高三数学第一轮复习 第十二章《概率和统计》12-5 选修2

第十二章统计与概率本章知识要点【考纲要求】A级要求的考点为：抽样方法、总体分布的估计、变量的相关性、随机事件与概率、几何概型、互斥事件及其发生的概率；B级要求的考点为：总体特征数的估计、古典概型.【知识回顾】1．常见的三种抽样方法是、、.通常将、统称为简单随机抽样.2．总体分布的估计包括： ______ 表、 ______ 图与折线图、 _______ 图．3．总体特征数的估计包括：____________________________________________.4. 平均数公式：x= ；方差公式：2s= .5. 解决古典概型问题的基本步骤是：（1）明确所有基本事件有n个；（2）确认所有基本事件是___________的；（3）确定事件A包含的基本事件个数为m；（4）计算事件A发生的概率为=P_____________.)(A6. 解决几何概型问题的即基本步骤是：（1）确认在何区域内取点，即区域D；（2）确定所求概率的事件中的点所在区域d；（3）计算区域D和d的测度；（4）所求事件A发生的概率=(AP__________.)【方法回顾】例1．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下：甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50；乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，59.（1）制作茎叶图，并对两名运动员的成绩进行比较；（2）计算上述两组数据的平均数和方差，并比较两名运动员的成绩和稳定性；（3）能否说明甲的成绩一定比乙好，为什么？例2. 5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.例3.已知等腰ABCRt∆中，0∠C.=90（1）在线段BC上任取一点M，求使0<∠CAM的概率；30（2）在CAB∠内任作射线AM，求使0∠CAM的概率.<3079．抽样方法【基础训练】1．某工厂生产产品，用传送带将产品传到下一工序，质检人员每隔5分钟在传送带上某一固定位置取一件产品检验，这种抽样方法是 .2．2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为 .3.某单位有职工100人，其中不到35岁的有45人，35岁到49岁的25人，50岁及以上的人为30人.现在抽取20人进行健康检查，用抽样方法，各年龄段抽取人数分别为、、．4. 采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体入样的可能性为 .5.（2010重庆文数）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 .6.下列抽样中是系统抽样的是.①、从标有1~15号的15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样；②、工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验；③、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止；④、电影院调查观众某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈.【例题分析】例1．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％．登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％．为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；（2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.例2.经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人.例3.某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体，如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.例4.（2010湖北理数）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为、、 .【拓展提升】例5.一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，依次将其分为10个小组，组号为0，1，2，….，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x+33k的后两位数.（1）当x=24时，写出所抽取样本的10个号码；（2）若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围.80．用样本估计总体【基础训练】1．有一笔统计资料，共有10个数据如下（不完全以大小排列）：２、４、４、５、５、６、７、８、９、x ,已知这组数据平均数为６，则这组数据的方差为 . 2．(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检 测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98）， [98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本 中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等 于98克并且小于104克的产品的个数为_________________．3. 某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则x y 的值为_____________．4. （2010山东文数）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 、 . 5. 把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数是____________.6. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11得分的情况用如图2位数分别为___________、_____________.【例题分析】例1．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497503506508507492496500501499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g ～501.5g 之间的概率约为____________．例2.有同一型号的汽车100辆,为了解这种汽车每耗油1L所行路程的情况,现从中随即抽出10辆在同一条件下进行蚝油1L所行路程实验,得到如下样本数据（单位:km）:13.7,12.7,14.4,13.8,13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,13.4，其分组如下:（2）根据上表,在给定坐标系中画出频率分布直线图,并根据样本估计总体数据落在[12.95,13.95）中的概率；（3）根据样本,对总体的平均值进行估计.