 答案 B 二、填空题7.随机变量ξ的分布列如下：其中a ,b ,c 成等差数列.若E ξ=31,则D ξ的值是 . 答案95 8.设离散型随机变量X 可能取的值为1，2，3，4.P （X =k ）=ak +b （k =1，2，3，4）.又X 的均值EX =3，则a +b = . 答案101 三、解答题9.某地区的一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3 000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元. （1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失ξ的分布列，并求其平均值； （2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以η表示每天的损失，写出η的分布列. 计算η的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？ 解 （1）设ξ为损失数，分布列为：∴E ξ=3 000×0.3=900（元）. （2）设η为损失数，则P （η=0）=0.7×0.8=0.56.P (η=500)=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38. P （η=3 000）=0.3×0.2=0.06. 分布列为：∴E η=0+500×0.38+3 000×0.06=370 平均每天损失为370元.∵370＜900，∴按天气预报作防雨处理是正确的选择.10.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数. （1）求ξ的分布列、期望值及方差； （2）求η的分布列、期望值及方差. 解 （1）ξ的可能值为0，1，2. 若ξ=0，表示没有取出次品，其概率为： P （ξ=0）=31231002C C C =116; 同理，有P （ξ=1）=31221012C C C =229；P （ξ=2）=31211022C C C =221.∴ξ的分布列为∴E ξ=0×116+1×229+2×221=21. D ξ=(0-21)2×116+2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-×229+2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-×221=223+889+889=4415. (2)η的可能值为1，2，3，显然ξ+η=3. P (η=1)=P (ξ=2)=221,P (η=2)=P (ξ=1)=229, P (η=3)=P (ξ=0)=116. ∴η的分布列为：E η=E （3-ξ）=3-E ξ=3-21=25. ∵η=-ξ+3，∴D η=（-1）2D ξ=4415. 11.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. （1）求乙投球的命中率p ；（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 解 (1)设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得[1-P (B )]2=(1-p )2=161, 解得p =43或p =45（舍去），所以乙投球的命中率为43. （2）由题设和（1）知P (A )=21,P ()=21,P (B )= 43, P (B )=41. ξ可能的取值为0，1，2，3，故P (ξ=0)=P (A )P (B ·B )=21×241⎪⎭⎫⎝⎛=321,P (ξ=1)=P (A )P (B ·B )+12C P （B ）P （B ）P （A ） =21×241⎪⎭⎫⎝⎛+2×43×41×21=327, P (ξ=3)=P (A )P (B ·B )=21×243⎪⎭⎫ ⎝⎛=329,P (ξ=2)=1-P (ξ=0)-P (ξ=1)-P (ξ=3)=3215. ξ的分布列为ξ的数学期望E ξ=0×321+1×327+2×3215+3×329=2.12.（2008·全国Ⅰ理，20）已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验. (1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (2)ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望.解 （1）设ξ1、ξ2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P 表示对应的概率，则 方案甲中ξ1的分布列为方案乙中ξ2的分布列为若甲化验次数不少于乙化验次数,则P =P (ξ1=1)×P (ξ2=1)+P(ξ1=2)×［P (ξ2=1)+P (ξ2=2)］+P (ξ1=3)×［P (ξ2=1)+P (ξ2=2)+P (ξ2=3)］+P (ξ1=4) =0+51×（0+53）+51×（0+53+52）+52=2518=0.72. (2)E ξ=1×0+2×53+3×52=512=2.4.§12.3 抽样方法、总体分布的估计基础自测1.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004户，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户，现要从中抽取容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法：①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样中的（ ）A .②③B .①③C .③D .①②③答案 D2.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人.现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为 （ ）A .5，10，15B .3，9，18C .3，10，17D .5，9，16答案 B3.（2008·广东理，3）某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1 名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 （ ）A .24B .48C .16D .12答案 C4.在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，［a ，b ）是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ,该组在频率分布直方图的高为h ，则|a -b |等于 （ ）A .hmB .mhC .hmD .h +m答案 C5.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在［56.5，64.5）的学生人数是（ ）A .20B .30C .40D .50答案 C例1 （12分）某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.解 （1）将3万人分为五层，其中一个乡镇为一层.2分（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×153=60（人）；300×152=40（人）； 300×155=100（人）；300×152=40（人）； 300×153=60（人）， 8分 因此各乡镇抽取人数分别为60人，40人，100人，40人，60人 . 10分 （3）将300人组到一起即得到一个样本.12分例2 为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生的人数相同）：①从高三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知该校高三学生共1 000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）. 根据上面的叙述，试回答下列问题：（1）上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？（2）上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？ （3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.解 （1）这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100. （2）三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法； 第二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法； 第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法. （3）第一种方式抽样的步骤如下：第一步，首先用抽签法在这20个班中任意抽取一个班.第二步，然后从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩. 第二种方式抽样的步骤如下：第一步，首先用简单随机抽样法从第一个班中任意抽取一名学生，记其学号为a .第二步，在其余的19个班中，选取学号为a 的学生，加上第一个班中的一名学生，共计20人. 