例3.对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36根据以上数据，试判断他们谁更优秀.例4. 某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图， 则输出的S 的值为______________【拓展提升】.例 5.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示． （1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）（理）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．81．古典概型【基础训练】1．有红心1，2，3和黑桃4，5共5张扑克牌，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为.2．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是____________．3.口袋中装有形状大小都相同的1只白球和1只黑球，先摸出一只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出一只球，出现“一只白球、一只黑球”的概率是___________．4.一个密码箱的密码由5位数字组成，5个数字都可以任意设定为0～9中的任何一个数字，假设某人已经设定了5位密码．（1）此人忘了密码的所有数字，则他一次就能把锁打开的概率为．（2）若此人只记得密码的前4位数字，则他一次就能把锁打开的概率为．5.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_______.6.甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为.【典型例题】例1．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数之和是3的倍数的概率是多少？例2.用红、黄、蓝三种不同的颜色给下图中的三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：（1）三个矩形颜色都相同的概率；（2）三个矩形颜色都不同的概率．例3.甲、乙两人参加有奖知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，填空题4道，甲乙两人依次各抽1题．（1）甲抽到选择题的概率是多少？（2）甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率是多少？（3）甲、乙两人中至少1人抽到选择题的概率是多少？例 4. 将一个面上均涂有颜色的正方体锯成3n（3n ）个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，分别求下列事件的概率：（1）三面涂有颜色；（2）恰有两面涂有颜色；（3）至少有一面涂有颜色．【拓展提升】例5．小明、小华用4张扑克牌（分别是黑桃2、黑桃4，黑桃5、梅花5）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）若小明恰好抽到黑桃4，求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率．（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜，反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平，说明你的理由．82．几何概型【基础训练】1．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是__________.2．质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间［0，1］上的概率为．3．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为.4.ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 .5.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为.6.有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，则有这个细菌的概率为__________.【例题分析】例1．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？例2.街道旁边有一游戏：在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？例3.在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？例4. 在ABC Rt ∆中，030=∠A ，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使AM ＞AC 的概率.【拓展提升】例5.设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.⑴若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a 是从区间[0，3] 任取的一个数，b 是从[0，2] 任取的一个数，求上述方程有实根的概率.83.本章回顾【基础训练】1． 从1，2，…，9这九个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 ．2．掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率 ．3．从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为 ．4．一年按365天计算，2名同学在同一天过生日的概率为 ．5．以集合{2,4,6,7,8,11,12,13}A =中的任意两个元素分别作为一个分数的分子，分母，则这个分数为既约分数（分子和分母互质）的概率为 ．6．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标（m,n ），则点P 落在圆x 2+y 2=16内的概率是________．7．某人午觉醒来，发现钟表停了，于是打开电视机，想看看屏幕右上角显示的整点或半点时间，求他等待时间不超过15分钟的概率 _____ ．【典型例题】例1．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率: （1）A：取出的两球都是白球；（2）B：取出的两球1个是白球，另1个是红球.例2.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。

12.5 离散型随机变量的均值与方差必备知识预案自诊知识梳理1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为P (X=x i )=p i ,i=1,2,…,n.(1)均值:称EX= 为随机变量X 的均值或数学期望. (2)方差:称DX=∑i =1i(x i -EX )2p i 为随机变量X 的方差,其算术平方根√DX为随机变量X的 .(3)期望的含义:①期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均;②EX 是一个实数,由X 的分布列唯一确定,即作为随机变量,X 是可变的,可取不同值,而EX 是不变的,它描述X 取值的平均状态;③EX=x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n 直接给出了EX 的求法,即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.(4)方差的含义:①随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动.集中与离散的程度DX 越大,表明平均偏离程度越大,X 的取值越分散.反之,DX 越小,X 的取值越集中在EX 附近.②方差也是一个常数,它不具有随机性,方差的值一定是非负.2.均值与方差的性质(1)E (aX+b )= ; (2)E (ξ+η)=E ξ+E η;(3)D (aX+b )= .3.两点分布与二项分布的均值与方差(1)若X 服从两点分布,则EX= ,DX= . (2)若X~B (n ,p ),则EX= ,DX= .1.若X 1,X 2相互独立,则E (X 1·X 2)=EX 1·EX2.2.均值与方差的关系:DX=EX 2-E 2X. 3.Ek=k ,Dk=0,其中k 为常数. 4.E (X 1+X 2)=EX 1+EX 2.5.若X~N (μ,σ2),则X 的均值与方差分别为EX=μ,DX=σ2. 6.若Y=aX+b ,其中a ,b 是常数,X 是随机变量,则E (aX+b )=aEX+b ,D (aX+b )=A 2DX.7.超几何分布的均值:若X 服从参数为N ,M ,n 的超几何分布,则EX=nMN .考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.( )(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.( ) (3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.( )(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.( )(5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.( )2.已知某8个数的期望为5,方差为3,现又加入一个新数据5,此时这9个数的期望记为EX ,方差记为DX ,则( )A.EX=5,DX>3B.EX=5,DX<3C.EX<5,DX>3D.EX<5,DX<33.已知随机变量X 满足E (2X+3)=7,D (2X+3)=16,则下列选项正确的是( )A.EX=72,DX=132B.EX=2,DX=4C.EX=2,DX=8D.EX=74,DX=8 4.设0<a<1,随机变量X 的分布列是:X 0 a 1 P 13 13 13则当a 在(0,1)内增大时( )A.DX 增大B.DX 减小C.DX 先增大后减小D.DX 先减小后增大5.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX= .关键能力学案突破考点求离散型随机变量的均值与方差〖例1〗从某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩分成六段〖40,50),〖50,60),…,〖90,100〗后得到如图部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在〖70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;(3)若从60名学生中随机抽取2人,抽到的学生成绩在〖40,60)记0分,在〖60,80)记1分,在〖80,100〗记2分,用ξ表示抽取结束后的总记分,求ξ的分布列和数学期望.解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求EX.(5)由方差的定义求DX.2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为EX,则对应随机变量aX+b的均值是aEX+b,方差为a2DX.对点训练1某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组〖13,14),第二组〖14,15),…,第五组〖17,18〗,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计这50名学生百米测试成绩的中位数和平均数(精确到0.1).(2)若从第一、五组中随机取出三名学生成绩,设取自第一组的个数为ξ,求ξ的分布列,期望及方差.考点二项分布的均值与方差〖例2〗(2020甘肃天水一中高三月考)某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个作答,至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙答对每个试题的概率均为34,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.(1)试通过概率计算,分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大;(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为Y,求Y的分布列及数学期望和方差.解题心得(1)求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),那么用公式EX=np,DX=np(1-p)求解,可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(aξ+b)=aEξ+b以及Eξ=np求出E(aξ+b),同样还可求出D(aξ+b).对点训练2某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况,对其每天的用水量做了记录,得到了大量该企业的日用水量的统计数据,从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本,得到如图所示的茎叶图(单位:吨).若用水量不低于95吨,则称这一天的用水量超标.(1)从这12天的数据中随机抽取3个,求至多有1天的用水量超标的概率;(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率,估计该企业未来3天中用水量超标的天数,记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数,求X的分布列、数学期望和方差.