第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层，因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次.第二步，确定各个层次抽取的人数.因为样本容量与总体的个体数之比为：100∶1 000=1∶10，所以在每个层次中抽取的个体数依次为10150，10600，10250，即15，60，25. 第三步，按层次分别抽取.在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人.例3 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？ （2）哪组上交的作品数量最多？有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？ 解 （1）依题意知第三组的频率为511464324=+++++，又因为第三组的频数为12， ∴本次活动的参评作品数为5112=60. （2）根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×1464326+++++=18（件）.（3）第四组的获奖率是951810=， 第六组上交的作品数量为 60×1464321+++++=3（件），∴第六组的获奖率为9632=，显然第六组的获奖率高. 例4 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：（1）列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100 h ~400 h 以内的概率； （4）估计电子元件寿命在400 h 以上的概率. 解 （1）样本频率分布表如下：（2）频率分布直方图（3）由频率分布表可以看出，寿命在100 h ~400 h 的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元 件寿命在100 h ~400 h 的概率为0.65.（4）由频率分布表可知，寿命在400 h 以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h 以上的概率为0.35.1.某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种 态度的人数如下表：电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？解 可用分层抽样方法，其总体容量为12 000.“很喜爱”占000124352，应取60×000124352≈12(人）；“喜爱”占000125674，应取60×000125674≈23(人）；“一般”占000129263，应取60×000129263≈20（人）；“不喜爱”占000120721,应取60×000120721≈5（人）.因此采用分层抽样在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2 435人、4 567人、3 926人和1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人.2.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）A .②、③都不能为系统抽样B .②、④都不能为分层抽样C .①、④都可能为系统抽样D .①、③都可能为分层抽样答案 D3.为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.（1）求第四小组的频率；（2）参加这次测试的学生人数是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？ 解 （1）第四小组的频率=1-(0.1+0.3+0.4)=0.2. (2)设参加这次测试的学生人数是n , 则有n =第一小组频率第一小组频数=5÷0.1=50（人）.（3）因为0.1×50=5,0.3×50=15,0.4×50=20,0.2×50=10，即第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5、15、20、10，所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.4.从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：（单位：分） ［40，50），2；［50，60），3；［60，70），10；［70，80），15；［80，90），12；［90，100］，8. （1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图；（3）估计成绩在［60，90）分的学生比例； （4）估计成绩在85分以下的学生比例. 解 （1）频率分布表如下：（2）频率分布直方图如图所示.（3）成绩在［60，90）的学生比例即为学生成绩在［60，90）的频率，即为（0.20+0.30+0.24）×100%=74%. （4）成绩在85分以下的学生比例即为学生成绩不足85分的频率. 设相应的频率为b . 由809060.084.0808560.0--=--b ，故b =0.72. 估计成绩在85分以下的学生约占72%.一、选择题1.（2009·安庆模拟）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ）A .15，10，20B .10，5，30C .15，15，15D .15，5，25答案 A2.某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么（ ）A .①是系统抽样，②是简单随机抽样B .①是分层抽样，②是简单随机抽样C .①是系统抽样，②是分层抽样D .①是分层抽样，②是系统抽样答案 A3.下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是（ ）A .某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B .某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C .从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样答案 C4.（2008·重庆文，5）某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是 ( )A.简单随机抽样法B.抽签法C.随机数法D.分层抽样法答案 D5.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形图表示如下：根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A.0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h答案 B6.(2009·佛山模拟)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎，部分数据丢失，但知道前四组的频数成等比数列，后六组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b,则a,b的值分别为（）A.0.27，78B.0.27，83C.2.7，78D.27，83答案 A二、填空题7.（2008·天津文，11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人. 答案 108.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下0001，0002，0003，…，1 000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为 . 答案 0795 三、解答题9.某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，如何抽取？ 解 用分层抽样抽取. （1）∵20∶100=1∶5，∴510=2，570=14，520=4∴从副处级以上干部中抽取2人，一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人.（2）因副处级以上干部与工人人数较少，可用抽签法从中分别抽取2人和4人；对一般干部可用随机数表法抽取14人.（3）将2人、4人、14人的编号汇合在一起就得到了容量为20的样本.10.某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本.如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n .解 总体容量为6+12+18=36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为n 36，分层抽样的比例是36n,抽取工程师36n ×6=6n（人）， 抽取技术人员36n ×12=3n(人）， 抽取技工36n×18=2n （人）.所以n 应是6的倍数，36的约数，即n =6,12,18,36.当样本容量为（n +1）时，在总体中剔除1人后还剩35人，系统抽样的间隔为135+n ，因为135+n 必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量为6.11.为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.。