考点均值与方差在决策中的应用〖例3〗(2020江苏启东中学高三月考)冠状病毒是一个大型病毒家族,已知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严重急性呼吸综合征等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭,甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据,首先取病人的唾液或咽拭子的样本,再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质,如果有病毒,样本检测会呈现阳性,否则为阴性.根据统计发现,疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p(0<p<1),现有4例疑似病例,分别对其取样、检测,多个样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验,混合样本中只要有病毒,则混合样本化验结果就会呈阳性,若混合样本呈阳性,则将该组中各个样本再逐个化验;若混合样本呈阴性,则该组各个样本均为阴性.现有以下三种方案:方案一:逐个化验;方案二:四个样本混在一起化验;方案三:平均分成两组化验.在新冠肺炎爆发初期,由于检查能力不足,化检次数的期望值越小,则方案越“优”.(1)若p=1,求2个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率;4,现将该4例疑似病例样本进行化验,请问:方案一、二、三中哪个最“优”?(2)若p=14(3)若对4例疑似病例样本进行化验,且“方案二”比“方案一”更“优”,求p的取值范围.解题心得利用均值、方差进行决策的方法:均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.对点训练3(2020四川三台高三一模)2020年春节期间,某超市准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动,超市设计了两种抽奖方案.方案一:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球,则顾客获得60元的返金券,若抽到白球,则获得20元的返金券,且顾客有放回地抽取3次.方案二:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球,则顾客获得80元的返金券,若抽到白球,则未中奖,且顾客有放回地抽取3次.(1)现有两位顾客均获得抽奖机会,且都按方案一抽奖,试求这两位顾客均获得180元返金券的概率;(2)若某顾客获得抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望;②为了吸引顾客消费,让顾客获得更多金额的返金券,该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动?一般地,假设一批产品共有N 件,其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取n 件(不放回),用X 表示抽取的n 件产品中的次品数,则X 的分布列为P (X=k )=C i i C i -ii -i C ii ,k=m ,m+1,m+2,…,r.其中n ,N ,M ∈N +,M ≤N ,n ≤N ,m=max{0,n-N+M },r=min{n ,M }.如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X 服从超几何分布.X 的均值为EX=ii i,X 的方差为DX=ii (i -i )(i -i )i 2(i -1).〖典例〗已知100件产品中有10件次品,从中任取3件,则取出的3件产品中次品数的均值是 ,方差是 .答案0.3 0.264 5解析(方法1)用随机变量ξ表示取出的3件产品中的次品数,则ξ的所有可能取值是0,1,2,3,且有P (ξ=0)=C 100C 903C 1003≈0.7265,P (ξ=1)=C 101C 902C 1003≈0.2477,P (ξ=2)=C 102C 901C 1003≈0.0250,P (ξ=3)=1-P (ξ=0)-P (ξ=1)-P (ξ=2)≈0.0008,所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P 0.7265 0.2477 0.0250 0.0008从而E ξ=0×0.7265+1×0.2477+2×0.0250+3×0.0008=0.3001≈0.3,D ξ≈(0-0.3)2×0.7265+(1-0.3)2×0.2477+(2-0.3)2×0.0250+(3-0.3)2×0.0008≈0.2645.(方法2)这是超几何分布问题,其中N=100,M=10,n=3, 故E ξ=ii i=3×10100=310=0.3,D ξ=ii (i -i )(i -i )i 2(i -1)=3×10×(100-10)×(100-3)1002×(100-1)=2911100≈0.2645.解题心得求超几何分布的均值时,直接应用公式EX=iii比较简单,而方差公式不太容易记忆,一般是根据超几何分布的概率公式求出分布列,代入离散型随机变量的方差公式计算.对点训练从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数.(1)求ξ的分布列; (2)求ξ的均值与方差; (3)求ξ≤1的概率.12.5 离散型随机变量的均值与方差必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n (2)标准差2.(1)aEX+b (3)a 2DX3.(1)p p (1-p ) (2)np np (1-p )考点自诊1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.B 根据题意可知,EX=5×8+59=5,DX=3×8+(5-5)29=83<3.故选B .3.B E(2X+3)=2EX+3=7;D(2X+3)=4DX=16.故EX=2,DX=4.故选B.4.D根据题意可得EX=0+i+13=i+13,DX=(0-i+13)2·13+(i-i+13)2·13+(1-i+13)2·13=6A2-6i+627=6(i-12)2+9227,所以DX在a∈(0,12)上单调递减,在a∈(12,1)上单调递增,所以DX是先减小后增大,故选D.5.1.96有放回地抽取,是一个二项分布模型,其中p=0.02,n=100,则DX=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.关键能力·学案突破例1解(1)设分数在〖70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,有(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得x=0.3,所以频率分布直方图如图所示.(2)平均分为。

高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。